Поделба на полином со биномен калкулатор. Како да се решат полиномните равенки во математиката. Лабораториски опции

Евклидов алгоритам за полиноми.Евклидов алгоритам ви овозможува да го пронајдете најголемиот заеднички делител на два полиноми, т.е. полином од највисок степен со кој двата дадени полиноми се делат без остаток.
Алгоритмот се заснова на фактот дека за кои било два полиноми во иста променлива, ѓ(x) И е(x), има такви полиноми q(x) И р(x), се нарекува количник и остаток, соодветно, кои

ѓ(x) = е(x)∙q(x) + р(x), (*)

во овој случај степенот на остатокот е помал од степенот на делителот, полином е(x), и, дополнително, според овие полиноми ѓ(x) И е(x) количникот и остатокот се единствено пронајдени. Ако еднаквоста (*) има остаток р(x) е еднаква на нултиот полином (нула), тогаш велат дека полиномот ѓ(x) поделено со е(x) без остаток.
Алгоритмот се состои од секвенцијална поделба со остаток прв од првиот даден полином, ѓ(x), на вториот, е(x):

ѓ(x) = е(x)∙q 1 (x) + р 1 (x), (1)

тогаш ако р 1 (x) ≠ 0, – вториот даден полином, е(x), на првиот остаток – до полином р 1 (x):

е(x) = р 1 (x)∙q 2 (x) + р 2 (x), (2)

р 1 (x) = р 2 (x)∙q 3 (x) + р 3 (x), (3)

тогаш ако р 3 (x) ≠ 0, – вториот остаток до третиот:

р 2 (x) = р 3 (x)∙q 4 (x) + р 4 (x), (4)

итн. Бидејќи во секоја фаза степенот на следниот остаток се намалува, процесот не може да продолжи бесконечно, така што во некоја фаза дефинитивно ќе дојдеме до ситуација следната, n+ 1-ви остаток р n+ 1 е еднакво на нула:

р n–2 (x) = р n–1 (x)∙q n (x) + р n (x),	(n)
р n–1 (x) = р n (x)∙q n+1 (x) + р n+1 (x),	(n+1)
р n+1 (x) = 0.	(n+2)

Потоа последниот не-нула остаток р n и ќе биде најголемиот заеднички делител на првобитниот пар полиноми ѓ(x) И е(x).
Навистина, ако врз основа на еднаквоста ( n+ 2) наместо тоа, замени 0 р n + 1 (x) во еднаквост ( n+ 1), потоа – добиената еднаквост р n – 1 (x) = р n (x)∙q n + 1 (x) наместо р n – 1 (x) – во еднаквост ( n), излегува дека р n – 2 (x) = р n (x)∙q n + 1 (x) q n (x) + р n (x), т.е. р n – 2 (x) = р n (x)(q n + 1 (x) q n (x) + 1), итн. Во еднаквоста (2) по замената го добиваме тоа е(x) = р n (x)∙П(x), и, конечно, од еднаквост (1) – тоа ѓ(x) = р n (x)∙С(x), Каде ПИ С– некои полиноми. Така, р n (x) е заеднички делител на двата оригинални полиноми, а фактот дека тој е најголемиот (т.е., најголемиот можен степен) произлегува од постапката на алгоритмот.
Ако најголемиот заеднички делител на два полиноми не содржи променлива (т.е. е број), оригиналните полиноми ѓ(x) И е(x) се нарекуваат меѓусебно премиер.

Дефиниција. Ако секој од двата полиноми е делив со трет полином, тогаш тој се нарекува заеднички делител на првите два.

Најголем заеднички делител (GCD) два полиноми се нарекува нивен заеднички делител од највисок степен.

GCD може да се најде со користење на нередуцирана факторизација или со користење на Евклидов алгоритам.

Пример 40Најдете го gcd на полиномите
.

Решение.Да ги факторизираме двата полиноми:

Од проширувањето е јасно дека бараниот GCD ќе биде полиномот ( X– 1).

Пример 41Најдете gcd од полиноми
И
.

Решение.Да ги факторизираме двата полиноми.

За полином
XX– 1) според шемата на Хорнер.

За полином
можни рационални корени се броевите 1, 2, 3 и 6. Со помош на замена го потврдуваме тоа X= 1 е коренот. Поделете го полиномот со ( X– 1) според шемата на Хорнер.

Затоа, , каде што проширувањето на квадратниот трином
беше произведен користејќи ја теоремата на Виета.

Споредувајќи ја факторизацијата на полиномите, откриваме дека бараниот GCD ќе биде полиномот ( X– 1)(X– 2).

Слично на тоа, можете да најдете GCD за неколку полиноми.

Сепак, методот за пронаоѓање на GCD со факторизација не е секогаш достапен. Методот што овозможува да се најде GCD за сите случаи се нарекува Евклидов алгоритам.

Шемата на Евклидовиот алгоритам е следна. Еден од двата полиноми е поделен со друг, чиј степен не е повисок од степенот на првиот. Понатаму, дивидендата секој пат се зема за полиномот што служел како делител во претходната операција, а остатокот добиен во истата операција се зема како делител. Овој процес престанува штом остатокот е нула. Ајде да го демонстрираме овој алгоритам со примери.

Да ги погледнеме полиномите употребени во двата претходни примери.

Пример 42Најдете gcd од полиноми
И
.

Решение.Ајде да се поделиме
на
"агол":

Сега да го поделиме делителот
за остатокот X– 1:

x+ 1

Бидејќи последната поделба се случи без остаток, GCD ќе биде X– 1, т.е. полиномот што се користи како делител во оваа поделба.

Пример 43Најдете gcd од полиноми
И
.

Решение. За да го најдеме GCD ќе го користиме Евклидов алгоритам. Ајде да се поделиме
на
"агол":

Ајде да направиме втора поделба. За да го направите ова, ќе треба да го поделиме претходниот делител
за остатокот
, но бидејќи
=
, за погодност ќе го поделиме полиномот
не на
, и натаму
. Таквата замена нема да го промени решението на проблемот, бидејќи gcd на пар полиноми се одредува до константен фактор. Ние имаме:

Остатокот се покажа дека е еднаков на нула, што значи последниот делител, т.е. полином

и ќе биде посакуваниот GCD.

Дробни рационални функции

Дефинициите и изјавите за 2.5 може да се најдат во.

Дробната рационална функција со реални коефициенти се нарекува израз на формата , Каде
И
- полиноми.

Се нарекува фракционо-рационална функција (во натамошниот текст ќе ја нарекуваме „дропка“). точно, ако степенот на полиномот во броителот е строго помал од степенот на полиномот во именителот. Инаку се вика погрешно.

Алгоритам за намалување неправилна дропкадо точниот се нарекува „избирање на целиот дел“.

Пример 44Изберете го целиот дел од дропката:
.

Решение.За да го изолирате целиот дел од дропката, треба да го поделите броителот на дропката со неговиот именител. Поделете го броителот на оваа дропка со неговиот именител користејќи „агол“:

Бидејќи степенот на добиениот полином е помал од степенот на делителот, процесот на делење е завршен. На крајот:

=
. Добиената фракција
е точно.

Дропка од формата
се нарекува наједноставно ако φ( x ) е нередуциран полином, а степенот
помал од степенот φ( x ).

Коментар.Забележете дека моќите на броителот и несведливиот полином во именителот се споредуваат (игнорирајќи ја моќноста на α).

За дропки со реални коефициенти, постојат 4 типа на едноставни дропки:

Секоја соодветна дропка може да се претстави како збир од едноставни дропки, чиишто именители се сите можни делители
.

Алгоритам за разложување на дропка во наједноставна форма:

Ако дропката е неправилна, тогаш го избираме целиот дел, а добиената правилна дропка ја разложуваме на едноставни.

Именителот на соодветната дропка го факторизираме во множители.

Правилната дропка запишуваме како збир на едноставни дропки со неодредени коефициенти.

Збирот на дропките од десната страна го доведуваме до заеднички именител.

Наоѓање на неодредени коефициенти:

Или со изедначување на коефициентите за истите моќи на левиот и десниот намален броител;

Или со замена на специфични (обично корените на нивниот заеднички именител) вредности x.

Одговорот го пишуваме земајќи го предвид целиот дел од дропката.

Пример 45Разложете го на наједноставно
.

Решение.Бидејќи оваа фракционо-рационална функција е неточна, го избираме целиот дел:

= 1 +
.

Ајде да ја прошириме добиената фракција
до наједноставните. Прво, да го факторизираме именителот. За да го направите ова, ги наоѓаме неговите корени користејќи ја стандардната формула:

Дозволете ни да го запишеме распаѓањето на фракционата рационална функција во нејзините наједноставни форми, користејќи неодредени коефициенти:

Да ја доведеме десната страна на еднаквоста до заеднички именител:

Ние создаваме систем со изедначување на коефициентите за истите моќи во броителите на левата и десната дропка:

Одговор:
.

Пример 46Разложете го на наједноставно
.

Решение.Бидејќи оваа дропка е соодветна (односно, степенот на броителот е помал од степенот на именителот), нема потреба да се истакнува целиот дел. Ајде да го факторизираме именителот на дропката:

Дозволете ни да го запишеме распаѓањето на оваа дропка во нејзините наједноставни форми, користејќи неодредени коефициенти:

Според изјавата, именители на наједноставните дропки мора да бидат Сите видови наделители на именителот на дропката:

. (2.2) Би било можно да се создаде систем на равенки со изедначување на броителите на левата и десната дропка, но во во овој примерпресметките ќе бидат премногу незгодни. Следната техника ќе помогне да се поедностават: ги заменуваме корените на именителот во броителите еден по еден.

На x = 1:

На X= ‑1:

Сега да ги одредиме преостанатите коефициенти АИ СОЌе биде доволно да се изедначат коефициентите од највисок степен и слободните членови. Може да се најдат без да се отворат заградите:

Левата страна на првата равенка содржи 0, бидејќи броителот на левата дропка во (2.2) не го содржи членот со , а во десната дропка членот со коефициент А + В. Левата страна на втората равенка содржи 0, бидејќи броителот на левата дропка во (2.2) слободен члене еднаков на нула, а броителот на десната дропка во (2.2) има слободен член еднаков на (- А + Б + В + Д). Ние имаме:

Одговор:
.

ПОДЕЛБА НА ПОЛИНОМИ. ЕВКЛИДСКИ АЛГОРИТАМ

§1. Поделба на полиноми

При делење, полиномите се претставени во канонска форма и се распоредени во опаѓачки сили на буквата, во однос на која се одредува степенот на дивидендата и делителот. Степенот на дивидендата мора да биде поголем или еднаков на степенот на делителот.

Резултатот од делењето е еден пар полиноми - количникот и остатокот, кои мора да ја задоволат еднаквоста:

< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток > .

Ако полином со степен nPn(x ) е делив,

Полином на степен m Rk(x ) е делител ( n ³ m),

Полином Qn – m (x ) – количник. Степенот на овој полином е еднаков на разликата помеѓу степените на дивидендата и делителот,

Полином со степен k Rk (x ) е остатокот од (к< m ).

Таа еднаквост

Pn(x) = Fm(x) × Qn – m(x) + Rk(x) (1,1)

мора да се исполни идентично, односно да остане валидна за сите реални вредности на x.

Уште еднаш да забележиме дека степенот на остатокотк мора да биде помала од моќноста на делителотм . Целта на остатокот е да го комплетира производот од полиномите Fm (x) и Qn – m (x ) до полином еднаков на дивидендата.

Ако производ на полиноми Fm (x) × Qn – m (x ) дава полином еднаков на дивидендата, а потоа остатокотР = 0. Во овој случај велат дека делењето се врши без остаток.

Да го погледнеме алгоритмот за делење полиноми користејќи конкретен пример.

Да претпоставиме дека сакате да го поделите полиномот (5x5 + x3 + 1) со полиномот (x3 + 2).

1. Поделете го водечкиот член на дивидендата 5x5 со водечкиот член на делителот x3:

Подолу ќе се покаже дека вака се наоѓа првиот член на количникот.

2. Деленикот се множи со следниот (првично првиот) член на количникот и овој производ се одзема од дивидендата:

5x5 + x3 + 1 – 5x2 (x3 + 2) = x3 – 10x2 + 1.

3. Дивидендата може да се претставува како

5x5 + x3 + 1 = 5x2(x3 + 2) + (x3 - 10x2 +

Ако во дејството (2) степенот на разликата се покаже дека е поголем или еднаков на степенот на делителот (како во примерот што се разгледува), тогаш со оваа разлика дејствата наведени погоре се повторуваат. При што

1. Водечкиот член на разликата x3 се дели со водечкиот член на делителот x3:

Подолу ќе се покаже дека вториот член во количникот се наоѓа на овој начин.

2. Деленикот се множи со следниот (сега втор) член на количникот и овој производ се одзема од последната разлика

X3 – 10x2 + 1 – 1 × (x3 + 2) = – 10x2 – 1.

3. Тогаш, последната разлика може да се претстави како

X3 – 10x2 + 1 = 1 × (x3 + 2) + (–10x2 +

Ако степенот на следната разлика се покаже дека е помал од степенот на делителот (како кога се повторува во дејството (2)), тогаш поделбата се комплетира со остаток еднаков на последната разлика.

За да потврдиме дека количникот е збирот (5x2 + 1), го заменуваме во еднаквост (1.2) резултатот од трансформацијата на полиномот x3 – 10x2 + 1 (види (1.3)): 5x5 + x3 + 1 = 5x2(x3 + 2 ) + 1× (x3 + 2) + (– 10x2 – 1). Потоа, откако ќе го извадиме заедничкиот фактор (x3 + 2) од загради, конечно добиваме

5x5 + x3 + 1 = (x3 + 2) (5x2 + 1) + (– 10x2 – 1).

Што, во согласност со еднаквоста (1.1), треба да се смета како резултат на делење на полиномот (5x5 + x3 + 1) со полиномот (x3 + 2) со количникот (5x2 + 1) и остатокот (– 10x2 – 1).

Овие дејства обично се составуваат во форма на дијаграм наречен „поделба по агол“. Во исто време, при пишувањето на дивидендата и последователните разлики, пожелно е да се произведат условите на збирот во сите опаѓачки моќи на аргументот без пропуст.

големина на фонт:14.0pt;висина на линија: 150%"> 5x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 2

5x5 +10x2 5x2 + 1

x3 –10x2 + 0x + 1

X3 + 2

–10x2 + 0x – 1

позиција:роднина; z-индекс:1">Гледаме дека делењето полиноми се сведува на секвенцијално повторување на дејствата:

1) на почетокот на алгоритмот, водечки член на дивидендата; последователно, водечкиот член на следната разлика се дели со водечкиот член на делителот;

2) резултатот од делењето го дава следниот член во количникот, со кој делителот се множи. Добиениот производ е запишан под дивидендата или следната разлика;

3) долниот полином се одзема од горниот полином и, ако степенот на добиената разлика е поголем или еднаков на степенот на делителот, тогаш со него се повторуваат дејствата 1, 2, 3.

Ако степенот на добиената разлика е помал од степенот на делителот, тогаш поделбата е завршена. Во овој случај, последната разлика е остатокот.

Пример бр. 1

позиција:апсолутна;z-индекс: 9;лево:0px;маргина-лево:190px;маргина-горе:0px;ширина:2px;висина:27px">

4x2 + 0x – 2

4x2 ± 2x ± 2

Така, 6x3 + x2 – 3x – 2 = (2x2 – x – 1)(3x + 2) + 2x.

Пример бр. 2

A3b2 + b5

A3b2 a2b3

– a2b3 + b5

± a2b3 ± ab4

Ab4 + b5

– ab4 b5

Така , a5 + b5 = (a + b)(a4 –a3b + a2b2 – ab3 + b4).

Пример №3

позиција:апсолутна;z-индекс: 26;лево:0px;маргина-лево:132px;маргина-горе:24px;ширина:194px;висина:2px"> x5 – y5 x – y

X5 x4y x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4

Х3у2 – у5

X3y2 ± x2y3

Ху 4 – г 5

Така, x5 – y5 = (x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4).

Генерализација на резултатите добиени во примерите 2 и 3 се две скратени формули за множење:

(x + a)(x2 n – x2 n –1 a + x2 n –2 a 2 – ... + a2n) = x 2n+1 + a2n + 1;

(x – a)(x 2n + x 2n–1 a + x 2n–2 a2 + … + a2n) = x 2n+1 – a2n + 1, каде што n О Н.

Вежби

Изведете акции

1. (– 2x5 + x4 + 2x3 – 4x2 + 2x + 4) : (x3 + 2).

Одговор: – 2x2 + x +2 – количник, 0 – остаток.

2. (x4 – 3x2 + 3x + 2) : (x – 1).

Одговор: x3 + x2 – 2x + 1 – количник, 3 – остаток.

3. (x2 + x5 + x3 + 1) : (1 + x + x2).

Одговор: x3 – x2 + x + 1 – количник, 2x – остаток.

4. (x4 + x2y2 + y4) : (x2 + xy + y2).

Одговор: x2 – xy + y2 – количник, 0 – остаток.

5. (a 3 + b 3 + c 3 – 3 abc) : (a + b + c).

Одговор: a 2 – (b + c) a + (b 2 – bc + c 2 ) – количник, 0 – остаток.

§2. Наоѓање на најголемиот заеднички делител на два полиноми

1. Евклидов алгоритам

Ако секој од двата полиноми е делив со трет полином, тогаш овој трет полином се нарекува заеднички делител на првите два.

Најголемиот заеднички делител (GCD) на два полиноми е нивниот заеднички делител со најголем степен.

Забележете дека секој број што не е еднаков на нула е заеднички делител на кои било два полиноми. Затоа, секој број што не е еднаков на нула се нарекува тривијален заеднички делител на овие полиноми.

Евклидовиот алгоритам предлага низа од дејства што или доведува до пронаоѓање на gcd на два дадени полиноми, или покажува дека таков делител во форма на полином од прв или повисок степен не постои.

Евклидов алгоритам е имплементиран како низа од поделби. Во првата поделба, полином од поголем степен се третира како дивиденда, а полином од помал степен се третира како делител. Ако полиномите за кои е пронајден GCD имаат исти степени, тогаш дивидендата и делителот се избираат произволно.

Ако, при следното делење, полиномот во остатокот има степен поголем или еднаков на 1, тогаш делителот станува дивиденда, а остатокот станува делител.

Ако следното делење на полиномите резултира со остаток еднаков на нула, тогаш gcd на овие полиноми е пронајден. Тоа е делител на последната поделба.

Ако, при следното делење на полиномите, остатокот испадне дека е број кој не е еднаков на нула, тогаш за овие полиноми нема други gcds освен тривијални.

Пример бр. 1

Намалете ја фракцијата .

Решение

Ајде да го најдеме gcd на овие полиноми користејќи го Евклидов алгоритам

1) x3 + 6x2 + 11x + 6 x3 + 7x2 + 14x + 8

X3 + 7x2 + 14x + 8 1

– x2 – 3x – 2

позиција:апсолутна;z-индекс: 37;лево:0px;маргина-лево:182px;маргина-горе:28px;ширина:121px;висина:2px">2) x3 + 7x2 + 14x + 8 - x2 - 3x - 2

X3 + 3x2 + 2x – x – 4

3x2 + 9x + 6

Така,

позиција:апсолутна;z-индекс: 49;лево:0px;маргина-лево:209px;маргина-горе:6px;ширина:112px;висина:20px"> font-size:14.0pt;line-height:150%">Одговор: големина на фонт:14.0pt;висина на линија:150%"> 2. Можности за поедноставување на GCD пресметките во Евклидов алгоритам

Теорема

При множење на дивидендата со број кој не е еднаков на нула, количникот и остатокот се множат со ист број.

Доказ

Нека P е дивиденда, F е делител, Q е количник, R - остаток. Потоа,

P = F × Q + R.

Множење на овој идентитет со бројота ¹ 0, добиваме

a P = F × (a Q) + a R,

каде што полиномот a P може да се смета како дивиденда, и полиноми Q и R – како количник и остаток добиени со делење на полином a P до полиномот F . Така, при множење на дивидендата со број a¹ 0, количникот и остатокот исто така се множат со a, h.t.d

Последица

Множење на делител со број a¹ 0 може да се смета како множење на дивидендата со бројот.

Затоа, при множење на делител со број a¹ 0 е количник, а остатокот се множи со .

Пример бр. 2

Најдете го количникот Q и остатокот R при делење на полиноми

Големина на фонт:14.0pt;висина на линија:150%"> Решение

За да отидеме до целобројните коефициенти во дивидендата и делителот, ја помножуваме дивидендата со 6, што ќе доведе до множење на саканиот количник со 6П и остаток Р . После тоа, помножете го делителот со 5, што ќе доведе до множење на количникот 6П и остаток 6 Р на . Како резултат на тоа, количникот и остатокот добиени со делење полиноми со целобројни коефициенти ќе се разликуваат неколку пати од саканите вредности на количникотП и остаток Р добиени со делење на овие полиноми.

12y4 – 22xy3 + 18x2y2 – 11x3y + 3x4 2y2 – 3xy + 5x2

12у4 ± 18ху3 30x2y2 6y2 – 2xy – 9x2 =

– 4x3 – 12x2y2 – 11x3y + 3x4

± 4ху3 6х2у2 ± 10х3у

– 18x2y2 – x3y + 3x4

± 18х2у2 27х3у ± 45х4

– 28х3у + 48х4 = големина на фонт:14.0pt;висина на линија:150%">Оттука, ;

Одговор: , .

Забележете дека ако се најде најголемиот заеднички делител на овие полиноми, тогаш со множење со кој било број што не е еднаков на нула, ќе го добиеме и најголемиот делител на овие полиноми. Оваа околност овозможува поедноставување на пресметките во Евклидовиот алгоритам. Имено, пред следното делење, дивидендата или делителот може да се помножат со броеви избрани на посебен начин така што коефициентот на првиот член во количникот е цел број. Како што е прикажано погоре, множењето на дивидендата и делителот ќе доведе до соодветна промена во делумниот остаток, но таква што, како резултат на тоа, GCD на овие полиноми ќе се помножи со некој број еднаков на нула, што е прифатливо.

Пример бр. 3

Намалете ја фракцијата .

Решение

Применувајќи го Евклидов алгоритам, добиваме

позиција:апсолутна;z-индекс: 59;лево:0px;маргина-лево:220px;маргина-горе:27px;ширина:147px;висина:2px">1) x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 x4 + x3 - 3x2 + 4

X4 x3 ± 3x2 големина на фонт: 14,0 pt; line-height:150%"> 4 1

2x3 + 6x2 + 3x – 2

големина на фонт: 14,0 pt; линија-висина:150%">2) 2(x4 + x3 - 3x2 + 4) = 2x4 + 2x3 - 6x2 + 8 2x3 + 6x2 + 3x - 2

2x4 6x3 3x2 ± 2x x – 2

– 4x3 – 9x2 + 2x + 8

± 4х3 ± 12х2 ± 6х големина на фонт: 14,0 pt; линија-висина:150%">4

3x2 + 8x + 4

3) 3 (2x3 + 6x2 + 3x - 2) = 6x3 + 18x2 + 9x - 6 3x2 + 8x + 4

6x3 големина на фонт:14.0pt">16x2 големина на фонт:14.0pt">8x 2x +

1. Евклидов алгоритам

Најголемиот заеднички делител (GCD) на два полиноми е нивниот заеднички делител со најголем степен.

Евклидов алгоритам е имплементиран како низа од поделби. Во првата поделба, полиномот од поголем степен се третира како дивиденда, а помалиот - како делител. Ако полиномите за кои е пронајден GCD имаат исти степени, тогаш дивидендата и делителот се избираат произволно.

Ако при следното делење полиномот во остатокот има степен поголем или еднаков на 1, тогаш делителот станува дивиденда, а остатокот станува делител.

Ако, при следното делење на полиномите, остатокот се покаже дека е број кој не е еднаков на нула, тогаш за овие полиноми нема gcds освен тривијални.

Пример бр. 1

Намалете ја фракцијата.

2. Можности за поедноставување на GCD пресметките во Евклидов алгоритам

При множење на дивидендата со број кој не е еднаков на нула, количникот и остатокот се множат со ист број.

Доказ

Нека P е дивидендата, F делителот, Q количникот, R остатокот. Потоа,

Помножувајќи го овој идентитет со бројот 0, добиваме

каде што полиномот P може да се смета како дивиденда, а полиномите Q и R - како количник и остаток добиени со делење на полиномот P со полиномот F. Така, при множење на дивидендата со бројот 0, количникот и остатокот се исто така помножено со, h.t. d

Последица

Множењето на делителот со бројот 0 може да се смета како множење на дивидендата со бројот.

Според тоа, кога делител се множи со број, 0 е количник, а остатокот се множи со.

Пример бр. 2

Најдете го количникот Q и остатокот R при делење полиноми

делење полином алгоритам Евклидов

За да отидеме до целобројните коефициенти во дивидендата и делителот, ја множиме дивидендата со 6, што ќе доведе до множење на саканиот количник Q, а остатокот R со 6. После тоа, делителот го множиме со 5, што ќе доведе до множењето на количникот 6Q и остатокот 6R со. Како резултат на тоа, количникот и остатокот добиени со делење полиноми со целобројни коефициенти ќе се разликуваат со фактор неколку пати од саканите вредности на количникот Q и остатокот R добиен со делење на овие полиноми.

Оттука, ;

Употребата на равенки е широко распространета во нашите животи. Тие се користат во многу пресметки, изградба на структури, па дури и спорт. Човекот користел равенки во античко време, и оттогаш нивната употреба само се зголемува. Полиномот е алгебарски збир од производите на броевите, променливите и нивните моќи. Конвертирањето на полиноми обично вклучува два вида проблеми. Изразот треба да биде или поедноставен или факторизиран, т.е. го претставуваат како производ на два или повеќе полиноми или моном и полином.

За да го поедноставите полиномот, дајте слични поими. Пример. Поедностави го изразот \ Најдете мономи со истиот дел од буквите. Преклопете ги. Запишете го добиениот израз: \ Го поедноставивте полиномот.

За проблеми кои бараат факторинг на полином, определи го заедничкиот фактор на дадениот израз. За да го направите ова, прво отстранете ги од заградите оние променливи што се вклучени во сите членови на изразот. Покрај тоа, овие променливи треба да имаат најнизок индикатор. Потоа пресметајте го најголемиот заеднички делител на секој од коефициентите на полиномот. Модулот на добиениот број ќе биде коефициентот на заедничкиот множител.

Пример. Факторирајте го полиномот \ Извадете го од загради \ затоа што променливата m е вклучена во секој член од овој израз и нејзиниот најмал експонент е два. Пресметајте го заедничкиот фактор на множител. Тоа е еднакво на пет. Така, заедничкиот фактор на овој израз е \ Оттука: \

Каде можам да решам полиномна равенка онлајн?

Равенката можете да ја решите на нашата веб-страница https://site. Бесплатниот онлајн решавач ќе ви овозможи да решавате онлајн равенки од секаква сложеност за неколку секунди. Сè што треба да направите е едноставно да ги внесете вашите податоци во решавачот. Можете исто така да гледате видео инструкции и да научите како да ја решите равенката на нашата веб-страница. И ако сè уште имате прашања, можете да ги поставите во нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Придружете се на нашата група, ние секогаш сме среќни да ви помогнеме.

Поделба на полином со биномен калкулатор. Како да се решат полиномните равенки во математиката. Лабораториски опции

Дробни рационални функции

Каде можам да решам полиномна равенка онлајн?