Лекција од серијата “ Геометриски алгоритми»

Здраво драг читател.

Решението на многу проблеми во пресметковната геометрија се заснова на наоѓање полигонска област. Во оваа лекција, ќе изведеме формула за пресметување на плоштината на многуаголник преку координатите на неговите темиња и ќе напишеме функција за пресметување на оваа област.

Задача. Пресметајте ја плоштината на многуаголникот, дадени со координатите на неговите темиња, по редослед на нивното поминување во насока на стрелките на часовникот.

Увид од компјутерската геометрија

За да ја изведеме формулата за плоштина на многуаголник, потребни ни се информации од пресметковната геометрија, имено, концептот на ориентирана област на триаголник.

Ориентираната област на триаголник е обична област обезбедена со знак. Знак на ориентирана област на триаголник ABCисто како и ориентираниот агол помеѓу векторите и . Односно, неговиот знак зависи од редоследот по кој се наведени темињата.

На оризот. 1 триаголник ABC- правоаголна. Нејзината ориентирана област е еднаква на (тоа е поголема од нула, бидејќи парот е позитивно ориентиран). Истата вредност може да се пресмета на друг начин.

Нека ЗА– произволна точка на авионот. Во нашата фигура областа триаголник ABCдобиени со одземање на областите OAB и OCA од плоштината на триаголникот OBC. Значи само треба додадете ориентирани областитриаголници OAB, OBC и OCA. Ова правило работи за секој избор на точка ЗА.

Слично на тоа, за да ја пресметате плоштината на кој било многуаголник, треба да ги соберете ориентираните области на триаголниците

Вкупниот број ќе биде плоштината на многуаголникот, земена со знак плус ако, при поминување на многуаголникот, многуаголникот е лево (преминување на границата спротивно од стрелките на часовникот), и со знак минус ако е десно ( премин во насока на стрелките на часовникот).

Значи, пресметувањето на плоштината на многуаголникот се сведува на наоѓање на плоштината на триаголник. Ајде да видиме како да го изразиме во координати.

Векторски уметнички деладва вектори на рамнина е плоштината на паралелограмот изграден на овие вектори.

Вкрстен производ изразен во однос на векторски координати:

Површината на триаголникот ќе биде еднаква на половина од оваа област:

Удобно е да се земе потеклото на координатите како точка О, тогаш координатите на векторите врз основа на кои се пресметуваат ориентираните области ќе се совпаѓаат со координатите на точките.

Нека (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - координати на темињата на даден многуаголник по попречен редослед во насока на стрелките на часовникот или спротивно од стрелките на часовникот. Тогаш неговата ориентирана област S ќе биде еднаква на:

Ова е наше работна формула, се користи во нашата програма.

Ако координатите на темињата биле наведени во спротивен редослед од стрелките на часовникот, тогаш бројот С,пресметано со оваа формула ќе биде позитивно. Во спротивно тоа ќе биде негативно, и да се добие вообичаеното геометриска областтреба да ја земеме неговата апсолутна вредност.

Значи, да разгледаме програма за наоѓање на плоштина на многуаголник дадена со координатите на темињата.

Програма geom6; Const n_max=200; (максимален број на поени+1) напишете b=запис x,y:real; крај; myArray= низа од b; var внесување:текст; A:myArray; s:real; i,n:цел број; процедура ZapMas(var n:цел број; var A:myArray); (Пополнување на низата) start assign(input,"input.pas"); ресетирање (влез); readln(влез, n); за i:=1 до n do read(влез, a[i].x,a[i].y); затвори (влез); крај; функција Квадрат (A:myarray): реално; (Пресметување на плоштина на многуаголник) var i:цел број; S: вистински; почнуваат a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; за i:=1 до n направи s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Квадрат:= S крај; (Квадрат) почнуваат (главни) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Квадрат(а); writeln("S= ",s:6:2); крај.

Координатите на темињата се читаат од датотеката input.pas., складирана во низа Акако записи со две полиња. За погодност за поминување низ многуаголникот, во низата се внесуваат n+1 елементи, чија вредност е еднаква на вредноста на првиот елемент од низата.

Влезни податоци:
5
0.6 2.1 1.8 3.6 2.2 2.3 3.6 2.4 3.1 0.5

Излез:
S= 3,91

Го решивме проблемот со наоѓање на плоштина на многуаголник од координатите на неговите темиња. Задачите стануваат потешки. Ако имате коментари за оваа статија или предлози, пишете во коментарите. Ќе бидам многу благодарен за вашата соработка.

Се гледаме во следната лекција.

Во оваа статија ќе зборуваме за тоа како да ја изразиме областа на многуаголникот во кој може да се впише круг, низ радиусот на овој круг. Вреди да се забележи веднаш дека не секој многуаголник може да одговара на круг. Меѓутоа, ако тоа е можно, тогаш формулата со која се пресметува плоштината на таков полигон станува многу едноставна. Прочитајте ја оваа статија до крај или погледнете го приложеното видео упатство и ќе научите како да ја изразите плоштината на многуаголникот во однос на радиусот на кругот впишан во него.

Формула за плоштина на многуаголник во однос на радиусот на впишаниот круг

Ајде да нацртаме многуаголник А 1 А 2 А 3 А 4 А 5, не мора да е точен, но оној во кој може да се впише круг. Да ве потсетам дека впишан круг е круг што ги допира сите страни на многуаголникот. На сликата е зелен круг со центар на точката О:

Овде го зедовме 5-гонот како пример. Но, всушност, ова не е од значајна важност, бидејќи понатамошниот доказ е валиден и за 6-аголник и за 8-гон, и воопшто за секој произволен „гон“.

Ако центарот на впишаниот круг го поврзете со сите темиња на многуаголникот, тогаш тој ќе се подели на онолку триаголници колку што има темиња во дадениот многуаголник. Во нашиот случај: за 5 триаголници. Ако ја поврземе точката Осо сите точки на тангенција на впишаната кружница со страните на многуаголникот, тогаш се добиваат 5 отсечки (на сликата подолу ова се отсечки О 1 , О 2 , О 3 , О 4 и О 5), кои се еднакви на радиусот на кругот и нормални на страните на многуаголникот на кој се нацртани. Последново е точно, бидејќи радиусот нацртан до точката на допир е нормален на тангентата:

Како да ја пронајдете областа на нашиот ограничен многуаголник? Одговорот е едноставен. Треба да ги соберете плоштините на сите добиени триаголници:

Ајде да размислиме колку е плоштината на триаголникот. На сликата подолу е означено со жолто:

Тоа е еднакво на половина од производот на основата А 1 А 2 до висина О 1, привлечен кон оваа основа. Но, како што веќе дознавме, оваа висина е еднаква на радиусот на впишаниот круг. Тоа е, формулата за плоштината на триаголник ја има формата: , Каде р- радиус на впишаниот круг. Површините на сите преостанати триаголници се наоѓаат слично. Како резултат на тоа, потребната површина на полигонот е еднаква на:

Се гледа дека во сите поими на оваа сума постои заеднички фактор што може да се извади од загради. Резултатот ќе биде следниов израз:

Односно, она што останува во загради е едноставно збирот на сите страни на многуаголникот, односно неговиот периметар П. Најчесто во оваа формула изразот едноставно се заменува со стра оваа буква ја нарекуваат „полупериметар“. Како резултат на тоа, конечната формула ја добива формата:

Односно, областа на многуаголникот во кој е впишан круг со познат радиус е еднаква на производот на овој радиус и полупериметарот на многуаголникот. Ова е резултатот кон кој се стремевме.

На крајот, тој ќе забележи дека кругот секогаш може да биде впишан во триаголник, што е посебен случај на многуаголник. Затоа, за триаголник оваа формула секогаш може да се примени. За други полигони со повеќе од 3 страни, прво треба да бидете сигурни дека во нив може да се впише круг. Ако е така, можете безбедно да го користите ова едноставна формулаи користете го за да ја пронајдете областа на овој многуаголник.

Материјал подготвен од Сергеј Валериевич

1.1 Пресметка на површини во античко време

1.2 Различни пристапи за проучување на концептите на „област“, ​​„полигон“, „површина на многуаголник“

1.2.1 Концептот на област. Својства на областа

1.2.2 Концепт на многуаголник

1.2.3 Концептот на плоштина на многуаголник. Описна дефиниција

1.3 Различни формули за плоштините на многуаголниците

1.4 Изведување на формули за плоштините на многуаголниците

1.4.1 Плоштина на триаголник. Формулата на Херон

1.4.2 Плоштина на правоаголник

1.4.3 Површина на трапез

1.4.4 Плоштина на четириаголник

1.4.5 Универзална формула

1.4.6 Површина на n-гон

1.4.7 Пресметување на плоштината на многуаголникот од координатите на неговите темиња

1.4.8 Формула на Пик

1.5 Питагорова теорема за збирот на плоштините на квадратите изградени на катетите правоаголен триаголник

1.6 Еднаков распоред на триаголници. Теорема Бољај-Гервин

1.7 Однос на плоштини на слични триаголници

1.8 Фигури со најголема површина

1.8.1 Трапез или правоаголник

1.8.2 Извонредна сопственост на плоштадот

1.8.3 Пресеци од други форми

1.8.4 Триаголник со најголема плоштина

Поглавје 2. Методолошки карактеристики на изучување на плоштините на многуаголниците на часовите по математика

2.1 Тематско планирањеи карактеристики на наставата во паралелки со продлабочено изучување на математиката

2.2 Методологија за изведување на часови

2.3 Резултати од експериментална работа

Заклучок

Литература

Вовед

Темата „Плоштини на многуаголници“ е составен дел на училишен курсматематика, што е сосема природно. На крајот на краиштата, историски, самата појава на геометријата е поврзана со потребата да се споредат земјишните парцели од една или друга форма. Сепак, треба да се напомене дека образовните можности за покривање на оваа тема во средно школосе далеку од целосно искористени.

Главната задача на наставата по математика на училиште е да им обезбеди на учениците силно и свесно владеење на системот на математички знаења и вештини потребни во Секојдневниот животИ трудова дејностсекој член модерното општестводоволни за изучување на сродни дисциплини и континуирано образование.

Заедно со решавањето на главниот проблем, длабинското проучување на математиката вклучува формирање кај учениците на одржлив интерес за предметот, идентификување и развивање на нивните математички способности, ориентација кон професии значително поврзани со математиката, подготовка за студирање на факултет.

Квалификациската работа вклучува содржина на курс по математика средно школои голем број дополнителни прашања директно во непосредна близина на овој курс и го продлабочуваат по главните идеолошки линии.

Вклучувањето на дополнителни прашања има две меѓусебно поврзани цели. Од една страна, ова е создавање, во врска со главните делови од курсот, на основа за задоволување на интересите и развој на способностите на учениците со склоност кон математиката, од друга страна, тоа е исполнување на содржинските празнини на главниот курс, давајќи ја содржината длабинска студијанеопходен интегритет.

Квалификациската работа се состои од вовед, две поглавја, заклучок и цитирана литература. Првото поглавје ги разгледува теоретските основи на проучувањето на областите на многуаголниците, а второто поглавје директно се занимава со методолошки карактеристикиобласти за проучување.

Поглавје 1. Теоретска основапроучување на плоштините на многуаголниците

1.1 Пресметка на површини во античко време

Почетоците на геометриските знаења поврзани со мерењето на површините се губат во длабочините на илјадници години.

Дури и пред 4-5 илјади години, Вавилонците беа во можност да ја одредат областа на правоаголник и трапез во квадратни единици. Плоштадот долго време служел како стандард за мерење на површини поради неговите многубројни извонредни својства: еднакви страни, еднакви и прави агли, симетрија и општо совршенство на формата. Квадратите лесно се конструираат, или можете да пополните авион без празнини.

ВО античка КинаМерката за плоштина беше правоаголник. Кога ѕидарите ја одредиле површината на правоаголниот ѕид на куќата, тие ја умножувале висината и ширината на ѕидот. Ова е дефиницијата прифатена во геометријата: површината на правоаголникот е еднаква на производот на неговите соседни страни. И двете од овие страни мора да бидат изразени во исти линеарни единици. Нивниот производ ќе биде плоштината на правоаголникот, изразена во соодветните квадратни единици. Да речеме, ако висината и ширината на ѕидот се мерат во дециметри, тогаш производот од двете мерења ќе се изрази во квадратни дециметри. И ако површината на секој свртен сплав е квадрат дециметар, тогаш добиениот производ ќе го означи бројот на плочки потребни за обложување. Ова произлегува од изјавата во основата на мерењето на плоштините: плоштината на фигура составена од фигури што не се пресекуваат е еднаква на збирот на нивните плоштини.

Старите Египќани пред 4.000 години ги користеле речиси истите техники како ние за мерење на плоштината на правоаголник, триаголник и трапез: основата на триаголникот била поделена на половина и помножена со висината; за трапез, збирот на паралелните страни беше поделен на половина и помножен со висината итн. Да се ​​пресмета површина

Користена е четириаголник со страни (сл. 1.1), формула (1.1).

тие. Половините збирови на спротивните страни беа помножени.

Оваа формула е јасно неточна за кој било четириаголник, особено следува дека областите на сите ромбови се исти. Во меѓувреме, очигледно е дека областите на таквите ромбови зависат од големината на аглите на темињата. Оваа формула е точна само за правоаголник. Со негова помош, можете приближно да ја пресметате областа на четириаголници чии агли се блиску до прави агли.

За да се одреди областа

рамнокрак триаголник(Сл. 1.2), во која Египќаните користеле приближна формула:
(1.2) Сл. 1.2 Грешката направена во овој случај е помала, колку е помала разликата помеѓу страната и висината на триаголникот, со други зборови, толку е поблиску темето (и ) до основата на висината од . Затоа приближната формула (1.2) е применлива само за триаголници со релативно мал агол на врвот.

Но, веќе старите Грци знаеле како правилно да ги најдат областите на многуаголниците. Во неговите елементи, Евклид не го користи зборот „област“, ​​бидејќи со самиот збор „фигура“ тој разбира дел од рамнина ограничена со една или друга затворена линија. Евклид не го изразува резултатот од мерењето на плоштината со број, туку ги споредува плоштините на различни фигури едни со други.

Како и другите антички научници, Евклид се занимава со трансформација на некои фигури во други со еднаква големина. Површината на композитната фигура нема да се промени ако нејзините делови се распоредени поинаку, но без да се вкрстуваат. Затоа, на пример, можно е, врз основа на формулите за плоштина на правоаголник, да се најдат формули за областите на други фигури. Така, триаголникот се дели на делови од кои потоа може да се формира правоаголник со еднаква големина. Од оваа конструкција произлегува дека плоштината на триаголникот е еднаква на половина од производот на неговата основа и висина. Со прибегнување кон такво пресекување, тие откриваат дека плоштината на паралелограм е еднаква на производот на основата и висината, а плоштината на трапезот е производ на половина од збирот на основите и висината. .

Кога ѕидарите треба да поплочат ѕид со сложена конфигурација, тие можат да ја одредат површината на ѕидот со броење на бројот на плочки што се користат за обложување. Некои плочки, се разбира, ќе треба да се исечат така што рабовите на облогата се совпаѓаат со работ на ѕидот. Бројот на сите плочки употребени во работата ја проценува површината на ѕидот со вишок, бројот на нескршени плочки - со недостаток. Како што се намалува големината на ќелиите, количината на отпад се намалува, а површината на ѕидот, одредена преку бројот на плочки, се пресметува сè попрецизно.

Еден од подоцнежните грчки математичари и енциклопедисти, чии дела главно биле од применета природа, бил Херон од Александрија, кој живеел во 1 век. n. д. Како извонреден инженер, тој беше наречен и „Херон Механичарот“. Во своето дело „Диоптрика“ Херон опишува различни машини и практични мерни инструменти.

Една од книгите на Херон беше наречена „Геометрика“ и претставува еден вид збирка на формули и соодветни проблеми. Содржи примери за пресметување на плоштините на квадрати, правоаголници и триаголници. За пронаоѓањето на плоштината на триаголникот врз основа на неговите страни, Херон пишува: „Нека, на пример, едната страна од триаголникот има должина од 13 мерни жици, втората 14, а третата 15. За да ја пронајдете областа, продолжете како што следи. Додадете 13, 14 и 15; ќе биде 42. Половина од ова ќе биде 21. Од ова одземете ги трите страни една по една; прво одземете 13 - останувате со 8, потоа 14 - останувате со 7 и на крајот 15 - останувате со 6. Сега помножете ги: 21 пати 8 дава 168, земете го ова 7 пати - добивате 1176 и земете ова уште 6 пати - добивате 7056. Од тука Квадратен коренќе биде 84. Толку мерни жици ќе има во областа на триаголникот“.

Конвертор на единици за растојание и должина Конвертор на единици на површина Придружете ни се © 2011-2017 Довжик Михаил Копирањето на материјали е забрането. Во онлајн калкулаторот можете да користите вредности во истите мерни единици! Ако имате потешкотии со конвертирање на мерните единици, користете го конверторот на единицата за растојание и должина и конверторот на единицата за површина. Дополнителни карактеристики на калкулаторот на четириаголна површина

• Можете да се движите помеѓу полињата за внесување со притискање на копчињата „десно“ и „лево“ на тастатурата.

Теорија. Плоштина на четириаголник Четириаголник е геометриска фигура која се состои од четири точки (темиња), од кои три не лежат на иста права линија, и четири отсечки (страни) што ги поврзуваат овие точки во парови. Четириаголник се нарекува конвексен ако отсечката што поврзува кои било две точки од овој четириаголник се наоѓа во него.

Како да ја дознаете областа на многуаголникот?

Формулата за определување на плоштината се одредува со преземање на секој раб на многуаголникот AB и пресметување на плоштината на триаголникот ABO со неговото теме на почетокот О, преку координатите на темињата. При одење околу многуаголникот се формираат триаголници кои ја вклучуваат внатрешноста на многуаголникот и оние кои се наоѓаат надвор од него. Разликата помеѓу збирот на овие области е површината на самиот полигон.

Затоа, формулата се нарекува формула на геодет, бидејќи „картографот“ се наоѓа на потеклото; ако шета околу областа спротивно од стрелките на часовникот, плоштината се собира ако е лево и се одзема ако е десно од гледна точка на потеклото. Формулата за плоштина е валидна за секој само-разделен (едноставен) многуаголник, кој може да биде конвексен или конкавен. содржина

• 1 Дефиниција
• 2 Примери
• 3 Покомплексен пример
• 4 Објаснување на името
• 5 Види

Површина на многуаголник

Внимание

Тоа би можело да биде:

• тријаголник;
• четириаголник;
• петаголник или шестоаголник и така натаму.

Таквата бројка сигурно ќе се карактеризира со две позиции:

1. Соседните страни не припаѓаат на истата права линија.
2. Несоседните немаат заеднички точки, односно не се сечат.

За да разберете кои темиња се соседни, ќе треба да видите дали припаѓаат на иста страна. Ако да, тогаш соседните. Во спротивно, тие можат да бидат поврзани со сегмент, кој мора да се нарече дијагонала. Тие можат да се изведат само во многуаголници кои имаат повеќе од три темиња.

Какви видови од нив постојат? Многуаголник со повеќе од четири агли може да биде конвексен или конкавен. Разликата помеѓу второто е во тоа што некои од неговите темиња може да лежат на страна различни страниод права линија нацртана низ произволна страна на многуаголникот.

Како да се најде плоштината на правилен и неправилен шестоаголник?

• Знаејќи ја должината на страната, помножете ја со 6 и добијте го периметарот на шестоаголникот: 10 cm x 6 = 60 cm
• Добиените резултати да ги замениме во нашата формула:
Плоштина = 1/2*периметар*апотема Површина = ½*60cm*5√3 Реши: Сега останува да се поедностави одговорот за да се ослободиме од квадратни корени, и означете го резултатот добиен во квадратни сантиметри: ½ * 60 cm * 5√3 cm =30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Видео за тоа како да ја пронајдете плоштината на правилен шестоаголник Постојат неколку опции за одредување на површината на неправилен шестоаголник:

• Трапезоиден метод.
• Метод за пресметување на плоштината на неправилни многуаголници со помош на координатната оска.
• Метод за кршење на шестоаголник во други форми.

Во зависност од првичните податоци што ги знаете, се избира соодветен метод.

Важно

Некои неправилни шестоаголници се состојат од два паралелограми. За да ја одредите плоштината на паралелограм, помножете ја неговата должина со ширината и потоа додадете ги двете веќе познати области. Видео за тоа како да се најде плоштината на многуаголник Рамностран шестоаголник има шест еднакви страни и е правилен шестоаголник.

Површината на рамностран шестоаголник е еднаква на 6 области на триаголниците на кои е поделена правилна шестоаголна фигура. Сите триаголници во шестоаголник правилна формасе еднакви, затоа, за да се најде плоштината на таков шестоаголник, доволно е да се знае плоштината на најмалку еден триаголник. За да ја пронајдеме плоштината на рамностран шестоаголник, се разбира, ја користиме формулата за плоштината на правилен шестаголник опишана погоре.

404 не е пронајден

Украсувањето на домот, облеката и цртањето слики придонеле за процесот на формирање и акумулирање на информации од областа на геометријата, кои луѓето од тоа време ги добивале емпириски, малку по малку и ги пренесувале од генерација на генерација. Денес, знаењето за геометријата е неопходно за секачот, градител, архитектот и сите на обичниот човекДома. Затоа, треба да научите да ја пресметате областа различни фигури, и запомнете дека секоја од формулите може да биде корисна подоцна во пракса, вклучувајќи ја формулата за правилен шестоаголник.
Шестоаголник е полигонална фигура чиј вкупен број на агли е шест. Правилен шестоаголник е шестоаголна фигура која има еднакви страни. Аглите на правилен шестоаголник исто така се еднакви еден на друг.
Во секојдневниот живот често можеме да наидеме на предмети кои имаат форма на правилен шестоаголник.

Калкулатор на плоштина на неправилен многуаголник по страни

Ќе ви треба

• - рулет;
• — електронски далечина;
• - лист хартија и молив;
• - калкулатор.

Упатство 1 Ако ви треба вкупна површинастан или посебна просторија, само прочитајте го техничкиот пасош за станот или куќата, ја прикажува снимката од секоја соба и вкупната снимка од станот. 2 За да ја измерите површината на правоаголна или квадратна просторија, земете мерна лента или електронски дострел и измерете ја должината на ѕидовите. Кога мерите растојанија со далечина, проверете дали насоката на зракот е нормална, инаку резултатите од мерењето може да бидат искривени. 3 Потоа помножете ја добиената должина (во метри) на просторијата со ширината (во метри). Резултирачката вредност ќе биде површината на подот, се мери во квадратни метри.

Формула за гаусова област

Ако треба да ја пресметате површината на подот повеќе од комплексен дизајнНа пример, пентагонална соба или просторија со кружен лак, нацртајте скица на парче хартија. Потоа поделете сложена формаво неколку едноставни, на пример, во квадрат и триаголник или правоаголник и полукруг. Со помош на мерна лента или далечина, измерете ја големината на сите страни на добиените фигури (за круг треба да го знаете дијаметарот) и запишете ги резултатите на вашиот цртеж.

5 Сега пресметајте ја површината на секоја фигура одделно. Пресметајте ја плоштината на правоаголниците и квадратите со множење на страните. За да ја пресметате плоштината на кругот, поделете го дијаметарот на половина и квадрат (помножете го сам по себе), а потоа помножете ја добиената вредност со 3,14.
Ако ви треба само половина круг, поделете ја добиената површина на половина. За да ја пресметате плоштината на триаголник, пронајдете P со делење на збирот на сите страни со 2.

Формула за пресметување на плоштината на неправилен многуаголник

Ако точките се нумерирани последователно во насока спротивно од стрелките на часовникот, тогаш детерминантите во формулата погоре се позитивни и модулот во него може да се изостави; ако се нумерирани во насока на стрелките на часовникот, детерминантите ќе бидат негативни. Тоа е затоа што формулата може да се смета како посебен случајТеорема на Грин. За да ја примените формулата, треба да ги знаете координатите на темињата на многуаголникот во Декартовската рамнина.

На пример, да земеме триаголник со координати ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Да ја земеме првата х-координата од првото теме и да ја помножиме со y-координатата на второто теме, а потоа да ја помножиме x-координатата од второто теме со y-координатата на третото. Да ја повториме оваа постапка за сите темиња. Резултатот може да се одреди со следнава формула: А три.

Формула за пресметување на плоштината на неправилен четириаголник

А) _(\текст(три.))=(1 \над 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) каде xi и yi ја означуваат соодветната координата. Оваа формула може да се добие со отворање на заградите во општата формула за случајот n = 3. Користејќи ја оваа формула, можете да откриете дека плоштината на триаголникот е еднаква на половина од збирот од 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, што дава 3. Бројот на променливи во формулата зависи од бројот на страни на многуаголникот. На пример, формулата за плоштина на пентагон би користела променливи до x5 и y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \над 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A за четириаголник - променливи до x4 и y4: A quad.

Многуаголник е рамна или конвексна фигура која се состои од пресечни прави (повеќе од 3) и форми голем број наточки на пресек на прави. Друг многуаголник може да се дефинира како прекината линија што се затвора. На друг начин, пресечните точки може да се наречат темиња на фигурата. Во зависност од бројот на темиња, фигурата може да се нарече петаголник, шестоаголник итн. Аголот на многуаголникот е аголот формиран од страните кои се среќаваат на едно теме. Аголот е внатре во многуаголникот. Покрај тоа, аглите можат да бидат различни, до 180 степени. Постојат и надворешни агли, кои обично се во непосредна близина на внатрешниот.

Правите што последователно се сечат се нарекуваат страни на многуаголникот. Тие можат да бидат соседни, соседни или несоседни. Претставена многу важна карактеристика геометриска фигурае тоа што неговите непосредни страни не се сечат, па затоа и немаат заеднички точки. Соседните страни на фигурата не можат да бидат на иста права линија.

Оние темиња на фигура што припаѓаат на иста линија може да се наречат соседни. Ако повлечете линија помеѓу две темиња кои не се соседни, ќе добиете дијагонала на многуаголник. Што се однесува до плоштината на фигурата, ова е внатрешниот дел на рамнината на геометриска фигура со голем број темиња, што се создава со полигонските сегменти што ја делат.

Не постои единствено решение за одредување на површината на претставената геометриска фигура, бидејќи може да има бесконечен број на варијанти на фигурата и за секоја варијанта има свое решение. Сепак, некои од најчестите опции за пронаоѓање на областа на фигурата сè уште треба да се разгледаат (тие најчесто се користат во пракса, па дури и се вклучени во училишната програма).

Пред сè, да разгледаме правилен многуаголник, односно фигура во која сите агли формирани од еднакви страни се исто така еднакви. Значи, како ја наоѓате плоштината на многуаголникот во конкретен пример? За овој случај, пронаоѓањето на плоштината на полигонална фигура е можно ако е даден радиусот на кругот впишан на сликата или опкружен околу неа. За да го направите ова, можете да ја користите следнава формула:

S = ½∙P∙r, каде што r е радиус на кружница (впишана или ограничена), а P е периметар на геометриска полигонална фигура, која може да се најде со множење на бројот на страни на фигурата со нивната должина.

Како да се најде плоштината на многуаголник

За да одговорите на прашањето како да ја пронајдете плоштината на многуаголникот, доволно е да го следите следново интересно својство на полигонална фигура, кое некогаш го открил познатиот австриски математичар Георг Пик. На пример, користејќи ја формулата S = N + M/2 -1, можете да ја пронајдете областа на многуаголник чии темиња се наоѓаат на јазлите на квадратна мрежа. Во овој случај, S е, соодветно, областа; N - бројот на јазли од квадратна мрежа што се наоѓаат во фигура со многу агли; М е бројот на оние јазли од квадратната мрежа што се наоѓаат на темињата и страните на многуаголникот. Сепак, и покрај неговата убавина, формулата на Пик практично не се користи во практичната геометрија.

Наједноставниот и најпознатиот метод за определување плоштина, кој се изучува во училиште, е да се подели полигонална геометриска фигура на поедноставни делови (трапезоиди, правоаголници, триаголници). Не е тешко да се најде областа на овие бројки. Во овој случај, областа на полигонот се одредува едноставно: треба да ги најдете областите на сите оние фигури на кои е поделен многуаголникот.

Во основа, дефиницијата на плоштината на многуаголникот се одредува во механиката (димензии на делови).