Трансформации на случајни променливи. Веројатност и статистика - Основни факти центрирани и нормализирани случајни променливи

Трансформации на случајни променливи

За секоја случајна променлива Xопредели уште три величини - центрирано Y, нормализиран Ви дадена У. Центрирана случајна променлива Yе разликата помеѓу дадена случајна променлива Xи неговото математичко очекување M(X),тие. Y = X – M(X).Очекување на центрирана случајна променлива Yе еднакво на 0, а варијансата е варијанса на дадена случајна променлива: М(Y) = 0, Д(Y) = Д(X). Дистрибутивна функција F Y(x) центрирана случајна променлива Yповрзани со функцијата на дистрибуција Ф(x) оригинална случајна променлива Xсооднос:

F Y(x) = Ф(x + М(X)).

Густините на овие случајни променливи ја имаат следната еднаквост:

f Y(x) = ѓ(x + М(X)).

Нормализирана случајна променлива Ве односот на дадена случајна променлива Xдо неговата стандардна девијација, т.е. . ВОчекување и варијанса на нормализирана случајна променлива Xизразени преку карактеристики

,

Значи: Каде v X– коефициент на варијација на оригиналната случајна променлива . За функцијата на дистрибуција(x) Ф В и густина(x) f V Внормализирана случајна променлива

Значи: Ф(x) имаме: X– функција на дистрибуција на оригиналната случајна променлива ѓ(x) , А

– неговата густина на веројатност. УНамалена случајна променлива

.

е центрирана и нормализирана случајна променлива:

За дадената случајна променлива Нормализирани, центрирани и намалени случајни променливи постојано се користат и во теоретските студии и во алгоритмите, софтверските производи, регулаторната, техничката и наставната документација. Особено, бидејќи еднаквостите

овозможуваат да се поедностави оправдувањето на методите, формулирањето на теоремите и формулите за пресметување. Y = Се користат трансформации на случајни променливи и поопшти. Значи, ако + aXб , Кадеа aXИ

– тогаш некои бројкиПример 7. YАко тогаш

е намалената случајна променлива, а формулите (8) се претвораат во формули (7). XСо секоја случајна променлива Yможете да поврзете многу случајни променливи Y = Се користат трансформации на случајни променливи и поопшти. Значи, ако + aX, дадена со формулата , Каде> на различни aX. 0 и Овој сет се нарекуваскала-поместување семејство X, генерирана од случајната променлива F Y(x) . Функции на дистрибуција Ф(x). сочинуваат фамилија на поместување на скалата на дистрибуции генерирани од функцијата на дистрибуција Y = Се користат трансформации на случајни променливи и поопшти. Значи, ако + aXНаместо да

често користат снимање БројСо се нарекува параметар поместување, а бројотг X- параметар на скала. Формулата (9) покажува дека – резултат од мерење на одредена количина – влегува во– резултат од мерење на иста количина доколку почетокот на мерењето се помести во точката Број, а потоа користете ја новата мерна единица, во се нарекува параметар поместување, а бројотпати поголема од старата.

За семејството на поместување на скалата (9), распределбата на X се нарекува стандардна. Во веројатност статистички методи на донесување одлуки и други применети истражувања, се користат стандардната нормална дистрибуција, стандардната распределба на Веибул-Гнеденко, стандардната гама дистрибуција итн. (види подолу).

Се користат и други трансформации на случајни променливи. На пример, за позитивна случајна променлива Xразмислуваат Y= дневник X, каде што лг X– децимален логаритам на број X.

Синџир на еднаквости F Y (x) = P( lg< x) = P(X < 10X 10x) = F(

x) Xа Y.

ги поврзува дистрибутивните функцииXЦентрирана случајна променлива што одговара на SV X е разликата помеѓу случајната променлива

и неговото математичко очекување Случајната променлива се нарекуванормализиран , ако нејзината варијанса е 1. Се нарекува центрирана и нормализирана случајна променлива.

стандарден Стандардна случајна променливаЗ X, што одговара на случајната променлива

(1.24)

се наоѓа со формулата:

1.2.5. Други нумерички карактеристики XДискретн SV режим x се дефинира како таква можна вредностм

, за штоXКонтинуирана SV мода М 0 (Xнаречен реален број ѓ(x).

), дефинирана како точка на максимална распределба на густината на веројатноста XТака, модата СВ

е нејзината најверојатна вредност ако таквата вредност е единствена. Режимот може да не постои, да има една вредност (унимодална дистрибуција) или да има повеќе вредности (мултимодална дистрибуција).XМедијана на континуирано SV М Д (Xнаречен реален број

), задоволувајќи го условот

Бидејќи оваа равенка може да има многу корени, медијаната се определува, генерално кажано, двосмислено.се дефинира како таква можна вредностПочетниот моментX -ти ред СВ се дефинира како таква можна вредност(ако постои) се нарекува реален број

(1.27)

, определена со формулатаXЦентрален момент од месецот ред СВ се дефинира како таква можна вредност(ако постои) се нарекува реален број

(1.28)

(ако постои) се нарекува број XОчекување на СВ

е неговиот прв почетен момент, а дисперзијата е неговиот втор централен момент.

Помеѓу моментите на повисоките нарачки, од особена важност се централните моменти од 3 и 4 ред.X) Коефициентот на асиметрија („завртеност“) А(

се нарекува количинаXКоефициентот на куртоза („острина“) Е(X) НЕ

се нарекува количина

1.3. Некои закони за распределба на дискретни случајни променливи

1.3.1. Геометриска дистрибуција XДискретна СВ се дефинира како таква можна вредност, ... одговараат на веројатностите пресметани со формулата

каде 0< стр< 1,q= 1 –стр.

Во пракса, геометриската дистрибуција се јавува кога се прават голем број независни обиди да се постигне некаков резултат. Аи веројатноста да се случи настанот Аво секој обид П(А) =П. НЕ X– бројот на бескорисни обиди (пред првиот експеримент во кој се појавува настанот А), има геометриска дистрибуција со дистрибутивна серија:

и нумерички карактеристики:

(1.30)

1.3.2. Хипергеометриска дистрибуција

1.3.1. Геометриска дистрибуција Xсо можни вредности 0, 1, ..., се дефинира како таква можна вредност, …,Мима хипергеометриска распределба со параметри Н,М,n, Ако

(1.31)

Значи: М≤Н,се дефинира како таква можна вредност ≤n,n≤Н,се дефинира како таква можна вредност,n,Н,М– природни броеви.

Хипергеометриска распределба се јавува во случаи како што следува: има Нпредмети, од кои Мимаат одредена карактеристика. Од достапни Нпредметите се избираат по случаен избор nпредмети.

НЕ X – бројот на објекти со наведениот атрибут меѓу избраните се распределува според хипергеометрискиот закон.

Хипергеометриската дистрибуција се користи, особено, при решавање на проблеми поврзани со контрола на квалитетот на производот.

Математичкото очекување на случајна променлива со хипергеометриска распределба е еднакво на:

(1.32)

Разликата помеѓу случајната променлива и нејзиното математичко очекување се нарекува отстапување или центрирана случајна променлива:

Серијата на дистрибуција на централна случајна променлива има форма:

Својствацентрирана случајна променлива:

1. Математичкото очекување за отстапување е 0:

2. Варијанса на отстапување на случајна променлива Xод неговото математичко очекување е еднаква на варијансата на самата случајна променлива X:

Со други зборови, варијансата на случајна променлива и варијансата на нејзиното отстапување се еднакви.

4.2. Ако отстапување X М(Х)подели со стандардна девијација  (X), тогаш добиваме бездимензионална центрирана случајна променлива, која се нарекува стандардна (нормализирана) случајна променлива:

Својствастандардна случајна променлива:

Математичкото очекување на стандардна случајна променлива е нула: М(Стандардна случајна променлива) =0.

Варијансата на стандардна случајна променлива е 1: Д(Стандардна случајна променлива) =1.

ЗАДАЧИ ЗА НЕЗАВИСНО РЕШЕНИЕ

Во лотаријата за 100 тикети се извлекуваат две работи чија цена е 210 и 60 американски долари.

Да се ​​подготви закон за распределба на добивката за лице кое има: а) 1 тикет, б) 2 тикети. Најдете нумерички карактеристики. XДвајца стрелци пукаат во цел еднаш. Случајна променлива

Стандардна случајна променлива– бројот на постигнати поени во еден удар од првиот стрелец – има закон за распределба:

Двајца стрелци пукаат во својата цел, испукајќи по еден истрел независно еден од друг. Веројатноста за погодување на целта за првиот стрелец е 0,7, за вториот - 0,8. Случајна променлива X 1 - број на удари од првиот стрелец, X 2 - број на удари од вториот стрелец. Најдете го законот за распределба: а) вкупниот број на погодоци; б) случајна променлива Стандардна случајна променлива=3X 1  2X 2 . М(3 X  2 Y)=3 М(X)  2 М(Y), Д(3 X  2 Y)=9 Д(X)+4 Д(Y).

Определете ги нумеричките карактеристики на вкупниот број на погодоци. Проверете го исполнувањето на својствата на математичкото очекување и дисперзија: XСлучајна променлива

– приход на компанијата – има закон за дистрибуција: Стандардна случајна променливаНајдете го законот за распределба за случајна променлива

- добивка на компанијата. Определете ги неговите нумерички карактеристики. XСлучајни променливи – резултат од мерење на одредена количина – влегува воИ

Значење XДали случајните променливи имаат исти закони за дистрибуција? X + – резултат од мерење на одредена количина – влегува во ?

И

Докажете дека математичкото очекување на стандардна случајна променлива е еднакво на нула, а варијансата е еднаква на 1.

има варијанса еднаква на 1 и математичко очекување еднаква на 0.Нормализирана случајна променлива

V е односот на дадена случајна променлива X на нејзината стандардна девијација σСтандардна девијација

е квадратниот корен на варијансата

Математичкото очекување и варијансата на нормализираната случајна променлива V се изразени преку карактеристиките на X на следниов начин:

MV= M(X)σ=1v, DV= 1,

каде што v е коефициентот на варијација на оригиналната случајна променлива X.

За функцијата распределба F V (x) и густината на распределбата f V (x) имаме:

Значи: F V (x) = F(σx), f V (x) = σf(σx),имаме: X F(x) , А, А

f(x)

Коефициент на корелација.Коефициент на корелација

е показател за природата на меѓусебното стохастичко влијание на промените во две случајни променливи. Коефициентот на корелација може да има вредности од -1 до +1. Ако апсолутната вредност е поблиску до 1, тогаш тоа значи присуство на силна врска, а ако е поблиску до 0, врската е отсутна или е значително нелинеарна. Кога коефициентот на корелација е еднаков по модул на еден, зборуваме за функционална врска (имено линеарна зависност), односно промените во две количини може да се опишат со линеарна функција. Процесот се нарекувастохастички

, ако е опишан со случајни променливи чија вредност се менува со текот на времето.

Пирсон коефициент на корелација.

За метрички величини се користи Пирсоновиот коефициент на корелација, чија точна формула е изведена од Френсис Хамилтон. Нека X и Y се две случајни променливи дефинирани на истиот простор на веројатност. Тогаш нивниот коефициент на корелација е даден со формулата:

Нееднаквости на Чебишев.

Марковова нееднаквост.во теоријата на веројатност, дава проценка на веројатноста дека случајната променлива ќе надмине фиксна позитивна константа во апсолутна вредност, во однос на нејзиното математичко очекување. Резултирачката проценка е обично прилично груба. Сепак, тоа овозможува да се добие одредена идеја за дистрибуцијата кога таа не е експлицитно позната.

Нека е дефинирана случајна променлива на простор на веројатност и нејзиното математичко очекување е конечно. Потоа

,

Значи: , Каде > 0.

Чебишев-Биениме нееднаквост.

Ако Е< ∞ (E – математическое ожидание), то для любого , справедливо

Закон за големи броеви.

Закон за големи броевинаведува дека емпириската средина (аритметичка средина) на доволно голем конечен примерок од фиксна распределба е блиска до теоретската средина (математичко очекување) на таа распределба. Во зависност од видот на конвергенција, се прави разлика помеѓу слабиот закон на големи броеви, кога се јавува конвергенција во веројатноста, и силниот закон на големите броеви, кога конвергенцијата се случува речиси насекаде.

Секогаш ќе има голем број на испитувања во кои, со која било дадена веројатност однапред, фреквенцијата на појава на некој настан ќе се разликува колку што е посакувано од неговата веројатност. Општото значење на законот за големи броеви е дека комбинираното дејство на голем број случајни фактори доведува до резултат кој е речиси независен од случајноста.

Слабиот закон на големи броеви.

Потоа Sn P M(X).

Зајакнат закон за големи броеви.

Тогаш Sn→M(X) е речиси сигурно.

Покрај карактеристиките на позицијата - просечни, типични вредности на случајна променлива - се користат голем број карактеристики, од кои секоја опишува едно или друго својство на дистрибуцијата. Како такви карактеристики најчесто се користат таканаречените моменти.

Концептот на момент е широко користен во механиката за да се опише распределбата на масите (статички моменти, моменти на инерција итн.). Токму истите техники се користат во теоријата на веројатност за да се опишат основните својства на распределбата на случајна променлива. Најчесто во пракса се користат два вида моменти: почетни и централни.

Почетниот момент од редот на дисконтинуирана случајна променлива е збир од формата:

. (5.7.1)

Очигледно, оваа дефиниција се совпаѓа со дефиницијата на почетниот момент на редот s во механиката, ако масите се концентрирани на оската на апсцисата во точките.

За континуирана случајна променлива X, почетниот момент од втор ред се нарекува интеграл

. (5.7.2)

Лесно е да се види дека главната карактеристика на позицијата воведена во претходниот n° - математичкото очекување - не е ништо повеќе од првиот почетен момент на случајната променлива.

Користејќи го знакот за математичко очекување, можете да комбинирате две формули (5.7.1) и (5.7.2) во една. Навистина, формулите (5.7.1) и (5.7.2) се целосно слични по структура со формулите (5.6.1) и (5.6.2), со таа разлика што наместо и има, соодветно, и . Затоа, можеме да напишеме општа дефиниција за почетниот момент од тиот ред, валидна и за дисконтинуирани и за континуирани величини:

, (5.7.3)

тие. Почетниот момент од тиот ред на случајна променлива е математичкото очекување на тиот степен на оваа случајна променлива.

Пред да го дефинираме централниот момент, воведуваме нов концепт на „центрирана случајна променлива“.

Нека има случајна променлива со математичко очекување. Централна случајна променлива што одговара на вредноста е отстапувањето на случајната променлива од нејзините математичко очекување:

Во иднина, ќе се согласиме насекаде да ја означуваме центрираната случајна променлива што одговара на дадена случајна променлива со истата буква со симбол на врвот.

Лесно е да се потврди дека математичкото очекување на центрирана случајна променлива е еднакво на нула. Навистина, за дисконтинуирана количина

слично за континуирано количество.

Центрирањето на случајна променлива очигледно е еквивалентно на поместување на потеклото на координатите до средната, „централна“ точка, чија апсциса е еднаква на математичкото очекување.

Моментите на центрирана случајна променлива се нарекуваат централни моменти. Тие се аналогни на моментите за центарот на гравитација во механиката.

Така, централниот момент од редот s на случајна променлива е математичкото очекување на та моќност на соодветната центрирана случајна променлива:

, (5.7.6)

а за континуирано – од страна на интегралот

. (5.7.8)

Во продолжение, во случаите кога нема сомнеж на која случајна променлива припаѓа дадениот момент, за краткост ќе напишеме едноставно и наместо и .

Очигледно, за која било случајна променлива централниот момент од првиот ред е еднаков на нула:

, (5.7.9)

бидејќи математичкото очекување на центрирана случајна променлива е секогаш еднакво на нула.

Дозволете ни да изведеме релации што ги поврзуваат централните и почетните моменти од различни поредоци. Заклучокот ќе го спроведеме само за дисконтинуирани количини; лесно може да се потврди дека токму истите односи важат за континуирани величини ако конечните збирови ги замениме со интеграли, а веројатностите со елементи на веројатност.

Да ја разгледаме втората централна точка:

Слично за третиот централен момент добиваме:

Изрази за итн. може да се добие на сличен начин.

Така, за централните моменти на која било случајна променлива важат формулите:

(5.7.10)

Општо земено, моментите може да се сметаат не само во однос на потеклото (почетни моменти) или математичко очекување (централни моменти), туку и во однос на произволна точка:

. (5.7.11)

Сепак, централните моменти имаат предност пред сите други: првиот централен момент, како што видовме, секогаш е еднаков на нула, а следниот, вториот централен момент, со овој референтен систем има минимална вредност. Да го докажеме тоа. За дисконтинуирана случајна променлива at, формулата (5.7.11) ја има формата:

. (5.7.12)

Ајде да го трансформираме овој израз:

Очигледно, оваа вредност го достигнува својот минимум кога , т.е. кога моментот се зема во однос на точката.

Од сите моменти, како карактеристики на случајна променлива најчесто се користат првиот почетен момент (математичко очекување) и вториот централен момент.

Вториот централен момент се нарекува варијанса на случајната променлива. Со оглед на екстремната важност на оваа карактеристика, меѓу другите точки, воведуваме посебна ознака за неа:

Според дефиницијата на централниот момент

, (5.7.13)

тие. варијансата на случајната променлива X е математичко очекување на квадратот на соодветната центрирана променлива.

Заменувајќи ја количината во изразот (5.7.13) со нејзиниот израз, имаме и:

. (5.7.14)

За директно пресметување на варијансата, користете ги следните формули:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Според тоа за дисконтинуирани и континуирани количини.

Дисперзијата на случајна променлива е карактеристика на дисперзија, расејување на вредностите на случајна променлива околу нејзиното математичко очекување. Самиот збор „дисперзија“ значи „дисперзија“.

Ако се свртиме кон механичката интерпретација на распределбата, тогаш дисперзијата не е ништо повеќе од моментот на инерција на дадена распределба на масата во однос на центарот на гравитација (математичко очекување).

Варијансата на случајна променлива има димензија на квадратот на случајната променлива; За визуелно карактеризирање на дисперзијата, попогодно е да се користи количина чија димензија се совпаѓа со димензијата на случајната променлива. За да го направите ова, земете го квадратниот корен на варијансата. Добиената вредност се нарекува стандардна девијација (инаку „стандардна“) на случајната променлива. Ние ќе го означиме стандардното отстапување:

, (5.7.17)

За да ги поедноставиме ознаките, често ќе ги користиме кратенките за стандардно отстапување и дисперзија: и . Во случај кога нема сомнеж за која случајна променлива се однесуваат овие карактеристики, понекогаш ќе го испуштиме симболот x y и ќе пишуваме едноставно и . Зборовите „стандардна девијација“ понекогаш ќе бидат скратени за да се заменат со буквите r.s.o.

Во пракса, често се користи формула која ја изразува дисперзијата на случајна променлива низ нејзиниот втор почетен момент (вториот од формулите (5.7.10)). Во новата нотација ќе изгледа вака:

Очекувањето и варијансата (или стандардното отстапување) се најчесто користените карактеристики на случајната променлива. Тие ги карактеризираат најважните карактеристики на дистрибуцијата: нејзината положба и степенот на расејување. За подетален опис на распределбата се користат моменти на повисоки нарачки.

Третата централна точка служи за карактеризирање на асиметријата (или „искривеноста“) на распределбата. Ако распределбата е симетрична во однос на математичкото очекување (или, во механичка интерпретација, масата е распределена симетрично во однос на центарот на гравитација), тогаш сите моменти од непарен ред (ако постојат) се еднакви на нула. Навистина, вкупно

кога законот за распределба е симетричен во однос на законот и непарен, секој позитивен член одговара на негативен член еднаков во апсолутна вредност, така што целата сума е еднаква на нула. Истото очигледно важи и за интегралот

,

што е еднакво на нула како интеграл во симетричните граници на непарна функција.

Според тоа, природно е да се избере еден од непарните моменти како карактеристика на асиметријата на распределбата. Наједноставниот од нив е третиот централен момент. Ја има димензијата на коцката на случајна променлива: за да се добие бездимензионална карактеристика, третиот момент се дели со коцката на стандардното отстапување. Добиената вредност се нарекува „коефициент на асиметрија“ или едноставно „асиметрија“; ќе го означиме:

На сл. 5.7.1 покажува две асиметрични распределби; еден од нив (крива I) има позитивна асиметрија (); другата (крива II) е негативна ().

Четвртата централна точка служи за карактеризирање на таканаречената „ладност“, т.е. дистрибуција со врв или рамен врв. Овие својства на дистрибуција се опишани со помош на таканаречената куртоза. Куртозата на случајната променлива е количината

Бројот 3 се одзема од соодносот затоа што за многу важниот и распространет по природа закон за нормална распределба (кој ќе го запознаеме подетално подоцна) . Така, за нормална дистрибуција куртозата е нула; кривите кои се повеќе максимални во споредба со нормалната крива имаат позитивна куртоза; Кривините кои се повеќе со рамен врв имаат негативна куртоза.

На сл. 5.7.2 покажува: нормална дистрибуција (крива I), дистрибуција со позитивна куртоза (крива II) и дистрибуција со негативна куртоза (крива III).

Покрај почетните и централните моменти дискутирани погоре, во пракса понекогаш се користат таканаречените апсолутни моменти (почетни и централни), одредени со формулите

Очигледно, апсолутните моменти на дури и наредби се совпаѓаат со обичните моменти.

Од апсолутните моменти, најчесто користен е првиот апсолутен централен момент.

, (5.7.21)

наречено аритметичко средно отстапување. Заедно со дисперзијата и стандардното отстапување, аритметичката средна девијација понекогаш се користи како карактеристика на дисперзијата.

Очекување, режим, медијана, почетни и централни моменти и особено дисперзија, стандардна девијација, искривување и куртоза се најчесто користените нумерички карактеристики на случајните променливи. Во многу практични проблеми, целосна карактеристика на случајна променлива - законот за распределба - или не е потребна или не може да се добие. Во овие случаи, еден е ограничен на приближен опис на случајната променлива со помош на помош. Нумерички карактеристики, од кои секоја изразува некое карактеристично својство на распределбата.

Многу често, нумеричките карактеристики се користат за приближно замена на една дистрибуција со друга, и обично тие се обидуваат да ја направат оваа замена на таков начин што неколку важни точки остануваат непроменети.

Пример 1. Се спроведува еден експеримент, како резултат на кој може да се појави или не настан, чија веројатност е еднаква на . Се разгледува случајна променлива - бројот на појавувања на настан (карактеристична случајна променлива на настан). Определете ги неговите карактеристики: математичко очекување, дисперзија, стандардна девијација.

Решение. Серијата за дистрибуција на вредности има форма:

каде е веројатноста настанот да не се случи.

Користејќи ја формулата (5.6.1) го наоѓаме математичкото очекување на вредноста:

Дисперзијата на вредноста се одредува со формулата (5.7.15):

(Предлагаме читателот да го добие истиот резултат со изразување на дисперзијата во однос на вториот почетен момент).

Пример 2. Во целта се испукани три независни истрели; Веројатноста да се погоди секој истрел е 0,4. случајна променлива – број на погодоци. Определете ги карактеристиките на количината - математичко очекување, дисперзија, р.с.д., асиметрија.

Решение. Серијата за дистрибуција на вредности има форма:

Ги пресметуваме нумеричките карактеристики на количината:

Забележете дека истите карактеристики би можеле да се пресметаат многу поедноставно користејќи теореми за нумеричките карактеристики на функциите (види Поглавје 10).