Катче φ општи равенки A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, пресметано со формулата:
Катче φ помеѓу две дадени линии канонски равенки(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 и (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, пресметано со формулата:
Растојание од точка до линија
Секоја рамнина во вселената може да се претстави како линеарна равенка наречена општа равенкарамнина
Посебни случаи.
o Ако во равенката (8) , тогаш рамнината минува низ потеклото.
o Кога (,) рамнината е паралелна со оската (оска, оска), соодветно.
o Кога (,) рамнината е паралелна со рамнината (рамнина, рамнина).
Решение: употреба (7)
Одговор: равенка на општа рамнина.
Пример.
Рамнина во правоаголниот координатен систем Oxyz е дадена со општата равенка на рамнината 
. Запишете ги координатите на сите нормални вектори на оваа рамнина.
Знаеме дека коефициентите на променливите x, y и z во општата равенка на рамнина се соодветните координати на нормалниот вектор на оваа рамнина. Според тоа, нормалниот вектор на дадена рамнина 
има координати. Множеството од сите нормални вектори може да се дефинира како:
Напиши ја равенката на рамнината ако во правоаголниот координатен систем Oxyz во просторот поминува низ точката 
, А 
е нормалниот вектор на оваа рамнина.
Ви претставуваме две решенија за овој проблем.
Од состојбата што ја имаме. Овие податоци ги заменуваме во општата равенка на рамнината што минува низ точката:
Напиши ја општата равенка на рамнина паралелна на координатната рамнина Oyz и минува низ точката 
.
Рамнина која е паралелна со координатната рамнина Oyz може да се даде со општа нецелосна равенка на рамнината на формата. Од поентата 
припаѓа на рамнината по услов, тогаш координатите на оваа точка мора да ја задоволуваат равенката на рамнината, односно еднаквоста мора да биде вистинита. Од тука наоѓаме. Така, бараната равенка ја има формата.
Решение. Вкрстениот производ, по дефиниција 10.26, е ортогонален на векторите p и q. Следствено, тој е ортогонален на саканата рамнина и векторот може да се земе како негов нормален вектор. Да ги најдеме координатите на векторот n:
тоа е 
. Користејќи ја формулата (11.1), добиваме
Со отворање на заградите во оваа равенка, доаѓаме до конечниот одговор.
Одговор: 
.
Ајде да го преработиме нормалниот вектор во форма и да ја најдеме неговата должина:
Според горенаведеното:
Одговори: 
Паралелните рамнини имаат ист нормален вектор. 1) Од равенката го наоѓаме нормалниот вектор на рамнината:.
2) Да ја составиме равенката на рамнината користејќи го точката и нормалниот вектор: 
Одговори:
Векторска равенка на рамнина во вселената
Параметриска равенка на рамнина во вселената
Равенка на рамнина што минува низ дадена точка нормална на даден вектор
Нека е даден правоаголен Декартов координатен систем во тродимензионален простор. Да го формулираме следниот проблем:
Напишете равенка за рамнина што минува низ оваа точка М(x 0, y 0, z 0) нормално на дадениот вектор n = ( А, Б, В} .
Решение. Нека П(x, y, z) е произволна точка во просторот. Точка Пприпаѓа на рамнината ако и само ако векторот пратеник = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ортогонално на векторот n = {А, Б, В) (сл. 1).
Откако го напишавме условот за ортогоналноста на овие вектори (n, пратеник) = 0 во координатна форма, добиваме:
|
А(x − x 0) + Б(y − y 0) + В(z − z 0) = 0 |
Равенка на рамнина со три точки
Во векторска форма
Во координати
Меѓусебно распоредување на авиони во вселената
– општи равенкидва авиони. Потоа:
1) ако 
, тогаш авионите се совпаѓаат;
2) ако 
, тогаш рамнините се паралелни;
3) ако или , тогаш рамнините се сечат и системот на равенки
(6)
се равенките на правата линија на пресек на овие рамнини.
|
Решение: Ние ги составуваме канонските равенки на линијата користејќи ја формулата: Одговори: |
Ги земаме добиените равенки и ментално го „штипнуваме“, на пример, левото парче: . Сега да го изедначиме ова парче на кој било број(запомнете дека веќе имаше нула), на пример, до еден: . Бидејќи , тогаш другите две „парчиња“ исто така треба да бидат еднакви на едно. Во суштина, треба да го решите системот: |
Составете параметарски равенки од следните прави: 
Решение: Директно наведено канонски равенкии во првата фаза треба да пронајдете некоја точка што припаѓа на правата и нејзиниот векторот на насока.
а) Од равенките 
отстранете ја точката и векторот на насоката: . Можете да изберете друга точка (како да го направите ова е опишано погоре), но подобро е да ја земете најочигледната. Патем, за да избегнете грешки, секогаш заменете ги неговите координати во равенките.
Ајде да создадеме параметарски равенки за оваа линија: 
Практичноста на параметарските равенки е што тие го олеснуваат наоѓањето други точки на правата. На пример, да најдеме точка чии координати, да речеме, одговараат на вредноста на параметарот: 
Така: б) Размислете за канонските равенки 
. Да се избере точка овде не е тешко, но предавнички: (внимавајте да не ги помешате координатите!!!). Како да се отстрани векторот на водичот? Можете да шпекулирате со што е паралелна оваа права или можете да користите едноставна формална техника: пропорцијата содржи „Y“ и „Z“, па го запишуваме векторот на насоката и ставаме нула во преостанатиот простор: .
Да ги составиме параметарските равенки на правата линија: 
в) Ајде да ги преработиме равенките во форма, односно „зет“ може да биде што било. И ако има, тогаш нека, на пример, . Така, точката припаѓа на оваа линија. За да го пронајдеме векторот на насока, ја користиме следната формална техника: во оригиналните равенки има „x“ и „y“, а во векторот на насока на овие места пишуваме нули: . Во преостанатиот простор ставаме единица: . Наместо еден, секој број освен нула ќе направи.
Да ги запишеме параметарските равенки на правата линија: 
Нека се дадени прави линии во просторот лИ м. Низ некоја точка А од просторот цртаме прави линии л 1 || лИ м 1 || м(Сл. 138).
Забележете дека точката А може да се избере произволно; особено, може да лежи на една од овие линии. Ако директно лИ мсе сечат, тогаш А може да се земе како точка на пресек на овие прави ( л 1 = lИ м 1 = m).
Агол помеѓу непаралелни линии лИ ме вредноста на најмалиот од соседните агли формирани со линии кои се пресекуваат л 1 И м 1 (л 1 || л, м 1 || м). Аголот помеѓу паралелните прави се смета за еднаков на нула.
Агол помеѓу прави линии лИ мозначено со \(\widehat((l;m))\). Од дефиницијата произлегува дека ако се мери во степени, тогаш 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, а ако во радијани, тогаш 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Задача.Дадена е коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (сл. 139).
Најдете го аголот помеѓу правите AB и DC 1.
Прави линии AB и DC 1 премин. Бидејќи правата линија DC е паралелна со правата AB, аголот помеѓу правите AB и DC 1, според дефиницијата, е еднаков на \(\widehat(C_(1)DC)\).
Затоа, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Директно лИ мсе нарекуваат нормално, ако \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. На пример, во коцка
Пресметка на аголот помеѓу прави линии.
Проблемот со пресметување на аголот помеѓу две прави во просторот се решава на ист начин како во рамнина. Да ја означиме со φ големината на аголот меѓу правите л 1 И л 2, а преку ψ - големината на аголот помеѓу векторите на насоката А И б овие прави линии.
Тогаш ако
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (слика 206.6), потоа φ = 180 ° - ψ. Очигледно, и во двата случаи еднаквоста cos φ = |cos ψ| е точно. Според формулата (косинус на аголот помеѓу ненулта вектори a и b е еднаков на скаларниот производ на овие вектори поделен со производот на нивните должини) имаме
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
оттука,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Нека линиите се дадени со нивните канонски равенки
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; И \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Потоа аголот φ помеѓу линиите се одредува со помош на формулата
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Ако една од правата (или двете) е дадена со неканонски равенки, тогаш за да го пресметате аголот треба да ги пронајдете координатите на векторите на насоката на овие линии, а потоа да ја користите формулата (1).
Задача 1.Пресметајте го аголот помеѓу линиите
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;и\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Векторите за правци на прави имаат координати:
a = (-√2; √2; -2), б = (√3 ; √3 ; √6 ).
Користејќи ја формулата (1) наоѓаме
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Затоа, аголот помеѓу овие линии е 60 °.
Задача 2.Пресметајте го аголот помеѓу линиите
$$ \begin(случаи)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end (случаи) и \begin(случаи)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\крај (случаи) $$
Зад водич векторот А земете ја првата права линија векторски производнормални вектори n 1 = (3; 0; -12) и n 2 = (1; 1; -3) рамнини што ја дефинираат оваа линија. Користејќи ја формулата \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) добиваме
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Слично на тоа, го наоѓаме векторот на насоката на втората права линија:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Но, користејќи ја формулата (1) го пресметуваме косинусот на саканиот агол:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
Затоа, аголот помеѓу овие линии е 90 °.
Задача 3.Во триаголната пирамида MABC, рабовите MA, MB и MC се меѓусебно нормални (сл. 207);
нивните должини се соодветно 4, 3, 6. Точката D е средината [MA]. Најдете го аголот φ помеѓу правите CA и DB.
Нека CA и DB се вектори на насоката на правите линии CA и DB.
Да ја земеме точката М како почеток на координатите. Според условот на равенката имаме A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Затоа \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Да ја користиме формулата (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
Користејќи ја косинусната табела, откриваме дека аголот помеѓу правите CA и DB е приближно 72°.
Ќе биде корисно за секој студент кој се подготвува за обединет државен испит по математика да ја повтори темата „Наоѓање агол помеѓу прави“. Како што покажува статистиката, при положување на тестот за сертификација, задачите во овој дел од стереометријата предизвикуваат потешкотии за големо количествоучениците. Во исто време, задачите кои бараат наоѓање на аголот помеѓу правите линии се наоѓаат во унифицираниот државен испит на основните и ниво на профил. Тоа значи дека секој треба да може да ги реши.
Основни моменти
Постојат 4 типа на релативни позиции на линии во просторот. Тие можат да се совпаѓаат, да се сечат, да бидат паралелни или вкрстени. Аголот меѓу нив може да биде акутен или исправен.
За да го пронајдат аголот помеѓу линиите на Единствениот државен испит или, на пример, при решавањето, учениците во Москва и другите градови можат да користат неколку начини за решавање на проблемите во овој дел од стереометријата. Можете да ја завршите задачата користејќи класични конструкции. За да го направите ова, вреди да се научат основните аксиоми и теореми на стереометријата. Ученикот треба да знае логично да расудува и да креира цртежи за да ја доведе задачата до планиметриски проблем.
Можете исто така да го користите методот на векторски координати користејќи едноставни формули, правила и алгоритми. Главната работа во овој случај е правилно да ги извршите сите пресметки. Усовршете ги вашите вештини за решавање проблеми во стереометријата и други области училишен курсќе ви помогне едукативен проект„Школково“.
О-о-о-о-о... па, тешко е, како да си чита реченица =) Сепак, релаксацијата ќе помогне подоцна, особено што денес купив соодветни додатоци. Затоа, да продолжиме на првиот дел, се надевам дека до крајот на статијата ќе одржам весело расположение.
Релативната положба на две прави линии
Ова е случај кога публиката пее заедно во хор. Две прави линии можат:
1) натпревар;
2) да биде паралелен: ;
3) или се сечат во една точка: .
Помош за кукли : Ве молиме запомнете го знакот за математички пресек, тој ќе се појавува многу често. Ознаката значи дека правата се вкрстува со правата во точката.
Како да се одреди релативната положба на две линии?
Да почнеме со првиот случај:
Две прави се совпаѓаат ако и само ако нивните соодветни коефициенти се пропорционални, односно има број „ламбда“ таков што еднаквостите се задоволени
Да ги разгледаме правите и да создадеме три равенки од соодветните коефициенти: . Од секоја равенка следува дека, според тоа, овие линии се совпаѓаат.
Навистина, ако сите коефициенти на равенката 
помножете се со –1 (знаци за промена), и намалете ги сите коефициенти на равенката за 2, ја добивате истата равенка: .
Вториот случај, кога линиите се паралелни:
Две прави се паралелни ако и само ако нивните коефициенти на променливите се пропорционални: 
, Но.
Како пример, разгледајте две прави линии. Ја проверуваме пропорционалноста на соодветните коефициенти за променливите: 
Сепак, сосема е очигледно дека.
И третиот случај, кога линиите се сечат:
Две прави се сечат ако и само ако нивните коефициенти на променливите НЕ се пропорционални, односно НЕМА таква вредност на „ламбда“ за да се задоволат еднаквостите 
Значи, за прави линии ќе создадеме систем: 
Од првата равенка следува дека , а од втората равенка: , што значи системот е неконзистентен(без решенија). Така, коефициентите на променливите не се пропорционални.
Заклучок: линиите се сечат
ВО практични проблемиможете да ја користите шемата за решение што штотуку дискутиравме. Патем, многу потсетува на алгоритмот за проверка на вектори за колинеарност, што го гледавме на часот Концептот на линеарна (не)зависност на вектори. Основа на вектори. Но, постои поцивилизирано пакување:
Пример 1
Да дознаам меѓусебно уредувањедиректно: 
Решениеврз основа на проучување на насочувачки вектори на прави линии:
а) Од равенките ги наоѓаме векторите на насоката на правите: 
.
, што значи дека векторите не се колинеарни и линиите се сечат.
За секој случај, ќе ставам камен со знаци на раскрсницата:
Останатите скокаат преку каменот и следат понатаму, директно до Кашчеи Бесмртниот =)
б) Најдете ги векторите на насоката на правите: 
Правите имаат ист вектор на насока, што значи дека се или паралелни или совпаѓаат. Нема потреба овде да се брои детерминантата.
Очигледно е дека коефициентите на непознатите се пропорционални и .
Ајде да дознаеме дали еднаквоста е вистина: 
Така,
в) Најдете ги векторите на насоката на правите: 
Да ја пресметаме детерминантата составена од координатите на овие вектори: 
, според тоа, векторите на насоката се колинеарни. Линиите се или паралелни или совпаѓаат.
Коефициентот на пропорционалност „ламбда“ е лесно да се види директно од односот на вектори на колинеарна насока. Сепак, може да се најде и преку коефициентите на самите равенки: 
.
Сега да откриеме дали еднаквоста е вистина. И двете слободни членовинула, затоа:
Добиената вредност ја задоволува оваа равенка (било кој број генерално го задоволува).
Така, линиите се совпаѓаат.
Одговори:
Наскоро ќе научите (или веќе сте научиле) да го решите вербално дискутираниот проблем буквално за неколку секунди. Во овој поглед, не гледам смисла да понудам нешто за независна одлука, подобро е да се постави уште една важна тула во геометриската основа:
Како да се изгради права паралелна на дадена?
За незнаење за ова наједноставна задачаАрамијата Славеј жестоко казнува.
Пример 2
Правата линија е дадена со равенката. Напишете равенка за паралелна права што минува низ точката.
Решение: Да ја означиме непознатата линија со буквата . Што вели состојбата за неа? Правата линија минува низ точката. И ако линиите се паралелни, тогаш очигледно е дека векторот на насоката на правата линија „tse“ е исто така погоден за конструирање на права линија „de“.
Го вадиме векторот на насоката од равенката:
Одговори:
Примерот на геометријата изгледа едноставно: 
Аналитичкото тестирање се состои од следниве чекори:
1) Проверуваме дали линиите имаат вектор на ист правец (ако равенката на правата не е правилно поедноставена, тогаш векторите ќе бидат колинеарни).
2) Проверете дали точката ја задоволува добиената равенка.
Во повеќето случаи, аналитичкото тестирање може лесно да се изврши орално. Погледнете ги двете равенки и многумина од вас брзо ќе ја одредат паралелизмот на правите без никаков цртеж.
Примерите за независни решенија денес ќе бидат креативни. Затоа што сепак ќе треба да се натпреварувате со Баба Јага, а таа, знаете, е љубител на секакви загатки.
Пример 3
Напишете равенка за права што минува низ точка паралелна на правата ако
Постои рационален и не толку рационален начин да се реши. Најкраткиот пат е на крајот од лекцијата.
Работевме малку со паралелни линии и ќе се вратиме на нив подоцна. Случајот на совпаѓање линии е од мал интерес, па ајде да разгледаме проблем што ви е познат училишна наставна програма:
Како да се најде точката на пресек на две прави?
Ако директно 
се сечат во точката, тогаш неговите координати се решението системи на линеарни равенки 
Како да се најде точката на пресек на линиите? Решете го системот.
Еве ти геометриско значењесистеми од два линеарни равенкисо две непознати- ова се две пресечни (најчесто) линии на рамнина.
Пример 4
Најдете ја точката на пресек на правите
Решение: Постојат два начина за решавање - графички и аналитички.
Графички методе едноставно да ги нацртате дадените линии и да ја дознаете пресечната точка директно од цртежот: 
Еве ја нашата поента: . За да проверите, треба да ги замените неговите координати во секоја равенка на линијата, тие треба да се вклопат и таму и таму. Со други зборови, координатите на точка се решение за системот. Во суштина, погледнавме графичко решение системи на линеарни равенкисо две равенки, две непознати.
Графичкиот метод, се разбира, не е лош, но има забележителни недостатоци. Не, поентата не е во тоа што седмоодделенците одлучуваат вака, поентата е дека ќе треба време да се направи правилен и ТОЧЕН цртеж. Покрај тоа, некои прави линии не се толку лесни за конструирање, а самата точка на пресек може да се наоѓа некаде во триесеттото кралство надвор од листот на тетратката.
Затоа, поцелисходно е да се бара пресечната точка користејќи аналитички метод. Ајде да го решиме системот: 
За решавање на системот, користен е методот на собирање равенки по термин по член. За да развиете соодветни вештини, земете лекција Како да се реши систем на равенки?
Одговори:
Проверката е тривијална - координатите на пресечната точка мора да ја задоволат секоја равенка на системот.
Пример 5
Најдете ја точката на пресек на правите ако тие се сечат.
Ова е пример за да го решите сами. Удобно е да се подели задачата во неколку фази. Анализата на состојбата сугерира дека е неопходно:
1) Запишете ја равенката на права линија.
2) Запишете ја равенката на права линија.
3) Откријте ја релативната положба на линиите.
4) Ако линиите се сечат, тогаш пронајдете ја пресечната точка.
Развојот на алгоритам за акција е типичен за многумина геометриски проблеми, и постојано ќе се фокусирам на ова.
Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата:
Ниту еден пар чевли не беа истрошени пред да дојдеме до вториот дел од лекцијата:
Перпендикуларни линии. Растојание од точка до права.
Агол помеѓу прави линии
Да почнеме со типична и многу важна задача. Во првиот дел научивме како да изградиме права линија паралелна со оваа, а сега колибата на пилешки копани ќе се врти за 90 степени:
Како да се изгради права нормална на дадена?
Пример 6
Правата линија е дадена со равенката. Напишете равенка нормална на правата што минува низ точката.
Решение: По услов се знае дека . Би било убаво да се најде насочен вектор на линијата. Бидејќи линиите се нормални, трикот е едноставен:
Од равенката го „отстрануваме“ нормалниот вектор: , кој ќе биде насочен вектор на правата линија.
Ајде да ја составиме равенката на права линија користејќи точка и вектор на насока:
Одговори: 
Ајде да ја прошириме геометриската скица:
Хммм... Портокалово небо, портокалово море, портокалова камила.
Аналитичка верификација на решението:
1) Од равенките ги вадиме векторите на насоката 
и со помош скаларен производ на векторидоаѓаме до заклучок дека правите се навистина нормални: .
Патем, можете да користите нормални вектори, тоа е уште полесно.
2) Проверете дали точката ја задоволува добиената равенка 
.
Тестот, повторно, лесно се изведува орално.
Пример 7
Најдете ја точката на пресек на нормални права ако равенката е позната 
и период.
Ова е пример за да го решите сами. Има неколку дејства во проблемот, па затоа е погодно да се формулира решението точка по точка.
Нашето возбудливо патување продолжува:
Растојание од точка до линија
Пред нас е права лента на реката и наша задача е да стигнеме до неа по најкраткиот пат. Нема пречки, а најоптималната рута ќе биде да се движите по нормалната. Тоа е, растојанието од точка до права е должината на нормалната отсечка.
Растојанието во геометријата традиционално се означува Грчко писмо„ро“, на пример: – растојанието од точката „ем“ до правата „де“.
Растојание од точка до линија 
изразено со формулата
Пример 8
Најдете го растојанието од точка до права 
Решение: се што треба да направите е внимателно да ги замените броевите во формулата и да ги извршите пресметките:
Одговори: 
Ајде да го направиме цртежот: 
Пронајденото растојание од точката до правата е точно должината на црвениот сегмент. Ако нацртате цртеж на карирана хартија на скала од 1 единица. = 1 cm (2 ќелии), тогаш растојанието може да се мери со обичен линијар.
Ајде да разгледаме друга задача заснована на истиот цртеж:
Задачата е да се пронајдат координатите на точка која е симетрична на точката во однос на правата линија 
. Предлагам сами да ги извршите чекорите, но ќе го опишам алгоритмот за решение со средни резултати:
1) Најдете права што е нормална на правата.
2) Најдете ја точката на пресек на правите: 
.
Двете дејства се детално разгледани во оваа лекција.
3) Точката е средната точка на отсечката. Ги знаеме координатите на средината и едниот од краевите. Од страна на формули за координатите на средната точка на отсечкатание најдовме .
Би било добро да проверите дали растојанието е исто така 2,2 единици.
Тука може да се појават потешкотии во пресметките, но микрокалкулаторот е одлична помош во кулата, што ви овозможува да пресметате заеднички дропки. Многу пати те советував и пак ќе те препорачам.
Како да се најде растојанието помеѓу две паралелни прави?
Пример 9
Најдете го растојанието помеѓу две паралелни прави
Ова е уште еден пример за да одлучите сами. Ќе ви дадам мал совет: има бескрајно многу начини да се реши ова. Дебрифирање на крајот од лекцијата, но подобро е да се обидете сами да погодите, мислам дека вашата генијалност беше добро развиена.
Агол помеѓу две прави линии
Секој агол е застој: 
Во геометријата, аголот помеѓу две прави линии се зема за ПОМАЛИОТ агол, од што автоматски следи дека не може да биде тап. На сликата, аголот означен со црвениот лак не се смета за агол помеѓу линиите што се пресекуваат. И неговиот „зелен“ сосед или спротивно ориентираникатче „малина“.
Ако линиите се нормални, тогаш кој било од 4-те агли може да се земе како агол меѓу нив.
Како се разликуваат аглите? Ориентација. Прво, насоката во која аголот се „превртува“ е фундаментално важна. Второ, негативно ориентиран агол се пишува со знак минус, на пример ако .
Зошто ти го кажав ова? Се чини дека можеме да поминеме со вообичаениот концепт на агол. Факт е дека формулите според кои ќе наоѓаме агли лесно може да резултираат со негативен резултат и тоа не треба да ве изненади. Аголот со знак минус не е полош и има многу специфично геометриско значење. На цртежот, за негативен агол, задолжително означете ја неговата ориентација со стрелка (во насока на стрелките на часовникот).
Како да се најде аголот помеѓу две прави?Постојат две работни формули:
Пример 10
Најдете го аголот помеѓу линиите
РешениеИ Метод еден
Размислете за две прави линии, дадени со равенкиВ општ поглед:
Ако директно не е нормално, Тоа ориентиранаАголот меѓу нив може да се пресмета со формулата: 
Дозволете ни да обрнеме големо внимание на именителот - ова е точно скаларен производнасочувачки вектори на прави линии:
Ако , тогаш именителот на формулата станува нула, а векторите ќе бидат ортогонални, а линиите ќе бидат нормални. Затоа е направена резерва за неперпендикуларноста на правите линии во формулацијата.
Врз основа на горенаведеното, погодно е да се формализира решението во два чекора:
1) Да го пресметаме скаларниот производ на векторите на насоката на линиите:
, што значи дека линиите не се нормални.
2) Најдете го аголот помеѓу прави линии користејќи ја формулата:
Со користење на инверзна функцијаЛесно е да се најде самиот агол. Во овој случај, ја користиме необичноста на арктангенсот (види. Графикони и својства на елементарните функции):
Одговори: 
Во вашиот одговор, ја наведуваме точната вредност, како и приближната вредност (по можност и во степени и во радијани), пресметана со помош на калкулатор.
Па, минус, минус, ништо страшно. Еве една геометриска илустрација: 
Не е изненадувачки што аголот се покажа со негативна ориентација, бидејќи во изјавата за проблемот првиот број е права линија и „одвртувањето“ на аголот започна токму со него.
Ако навистина сакате да добиете позитивен агол, треба да ги замените линиите, односно да ги земете коефициентите од втората равенка 
, и земете ги коефициентите од првата равенка. Накратко, треба да започнете со директен 
.
А. Нека се дадени две прави.Овие прави, како што е наведено во Поглавје 1, формираат различни позитивни и негативни агли, кои можат да бидат или остри или тапи. Знаејќи еден од овие агли, лесно можеме да најдеме кој било друг.
Патем, за сите овие агли нумеричката вредност на тангентата е иста, разликата може да биде само во знакот
Равенки на прави. Броевите се проекции на векторите на насоката на првата и втората права.Аголот помеѓу овие вектори е еднаков на еден од аглите формирани од прави линии. Според тоа, проблемот се сведува на определување на аголот меѓу векторите
За едноставност, можеме да се согласиме дека аголот помеѓу две прави линии е акутен позитивен агол (како, на пример, на сл. 53).
Тогаш тангентата на овој агол секогаш ќе биде позитивна. Така, ако има знак минус на десната страна на формулата (1), тогаш мора да го отфрлиме, т.е. да ја зачуваме само апсолутната вредност.
Пример. Одреди го аголот помеѓу прави линии
Според формулата (1) имаме
Со. Ако се означи која од страните на аголот е неговиот почеток, а која е неговиот крај, тогаш, секогаш броејќи ја насоката на аголот спротивно од стрелките на часовникот, можеме да извлечеме нешто повеќе од формулата (1). Како што е лесно да се види од Сл. 53, знакот добиен на десната страна на формулата (1) ќе покаже каков агол - остар или тап - втората права линија се формира со првата.
(Навистина, од Сл. 53 гледаме дека аголот помеѓу векторите на првиот и вториот правец е или еднаков на саканиот агол помеѓу правите линии, или се разликува од него за ±180°.)
г. Ако правите се паралелни, тогаш нивните вектори на насоката се паралелни.Применувајќи го условот за паралелизам на два вектори, добиваме!
Ова е неопходен и доволен услов за паралелизам на две прави.
Пример. Директно
се паралелни бидејќи
д. Ако правите се нормални тогаш и нивните вектори на насока се исто така нормални. Применувајќи го условот за перпендикуларност на два вектори, го добиваме условот за нормалност на две прави, и тоа
Пример. Директно
се нормални поради фактот што
Во врска со условите на паралелизам и перпендикуларност ќе ги решиме следните два задачи.
ѓ. Нацртајте права низ точка паралелна на дадената права
Решението се изведува вака. Бидејќи саканата права е паралелна со оваа, тогаш за нејзиниот вектор на насока можеме да ја земеме истата како онаа на дадената права, т.е. вектор со проекции A и B. И тогаш равенката на саканата линија ќе биде напишана во формуларот (§ 1)
Пример. Равенка на права што минува низ точката (1; 3) паралелна на правата
ќе има следно!
е. Нацртајте права низ точка нормална на дадената права
Овде веќе не е погодно да се земе векторот со проекции А и како водечки вектор, но потребно е да се земе векторот нормално на него. Затоа, проекциите на овој вектор мора да бидат избрани според условот на перпендикуларност на двата вектори, т.е. според условот
Овој услов може да се исполни на безброј начини, бидејќи еве една равенка со две непознати, но најлесниот начин е да се земе или тогаш равенката на саканата линија ќе биде напишана во форма
Пример. Равенка на права што минува низ точката (-7; 2) во нормална права
ќе има следново (според втората формула)!
ч. Во случај кога линиите се дадени со равенки на формата
препишувајќи ги овие равенки поинаку, имаме
