Час и презентација на тема: „Функција y=sin(x). Дефиниции и својства“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Прирачници и симулатори во онлајн продавницата Integral за одделение 10 од 1C
Решаваме проблеми во геометријата. Интерактивни градежни задачи за 7-10 одделение
Софтверско опкружување „1C: Mathematical Constructor 6.1“

Што ќе проучуваме:

  • Својства на функцијата Y=sin(X).
  • График на функции.
  • Како да се изгради графикон и неговата скала.
  • Примери.

Својства на синус. Y=грев (X)

Момци, веќе се запознавме со тригонометриските функции нумерички аргумент. Дали се сеќавате на нив?

Да ја разгледаме подетално функцијата Y=sin(X)

Ајде да запишеме некои својства на оваа функција:
1) Доменот на дефиниција е множество од реални броеви.
2) Функцијата е непарна. Да се ​​потсетиме на дефиницијата за непарна функција. Функцијата се нарекува непарна ако важи еднаквоста: y(-x)=-y(x). Како што се сеќаваме од формулите на духовите: sin(-x)=-sin(x). Дефиницијата е исполнета, што значи дека Y=sin(X) е непарна функција.
3) Функцијата Y=sin(X) се зголемува на отсечката и се намалува на отсечката [π/2; π]. Кога се движиме по првата четвртина (спротивно од стрелките на часовникот), ординатата се зголемува, а кога се движиме низ втората четвртина се намалува.

4) Функцијата Y=sin(X) е ограничена одоздола и одозгора. Овој имот произлегува од фактот дека
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Најмалата вредност на функцијата е -1 (на x = - π/2+ πk). Најголемата вредност на функцијата е 1 (на x = π/2+ πk).

Да ги искористиме својствата 1-5 за да ја нацртаме функцијата Y=sin(X). Ние ќе го изградиме нашиот график последователно, применувајќи ги нашите својства. Да почнеме да градиме график на сегментот.

Посебно внимание треба да се посвети на вагата. На оската на ординатите попогодно е да се земе единечен сегмент еднаков на 2 ќелии, а на оската на апсциса е попогодно да се земе единечен сегмент (две ќелии) еднаков на π/3 (види слика).


Исцртување на синусната функција x, y=sin(x)

Ајде да ги пресметаме вредностите на функцијата на нашиот сегмент:



Ајде да изградиме график користејќи ги нашите точки, земајќи го предвид третото својство.

Табела за конверзија за формули за духови

Да го искористиме второто својство, кое вели дека нашата функција е непарна, што значи дека може да се рефлектира симетрично во однос на потеклото:


Знаеме дека sin(x+ 2π) = sin(x). Тоа значи дека на интервалот [- π; π] графикот изгледа исто како на сегментот [π; 3π] или или [-3π; - π] и така натаму. Сè што треба да направиме е внимателно да го прецртаме графикот на претходната слика по целата оска x.



Графикот на функцијата Y=sin(X) се нарекува синусоид.


Ајде да напишеме уште неколку својства според конструираниот график:
6) Функцијата Y=sin(X) се зголемува на која било отсечка од формата: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k е цел број и се намалува на која било отсечка од формата: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – цел број.
7) Функција Y=sin(X) – континуирана функција. Да го погледнеме графикот на функцијата и да се увериме дека нашата функција нема прекини, тоа значи континуитет.
8) Опсег на вредности: сегмент [- 1; 1]. Ова е јасно видливо и од графиконот на функцијата.
9) Функција Y=sin(X) - периодична функција. Ајде повторно да го погледнеме графикот и да видиме дека функцијата ги зема истите вредности во одредени интервали.

Примери на проблеми со синус

1. Реши ја равенката sin(x)= x-π

Решение: Да изградиме 2 графикони на функцијата: y=sin(x) и y=x-π (види слика).
Нашите графици се сечат во една точка A(π;0), ова е одговорот: x = π




2. График на функцијата y=sin(π/6+x)-1

Решение: Посакуваниот график ќе се добие со поместување на графикот на функцијата y=sin(x) π/6 единици налево и 1 единица надолу.




Решение: Да ја нацртаме функцијата и да ја разгледаме нашата отсечка [π/2; 5π/4].
Графикот на функцијата покажува дека најголемите и најмалите вредности се постигнуваат на краевите на сегментот, во точките π/2 и 5π/4, соодветно.
Одговор: sin(π/2) = 1 – највисока вредност, sin(5π/4) = најмала вредност.



Синусни проблеми за независно решение


  • Решете ја равенката: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
  • График на функцијата y=sin(π/3+x)-2
  • График на функцијата y=sin(-2π/3+x)+1
  • Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата y=sin(x) на отсечката
  • Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата y=sin(x) на интервалот [- π/3; 5π/6]

Како да се направи графика на функцијата y=sin x? Прво, да го погледнеме синусниот график на интервалот.

Во тетратката земаме единечен сегмент 2 ќелии. На оската Oy означуваме еден.

За погодност, го заокружуваме бројот π/2 на 1,5 (а не на 1,6, како што се бара со правилата за заокружување). Во овој случај, сегмент со должина π/2 одговара на 3 ќелии.

На оската Ox не означуваме единечни сегменти, туку сегменти со должина π/2 (на секои 3 ќелии). Според тоа, сегмент со должина π одговара на 6 ќелии, а сегмент со должина π/6 одговара на 1 ќелија.

Со овој избор на единична отсечка, графикот прикажан на лист од тетратка во кутија што е можно повеќе одговара на графикот на функцијата y=sin x.

Ајде да направиме табела со вредности на синус на интервалот:

Ние ги означуваме добиените точки на координатната рамнина:

Бидејќи y=sin x - непарна функција, синусниот график е симетричен во однос на потеклото - точка O(0;0). Земајќи го предвид овој факт, да продолжиме да го исцртуваме графикот лево, а потоа точките -π:

Функцијата y=sin x е периодична со период T=2π. Според тоа, графикот на функција земена на интервалот [-π;π] се повторува бесконечен број пати десно и лево.

Сега ќе го разгледаме прашањето како да нацртаме тригонометриски функции од повеќе агли ωx, Каде ω - некој позитивен број.

Да се ​​направи графика на функција y = грев ωxДа ја споредиме оваа функција со функцијата што веќе ја проучувавме y = грев x. Да претпоставиме дека кога x = x 0 функција y = грев xја зема вредноста еднаква на 0. Потоа

y 0 = грев x 0 .

Дозволете ни да ја трансформираме оваа врска на следниов начин:

Затоа, функцијата y = грев ωxна X = x 0 / ω ја зема истата вредност на 0 , што е иста како функцијата y = грев xна x = x 0 . Тоа значи дека функцијата y = грев ωxги повторува неговите значења во ω пати почесто од функцијата y = грев x. Според тоа, графикот на функцијата y = грев ωxдобиени со „компресија“ на графикот на функцијата y = грев xВ ω пати по должината на оската x.

На пример, графикот на функцијата y = грев 2xдобиени со „компресија“ на синусоид y = грев xдвапати долж оската x.

График на функција y = грев x / 2 се добива со „истегнување“ на синусоидот y = sin x двапати (или „компресија“ со 1 / 2 пати) по оската x.

Од функцијата y = грев ωxги повторува неговите значења во ω пати почесто од функцијата
y = грев x, тогаш неговиот период е ω пати помалку од периодот на функцијата y = грев x. На пример, периодот на функцијата y = грев 2xеднакви 2π/2 = π , и периодот на функцијата y = грев x / 2 еднакви π / x/ 2 = 4π .

Интересно е да се проучи однесувањето на функцијата y = грев секиракористејќи го примерот на анимација, која може многу лесно да се креира во програмата Јавор:

На сличен начин се конструирани графикони на други тригонометриски функции од повеќе агли. На сликата е прикажан графикот на функцијата y = cos 2x, кој се добива со „компресија“ на косинусниот бран y = cos xдвапати долж оската x.

График на функција y = cos x / 2 добиени со „истегнување“ на косинусниот бран y = cos xдвојно по должината на оската x.

На сликата го гледате графикот на функцијата y = тен 2x, добиени со „компресија“ на тангентсоидите y = tan xдвапати долж оската x.

График на функција y = tg x/ 2 , добиен со „истегнување“ на тангентсоидите y = tan xдвојно по должината на оската x.

И конечно, анимацијата изведена од програмата Јавор:

Вежби

1. Конструирајте графикони на овие функции и означете ги координатите на точките на пресек на овие графикони со координатните оски. Определете ги периодите на овие функции.

А). y = грев 4x/ 3 G). y = тен 5x/ 6 и). y = cos 2x/ 3

б). y= cos 5x/ 3 г). y = ctg 5x/ 3 ж). y=ctg x/ 3

V). y = тен 4x/ 3 д). y = грев 2x/ 3

2. Определете ги периодите на функциите y = грев (πх)И y = tg (πх/2).

3. Наведете два примери на функции кои ги земаат сите вредности од -1 до +1 (вклучувајќи ги овие два броја) и периодично се менуваат со точка 10.

4 *. Наведете два примери на функции кои ги земаат сите вредности од 0 до 1 (вклучувајќи ги и овие два броја) и периодично се менуваат со точка π/2.

5. Наведете два примери на функции кои ги земаат сите реални вредности и периодично варираат со период 1.

6 *. Наведете два примери на функции кои ги прифаќаат сите негативни вредностии нула, но не е прифатена позитивни вредностии периодично се менуваат со период од 5.

„Колеџ за сервисни технологии Јошкар-Ола“

Изградба и проучување на графиконот тригонометриска функција y=sinx во табелаГОСПОЃИЦА Excel

/методолошки развој/

Јошкар – Ола

Предмет. Изградба и проучување на графикот на тригонометриска функцијаy = синкс во табела MS Excel

Тип на лекција– интегрирано (добивање нови знаења)

Цели:

Дидактичка цел - го истражуваат однесувањето на графиконите со тригонометриски функцииy= синксво зависност од шансите со користење на компјутер

Образовни:

1. Откријте ја промената на графикот на тригонометриска функција y= грев xво зависност од шансите

2. Прикажи имплементација компјутерска технологијаво наставата по математика, интегрирајќи два предмети: алгебра и информатика.

3. Развивање на вештини за користење на компјутерска технологија на часовите по математика

4. Зајакнување на вештините за проучување на функциите и конструирање на нивните графикони

Образовни:

1. Развијте го когнитивниот интерес на учениците за академски дисциплинии способност да го примените вашето знаење во практични ситуации

2. Развијте ја способноста за анализа, споредување, истакнување на главната работа

3. Придонесете за подобрување на целокупното ниво на развој на учениците

Едукација :

1. Негувајте независност, точност и напорна работа

2. Негувајте култура на дијалог

Форми на работа во лекцијата -комбинирано

Дидактички објекти и опрема:

1. Компјутери

2. Мултимедијален проектор

4. Материјали

5. Слајдови за презентација

За време на часовите

Јас. Организација на почетокот на часот

· Поздравување ученици и гости

· Расположение за часот

II. Поставување цели и ажурирање на тема

Потребно е многу време да се проучи функцијата и да се изгради нејзиниот график, мора да извршите многу незгодни пресметки, не е погодно, компјутерската технологија доаѓа на помош.

Денес ќе научиме како да изградиме графикони на тригонометриски функции во околината за табеларни пресметки на MS Excel 2007 година.

Темата на нашиот час е „Конструкција и проучување на графикот на тригонометриска функција y= синксво процесор за маса"

Од курсот за алгебра ја знаеме шемата за проучување на функција и конструирање на нејзиниот график. Ајде да се потсетиме како да го направиме ова.

Слајд 2

Шема за проучување на функции

1. Домен на функцијата (D(f))

2. Опсег на функција E(f)

3. Определување на паритет

4. Фреквенција

5. Нули на функцијата (y=0)

6. Интервали на константен знак (y>0, y<0)

7. Периоди на монотонија

8. Екстреми на функцијата

III. Примарна асимилација на нов едукативен материјал

Отворете MS Excel 2007.

Да ја нацртаме функцијата y=sin x

Градење графикони во процесор за табеларни пресметкиГОСПОЃИЦА Excel 2007

Графикот на оваа функција ќе го нацртаме на сегментот xЄ [-2π; 2π]

Ќе ги земеме вредностите на аргументот во чекори , за да се направи графикот попрецизен.

Бидејќи уредникот работи со броеви, ајде да ги претвориме радијаните во броеви, знаејќи го тоа P ≈ 3,14 . (табела за превод во материјалот).

1. Најдете ја вредноста на функцијата во точката x=-2P. За останатото, уредникот автоматски ги пресметува соодветните функционални вредности.

2. Сега имаме табела со вредностите на аргументот и функцијата. Со овие податоци, треба да ја нацртаме оваа функција со помош на Волшебникот за графикони.

3. За да изградите график, треба да го изберете потребниот опсег на податоци, линии со аргументи и вредности на функции

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Заклучоците ги запишуваме во тетратка (Слајд 5)

Заклучок. Графикот на функција од формата y=sinx+k се добива од графикот на функцијата y=sinx со помош на паралелна транслација по оската на оп-засилувачот по k единици

Ако k >0, тогаш графикот се поместува нагоре за k единици

Ако к<0, то график смещается вниз на k единиц

Изградба и проучување на функција на форматаy=к*синкс,к- конст

Задача 2.На работа Лист2цртаат графикони на функции во еден координатен систем y= синкс y=2* синкс, y= * синкс, на интервалот (-2π; 2π) и гледајте како се менува изгледот на графикот.

(За да не ја поставиме повторно вредноста на аргументот, ајде да ги копираме постоечките вредности. Сега треба да ја поставите формулата и да изградите график користејќи ја добиената табела.)

Ги споредуваме добиените графикони. Заедно со учениците го анализираме однесувањето на графикот на тригонометриска функција во зависност од коефициентите. (Слајд 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , на интервалот (-2π; 2π) и гледајте како се менува изгледот на графикот.

Ги споредуваме добиените графикони. Заедно со учениците го анализираме однесувањето на графикот на тригонометриска функција во зависност од коефициентите. (Слајд 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Заклучоците ги запишуваме во тетратка (Слајд 11)

Заклучок. Графикот на функција од формата y=sin(x+k) се добива од графикот на функцијата y=sinx со помош на паралелна транслација по оската OX по k единици

Ако k >1, тогаш графикот се поместува надесно по оската OX

Ако 0

IV. Примарна консолидација на стекнатото знаење

Диференцирани картички со задача да се конструира и проучува функција со помош на график

Y=6*грев (x)

Y=1-2 гревX

Y=- грев(3x+)

1. Домен

2. Опсег на вредност

3. Паритет

4. Периодичноста

5. Интервали на константност на знакот

6. Празнинимонотонија

Функцијата се зголемува

Функција

се намалува

7. Екстреми на функцијата

Минимум

Максимум

В. Организација на домашните задачи

Нацртајте график на функцијата y=-2*sinх+1, испитајте ја и проверете ја исправноста на конструкцијата во опкружување со табеларни пресметки Мајкрософт Excel. (Слајд 12)

VI. Рефлексија