Како да испечатите целосен квадрат. Факторинг полиноми. Начин за избор на целосен квадрат. Комбинација на методи. Метод на конверзија на вештачки броител

Способноста да се изврши таква постапка е исклучително неопходна во многу теми од математиката поврзани со квадратен триномсекира 2 + bx + в . Најчести:

1) Цртање параболи y= секира 2 + bx+ в;

2) Решавање многу задачи на квадратниот трином ( квадратни равенкии нееднаквости, проблеми со параметри и сл.);

3) Работа со некои функции кои содржат квадратен трином, како и работа со криви од втор ред (за ученици).

Корисна работа, накратко! Дали се стремите кон А? Тогаш ајде да го совладаме!)

Што значи да се изолира совршениот квадрат на бином во квадратен трином?

Оваа задача значи дека оригиналниот квадратен трином мора да се трансформира во оваа форма:

Број ашто е лево, што е десно - исто. Коефициент x квадрат. Затоа е назначен една буква. Помножено на десната страна со квадратот на заградите. Во самите загради седи самиот бином за кој се дискутира во оваа тема. Збирот на чист X и некој број м. Да, ве молам обрнете внимание, точно чист Х! Тоа е важно.

И еве ги буквите мИ nод десната страна - некои новброеви. Што ќе се случи како резултат на нашите трансформации? Може да испаднат позитивни, негативни, целобројни, фракциони - секакви работи! Ќе се уверите сами во примерите подолу. Овие бројки зависат од шанситеа, бИв. Тие имаат свои посебни општи формули. Доста незгодно, со фракции. Затоа, нема да ги дадам токму овде и сега. Зошто на вашите бистри умови им треба дополнително ѓубре? Да, и не е интересно. Ајде да работиме креативно.)

Што треба да знаете и разберете?

Пред сè, треба да го знаете напамет. Најмалку двајца од нив - квадрат од збиротИ квадратна разлика.

Овие:

Без овие неколку формули, не можете да одите никаде. Не само во оваа лекција, туку и во речиси целата останата математика воопшто. Го добивте советот?)

Но, овде не се доволни само механички меморирани формули. Исто така, треба да се направи компетентно да може да ги примени овие формули. И не толку директно, од лево кон десно, туку обратно, од десно кон лево. Оние. користејќи го оригиналниот квадратен трином, умеете да го дешифрирате квадратот на збирот/разликата. Ова значи дека треба лесно, автоматски, да препознаете еднаквости како:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

Без оваа корисна вештина, исто така е невозможно... Затоа, ако имате проблеми со овие едноставни работи, тогаш затворете ја оваа страница. Премногу е рано за да дојдеш овде.) Прво, оди на линкот погоре. Таа е за вас!

О, колку време сте на оваа тема? Одлично! Потоа прочитајте.)

Значи:

Како да се изолира совршениот квадрат на бином во квадратен трином?

Да почнеме, се разбира, со нешто едноставно.

Ниво 1. Коефициент на x2 е еднакво на 1

Ова е наједноставната ситуација, која бара минимум дополнителни трансформации.

На пример, даден квадратен трином:

X 2 +4x+6

Однадвор, изразот е многу сличен на квадратот на збирот. Знаеме дека квадратот на збирот ги содржи чистите квадрати на првиот и вториот израз ( а 2 И б 2 ), како и двојно зголемување на производот 2 abистите овие изрази.

Па, веќе го имаме квадратот на првиот израз во неговата чиста форма. Ова X 2 . Всушност, токму тоа е едноставноста на примерите на ова ниво. Треба да го добиеме квадратот на вториот израз б 2 . Оние. најдете б. И тоа ќе послужи како поим израз со x до првата моќност, т.е. 4x. После се 4xможе да се претстави во форма двојно повеќе од производот X за двајца. Како ова:

4 x = 2 ́ x 2

Па ако 2 ab=2·x·2И а= x, Тоа б=2 . Можете да напишете:

X 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ x 2+2 2 ….

Значи насСакам да. Но! МатематикаСакам нашите постапки да ја доловат суштината на оригиналниот израз не се промени. Така е изградено. Додадовме двојно повеќе од производот 2 2 , со што се менува оригиналниот израз. Значи, за да не се навреди математиката, ова е најмногу 2 2 треба веднаш земе. Како ова:

…= x 2 +2 ́ ·x·2+ 2 2 -2 2 ….

Речиси сите. Останува само да се додаде 6, во согласност со оригиналниот трином. Шест е сè уште тука! Ние пишуваме:

= X 2 +2 ́ x 2+2 2 - 2 2 +6 = …

Сега првите три термини даваат чиста (или - полн) квадратен бином x+2 . Или (x+2) 2 . Ова е она што се обидуваме да го постигнеме.) Јас дури и нема да бидам мрзлив и да ставам загради:

… = (х 2 +2 ́ x 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…

Заградите не ја менуваат суштината на изразот, но јасно укажуваат што, како и зошто. Останува да се преклопат овие три члена во целосен квадрат според формулата, да се брои преостанатата опашка во бројки -2 2 +6 (ова ќе биде 2) и напишете:

X 2 +4x+6 = (x+2) 2 +2

Сите. Ние распределениквадратни загради (x+2) 2 од оригиналот квадратен трином X 2 +4x+6. Го претвори во сума совршен квадратен бином (x+2) 2 и некој константен број (два). И сега ќе го запишам целиот синџир на нашите трансформации во компактна форма. За јасност.

И тоа е тоа.) Тоа е целата поента на постапката за избор на целосен квадрат.

Патем, колку се еднакви бројките овде? мИ n? Да. Секој од нив е еднаков на два: м=2, n=2 . Така се случи за време на процесот на селекција.

Друг пример:

Изберете го совршениот квадрат на биномот:

X 2 -6x+8

И повторно првиот поглед е на терминот со Х. Го претвораме 6x во двојно поголем производ од x и три. Пред да се удвои има минус. Значи, да истакнеме квадратна разлика. Додаваме (за да добиеме целосен квадрат) и веднаш ги одземаме (за да се компензираме) трите квадрати, т.е. 9. Па, не заборавајте за осумте. Добиваме:

Еве м=-3 И n=-1 . И двете се негативни.

Дали го разбирате принципот? Тогаш е време да го совладате и општ алгоритам. Сè е исто, но преку писма. Значи, имаме квадратен трином x 2 + bx+ в (а=1) . Што правиме:

bx б /2 :

б Со.

Дали е јасно? Првите два примери беа многу едноставни, со цели броеви. За запознавање. Полошо е кога фракциите излегуваат за време на процесот на трансформација. Главната работа тука не е да се плашите! И за да не се плашите, треба да ги знаете сите операции со дропки, да...) Но, ова е ниво од пет нивоа, нели? Ајде да ја комплицираме задачата.

Да речеме дека е даден следниов трином:

X 2 +x+1

Како да се организира квадратот на збирот во овој трином? Нема проблем! Слично. Работиме точка по точка.

1. Го гледаме поимот со X до првата сила ( bx) и претворете го во двојно поголем производ од x одб /2 .

Нашиот термин со Х е едноставно Х. И што? Како да го претвориме осамениот Х во двоен производ? Да, многу едноставно! Директно според упатствата. Како ова:

Број бво оригиналниот трином има еден. Тоа е, б/2 излегува дека е фракционо. Половина. 1/2. Па, во ред. Веќе не е мала.)

2. Додаваме на двојниот производ и веднаш го одземаме квадратот на бројот б/2. Додадете за да го комплетирате квадратот. Го одземаме за компензација. На самиот крај додаваме слободен член Со.

Да продолжиме:

3. Првите три члена се преклопуваат во квадратот на збирот/разликата користејќи ја соодветната формула. Внимателно го пресметуваме преостанатиот израз во бројки.

Првите три члена се одделени со загради. Не мора да го разделите, се разбира. Ова е направено чисто за практичноста и јасноста на нашите трансформации. Сега можете јасно да видите дека целосниот квадрат на збирот е во заградите (x+1/2) 2 . И сè што останува надвор од квадратот на збирот (ако се брои) дава +3/4. Завршна линија:

Одговор:

Еве м=1/2 , А n=3/4 . Дробни броеви. Се случува. Добив таков трином...

Ова е технологијата. Разбрав? Може ли да го преместам на следното ниво?)

Ниво 2. Коефициентот x 2 не е еднаков на 1 - што да правам?

Ова е поопшт случај во споредба со случајот a=1. Обемот на пресметките, се разбира, се зголемува. Вознемирувачки е, да... Но општ тек на одлучувањегенерално останува ист. Кон него е додаден само еден нов чекор. Ова ме прави среќен.)

Засега, да разгледаме безопасен случај, без никакви фракции или други замки. На пример:

2 x 2 -4 x+6

Има минус во средината. Значи, ќе ја вклопиме разликата на квадрат. Но коефициентот x на квадрат е два. Полесно е да се работи само со еден. Со чист Х. Што да се прави? Да ги извадиме овие две од равенката! За да не се меша. Имаме право! Добиваме:

2(x 2 -2 x+3)

Како ова. Сега триномот во загради е веќе со чисти X квадрат! Како што бара алгоритмот на ниво 1. И сега можете да работите со овој нов трином според старата докажана шема. Значи ние дејствуваме. Ајде да го напишеме одделно и да го трансформираме:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2·x· 1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2·x· 1+1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Половина од битката е завршена. Останува само да се вметне добиениот израз во заградите и да се прошири назад. Ќе испадне:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

Подготвени!

Одговор:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

Ајде да го поправиме тоа во нашите глави:

Ако коефициентот x квадрат не е еднаков на еден, тогаш овој коефициент го вадиме од загради. Со триномот што останува во заградите, работиме според вообичаениот алгоритам за а=1. Откако го избравме целосниот квадрат во него, го залепуваме резултатот на своето место и ги отвораме надворешните загради назад.

Што ако коефициентите b и c не се рамномерно деливи со a? Ова е најчестиот и во исто време најлош случај. Тогаш само дропки, да... Ништо не може да се направи. На пример:

3 x 2 +2 x-5

Сè е исто, ги ставаме трите надвор од заградите и добиваме:

За жал, ниту два, ниту пет не се целосно деливи со три, така што коефициентите на новиот (намалениот) трином се фракционо. Па, тоа е во ред. Работиме директно со дропки: двапретворете третини од X во двојнопроизвод од x од едентрето, додадете го квадратот од една третина (т.е. 1/9), одземете го, одземете 5/3...

Во принцип, разбирате!

Одлучете што се случува. Резултатот треба да биде:

И уште едно гребло. Многу студенти храбро се справуваат со позитивни цели, па дури и фракциони коефициенти, но заглавуваат на негативните. На пример:

- x 2 +2 x-3

Што да се прави со минусот претходноx 2 ? Во формулата за квадрат од збир/разлика, потребен е секој плус... Нема прашање! Се исто. Да го извадиме овој минус од равенката. Оние. минус еден. Како ова:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1)·(x 2 -2 x+3)

И тоа е се. И со тројномот во загради - повторно по извитканата патека.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Вкупно, земајќи го предвид минусот:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

Тоа е се. Што? Не знаете како да ставите минус од загради? Па ова е прашање за алгебра за основно седмо одделение, а не за квадратни триноми...

Запомнете: работа со негативен коефициент Аво суштина не се разликува од работата со позитивни. Го вадиме негативното Анадвор од загради, а потоа - според сите правила.

Зошто треба да можете да изберете целосен квадрат?

Првата корисна работа е да цртате параболи брзо и без грешки!

На пример, оваа задача:

Графиконирајте ја функцијата:y=- x 2 +2 x+3

Што ќе правиме? Изградба по поени? Секако дека е можно. Мали чекори по долг пат. Доста глупаво и неинтересно...

Најпрво ве потсетувам дека при конструирањето било којпараболи, секогаш и претставуваме стандарден сет на прашања. Има два од нив. Имено:

1) Каде се насочени гранките на параболата?

2) Во која точка е темето?

Сè е јасно за насоката на гранките веднаш од оригиналниот израз. Гранките ќе бидат насочени надолу, бидејќи коефициентот предx 2 – негативно. Минус еден. Знак минус пред квадратот x Секогашја превртува параболата.

Но, со локацијата на врвот, сè не е толку очигледно. Постои, се разбира, општа формула за пресметување на нејзината апсциса преку коефициентите аИ б.

Оваа:

Но, не сите се сеќаваат на оваа формула, ох, не сите... И 50% од оние што се сеќаваат се сопнуваат од ведро небо и се плеткаат во банална аритметика (обично кога броат игра). Срамота е, нели?)

Сега ќе научите како да ги пронајдете координатите на темето на која било парабола во мојот умза една минута! И X и Y. Со еден удар и без никакви формули. Како? Со избирање на целосен квадрат!

Значи, да го изолираме совршениот квадрат во нашиот израз. Добиваме:

y=-x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Кој е добро упатен во генерални информацииза функциите и добро ја совладале темата“ трансформација на графикони на функции “, лесно ќе разбере дека нашата посакувана парабола се добива од обична парабола y= x 2 користејќи три трансформации. Ова:

1) Промена на насоката на гранките.

Ова е означено со знакот минус пред квадратот на заградите ( a=-1). Беше y= x 2 , постана y=- x 2 .

Конверзија: ѓ ( x ) -> - ѓ ( x ) .

2) Паралелно пренесување на парабола y=- x 2 X за 1 единица надесно.

Така го добиваме средниот график y=-(x-1 ) 2 .

Конверзија: - ѓ ( x ) -> - ѓ ( x + м ) (m=-1).

Зошто поместувањето е десно, а не налево, иако има минус во загради? Ова е теоријата на трансформации на графикони. Ова е посебна тема.

И, конечно,

3) Паралелен трансфер параболи y=-( x -1) 2 за 4 единици нагоре.

Така се добива конечната парабола y= -(x-1) 2 +4 .

Конверзија: - ѓ ( x + м ) -> - ѓ ( x + м )+ n (n=+4)

Сега го гледаме нашиот синџир на трансформации и сфаќаме: каде се движи темето на параболата?y=x 2 ? Беше во точката (0; 0), по првата трансформација темето не се помести никаде (параболата едноставно се преврте), по втората се движеше по X за +1, а по третата - по Y за +4. Севкупно, врвот го погоди самото место (1; 4) . Тоа е целата тајна!

Сликата ќе биде следна:

Всушност, токму поради оваа причина јас толку упорно го фокусирав вашето внимание на бројките мИ n, што произлегува од процесот на изолирање на целосен квадрат. Не можете да погодите зошто? Да. Поентата е дека точката со координати (- м ; n ) - секогаш е теме на параболата y = а ( x + м ) 2 + n . Само погледнете ги броевите во конвертираниот трином и во мојот умГо даваме точниот одговор каде е темето. Практично, нели?)

Цртањето параболи е првата корисна работа. Да преминеме на второто.

Втората корисна работа е решавање на квадратни равенки и неравенки.

Да Да! Изборот на целосен квадрат во многу случаи излегува дека е многу побрзо и поефикаснотрадиционални методи за решавање на вакви задачи. Дали имате сомнежи? Ве молам! Еве една задача за вас:

Решете ја нееднаквоста:

x 2 +4 x+5 > 0

Научен? Да! Тоа е класично квадратна нееднаквост . Сите такви неравенки се решаваат со помош на стандарден алгоритам. За ова ни треба:

1) Направете равенка на стандардна форма од неравенката и решете ја, најдете ги корените.

2) Нацртајте ја оската X и означете ги корените на равенката со точки.

3) Шематски прикажете ја параболата користејќи го оригиналниот израз.

4) Идентификувајте ги +/- областите на сликата. Изберете ги бараните области врз основа на првобитната нееднаквост и запишете го одговорот.

Всушност, целиот овој процес е досаден, да...) И, згора на тоа, не секогаш ве спасува од грешки во нестандардни ситуации како овој пример. Прво да го пробаме шаблонот?

Значи, ајде да направиме точка еден. Ја правиме равенката од неравенката:

x 2 +4 x+5 = 0

Стандардна квадратна равенка, без трикови. Ајде да одлучиме! Ја пресметуваме дискриминаторот:

Д = б 2 -4 ак = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Тоа е тоа! Но, дискриминаторката е негативна! Равенката нема корени! И нема што да се нацрта на оската... Што да се прави?

Овде некои може да заклучат дека првичната нееднаквост исто така нема решенија. Ова е фатална заблуда, да... Но, со избирање на целосен квадрат, точниот одговор на оваа нееднаквост може да се даде за половина минута! Дали имате сомнежи? Па, можете да го темпирате.

Значи, го избираме совршениот квадрат во нашиот израз. Добиваме:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Оригиналната нееднаквост почна да изгледа вака:

(x+2) 2 +1 > 0

И сега, без да решиме или трансформираме ништо понатаму, едноставно ја вклучуваме елементарната логика и размислуваме: ако на квадратот на некој израз (вредноста е очигледно не-негативни!) додадете уште еден, па кој број ќе го добиеме на крајот?Да! Строго позитивен!

Сега да ја погледнеме нееднаквоста:

(x+2) 2 +1 > 0

Преведување на записот од математички јазикна руски: под кој X е строго позитивенизразот ќе биде строго повеќенула? Не погодивте? Да! За се!

Еве го твојот одговор: x – кој било број.

Сега да се вратиме на алгоритмот. Сепак, разбирањето на суштината и едноставното механичко меморирање се две различни работи.)

Суштината на алгоритмот е во тоа што правиме парабола од левата страна на стандардната нееднаквост и гледаме каде е над оската X, а каде подолу. Оние. Каде позитивни вредностина левата страна, каде што се негативните.

Ако ја направиме нашата лева страна во парабола:

y =x 2 +4 x+5

И да нацртаме графикон за тоа, ќе видиме ситецела парабола поминува над оската X.Сликата ќе изгледа вака:

Параболата е крива, да... Затоа е шематски. Но, во исто време, сè што ни треба е видливо на сликата. Параболата нема точки на пресек со оската X и нема нулта вредности за играта. И негативни вредности, се разбира, ниту. Што е прикажано со засенчување на целата X оска. Патем, овде со причина ги прикажав оската Y и координатите на темето. Споредете ги координатите на темето на параболата (-2; 1) и нашиот трансформиран израз!

y =x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

И како ви се допаѓа? Да! Во нашиот случај м=2 И n=1 . Според тоа, темето на параболата ги има координатите: (- м; n) = (-2; 1) . Сè е логично.)

Друга задача:

Реши ја равенката:

x 2 +4 x+3 = 0

Едноставна квадратна равенка. Можете да го решите на старомоден начин. Тоа е можно преку. Како сакаш. На математиката не и пречи.)

Ајде да ги добиеме корените: x 1 =-3 x 2 =-1

И ако не се сеќаваме на еден или на другиот начин да го направиме тоа? Па, ќе добиеш двојка, на добар начин, но... Така нека биде, ќе те спасам! Ќе покажам како можете да решите некои квадратни равенки користејќи само методи за седмо одделение. Повторно изберете целосен квадрат!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

Сега да го запишеме добиениот израз како... разлика на квадрати!Да, да, има еден во седмо одделение:

а 2 -б 2 = (а-б) (а+б)

Во улогата Азаградите се испакнати(x+2) , и во улогата б- еден. Добиваме:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Го вметнуваме ова проширување во равенката наместо квадратниот трином:

(x+1)(x+3)=0

Останува да сфатиме дека производот на факторите е еднаков на нула тогаш и само тогаш,кога некој од нив е нула. Така, секоја заграда ја изедначуваме (во нашите умови!) на нула.

Добиваме: x 1 =-3 x 2 =-1

Тоа е се. Истите два корени. Таков вешт трик. Во прилог на дискриминатор.)

Патем, за дискриминантната и општата формула за корените на квадратната равенка:

Во мојата лекција, изведувањето на оваа незгодна формула беше испуштена. Како непотребно. Но, ова е местото за него.) Дали сакате да знаете како испаѓа оваа формула? Од каде доаѓа изразот за дискриминатор и зошто точно?б 2 -4ac, а не на друг начин? Сепак, целосното разбирање на суштината на она што се случува е многу покорисно од безумното чкртање на секакви букви и симболи, нели?)

Третата корисна работа е изведувањето на формулата за корените на квадратната равенка.

Еве одиме! Квадратичниот трином го земаме во општа форма секира 2 + bx+ вИ… Ајде да започнеме да избираме целосен квадрат!Да, директно преку писма!Имаше аритметика, сега е алгебра.) Прво, како и обично, ја вадиме буквата анадвор од загради, и поделете ги сите други коефициенти со а:

Како ова. Ова е целосно правна трансформација: А не е еднаква на нула, и можете да поделите со тоа. И со загради повторно работиме според вообичаениот алгоритам: од членот со X го удвојуваме производот, го собираме/одземаме квадратот на вториот број...

Сè е исто, но со букви.) Обидете се сами да го завршите! Здрав!)

По сите трансформации треба да го добиете ова:

И зошто ни е потребно да изградиме такви купишта од безопасен трином - прашувате? Ништо, сега ќе биде интересно! И сега, ја знаеме работата, ајде да ја изедначиме оваа работа на нула:

Решаваме како обична равенка, работиме според сите правила, само со букви. Ајде да ги направиме основите:

1) Поместете ја поголемата дропка надесно.При префрлање го менуваме плус во минус. За да не нацртам минус пред самата дропка, едноставно ќе ги сменам сите знаци во броителот. Лево во броителот имаше4ac-b 2 , а по трансферот ќе стане -( 4ac-b 2 ) , т.е. б 2 -4 ак. Нешто познато, не мислиш? Да! Дискриминатор, тој е најмногу...) Ќе биде вака:

2) Исчистете го квадратот на заградите од коефициентот.Поделете ги двете страни со " А„. Лево, пред заградите е буквата Аисчезнува, а десно оди во именителот на големата дропка, претворајќи ја во 4 а 2 .

Излегува оваа еднаквост:

Не ти успеа? Тогаш темата „“ е за вас. Веднаш одете таму!

Следен чекор извлечете го коренот. Ние сме заинтересирани за X, нели? И X седи под квадрат... Го вадиме според правилата за вадење корени, се разбира. По екстракција ќе го добиете ова:

Лево е квадратот на збирот исчезнуваа она што останува е само оваа сума. Што е тоа што се бара.) Но на десната страна се појавува плус/минус. За нашиот дебел кадар, и покрај неговиот застрашувачки изглед, е само некој број. Дробен број. Шансите зависат а, б, в. Во овој случај, коренот на броителот на оваа дропка не е убаво извлечен; има разлика помеѓу два изрази. И тука е коренот на именителот 4 а 2 Тоа функционира доста добро! Ќе биде лесно 2 а.

Едно „незгодно“ прашање што треба да се постави: дали имав право да го извлечам коренот од изразот 4 а2, дај одговор само 2а?Впрочем, правилото за екстракција квадратен корен обврзува да стави знак за модул, т.е.2|а| !

Размислете зошто го испуштив знакот за модул. Многу помага. Совет: одговорот лежи во знакот плус/минуспред дропка.)

Останаа само ситници. Ние обезбедуваме чист X од левата страна. За да го направите ова, поместете ја малата фракција надесно. Со промена на знакот, биберот е јасен. Дозволете ми да ве потсетам дека знакот во дропка може да се смени секаде и на кој било начин. Сакаме да го промениме пред дропката, сакаме во именителот, сакаме во броителот. Ќе го сменам знакот во броителот. Беше + б, постана – б. Се надевам дека нема забелешки?) По трансферот ќе изгледа вака:

Додаваме две дропки со исти именители и добиваме (конечно!):

Па? Што да кажам? Леле!)

Корисна работа четврта - забелешка за студенти!

И сега непречено да преминеме од училиште на универзитет. Нема да верувате, но неопходно е да се изолира целосен квадрат во вишата математика!

На пример, оваа задача:

Најдете го неопределен интеграл:

Каде да се започне? Директната апликација не функционира. Само изборот на целосен квадрат заштедува, да...)

Секој што не знае како да избере целосен квадрат засекогаш ќе остане заглавен на овој едноставен пример. А кој знае како, доделува и добива:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

И сега интегралот (за познавачите) се зема со едната лева рака!

Одлично, нели? И ова не се само интеграли! Веќе молчам за аналитичката геометрија, со нејзината криви од втор ред – елипса, хипербола, парабола и круг.

На пример:

Одреди го типот на кривата, дадена со равенката:

x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0

Без можност да се изолира целосен квадрат, задачата не може да се реши, да... Но, примерот не може да биде поедноставен! За оние што знаат, се разбира.

Ги групираме термините со X и Y во групи и избираме целосни квадрати за секоја променлива. Ќе испадне:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16

(x 2 -6x+9)-9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2

Па како е тоа? Дали откривте за какво животно се работи?) Па, секако! Круг со радиус три со центар во точката (3; 4).

И тоа е тоа.) Корисна работа е да изберете целосен квадрат!)

Како што веќе забележав, во интегралното сметање не постои погодна формула за интегрирање на дропка. И затоа, постои тажен тренд: колку е пософистицирана фракцијата, толку е потешко да се најде нејзиниот интеграл. Во овој поглед, треба да прибегнете кон разни трикови, за кои сега ќе ви кажам. Подготвените читатели можат веднаш да ги искористат предностите содржина:

Начин на подигнување на диференцијалниот знак за едноставни дропки

Метод на конверзија на вештачки броител

Пример 1

Патем, разгледуваниот интеграл може да се реши и со промена на методот на променлива, означувајќи , но пишувањето на решението ќе биде многу подолго.

Пример 2

Најдете неопределен интеграл. Направете проверка.

Ова е пример за независна одлука. Треба да се напомене дека методот за замена на променливата повеќе нема да работи овде.

Внимание, важно! Примерите бр. 1, 2 се типични и се појавуваат често. Особено, таквите интеграли често се појавуваат при решавање на други интеграли, особено при интегрирање на ирационални функции (корени).

Разгледуваната техника исто така функционира во случајот ако највисокиот степен на броителот е поголем од највисокиот степен на именителот.

Пример 3

Најдете го неопределен интеграл. Направете проверка.

Почнуваме да го избираме броителот.

Алгоритмот за избор на броител е нешто вака:

1) Во броителот треба да организирам, но таму. Што да се прави? Го ставам во загради и множам со: .

2) Сега се обидувам да ги отворам овие загради, што се случува? . Хм... тоа е подобро, но првично нема два во броителот. Што да се прави? Треба да се помножите со:

3) Повторно ги отворам заградите: . И еве го првиот успех! Испадна точно! Но, проблемот е што се појави дополнителен термин. Што да се прави? За да не се промени изразот, морам да го додадам истото во мојата конструкција:
. Животот стана полесен. Дали е можно повторно да се организира во броителот?

4) Можно е. Да пробаме: . Отворете ги заградите од вториот термин:
. Извинете, но во претходниот чекор всушност имав, не. Што да се прави? Треба да го помножите вториот член со:

5) Повторно, за да проверам, ги отворам заградите во вториот термин:
. Сега е нормално: добиено од конечната конструкција на точка 3! Но, повторно има мало „но“, се појави дополнителен термин, што значи дека морам да додадам на мојот израз:

Ако сè е направено правилно, тогаш кога ќе ги отвориме сите загради треба да го добиеме оригиналниот броител на интеграндот. Проверуваме:
Аспиратор.

Така:

Подготвени. Во последниот член, го користев методот на подведување на функција под диференцијал.

Ако го најдеме изводот на одговорот и го намалиме изразот на заеднички именител, тогаш ќе ја добиеме токму оригиналната интегранд функција. Разгледаниот метод на распаѓање во збир не е ништо повеќе од обратна акција на доведување израз до заеднички именител.

Алгоритмот за избор на броител во вакви примери најдобро се прави во нацрт-форма. Со некои вештини ќе функционира ментално. Се сеќавам на еден рекорден случај кога изведував избор за 11-та сила, а проширувањето на броителот зафаќаше речиси два реда од Верд.

Пример 4

Најдете го неопределен интеграл. Направете проверка.

Ова е пример за да го решите сами.

Начин на подигнување на диференцијалниот знак за едноставни дропки

Ајде да продолжиме да го разгледуваме следниот тип на дропки.
, , , (коефициенти и не се еднакви на нула).

Всушност, во лекцијата веќе се споменати неколку случаи со арксин и арктангенс Метод на промена на променливата во неопределен интеграл. Ваквите примери се решаваат со подведување на функцијата под диференцијален знак и дополнително интегрирање со помош на табела. Еве потипични примери со долги и висок логаритам:

Пример 5

Пример 6

Овде препорачливо е да земете табела со интеграли и да видите кои формули и Какосе случува трансформација. Забелешка, како и зоштоПлоштадите во овие примери се истакнати. Конкретно, во Пример 6 прво треба да го претставиме именителот во форма , потоа доведете го под диференцијалниот знак. И сето ова треба да се направи за да се користи стандардната табеларна формула .

Зошто погледнете, обидете се сами да ги решите примерите бр. 7, 8, особено што се прилично кратки:

Пример 7

Пример 8

Најдете го неопределен интеграл:

Ако и вие успеете да ги проверите овие примери, тогаш голема почит - вашите вештини за диференцијација се одлични.

Метод на избор на целосен квадрат

Интеграли на формата (коефициентите и не се еднакви на нула) се решаваат метод на целосна квадратна екстракција, кој веќе се појави во лекцијата Геометриски трансформации на графикони.

Всушност, таквите интеграли се сведуваат на еден од четирите табеларни интеграли што штотуку ги разгледавме. И ова се постигнува со користење на познати скратени формули за множење:

Формулите се применуваат токму во оваа насока, односно идејата на методот е вештачки да се организираат изразите или во именителот, а потоа соодветно да се претворат во било кој.

Пример 9

Најдете го неопределениот интеграл

Ова наједноставен пример, во која со поимот – единичен коефициент(а не некој број или минус).

Да го погледнеме именителот, овде целата работа јасно се сведува на случајност. Да почнеме да го конвертираме именителот:

Очигледно, треба да додадете 4. И, за да не се промени изразот, одземете ги истите четири:

Сега можете да ја примените формулата:

Откако ќе заврши конверзијата СЕКОГАШПрепорачливо е да се изврши обратно движење: сè е во ред, нема грешки.

Конечниот дизајн на примерот за кој станува збор треба да изгледа вака:

Подготвени. Сумирајќи го „бесплатно“ комплексна функцијапод диференцијалниот знак: , во принцип, може да се занемари

Пример 10

Најдете го неопределен интеграл:

Ова е пример за да го решите сами, одговорот е на крајот од лекцијата

Пример 11

Најдете го неопределен интеграл:

Што да направите кога има минус напред? Во овој случај, треба да го извадиме минусот од загради и да ги подредиме термините по редоследот што ни треба: . Постојана(„два“ во овој случај) не допирајте!

Сега додаваме една во заграда. Анализирајќи го изразот, доаѓаме до заклучок дека треба да додадеме еден надвор од заградите:

Овде ја добиваме формулата, аплицирајте:

СЕКОГАШГо проверуваме нацртот:
, што требаше да се провери.

Чистиот пример изгледа вака:

Ја отежнува задачата

Пример 12

Најдете го неопределен интеграл:

Овде терминот повеќе не е единичен коефициент, туку „пет“.

(1) Ако има константа at, тогаш веднаш ја вадиме од загради.

(2) Општо земено, секогаш е подобро оваа константа да се движи надвор од интегралот за да не се попречи.

(3) Очигледно, сè ќе се сведе на формулата. Треба да го разбереме терминот, имено, да ги добиеме „двата“

(4) Да,. Тоа значи дека додаваме на изразот и ја одземаме истата дропка.

(5) Сега изберете целосен квадрат. Во општ случај, треба да пресметаме и , но тука ја имаме формулата за долг логаритам , и нема смисла да се изврши дејството, зошто ќе стане јасно подолу.

(6) Всушност, можеме да ја примениме формулата , само наместо „X“ имаме , што не ја негира валидноста на интегралот на табелата. Строго кажано, еден чекор беше пропуштен - пред интеграцијата, функцијата требаше да се подведе под диференцијалниот знак: , но, како што повеќепати забележав, ова често се занемарува.

(7) Во одговорот под коренот, препорачливо е да ги проширите сите загради назад:

Тешко? Ова не е најтешкиот дел од интегралната пресметка. Иако, примерите што се разгледуваат не се толку сложени колку што бараат добри компјутерски техники.

Пример 13

Најдете го неопределен интеграл:

Ова е пример за да го решите сами. Одговорот е на крајот од лекцијата.

Има интеграли со корени во именителот, кои со помош на замена се сведуваат на интеграли од разгледуваниот тип; за нив можете да прочитате во статијата Сложени интеграли, но наменета е за многу подготвени студенти.

Поднесување на броителот под диференцијалниот знак

Ова е последниот дел од лекцијата, но интегралите од овој тип се доста чести! Ако сте уморни, можеби е подобро да читате утре? ;)

Интегралите што ќе ги разгледаме се слични на интегралите од претходниот став, имаат форма: или (коефициенти , и не се еднакви на нула).

Тоа е, во нашиот броител имаме линеарна функција. Како да се решат ваквите интеграли?

Дефиниција

Изразите на формата 2 x 2 + 3 x + 5 се нарекуваат квадратни триноми. Општо земено, квадратен трином е израз на формата a x 2 + b x + c, каде што a, b, c a, b, c се произволни броеви, а a ≠ 0.

Размислете за квадратниот трином x 2 - 4 x + 5. Ајде да го напишеме во оваа форма: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Ајде да додадеме 2 2 на овој израз и да одземеме 2 2, добиваме: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Забележете дека x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, па x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Трансформацијата што ја направивме се вика „Изолирање на совршен квадрат од квадратен трином“.

Одреди го совршениот квадрат од квадратниот трином 9 x 2 + 3 x + 1.

Забележете дека 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Потоа `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Додадете и одземете `(1/2)^2` на добиениот израз, добиваме

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Ќе покажеме како методот на изолирање на совршен квадрат од квадратен трином се користи за да се факторизира квадратен трином.

Факторирајте го квадратниот трином 4 x 2 - 12 x + 5.

Го избираме совршениот квадрат од квадратниот трином: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Сега ја применуваме формулата a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , добиваме: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x-1).

Факторирајте го квадратниот трином - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Сега забележуваме дека 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Го додаваме терминот 2 2 на изразот 9 x 2 - 12 x, добиваме:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Ја применуваме формулата за разликата на квадратите, имаме:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Факторирајте го квадратниот трином 3 x 2 - 14 x - 5 .

Не можеме да го претставиме изразот 3 x 2 како квадрат на некој израз, бидејќи тоа сè уште не сме го проучувале во училиште. Низ ова ќе поминете подоцна, а во Задача бр. 4 ќе учиме квадратни корени. Ајде да покажеме како можете да факторизирате даден квадратен трином:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Ќе ви покажеме како да го користите методот на совршен квадрат за да ја пронајдете најголемата или најмалата вредност на квадратен трином.
Размислете за квадратниот трином x 2 - x + 3. Изберете целосен квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Забележете дека кога `x=1/2` вредноста на квадратниот трином е `11/4`, а кога `x!=1/2` се додава позитивен број на вредноста на `11/4`, така што ние добие број поголем од `11/ 4`. Така, најмала вредностквадратниот трином е `11/4` и се добива кога `x=1/2`.

Најдете ја најголемата вредност на квадратниот трином - 16 2 + 8 x + 6.

Избираме совршен квадрат од квадратен трином: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Кога `x=1/4` вредноста на квадратниот трином е 7, а кога `x!=1/4` од бројот 7 се одзема позитивен број, односно добиваме број помал од 7. Значи бројот 7 е највисока вредностквадратен трином, а се добива кога `x=1/4`.

Факторирајте ги броителот и именителот на дропката `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` и намалете ја дропката.

Забележете дека именителот на дропката x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Да го факторизираме броителот на дропката користејќи го методот на изолирање на целосен квадрат од квадратен трином. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Оваа дропка се сведе на формата `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` по намалувањето за (x - 3) добиваме `(x+5)/(x-3 )`.

Факторирајте го полиномот x 4 - 13 x 2 + 36.

Дозволете ни да го примениме методот на изолирање на целосен квадрат на овој полином. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Во оваа лекција, ќе се потсетиме на сите претходно проучени методи за факторинг на полином и ќе разгледаме примери за нивната примена, покрај тоа, ќе проучуваме нов метод- метод на идентификување на целосен квадрат и научете како да го примените во решавање на разни проблеми.

Тема:Факторинг полиноми

Лекција:Факторинг полиноми. Начин за избор на целосен квадрат. Комбинација на методи

Да се потсетиме на основните методи за факторинг на полином што беа проучувани претходно:

Начин на ставање заеднички фактор надвор од загради, односно фактор кој е присутен во сите членови на полиномот. Ајде да погледнеме на пример:

Потсетете се дека мономот е производ на моќи и броеви. Во нашиот пример, двата поима имаат некои заеднички, идентични елементи.

Значи, да го извадиме заедничкиот фактор од загради:

;

Да ве потсетиме дека со множење на извадениот фактор со заграда, можете да ја проверите исправноста на извадениот фактор.

Метод на групирање. Не е секогаш можно да се извлече заеднички фактор во полином. Во овој случај, треба да ги поделите нејзините членови во групи на тој начин што во секоја група можете да извадите заеднички фактор и да се обидете да го разложите така што откако ќе ги извадите факторите во групите, да се појави заеднички фактор во целиот израз, и можете да продолжите со распаѓањето. Ајде да погледнеме на пример:

Да го групираме првиот член со четвртиот, вториот со петтиот и третиот со шестиот:

Ајде да ги извадиме заедничките фактори во групите:

Изразот сега има заеднички фактор. Ајде да го извадиме:

Примена на скратени формули за множење. Ајде да погледнеме на пример:

;

Да го напишеме изразот детално:

Очигледно, пред нас ја имаме формулата за квадратна разлика, бидејќи таа е збир на квадратите на два изрази и од неа се одзема нивниот двоен производ. Ајде да ја користиме формулата:

Денес ќе научиме уште еден метод - методот на избор на целосен квадрат. Се заснова на формулите на квадратот на збирот и квадратот на разликата. Да ги потсетиме:

Формула за квадрат на збирот (разлика);

Особеноста на овие формули е што ги содржат квадратите на два изрази и нивниот двоен производ. Ајде да погледнеме на пример:

Ајде да го запишеме изразот:

Значи, првиот израз е , а вториот е .

За да се создаде формула за квадрат од збир или разлика, не е доволен двапати производ од изразите. Треба да се додаде и одземе:

Да го пополниме квадратот на збирот:

Ајде да го трансформираме добиениот израз:

Да ја примениме формулата за разликата на квадратите, да потсетиме дека разликата на квадратите на два израза е производ од и збирот на нивната разлика:

Значи, овој методсе состои, пред сè, во фактот дека е неопходно да се идентификуваат изразите a и b што се на квадрат, односно да се одреди кои квадрати на изразите се наоѓаат во во овој пример. По ова, треба да проверите дали има двоен производ и ако го нема, потоа додадете го и одземете го, тоа нема да го промени значењето на примерот, но полиномот може да се факторизира со помош на формулите за квадратот на збирот или разликата и разликата на квадратите, ако е можно.

Ајде да продолжиме со решавање на примери.

Пример 1 - факторизирајте:

Ајде да најдеме изрази кои се на квадрат:

Ајде да запишеме каков треба да биде нивниот двоен производ:

Ајде да го додадеме и одземе двојно производот:

Да го пополниме квадратот на збирот и да дадеме слични:

Ајде да го напишеме користејќи ја формулата за разлика на квадрати:

Пример 2 - реши ја равенката:

;