Ги решаваме проблемите Б14 од Единствениот државен испит. Наоѓање на најголемите и најмалите вредности на функцијата на интервал Најголемите и најмалите вредности на функцијата

Изјава за проблемот 2:

Дадена е функција која е дефинирана и континуирана на одреден интервал. Треба да ја пронајдете најголемата (најмалата) вредност на функцијата на овој интервал.

Теоретска основа.
Теорема (втора теорема на Вајерштрас):

Ако функцијата е дефинирана и континуирана во затворен интервал, тогаш таа ги достигнува своите максимални и минимални вредности во овој интервал.

Функцијата може да ги достигне своите најголеми и најмали вредности или во внатрешните точки на интервалот или на нејзините граници. Ајде да ги илустрираме сите можни опции.

Објаснување:
1) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност на левата граница на интервалот во точката, а нејзината минимална вредност на десната граница на интервалот во точката.
2) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во точката (ова е максималната точка), а нејзината минимална вредност на десната граница на интервалот во точката.
3) Функцијата ја достигнува својата максимална вредност на левата граница на интервалот во точката , и нејзината минимална вредност во точката (ова е минималната точка).
4) Функцијата е константна на интервалот, т.е. ги достигнува своите минимални и максимални вредности во која било точка од интервалот, а минималните и максималните вредности се еднакви една со друга.
5) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во точката , а нејзината минимална вредност во точката (и покрај фактот што функцијата има и максимум и минимум на овој интервал).
6) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во точка (ова е максималната точка), а нејзината минимална вредност во точка (ова е минималната точка).
Коментар:

„Максималната“ и „максималната вредност“ се различни работи. Ова произлегува од дефиницијата за максимум и интуитивното разбирање на фразата „максимална вредност“.

Алгоритам за решавање на проблем 2.

4) Изберете го најголемиот (најмалиот) од добиените вредности и запишете го одговорот.

Пример 4:

Да се определи најголемата и најмалата вредност на функцијата на сегментот.
Решение:
1) Најдете го изводот на функцијата.

2) Најдете стационарни точки (и точки сомнителни за екстремни) со решавање на равенката. Обрнете внимание на точките во кои нема двостран конечен извод.

3) Пресметајте ги вредностите на функцијата во стационарни точки и на границите на интервалот.

4) Изберете го најголемиот (најмалиот) од добиените вредности и запишете го одговорот.

Функцијата на овој сегмент ја достигнува својата најголема вредност во точката со координати.

Функцијата на овој сегмент ја достигнува својата минимална вредност во точката со координати.

Можете да ја потврдите исправноста на пресметките со гледање на графикот на функцијата што се проучува.

Коментар:Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во максималната точка, а својот минимум на границата на сегментот.

Посебен случај.

Да претпоставиме дека треба да ги пронајдете максималните и минималните вредности на некоја функција на сегмент. По завршувањето на првата точка од алгоритмот, т.е. пресметувајќи го дериватот, станува јасно дека, на пример, потребни се само негативни вредности во текот на целиот интервал што се разгледува. Запомнете дека ако изводот е негативен, тогаш функцијата се намалува. Откривме дека функцијата се намалува во текот на целиот сегмент. Оваа ситуација е прикажана во графиконот бр. 1 на почетокот на статијата.

Функцијата се намалува на сегментот, т.е. нема екстремни поени. Од сликата можете да видите дека функцијата ќе ја земе најмалата вредност на десната граница на сегментот, а најголемата вредност на левата страна. ако дериватот на сегментот е насекаде позитивен, тогаш функцијата се зголемува. Најмалата вредност е на левата граница на сегментот, најголемата е на десната страна.

Во оваа статија ќе зборувам за алгоритам за наоѓање најголема и најмала вредностфункции, минимални и максимални поени.

Од теорија дефинитивно ќе ни биде од корист деривативна табелаИ правила за диференцијација. Сè е на оваа чинија:

Алгоритам за наоѓање најголема и најмала вредност.

Поудобно ми е да објаснам со конкретен пример. Да се разгледа:

Пример:Најдете ја најголемата вредност на функцијата y=x^5+20x^3–65x на отсечката [–4;0].

Чекор 1.Го земаме дериватот.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Чекор 2.Наоѓање екстремни точки.

Екстремна точкаги нарекуваме оние точки во кои функцијата ја достигнува својата најголема или минимална вредност.

За да ги пронајдете екстремните точки, треба да го изедначите изводот на функцијата на нула (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Сега ја решаваме оваа биквадратна равенка и пронајдените корени се нашите екстремни точки.

Ваквите равенки ги решавам со замена на t = x^2, потоа 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Да ја намалиме равенката за 5, добиваме: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Ја правиме обратната промена x^2 = t:

X_(1 и 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 и 4) = ±sqrt(-13) (исклучуваме, не може да има негативни броеви под коренот, освен ако секако не зборуваме за сложени броеви)

Вкупно: x_(1) = 1 и x_(2) = -1 - ова се нашите екстремни точки.

Чекор 3.Одреди ја најголемата и најмалата вредност.

Метод на замена.

Во состојбата, ни беше даден сегментот [b][–4;0]. Точката x=1 не е вклучена во овој сегмент. Значи, не го разгледуваме. Но, покрај точката x=-1, треба да ги разгледаме и левата и десната граница на нашиот сегмент, односно точките -4 и 0. За да го направите ова, ги заменуваме сите овие три точки во оригиналната функција. Забележете дека оригиналниот е оној што е даден во условот (y=x^5+20x^3–65x), некои луѓе почнуваат да го заменуваат во изводот...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Тоа значи дека најголемата вредност на функцијата е [b]44 и се постигнува во точката [b]-1, која се нарекува максимална точка на функцијата на отсечката [-4; 0].

Решивме и добивме одговор, супер сме, можете да се опуштите. Но, застани! Не мислите ли дека пресметувањето на y(-4) е некако премногу тешко? Во услови на ограничено време, подобро е да се користи друг метод, јас го нарекувам вака:

Преку интервали на константност на знакот.

Овие интервали се наоѓаат за изводот на функцијата, односно за нашата биквадратна равенка.

Јас го правам тоа вака. Цртам насочен сегмент. Ги ставам точките: -4, -1, 0, 1. И покрај тоа што 1 не е вклучена во дадениот сегмент, сепак треба да се забележи за правилно да се одредат интервалите на постојаност на знакот. Да земеме некој број многу пати поголем од 1, да речеме 100, и ментално да го замениме во нашата биквадратна равенка 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Дури и без да броиме ништо, станува очигледно дека во точката 100 функцијата има знак плус. Тоа значи дека за интервали од 1 до 100 има знак плус. Кога поминуваме низ 1 (одиме од десно кон лево), функцијата ќе го смени знакот во минус. Кога поминува низ точката 0, функцијата ќе го задржи својот знак, бидејќи ова е само граница на отсечката, а не коренот на равенката. Кога поминува низ -1, функцијата повторно ќе го смени знакот во плус.

Од теорија знаеме дека каде е изводот на функцијата (и ова го нацртавме токму за неа) го менува знакот од плус во минус (точка -1 во нашиот случај)функцијата достигнува нејзиниот локален максимум (y(-1)=44, како што беше пресметано претходно)на овој сегмент (ова е логично многу разбирливо, функцијата престана да се зголемува бидејќи го достигна својот максимум и почна да се намалува).

Според тоа, каде што изводот на функцијата го менува знакот од минус во плус, се постигнува локален минимум на функција. Да, да, исто така откривме дека локалната минимална точка е 1, а y(1) е минималната вредност на функцијата на сегментот, да речеме од -1 до +∞. Имајте предвид дека ова е само ЛОКАЛЕН МИНИМУМ, односно минимум на одреден сегмент. Бидејќи реалниот (глобален) минимум на функцијата ќе достигне некаде таму, на -∞.

Според мене, првиот метод е теоретски поедноставен, а вториот е поедноставен од гледна точка на аритметички операции, но многу покомплексен од гледна точка на теоријата. На крајот на краиштата, понекогаш има случаи кога функцијата не го менува знакот кога минува низ коренот на равенката, и воопшто може да се помешате со овие локални, глобални максими и минимуми, иако сепак ќе мора добро да го совладате ова ако планирајте да влезете на технички универзитет (и зошто инаку полагајте го профилот Единствен државен испит и решете ја оваа задача). Но, практиката и само практиката ќе ве научи да ги решите ваквите проблеми еднаш засекогаш. И можете да тренирате на нашата веб-страница. Еве .

Ако имате какви било прашања или нешто не е јасно, не заборавајте да прашате. Со задоволство ќе ви одговорам и ќе направам измени и дополнувања на статијата. Запомнете дека ја правиме оваа страница заедно!

Во задачата Б14 од унифицираниот државен испит по математика, треба да ја пронајдете најмалата или најголемата вредност на функцијата на една променлива. Ова е прилично тривијален проблем од математичката анализа и токму поради оваа причина секој матурант може и треба да научи да го решава нормално. Ајде да погледнеме неколку примери што ги решија учениците за време на дијагностичката работа по математика, одржана во Москва на 7 декември 2011 година.

Во зависност од интервалот во кој сакате да ја пронајдете максималната или минималната вредност на функцијата, за решавање на овој проблем се користи еден од следните стандардни алгоритми.

I. Алгоритам за наоѓање најголема или најмала вредност на функција на сегмент:

Најдете го изводот на функцијата.
Изберете од точките за кои постои сомневање дека се екстремни оние што припаѓаат на дадениот сегмент и домен на дефиниција на функцијата.
Пресметајте вредности функции(не дериват!) во овие точки.
Меѓу добиените вредности, изберете ја најголемата или најмалата, таа ќе биде посакуваната.

Пример 1.Најдете ја најмалата вредност на функцијата
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 на сегментот.

Решение:Го следиме алгоритмот за наоѓање на најмалата вредност на функцијата на сегмент:

Обемот на функцијата не е ограничен: D(y) = Р.
Изводот на функцијата е еднаков на: ти = 3x 2 – 36x+ 81. Доменот на дефиниција на изводот на функцијата исто така не е ограничен: D(y') = Р.
Нули на дериватот: ти = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, што значи x 2 – 12x+ 27 = 0, од каде x= 3 и x= 9, нашиот интервал вклучува само x= 9 (еден поен е сомнителен за екстрем).
Ја наоѓаме вредноста на функцијата во точка сомнителна за екстрем и на рабовите на јазот. За полесно пресметување, ја прикажуваме функцијата во форма: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
- y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Значи, од добиените вредности најмалата е 23. Одговор: 23.

II. Алгоритам за наоѓање на најголемата или најмалата вредност на функцијата:

Најдете го доменот на дефинирање на функцијата.
Најдете го изводот на функцијата.
Идентификувајте ги точките сомнителни за екстрем (оние точки во кои исчезнува изводот на функцијата и точки во кои нема двостран конечен извод).
Обележете ги овие точки и доменот на дефинирање на функцијата на бројната права и определете ги знаците дериват(не функции!) на добиените интервали.
Дефинирајте вредности функции(не изводот!) на минималните точки (оние точки во кои знакот на изводот се менува од минус во плус), најмалата од овие вредности ќе биде најмалата вредност на функцијата. Ако нема минимални поени, тогаш функцијата нема минимална вредност.
Дефинирајте вредности функции(не изводот!) во максималните точки (оние точки во кои знакот на изводот се менува од плус во минус), најголемата од овие вредности ќе биде најголемата вредност на функцијата. Ако нема максимални поени, тогаш функцијата нема најголема вредност.

Пример 2.Најдете ја најголемата вредност на функцијата.

А за да го решите ќе ви треба минимално познавање на темата. Завршува уште една учебна година, сите сакаат да одат на одмор, а за да го доближам овој момент веднаш ќе дојдам до поентата:

Да почнеме со областа. Областа наведена во состојбата е ограничен затворена збир на точки на рамнина. На пример, множеството точки ограничени со триаголник, вклучувајќи го ЦЕЛИОТ триаголник (ако од граници„избодете“ барем една точка, тогаш регионот повеќе нема да биде затворен). Во пракса, постојат и области со правоаголни, кружни и малку посложени форми. Треба да се напомене дека во теоријата на математичката анализа се дадени строги дефиниции ограничувања, изолација, граници итн., но мислам дека сите се свесни за овие концепти на интуитивно ниво и сега не е потребно ништо повеќе.

Рамен регион стандардно се означува со буквата и, по правило, се одредува аналитички - со неколку равенки (не мора линеарно); поретко нееднаквости. Типичен говор: „затворена област ограничена со линии“.

Составен дел од задачата што се разгледува е изградбата на површина на цртежот. Како да се направи тоа? Треба да ги нацртате сите наведени линии (во овој случај 3 директно) и анализирајте што се случило. Пребаруваната област обично е слабо засенчена, а нејзината граница е означена со дебела линија:

Може да се постави и истата област линеарни неравенки: , кои поради некоја причина често се пишуваат како набројана листа наместо систем.
Бидејќи границата припаѓа на регионот, тогаш сите нееднаквости, се разбира, лабави.

И сега суштината на задачата. Замислете дека оската излегува директно кон вас од почетокот. Размислете за функција која континуирано во секоеобласт точка. Графикот на оваа функција претставува некои површина, а малата среќа е што за да го решиме денешниот проблем не треба да знаеме како изгледа оваа површина. Може да се наоѓа повисоко, пониско, да ја пресече рамнината - сето ова не е важно. А важно е следното: според Вајерштрасови теореми, континуираноВ ограничен затворенобласт функцијата ја достигнува својата најголема вредност (највисок")а најмалку (најнискиот")вредности кои треба да се најдат. Ваквите вредности се постигнуваат илиВ стационарни точки, кои припаѓаат на регионотД , илина точките кои лежат на границата на овој простор. Ова води до едноставен и транспарентен алгоритам за решение:

Пример 1

Во ограничен затворен простор

Решение: Пред сè, треба да ја прикажете областа на цртежот. За жал, технички ми е тешко да направам интерактивен модел на проблемот и затоа веднаш ќе ја претставам конечната илустрација која ги прикажува сите „сомнителни“ точки пронајдени при истражувањето. Тие обично се наведени еден по друг како што се откриени:

Врз основа на преамбулата, одлуката може погодно да се подели на две точки:

I) Најдете стационарни точки. Ова е стандардна акција што ја извршувавме постојано во класата. за екстремите на неколку променливи:

Пронајдена стационарна точка припаѓаобласти: (означете го на цртежот), што значи дека треба да ја пресметаме вредноста на функцијата во дадена точка:

- како во статијата Најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегмент, ќе ги истакнам важните резултати со задебелени букви. Удобно е да ги следите во тетратка со молив.

Обрнете внимание на нашата втора среќа - нема смисла да се провери доволен услов за екстрем. Зошто? Дури и ако во одреден момент функцијата достигне, на пример, локален минимум, тогаш ова НЕ ЗНАЧИ дека добиената вредност ќе биде минималнаниз целиот регион (видете го почетокот на лекцијата за безусловните крајности) .

Што да направите ако стационарната точка НЕ припаѓа на регионот? Речиси ништо! Треба да се забележи дека и да се премине на следната точка.

II) Ја истражуваме границата на регионот.

Бидејќи границата се состои од страни на триаголник, погодно е студијата да се подели на 3 подсекции. Но, подобро е да не го правите тоа во секој случај. Од моја гледна точка, најпрво е поповолно да се разгледаат отсечките паралелни со координатните оски, а пред сè оние што лежат на самите оски. За да ја сфатите целата низа и логика на дејства, обидете се да го проучите крајот „во еден здив“:

1) Ајде да се справиме со долната страна на триаголникот. За да го направите ова, заменете директно во функцијата:

Алтернативно, можете да го направите вака:

Геометриски, тоа значи дека координатната рамнина (што е дадено и со равенката)„резби“ надвор од површини„просторна“ парабола, чиј врв веднаш доаѓа под сомнеж. Ајде да дознаеме каде се наоѓа таа:

– добиената вредност „падна“ во областа и може да испадне дека во точката (означено на цртежот)функцијата ја достигнува најголемата или најмалата вредност во целиот регион. На еден или друг начин, ајде да ги направиме пресметките:

Останатите „кандидати“ се секако краевите на сегментот. Ајде да ги пресметаме вредностите на функцијата во точките (означено на цртежот):

Овде, патем, можете да извршите орална мини-проверка со помош на „одземена“ верзија:

2) За да ја проучите десната страна на триаголникот, заменете ја во функцијата и „поставете ги работите во ред“:

Овде веднаш ќе извршиме груба проверка, „ѕвонејќи“ на веќе обработениот крај на сегментот:
, Одлично.

Геометриската ситуација е поврзана со претходната точка:

- добиената вредност исто така „влезе во сферата на нашите интереси“, што значи дека треба да пресметаме што е еднаква на функцијата во точката што се појавува:

Ајде да го испитаме вториот крај на сегментот:

Користење на функцијата , ајде да извршиме контролна проверка:

3) Веројатно секој може да погоди како да ја истражи преостанатата страна. Го заменуваме во функцијата и вршиме поедноставувања:

Краевите на сегментот веќе се истражени, но во нацртот сепак проверуваме дали правилно сме ја нашле функцијата :
– се совпадна со резултатот од 1-ви потстав;
– се совпадна со резултатот од 2-ри потстав.

Останува да откриеме дали има нешто интересно во сегментот:

- Ете го! Заменувајќи ја правата линија во равенката, ја добиваме ординатата на оваа „интересност“:

Означуваме точка на цртежот и ја наоѓаме соодветната вредност на функцијата:

Ајде да ги провериме пресметките користејќи ја верзијата „буџет“. :
, со цел.

И последниот чекор: Внимателно ги разгледуваме сите „храбри“ бројки, им препорачувам на почетниците дури и да направат единствен список:

од кои ги избираме најголемите и најмалите вредности. ОдговориАјде да запишеме во стилот на проблемот на наоѓање најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегмент:

За секој случај, уште еднаш ќе коментирам за геометриското значење на резултатот:
– тука е највисоката точка на површината во регионот;
– тука е најниската точка на површината во областа.

Во анализираната задача идентификувавме 7 „сомнителни“ точки, но нивниот број варира од задача до задача. За триаголен регион, минималниот „сет на истражување“ се состои од три точки. Ова се случува кога функцијата, на пример, одредува рамнина– сосема е јасно дека нема неподвижни точки, а функцијата може да ги достигне своите максимални/најмали вредности само на темињата на триаголникот. Но, има само еден или два слични примери - обично треба да се справите со некои површина од втор ред.

Ако малку ги решавате таквите задачи, тогаш триаголниците можат да ви ја завртат главата, и затоа ви подготвив необични примери за да ја направите квадрат :))

Пример 2

Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во затворена област ограничена со линии

Пример 3

Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во ограничен затворен регион.

Обрнете посебно внимание на рационалниот редослед и техниката на проучување на границата на регионот, како и на синџирот на посредни проверки, со што речиси целосно ќе се избегнат грешките во пресметката. Општо земено, можете да го решите како што сакате, но во некои проблеми, на пример, во Пример 2, постојат сите шанси да ви го отежни животот. Приближен примерок од завршните задачи на крајот од часот.

Ајде да го систематизираме алгоритмот за решение, инаку со мојата трудољубивост како пајак некако се изгуби во долгата нишка коментари од првиот пример:

– На првиот чекор градиме област, препорачливо е да ја засенчиме и да ја истакнеме границата со задебелена линија. При решавањето ќе се појават точки кои треба да се означат на цртежот.

- Најдете стационарни точки и пресметајте ги вредностите на функцијата само во тие од нивкои припаѓаат на регионот. Добиените вредности ги истакнуваме во текстот (на пример, заокружете ги со молив). Ако стационарна точка НЕ припаѓа на регионот, тогаш овој факт го означуваме со икона или вербално. Ако воопшто нема стационарни точки, тогаш извлекуваме писмен заклучок дека тие се отсутни. Во секој случај, оваа точка не може да се прескокне!

– Ја истражуваме границата на регионот. Прво, корисно е да се разберат правите линии кои се паралелни со координатните оски (ако воопшто ги има). Ги истакнуваме и вредностите на функциите пресметани на „сомнителни“ точки. Многу е кажано погоре за техниката на решение и нешто друго ќе се каже подолу - читај, препрочитај, истражувај во неа!

– Од избраните броеви изберете ги најголемите и најмалите вредности и дајте го одговорот. Понекогаш се случува функцијата да достигне такви вредности во неколку точки одеднаш - во овој случај, сите овие точки треба да се рефлектираат во одговорот. Нека, на пример, и се покажа дека ова е најмалата вредност. Потоа го запишуваме тоа

Конечните примери опфаќаат други корисни идеи кои ќе ни се најдат во пракса:

Пример 4

Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во затворен регион .

Ја задржав формулацијата на авторот, во која плоштината е дадена во форма на двојна неравенка. Овој услов може да биде напишан со еквивалентен систем или во потрадиционална форма за овој проблем:

Ве потсетувам дека со нелинеарнинаидовме на нееднаквости, и ако не го разбирате геометриското значење на ознаката, тогаш ве молиме не одложувајте и разјаснете ја ситуацијата веднаш;-)

Решение, како и секогаш, започнува со изградба на област што претставува еден вид „ѓон“:

Хм, понекогаш мора да го џвакаш не само гранитот на науката...

I) Најдете стационарни точки:

Системот е сон на идиот :)

Стационарна точка му припаѓа на регионот, имено, лежи на неговата граница.

И така, во ред е... лекцијата помина добро - еве што значи да се пие вистинскиот чај =)

II) Ја истражуваме границата на регионот. Без понатамошно одложување, да започнеме со оската x:

1) Ако, тогаш

Ајде да откриеме каде е темето на параболата:
– ценете ги таквите моменти – „погодивте“ точно до точка од која веќе се е јасно. Но, сè уште не забораваме да провериме:

Ајде да ги пресметаме вредностите на функцијата на краевите на сегментот:

2) Ајде да се справиме со долниот дел од „ѓонот“ „во едно седење“ - без никакви комплекси го заменуваме во функцијата и ќе нè интересира само сегментот:

Контрола:

Ова веќе внесува возбуда во монотоното возење по превитканата патека. Ајде да најдеме критични точки:

Ајде да одлучиме квадратна равенка, дали се сеќавате на нешто друго за ова? ...Сепак, запомнете, се разбира, инаку немаше да ги читате овие редови =) Ако во двата претходни примери пресметките во децимални фракции беа погодни (што, патем, е ретко), тогаш овде вообичаените обични дропки чекаат нас. Ги наоѓаме корените „Х“ и ја користиме равенката за да ги одредиме соодветните координати на „играта“ на точките „кандидати“:

Ајде да ги пресметаме вредностите на функцијата во пронајдените точки:

Проверете ја функцијата сами.

Сега внимателно ги проучуваме освоените трофеи и запишуваме одговори:

Ова се „кандидати“, ова се „кандидати“!

За да го решите сами:

Пример 5

Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата во затворен простор

Записот со кадрави загради гласи вака: „збир на точки такви што“.

Понекогаш во такви примери користат Лагранж метод на мултипликатор, но веројатно нема да има реална потреба да се користи. Така, на пример, ако е дадена функција со иста област „de“, тогаш по замена во неа - со изводот од без тешкотии; Покрај тоа, сè е нацртано во „една линија“ (со знаци) без потреба да се разгледуваат горните и долните полукругови одделно. Но, се разбира, има и посложени случаи, каде што без функцијата Лагранж (каде, на пример, е истата равенка на круг)Тешко е да се помине - исто како што е тешко да се помине без добар одмор!

Убаво време на сите и се гледаме наскоро следната сезона!

Решенија и одговори:

Пример 2: Решение: Ајде да ја прикажеме областа на цртежот:

Нека функцијата y =ѓ(X)е континуиран во интервалот [ а, б]. Како што е познато, таквата функција ги достигнува своите максимални и минимални вредности на овој сегмент. Функцијата може да ги земе овие вредности или во внатрешната точка на сегментот [ а, б], или на границата на сегментот.

Да се најдат најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегментот [ а, б] неопходно:

1) најдете ги критичните точки на функцијата во интервалот ( а, б);

2) пресметајте ги вредностите на функцијата во пронајдените критични точки;

3) пресметајте ги вредностите на функцијата на краевите на сегментот, односно кога x=Аи x = б;

4) од сите пресметани вредности на функцијата, изберете ја најголемата и најмалата.

Пример.Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата

на сегментот.

Наоѓање критични точки:

Овие точки се наоѓаат во сегментот; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

во точката x= 3 и во точката x= 0.

Проучување на функција за конвексност и точка на флексија.

Функција y = ѓ (x) повикани конвексенпомеѓу (а, б) , ако неговиот график лежи под тангентата нацртана во која било точка од овој интервал, и се нарекува конвексен надолу (конкавен), ако неговиот график лежи над тангентата.

Точката низ која конвексноста се заменува со конкавност или обратно се нарекува точка на флексија.

Алгоритам за испитување на конвексност и точка на флексија:

1. Најдете критични точки од вториот вид, односно точки во кои вториот извод е еднаков на нула или не постои.

2. Нацртај критични точки на бројната права, делејќи ја на интервали. Најдете го знакот на вториот извод на секој интервал; ако , тогаш функцијата е конвексна нагоре, ако, тогаш функцијата е конвексна надолу.

3. Ако при минување низ критична точка од вториот вид знакот се менува и во овој момент вториот извод е еднаков на нула, тогаш оваа точка е апсциса на точката на флексија. Најдете ја нејзината ордината.

Асимптоти на графикот на функција. Проучување на функција за асимптоти.

Дефиниција.Се нарекува асимптота на графикот на функцијата директно, кој има својство дека растојанието од која било точка на графикот до оваа права се стреми кон нула додека точката на графикот се движи неодредено од почетокот.

Постојат три типа на асимптоти: вертикална, хоризонтална и наклонета.

Дефиниција.Правата линија се нарекува вертикална асимптотафункционална графика y = f(x), ако барем една од едностраните граници на функцијата во оваа точка е еднаква на бесконечност, тоа е

каде е точката на дисконтинуитет на функцијата, односно не спаѓа во доменот на дефиниција.

Пример.

Д ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – точка на прекин.

Дефиниција.Директно y =Аповикани хоризонтална асимптотафункционална графика y = f(x)во , ако

Пример.

x
y

Дефиниција.Директно y =кx +б (к≠ 0) се нарекува коси асимптотафункционална графика y = f(x)каде

Општа шема за проучување на функции и конструирање графикони.

Алгоритам за истражување на функцииy = f(x) :

1. Најдете го доменот на функцијата Д (y).

2. Најдете (ако е можно) точките на пресек на графикот со координатните оски (ако x= 0 и на y = 0).

3. Испитајте ја рамномерноста и непарноста на функцијата ( y (‒ x) = y (x) ‒ паритет; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ чудно).

4. Најдете ги асимптотите на графикот на функцијата.

5. Најдете ги интервалите на монотоност на функцијата.

6. Најдете ги екстремите на функцијата.

7. Најдете ги интервалите на конвексност (конкавност) и точките на флексија на функционалниот график.

8. Врз основа на спроведеното истражување конструирај график на функцијата.

Пример.Истражете ја функцијата и изградете го нејзиниот график.

1) Д (y) =

x= 4 – точка на прекин.

2) Кога x = 0,

(0; ‒ 5) – точка на пресек со ох.

На y = 0,

3) y(‒ x)= функција од општа форма (ниту парни, ниту непарни).

4) Испитуваме за асимптоти.

а) вертикална

б) хоризонтална

в) најдете ги косите асимптоти каде

‒коса асимптотна равенка

5) Во оваа равенка не е потребно да се најдат интервали на монотоност на функцијата.

Овие критични точки го делат целиот домен на дефиниција на функцијата во интервалот (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) и (10; +∞). Удобно е да се прикажат добиените резултати во форма на следната табела: