Откако дојдовте овде, веројатно веќе сте ја виделе оваа формула во учебникот

и направи вака лице:

Пријател, не грижи се! Всушност, сè е едноставно срамота. Дефинитивно ќе разберете сè. Само едно барање - прочитајте ја статијата полека, обидете се да го разберете секој чекор. Напишав што е можно поедноставно и јасно, но сепак треба да ја разберете идејата. И не заборавајте да ги решите задачите од статијата.

Што е сложена функција?

Замислете дека се преселувате во друг стан и затоа ги пакувате работите во големи кутии. Да претпоставиме дека треба да соберете некои мали предмети, на пример, училишни материјали за пишување. Ако само ги фрлите во огромна кутија, тие ќе се изгубат меѓу другото. За да го избегнете ова, прво ги ставате, на пример, во кеса, која потоа ја ставате во голема кутија, по што ја затворате. Овој „комплексен“ процес е претставен на дијаграмот подолу:

Се чини, каква врска има математиката со тоа? Да, и покрај фактот што комплексна функција се формира ТОЧНО НА ИСТ начин! Само ние „спакуваме“ не тетратки и пенкала, туку \(x\), додека „пакетите“ и „кутиите“ се различни.

На пример, да земеме x и да го „спакуваме“ во функција:


Како резултат на тоа, добиваме, се разбира, \(\cos⁡x\). Ова е нашата „торба со работи“. Сега да го ставиме во „кутија“ - да го спакуваме, на пример, во кубна функција.


Што ќе се случи на крајот? Да, тоа е точно, ќе има „торба со работи во кутија“, односно „косинус од коцки X“.

Резултирачкиот дизајн е сложена функција. По тоа се разликува од едноставниот НЕКОЛКУ „влијанија“ (пакети) се применуваат на еден X по реди излегува како „функција од функција“ - „пакување во пакување“.

ВО училишен курсИма многу малку видови на овие „пакети“, само четири:

Ајде сега да го „спакуваме“ X прво во експоненцијална функција со основа 7, а потоа во тригонометриска функција. Добиваме:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Сега ајде да го „спакуваме“ X двапати тригонометриски функции, прво во , а потоа во:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Едноставно, нели?

Сега напишете ги самите функции, каде x:
- прво се „спакува“ во косинус, а потоа во експоненцијална функција со основа \(3\);
- прво до петтиот степен, а потоа до тангентата;
- прво до логаритам до основата \(4\) , потоа на моќта \(-2\).

Најдете ги одговорите на оваа задача на крајот од статијата.

Можеме ли да го „спакуваме“ X не два, туку три пати? Нема проблем! И четири, и пет, и дваесет и пет пати. Еве, на пример, функција во која x е „спакувана“ \(4\) пати:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Но, таквите формули нема да се најдат во училишната практика (учениците имаат повеќе среќа - нивната може да биде посложена☺).

„Отпакување“ сложена функција

Повторно погледнете ја претходната функција. Можете ли да ја сфатите низата „пакување“? Во што прво се напика Х, што потоа и така до самиот крај. Односно, која функција е вгнездена во која? Земете парче хартија и запишете што мислите. Можете да го направите ова со синџир со стрелки како што напишавме погоре или на кој било друг начин.

Сега точниот одговор е: прво, x беше „спакуван“ во \(4\)-та моќност, потоа резултатот беше спакуван во синус, тој, пак, беше ставен во логаритам до основата \(2\) , и на крајот целата оваа конструкција беше набиена во моќни петки.

Односно, треба да ја одвиткате низата ПО ОБРАТЕН РЕД. И еве совет како да го направите тоа полесно: веднаш погледнете го X - треба да танцувате од него. Ајде да погледнеме неколку примери.

На пример, тука е следнава функција: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Гледаме во Х - што се случува прво со него? Земено од него. И потоа? Се зема тангентата на резултатот. Редоследот ќе биде ист:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Друг пример: \(y=\cos⁡((x^3))\). Ајде да анализираме - прво го коцкавме X, а потоа го зедовме косинусот на резултатот. Ова значи дека низата ќе биде: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Обрнете внимание, функцијата изгледа како да е слична на првата (каде што има слики). Но, ова е сосема друга функција: овде во коцката е x (т.е. \(\cos⁡((x·x·x)))\), а таму во коцката е косинусот \(x\) ( односно \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Оваа разлика произлегува од различни секвенци на „пакување“.

Последниот пример (со важна информацијаво него): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Јасно е дека овде прво правеле аритметички операции со x, а потоа го земале синусот на резултатот: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). И ова е важна точка: и покрај фактот што аритметичките операции сами по себе не се функции, овде тие исто така дејствуваат како начин на „пакување“. Ајде да навлеземе малку подлабоко во оваа суптилност.

Како што реков погоре, во едноставни функции x се „спакува“ еднаш, а во сложени функции - две или повеќе. Покрај тоа, секоја комбинација на едноставни функции (односно нивниот збир, разлика, множење или делење) е исто така едноставна функција. На пример, \(x^7\) е едноставна функција, а истото е и \(ctg x\). Ова значи дека сите нивни комбинации се едноставни функции:

\(x^7+ ctg x\) - едноставно,
\(x^7· креветче x\) - едноставно,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – едноставно, итн.

Меѓутоа, ако се примени уште една функција на таква комбинација, таа ќе стане сложена функција, бидејќи ќе има два „пакети“. Види дијаграм:



Добро, продолжи сега. Напишете ја низата од функциите „завиткување“:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Одговорите се повторно на крајот од статијата.

Внатрешни и надворешни функции

Зошто треба да го разбереме вгнездувањето на функциите? Што ни дава ова? Факт е дека без таква анализа нема да можеме со сигурност да најдеме деривати на функциите дискутирани погоре.

А за да продолжиме понатаму, ќе ни требаат уште два концепта: внатрешни и надворешни функции. Ова е многу едноставна работа, згора на тоа, всушност, веќе ги анализиравме погоре: ако се сеќаваме на нашата аналогија на самиот почеток, тогаш внатрешната функција е „пакет“, а надворешната функција е „кутија“. Оние. она во што X е „завиткано“ прво е внатрешна функција, а она во што е „завиткано“ внатрешната функција е веќе надворешно. Па, јасно е зошто - таа е надвор, тоа значи надворешна.

Во овој пример: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), функцијата \(\log_2⁡x\) е внатрешна, и
- надворешен.

И во ова: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) е внатрешно, и
- надворешен.

Завршете ја последната практика на анализа на сложени функции и конечно да преминеме на она за што сите почнавме - ќе најдеме деривати на сложени функции:

Пополнете ги празните места во табелата:


Извод на сложена функција

Браво за нас, конечно стигнавме до „газдата“ на темава - всушност, дериват комплексна функција, и конкретно, на таа многу страшна формула од почетокот на статијата.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cточка g"(x)\)

Оваа формула гласи вака:

Изводот на сложена функција е еднаков на производот од изводот на надворешната функција во однос на константна внатрешна функција и изводот на внатрешната функција.

И веднаш погледнете го дијаграмот за парсирање „збор по збор“ за да разберете што е што:

Се надевам дека термините „дериват“ и „производ“ не предизвикуваат никакви тешкотии. „Комплексна функција“ - веќе ја средиме. Уловот е во „дериват на надворешна функција во однос на постојана внатрешна функција“. Што е тоа?

Одговор: Ова е вообичаен извод на надворешна функција, во која се менува само надворешната функција, а внатрешната останува иста. Сè уште не е јасно? Добро, ајде да користиме пример.

Дозволете ни да имаме функција \(y=\sin⁡(x^3)\). Јасно е дека внатрешната функција овде е \(x^3\), а надворешната
. Сега да го најдеме дериватот на надворешноста во однос на константната внатрешност.

Овој час е посветен на темата „Диференцијација на сложени функции. Проблем од практиката на подготовка за обединет државен испит по математика“. Оваа лекција го истражува разликувањето на сложените функции. Се составува табела на деривати на сложена функција. Во продолжение се разгледува пример за решавање на проблем од практиката на подготовка за обединет државен испит по математика.

Тема: Дериват

Лекција: Диференцирање комплексна функција. Практична задача за подготовка за обединет државен испит по математика

Комплексенфункцијавеќе разграничивме, но аргументот беше линеарна функција, имено, знаеме како да ја разликуваме функцијата . На пример,. Сега, на ист начин, ќе најдеме изводи на сложена функција, каде наместо линеарна функција може да има друга функција.

Да почнеме со функцијата

Значи, го најдовме изводот на синусот од сложена функција, каде што аргументот на синусот беше квадратна функција.

Ако треба да ја пронајдете вредноста на изводот во одредена точка, тогаш оваа точка мора да се замени со пронајдениот дериват.

Така, во два примера видовме како функционира правилото диференцијацијакомплекс функции.

2.

3. . Да ве потсетиме дека.

7.

8. .

Така, ќе ја завршиме табелата за диференцијација на сложените функции во оваа фаза. Понатаму, се разбира, ќе се генерализира уште повеќе, но сега да преминеме на конкретни проблеми на дериватот.

Во практиката на подготовка за обединет државен испит се предлагаат следните задачи.

Најдете го минимумот на функцијата .

ОДЗ: .

Ајде да го најдеме дериватот. Да потсетиме дека, .

Да го изедначиме изводот со нула. Точката е вклучена во ОДЗ.

Да ги најдеме интервалите на константен знак на изводот (интервали на монотоност на функцијата) (види Сл. 1).

Ориз. 1. Интервали на монотоност за функција .

Ајде да погледнеме една точка и да откриеме дали е екстремна точка. Доволен знак за екстрем е тоа што дериватот го менува знакот кога минува низ точка. Во овој случај, дериватот го менува знакот, што значи дека е екстремна точка. Бидејќи дериватот го менува знакот од „-“ во „+“, тогаш ова е минималната точка. Да ја најдеме вредноста на функцијата на минималната точка: . Ајде да нацртаме дијаграм (види слика 2).

Сл.2. Екстрем на функцијата .

На интервалот - функцијата се намалува, вклучено - функцијата се зголемува, екстремната точка е единствена. Најниска вредностфункцијата прифаќа само во точката .

Во текот на часот ја разгледавме диференцијацијата на сложените функции, составивме табела и ги разгледавме правилата за диференцијација на сложена функција и дадовме пример за користење на извод од практиката на подготовка за обединет државен испит.

1. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Упатство за образовните институции (ниво на профил) ед. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009 година.

2. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Проблемска книга за образовни институции (ниво на профил), ед. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007 година.

3. Виленкин Н.Ја., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и пресметка за одделение 10 ( упатствоза учениците од училиштата и одделенијата со длабинска студијаматематика).-М.: Образование, 1996 г.

4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Напредно изучување на алгебра и математичка анализа.-М.: Образование, 1997 г.

5. Збирка задачи по математика за апликанти на високообразовни институции (уреди М.И. Сканави) - М.: Виша школа, 1992 г.

6. Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир М.С. Алгебарски симулатор.-К.: А.С.К., 1997 г.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chikinina Algebra и почетоците на анализата. 8-11 одделение: Прирачник за училишта и паралелки со продлабочено изучување на математиката (дидактички материјали) - М.: Бастард, 2002 г.

8. Сахакјан С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми за алгебра и принципи на анализа (прирачник за ученици од 10-11 одделение на општообразовните институции) - М.: Просвешчение, 2003 година.

9. Карп А.П. Збирка задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. додаток за 10-11 одделение. со длабочина студирал Математика.-М.: Образование, 2006 г.

10. Глејзер Г.И. Историја на математиката на училиште. 9-10 одделение (прирачник за наставници).-М.: Образование, 1983 г

Дополнителни веб-ресурси

2. Портал Природни науки ().

Направете го дома

Бр. 42.2, 42.3 (Алгебра и почетоци на анализа, одделение 10 (во два дела). Проблемска книга за општообразовни институции (ниво на профил) уредена од A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Одлучи физички задачиили примери во математиката е сосема невозможно без познавање на изводот и методите на негово пресметување. Дериватот е еден од најважните концепти во математичката анализа. Решивме да ја посветиме денешната статија на оваа основна тема. Што е дериват, каков е неговиот физички и геометриско значењекако да се пресмета изводот на функцијата? Сите овие прашања може да се комбинираат во едно: како да се разбере дериватот?

Геометриско и физичко значење на дериватот

Нека има функција f(x) , назначен во одреден интервал (а, б) . Точките x и x0 припаѓаат на овој интервал. Кога x се менува, самата функција се менува. Промена на аргументот - разликата во неговите вредности x-x0 . Оваа разлика е напишана како делта x и се нарекува зголемување на аргументот. Промена или зголемување на функцијата е разликата помеѓу вредностите на функцијата во две точки. Дефиниција на дериват:

Изводот на функцијата во точка е граница на односот на зголемувањето на функцијата во дадена точка до зголемувањето на аргументот кога вториот се стреми кон нула.

Во спротивно може да се напише вака:

Која е поентата да се најде таква граница? А еве што е тоа:

изводот на функцијата во точка е еднаков на тангентата на аголот помеѓу оската OX и тангентата на графикот на функцијата во дадена точка.


Физичко значењедериват: дериватот на патеката во однос на времето е еднаков на брзината на праволиниското движење.

Навистина, уште од училишните денови секој знае дека брзината е одредена патека x=f(t) и времето т . Просечна брзина во одреден временски период:

За да ја дознаете брзината на движење во одреден момент во времето t0 треба да ја пресметате границата:

Правило еден: поставете константа

Константата може да се извади од дериватниот знак. Покрај тоа, ова мора да се направи. Кога решавате примери по математика, земете го по правило - Ако можете да поедноставите израз, не заборавајте да го поедноставите .

Пример. Да го пресметаме изводот:

Правило второ: извод од збир на функции

Изводот на збирот на две функции е еднаков на збирот на изводите на овие функции. Истото важи и за изводот на разликата на функциите.

Ние нема да дадеме доказ за оваа теорема, туку ќе разгледаме практичен пример.

Најдете го изводот на функцијата:

Правило трето: извод на производ на функции

Дериватот на производот на две диференцијабилни функции се пресметува со формулата:

Пример: најдете го изводот на функцијата:

Решение:

Овде е важно да се зборува за пресметување на деривати на сложени функции. Изводот на сложена функција е еднаков на производот од изводот на оваа функција во однос на средниот аргумент и изводот на средното аргумент во однос на независната променлива.

Во горниот пример се среќаваме со изразот:

Во овој случај, средниот аргумент е 8x до петтата сила. За да го пресметаме изводот на таков израз, прво го пресметуваме изводот на надворешната функција во однос на средниот аргумент, а потоа се множиме со изводот на самиот среден аргумент во однос на независната променлива.

Правило четири: извод на количник на две функции

Формула за одредување на изводот на количникот на две функции:

Се обидовме да зборуваме за деривати за кукли од нула. Оваа тема не е толку едноставна како што изгледа, затоа бидете предупредени: често има замки во примерите, па бидете внимателни кога пресметувате деривати.

Со какви било прашања на оваа и на други теми, можете да контактирате со студентската служба. За кратко време, ќе ви помогнеме да го решите најтешкиот тест и да ги разберете задачите, дури и ако никогаш претходно не сте правеле пресметки со изводи.

Многу лесно се памети.

Па, да не одиме далеку, да го погледнеме веднаш инверзна функција. На која функција е инверзна експоненцијална функција? Логаритам:

Во нашиот случај, основата е бројот:

Таквиот логаритам (т.е. логаритам со основа) се нарекува „природен“ и користиме посебна нотација за него: наместо тоа пишуваме.

На што е еднакво? Секако, .

Дериватот на природниот логаритам е исто така многу едноставен:

Примери:

  1. Најдете го изводот на функцијата.
  2. Кој е изводот на функцијата?

Одговори: Излагач и природен логаритам- функциите се уникатно едноставни во однос на деривати. Експоненцијалните и логаритамските функции со која било друга основа ќе имаат различен извод, кој ќе го анализираме подоцна, откако ќе ги поминеме правилата за диференцијација.

Правила на диференцијација

Правила за што? Пак нов мандат, пак?!...

Диференцијацијае процес на пронаоѓање на дериватот.

Тоа е се. Како друго можете да го наречете овој процес со еден збор? Не извод... Математичарите диференцијалот го нарекуваат исто зголемување на функцијата во. Овој термин доаѓа од латинската диференција - разлика. Еве.

Кога ги изведуваме сите овие правила, ќе користиме две функции, на пример, и. Ќе ни требаат и формули за нивните зголемувања:

Има вкупно 5 правила.

Константата се вади од дериватниот знак.

Ако - некој константен број (константа), тогаш.

Очигледно ова правило работи и за разликата: .

Да го докажеме тоа. Нека биде, или поедноставно.

Примери.

Најдете ги изводите на функциите:

  1. во точка;
  2. во точка;
  3. во точка;
  4. во точката.

Решенија:

  1. (изводот е ист во сите точки, бидејќи е линеарна функција, се сеќавате?);

Дериват на производот

Сè е слично овде: да воведеме нова функција и да го најдеме нејзиниот прираст:

Дериват:

Примери:

  1. Најди ги изводите на функциите и;
  2. Најдете го изводот на функцијата во точка.

Решенија:

Извод на експоненцијална функција

Сега вашето знаење е доволно за да научите како да го пронајдете изводот на која било експоненцијална функција, а не само на експоненти (сè уште сте заборавиле што е тоа?).

Значи, каде е некој број.

Веќе го знаеме изводот на функцијата, па ајде да се обидеме да ја намалиме нашата функција на нова база:

За ова ќе користиме едноставно правило: . Потоа:

Па, успеа. Сега обидете се да го пронајдете изводот и не заборавајте дека оваа функција е сложена.

Се случи?

Еве, проверете се:

Се покажа дека формулата е многу слична на изводот на експонент: како што беше, таа останува иста, се појави само фактор, кој е само број, но не и променлива.

Примери:
Најдете ги изводите на функциите:

Одговори:

Ова е само бројка што не може да се пресмета без калкулатор, односно не може да се запише повеќе во едноставна форма. Затоа, го оставаме во оваа форма во одговорот.

    Забележете дека тука е количникот на две функции, така што го применуваме соодветното правило за диференцијација:

    Во овој пример, производ на две функции:

Извод на логаритамска функција

Слично е овде: веќе го знаете дериватот на природниот логаритам:

Затоа, да се најде произволен логаритам со различна основа, на пример:

Треба да го намалиме овој логаритам на основата. Како се менува основата на логаритам? Се надевам дека се сеќавате на оваа формула:

Само сега наместо тоа ќе напишеме:

Именителот е едноставно константа (константен број, без променлива). Дериватот се добива многу едноставно:

Деривати на експоненцијални и логаритамски функцииречиси никогаш не се појавуваат на обединетиот државен испит, но не би било лошо да ги знаете.

Извод на сложена функција.

Што е „комплексна функција“? Не, ова не е логаритам, ниту арктангенс. Овие функции може да бидат тешки за разбирање (иако ако ви е тежок логаритмот, прочитајте ја темата „Логаритми“ и ќе бидете во ред), но од математичка гледна точка, зборот „комплекс“ не значи „тешко“.

Замислете мала подвижна лента: две лица седат и прават некои активности со некои предмети. На пример, првиот завиткува чоколадна лента во обвивка, а втората ја врзува со лента. Резултатот е композитен предмет: чоколадна лента завиткана и врзана со лента. За да јадете чоколадна лента, треба да ги направите обратните чекори во обратен редослед.

Ајде да создадеме сличен математички цевковод: прво ќе го најдеме косинусот на некој број, а потоа ќе го квадратиме добиениот број. Значи, ни се дава број (чоколадо), јас го наоѓам неговиот косинус (обвивка), а потоа го квадрирате она што го добив (врзете го со лента). Што се случи? Функција. Ова е пример за сложена функција: кога, за да ја пронајдеме нејзината вредност, го извршуваме првото дејство директно со променливата, а потоа второто дејство со она што произлегло од првото.

Со други зборови, комплексна функција е функција чиј аргумент е друга функција: .

За нашиот пример,.

Можеме лесно да ги правиме истите чекори во обратен редослед: прво го квадратите, а потоа го барам косинусот на добиениот број: . Лесно е да се погоди дека резултатот скоро секогаш ќе биде различен. Важна карактеристика на сложените функции: кога се менува редоследот на дејствата, функцијата се менува.

Втор пример: (истото). .

Дејството што го правиме последно ќе се вика „надворешна“ функција, и дејството извршено прво - соодветно „внатрешна“ функција(ова се неформални имиња, ги користам само за да го објаснам материјалот на едноставен јазик).

Обидете се сами да одредите која функција е надворешна, а која внатрешна:

Одговори:Одвојувањето на внатрешните и надворешните функции е многу слично на менувањето на променливите: на пример, во функција

  1. Која акција прво ќе ја извршиме? Прво, да го пресметаме синусот, па дури потоа да го коцкаме. Тоа значи дека тоа е внатрешна функција, но надворешна.
    А оригиналната функција е нивниот состав: .
  2. Внатрешна: ; надворешен: .
    Испитување: .
  3. Внатрешна: ; надворешен: .
    Испитување: .
  4. Внатрешна: ; надворешен: .
    Испитување: .
  5. Внатрешна: ; надворешен: .
    Испитување: .

Ги менуваме променливите и добиваме функција.

Па, сега ќе ја извадиме нашата чоколадна лента и ќе го бараме дериватот. Постапката е секогаш обратна: прво го бараме изводот на надворешната функција, а потоа резултатот го множиме со изводот на внатрешната функција. Во однос на оригиналниот пример, изгледа вака:

Друг пример:

Значи, конечно да го формулираме официјалното правило:

Алгоритам за наоѓање извод на сложена функција:

Се чини едноставно, нели?

Ајде да провериме со примери:

Решенија:

1) Внатрешна: ;

Надворешен: ;

2) Внатрешна: ;

(Само не обидувајте се да го пресечете досега! Ништо не излегува од косинусот, се сеќавате?)

3) Внатрешна: ;

Надворешен: ;

Веднаш е јасно дека ова е сложена функција на три нивоа: на крајот на краиштата, ова е веќе сложена функција сама по себе, а ние исто така го извлекуваме коренот од него, односно го извршуваме третото дејство (ставете го чоколадото во обвивка и со лента во актовката). Но, нема причина да се плашиме: ние сепак ќе ја „отпакуваме“ оваа функција по истиот редослед како и обично: од крајот.

Односно, прво го разликуваме коренот, па косинусот, па дури потоа изразот во загради. И тогаш сето тоа го множиме.

Во такви случаи, погодно е да се нумерираат дејствата. Односно, да замислиме што знаеме. По кој редослед ќе извршиме дејствија за да ја пресметаме вредноста на овој израз? Ајде да погледнеме на пример:

Колку подоцна се изврши дејството, толку „понадворешна“ ќе биде соодветната функција. Редоследот на дејствата е ист како и претходно:

Овде гнездото е генерално на 4 нивоа. Ајде да го одредиме текот на дејствувањето.

1. Радикално изразување. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Плоштад. .

5. Спојување на сето тоа заедно:

ДЕРИВАТИВ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Извод на функција- односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот за бесконечно мало зголемување на аргументот:

Основни деривати:

Правила за диференцијација:

Константата се вади од дериватниот знак:

Извод на збирот:

Дериват на производот:

Извод на количникот:

Извод на сложена функција:

Алгоритам за наоѓање извод на сложена функција:

  1. Ја дефинираме „внатрешната“ функција и го наоѓаме нејзиниот дериват.
  2. Ја дефинираме функцијата „надворешна“ и го наоѓаме нејзиниот дериват.
  3. Ги множиме резултатите од првата и втората точка.

Ако ја следите дефиницијата, тогаш изводот на функцијата во точка е граница на односот на зголемувањето на функцијата Δ yдо зголемувањето на аргументот Δ x:

Се чини дека сè е јасно. Но, обидете се да ја користите оваа формула за да го пресметате, да речеме, дериватот на функцијата ѓ(x) = x 2 + (2x+ 3) · д xгрев x. Ако правите сè по дефиниција, тогаш по неколку страници пресметки едноставно ќе заспиете. Затоа, постојат поедноставни и поефикасни начини.

За почеток, забележуваме дека од целата разновидност на функции можеме да ги разликуваме таканаречените елементарни функции. Релативно е едноставни изрази, чии деривати се одамна пресметани и наведени во табелата. Ваквите функции се прилично лесни за паметење - заедно со нивните деривати.

Изводи на елементарни функции

Елементарните функции се сите оние наведени подолу. Дериватите на овие функции мора да се знаат напамет. Покрај тоа, воопшто не е тешко да се запаметат - затоа се елементарни.

Значи, деривати на елементарни функции:

Име Функција Дериват
Постојана ѓ(x) = В, В ∈ Р 0 (да, нула!)
Моќ со рационален експонент ѓ(x) = x n n · x n − 1
Синус ѓ(x) = грев x cos x
Косинусот ѓ(x) = кос x −грев x(минус синус)
Тангента ѓ(x) = tg x 1/cos 2 x
Котангенс ѓ(x) = ctg x − 1/грев 2 x
Природен логаритам ѓ(x) = дневник x 1/x
Произволен логаритам ѓ(x) = дневник а x 1/(x ln а)
Експоненцијална функција ѓ(x) = д x д x(ништо не се смени)

Ако елементарна функција се помножи со произволна константа, тогаш лесно се пресметува и изводот на новата функција:

(В · ѓ)’ = В · ѓ ’.

Генерално, константите може да се извадат од знакот на дериватот. На пример:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)“ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Очигледно, елементарните функции можат да се додадат една на друга, да се множат, поделат - и многу повеќе. Така ќе се појават нови функции, веќе не особено елементарни, туку и диференцирани според одредени правила. Овие правила се дискутирани подолу.

Извод на збир и разлика

Нека се дадени функциите ѓ(x) И е(x), чии деривати ни се познати. На пример, можете да ги земете елементарните функции дискутирани погоре. Потоа можете да го најдете изводот на збирот и разликата на овие функции:

  1. (ѓ + е)’ = ѓ ’ + е ’
  2. (ѓ − е)’ = ѓ ’ − е ’

Значи, изводот на збирот (разликата) на две функции е еднаков на збирот (разликата) на изводите. Може да има повеќе термини. На пример, ( ѓ + е + ч)’ = ѓ ’ + е ’ + ч ’.

Строго кажано, не постои концепт на „одземање“ во алгебрата. Постои концепт на „негативен елемент“. Затоа разликата ѓ − еможе да се препише како збир ѓ+ (−1) е, а потоа останува само една формула - дериватот на збирот.

ѓ(x) = x 2 + грев x; е(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функција ѓ(x) е збир на две елементарни функции, затоа:

ѓ ’(x) = (x 2 + грев x)’ = (x 2)“ + (грев x)’ = 2x+ cos x;

Слично размислуваме за функцијата е(x). Само што веќе има три термини (од гледна точка на алгебра):

е ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Одговор:
ѓ ’(x) = 2x+ cos x;
е ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Дериват на производот

Математиката е логичка наука, па многу луѓе веруваат дека ако изводот на збирот е еднаков на збирот на дериватите, тогаш изводот на производот штрајк">еднаков на производот на деривати. Ама зафркни си! Изводот на производ се пресметува со сосема друга формула. Имено:

(ѓ · е) ’ = ѓ ’ · е + ѓ · е ’

Формулата е едноставна, но често се заборава. И не само ученици, туку и студенти. Резултатот е неправилно решени проблеми.

Задача. Најдете деривати на функции: ѓ(x) = x 3 cos x; е(x) = (x 2 + 7x− 7) · д x .

Функција ѓ(x) е производ на две елементарни функции, така што сè е едноставно:

ѓ ’(x) = (x 3 кос x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (кос x)’ = 3x 2 кос x + x 3 (− грев x) = x 2 (3 кос x − xгрев x)

Функција е(x) првиот фактор е малку покомплициран, но општа шемаова не се менува. Очигледно, првиот фактор на функцијата е(x) е полином и неговиот извод е извод од збирот. Ние имаме:

е ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · д x)’ = (x 2 + 7x− 7)“ · д x + (x 2 + 7x− 7) · ( д x)’ = (2x+ 7) · д x + (x 2 + 7x− 7) · д x = д x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · д x = x(x+ 9) · д x .

Одговор:
ѓ ’(x) = x 2 (3 кос x − xгрев x);
е ’(x) = x(x+ 9) · д x .

Ве молиме имајте предвид дека на последен чекордериватот се факторизира. Формално, тоа не треба да се прави, но повеќето деривати не се пресметуваат сами, туку за да се испита функцијата. Тоа значи дека понатаму дериватот ќе се изедначи со нула, ќе се утврдат неговите знаци итн. За таков случај, подобро е да се факторизира изразот.

Ако има две функции ѓ(x) И е(x), и е(x) ≠ 0 на множеството што не интересира, можеме да дефинираме нова функција ч(x) = ѓ(x)/е(x). За таква функција можете да го најдете и изводот:

Не е слаб, а? Од каде минусот? Зошто е 2? И вака! Ова е една од најкомплексните формули - не можете да ја сфатите без шише. Затоа, подобро е да се проучи со конкретни примери.

Задача. Најдете деривати на функции:

Броителот и именителот на секоја дропка содржат елементарни функции, така што сè што ни треба е формулата за изводот на количникот:


Според традицијата, ајде да го факторизираме броителот - ова во голема мера ќе го поедностави одговорот:

Сложената функција не е нужно формула долга половина километар. На пример, доволно е да се земе функцијата ѓ(x) = грев xи заменете ја променливата x, да речеме, на x 2 + ln x. Ќе успее ѓ(x) = грев ( x 2 + ln x) - ова е сложена функција. Исто така, има дериват, но нема да биде можно да се најде користејќи ги правилата дискутирани погоре.

Што да правам? Во такви случаи, заменувањето на променлива и формула за изводот на сложена функција помага:

ѓ ’(x) = ѓ ’(т) · т“, Ако xсе заменува со т(x).

Како по правило, ситуацијата со разбирањето на оваа формула е уште потажна отколку со дериватот на количникот. Затоа, исто така е подобро да се објасни со конкретни примери, со детален опис на секој чекор.

Задача. Најдете деривати на функции: ѓ(x) = д 2x + 3 ; е(x) = грев ( x 2 + ln x)

Забележете дека ако во функцијата ѓ(x) наместо изразот 2 x+ 3 ќе биде лесно x, тогаш добиваме елементарна функција ѓ(x) = д x. Затоа, правиме замена: нека 2 x + 3 = т, ѓ(x) = ѓ(т) = д т. Бараме извод на сложена функција користејќи ја формулата:

ѓ ’(x) = ѓ ’(т) · т ’ = (д т)’ · т ’ = д т · т ’

И сега - внимание! Вршиме обратна замена: т = 2x+ 3. Добиваме:

ѓ ’(x) = д т · т ’ = д 2x+ 3 (2 x + 3)’ = д 2x+ 3 2 = 2 д 2x + 3

Сега да ја погледнеме функцијата е(x). Очигледно треба да се замени x 2 + ln x = т. Ние имаме:

е ’(x) = е ’(т) · т“ = (грев т)’ · т’ = коз т · т ’

Обратна замена: т = x 2 + ln x. Потоа:

е ’(x) = коз ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)“ = коз ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Тоа е се! Како што може да се види од последниот израз, целиот проблем е сведена на пресметување на изводниот збир.

Одговор:
ѓ ’(x) = 2 · д 2x + 3 ;
е ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Многу често на моите часови, наместо терминот „дериват“, го користам зборот „prime“. На пример, ударот на збирот е еднаков на збирот на ударите. Дали е тоа појасно? Па тоа е добро.

Така, пресметувањето на дериватот се сведува на ослободување од истите овие удари според правилата дискутирани погоре. Како последен примерДа се ​​вратиме на дериватната моќност со рационален експонент:

(x n)’ = n · x n − 1

Малкумина го знаат тоа во улогата nможе добро да дејствува фракционен број. На пример, коренот е x 0,5. Што ако има нешто фенси под коренот? Повторно, резултатот ќе биде сложена функција - тие сакаат да им даваат такви конструкции тестовии испити.

Задача. Најдете го изводот на функцијата:

Прво, да го преработиме коренот како моќ со рационален експонент:

ѓ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Сега правиме замена: нека x 2 + 8x − 7 = т. Го наоѓаме дериватот користејќи ја формулата:

ѓ ’(x) = ѓ ’(т) · т ’ = (т 0,5)“ · т’ = 0,5 · т−0,5 · т ’.

Ајде да направиме обратна замена: т = x 2 + 8x− 7. Имаме:

ѓ ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Конечно, назад кон корените: