(од грчки λόγος - „збор“, „врска“ и ἀριθμός - „број“) броеви ббазирано на а(log α б) се нарекува таков број в, И б= а в, односно го запишува дневникот α б=вИ b=aвсе еквивалентни. Логаритмот има смисла ако a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Со други зборови логаритамброеви ббазирано на Аформулиран како експонент на кој мора да се подигне број аза да го добиете бројот б(логаритам постои само за позитивни броеви).
Од оваа формулација произлегува дека пресметката x= log α б, е еквивалентно на решавање на равенката a x =b.
На пример:
дневник 2 8 = 3 бидејќи 8 = 2 3 .
Да нагласиме дека посочената формулација на логаритамот овозможува веднаш да се определи логаритамска вредност, кога бројот под знакот логаритам делува како одредена моќност на основата. Навистина, формулацијата на логаритмот овозможува да се оправда дека ако b=a c, потоа логаритам на бројот ббазирано на аеднакви Со. Исто така, јасно е дека темата логаритми е тесно поврзана со темата моќи на број.
Пресметувањето на логаритам се нарекува логаритам. Логаритам е математичка операција на земање логаритам. Кога се земаат логаритми, производите на факторите се трансформираат во збирови на членови.
Потенцијацијае инверзна математичка операција на логаритам. За време на потенцирањето, дадена основа се подига до степенот на изразување над кој се врши потенцирањето. Во овој случај, збировите на поими се трансформираат во производ на фактори.
Доста често се користат вистински логаритми со основи 2 (бинарни), e Ојлеров број e ≈ 2,718 ( природен логаритам) и 10 (децимална).
Во оваа фаза, препорачливо е да се разгледа логаритамски примероцидневник 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.
И записите lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 немаат смисла, бидејќи во првиот од нив негативен број е ставен под знакот на логаритамот, во вториот има негативен број во основата, а во третата има негативен број под логаритамскиот знак и единица во основата.
Услови за определување на логаритам.
Вреди да се разгледаат одделно условите a > 0, a ≠ 1, b > 0.под кои добиваме дефиниција на логаритам.Ајде да размислиме зошто беа преземени овие ограничувања. Во тоа ќе ни помогне еднаквоста од формата x = log α б, наречен основен логаритамски идентитет, што директно произлегува од дефиницијата за логаритам дадена погоре.
Да ја земеме состојбата a≠1. Бидејќи еден на која било моќност е еднаков на еден, тогаш еднаквоста x=log α бможе да постои само кога b=1, но дневникот 1 1 ќе биде кој било реален број. За да ја елиминираме оваа нејасност, земаме a≠1.
Да ја докажеме неопходноста на состојбата a>0. На a=0според формулацијата на логаритамот може да постои само кога b=0. И соодветно тогаш дневник 0 0може да биде кој било реален број што не е нула, бидејќи нула до која било ненулта моќност е нула. Оваа двосмисленост може да се отстрани со состојбата a≠0. И кога а<0 би требало да ја отфрлиме анализата на рационалните и ирационалните вредности на логаритамот, бидејќи степенот со рационален и ирационален експонент е дефиниран само за ненегативни основи. Токму поради оваа причина условот е пропишан a>0.
И последниот услов б>0произлегува од нееднаквоста a>0, бидејќи x=log α б, и вредноста на степенот со позитивна основа асекогаш позитивно.
Карактеристики на логаритмите.
Логаритмисе карактеризира со карактеристични карактеристики, што доведе до нивна широка употреба за значително олеснување на макотрпните пресметки. Кога се движите „во светот на логаритмите“, множењето се трансформира во многу полесно собирање, делењето се трансформира во одземање, а степенувањето и екстракцијата на коренот се трансформираат, соодветно, во множење и делење со експонентот.
Формулирање на логаритми и табела на нивните вредности (за тригонометриски функции) за прв пат беше објавен во 1614 година од шкотскиот математичар Џон Напиер. Логаритамските табели, зголемени и детализирани од други научници, беа широко користени во научните и инженерските пресметки и останаа релевантни до употребата на електронски калкулатори и компјутери.
Опсег на прифатливи вредности (APV) на логаритамот
Сега да зборуваме за ограничувања (ODZ - опсегот на дозволените вредности на променливите).
Се сеќаваме дека, на пример, Квадратен коренне може да се извлече од негативни броеви; или ако имаме дропка, тогаш именителот не може да биде еднаков на нула. Логаритмите имаат слични ограничувања:
Односно, и аргументот и основата мора да бидат поголеми од нула, но основата сè уште не може да биде еднаква.
Зошто е тоа?
Да почнеме со едноставна работа: да го кажеме тоа. Тогаш, на пример, бројката не постои, бидејќи без разлика на која моќ ќе подигнеме, секогаш излегува. Згора на тоа, тоа не постои за никого. Но, во исто време може да биде еднакво на било што (од истата причина - еднакво на кој било степен). Затоа, предметот не е од интерес, и едноставно е исфрлен од математиката.
Сличен проблем имаме и во случајот: во било кој позитивен степен- ова е, но воопшто не може да се подигне на негативно, бидејќи тоа ќе резултира со делење со нула (да ве потсетам дека).
Кога сме соочени со проблемот на подигање до фракциона моќ (кој е претставен како корен: . На пример, (т.е.), но тој не постои.
Затоа, полесно е да се фрлат негативните причини отколку да се чепкаат со нив.
Па, бидејќи нашата база a може да биде само позитивна, тогаш без разлика на која моќ ќе ја подигнеме, секогаш ќе добиеме строго позитивен број. Значи, аргументот мора да биде позитивен. На пример, не постои, бидејќи во никој случај нема да има негативен број(па дури и нула, затоа исто така не постои).
Во проблемите со логаритми, првото нешто што треба да направите е да го запишете ODZ. Дозволете ми да ви дадам пример:
Да ја решиме равенката.
Да се потсетиме на дефиницијата: логаритам е моќта на која основата мора да се подигне за да се добие аргумент. А според условот овој степен е еднаков на: .
Ја добиваме вообичаената квадратна равенка: . Ајде да го решиме користејќи ја теоремата на Виета: збирот на корените е еднаков, а производот. Лесно се подигаат, тоа се бројки и.
Но, ако веднаш ги земете и напишете двата од овие бројки во одговорот, можете да добиете 0 поени за проблемот. Зошто? Ајде да размислиме што ќе се случи ако ги замениме овие корени во почетната равенка?
Ова е очигледно неточно, бидејќи основата не може да биде негативна, односно коренот е „трета страна“.
За да избегнете такви непријатни стапици, треба да го запишете ODZ дури и пред да започнете да ја решавате равенката:
Потоа, откако ги добивме корените и, веднаш го отфрламе коренот и го пишуваме точниот одговор.
Пример 1(обидете се сами да го решите) :
Најдете го коренот на равенката. Ако има неколку корени, наведете го најмалиот од нив во вашиот одговор.
Решение:
Прво, да го напишеме ОДЗ:
Сега да се потсетиме што е логаритам: до која моќ треба да ја подигнете основата за да го добиете аргументот? До вториот. Тоа е:
Се чини дека помалиот корен е еднаков. Но, тоа не е така: според ОДЗ, коренот е вонреден, односно воопшто не е коренот на оваа равенка. Така, равенката има само еден корен: .
Одговор: .
Основен логаритамски идентитет
Да се потсетиме на дефиницијата за логаритам во општа форма:
Ајде да го замениме логаритамот во втората еднаквост:
Оваа еднаквост се нарекува основен логаритамски идентитет. Иако во суштина ова е еднаквост - само напишано поинаку дефиниција на логаритам:
Ова е моќта до која треба да се подигнете за да стигнете.
На пример:
Решете ги следниве примери:
Пример 2.
Најдете го значењето на изразот.
Решение:
Да се потсетиме на правилото од делот:, односно при подигање на моќност на моќност, експонентите се множат. Ајде да го примениме:
Пример 3.
Докажете го тоа.
Решение:
Својства на логаритмите
За жал, задачите не се секогаш толку едноставни - честопати прво треба да го поедноставите изразот, да го доведете до неговата вообичаена форма и само тогаш ќе биде можно да се пресмета вредноста. Ова е најлесно да се направи ако знаете својства на логаритми. Значи, да ги научиме основните својства на логаритмите. Ќе го докажам секое од нив, бидејќи секое правило е полесно да се запамети ако знаете од каде доаѓа.
Сите овие својства мора да се запомнат; без нив, повеќето проблеми со логаритми не можат да се решат.
И сега за сите својства на логаритмите подетално.
Сопственост 1:
Доказ:
Нека биде тогаш.
Имаме: итн.
Својство 2: Збир на логаритми
Збирот на логаритми со исти основи е еднаков на логаритмот на производот: .
Доказ:
Нека биде тогаш. Нека биде тогаш.
Пример:Најдете го значењето на изразот: .
Решение:.
Формулата што штотуку ја научивте помага да се поедностави збирот на логаритми, а не разликата, така што овие логаритми не можат веднаш да се комбинираат. Но, можете да го направите спротивното - „поделете го“ првиот логаритам на два: И еве го ветеното поедноставување:
.
Зошто е ова потребно? Па, на пример: што значи тоа?
Сега е очигледно дека.
Сега поедноставете го сами:
Задачи:
Одговори:
Својство 3: Разлика на логаритми:
Доказ:
Сè е исто како во точка 2:
Нека биде тогаш.
Нека биде тогаш. Ние имаме:
Примерот од претходниот пасус сега станува уште поедноставен:
Покомплициран пример: . Можете ли сами да откриете како да го решите?
Овде треба да се забележи дека немаме единствена формула за логаритми на квадрат. Ова е нешто слично на израз - не може веднаш да се поедностави.
Затоа, да се одмориме од формулите за логаритми и да размислиме какви формули најчесто користиме во математиката? Од 7 одделение!
Ова -. Треба да се навикнете на фактот дека ги има насекаде! И во експоненцијална, и во тригонометриска, и во ирационални проблемисе среќаваат. Затоа, тие мора да се запомнат.
Ако внимателно ги погледнете првите два термина, станува јасно дека ова разлика на квадрати:
Одговор за проверка:
Поедноставете го сами.
Примери
Одговори.
Својство 4: Изземање на експонентот од аргументот за логаритам:
Доказ:И тука ја користиме и дефиницијата за логаритам: нека, тогаш. Имаме: итн.
Ова правило може да се разбере вака:
Односно, степенот на аргументот се поместува пред логаритамот како коефициент.
Пример:Најдете го значењето на изразот.
Решение: .
Одлучете сами:
Примери:
Одговори:
Својство 5: Преземање на експонентот од основата на логаритамот:
Доказ:Нека биде тогаш.
Имаме: итн.
Запомнете: од основистепенот се изразува како спротивнатаброј, за разлика од претходниот случај!
Својство 6: Отстранување на експонентот од основата и аргументот на логаритамот:
Или ако степените се исти: .
Својство 7: Транзиција кон нова база:
Доказ:Нека биде тогаш.
Имаме: итн.
Својство 8: Заменете ја основата и аргументот на логаритмот:
Доказ:Ова посебен случајформули 7: ако замениме, добиваме: итн.
Ајде да погледнеме уште неколку примери.
Пример 4.
Најдете го значењето на изразот.
Ние користиме својство на логаритмите бр. 2 - збирот на логаритми со иста основа е еднаков на логаритмот на производот:
Пример 5.
Најдете го значењето на изразот.
Решение:
Ние ги користиме својствата на логаритмите бр. 3 и бр. 4:
Пример 6.
Најдете го значењето на изразот.
Решение:
Да го искористиме имотот бр. 7 - преминуваме на основата 2:
Пример 7.
Најдете го значењето на изразот.
Решение:
Како ви се допаѓа статијата?
Ако ги читате овие редови, тогаш сте ја прочитале целата статија.
И тоа е кул!
Сега кажете ни како ви се допаѓа статијата?
Дали научивте како да решавате логаритми? Ако не, што е проблемот?
Пишете ни во коментарите подолу.
И, да, со среќа на вашите испити.
На обединет државен испит и обединет државен испит и воопшто во животот
Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.
Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.
Собирање и одземање логаритми
Размислете за два логаритма со исти основи: лог а xи дневник а y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:
- дневник а x+ дневник а y= дневник а (x · y);
- дневник а x− дневник а y= дневник а (x : y).
Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Ве молиме запомнете: клучната точка овде е идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!
Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израздури и кога неговите поединечни делови не се бројат (види лекција „ Што е логаритам"). Погледнете ги примерите и видете:
Дневник 6 4 + дневник 6 9.
Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
дневник 6 4 + дневник 6 9 = дневник 6 (4 9) = дневник 6 36 = 2.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.
Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.
Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многумина се изградени на овој факт тест трудови. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на унифицираниот државен испит.
Извлекување на експонентот од логаритамот
Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:
Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.
Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритамот: а > 0, а ≠ 1, x> 0. И уште нешто: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно, т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам. Ова е она што најчесто се бара.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .
Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12
Задача. Најдете го значењето на изразот:
[Наслов за сликата]
Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:
[Наслов за сликата] Мислам дека да последен примерпотребно е појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.
Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log 2 7. Бидејќи log 2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.
Транзиција кон нова основа
Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?
На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:
Нека е даден логаритамскиот дневник а x. Потоа за кој било број втакви што в> 0 и в≠ 1, еднаквоста е вистина:
[Наслов за сликата]
Конкретно, ако ставиме в = x, добиваме:
[Наслов за сликата]
Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.
Овие формули ретко се наоѓаат во конвенционалните нумерички изрази. Можно е да се оцени колку се погодни само со одлучување логаритамски равенкии нееднаквости.
Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.
Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: лог 5 16 = дневник 5 2 4 = 4лог 5 2; дневник 2 25 = дневник 2 5 2 = 2 дневник 2 5;
Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:
[Наслов за сликата]Бидејќи производот не се менува при преуредување фактори, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.
Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:
[Наслов за сликата]Сега да се ослободиме од децимален логаритам, преместување во нова база:
[Наслов за сликата]Основен логаритамски идентитет
Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа. Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:
Во првиот случај, бројот nстанува показател за степенот што стои во аргументот. Број nможе да биде апсолутно сè, бидејќи тоа е само логаритамска вредност.
Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се нарекува: основен логаритамски идентитет.
Всушност, што ќе се случи ако бројот бподигнете до таква моќ што бројот бна оваа моќ го дава бројот а? Така е: го добивате истиот број а. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.
Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.
Задача. Најдете го значењето на изразот:
[Наслов за сликата]
Забележете дека log 25 64 = log 5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:
[Наслов за сликата]Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)
Логаритамска единица и логаритамска нула
Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - туку, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.
- дневник а а= 1 е логаритамска единица. Запомнете еднаш засекогаш: логаритам до која било основа аод оваа основа е еднаква на една.
- дневник а 1 = 0 е логаритамска нула. База аможе да биде било што, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи а 0 = 1 е директна последица на дефиницијата.
Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.
„Скратени формули за множење“ - При множење на два полиноми, секој член од првиот полином се множи со секој член од вториот полином и се собираат производите. Скратени формули за множење. При собирање и одземање на полиноми се користат правилата за отворање загради. Мономите се производи на броеви, променливи и нивните природни моќи.
„Решавање систем на равенки“ - Графички метод(алгоритам). Равенка е еднаквост што содржи една или повеќе променливи. Равенката и нејзините својства. Метод на детерминанти (алгоритам). Систем на равенки и негово решение. Решавање на системот со помош на метод на споредба. Линеарна равенкасо две променливи. Решавање на системот со помош на методот на собирање.
„Решавање системи на нееднаквости“ - интервали. Математички диктат. Се разгледуваат примери на системи за решавање линеарни неравенки. Решавање системи на нееднаквости. За да се реши систем на линеарни неравенки, доволно е да се реши секоја од неравенките вклучени во него и да се најде пресекот на множествата на нивните решенија. Запишете ги неравенките чии множества решенија се интервали.
„Примерни нееднаквости“ - Знак на нееднаквост. Решете ја нееднаквоста. Наједноставно решение експоненцијални неравенки. Решавање на експоненцијални неравенки. Што треба да размислите кога решавате експоненцијални неравенки? Решавање едноставни експоненцијални неравенки. Неравенството што содржи непознат експонент се нарекува експоненцијална неравенка.
„Односи на броеви“ - Што е пропорција? Како се нарекуваат броевите m и n во пропорцијата a: m = n: b? Количникот на два броја се нарекува сооднос на два броја. Маркетинг Лан. Во правилна пропорција, производот на екстремните членови е еднаков на производот од средните членови и обратно. Што е став? Пропорции. Односот може да се изрази како процент.
„Дискриминација на квадратна равенка“ - Теорема на Виета. Квадратни равенки. Дискриминаторски. Кои равенки се нарекуваат нецелосни квадратни равенки? Колку корени има една равенка ако нејзината дискриминаторна е нула? Решавањето нецелосно квадратни равенки. Колку корени има една равенка ако нејзината дискриминантна е негативен број?
Во темата има вкупно 14 презентации
