Со таа разлика што наместо „рамни“ графикони, ќе ги разгледаме најчестите просторни површини, а исто така ќе научиме како компетентно да ги градиме рачно. Поминав прилично долго време избирајќи софтверски алатки за креирање тридимензионални цртежи и најдов неколку добри апликации, но и покрај сета леснотија на користење, овие програми не ги решаваат важните практично прашање. Факт е дека во догледна историска иднина, учениците сè уште ќе бидат вооружени со линијар и молив, па дури и со висококвалитетен „машински“ цртеж, многумина нема да можат правилно да го пренесат на карирана хартија. Затоа во прирачникот посебно внимание се посветува на техниката на рачна изработка, а значаен дел од илустрациите на страниците е рачно изработен производ.
Што е различно за ова референтен материјалод аналози?
Имајќи пристојно практично искуство, многу добро знам со кои површини најчесто треба да се справуваме во реалните проблеми од вишата математика и се надевам дека овој напис ќе ви помогне брзо да го надополните вашиот багаж со соодветно знаење и применети вештини, кои изнесуваат 90 -95% треба да има доволно случаи.
Што треба да знаете овој момент?
Најосновните:
Прво, треба да бидете во можност изгради правилнопросторен Декартов координатен систем (видете го почетокот на статијата Графикони и својства на функциите) .
Што ќе добиете откако ќе ја прочитате оваа статија?
Шише Откако ќе ги совладате материјалите за лекцијата, ќе научите брзо да го одредувате типот на површината според неговата функција и/или равенка, да замислите како се наоѓа во просторот и, се разбира, да правите цртежи. Во ред е ако не ви е сè во главата по првото читање - секогаш можете да се вратите на кој било пасус подоцна по потреба.
Информациите се во моќ на секого - за да ги совладате не ви треба никакво супер знаење, посебен уметнички талент или просторна визија.
Започнете!
Во пракса, обично се дава просторната површина функција на две променливиили равенка на формата (константата на десната страна најчесто е еднаква на нула или еден). Првата ознака е потипична за математичка анализа, втората - за аналитичка геометрија. Равенката е во суштина имплицитно даденафункција од 2 променливи, која во типични случаи лесно може да се сведе на формата . Ве потсетувам наједноставен примерв:
–рамнина равенкаљубезен .
– функција на авион во експлицитно .
Да почнеме со тоа:
Заеднички равенки на рамнините
Типичните опции за распоред на авиони во правоаголен координатен систем се детално разгледани на самиот почеток на статијата. Равенка на рамнина. Сепак, уште еднаш да се задржиме на равенките кои се од големо значење за практиката.
Пред сè, мора целосно автоматски да ги препознаете равенките на рамнините кои се паралелни координатни рамнини. Фрагментите од рамнините се стандардно прикажани како правоаголници, кои во последните два случаи изгледаат како паралелограми. Стандардно, можете да изберете какви било димензии (се разбира во разумни граници), но пожелно е точката во која координатната оска ја „пробива“ рамнината да биде центар на симетрија: 
Строго кажано, координатните оски треба да бидат прикажани со точки линии на некои места, но за да се избегне забуна ќе ја занемариме оваа нијанса.
– (лев цртеж)нееднаквоста го одредува полупросторот најоддалечен од нас, со исклучок на самата рамнина;
– (среден цртеж)нееднаквоста го одредува десниот полупростор, вклучувајќи ја рамнината;
– (десен цртеж)двојната нееднаквост дефинира „слој“ лоциран помеѓу рамнините, вклучувајќи ги и двете рамнини.
За самозагревање:
Пример 1
Нацртајте тело ограничено со рамнини
Создадете систем на неравенки што дефинираат дадено тело.
Еден стар познаник треба да излезе од под водството на вашиот молив. кубоид. Не заборавајте дека невидливите рабови и лица мора да се нацртаат со испрекината линија. Завршено цртање на крајот од лекцијата.
Ве молам, НЕ ЗАПОЗНАВАЈТЕзадачи за учење, дури и ако изгледаат премногу едноставни. Во спротивно, може да се случи да го пропуштите еднаш, да го пропуштите двапати, а потоа да потрошите солиден час обидувајќи се да сфатите тродимензионален цртеж во некој вистински пример. Освен тоа, механичка работаќе ви помогне многу поефикасно да го научите материјалот и да ја развиете вашата интелигенција! Тоа не е случајно градинкаИ основно училиштеДецата се оптоварени со цртање, моделирање, комплети за изградба и други задачи за фини моторни вештини на прстите. Извинете за дигресијата, но моите две тетратки за развојна психологија не треба да исчезнат =)
Следната група рамнини условно ќе ја наречеме „директна пропорционалност“ - ова се рамнини што минуваат низ координатните оски:
2) равенката на формата одредува рамнина што минува низ оската;
3) равенката на формата одредува рамнина што минува низ оската.
Иако формалниот знак е очигледен (која променлива недостасува од равенката - рамнината минува низ таа оска), секогаш е корисно да се разбере суштината на настаните што се случуваат:
Пример 2
Конструирај авион
Кој е најдобриот начин за градење? Го предлагам следниов алгоритам:
Прво, да ја преработиме равенката во форма , од која јасно се гледа дека „y“ може да земе било којзначења. Да ја поправиме вредноста, односно да ја разгледаме координатната рамнина. Поставени равенки простор линија, лежејќи во дадена координатна рамнина. Ајде да ја прикажеме оваа линија на цртежот. Правата линија минува низ потеклото на координатите, па за да се конструира доволно е да се најде една точка. Нека . Одвојте точка и повлечете права линија.
Сега се враќаме на равенката на авионот. Бидејќи „Y“ прифаќа било којвредности, тогаш правата линија конструирана во рамнината континуирано се „реплицира“ лево и десно. Токму така е формиран нашиот авион кој минува низ оската. За да го завршиме цртежот, поставуваме две паралелни линии лево и десно од правата линија и го „затвораме“ симболичниот паралелограм со попречни хоризонтални отсечки: 
Бидејќи состојбата не наметнува дополнителни ограничувања, фрагмент од авионот може да се прикаже во малку помали или малку поголеми димензии.
Да го повториме уште еднаш значењето на просторот линеарна нееднаквостНа пример. Како да се одреди полупросторот што го дефинира? Ајде да земеме некоја точка не припаѓаат нарамнина, на пример, точка од полупросторот најблиску до нас и заменете ги нејзините координати во нееднаквоста:
Примено вистинска нееднаквост, што значи дека неравенката го одредува долниот (во однос на рамнината) полупростор, додека самата рамнина не е вклучена во решението.
Пример 3
Конструирај авиони
А) ;
б) .
Ова се задачи за самоконструкција; во случај на потешкотии, користете слично размислување. Кратки упатства и цртежи на крајот од лекцијата.
Во пракса, рамнините паралелни на оската се особено чести. Специјалниот случај кога авионот минува низ оската беше само дискутиран во точката „биди“, а сега ќе анализираме повеќе заедничка задача:
Пример 4
Конструирај авион
Решение: променливата „z“ не е експлицитно вклучена во равенката, што значи дека рамнината е паралелна со апликативната оска. Ајде да ја користиме истата техника како во претходните примери.
Дозволете ни да ја преработиме равенката на рамнината во форма 
од кои е јасно дека „зет“ може да земе било којзначења. Ајде да го поправиме и да нацртаме редовна „рамна“ права линија во „мајчин“ рамнина. За да се изгради, погодно е да се земат референтни точки.
Бидејќи „Z“ прифаќа Ситевредности, тогаш конструираната права линија постојано се „множи“ нагоре и надолу, со што се формира саканата рамнина 
. Внимателно цртаме паралелограм со разумна големина: 
Подготвени.
Равенка на рамнина во отсечки
Најважната применета сорта. Ако Ситешансите општа равенка на рамнината не-нула, тогаш може да се претстави во форма 
кој се нарекува равенка на рамнината во отсечки. Очигледно е дека рамнината ги пресекува координатните оски во точките , а големата предност на таквата равенка е леснотијата на конструирање цртеж:
Пример 5
Конструирај авион
Решение: Прво, да создадеме равенка на рамнината во отсечки. Да го фрлиме слободниот член надесно и да ги поделиме двете страни со 12: 
Не, тука нема печатна грешка и сите работи се случуваат во вселената! Ја испитуваме предложената површина користејќи го истиот метод што неодамна беше користен за авиони. Ајде да ја преработиме равенката во форма 
, од што произлегува дека „зет“ зема било којзначења. Дозволете ни да поправиме и конструираме елипса во рамнината. Бидејќи „зет“ прифаќа Ситевредности, тогаш конструираната елипса континуирано се „реплицира“ нагоре и надолу. Лесно е да се разбере дека површината бесконечна:
Оваа површина се нарекува елипсовиден цилиндар. Елипса (на која било висина) се нарекува водичцилиндар и се нарекуваат паралелни линии што минуваат низ секоја точка на елипсата формирањецилиндар (кои буквално го формираат). Оската е оска на симетријаповршина (но не и дел од неа!).
Координатите на која било точка што припаѓа на дадена површина нужно ја задоволуваат равенката 
.
Простореннееднаквоста ја дефинира „внатрешноста“ на бесконечната „цевка“, вклучително и самата цилиндрична површина и, соодветно, спротивната нееднаквост го дефинира множеството точки надвор од цилиндерот.
ВО практични проблеминајпопуларни посебен случај, Кога водичцилиндарот е круг:
Пример 8
Конструирај ја површината дадена со равенката
Невозможно е да се прикаже бескрајна „цевка“, така што уметноста обично е ограничена на „кастрење“.
Прво, погодно е да се изгради круг со радиус во рамнината, а потоа уште неколку кругови над и долу. Резултирачките кругови ( водичицилиндар) внимателно поврзете се со четири паралелни прави линии ( формирањецилиндар): 
Не заборавајте да користите точки со точки за линии кои се невидливи за нас.
Координатите на која било точка што припаѓа на даден цилиндар ја задоволуваат равенката 
. Координатите на која било точка што се наоѓа строго во „цевката“ ја задоволуваат нееднаквоста 
, и нееднаквоста 
дефинира збир на точки на надворешниот дел. За подобро разбирање, препорачувам да разгледате неколку специфични точки во просторот и да видите сами.
Пример 9
Конструирајте површина и пронајдете ја нејзината проекција на рамнината
Ајде да ја преработиме равенката во форма 
од што произлегува дека „x“ зема било којзначења. Дозволете ни да поправиме и отсликаме во авионот круг– со центар на почеток, единица радиус. Бидејќи „x“ континуирано прифаќа Ситевредности, тогаш конструираниот круг генерира кружен цилиндар со оска на симетрија. Нацртајте друг круг ( водичцилиндар) и внимателно поврзете ги со прави линии ( формирањецилиндар). На некои места имаше преклопувања, но што да се прави, таков наклон: 
Овој пат се ограничив на парче цилиндар во јазот и тоа не е случајно. Во пракса, често е неопходно да се прикаже само мал фрагмент од површината.
Овде, патем, има 6 генератори - две дополнителни прави линии ја „покриваат“ површината од горниот лев и долниот десен агол.
Сега да ја погледнеме проекцијата на цилиндар на рамнина. Многу читатели разбираат што е проекција, но, сепак, да спроведеме уште пет минути физичка вежба. Ве молиме застанете и наведнете ја главата над цртежот така што точката на оската е нормално на вашето чело. Она што изгледа дека е цилиндарот од овој агол е неговата проекција на рамнина. Но, се чини дека е бескрајна лента, затворена помеѓу прави линии, вклучувајќи ги и самите прави линии. Оваа проекција е токму доменфункции (горниот „олук“ на цилиндерот), (долниот „олук“).
Патем, да ја разјасниме ситуацијата со проекции на други координатни рамнини. Нека сончевите зраци светат на цилиндерот од врвот и долж оската. Сенката (проекцијата) на цилиндарот на рамнина е слична бесконечна лента - дел од рамнината ограничен со прави линии (- кои било), вклучувајќи ги и самите прави линии.
Но, проекцијата на авионот е нешто поинаква. Ако го погледнете цилиндерот од врвот на оската, тогаш тој ќе биде проектиран во круг со единечен радиус 
, со што ја започнавме изградбата.
Пример 10
Конструирајте површина и пронајдете ги нејзините проекции на координатните рамнини
Ова е задача за независна одлука. Ако состојбата не е многу јасна, исфрлете ги двете страни и анализирајте го резултатот; дознајте кој дел од цилиндерот е одреден со функцијата. Користете ја градежната техника која постојано се користи погоре. Кратко решение, цртеж и коментари на крајот од часот.
Елиптичните и другите цилиндрични површини може да се поместат во однос на координатните оски, на пример:
(врз основа на познати мотиви на статијата за Линии од втор ред)
– цилиндар со единечен радиус со линија на симетрија што минува низ точка паралелна на оската. Меѓутоа, во пракса, ваквите цилиндри се среќаваат доста ретко и апсолутно е неверојатно да се сретне цилиндрична површина која е „косо“ во однос на координатните оски.
Параболични цилиндри
Како што сугерира името, водичтаков цилиндар е парабола.
Пример 11
Конструирајте површина и пронајдете ги нејзините проекции на координатните рамнини.
Не можев да одолеам на овој пример =)
Решение: Ајде да одиме по претепаната патека. Ајде да ја преработиме равенката во форма, од која произлегува дека „zet“ може да има каква било вредност. Дозволете ни да поправиме и конструираме обична парабола на рамнината, откако претходно ги означивме тривијалните точки за поддршка. Бидејќи „Z“ прифаќа Ситевредности, тогаш конструираната парабола континуирано се „реплицира“ нагоре и надолу до бесконечност. Ја поставуваме истата парабола, да речеме, на висина (во рамнината) и внимателно ги поврзуваме со паралелни прави линии ( формирање на цилиндерот): 
Ве потсетувам корисна техника: ако првично не сте сигурни за квалитетот на цртежот, тогаш подобро е прво да ги нацртате линиите многу тенко со молив. Потоа го оценуваме квалитетот на скицата, ги дознаваме областите каде што површината е скриена од нашите очи и дури потоа вршиме притисок врз иглата.
Проекции.
1) Проекцијата на цилиндар на рамнина е парабола. Треба да се напомене дека во овој случај е невозможно да се зборува домен на дефиниција на функција од две променливи– од причина што равенката на цилиндрите не е сведена на функционална форма.
2) Проекцијата на цилиндар на рамнина е полурамнина, вклучувајќи ја и оската
3) И конечно, проекцијата на цилиндерот на рамнината е целата рамнина.
Пример 12
Конструирај параболични цилиндри:
а) ограничете се на фрагмент од површината во речиси полупросторот;
б) во интервалот
Во случај на потешкотии, не брзаме и не размислуваме по аналогија со претходните примери, за среќа, технологијата е темелно развиена. Не е критично ако површините испаднат малку несмасни - важно е правилно да се прикаже основната слика. Јас самиот навистина не се мачам со убавината на линиите; ако добијам прооден цртеж со оценка Ц, обично не го повторувам. Патем, решението на примерокот користи друга техника за подобрување на квалитетот на цртежот ;-)
Хиперболични цилиндри
Водичитаквите цилиндри се хиперболи. Овој тип на површина, според моите набљудувања, е многу поретки од претходните типови, па затоа ќе се ограничам на еден шематски цртеж на хиперболичен цилиндар: 
Принципот на расудување овде е сосема ист - вообичаен училишна хиперболаод рамнината непрекинато се „множи“ нагоре и надолу до бесконечност.
Разгледаните цилиндри припаѓаат на т.н Површини од втор ред, а сега ќе продолжиме да се запознаваме со другите претставници на оваа група:
Елипсоид. Сфера и топка
Канонската равенка на елипсоид во правоаголен координатен систем има форма 
, каде се позитивните броеви ( осовинитеелипсоид), кој во општ случај различни. Елипсоид се нарекува површина, така тело, ограничен со дадена површина. Телото, како што многумина претпоставуваат, е определено со нееднаквост 
а координатите на која било внатрешна точка (како и секоја површинска точка) нужно ја задоволуваат оваа нееднаквост. Дизајнот е симетричен во однос на координатните оски и координатните рамнини: 
Потеклото на терминот „елипсоид“ е исто така очигледно: ако површината е „отсечена“ со координатни рамнини, тогаш деловите ќе резултираат со три различни (во општ случај)
Учениците најчесто се среќаваат со површини од втор ред во прва година. На почетокот, проблемите на оваа тема може да изгледаат едноставни, но додека студирате повисока математика и навлегувате подлабоко во научната страна, конечно може да изгубите сметка за тоа што се случува. За да не се случи ова, треба не само да меморирате, туку да разберете како се добива оваа или онаа површина, како промената на коефициентите влијае на неа и нејзината локација во однос на оригиналниот координатен систем и како да пронајдете нов систем(оној во кој неговиот центар се совпаѓа со потеклото на координатите и е паралелен со една од координатните оски). Да почнеме од самиот почеток.
Дефиниција
Површината од втор ред се нарекува GMT, чии координати ја задоволуваат општата равенка од следнава форма:
Јасно е дека секоја точка што припаѓа на површината мора да има три координати во одредена основа. Иако во некои случаи локусот на точките може да се дегенерира, на пример, во рамнина. Ова само значи дека една од координатите е константна и еднаква на нула низ целиот опсег на дозволени вредности.
Целосната пишана форма на горната еднаквост изгледа вака:
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
A nm се некои константи, x, y, z се променливи што одговараат на афините координати на точка. Во овој случај, барем еден од константните фактори не смее да биде еднаков на нула, односно ниту една точка нема да одговара на равенката.
Во огромното мнозинство на примери, многу нумерички фактори сè уште се идентично еднакви на нула, а равенката е значително поедноставена. Во пракса, не е тешко да се утврди дали точката припаѓа на површина (доволно е да се заменат нејзините координати во равенката и да се провери дали идентитетот важи). Клучната точка во таквата работа е да се доведе второто во канонска форма.
Равенката напишана погоре ги дефинира сите (сите наведени подолу) површини од втор ред. Да ги погледнеме примерите подолу.
Видови површини од втор ред
Равенките на површините од втор ред се разликуваат само во вредностите на коефициентите A nm. Од општата форма, за одредени вредности на константите, може да се добијат различни површини, класифицирани како што следува:
- Цилиндри.
- Елипсовиден тип.
- Хиперболичен тип.
- Конусен тип.
- Параболичен тип.
- Авиони.
Секој од наведените типови има природна и имагинарна форма: во имагинарната форма, локусот на реалните точки или се дегенерира во поедноставна фигура или е отсутен.
Цилиндри
Ова е наједноставниот тип, бидејќи релативно сложената крива лежи само во основата, дејствувајќи како водич. Генераторите се прави линии нормални на рамнината во која лежи основата.
Графиконот покажува кружен цилиндар, посебен случај на елипсовиден цилиндар. Во рамнината XY, нејзината проекција ќе биде елипса (во нашиот случај, круг) - водилка, а во XZ - правоаголник - бидејќи генераторите се паралелни со оската Z. За да се добие од општата равенка, тоа е потребно е да се дадат следните вредности на коефициентите:
Наместо вообичаените симболи x, y, z, x со сериски број- нема врска.
Всушност, 1/a 2 и другите константи наведени овде се истите коефициенти наведени во општата равенка, но вообичаено е да се напишат токму во оваа форма - ова е канонската претстава. Во продолжение, овој запис ќе се користи исклучиво.
Ова дефинира хиперболичен цилиндар. Шемата е иста - хиперболата ќе биде водич.
Параболичен цилиндар е дефиниран малку поинаку: неговата канонска форма вклучува коефициент p, наречен параметар. Всушност, коефициентот е q=2p, но вообичаено е да се подели на двата претставени фактори.
Постои уште еден вид цилиндри: имагинарен. Ниту една вистинска точка не припаѓа на таков цилиндар. Опишан е со равенката на елипсовиден цилиндар, но наместо еден има -1.
Елипсовиден тип
Елипсоидот може да се протега по една од оските (по која зависи од вредностите на константите a, b, c наведени погоре; очигледно, поголемата оска ќе одговара на поголем коефициент).
Постои и имагинарен елипсоид - под услов збирот на координатите помножен со коефициентите да биде еднаков на -1:
Хиперболоиди
Кога се појавува минус во една од константите, равенката на елипсоидот се претвора во равенка на хиперболоид со еден лист. Мора да разберете дека овој минус не мора да се наоѓа пред координатата x3! Тоа само одредува која од оските ќе биде оската на ротација на хиперболоидот (или паралелна со него, бидејќи кога се појавуваат дополнителни термини на квадратот (на пример, (x-2) 2), центарот на сликата се поместува, како како резултат на тоа, површината се движи паралелно со координатните оски). Ова се однесува на сите површини од втор ред.
Покрај тоа, треба да разберете дека равенките се претставени во канонска форма и тие можат да се менуваат со менување на константите (додека се одржува знакот!); во исто време, нивниот изглед (хиперболоид, конус и така натаму) ќе остане ист.
Таквата равенка е дадена со хиперболоид со два листа.
Конусна површина
Во равенката на конусот, нема единство - тоа е еднакво на нула.
Само ограничена конусна површина се нарекува конус. Сликата подолу покажува дека, всушност, на табелата ќе има два таканаречени конуси.
Важна забелешка: во сите разгледани канонски равенки, константите стандардно се претпоставуваат дека се позитивни. Во спротивно, знакот може да влијае на конечниот графикон.
Координатните рамнини стануваат рамнини на симетрија на конусот, центарот на симетрија се наоѓа на почетокот.
Во равенката на имагинарен конус има само плусови; поседува една единствена вистинска точка.
Параболоиди
Површините од втор ред во вселената можат да зафатат разни формидури и со слични равенки. На пример, параболоидите доаѓаат во два вида.
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
Елипсовиден параболоид, кога оската Z е нормална на цртежот, ќе биде проектиран во елипса.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z
Хиперболичен параболоид: во пресеците со рамнини паралелни на ZY, ќе се добијат параболи, а во пресеци со рамнини паралелни на XY, хиперболи.
Пресечни рамнини
Има случаи кога површините од втор ред се дегенерираат во рамнината. Овие авиони може да се наредени на различни начини.
Прво, да ги погледнеме рамнините што се вкрстуваат:
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
Со оваа модификација на канонската равенка, едноставно добиваме две рамнини кои се пресекуваат (имагинарни!); сите реални точки се на оската на координатата што ја нема во равенката (во канонската - оската Z).
Паралелни рамнини
Ако има само една координата, површините од втор ред се дегенерираат во пар паралелни рамнини. Не заборавајте, која било друга променлива може да го заземе местото на играчот; тогаш ќе се добијат рамнини паралелни со другите оски.
Во овој случај тие стануваат имагинарни.
Случајни авиони
Со ова едноставна равенкапар авиони се дегенерира во едно - тие се совпаѓаат.
Не заборавајте дека во случај на тридимензионална основа, горната равенка не ја одредува правата y=0! Нему му недостасуваат другите две променливи, но тоа само значи дека нивната вредност е константна и еднаква на нула.
Градба
Една од најтешките задачи за еден ученик е токму изградбата на површини од втор ред. Уште потешко е да се премести од еден во друг координатен систем, земајќи ги предвид аглите на наклонетост на кривата во однос на оските и поместувањето на центарот. Ајде да повториме како доследно да го одредиме идниот изглед на цртежот на аналитички начин.
За да изградите површина од втор ред, треба:
- доведете ја равенката во канонска форма;
- одреди го типот на површината што се проучува;
- изгради врз основа на вредностите на коефициентите.
Подолу се разгледани сите видови:
За да го зајакнеме ова, детално ќе опишеме еден пример за овој тип на задачи.
Примери
Да речеме дека ја имаме равенката:
3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0
Да го доведеме во канонска форма. Ајде да избереме целосни квадрати, односно ќе ги подредиме достапните поими на таков начин што тие се разложување на квадратот на збирот или разликата. На пример: ако (a+1) 2 =a 2 +2a+1, тогаш a 2 +2a+1=(a+1) 2. Ќе извршиме втора операција. Во овој случај, не е неопходно да се отвораат заградите, бидејќи тоа само ќе ги комплицира пресметките, туку ќе го додадете заедничкиот фактор 6 (во загради со совршен квадратигра) ви треба:
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
Променливата zet во овој случај се појавува само еднаш - засега можете да ја оставите на мира.
Ајде да ја анализираме равенката во оваа фаза: сите непознати имаат знак плус пред нив; Со делење со шест се остава еден. Следствено, имаме пред нас равенка која дефинира елипсоид.
Забележете дека 144 беше пресметан во 150-6, а потоа -6 беше поместен надесно. Зошто тоа мораше да се направи на овој начин? Очигледно, најголемиот делител во во овој пример-6, затоа, за да може некој да остане десно откако ќе се подели со него, потребно е да се „одвои“ точно 6 од 144 (фактот дека треба да биде надесно се означува со присуството слободен член- константа не помножена со непозната).
Ајде да поделиме сè со шест и да ја добиеме канонската равенка на елипсоидот:
(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1
Во претходно користената класификација на површини од втор ред, посебен случај се разгледува кога центарот на фигурата е на почетокот на координатите. Во овој пример тоа е офсет.
Претпоставуваме дека секоја заграда со непознати е нова променлива. Тоа е: a=x-1, b=y+5, c=z. Во новите координати, центарот на елипсоидот се совпаѓа со точката (0,0,0), значи, a=b=c=0, од каде: x=1, y=-5, z=0. Во почетните координати, центарот на фигурата лежи во точката (1,-5,0).
Елипсоидот ќе се добие од две елипси: првата во рамнината XY и втората во рамнината XZ (или YZ - не е важно). Коефициентите со кои се делат променливите се квадратирани во канонската равенка. Затоа, во горниот пример би било поправилно да се дели со коренот на два, еден и коренот на три.
Малата оска на првата елипса, паралелна со оската Y, е еднаква на два. Главната оска е паралелна со оската X - два корени од два. Малата оска на втората елипса, паралелна со оската Y, останува иста - таа е еднаква на два. А главната оска, паралелна со оската Z, е еднаква на два корени од три.
Користејќи ги податоците добиени од оригиналната равенка со конвертирање во канонска форма, можеме да нацртаме елипсоид.
Сумирање
Темата опфатена во оваа статија е доста обемна, но всушност, како што сега можете да видите, не е многу комплицирана. Неговиот развој, всушност, завршува во моментот кога ќе ги запаметите имињата и равенките на површините (и, се разбира, како тие изгледаат). Во горниот пример, детално го испитавме секој чекор, но доведувањето на равенката во канонска форма бара минимално познавање на вишата математика и не треба да предизвика никакви тешкотии за ученикот.
Анализата на идниот распоред врз основа на постоечката еднаквост е веќе повеќе од тешка задача. Но, за успешно да се реши, доволно е да се разбере како се конструирани соодветните криви од втор ред - елипсови, параболи и други.
Случаите на дегенерација се уште поедноставен дел. Поради отсуството на некои променливи, не само што се поедноставени пресметките, како што беше споменато претходно, туку и самата конструкција.
Веднаш штом можете самоуверено да ги именувате сите видови површини, да ги менувате константите, да го претворите графикот во една или друга форма, темата ќе биде совладана.
Среќно во вашите студии!
Дефиниција 1.Конусна површина или конус со теме во точката M 0 е површина формирана од сите прави линии, од кои секоја поминува низ точката M 0 и низ одредена точка на правата γ. Точката M 0 се нарекува теме на конусот, правата γ се нарекува водилка. Правите што минуваат низ темето на конусот и лежат на него се нарекуваат генератори на конусот.
Теорема.Површина од втор ред со канонската равенка
е конус со теме на почеток, чие водилка е елипса
Доказ.
Нека M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) е некоја точка на површината α, различна од потеклото; ?=ОM 1 – права линија, M (x; y; z) припаѓа на?. Од | | , тогаш, така што
Бидејќи, тогаш неговите координати се x 1; y 1 ; z 1 ја задоволува равенката (1). Земајќи ги предвид условите (3) имаме, каде t ≠ 0. Делење на двете страни на равенката со t 2 ≠ 0, добиваме дека координатите на произволна точка M (x; y; z) од правата m=ОM 1 ја задоволуваат равенката (1). Се задоволува и со координатите на точката O(0,0,0).
Така, секоја точка M (x; y; z) од правата права m=ОМ 1 лежи на површината α со равенката (1), односно правата ОМ 1 =m е праволиниски генератор на површината α.
Сега да разгледаме дел од површината α со рамнина паралелна на Oxy рамнината со равенката z = c ≠ 0:
Овој дел е елипса со полуоски АИ б. Затоа, ја пресекува оваа елипса. Според дефиницијата 1, површината α е конус со теме ЗА(0,0,0) (Сите линии m минуваат низ потеклото); генераторите на овој конус се прави линии m, водич е гореспоменатата елипса.
Теоремата е докажана.
Дефиниција 2.Површина од втор ред со канонската равенка (1) се нарекува конус од втор ред.
Својства на конус од втор ред.
1ºКонусот со равенката (1) е симетричен во однос на сите координатни рамнини, сите координатни оски и потеклото (бидејќи сите променливи се содржани во равенката (1) до втората моќност).
2ºСите координатни оски имаат еден конус (1) заедничка точка– потеклото на координатите, кое служи како негово теме и центар во исто време
3ºПресек на конус (1) со рамнини OxzИ Oyz– парови прави што се сечат на почетокот; рамнина Окси- точка ЗА(0,0,0).
4ºПресеците на конусот (1) по рамнини паралелни на координатните рамнини, но не се совпаѓаат со нив, се или елипсови или хиперболи.
5ºАко А = б, тогаш овие елипси се кругови, а самиот конус е површина на револуција. Во овој случај се нарекува кружен конус.
Дефиниција 3: конусен пресек е права по која кружен конус се вкрстува со произволна рамнина што не минува низ неговото теме. Така, канонските делови се елипсата, хиперболата и параболата.
Конусна површина е површина формирана од прави линии - генераторите на конусот - минуваат низ дадена точка - темето на конусот - и се сечат дадена линија - водилка на конусот. Нека водилката за конус ги има равенките
а темето на конусот има координати Канонските равенки на генераторите на конусот како прави што минуваат низ точката ) и низ точката на водилката ќе бидат;
Елиминирајќи ги x, y и z од четирите равенки (3) и (4), ја добиваме саканата равенка на конусната површина. Оваа равенка има многу едноставно својство: таа е хомогена (односно, сите нејзини поими се со иста димензија) во однос на разликите. Всушност, прво да претпоставиме дека темето на конусот е на почетокот. Нека X, Y и Z се координатите на која било точка на конусот; затоа ја задоволуваат равенката на конусот. Откако ќе се заменат X, Y и Z во равенката на конусот, соодветно, преку XX, XY, XZ, каде што X е произволен фактор, равенката мора да биде исполнета, бидејќи XX, XY и XZ се координати на точката на линија што минува низ потеклото на координатите до точката, т.е. формира конус. Следствено, равенката на конусот нема да се промени ако ги помножиме сите тековни координати со ист број X. Следи дека оваа равенка мора да биде хомогена во однос на тековните координати.
Ако темето на конусот лежи во точка, ќе го пренесеме потеклото на координатите на темето, а според докажаното, трансформираната равенка на конусот ќе биде хомогена во однос на новите координати, т.е. до
Пример. Напишете равенка за конус со теме на почеток и правец
Канонските равенки на генераторите што минуваат низ темето (0, 0, C) на конусот и точката на водичот ќе бидат:
Да ги елиминираме x, y и од четирите дадени равенки. Заменувајќи го преку c, одредуваме и y од последните две равенки.
Содржината на статијата
КОННИЧКИ СЕКЦИ,рамни криви кои се добиваат со пресекување на права линија кружен конусрамнина што не минува низ нејзиниот врв (сл. 1). Од гледна точка на аналитичката геометрија, конусниот пресек е локус на точки што задоволуваат равенка од втор ред. Со исклучок на дегенерирани случаи кои се разгледуваат во последниот дел, конусните пресеци се елипсови, хиперболи или параболи.
Конусните делови често се наоѓаат во природата и технологијата. На пример, орбитите на планетите кои се вртат околу Сонцето имаат облик на елипса. Круг е посебен случај на елипса во која главната оска е еднаква на малата. Параболичното огледало има својство сите упадни зраци паралелно со неговата оска да се спојуваат во една точка (фокус). Ова се користи во повеќето рефлектирачки телескопи кои користат параболични огледала, како и во радарски антени и специјални микрофони со параболични рефлектори. Зрак од паралелни зраци произлегува од извор на светлина поставен во фокусот на параболичен рефлектор. Затоа параболичните ретровизори се користат во рефлектори со голема моќност и фарови на автомобилот. Хиперболата е график на многу важни физички врски, како што е Бојловиот закон (во врска со притисокот и волуменот на идеален гас) и законот Ом, кој дефинира електрична енергијакако функција на отпорот при постојан напон.
РАНА ИСТОРИЈА
Откривачот на конусните делови наводно се смета за Менехм (IV век п.н.е.), ученик на Платон и учител на Александар Македонски. Менехм користел парабола и рамностран хипербола за да го реши проблемот со удвојување на коцка.
Расправи за конусни делови напишани од Аристеј и Евклид на крајот на IV век. п.н.е., биле изгубени, но материјалите од нив биле вклучени во познати Конусни деловиАполониј од Перга (околу 260–170 п.н.е.), кои преживеале до денес. Аполониј го напуштил барањето секантната рамнина на генератриксот на конусот да биде нормална и, со менување на аголот на нејзиниот наклон, ги добил сите конусни пресеци од еден кружен конус, прави или наклонет. Ние сме должни на Аполон и модерни имињакриви - елипса, парабола и хипербола.
Во своите конструкции, Аполониј користел кружен конус со два листа (како на слика 1), така што за прв пат стана јасно дека хиперболата е крива со две гранки. Од времето на Аполониј, конусните делови се поделени на три вида во зависност од наклонот на рамнината на сечењето кон генератриксот на конусот. Елипса (сл. 1, А) се формира кога рамнината за сечење ги пресекува сите генератори на конусот во точките на една од неговата празнина; парабола (сл. 1, б) – кога рамнината на сечење е паралелна со една од тангентните рамнини на конусот; хипербола (сл. 1, В) – кога рамнината за сечење ги пресекува двете шуплини на конусот.
ИЗГРАДБА НА КОНСКИ ПРЕСЕКИ
Проучувајќи ги конусните пресеци како пресеци на рамнини и конуси, античките грчки математичари ги сметале и за траектории на точки на рамнина. Откриено е дека елипсата може да се дефинира како локус на точки, збирот на растојанијата од кои до две дадени точки е константен; парабола - како локус на точки еднакво оддалечени од дадена точка и дадена права линија; хипербола - како локус на точки, разликата во растојанија од кои до две дадени точки е константна.
Овие дефиниции на конусни пресеци како рамни криви, исто така, сугерираат метод за нивно конструирање со помош на истегната низа.
Елипса.
Ако краевите на конецот дадена должинафиксирани на точки Ф 1 и Ф 2 (слика 2), потоа кривата опишана со точката на молив што се лизга по цврсто испружена нишка има форма на елипса. Поени Ф 1 и Ф 2 се нарекуваат фокуси на елипсата, а сегментите В 1 В 2 и v 1 v 2 помеѓу точките на пресек на елипсата со координатните оски - главната и помалата оска. Ако поени Ф 1 и Ф 2 се совпаѓаат, а потоа елипсата се претвора во круг.
Хипербола.
Кога се конструира хипербола, точката П, точката на моливот, е фиксирана на конец што слободно се лизга по штипки поставени на точките Ф 1 и Ф 2, како што е прикажано на сл. 3, А. Растојанијата се избрани така што сегментот ПФ 2 е подолг од сегментот ПФ 1 за фиксна количина помала од растојанието Ф 1 Ф 2. Во овој случај, едниот крај на конецот поминува под колче Ф 1 и двата краја на конецот поминуваат преку клинчето Ф 2. (Точката на моливот не треба да се лизга по конецот, затоа мора да се прицврсти така што ќе се направи мала јамка на конецот и ќе се провие точката низ неа.) Една гранка на хиперболата ( PV 1 П) цртаме, внимавајќи конецот да остане затегнат цело време, и повлекувајќи ги двата краја на конецот надолу покрај точката Ф 2 и кога точка Пќе биде под сегментот Ф 1 Ф 2, држете го конецот на двата краја и внимателно огребете го (т.е. отпуштете го). Втората гранка на хиперболата ( Пў В 2 Пў ) цртаме, откако претходно ги заменивме улогите на штипките Ф 1 и Ф 2 .
Гранките на хиперболата се приближуваат до две прави линии кои се сечат помеѓу гранките. Овие линии, наречени асимптоти на хиперболата, се конструирани како што е прикажано на сл. 3, б. Аголните коефициенти на овие линии се еднакви на ± ( v 1 v 2)/(В 1 В 2), каде v 1 v 2 – отсечка од симетралата на аголот помеѓу асимптоти, нормална на отсечката Ф 1 Ф 2 ; линиски сегмент v 1 v 2 се нарекува конјугирана оска на хиперболата и сегментот В 1 В 2 – нејзината попречна оска. Така, асимптотите се дијагонали на правоаголник со страни кои минуваат низ четири точки v 1 , v 2 , В 1 , В 2 паралелни со оските. За да го конструирате овој правоаголник, треба да ја наведете локацијата на точките v 1 и v 2. Тие се на исто растојание, еднакви
од точката на вкрстување на оските О. Оваа формула ја претпоставува конструкцијата правоаголен триаголниксо нозе Ов 1 и В 2 Ои хипотенуза Ф 2 О.
Ако асимптотите на хиперболата се меѓусебно нормални, тогаш хиперболата се нарекува рамностран. Две хиперболи кои имаат заеднички асимптоти, но со преуредени попречни и конјугирани оски, се нарекуваат меѓусебно конјугирани.
Парабола.
Фокусите на елипсата и хиперболата му биле познати на Аполониј, но фокусот на параболата очигледно првпат бил воспоставен од Папус (втора половина на 3 век), кој ја дефинирал оваа крива како локус на точки што се подеднакво оддалечени од дадена точка (фокус) и дадена права линија, која се нарекува директор. Изградбата на парабола со истегната нишка, врз основа на дефиницијата за Папус, била предложена од Исидор од Милет (6 век). Поставете го линијарот така што неговиот раб се совпаѓа со дирекцијата LLў (сл. 4) и нанесете ја ногата на овој раб А.Ц.триаголник за цртање ABC. Едниот крај од конецот го прицврстуваме со должина АБна врвот Бтриаголник, а другиот во фокусот на параболата Ф. Користејќи го врвот на моливот за да ја истегнете конецот, притиснете го врвот во променлива точка Пдо слободната нога АБтриаголник за цртање. Додека триаголникот се движи по линијарот, точката Пќе го опише лакот на параболата со фокус Фи директорката LLў , бидејќи вкупната должина на конецот е АБ, парче конец е во непосредна близина на слободната катета на триаголникот, а со тоа и преостанатиот дел од конецот ПФмора да биде еднаков на преостанатиот дел од ногата АБ, т.е. PA. Пресечна точка Впарабола со оска се нарекува теме на параболата, низ која минува линијата ФИ В, – оската на параболата. Ако се повлече права линија низ фокусот, нормална на оската, тогаш сегментот од оваа права линија отсечен од параболата се нарекува фокален параметар. За елипса и хипербола, фокалниот параметар се одредува слично.
СВОЈСТВА НА КОННИЧКИ ПРЕСЕКИ
Дефиниции на Папус.
Воспоставувањето на фокусот на параболата му даде на Папус идејата да даде алтернативна дефиниција на конусните делови воопшто. Нека Ф – поставена точка(фокус) и Л– дадена права линија (директрикс) која не поминува низ Ф, И Д ФИ Д Л– растојание од подвижната точка Пда се фокусираат Фи директорките Лсоодветно. Потоа, како што покажа Папус, конусните делови се дефинирани како локус на точки П, за што релацијата Д Ф/Д Ле ненегативна константа. Овој сооднос се нарекува ексцентричност дконусен пресек. На д e > 1 – хипербола; на д= 1 – парабола. Ако Флежи на Л, тогаш геометриските локуси имаат форма на прави линии (реални или имагинарни), кои се дегенерирани конусни пресеци.
Впечатливата симетрија на елипсата и хиперболата сугерира дека секоја од овие кривини има две директори и две фокуси, а оваа околност го навела Кеплер во 1604 година до идејата дека параболата, исто така, има втор фокус и втора насока - точка во бесконечност и права . На ист начин, кругот може да се смета како елипса, чии фокуси се совпаѓаат со центарот, а дирекциите се на бесконечност. Ексцентричност дво овој случај е еднаква на нула.
Данделен дизајн.
Фокусите и дирекциите на конусниот пресек можат јасно да се покажат со користење на сфери впишани во конус и наречени глуварче сфери (топки) во чест на белгискиот математичар и инженер Ј. Данделин (1794–1847), кој ја предложил следната конструкција. Нека се формира конусен пресек од пресекот на одредена рамнина стрсо прав кружен конус со две шуплини со врв во точка О. Дозволете ни да впишеме две сфери во овој конус С 1 и С 2 кои го допираат авионот стрна точките Ф 1 и Ф 2 соодветно. Ако конусниот пресек е елипса (сл. 5, А), тогаш двете сфери се во иста празнина: едната сфера се наоѓа над рамнината стр, а другиот е под него. Секоја генерација на конусот ги допира двете сфери, а локусот на допирните точки изгледа како два круга В 1 и В 2 лоцирани во паралелни рамнини стр 1 и стр 2. Нека П– произволна точка на конусен пресек. Ајде да нацртаме прави линии ПФ 1 , ПФ 2 и продолжете ја правата линија П.О.. Овие линии се тангентни на сферите во точките Ф 1 , Ф 2 и Р 1 , Р 2. Бидејќи сите тангенти нацртани на сферата од една точка се еднакви, тогаш ПФ 1 = ПР 1 и ПФ 2 = ПР 2. Оттука, ПФ 1 + ПФ 2 = ПР 1 + ПР 2 = Р 1 Р 2. Уште од авионот стр 1 и стр 2 паралелни, отсечка Р 1 Р 2 има постојана должина. Така, вредноста ПР 1 + ПР 2 е иста за сите позиции на поени П, и точка Пприпаѓа на геометрискиот локус на точки за кои збирот на растојанијата од Ппред Ф 1 и Ф 2 е константна. Затоа, точките Ф 1 и Ф 2 – фокуси на елипсовиден пресек. Покрај тоа, може да се покаже дека правите линии по кои рамнината стрвкрстува рамнини стр 1 и стр 2 , се директори на конструираната елипса. Ако стрги вкрстува двете шуплини на конусот (сл. 5, б), потоа две сфери од глуварче лежат на истата страна од рамнината стр, една сфера во секоја празнина на конусот. Во овој случај, разликата помеѓу ПФ 1 и ПФ 2 е константна, а локусот на точките Пима форма на хипербола со фокуси Ф 1 и Ф 2 и прави линии - линии на пресек стрСо стр 1 и стр 2 – како директорки. Ако конусниот пресек е парабола, како што е прикажано на сл. 5, В, тогаш во конусот може да се впише само една сфера од глуварче.
Други својства.
Својствата на конусните пресеци се навистина неисцрпни и секој од нив може да се земе како дефинирачки. Важно место во Математичка средбаПапа (приближно 300), ГеометријаДекарт (1637) и ПочетоциЊутн (1687) бил зафатен со проблемот на геометриската локација на точките во однос на четири прави линии. Ако на рамнина се дадени четири линии Л 1 , Л 2 , Л 3 и Л 4 (од кои две може да бидат исти) и точка Пе таков што производот на растојанијата од Ппред Л 1 и Л 2 е пропорционален на производот на растојанија од Ппред Л 3 и Л 4, потоа локусот на точките Пе конусен пресек. Погрешно верувајќи дека Аполониј и Пап не можеле да го решат проблемот со локусот на точките во однос на четири прави линии, Декарт создал аналитичка геометрија за да добие решение и да го генерализира.
АНАЛИТИЧКИ ПРИСТАП
Алгебарска класификација.
Во алгебарски термини, конусните пресеци може да се дефинираат како рамни криви чии координати во Декартовиот координатен систем задоволуваат равенка од втор степен. Со други зборови, равенката на сите конусни пресеци може да се запише во општ погледКако
каде што не сите коефициенти А, БИ Все еднакви на нула. Користејќи паралелен превод и ротација на оските, равенката (1) може да се сведе на формата
секира 2 + од страна на 2 + в = 0
px 2 + qy = 0.
Првата равенка е добиена од равенката (1) со Б 2 № А.Ц., вториот – кај Б 2 = А.Ц.. Конусните пресеци чии равенки се сведени на првата форма се нарекуваат централни. Конусни пресеци дадени со равенки од вториот тип со qБр. 0 се нарекуваат нецентрални. Во овие две категории има девет разни видовиконусни пресеци во зависност од знаците на коефициентите.
2831) ако шансите а, бИ вимаат ист знак, тогаш нема реални точки чии координати би ја задоволувале равенката. Таквиот конусен пресек се нарекува имагинарна елипса (или имагинарен круг, ако а = б).
2) Ако аИ бго имаат истиот знак и в– спротивно, тогаш конусниот пресек е елипса (сл. 1, А); на а = б– круг (сл. 6, б).
3) Ако аИ бимаат различни знаци, тогаш конусниот пресек е хипербола (сл. 1, В).
4) Ако аИ бимаат различни знаци и в= 0, тогаш конусниот пресек се состои од две линии кои се пресекуваат (сл. 6, А).
5) Ако аИ бимаат ист знак и в= 0, тогаш има само една реална точка на кривата што ја задоволува равенката, а конусниот пресек е две имагинарни линии што се пресекуваат. Во овој случај, ние исто така зборуваме за елипса договорена до точка или, ако а = б, стегнат до точка на кругот (сл. 6, б).
6) Ако било кое а, или бе еднаква на нула, а останатите коефициенти имаат различни знаци, тогаш конусниот пресек се состои од две паралелни прави.
7) Ако било кое а, или бе еднаква на нула, а останатите коефициенти имаат ист знак, тогаш нема ниту една реална точка што ја задоволува равенката. Во овој случај, тие велат дека конусниот пресек се состои од две имагинарни паралелни линии.
8) Ако в= 0, и било кое а, или бе исто така еднаква на нула, тогаш конусниот пресек се состои од две вистински коинцидентни линии. (Равенката не дефинира никаков конусен пресек на а = б= 0, бидејќи во овој случај оригиналната равенка (1) не е од втор степен.)
9) Равенките од вториот тип ги дефинираат параболите ако стрИ qсе разликуваат од нула. Ако стрБр. 0, а q= 0, ја добиваме кривата од чекор 8. Ако стр= 0, тогаш равенката не дефинира никаков конусен пресек, бидејќи првобитната равенка (1) не е од втор степен.
Изведување на равенки на конусни пресеци.
Секој конусен пресек може да се дефинира и како крива по која рамнина пресекува квадратна површина, т.е. со површина дадена со равенка од втор степен ѓ (x, y, z) = 0. Очигледно, конусните пресеци првпат биле препознаени во оваа форма, а нивните имиња ( Види подолу) се поради тоа што се добиени со пресекување на рамнина со конус z 2 = x 2 + y 2. Нека А БЕ ЦЕ ДЕ– основата на прав кружен конус (сл. 7) со прав агол на врвот В. Пушти го авионот FDCја пресекува генератриксот VBво точката Ф, основа – во права линија ЦДа површината на конусот - по кривата DFPC, Каде П– која било точка на кривата. Ајде да нацртаме низ средината на сегментот ЦД– точка Е– директно Е.Ф.и дијаметар АБ. Преку точка Пнацртајте рамнина паралелна со основата на конусот, вкрстувајќи го конусот во круг Р.П.С.и директно Е.Ф.во точката П. Потоа QFИ QPможе да се земе, соодветно, како апсциса xи ординација yпоени П. Резултирачката крива ќе биде парабола.
Конструкцијата прикажана на сл. 7, може да се користи за излез општи равенкиконусни пресеци. Квадратот на должината на нормален сегмент обновен од која било точка на дијаметарот до пресекот со кругот е секогаш еднаков на производот од должините на сегментите со дијаметар. Затоа
y 2 = RQХ QS.
За парабола, сегмент RQима константна должина (бидејќи на која било позиција на точката Птоа е еднакво на сегментот А.Е.), и должината на сегментот QSпропорционален x(од соодносот QS/Е.Б. = QF/Ф.Е.). Го следи тоа
Каде а– константен коефициент. Број аја изразува должината на фокусниот параметар на параболата.
Ако аголот на темето на конусот е остар, тогаш сегментот RQне е еднаков на сегментот А.Е.; но соодносот y 2 = RQХ QSе еквивалентно на равенка на формата
Каде аИ б– константи, или, по поместувањето на оските, на равенката
што е равенка на елипса. Пресечни точки на елипсата со оската x (x = аИ x = –а) и точките на пресек на елипсата со оската y (y = бИ y = –б) дефинирајте ги главните и помалите оски, соодветно. Ако аголот на темето на конусот е тап, тогаш кривата на пресекот на конусот и рамнината има форма на хипербола, а равенката ја добива следната форма:
или, по пренесувањето на оските,
Во овој случај, точките на пресек со оската x, дадена од релацијата x 2 = а 2, определи ја попречната оска и точките на пресек со оската y, дадена од релацијата y 2 = –б 2, определи ја конјугираната оска. Ако е константна аИ бво равенката (4а) се еднакви, тогаш хиперболата се нарекува рамностран. Со ротирање на оските, нејзината равенка се сведува на формата
xy = к.
Сега од равенките (3), (2) и (4) можеме да го разбереме значењето на имињата дадени од Аполониј на трите главни конусни пресеци. Термините „елипса“, „парабола“ и „хипербола“ доаѓаат од грчки зборови, што значи „недостаток“, „еднаков“ и „супериорен“. Од равенките (3), (2) и (4) е јасно дека за елипсата y 2 b 2 / а) x, за парабола y 2 = (а) xи за хипербола y 2 > (2б 2 /а) x. Во секој случај, вредноста затворена во загради е еднаква на фокалниот параметар на кривата.
Самиот Аполониј сметал само три општ типконусни пресеци (типови 2, 3 и 9 наведени погоре), но неговиот пристап овозможува генерализација да ги земе предвид сите реални криви од втор ред. Ако рамнината за сечење е избрана паралелно со кружната основа на конусот, тогаш пресекот ќе резултира во круг. Ако рамнината за сечење има само една заедничка точка со конусот, неговото теме, тогаш ќе се добие дел од типот 5; ако содржи теме и тангента на конусот, тогаш добиваме пресек од типот 8 (сл. 6, б); ако рамнината за сечење содржи две генератори на конусот, тогаш делот создава крива од тип 4 (сл. 6, А); кога темето се пренесува до бесконечност, конусот се претвора во цилиндар, а ако рамнината содржи две генератрики, тогаш се добива пресек од типот 6.
Ако погледнете во круг од кос агол, тој изгледа како елипса. Врската помеѓу кругот и елипсата, позната на Архимед, станува очигледна ако кругот X 2 + Y 2 = а 2 користејќи замена X = x, Y = (а/б) yпретворање во елипса, дадена со равенката(3а). Конверзија X = x, Y = (тој/б) y, Каде јас 2 = –1, ни овозможува да ја напишеме равенката на круг во форма (4а). Ова покажува дека хиперболата може да се гледа како елипса со имагинарна мала оска, или, обратно, елипсата може да се гледа како хипербола со имагинарна конјугирана оска.
Врска помеѓу ординати на круг x 2 + y 2 = а 2 и елипса ( x 2 /а 2) + (y 2 /б 2) = 1 директно води до формулата на Архимед А = стр abза областа на елипсата. Кеплер ја знаел приближната формула стр(а + б) за периметар на елипса блиску до круг, но точниот израз е добиен дури во 18 век. по воведувањето на елиптични интеграли. Како што покажа Архимед, плоштината на параболичен сегмент е четири третини од плоштината на впишан триаголник, но должината на лакот на параболата може да се пресмета само по 17 век. Беше измислен диференцијален калкулус.
ПРОЕКТИВЕН ПРИСТАП
Проективната геометрија е тесно поврзана со конструкцијата на перспективата. Ако нацртате круг на проѕирен лист хартија и го ставите под извор на светлина, тогаш овој круг ќе биде проектиран на рамнината подолу. Освен тоа, ако изворот на светлина се наоѓа директно над центарот на кругот, а рамнината и проѕирниот лист се паралелни, тогаш проекцијата исто така ќе биде круг (слика 8). Позицијата на изворот на светлина се нарекува точка на исчезнување. Тоа е означено со буквата В. Ако Вне се наоѓа над центарот на кругот или ако рамнината не е паралелна со листот хартија, тогаш проекцијата на кругот добива облик на елипса. Со уште поголем наклон на рамнината, главната оска на елипсата (проекција на кругот) се издолжува, а елипсата постепено се претвора во парабола; на рамнина паралелна на права линија В.П., проекцијата има форма на парабола; со уште поголем наклон, проекцијата добива форма на една од гранките на хиперболата.
Секоја точка на оригиналниот круг одговара на одредена точка на проекцијата. Ако проекцијата има форма на парабола или хипербола, тогаш тие велат дека точката што одговара на точката П, е на бесконечност или бесконечно оддалечена.
Како што видовме, со соодветен избор на точки на исчезнување, кругот може да се проектира во елипсови со различни големини и со различни ексцентричности, а должините на главните оски не се директно поврзани со дијаметарот на проектираниот круг. Затоа, проективната геометрија не се занимава со растојанија или должини сама по себе; нејзината задача е да го проучува односот на должините што се зачува при проекцијата. Оваа врска може да се најде со користење на следнава конструкција. Преку која било точка Прамнина, нацртајте две тангенти на кој било круг и поврзете ги тангентните точки со права линија стр. Оставете уште една линија да помине низ точката П, ја пресекува кружницата во точки В 1 и В 2 и директно стр- во точката П(сл. 9). Во планиметријата е докажано дека компјутер 1 /компјутер 2 = –КК 1 /КК 2. (Знакот минус се јавува поради фактот што насоката на сегментот КК 1 е спротивен на насоките на другите отсечки.) Со други зборови, точки ПИ Пподели го сегментот В 1 В 2 надворешно и внатрешно во истиот поглед; тие исто така велат дека хармонискиот однос на четири отсечки е еднаков на - 1. Ако кругот е проектиран во конусен пресек и истата нотација се задржи за соодветните точки, тогаш хармонискиот однос ( компјутер 1)(КК 2)/(компјутер 2)(КК 1) ќе остане еднаков на - 1. Точка Пнаречен линиски столб стрво однос на конусниот пресек и правата линија стр- поларна точка Пво однос на конусниот пресек.
Кога поентата Псе приближува кон конусен пресек, поларната има тенденција да заземе позиција на тангента; ако точка Плежи на конусен пресек, тогаш неговиот полар се совпаѓа со тангентата на конусниот пресек во точката П. Ако точката Псе наоѓа во внатрешноста на конусниот пресек, тогаш неговиот полар може да се конструира на следниов начин. Ајде да извлечеме низ поентата Пкоја било права линија што пресекува конусен пресек во две точки; нацртајте тангенти на конусниот пресек на точките на пресек; да претпоставиме дека овие тангенти се сечат во точка П 1 . Ајде да извлечеме низ поентата Пдруга права линија што го пресекува конусниот пресек на две други точки; да претпоставиме дека тангентите на конусниот пресек во овие нови точки се сечат во точката П 2 (сл. 10). Линија што минува низ точките П 1 и П 2 , и таму е саканиот полар стр. Ако точката Псе приближува кон центарот Оцентрален конусен пресек, потоа поларен строддалечувајќи се од О. Кога поентата Псе совпаѓа со О, тогаш неговиот полар станува бескрајно оддалечен, или идеален, директно на рамнината.
СПЕЦИЈАЛНИ ЗГРАДИ
Од особен интерес за астрономите е следнава едноставна конструкција на елипсови точки со помош на компас и линијар. Нека произволна права линија минува низ точка О(Сл. 11, А), се вкрстува во точки ПИ Рдва концентрични кругови центрирани во точка Ои радиуси бИ а, Каде ба. Ајде да извлечеме низ поентата Пхоризонтална линија, и преку Р– вертикална линија и означете ја нивната пресечна точка П Ппри ротирање права линија OQRоколу точката Оќе има елипса. Катче ѓпомеѓу права линија OQRа главната оска се нарекува ексцентричен агол, а конструираната елипса е погодно дефинирана параметарски равенки x = а cos ѓ, y = бгрев ѓ. Исклучувајќи го параметарот ѓ, ја добиваме равенката (3а).
За хипербола, конструкцијата е во голема мера слична. Произволна права линија што минува низ точка О, вкрстува еден од двата круга во една точка Р(Сл. 11, б). До точка Реден круг и до крајната точка Схоризонтален дијаметар на друг круг, нацртајте тангенти кои се сечат ОСво точката ТИ ИЛИ- во точката П. Нека вертикална линија минува низ точка Т, и хоризонтална линија што минува низ точката П, се сечат во точка П. Потоа локусот на точките Ппри ротирање на сегмент ИЛИнаоколу Оќе биде хипербола дадена со параметарски равенки x = асек ѓ, y = б tg ѓ, Каде ѓ– ексцентричен агол. Овие равенки ги добил францускиот математичар А. Лежандре (1752–1833). Со исклучување на параметарот ѓ, ја добиваме равенката (4а).
Елипса, како што забележа N. Copernicus (1473-1543), може да се конструира со помош на епициклично движење. Ако кругот се тркала без да се лизне по внатрешноста на друг круг со двојно поголем дијаметар, тогаш секоја точка П, кој не лежи на помалиот круг, туку е неподвижен во однос на него, ќе опише елипса. Ако точката Пе на помал круг, тогаш траекторијата на оваа точка е дегенериран случај на елипса - дијаметарот на поголемиот круг. Уште поедноставна конструкција на елипсата била предложена од Прокл во 5 век. Доколку краевите АИ Блиниски сегмент АБсо дадена должина лизгајте по две фиксни вкрстени прави линии (на пример, долж координатни оски), потоа секоја внатрешна точка Псегментот ќе опише елипса; холандскиот математичар Ф. ван Шотен (1615–1660) покажал дека секоја точка во рамнината на линиите кои се вкрстуваат, фиксирана во однос на лизгачкиот сегмент, исто така ќе опише елипса.
В. Паскал извлекол повеќе од 400 последици од оваа теорема.
