Да реши многу геометриски проблемитреба да се најде висината дадена фигура. Овие задачи имаат практично значење. При спроведувањето градежни работиодредувањето на висината помага да се пресмета потребната количина на материјали, како и да се одреди колку точно се направени падините и отворите. Честопати, за да креирате обрасци, треба да имате идеја за својствата

За многу луѓе, и покрај добрите оценки на училиште, кога конструираат обични геометриски формиСе поставува прашањето како да се најде висината на триаголник или паралелограм. И тоа е најтешко. Тоа е затоа што триаголникот може да биде остар, тап, рамнокрак или правилен. Секој од нив има свои правила за изградба и пресметка.

Како да се најде висината на триаголникот во кој сите агли се остри, графички

Ако сите агли на триаголникот се остри (секој агол во триаголникот е помал од 90 степени), тогаш за да ја пронајдете висината треба да го направите следново.

  1. Користејќи ги дадените параметри, конструираме триаголник.
  2. Да воведеме некоја нотација. A, B и C ќе бидат темињата на сликата. Аглите што одговараат на секое теме се α, β, γ. Страните спроти овие агли се a, b, c.
  3. Висината е нормалната извлечена од темето на аголот до спротивната страна на триаголникот. За да ги најдеме висините на триаголникот, конструираме нормални: од темето на аголот α кон страната a, од темето на аголот β кон страната b итн.
  4. Пресечната точка на висината и страната a да ја означиме како H1, а самата висина како h1. Пресечната точка на висината и страната b ќе биде H2, висината, соодветно, h2. За страната c, висината ќе биде h3, а пресечната точка ќе биде H3.

Висина во триаголник в тап агол

Сега да погледнеме како да ја пронајдеме висината на триаголникот ако има еден (повеќе од 90 степени). Во овој случај, висината извлечена од тапиот агол ќе биде внатре во триаголникот. Преостанатите две висини ќе бидат надвор од триаголникот.

Нека аглите α и β во нашиот триаголник се остри, а аголот γ е тап. Потоа, за да се конструираат висините што доаѓаат од аглите α и β, потребно е да се продолжат страните на триаголникот спроти нив за да се исцртаат нормални.

Како да се најде висината на рамнокрак триаголник

Таквата фигура има две еднакви страни и основа, додека аглите на основата се исто така еднакви еден на друг. Оваа еднаквост на страни и агли го олеснува конструирањето на висини и нивно пресметување.

Прво, да го нацртаме самиот триаголник. Нека страните b и c, како и аглите β, γ, се еднакви, соодветно.

Сега да ја нацртаме висината од темето на аголот α, означувајќи ја h1. За оваа висина ќе биде и симетрала и средна.

За основата може да се направи само една конструкција. На пример, нацртајте медијана - отсечка што го поврзува темето на рамнокрак триаголник и спротивната страна, основата, за да ја пронајдете висината и симетралата. И за да ја пресметате должината на висината за другите две страни, можете да конструирате само една висина. Така, за графички да се одреди како да се пресмета висината на рамнокрак триаголник, доволно е да се најдат две од трите висини.

Како да се најде висина правоаголен триаголник

За правоаголен триаголник, одредувањето на височините е многу полесно отколку за другите. Ова се случува затоа што самите нозе прават прав агол, па затоа се висини.

За да ја изградите третата висина, како и обично, нацртајте нормално поврзување на темето прав аголи спротивната страна. Како резултат на тоа, за да се создаде триаголник во овој случај, потребна е само една конструкција.

Како да се најде најголемата или најмалата висина на триаголникот? Колку е помала висината на триаголникот, толку е поголема висината привлечена кон него. Односно, најголемата надморска височина на триаголникот е онаа што е нацртана на неговата најкратка страна. - онаа што е нацртана до најголемата страна на триаголникот.

Да се ​​најде најголемата висина на триаголник , можеме да ја поделиме областа на триаголникот со должината на страната на која е нацртана оваа висина (односно, со должината на најмалата страна на триаголникот).

Според тоа, Д Да се ​​најде најмалата висина на триаголник Можете да ја поделите областа на триаголникот со должината на неговата најдолга страна.

Задача 1.

Најдете ја најмалата висина на триаголник чии страни се 7 cm, 8 cm и 9 cm.

Со оглед на:

AC=7 cm, AB=8 cm, BC=9 cm.

Најдете: најмалата висина на триаголникот.

Решение:

Најмалата надморска височина на триаголникот е онаа што е нацртана на неговата најдолга страна. Ова значи дека треба да ја најдеме висината AF нацртана на страната BC.

За погодност за нотација, ја воведуваме нотацијата

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Висината на триаголникот е еднаква на количникот од двапати од областа на триаголникот поделен со страната на која е нацртана оваа висина. може да се најде користејќи ја формулата на Херон. Затоа

Ние пресметуваме:

Одговор:

Задача 2.

Најдете ја најдолгата страна на триаголникот со страни 1 cm, 25 cm и 30 cm.

Со оглед на:

AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.

Најдете:

најголемата надморска височина на триаголникот ABC.

Решение:

Најголемата висина на триаголникот е нацртана на неговата најкратка страна.

Ова значи дека треба да ја пронајдете висината CD нацртана на страната AB.

За погодност, да означиме

Пресметувањето на висината на триаголникот зависи од самата фигура (рамнокрак, рамностран, скален, правоаголен). Во практичната геометрија, сложените формули, по правило, не се наоѓаат. Доволно да се знае општ принциппресметки за да може да биде универзално применливо за сите триаголници. Денес ќе ве запознаеме со основните принципи за пресметување на висината на фигурата, формули за пресметување врз основа на својствата на висините на триаголниците.

Што е висина?

Висината има неколку карактеристични својства

  1. Точката каде што се поврзуваат сите висини се нарекува ортоцентар. Ако триаголникот е зашилен, тогаш ортоцентарот се наоѓа внатре во фигурата; ако еден од аглите е тап, тогаш ортоцентарот, по правило, се наоѓа надвор.
  2. Во триаголник каде еден агол е 90°, ортоцентарот и темето се совпаѓаат.
  3. Во зависност од видот на триаголникот, постојат неколку формули за наоѓање на висината на триаголникот.

Традиционално пресметување

  1. Ако p е половина од периметарот, тогаш a, b, c се ознаката на страните на потребната фигура, h е висината, тогаш првиот и најголемиот едноставна формулаќе изгледа вака: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
  2. ВО училишни учебнициЧесто може да најдете проблеми во кои ја знаете вредноста на една од страните на триаголникот и големината на аголот помеѓу оваа страна и основата. Тогаш формулата за пресметување на висината ќе изгледа вака: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
  3. Кога е дадена плоштината на триаголникот - S, како и должината на основата - a, тогаш пресметките ќе бидат што е можно поедноставни. Висината се наоѓа со помош на формулата: h = 2S/a.
  4. Кога е даден радиусот на кругот опишан околу сликата, прво ги пресметуваме должините на неговите две страни, а потоа продолжуваме да ја пресметуваме дадената висина на триаголникот. За да го направите ова, ја користиме формулата: h = b ∙ c/2R, каде што b и c се двете страни на триаголникот што не се основата, а R е радиусот.
Како да се најде висината на рамнокрак триаголник?

Сите страни на оваа бројка се еквивалентни, нивните должини се еднакви, затоа аглите на основата исто така ќе бидат еднакви. Од ова произлегува дека висините што ги цртаме на основите исто така ќе бидат еднакви, тие се и медијани и симетрали во исто време. Зборувајќи на едноставен јазик, висина во рамнокрак триаголникја дели основата на два дела. Триаголникот со прав агол, кој се добива по исцртување на висината, ќе се разгледува со помош на Питагоровата теорема. Да ја означиме страната како a и основата како b, а потоа висината h = ½ √4 a2 − b2.

Како да се најде висината на рамностран триаголник?

Формулата за рамностран триаголник (фигура каде сите страни се еднакви по големина) може да се најде врз основа на претходните пресметки. Потребно е само да се измери должината на една од страните на триаголникот и да се означи како а. Тогаш висината се изведува со формулата: h = √3/2 a.

Како да се најде висината на правоаголен триаголник?

Како што знаете, аголот во правоаголен триаголник е 90°. Висината спуштена од едната страна е исто така втората страна. На нив ќе лежат надморските височини на триаголник со прав агол. За да добиете податоци за висината, треба малку да ја трансформирате постоечката питагорова формула, означувајќи ги нозете - a и b, а исто така мерејќи ја должината на хипотенузата - c.

Да ја најдеме должината на кракот (страната на која висината ќе биде нормална): a = √ (c2 − b2). Должината на вториот крак се наоѓа со користење на истата формула: b =√ (c2 − b2). После тоа, можете да започнете да ја пресметувате висината на триаголникот со прав агол, откако прво ја пресметате површината на фигурата - s. Висинската вредност е h = 2s/a.

Пресметки со скален триаголник

Кога скаленскиот триаголник има остри агли, висината спуштена до основата е видлива. Ако триаголникот има тап агол, тогаш висината може да биде надвор од фигурата и треба ментално да ја продолжите за да ја добиете точката на поврзување на висината и основата на триаголникот. Најмногу на едноставен начинда се измери висината е да се пресмета преку една од страните и големината на аглите. Формулата е следна: h = b sin y + c sin ß.

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

  • Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

  • Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
  • Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
  • Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
  • Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

  • Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
  • Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Висината на триаголникот е нормалното спуштено од кое било теме на триаголникот на спротивната страна или до неговото продолжување (страната до која се спушта нормалната во овој случај се нарекува основа на триаголникот).

ВО тап триаголникдве височини паѓаат на продолжението на страните и лежат надвор од триаголникот. Третиот е внатре во триаголникот.

ВО акутен триаголниксите три височини лежат внатре во триаголникот.

Во правоаголен триаголник, нозете служат како надморска височина.

Како да се најде висина од основата и областа

Да се ​​потсетиме на формулата за пресметување на плоштината на триаголник. Областа на триаголник се пресметува со формулата: A = 1/2bh.

  • А е плоштината на триаголникот
  • b е страната на триаголникот на која е спуштена висината.
  • h - висина на триаголникот

Погледнете го триаголникот и размислете кои количини веќе ги знаете. Ако ви е дадена област, означете ја „A“ или „S“. Треба да ви го дадете и значењето на страната, означете ја „б“. Ако не ви е дадена областа и не ви е дадена страната, користете друг метод.

Имајте на ум дека основата на триаголникот може да биде која било страна на која е спуштена висината (без оглед на тоа како е поставен триаголникот). За подобро да го разберете ова, замислете дека можете да го ротирате овој триаголник. Свртете го така што страната што ја знаете е свртена надолу.

На пример, плоштината на триаголникот е 20, а една од неговите страни е 4. Во овој случај, „‘A = 20″‘, ‘‘b = 4′“.

Заменете ги вредностите што ви се дадени во формулата за да ја пресметате површината (A = 1/2bh) и да ја пронајдете висината. Прво, помножете ја страната (б) со 1/2, а потоа поделете ја областа (А) со добиената вредност. На овој начин ќе ја најдете висината на триаголникот.

Во нашиот пример: 20 = 1/2 (4) ч

20 = 2 ч
10 = ч

Запомнете ги својствата на рамностран триаголник. Во рамностран триаголник, сите страни и сите агли се еднакви (секој агол е 60˚). Ако ја нацртате висината во таков триаголник, ќе добиете два еднакви правоаголни триаголници.
На пример, разгледајте рамностран триаголник со страна 8.

Запомнете ја Питагоровата теорема. Питагоровата теорема вели дека во кој било правоаголен триаголник со катети „a“ и „b“ хипотенузата „c“ е еднаква на: a2+b2=c2. Оваа теорема може да се искористи за да се најде висината на рамностран триаголник!

Поделете го рамностран триаголник на два правоаголни триаголници (за да го направите ова, нацртајте ја висината). Потоа означете ги страните на еден од правоаголните триаголници. Страничната страна на рамностран триаголник е хипотенузата „c“ на правоаголен триаголник. Кратката „а“ е еднаква на 1/2 од страната на рамностран триаголник, а кракот „б“ е саканата висина на рамностран триаголник.

Така, во нашиот пример со рамностран триаголниксо позната страна еднаква на 8: c = 8 и a = 4.

Приклучете ги овие вредности во Питагоровата теорема и пресметајте b2. Прво, квадрат „в“ и „а“ (помножете ја секоја вредност сама по себе). Потоа од c2 одземе a2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Отстрани Квадратен коренод b2 да се најде висината на триаголникот. За да го направите ова, користете калкулатор. Добиената вредност ќе биде висината на вашиот рамностран триаголник!

b = √48 = 6,93

Како да ја пронајдете висината користејќи агли и страни

Размислете кои значења ги знаете. Можете да ја најдете висината на триаголникот ако ги знаете вредностите на страните и аглите. На пример, ако е познат аголот помеѓу основата и страната. Или ако се познати вредностите на сите три страни. Значи, да ги означиме страните на триаголникот: „а“, „б“, „в“, аглите на триаголникот: „А“, „Б“, „Ц“ и плоштината - буквата „С“.

Ако ги знаете сите три страни, ќе ви требаат плоштината на триаголникот и формулата на Херон.

Ако ги знаете двете страни и аголот меѓу нив, можете да ја користите следнава формула за да ја пронајдете плоштината: S=1/2ab(sinC).

Ако ви се дадени вредностите на сите три страни, користете ја формулата на Херон. Користејќи ја оваа формула, ќе треба да извршите неколку чекори. Прво треба да ја пронајдете променливата „s“ (со оваа буква означуваме половина од периметарот на триаголникот). За да го направите ова, заменете ги познатите вредности во оваа формула: s = (a+b+c)/2.

За триаголник со страни a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Резултатот е: s=12/2, каде што s=6.

Потоа, како втор чекор, ја наоѓаме областа (вториот дел од формулата на Херон). Површина = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Наместо зборот „област“, ​​вметнете ја еквивалентната формула за да ја пронајдете областа: 1/2bh (или 1/2ah, или 1/2ch).

Сега најдете еквивалентен израз за висина (h). За нашиот триаголник ќе важи следната равенка: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Каде што 3/2h=√(6(2(3(1))).Излегува дека 3/2h = √(36).Со помош на калкулатор пресметај го квадратниот корен.Во нашиот пример: 3/2h = 6. Излегува дека висината (h) е еднаква на 4, страната b е основата.

Ако, според условите на проблемот, се познати две страни и агол, можете да користите различна формула. Заменете ја областа во формулата со еквивалентен израз: 1/2bh. Така, ќе ја добиете следната формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Може да се поедностави во следнава форма: h = a(sin C) за да се отстрани една непозната променлива.

Сега останува само да се реши добиената равенка. На пример, нека "a" = 3, "C" = 40 степени. Тогаш равенката ќе изгледа вака: „h“ = 3 (грев 40). Користејќи калкулатор и табела со синуси, пресметајте ја вредноста на „h“. Во нашиот пример, h = 1,928.