Број на билет 45. Најмал заеднички множител на броеви. Неговите својства и методи на пронаоѓање. Примери.

Пресметување на најмалиот заеднички множител (LCM) со помош на GCD (најмал заеднички делител)

Еден начин да се најде најмалиот заеднички множител се заснова на односот помеѓу LCM и GCD. Постоечката врска помеѓу LCM и GCD ни овозможува да го пресметаме најмалиот заеднички множител на два позитивни цели броеви преку познат најголем заеднички делител. Соодветната формула е LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Ајде да погледнеме примери за наоѓање на LCM користејќи ја дадената формула.

Пример.

Најдете го најмалиот заеднички множител на два броја 126 И 70 .

Решение.

Во овој пример a=126, b=70. Дозволете ни да ја искористиме врската помеѓу LCM и GCD, изразена со формулата LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Односно, прво треба да го најдеме најголемиот заеднички делител на броевите 70 И 126 , по што можеме да го пресметаме LCM на овие броеви користејќи ја напишаната формула.

Ќе најдеме GCD (126, 70)користејќи го Евклидов алгоритам: 126=70 1+56, 70=56 1+14, 56=14·4, оттука, GCD(126, 70)=14.

Сега го наоѓаме потребниот најмал заеднички множител: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)=126·70:14=630.

Одговор:

LCM(126, 70)=630.

Пример.

Што е еднакво на NOC (68, 34)?

Решение.

Бидејќи 68 делив со 34 , Тоа gcd(68, 34)=34. Сега го пресметуваме најмалиот заеднички множител: GCD(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)=68 34:34=68.

Одговор:

LCM(68, 34)=68.

Забележете дека претходниот пример одговара на следново правило за наоѓање LCM за позитивни цели броеви аИ б: ако број аподелено со б, тогаш најмалиот заеднички множител од овие броеви е а.

Наоѓање на LCM со факторингирање на броеви во прости множители

Друг начин да се најде најмалиот заеднички множител е врз основа на факторингирање на броеви во прости множители. Ако составите производ од сите прости множители на дадените броеви, а потоа од овој производ ги исклучите сите заеднички прости множители присутни во разградувањето на дадените броеви, тогаш добиениот производ ќе биде еднаков на најмалиот заеднички множител на дадените броеви .

Наведеното правило за наоѓање на ЛКМ произлегува од еднаквоста LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Навистина, производ на броеви аИ беднаков на производот на сите фактори вклучени во проширувањето на броевите аИ б. За возврат GCD(a, b)еднаков на производот на сите прости множители кои се истовремено присутни во проширувањата на броевите аИ б(за што е напишано во делот за наоѓање gcd со помош на раздвојување на броевите во прости множители).

Да дадеме пример. Дозволете ни да го знаеме тоа 75=3·5·5И 210=2·3·5·7. Ајде да составиме производ од сите фактори на овие проширувања: 2·3·3·5·5·5·7. Сега од овој производ ги исклучуваме сите фактори присутни во проширувањето на бројот 75 и во проширувањето на бројките 210 (такви множители се 3 И 5 ), тогаш производот ќе добие форма 2,3,5,5,7. Вредноста на овој производ е еднаква на најмалиот заеднички множител на броевите 75 И 210 , тоа е, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Пример.

Разложување на бројките 441 И 700 за прости множители, пронајдете го најмалиот заеднички множител од овие броеви.

Решение.

Ајде да ги разложиме бројките 441 И 700 во главните фактори:

Добиваме 441=3·3·7·7И 700=2·2·5·5·7.

Сега да создадеме производ од сите фактори вклучени во проширувањето на овие бројки: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Да ги исклучиме од овој производ сите фактори кои се истовремено присутни во двете проширувања (има само еден таков фактор - овој број 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7. Така, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Одговор:

NOC(441, 700)= 44 100.

Правилото за наоѓање на LCM со користење на раздвојување на броеви во прости множители може да се формулира малку поинаку. Ако на факторите од проширувањето на некој број адодадете фактори што недостасуваат од проширувањето на бројот б, тогаш вредноста на добиениот производ ќе биде еднаква на најмалиот заеднички множител од броевите аИ б .

На пример, да ги земеме сите исти броеви 75 И 210 , нивните факторизирање во прости фактори се како што следува: 75=3·5·5И 210=2·3·5·7. На фактори 3 , 5 И 5 од проширување на број 75 2 И 7 од проширување на број 210 , го добиваме производот 2,3,5,5,7, чија вредност е NOC (75, 210).

Пример.

Најдете го најмалиот заеднички множител на броеви 84 И 648 .

Решение.

Прво ги добиваме разложувањата на броевите 84 И 648 во основни фактори. Тие изгледаат како 84=2·2·3·7И 648=2·2·2·3·3·3·3. До множители 2 , 2 , 3 И 7 од проширување на број 84 додадете множители што недостасуваат 2 , 3 , 3 И 3 од проширување на број 648 , го добиваме производот 2·2·2·3·3·3·3·7, што е еднакво 4 536 . Така, саканиот најмал заеднички множител на броевите 84 И 648 еднакви 4 536 .

Одговор:

LCM (84, 648) = 4.536.

Ајде да разгледаме два главни методи за пронаоѓање на GCD на два главни начини: користење на Евклидов алгоритам и со распаѓање на прости фактори. Ајде да ги примениме двата методи за два, три или повеќе броеви.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Евклидов алгоритам за пронаоѓање на GCD

Евклидовиот алгоритам го олеснува пресметувањето на најголемиот заеднички фактор на два позитивни броја. Ги претставивме формулациите и доказот на Евклидовиот алгоритам во делот „Најголем заеднички делител: детерминанта, примери“.

Суштината на алгоритмот е последователно да се изврши поделба со остаток, при што се добиваат низа еднаквости на формата:

a = b q 1 + r 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Можеме да ја завршиме поделбата кога r k + 1 = 0, при што r k = gcd (a , b).

Пример 1

64 И 48 .

Решение

Да ги воведеме следните ознаки: a = 64, b = 48.

Врз основа на Евклидов алгоритам, ќе извршиме поделба 64 на 48 .

Добиваме 1, а остатокот 16. Излегува дека q 1 = 1, r 1 = 16.

Вториот чекор е да се подели 48 до 16, добиваме 3. Тоа е q 2 = 3, А r 2 = 0.Така, бројот 16 е најголемиот заеднички делител за броевите од условот.

Одговор: GCD (64, 48) = 16.

Пример 2

Што е GCD на броеви? 111 И 432 ?

Решение

Ние се делиме 432 на 111 . Според Евклидов алгоритам, го добиваме синџирот на еднаквости 432 = 111 · 3 + 99, 111 = 99 · 1 + 12, 99 = 12 · 8 + 3, 12 = 3 · 4.

Така, најголемиот заеднички делител на броеви е 111 И 432 - ова е 3.

Одговор: GCD (111, 432) = 3.

Пример 3

Најдете го најголемиот заеднички делител на броевите 661 и 113.

Решение

Ајде последователно да ги поделиме броевите и да добиеме GCD (661 , 113) = 1 . Ова значи дека 661 и 113 се релативно прости броеви. Ова би можеле да го сфатиме пред да започнеме со пресметката ако се консултираме со табела со прости броеви.

Одговор: GCD (661, 113) = 1.

Наоѓање на GCD со факторингирање на броеви во прости множители

За да се најде најголемиот заеднички делител на два броја со методот на размножување, потребно е да се помножат сите прости множители кои се добиваат со множење на овие два броја и се заеднички за нив.

Пример 4

Ако ги пресметаме броевите 220 и 600 во прости множители, добиваме два производа: 220 = 2 2 5 11И 600 = 2 2 2 3 5 5. Заедничките фактори во овие два производи се 2, 2 и 5. Ова значи дека GCD (220, 600) = 2 2 5 = 20.

Пример 5

Најдете го најголемиот заеднички делител на броевите 72 И 96 .

Решение

Најдете ги сите прости множители на броевите 72 И 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

Заедничките прости множители за два броја се 2, 2, 2 и 3. Ова значи дека GCD (72, 96) = 2 2 2 3 = 24.

Одговор: GCD (72, 96) = 24.

Правилото за наоѓање на најголемиот заеднички делител на два броја се заснова на својствата на најголемиот заеднички делител, според кој gcd (m a 1, m b 1) = m gcd (a 1, b 1), каде што m е секој позитивен цел број .

Наоѓање на gcd од три или повеќе броеви

Без разлика на бројот на броеви за кои треба да го најдеме GCD, ќе го следиме истиот алгоритам, кој се состои од секвенцијално наоѓање на GCD на два броја. Овој алгоритам се заснова на примена на следната теорема: GCD од неколку броеви a 1 , a 2 , ... , a kеднаков на бројот дк, кој се наоѓа со секвенцијално пресметување на gcd (a 1, a 2) = d 2, GCD (d 2 , a 3) = d 3 , GCD (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .

Пример 6

Најдете го најголемиот заеднички делител на четири броеви 78, 294, 570 и 36 .

Решение

Да ја воведеме ознаката: a 1 = 78, a 2 = 294, a 3 = 570, a 4 = 36.

Да почнеме со наоѓање на gcd од броевите 78 и 294: d 2 = GCD (78 , 294) = 6 .

Сега да почнеме да наоѓаме d 3 = GCD (d 2 , a 3) = GCD (6, 570). Според Евклидовиот алгоритам 570 = 6 95.Тоа значи дека d 3 = GCD (6 , 570) = 6 .

Ајде да најдеме d 4 = GCD (d 3 , a 4) = GCD (6, 36). 36 делив со 6 без остаток. Ова ни овозможува да добиеме d 4 = GCD (6 , 36) = 6 .

d4 = 6, односно GCD (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

Одговор:

Сега да погледнеме друг начин за пресметување на GCD за тие и повеќе броеви. Можеме да го најдеме gcd со множење на сите заеднички прости множители на броеви.

Пример 7

Пресметајте го GCD на броевите 78, 294, 570 и 36 .

Решение

Ајде да ги разложиме овие броеви на прости множители: 78 = 2 3 13, 294 = 2 3 7 7, 570 = 2 3 5 19, 36 = 2 2 3 3.

За сите четири броеви, заеднички прости множители ќе бидат броевите 2 и 3.

Излегува дека GCD (78, 294, 570, 36) = 2 3 = 6.

Одговор: GCD (78, 294, 570, 36) = 6.

Наоѓање GCD на негативни броеви

Ако треба да се справиме со негативни броеви, тогаш можеме да ги искористиме модулите на овие броеви за да го најдеме најголемиот заеднички делител. Можеме да го направиме ова, знаејќи го својството на броевите со спротивни знаци: броеви nИ -nимаат исти делители.

Пример 8

Најдете го gcd на негативни цели броеви − 231 И − 140 .

Решение

За да извршиме пресметки, ги земаме модулите на броевите дадени во условот. Тоа ќе бидат броевите 231 и 140. Да го запишеме накратко: GCD (− 231 , − 140) = GCD (231, 140) . Сега го применуваме Евклидов алгоритам за да најдеме прости множители на два броја: 231 = 140 · 1 + 91 ; 140 = 91 1 + 49 ; 91 = 49 · 1 + 42 ; 49 = 42 1 + 7 и 42 = 7 6. Добиваме дека GCD (231, 140) = 7 .

И бидејќи GCD (− 231 , − 140) = GCD (231 , 140) , потоа gcd од броеви − 231 И − 140 еднакви 7 .

Одговор: GCD (− 231, − 140) = 7.

Пример 9

Одреди го gcd на три броја − 585, 81 и − 189 .

Решение

Да ги замениме негативните броеви во горната листа со нивните апсолутни вредности, добиваме GCD (− 585 , 81 , − 189) = GCD (585 , 81 , 189) . Потоа ги факторираме сите овие броеви во прости фактори: 585 = 3 3 5 13, 81 = 3 3 3 3 и 189 = 3 3 3 7. Заеднички за трите броеви се простите множители 3 и 3. Излегува дека GCD (585, 81, 189) = GCD (− 585, 81, − 189) = 9.

Одговор: GCD (− 585, 81, − 189) = 9.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Претставувањето на број како производ на прости броеви се нарекува со факторингирање на овој број во прости множители.

На пример, пишувањето 110 = 2 5 11 значи дека бројот 110 се вбројува во простите множители 2, 5 и 11.

Генерално, секој композитен број може да се разложи на прости множители, а со кој било метод се добива истото разложување, ако не се земе предвид редоследот на множителите. Според тоа, претставите на бројот 110 во форма на производ од 2 · 5 · 11 или производ од 5 · 2 · 11 се, во суштина, исто разложување на бројот 110 на прости множители.

Кога ги разложуваме броевите на прости множители, користејќи ги знаците за делење со 2, 3, 5 итн., да се потсетиме на начинот на запишување на разложување на број на прости множители. Да го разложиме, на пример, бројот 720 на прости множители.Бројот 720 е делив со 2. Тоа значи дека 2 е еден од простите множители во разградувањето на бројот 720. Поделете 720 со 2. Се запишува бројот 2 десно од знакот за еднаквост, а количникот 360 е запишан под бројот 720. Број подели 360 на 2, добиваме 180. Се дели 180 на 2, добиваме 90, делиме 90 на 2, добиваме 45, дели 45 со 3, добиваме 15, делиме 15 со 3, добиваме 5. Бројот 5 е прост, кога го делиме со 5 добиваме 1. Факторизацијата е завршена.

720 = 2 2 2 2 3 3 5

Производот на идентични множители обично се заменува со моќност: 720 = 5. Овој приказ на бројот 720 се нарекува канонски погледовој број.

Факторирањето на број во прости множители се користи за да се најде неговиот најголем заеднички делител и најмал заеднички множител.

Да го најдеме, на пример, најголемиот заеднички делител и најмалиот заеднички множител од броевите 3600 и 288.

Ајде да го претставиме секој од овие броеви во канонска форма.

3600 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 = · · ; 288 = 2 2 2 2 2 3 3 =

Во простата факторизација на најголемиот заеднички делител на броевите 3600 и 288, сите мора да бидат вклучени множи заеднички прости броеви,кои се содржани во проширувањата на овие броеви и секој од нив мора да се земе од најниска стапкасо што влегува во двете проширувања. Според тоа, проширувањето на најголемиот заеднички делител на броевите 3600 и 288 ќе ги вклучи факторите и . Значи D (3600? 288) = · = 144.

Простата факторизација на најмалиот заеднички множител од 3600 и 288 мора да ги вклучи сите прости множители содржани во барем во еднаод проширувањата на броевите 3600 и 288 и мора да се земе секој од нив со највисока стапка,вклучени во двете проширувања на овие бројки. Според тоа, проширувањето на најмалиот заеднички множител на 3600 и 288 ќе ги вклучи факторите , , 5. Ова значи



К (3600, 288) = · · 5 = 7200.

Општо земено, да се најде најголемиот заеднички делител на дадените броеви:

2) Формираме производ на прости множители заеднички за сите дадени броеви и секој од нив го земаме со најмалиот експонент со кој е вклучен во сите проширувања на овие броеви;

3) Најдете ја вредноста на овој производ - тој ќе биде најголемиот заеднички делител на овие броеви.

За да го пронајдете најмалиот заеднички множител на дадените броеви:

1) Го претставуваме секој даден број во канонска форма;

2) Формираме производ од сите прости фактори кои се наоѓаат во проширувањата на овие броеви и го земаме секој со највисокиот експонент со кој е вклучен во сите проширувања на дадените броеви;

3) Најдете ја вредноста на овој производ - тоа ќе биде најмалиот заеднички множител од овие броеви.