Пресметај ги проекциите на векторот a на координатните оски. Проекција на сила на оската. Проекција на векторскиот збир на сили на оската. Ако поминатото растојание е големо, дали модулот за поместување може да биде мал?

Алгебарска проекција на векторна која било оска е еднаков на производот од должината на векторот и косинусот на аголот помеѓу оската и векторот:

Pr a b = |b|cos(a,b) или

Каде што a b е скаларен производ на вектори, |a| - модул на векторот a.

Инструкции. За да ја пронајдете проекцијата на векторот Pr a b онлајн, мора да ги наведете координатите на векторите a и b. Во овој случај, векторот може да биде наведен на рамнина (две координати) и во простор (три координати). Резултираното решение е зачувано во датотека Word. Ако векторите се наведени преку координатите на точките, тогаш треба да го користите овој калкулатор.

Класификација на векторски проекции

Видови проекции по дефиниција векторска проекција

Геометриската проекција на векторот AB на оската (вектор) се нарекува вектор A"B", чиј почеток A' е проекција на почетокот A на оската (вектор), а крајот B' е проекција на крајот B на истата оска.
Алгебарската проекција на векторот AB на оската (вектор) се нарекува должина на векторот A"B", земена со знак + или -, во зависност од тоа дали векторот A"B" има иста насока како и оската ( вектор).

Видови проекции според координатен систем

Својства на векторска проекција

Геометриската проекција на векторот е вектор (има насока).
Алгебарската проекција на векторот е бројка.

Теореми за векторска проекција

Теорема 1. Проекцијата на збирот на вектори на која било оска е еднаква на проекцијата на збирот на векторите на истата оска.

AC" =AB" +B"C"

Теорема 2. Алгебарската проекција на векторот на која било оска е еднаква на производот од должината на векторот и косинусот на аголот помеѓу оската и векторот:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Видови векторски проекции

проекција на оската OX.
проекција на оската OY.
проекција на вектор.

Проекција на оската OX	Проекција на оската OY	Проекција на вектор
Ако насоката на векторот A’B’ се совпаѓа со насоката на оската OX, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има позитивен знак.	Ако насоката на векторот A’B’ се совпаѓа со насоката на оската OY, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има позитивен знак.	Ако насоката на векторот A’B’ се совпаѓа со насоката на векторот NM, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има позитивен знак.
Ако насоката на векторот е спротивна на насоката на оската OX, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има негативен знак.	Ако насоката на векторот A’B’ е спротивна на насоката на оската OY, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има негативен знак.	Ако насоката на векторот A’B’ е спротивна на насоката на векторот NM, тогаш проекцијата на векторот A’B’ има негативен знак.
Ако векторот AB е паралелен со оската OX, тогаш проекцијата на векторот A'B' е еднаква на апсолутната вредност на векторот AB.	Ако векторот AB е паралелен со оската OY, тогаш проекцијата на векторот A'B' е еднаква на апсолутната вредност на векторот AB.	Ако векторот AB е паралелен со векторот NM, тогаш проекцијата на векторот A'B' е еднаква на апсолутната вредност на векторот AB.
Ако векторот AB е нормален на оската OX, тогаш проекцијата A’B’ е еднаква на нула (нулти вектор).	Ако векторот AB е нормален на оската OY, тогаш проекцијата A’B’ е еднаква на нула (нулти вектор).	Ако векторот AB е нормален на векторот NM, тогаш проекцијата A’B’ е еднаква на нула (нулти вектор).

1. Прашање: Дали проекцијата на вектор може да има негативен предзнак? Одговор: Да, векторот на проекцијата може да биде негативна вредност. Во овој случај, векторот има спротивна насока (видете како се насочени оската OX и векторот AB)
2. Прашање: Дали проекцијата на векторот може да се совпадне со апсолутната вредност на векторот? Одговор: Да, може. Во овој случај, векторите се паралелни (или лежат на иста линија).
3. Прашање: Дали проекцијата на вектор може да биде еднаква на нула (нулти вектор). Одговор: Да, може. Во овој случај, векторот е нормален на соодветната оска (вектор).

Пример 1. Векторот (сл. 1) формира агол од 60° со оската OX (тоа е специфицирано со векторот а). Ако OE е единица на скала, тогаш |b|=4, значи .

Навистина, должината на векторот (геометриска проекција b) е еднаква на 2, а насоката се совпаѓа со насоката на оската OX.

Пример 2. Векторот (сл. 2) формира агол (a,b) = 120 o со оската OX (со векторот a). Должина |b| векторот b е еднаков на 4, така што pr a b=4·cos120 o = -2.

Навистина, должината на векторот е 2, а насоката е спротивна на насоката на оската.

Оската е насоката. Ова значи дека проекцијата на оска или на насочена линија се смета за иста. Проекцијата може да биде алгебарска или геометриска. Во геометриска смисла, проекцијата на вектор на оска се подразбира како вектор, а во алгебарска смисла, како број. Односно, се користат концептите на проекција на вектор на оска и нумеричка проекција на вектор на оска.

Ако имаме L оска и ненулти вектор A B →, тогаш можеме да конструираме вектор A 1 B 1 ⇀, означувајќи ги проекциите на неговите точки A 1 и B 1.

A 1 B → 1 ќе биде проекцијата на векторот A B → на L.

Дефиниција 1

Проекција на векторот на оскатае вектор чиј почеток и крај се проекции на почетокот и крајот на даден вектор. n p L A B → → вообичаено е да се означи проекцијата A B → на L. За да се изгради проекција на L, нормалните се спуштаат на L.

Пример 1

Пример за векторска проекција на оска.

На координатната рамнина O x y е наведена точката M 1 (x 1, y 1). Потребно е да се конструираат проекции на O x и O y за да се прикаже векторот на радиусот на точката M 1. Ги добиваме координатите на векторите (x 1, 0) и (0, y 1).

Ако зборуваме за проекцијата на a → на ненула b → или за проекцијата на a → на насоката b → , тогаш се мисли на проекцијата на a → на оската со која насоката b → се совпаѓа. Проекцијата на a → на линијата дефинирана со b → е означена n p b → a → → . Познато е дека кога аголот помеѓу a → и b → , n p b → a → → и b → може да се смета за конасочен. Во случај кога аголот е тап, n p b → a → → и b → се во спротивни насоки. Во ситуација на перпендикуларност a → и b →, а a → е нула, проекцијата на a → во насока b → е нулта вектор.

Нумеричката карактеристика на проекцијата на вектор на оска е нумеричката проекција на вектор на дадена оска.

Дефиниција 2

Нумеричка проекција на векторот на оскатае број кој е еднаков на производот од должината на даден вектор и косинус на аголот помеѓу дадениот вектор и векторот што ја одредува насоката на оската.

Нумеричката проекција на A B → на L се означува n p L A B → , и a → на b → - n p b → a → .

Врз основа на формулата добиваме n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , од каде a → е должината на векторот a → , a ⇀ , b → ^ е аголот помеѓу векторите a → и b → .

Ја добиваме формулата за пресметување на нумеричката проекција: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Применливо е за познати должини a → и b → и аголот меѓу нив. Формулата е применлива за познати координати a → и b →, но постои поедноставена форма.

Пример 2

Откријте ја бројната проекција на a → на права линија во правец b → со должина a → еднаква на 8 и агол меѓу нив од 60 степени. По услов имаме ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Ова значи дека ги заменуваме нумеричките вредности во формулата n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4.

Одговор: 4.

Со познат cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , имаме a → , b → како скаларен производ на a → и b → . Следејќи ја формулата n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , можеме да ја најдеме нумеричката проекција a → насочена по векторот b → и да добиеме n p b → a → = a → , b → b → . Формулата е еквивалентна на дефиницијата дадена на почетокот на параграфот.

Дефиниција 3

Нумеричката проекција на векторот a → на оска што се совпаѓа во насока со b → е односот на скаларниот производ на векторите a → и b → до должината b → . Формулата n p b → a → = a → , b → b → е применлива за да се најде нумеричката проекција на a → на права што се совпаѓа во насока со b → , со познати a → и b → координати.

Пример 3

Дадено b → = (- 3 , 4) . Најдете ја нумеричката проекција a → = (1, 7) на L.

Решение

На координатната рамнина n p b → a → = a → , b → b → има форма n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , со a → = (a x , a y ) и b → = b x, b y. За да ја пронајдете нумеричката проекција на векторот a → на оската L, потребно е: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Одговор: 5.

Пример 4

Најдете ја проекцијата на a → на L, што се совпаѓа со насоката b →, каде што има a → = - 2, 3, 1 и b → = (3, - 2, 6). Наведен е тродимензионален простор.

Решение

Со оглед на a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z , го пресметуваме скаларниот производ: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Должината b → се наоѓа со помош на формулата b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Следи дека формулата за определување на бројната проекција a → ќе биде: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Заменете ги нумеричките вредности: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Одговор: - 6 7.

Да ја погледнеме врската помеѓу a → на L и должината на проекцијата a → на L. Да нацртаме оска L, додавајќи → и b → од точка на L, по што цртаме нормална линија од крајот a → до L и нацртаме проекција на L. Постојат 5 варијации на сликата:

Првослучајот со a → = n p b → a → → значи a → = n p b → a → → , па оттука n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Второслучајот подразбира употреба на n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , што значи n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Третослучајот објаснува дека кога n p b → a → → = 0 → добиваме n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , тогаш n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Четвртослучајот покажува n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , следи n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Петтослучајот покажува a → = n p b → a → → , што значи a → = n p b → a → → , оттука имаме n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Дефиниција 4

Нумеричката проекција на векторот a → на оската L, која е насочена на ист начин како b →, ја има следната вредност:

должината на проекцијата на векторот a → на L, под услов аголот помеѓу a → и b → да биде помал од 90 степени или еднаков на 0: n p b → a → = n p b → a → → со условот 0 ≤ (a → , б →) ^< 90 ° ;
нула под услов a → и b → да се нормални: n p b → a → = 0, кога (a → , b → ^) = 90 °;
должината на проекцијата a → на L, помножена со -1, кога има тап или правилен агол на векторите a → и b →: n p b → a → = - n p b → a → → со услов од 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Пример 5

Со оглед на должината на проекцијата a → на L, еднаква на 2. Најдете ја бројната проекција a → под услов аголот да биде 5 π 6 радијани.

Решение

Од условот е јасно дека овој агол е тап: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Одговор: - 2.

Пример 6

Дадена е рамнина O x y z со векторска должина a → еднаква на 6 3, b → (- 2, 1, 2) со агол од 30 степени. Најдете ги координатите на проекцијата a → на оската L.

Решение

Прво, ја пресметуваме нумеричката проекција на векторот a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

По услов, аголот е остар, тогаш нумеричката проекција a → = должината на проекцијата на векторот a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Овој случај покажува дека векторите n p L a → → и b → се истонасочени, што значи дека има број t за кој е точно еднаквоста: n p L a → → = t · b → . Од тука гледаме дека n p L a → → = t · b → , што значи дека можеме да ја најдеме вредноста на параметарот t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Потоа n p L a → → = 3 · b → со координатите на проекцијата на векторот a → на оската L еднаква на b → = (- 2 , 1 , 2) , каде што е потребно да се помножат вредностите со 3. Имаме n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Одговор: (- 6, 3, 6).

Потребно е да се повторат претходно научените информации за состојбата на колинеарност на векторите.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Прво, да се потсетиме што е тоа координатна оска, проекција на точка на оскаИ координати на точка на оската.

Координатна оска- Ова е права линија на која и се дава некаков правец. Можете да го замислите како вектор со бескрајно голем модул.

Координатна оскаозначено со некоја буква: X, Y, Z, s, t... Обично на оската (произволно) се избира точка која се нарекува почеток и по правило се означува со буквата O. Од оваа точка се мерат растојанија до други точки од интерес за нас.

Проекција на точка на оска- ова е основата на нормалната спуштена од оваа точка до оваа оска (сл. 8). Односно, проекцијата на точка на оската е точка.

Точка координата на оската- ова е број чија апсолутна вредност е еднаква на должината на сегментот на оската (на избраната скала) содржан помеѓу потеклото на оската и проекцијата на точката на оваа оска. Овој број се зема со знак плус ако проекцијата на точката се наоѓа во правец на оската од нејзиното потекло и со знак минус ако е во спротивна насока.

Скаларна проекција на вектор на оска- Ова број, чија апсолутна вредност е еднаква на должината на сегментот на оската (на избраната скала) затворен помеѓу проекциите на почетната точка и крајната точка на векторот. Важно! Обично наместо изразот скаларна проекција на вектор на оскатие едноставно велат - проекција на векторот на оската, односно зборот скаларенспуштена. Векторска проекцијасе означува со истата буква како проектираниот вектор (во нормално, незадебелено пишување), со помал (по правило) индекс на името на оската на која е проектиран овој вектор. На пример, ако вектор е проектиран на оската X А,тогаш неговата проекција се означува со x. При проектирање на истиот вектор на друга оска, да речеме, на оската Y, неговата проекција ќе биде означена со y (сл. 9).

Да се пресмета проекција на векторот на оската(на пример, оската X), потребно е да се одземе координатата на почетната точка од координатата на нејзината крајна точка, т.е.

a x = x k − x n.

Треба да запомниме: скаларната проекција на вектор на оска (или, едноставно, проекцијата на вектор на оска) е број (не вектор)!Освен тоа, проекцијата може да биде позитивна ако вредноста x k е поголема од вредноста x n, негативна ако вредноста x k е помала од вредноста x n и еднаква на нула ако x k е еднаква на x n (сл. 10).

Проекцијата на векторот на оската може да се најде и со познавање на модулот на векторот и аголот што го прави со оваа оска.

Од Слика 11 е јасно дека a x = a Cos α

Односно, проекцијата на векторот на оската е еднаква на производот на модулот на векторот и косинусот на аголот помеѓу насоката на оската и насоката на векторот. Ако аголот е остар, тогаш Cos α > 0 и a x > 0, а ако е тап, тогаш косинусот на тапиот агол е негативен, а проекцијата на векторот на оската исто така ќе биде негативна.

Аглите измерени од оската спротивно од стрелките на часовникот се сметаат за позитивни, а аглите измерени долж оската се негативни. Меѓутоа, бидејќи косинус е парна функција, односно Cos α = Cos (− α), кога се пресметуваат проекциите, аглите може да се бројат и во насока на стрелките на часовникот и спротивно од стрелките на часовникот.

При решавање на проблеми често ќе се користат следните својства на проекциите: ако

А = б + в +…+ г, потоа a x = b x + c x +…+ d x (слично на другите оски),

а= m б, тогаш a x = mb x (слично за другите оски).

Формулата a x = a Cos α ќе биде Честосе јавуваат кога решавате проблеми, па дефинитивно треба да го знаете тоа. Треба да го знаете правилото за одредување на проекцијата напамет!

Запомнете!

За да се најде проекцијата на векторот на оската, модулот на овој вектор мора да се помножи со косинус на аголот помеѓу насоката на оската и насоката на векторот.

Уште еднаш - напамет!

Решавањето на проблемите за рамнотежата на силите што се конвергираат со конструирање полигони со затворена сила вклучува гломазни конструкции. Универзален метод за решавање на вакви проблеми е да се премине кон одредување на проекциите на дадените сили на координатните оски и работење со овие проекции. Оската е права линија на која и е доделена одредена насока.

Проекцијата на векторот на оската е скаларна величина, која се определува со сегментот на оската отсечен од нормалните спуштени на неа од почетокот и крајот на векторот.

Векторската проекција се смета за позитивна ако насоката од почетокот на проекцијата до нејзиниот крај се совпаѓа со позитивната насока на оската. Векторската проекција се смета за негативна ако насоката од почетокот на проекцијата до нејзиниот крај е спротивна на позитивната насока на оската.

Така, проекцијата на силата на координатната оска е еднаква на производот на модулот на сила и косинус на аголот помеѓу векторот на сила и позитивната насока на оската.

Да разгледаме голем број случаи на проектирање сили на оска:

Вектор на сила Ф(сл. 15) прави остар агол со позитивната насока на оската x.

За да ја пронајдеме проекцијата, од почетокот и крајот на векторот на сила ги спуштаме нормалните на оската ох; добиваме

1. Fx = Ф cos α

Проекцијата на векторот во овој случај е позитивна

Сила Ф(сл. 16) е со позитивна насока на оската Xтап агол α.

Потоа Ф x = Ф cos α, но бидејќи α = 180 0 - φ,

Ф x = Ф cos α = Ф cos180 0 - φ =- Ф cos φ.

Проекција на сила Фпо оска охво овој случај тоа е негативно.

Сила Ф(сл. 17) нормално на оската ох.

Проекција на силата F на оската Xеднаква на нула

Ф x = Ф cos 90° = 0.

Сила лоцирана во авионот како(сл. 18), може да се проектира на две координатни оски ОИ ОУ.

Сила Фможе да се подели на компоненти: Ф x и Ф y. Векторски модул Ф x е еднаква на проекцијата на векторот Фпо оска вол, и векторскиот модул Ф y е еднаква на проекцијата на векторот Фпо оска ох.

Од Δ OAV: Ф x = Ф cos α, Ф x = Фгрев α.

Од Δ OAS: Ф x = Ф cos φ, Ф x = Фгрев φ.

Големината на силата може да се најде со помош на Питагоровата теорема:

Проекцијата на векторска сума или резултант на која било оска е еднаква на алгебарскиот збир на проекциите на збировите на векторите на истата оска.

Размислете за силите што се спојуваат Ф 1 , Ф 2 , Ф 3, и Ф 4, (сл. 19, а). Геометрискиот збир или резултатот на овие сили Фопределена со страната на затворање на силниот многуаголник

Да паднеме од темињата на многуаголникот на силата до оската xперпендикулари.

Со оглед на добиените проекции на сили директно од завршената конструкција имаме

Ф= Ф 1x+ Ф 2x+ Ф 3x+ Ф 4x

каде n е бројот на векторски поими. Нивните проекции влегуваат во горната равенка со соодветниот знак.

Во рамнина, геометрискиот збир на сили може да се проектира на две координатни оски, а во просторот, соодветно, на три.

Вовед……………………………………………………………………………………… 3

1. Вредност на векторот и скаларот……………………………………….4

2. Дефиниција на проекција, оска и координата на точка…………………….5

3. Проекција на векторот на оската…………………………………………………………………………………

4. Основна формула на векторска алгебра……………………………..8

5. Пресметка на модулот на векторот од неговите проекции…………………………9

Заклучок………………………………………………………………………………………11

Литература………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Вовед:

Физиката е нераскинливо поврзана со математиката. Математиката и дава на физиката средства и техники за општо и прецизно изразување на односот помеѓу физичките величини кои се откриени како резултат на експеримент или теоретско истражување.На крајот на краиштата, главниот метод на истражување во физиката е експерименталниот. Ова значи дека научникот открива пресметки користејќи мерења. Означува врска помеѓу различни физички величини. Потоа, сè е преведено на јазикот на математиката. Се формира математички модел. Физиката е наука која ги проучува наједноставните и во исто време најопштите закони. Задачата на физиката е да создаде во нашите умови слика на физичкиот свет што најцелосно ги рефлектира неговите својства и обезбедува такви односи помеѓу елементите на моделот што постојат помеѓу елементите.

Значи, физиката создава модел на светот околу нас и ги проучува неговите својства. Но, секој модел е ограничен. При креирањето модели на одредена појава се земаат предвид само својствата и врските кои се суштински за даден опсег на појави. Ова е уметност на научникот - да ја избере главната работа од сета различност.

Физичките модели се математички, но математиката не е нивната основа. Квантитативните односи помеѓу физичките величини се одредуваат како резултат на мерења, набљудувања и експериментални студии и се изразуваат само на јазикот на математиката. Сепак, не постои друг јазик за конструирање физички теории.

1. Значење на вектор и скалар.

Во физиката и математиката, вектор е величина што се карактеризира со нејзината нумеричка вредност и насока. Во физиката, постојат многу важни количини кои се вектори, на пример, сила, позиција, брзина, забрзување, вртежен момент, моментум, јачина на електричното и магнетното поле. Тие можат да се споредат со други количини како што се масата, волуменот, притисокот, температурата и густината, кои можат да се опишат со обичен број и се нарекуваат " скалари".

Тие се напишани или со редовни букви или со бројки (a, b, t, G, 5, −7....). Скаларните количини може да бидат позитивни или негативни. Во исто време, некои предмети за проучување може да имаат такви својства, за чиј целосен опис не е доволно знаење само за нумеричка мерка; исто така, неопходно е да се карактеризираат овие својства по насока во просторот. Ваквите својства се карактеризираат со векторски величини (вектори). Векторите, за разлика од скаларите, се означуваат со задебелени букви: a, b, g, F, C....
Честопати, векторот се означува со буква со редовен (незадебелен) фонт, но со стрелка над него:

Покрај тоа, векторот често се означува со пар букви (обично со големи букви), при што првата буква го означува почетокот на векторот, а втората неговиот крај.

Модулот на векторот, односно должината на насочена права линија, се означува со истите букви како и самиот вектор, но со нормално (не задебелено) пишување и без стрелка над нив, или на ист начин како вектор (т.е. задебелени или правилни, но со стрелки), но тогаш ознаката на векторот е затворена во вертикални цртички.
Вектор е комплексен објект кој истовремено се карактеризира и со големина и со насока.

Исто така, нема позитивни и негативни вектори. Но, векторите можат да бидат еднакви еден на друг. Ова е кога, на пример, a и b имаат исти модули и се насочени во иста насока. Во овој случај, ознаката е вистинита а= б. Исто така, треба да се има предвид дека на векторскиот симбол може да му претходи знак минус, на пример - c, меѓутоа, овој знак симболично покажува дека векторот -c го има истиот модул како векторот c, но е насочен спротивно. насока.

Векторот -c се нарекува спротивен (или инверзен) на векторот c.
Во физиката, секој вектор е исполнет со специфична содржина, а кога се споредуваат вектори од ист тип (на пример, сили), точките на нивната примена исто така можат да бидат значајни.

2. Определување на проекцијата, оската и координатата на точката.

Оска- Ова е права линија на која и се дава некаков правец.
Оска се означува со некоја буква: X, Y, Z, s, t... Обично на оската (произволно) се избира точка, која се нарекува почеток и по правило се означува со буквата О. Од оваа точка се мерат растојанијата до други точки од интерес за нас.

Проекција на точкана оска е основата на нормалната извлечена од оваа точка на дадена оска. Односно, проекцијата на точка на оската е точка.

Точка координатана дадена оска е број чија апсолутна вредност е еднаква на должината на сегментот на оската (на избраната скала) содржан помеѓу почетокот на оската и проекцијата на точката на оваа оска. Овој број се зема со знак плус ако проекцијата на точката се наоѓа во правец на оската од нејзиното потекло и со знак минус ако е во спротивна насока.

3. Проекција на векторот на оската.

Проекцијата на вектор на оска е вектор кој се добива со множење на скаларната проекција на вектор на оваа оска и единечниот вектор на оваа оска. На пример, ако x е скаларна проекција на векторот a на оската X, тогаш x ·i е неговата векторска проекција на оваа оска.

Да ја означиме векторската проекција на ист начин како и самиот вектор, но со индексот на оската на која е проектиран векторот. Така, векторската проекција на векторот a на оската X ја означуваме како x (задебелена буква што го означува векторот и знакот на името на оската) или

(ниско задебелена буква што означува вектор, но со стрелка на врвот (!) и знак за името на оската).

Скаларна проекцијавектор по оска се нарекува број, чија апсолутна вредност е еднаква на должината на сегментот на оската (на избраната скала) затворен помеѓу проекциите на почетната точка и крајната точка на векторот. Обично наместо изразот скаларна проекцијатие едноставно велат - проекција. Проекцијата се означува со истата буква како и проектираниот вектор (во нормално, незадебелено пишување), со помал индекс (по правило) на името на оската на која се проектира овој вектор. На пример, ако вектор е проектиран на оската X А,тогаш неговата проекција се означува со x. При проектирање на истиот вектор на друга оска, ако оската е Y, нејзината проекција ќе биде означена со y.

Да се пресмета проекцијата векторна оската (на пример, оската X), потребно е да се одземе координатата на почетната точка од координатата на нејзината крајна точка, т.е.

a x = x k − x n.

Проекцијата на вектор на оска е бројка.Покрај тоа, проекцијата може да биде позитивна ако вредноста x k е поголема од вредноста x n,

негативен ако вредноста x k е помала од вредноста x n

и еднакво на нула ако x k е еднакво на x n.

Од сликата е јасно дека a x = a Cos α

Односно, проекцијата на векторот на оската е еднаква на производот од модулот на векторот и косинусот на аголот помеѓу насоката на оската и векторска насока. Ако аголот е акутен, тогаш
Cos α > 0 и a x > 0, и ако е тап, тогаш косинусот на тапиот агол е негативен, а проекцијата на векторот на оската исто така ќе биде негативна.

4. Основна формула на векторска алгебра.

Да го проектираме векторот a на оските X и Y на правоаголниот координатен систем. Ајде да ги најдеме векторските проекции на векторот a на овие оски:

a x = a x ·i, и y = a y ·j.

Но во согласност со правилото за векторско собирање

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Така, ние изразивме вектор во однос на неговите проекции и вектори на правоаголниот координатен систем (или во однос на неговите векторски проекции).

Векторските проекции a x и a y се нарекуваат компоненти или компоненти на векторот a. Операцијата што ја извршивме се нарекува разложување на вектор по оските на правоаголен координатен систем.

Ако векторот е даден во просторот, тогаш

a = a x i + a y j + a z k.

Оваа формула се нарекува основна формула на векторска алгебра. Се разбира, може да се напише вака.