МАГИЧЕН ПЛОШТАД
Кина се смета за родно место на магичните плоштади. Во Кина постои учењето на Фенг Шуи, кое вели дека бојата, обликот и физичката поставеност на секој елемент во просторот влијае на протокот на Чи, или забавувајќи го, пренасочувајќи го или забрзувајќи го, што директно влијае на енергијата. нивоа на жителите. За да ги дознаат тајните на светот, боговите му го испратиле на царот Ју најстариот симбол, плоштадот Ло Шу (Ло - река).
МАГИЧЕН ПЛОШТАД ЛО ШУ
Легендата вели дека пред околу четири илјади години од бурните води на реката Луо се појавила голема желка Шу. Луѓето кои принесувале жртви на реката ја виделе желката и веднаш ја препознале како божество. Размислувањата на древните мудреци му изгледале толку разумни на императорот Ју што наредил сликата на желка да се овековечи на хартија и да ја запечати со својот царски печат. Во спротивно, како би знаеле за овој настан?
Оваа желка всушност била посебна затоа што имала чудна шема на точки на својата школка. Точките беа означени на уреден начин, што ги наведе античките филозофи до идејата дека квадратот со бројки на лушпата на желката служи како модел на просторот - карта на светот составена од митскиот основач на кинеската цивилизација, Хуанг Ди. Всушност, збирот на броевите во колоните, редовите и двете дијагонали на квадратот е ист M = 15 и е еднаков на бројот на денови во секој од 24-те циклуси на кинескиот соларна година.
Парните и непарните броеви се наизменично: 4 парни броеви (напишани од долу кон горе во опаѓачки редослед) се наоѓаат во четирите агли, а 5 непарни броеви (напишани од долу кон горе во растечки редослед) формираат крст во центарот на квадратот. Петте елементи на крстот одразуваат земја, оган, метал, вода и шума. Збирот на кои било два броја разделени со центар е еднаков на бројот Ho Ti, т.е. десет.
Парни броеви(Земји симболи) Ло Шу беа означени на телото на желката во форма на црни точки, или симболи Јин, и непарни броеви (симболи на небото) - во форма на бели точки или симболи Јанг. Земјата 1 (или водата) е долу, оган 9 (или небото) е горе. Можно е модерната слика на бројот 5, поставена во центарот на композицијата, да се должи на кинескиот симбол на двојноста на Јанг и Јин.
МАГИЧЕН ПЛОШТАД ОД КАЈУРАХО
Источна соба
Магијата на Џозеф Радјард Киплинг, кој ги создаде сликите на Могли, Бахира, Балу, Шере Кан и, се разбира, Табака, започна во пресрет на дваесеттиот век. Половина век претходно, во февруари 1838 година, младиот британски офицер на Бенгалските инженери, Т.С. Берт, заинтересиран за разговорот на слугите што го носеа неговиот паланк, скршна од маршрутата и наиде на антички храмови во џунглите во Индија.
На скалите на храмот Вишваната, офицерот нашол натпис што сведочи за антиката на градбите. По кратко време, енергичниот генерал-мајор А. Канингам нацртал детални планови за Каџурахо. Почнаа ископувањата, кои кулминираа со сензационалното откритие на 22 храмови. Храмовите биле подигнати од махараџите од нивната династија Шандел. По падот на нивното кралство, џунглата ги голтала зградите илјада години. Плоштадот од четврти ред, пронајден меѓу сликите на голи богови и божици, беше неверојатен.
Не само што збирите на овој квадрат по редовите, колоните и дијагоналите се совпаѓаа и изнесуваа 34. Тие исто така се совпаѓаа по скршените дијагонали формирани кога квадратот е преклопен во торус, и во двете насоки. За такво вештерство на броеви, таквите квадрати се нарекуваат „ѓаволски“ (или „пандијагонални“ или „насик“).
Се разбира, ова укажуваше на необично математички способностинивните творци, супериорни во однос на колонијалистите. Она што луѓето во бели шлемови неизбежно го почувствуваа.
МАГИЧНИОТ ПЛОШТАД НА ДУРЕР
Познатиот германски уметник од почетокот на 16 век, Албрехт Дурер, го создаде првиот магичен квадрат 4x4 во европската уметност. Збирот на броевите во кој било ред, колона, дијагонала, а исто така, изненадувачки, во секоја четвртина (дури и на централниот квадрат) па дури и збирот на броевите на аглите е 34. Двата средни броја во долниот ред го означуваат датумот на создавањето на сликата (1514). Направени се корекции во средните квадрати на првата колона - бројките се деформирани.
На сликата со окултниот крилест глушец Сатурн, магичниот квадрат е составен од крилестата интелигенција Јупитер, кои се спротивставуваат еден на друг. Квадратот е симетричен, бидејќи збирот на кои било два броја вклучени во него, лоцирани симетрично во однос на неговиот центар, е еднаков на 17. Ако ги соберете четирите броеви добиени со потегот на шаховскиот витез, ќе добиете 34. Навистина , овој плоштад, со својата беспрекорна уредност, ја отсликува меланхолијата што го зафати уметникот.
Утрински сон.
Европејците беа запознаени со неверојатните квадрати на броеви од византискиот писател и лингвист Москопулос. Неговото дело беше посебен есеј на оваа тема и содржеше примери на волшебните квадрати на авторот.
СИСТЕМАТИЗАЦИЈА НА МАГИЧНИ Плоштади
Во средината на 16 век. Во Европа се појавија дела во кои магичните квадрати се појавија како предмети на математичко истражување. Ова беше проследено со многу други дела, особено од такви познати математичари, основачи модерната наука, како Штифел, Баше, Паскал, Фермат, Беси, Ојлер, Гаус.
Магичен, или магичен квадрат, е квадратна табела исполнета со n 2 броја на таков начин што збирот на броевите во секој ред, секоја колона и на двете дијагонали е ист. Дефиницијата е условна, бидејќи античките исто така придавале значење, на пример, на бојата.
Нормалнонаречен магичен квадрат исполнет со цели броеви од 1 до n 2. Нормалните магични квадрати постојат за сите редови освен n = 2, иако случајот n = 1 е тривијален - квадратот се состои од еден број.
Се повикува збирот на броевите во секоја редица, колона и дијагонала магична константа M. Магичната константа на нормален магичен квадрат зависи само од n и е дадена со формулата
M = n (n 2 + 1) /2
Првите вредности на магичните константи се дадени во табелата
Ако збирот на броеви во квадрат е еднаков само во редови и колони, тогаш тој се нарекува полу-магичен. Магичниот плоштад се нарекува асоцијативенили симетрични, ако збирот на кои било два броја лоцирани симетрично околу центарот на квадратот е еднаков на n 2 + 1.
Има само еден нормален квадрат од трет ред. Многу луѓе го познаваа. Распоредот на броевите на плоштадот Ло Шу е сличен на симболичните ознаки на духовите во Кабалата и знаците на индиската астрологија.
Исто така познат како плоштадот Сатурн. Некои тајни друштваво средниот век тие ја видоа „Кабалата на деветте одаи“. Несомнено, сенката на забранетата магија значеше многу за зачувување на неговите слики.
Бил важен во средновековната нумерологија, често користен како амајлија или помош за гатање. Секоја ќелија одговара на мистична буква или друг симбол. Читајте заедно по одредена линија, овие знаци пренесуваа окултни пораки. Броевите што го сочинуваат датумот на раѓање беа ставени во ќелиите на квадратот, а потоа дешифрирани во зависност од значењето и локацијата на броевите.
Меѓу пандијагоналните, како што се нарекуваат и, ѓаволски магични квадрати, се разликуваат симетрични - идеални. Ѓаволскиот квадрат останува ѓаволски ако го ротирате, рефлектирате, го преуредите редот од горе до долу и обратно, прецртате колона десно или лево и ја доделите на спротивната страна. Вкупно има пет трансформации, дијаграмот на вториот е прикажан на сликата
Има 48 ѓаволски квадрати 4x4 со прецизност на ротација и рефлексија. Ако ја земеме предвид и симетријата во однос на торичните паралелни преводи, тогаш остануваат само три суштински различни ѓаволски квадрати 4x4:
Клод Ф. Брагдон, познат американски архитект, открил дека со поврзување една по една ќелиите со само парни или само непарни броеви на магични квадрати на скршена линија, во повеќето случаи добиваме елегантна шема. Моделот што тој го измислил за вентилационата решетка во таванот на Стопанската комора во Рочестер, Њујорк, каде што живеел, е изграден од магичната скршена линија на талисманот Ло-Шу. Брагдон користел „волшебни линии“ како обрасци за дизајни на ткаенина, корици на книги, архитектонски украси и украсни глави.
Ако поставите мозаик од идентични ѓаволски квадрати (секој квадрат мора да биде блиску до соседите), ќе добиете нешто како паркет, во кој броевите во која било група од ќелии 4x4 ќе формираат ѓаволски квадрат. Броевите во четири ќелии, следени еден по друг, без разлика како се наоѓаат - вертикално, хоризонтално или дијагонално - секогаш се собираат на константата на квадратот. Современи математичаритаквите квадрати ги нарекуваат „совршени“.
ЛАТИНСКИ ПЛОШТАД
Латински квадрат е вид на неправилен математички квадрат исполнет со n разни симболина тој начин што сите n знаци се појавуваат во секој ред и во секоја колона (секоја еднаш).
Латинските квадрати постојат за кое било n. Секој латински квадрат е табела за множење (табела Кејли) на квазигрупа. Името „латински квадрат“ доаѓа од Леонхард Ојлер, кој користел латински букви наместо бројки во табела.
Се нарекуваат два латински квадрати ортогонални, ако сите подредени парови на симболи (a,b) се различни, каде што a е симбол во некоја ќелија од првиот латински квадрат, а b е симбол во истата ќелија од вториот латински квадрат.
Ортогоналните латински квадрати постојат за кој било редослед освен 2 и 6. Бидејќи n е моќ на прост број, постои множество од n–1 парни ортогонални латински квадрати. Ако во секоја дијагонала на латински квадрат сите елементи се различни, се нарекува таков латински квадрат дијагонала. Парови ортогонални дијагонални латински квадрати постојат за сите реда освен 2, 3 и 6. Латинскиот квадрат често се среќава при проблеми со распоредот бидејќи броевите не се повторуваат во редови и колони.
Се нарекува квадрат составен од парови елементи од два ортогонални латински квадрати Грчко-латински плоштад. Таквите квадрати често се користат за изградба на магични квадрати и во сложени проблеми со распоредот.
Додека ги проучувал грчко-латинските квадрати, Ојлер докажал дека квадрати од втор ред не постојат, туку биле пронајдени квадрати од 3, 4 и 5 реда. Тој не најде ниту еден квадрат од редот 6. Тој постави хипотеза дека нема квадрати од парен ред што не се деливи со 4 (односно, 6, 10, 14, итн.). Во 1901 година, Гастон Тери ја потврди хипотезата за 6-ти ред со брутална сила. Но, во 1959 година, хипотезата беше побиена од Е.Т. Паркер, Р.С.Боус и С.С.
ПОЛИМИНО АРТУР КЛАРК
Полиомино - по сложеност секако спаѓаат во категоријата на најтешки математички квадрати. Вака пишува за него писателот на научна фантастика А. Кларк - подолу е извадок од книгата „Земна империја“. Очигледно е дека Кларк, живеејќи на својот остров, живеел во Цејлон - а неговата филозофија на одвојување од општеството е интересна сама по себе, се заинтересирал за забавата што ја учи бабата на момчето и ни ја пренесе. Ние го претпочитаме ова опис во живопостоечки систематизации кои ја пренесуваат, можеби, суштината, но не и духот на играта.
„Сега си доволно големо момче, Данкан, и ќе можеш да ја разбереш оваа игра... сепак, тоа е многу повеќе од игра“. Спротивно на зборовите на неговата баба, Данкан не бил импресиониран од играта. Па, што можете да направите од пет бели пластични квадрати?
„Пред сè“, продолжи бабата, „треба да проверите колку различни обрасци можете да составите од квадрати“.
– Дали треба да лежат на маса? – праша Данкан.
– Да, треба да лежат допирајќи се. Не можете да преклопувате еден квадрат со друг.
Данкан почна да ги поставува плоштадите.
„Па, можам да ги ставам сите во права линија“, започна тој. „Вака... И тогаш можам да преуредам два дела и да ја добијам буквата L... И ако го зграпчам другиот раб, ја добивам буквата Ти...“
Момчето набрзина смислило пола дузина комбинации, а потоа уште повеќе и одеднаш открило дека ги повторуваат постоечките.
- Можеби сум глупав, но тоа е се.
Данкан ја промаши наједноставната фигура - крст, за да се создаде доволно беше да се постават четири квадрати на страните на петтата, централната.
„Повеќето луѓе почнуваат со крстот“, се насмевна бабата. „Според мене, премногу избрзавте да се прогласите за глупав“. Подобро размислете: дали може да има други бројки?
Концентрирано движејќи ги квадратите, Данкан нашол уште три фигури, а потоа престанал да бара.
„Сега дефинитивно е готово“, рече тој самоуверено.
– Што можете да кажете за таква фигура?
Откако малку ги помести квадратчињата, бабата ги свитка во форма на грбава буква Ф.
- И еве уште еден.
Данкан се чувствуваше како целосен идиот, а зборовите на баба му беа како мелем на неговата засрамена душа:
– Едноставно си супер. Само размислете, пропуштив само две парчиња. А вкупниот број на бројки е дванаесет. Ни повеќе ни помалку. Сега ги знаете сите. Ако барате вечност, никогаш нема да најдете друга.
Баба собра пет бели квадрати во еден агол и постави десетина светли, разнобојни пластични парчиња на масата. Тоа беа истите дванаесет фигури, но во завршена форма, и секоја се состоеше од пет квадрати. Данкан веќе беше подготвен да се согласи дека навистина не постојат други фигури.
Но, бидејќи баба ги постави овие разнобојни риги, тоа значи дека играта продолжува, а Данкан го чекаше уште едно изненадување.
– Сега, Данкан, слушај внимателно. Овие бројки се нарекуваат „пентаминои“. Името доаѓа од грчки збор„пента“, што значи „пет“. Сите фигури се еднакви по површина, бидејќи секоја се состои од пет идентични квадрати. Има дванаесет фигури, пет квадрати, затоа, вкупна површинаќе биде еднакво на шеесет квадрати. нели?
- Хмм да.
- Слушајте понатаму. Шеесет е прекрасен кружен број кој може да се состави на неколку начини. Најлесно е да се помножи десет со шест. Оваа кутија има таква површина: може да собере десет квадрати хоризонтално, а шест вертикално. Затоа, сите дванаесет фигури треба да се вклопат во него. Едноставно, како композитна загатка со слики.
Данкан очекуваше улов. Бабата сакаше вербални и математички парадокси и не беа сите разбирливи за нејзината десетгодишна жртва. Но, овој пат немаше парадокси. Дното на кутијата беше обложено со шеесет квадрати, што значи... Стоп! Областа е област, но фигурите имаат различни форми. Обидете се да ги внесете во кутија!
- Оваа задача ви ја оставам на вас. независна одлука“, - изјавила бабата, гледајќи како тажно го поместува пентоминото по дното на кутијата. - Верувај ми, може да се соберат.
Наскоро Данкан почна силно да се сомнева во зборовите на баба му. Лесно успеа да смести десет фигури во кутијата, а еднаш успеа да стисне и единаесетта. Но, контурите на неисполнетиот простор не се совпаѓаа со контурите на дванаесеттата фигура, која момчето ја превртуваше во рацете. Имаше крст, а преостанатата фигура наликуваше на буквата З...
По уште половина час, Данкан веќе беше на работ на очај. Баба беше нурната во дијалог со својот компјутер, но одвреме-навреме гледаше во него со интерес, како да сакаше да каже: „Ова не е толку лесно како што мислевте“.
На десет години, Данкан беше забележливо тврдоглав. Повеќето негови врсници одамна би се откажале од обидот. (Само неколку години подоцна сфатил дека неговата баба грациозно го поминува времето со него психолошки тест.) Данкан издржа речиси четириесет минути без надворешна помош...
Тогаш бабата стана од компјутерот и се наведна над сложувалката. Нејзините прсти ги поместуваа формите U, X и L...
Дното на кутијата беше целосно исполнето! Сите парчиња од сложувалката ги зедоа вистинските места.
– Секако, однапред го знаевте одговорот! – навредено извлече Данкан.
- Одговори? – прашала бабата. „Што мислите, на колку начини може да се стави пентоминото во оваа кутија?
Еве го, стапица. Данкан се вртеше наоколу речиси еден час без да најде решение, иако за тоа време проба најмалку сто опции. Мислеше дека има само еден начин. Дали може да има... дванаесет од нив? Или повеќе?
- Значи, колку начини мислите дека може да има? – повторно праша баба.
„Дваесет“, избувна Данкан, мислејќи дека сега на бабата нема да има ништо против.
- Обиди се повторно.
Данкан почувствува опасност. Забавата испадна многу полука отколку што мислеше, а момчето мудро одлучи да не ризикува.
„Всушност, не знам“, рече тој, одмавнувајќи ја главата.
„А ти си приемчиво момче“, повторно се насмевна бабата. „Интуицијата е опасен водич, но понекогаш немаме друг“. Можам да ве задоволи: невозможно е да се погоди точниот одговор овде. Постојат повеќе од две илјади различни начини да се вклопат пентомино во оваа кутија. Поточно две илјади триста триесет и девет. И што велиш на ова?
Малку е веројатно дека баба му го мамела. Но, Данкан беше толку фрустриран од неговата неспособност да најде решение што не можеше да се воздржи, а да не изневери:
- Не верувам!
Хелен ретко покажуваше иритација. Кога Данкан ја навреди на некој начин, таа едноставно стана студена и оддалечена. Меѓутоа, сега бабата само се насмевнала и допрела нешто на тастатурата на компјутерот.
„Погледни овде“, предложи таа.
На екранот се појави сет од дванаесет повеќебојни пентомино, пополнувајќи правоаголник од десет на шест. Неколку секунди подоцна таа беше заменета со друга слика, каде што фигурите најверојатно се наоѓаа поинаку (Данкан не можеше да каже со сигурност, бидејќи не се сеќаваше на првата комбинација). Набрзо сликата повторно се смени, па повторно и повторно... Така продолжи додека бабата не ја прекина програмата.
„Дури и при голема брзина, на компјутерот ќе му требаат пет часа за да ги помине сите методи“, објаснила бабата. „Можете да ми го прифатите зборот: сите тие се различни“. Да не беа компјутерите, се сомневам дека луѓето ќе ги пронајдоа сите начини преку вообичаеното набројување на опции.
Данкан долго време зјапаше во дванаесетте измамнички едноставни фигури. Полека ги свари зборовите на баба му. Ова беше првото математичко откровение во неговиот живот. Она што тој толку непромислено го сметаше за обична детска игра наеднаш почна да се расплетува пред него бескрајни патеки и хоризонти, иако и најнадареното десетгодишно дете тешко дека ќе може да ја почувствува безграничноста на овој универзум.
Но, тогаш задоволството и стравопочитта на Данкан беа пасивни. Вистинската експлозија на интелектуалното задоволство се случи подоцна, кога тој самостојно го најде својот прв метод на поставување пентомино. Данкан неколку недели носеше пластична кутија со себе насекаде. Сите слободно времетрошел само на пентомино. Фигурите ќе се претворат во лични пријатели на Данкан. Ги нарекуваше по буквите на кои личат, иако во некои случаи сличноста беше повеќе од далечна. Пет фигури - F, I, L, P, N - беа неконзистентни, но останатите седум ја повторија низата од латиницата: T, U, V, W, X, Y, Z.
Еден ден, во состојба на геометриски транс или геометриска екстаза, која никогаш не се повтори, Данкан најде пет опции за стајлинг за помалку од еден час. Можеби дури ни Њутн, Ајнштајн или Чен Цу, во моментите на вистината, не се чувствувале поблиску поврзани со боговите на математиката отколку Данкан Мекензи.
Наскоро, сам, без да поттикне баба му, сфатил дека пентомино може да се стави во правоаголник со различни големини на страни. Сосема лесно, Данкан најде неколку опции за правоаголници 5 на 12 и 4 на 15. Потоа страдаше цела недела обидувајќи се да вклопи дванаесет фигури во подолг и потесен правоаголник 3 на 20. Повторно и повторно почна да го пополнува предавничкиот простор и ... добијте дупки во правоаголникот и „дополнителни“ фигури.
Уништен, Данкан ја посетил својата баба, каде го чекало ново изненадување.
„Мило ми е за вашите експерименти“, рече Хелен. „Ги истраживте сите можности, обидувајќи се да извлечете општа шема“. Ова е она што математичарите секогаш го прават. Но, грешите: решенија за правоаголник од три на дваесет постојат. Има само два од нив, а ако најдете еден, ќе можете да го најдете и вториот.
Инспириран од пофалбите на неговата баба, Данкан го продолжил својот „лов по пентомино“ со обновена енергија. По уште една недела, тој почна да разбира каков неподнослив товар ставил на своите раменици. Бројот на начини на кои можеа да се подредат дванаесет фигури беше едноставно запрепастувачки за Данкан. Покрај тоа, секоја фигура имаше четири позиции!
И повторно дошол кај баба му кажувајќи и ги сите негови тешкотии. Ако има само две опции за правоаголник 3 на 20, колку време би било потребно да се најдат?
„Ако ве молам, ќе ви одговорам“, рече бабата. „Ако се однесувате како компјутер без мозок, правејќи едноставно пребарување на комбинации и поминувајќи по една секунда на секоја, ќе ви треба...“ Овде таа намерно застана. „Ќе ви требаат повеќе од шест милиони... да, повеќе од шест милиони години.
Земски или титански? Ова прашање веднаш се појави во умот на Данкан. Но која е разликата?
„Но, вие се разликувате од компјутер без мозок“, продолжи бабата. „Веднаш гледате очигледно несоодветни комбинации и затоа не треба да губите време за да ги проверите“. Обиди се повторно.
Данкан го послуша, веќе без ентузијазам и верба во успехот. И тогаш на памет му дојде брилијантна идеја.
Карл веднаш се заинтересирал за пентомино и го прифатил предизвикот. Ја зел кутијата со фигурите од Данкан и исчезнал неколку часа.
Кога Карл му се јавил, неговиот пријател изгледал малку вознемирен.
– Дали сте сигурни дека овој проблем навистина има решение? - тој ме праша.
- Апсолутно сигурно. Има два од нив. Дали навистина не најдовте барем еден? Мислев дека си одличен во математика.
„Замислете, можам да го сфатам тоа, затоа знам колку работа бара вашата задача“. Треба да провериме... милион милијарда можни комбинации.
– Како знаеше дека ги има толку многу? – праша Данкан, задоволен што барем успеа да го натера пријателот да си ја чеша главата збунето.
Карл погледна настрана во парче хартија исполнето со некои дијаграми и бројки.
– Ако ги исклучите неприфатливите комбинации и ја земете предвид симетријата и можноста за ротација... ќе добиете фактор... вкупниот број на пермутации... сепак нема да разберете. Подобро да ти го покажам самиот број.
Тој донесе уште еден лист хартија на камерата, на кој беше прикажана импресивна низа од броеви со големи детали:
1 004 539 160 000 000.
Данкан не знаеше ништо за факториел, но не се сомневаше во точноста на пресметките на Карл. Навистина му се допадна долгиот број.
„Па, дали ќе се откажете од оваа задача? – внимателно праша Данкан.
- Што повеќе! Сакав само да ви покажам колку е тешко.
Лицето на Карл изрази мрачна решителност. Откако ги кажа овие зборови, тој се онесвести.
Следниот ден, Данкан доживеа еден од најголемите шокови во неговиот детски живот. Ослабеното лице на Карл, со крвави очи, го гледаше од екранот. Се чувствуваше дека поминал непроспиена ноќ.
„Па, тоа е сè“, објави тој со уморен, но триумфален глас.
Данкан едвај можеше да им поверува на своите очи. Му се чинеше дека шансите за успех се занемарливи. Дури и самиот се уверил во ова. И одеднаш... Пред него лежеше правоаголник три на дваесет, исполнет со сите дванаесет пентомино фигури.
Потоа Карл ги смени местата и ги сврте парчињата на краевите, заминувајќи централен делнедопрена. Прстите благо му треперат од умор.
„Ова е второто решение“, објасни тој. „И сега одам да спијам“. Па добра ноќ или добро утро- тоа е како што сакате.
Понижениот Данкан долго гледаше во затемнетиот екран. Тој не знаеше на која страна се движи Карл, опипувајќи за решение на загатката. Но, тој знаеше дека неговиот пријател излезе како победник. Наспроти сите шанси.
Не и завидуваше на победата на пријателот. Данкан премногу го сакаше Карл и секогаш се радуваше на неговите успеси, иако и самиот често се наоѓаше на губитничката страна. Но, имаше нешто различно во денешниот триумф на мојот пријател, нешто речиси магично.
Данкан за прв пат ја виде моќта на интуицијата. Тој се сретна со мистериозната способност на умот да се пробие подалеку од фактите и да ја фрли настрана мешаната логика. За неколку часа, Карл завршил колосална работа, надминувајќи го најбрзиот компјутер.
Последователно, Данкан дозна дека сите луѓе имаат такви способности, но тие ги користат исклучително ретко - можеби еднаш во животот. Во Карл, овој подарок доби исклучителен развој... Од тој момент, Данкан почна сериозно да го сфаќа расудувањето на својот пријател, дури и најсмешното и најбезобразното од гледна точка на здравиот разум.
Ова беше пред дваесет години. Данкан не се сеќаваше каде отидоа пластичните парчиња пентомино. Можеби тие останаа со Карл.
Подарокот на бабата стана нивна нова инкарнација, сега во форма на парчиња разнобоен камен. Неверојатниот, нежно розов гранит беше од ридовите Галилео, обсидијанот беше од висорамнината Хајгенс, а псевдомермерот беше од гребенот Хершел. А меѓу нив... на почетокот Данкан мислеше дека греши. Не, така е: тоа беше најретките и најмистериозните минерали на Титан. Баба ми го направи камениот пентомино крст од титанит. Овој сино-црн минерал со златни подмножества не може да се меша со ништо. Данкан никогаш порано не видел толку големи парчиња и можеше само да претпостави колку е нивната цена.
„Не знам што да кажам“, промрморе тој. „Каква убавина“. Ова е прв пат да го видам ова.
Ги прегрна тенките рамена на баба и наеднаш почувствува дека треперат и таа не можеше да го спречи треперењето. Данкан нежно ја држеше во своите раце додека нејзините раменици не престанаа да се тресат. Во такви моменти зборови не се потребни. Појасно од порано, Данкан разбра: тој беше последната љубов во опустошениот живот на Хелен Мекензи. И сега тој одлета оставајќи ја сама со нејзините спомени.
ГОЛЕМ МАГИЧЕН ПЛОШТАД
Кинескиот математичар од 13 век Јанг Хуи бил запознаен со Паскаловиот триаголник (аритметички триаголник). Оставил изјава за методи за решавање на равенките 4 и повисоки степени, постојат правила за решавање на комплетно квадратна равенка, сумирање на прогресии, техники за изградба на магични квадрати. Тој успеа да конструира магичен квадрат од шести ред, а вториот се покажа како речиси асоцијативен (во него само два пара централно спротивни броеви не даваат збир од 37).
Бенџамин Френклин конструирал квадрат 16x16, кој покрај тоа што имал константна сума од 2056 во сите редови, колони и дијагонали, имал уште една дополнителна особина. Ако исечеме квадрат 4x4 од лист хартија и го ставиме овој лист на голем квадрат така што 16 ќелии од поголемиот квадрат ќе паднат во овој отвор, тогаш збирот на броевите што се појавуваат во овој отвор, без разлика каде ќе го ставиме , ќе биде исто - 2056 година.
Највредното нешто за овој плоштад е тоа што е прилично лесно да се трансформира во совршен магичен квадрат, додека изградбата на совршени магични квадрати не е лесна задача. Френклин го нарече овој плоштад „најшармантната магија од сите магични квадрати што некогаш биле создадени од волшебници“.
Дурер Албрехт (1471-1528), германски сликар, цртач, гравер, теоретичар на уметност.
учел кај татко му.
Таткото, изработувач на накит, сакал да го вклучи својот син да работи во работилница за накит, но Албрехт не изразил никаква желба. Го сакаше и го привлекуваше сликарството.
Од нирнбершкиот уметник Волгемут Дирер го совлада не само сликањето, туку и гравирањетона дрво.
Инспириран од делата на уметникот Мартин Шонгауер, кого никогаш не го запознал, Албрехт многу патувал и учел, учел, учел насекаде...
Но, дојде време кога Албрехт требаше да се ожени. И тогаш ја избра Агнес Фреј, ќерката на пријателот на неговиот татко, од старо и почитувано семејство Нирнберг. Бракот со Агнеса беше бездетен, а сопружниците беа различни по карактер, што го направи семејството не многу среќно.
Но, сепак, тој отвори сопствен бизнис и создаде значителен дел од своите гравури во својата работилница.
Во Венеција кружеа гласини за неговата љубов кон двата пола... Можеби Дирер практикувал истополова љубов со својот драг пријател, експерт за античка литература, Пиркхајмер.
Долга, жешко свиткана коса, часови по танцување, страв од заразување со сифилис во Венеција и купување лекови против оваа болест во Холандија, елегантна облека, ситна суета во се што е поврзано со неговата убавина и изглед, меланхолија, нарцизам и егзибиционизам, комплекс на Христос, брак без деца, потчинување на неговата сопруга, нежно пријателство со слободарот Пиркхајмер, кого тој самиот, во октомвриското писмо од 1506 година, на шега предложил да го кастрира -
Сето тоа во Дирер е комбинирано со нежна грижа за мајка му и браќата, со долгогодишна напорна работа, чести поплаки за сиромаштија, болест и несреќи што наводно го прогонувале.
Бидете верни на Бога!
Бидете здрави
И вечен живот на небото
Како најчистата Дева Марија.
Албрехт Дирер ти кажува -
Покајте се за своите гревови
Пред последен денпостот
И затвори ја устата на ѓаволот,
Ќе го победиш злобниот.
Нека ви помогне Господ Исус Христос
Потврдете се во добрина!
Почесто размислувајте за смртта
За погребувањето на вашите тела.
Ја плаши душата
Го одвлекува вниманието од злото
И грешниот свет,
Од угнетувањето на телото
И ѓаволските подбуцнувања...
Кога Кобергер објавил во 1498 г„Апокалипса“,
Дирер создал 15 дрворез, кои му донеле европска слава. Запознавањето со венецијанската школа имало силно влијание врз стилот на сликање на уметникот.
Во Венеција, уметникот нарачал германски трговци „Фестивал на венци од рози“а потоа дојдоа и други предлози, слики кои оставија неизбришлив впечаток со разновидноста на боите и темите.
Самиот император Максимилијан И
беше во стравопочит од уметноста на Албрехт Дирер.
Дирер се придржувал до ставовите на „иконоборците“, меѓутоа, во подоцнежните дела на А. Дирер, некои истражувачи наоѓаат симпатии за протестантизмот.
На крајот од својот живот, Дирер многу работел како сликар; во овој период ги создал најдлабоките дела, кои ја манифестираат неговата блискост со холандската уметност.
Една од најважните слики последниве години — диптих „Четири апостоли“, што уметникот му го претстави на градскиот совет во 1526 година.
Во Холандија, Дирер стана жртва на непозната болест (најверојатно маларија), од која страдаше до крајот на својот живот.
Албрех го составил таканаречениот магичен квадрат,прикажан во една од неговите најсовршени гравури -„Меланхолија“. Заслуга на Дирерлежи во фактот дека тој успеал да ги вклопи броевите од 1 до 16 во нацртаниот квадрат на таков начин што збирот 34 бил добиен не само со собирање на броевите вертикално, хоризонтално и дијагонално, туку и во сите четири четвртини, во централен четириаголник, па дури и при додавање на ќелиите од четири агли. Дирер, исто така, успеа да ја вклучи во табелата годината кога е создадена гравурата.„(1514).
Во делата на Албрехт Дурер има три познати дрвореди, кои прикажуваат мапи на јужната и северната хемисфера ѕвездено небои источната хемисфера на Земјата, која стана првата во историјата печатена со типографија.
Во 1494 година, книгата на Себастијан Брант беше објавена под симболичен наслов„Брод на будали“
(Das Narrenschiff oder das Schiff von Narragonia).
За време на задолжителните патувања по Рајна за еснафски чирак, Дирер завршил неколку штафелани гравури во духот на доцната готика, илустрации за „Бродот на глупавите“ од С. Брант,
на кој флотата минува преку морето. Наоколу има многу будали. Овде им се смеат на глупавите морнари и бродови на Империјата.
Се верува дека покрај А.Дирер, на проектот истовремено работеле и неколку цртачи и резбари... Сликата „Брод на будали“– напиша познатиот уметникХиеронимус Бош.
Цртежот на Дирер „Брод на будали“
Погоре десно има будали на количка, подолу брод опкружен со чамци плови по морето, а на бродот и во чамците има сите будали.
Многу илустрации за „Бродот на будалите“, како што забележуваат коментаторите, имаат МАЛА ВРСКА СО СОДРЖИНАТА НА Самата КНИГА.
Како што се испостави, самата книга на Брант беше избрана само како причина, изговор за објавување голем бројгравури (сто и шеснаесет) на тема „Брод на будали“.
Имаат Албрехт Дирер и таква слика како
„Празник на сите светци“
(Ландауер олтар) 1511. Кунстиисториски музеј, Виена. Оваа слика му донесе и голема слава на уметникот.
Бакарна гравура „Меланхолија I“ од најпознатиот уметник од западноевропската ренесанса Албрехт Диреробвиткан во мистерија, полн со симболи и алегории. Во неверојатно малите димензии на неговата креација, ненадминатиот мајстор на гравирање успеа да криптира толку многу тајни значења и пораки кои сè уште ги водат ликовните критичари во ќорсокак. Различни верзии на одговорите на овие мистерии се понатаму во прегледот.
Албрехт Дирер (германски: Albrecht Dürer, 1471-1528) — германски сликар и графичар, првиот теоретичар на уметноста, еден од најголемите мајстори на северната ренесанса, бил трето дете во семејство од осумнаесет родени и осум преживеани деца. Таткото, златар, од детството се обидувал да го запознае својот син со златарскиот занает, од кој и самиот заработувал за живот.
Но, спротивно на неговите очекувања, на петнаесетгодишна возраст младиот Албрехт станал ученик на Мајкл Волгемут, водечки уметник од Нирнберг, сликар и одличен гравер. Од него вредниот ученик ги доби знаењата и вештините кои ги користел во текот на неговата кариера. креативен пат. Покрај тоа, токму гравурите на дрво и бакар му го донесоа првиот успех на младиот уметник. Тој подоцна стана иноватор во оваа техника. О сликиНема потреба да се споменува Дурер - ова се ремек-дела на светската уметност.
Диреровото знаење за астрономијата, математиката и природните наукибеа неверојатни. Тој создал мапи на ѕвезденото небо, следејќи ги небесните тела од покривот на сопствената куќа, на која се наоѓала мала опсерваторија. Тој ги пресметал вредностите за магичниот плоштад, првпат создаден во Европа и создал теоретски дела за уметноста.
„Меланхолија I“
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-006.jpg" alt=" Фрагмент од гравурата „Меланхолија I“. Автор: А. Дурер. ¦ Фото: kaplyasveta.ru." title="Фрагмент од гравурата „Меланхолија I“.
Во центарот на композицијата гледаме жена со крилја и венец, олицетворувајќи ја Логиката - ова е Музата на Дурер. Седејќи неподвижна на тремот, таа е потопена во меланхолична мисловност и тага: иако жената има крилја, таа не може да навлезе во превезот на мистеријата на Универзумот. Сè што се случува наоколу се случува без нејзино учество. Ова ја депримира и ја става во меланхолично расположение.
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-007.jpg" alt="Фрагмент од гравурата „Меланхолија I“. Автор: А. Дурер. ¦ Фото: kaplyasveta.ru." title="Фрагмент од гравурата „Меланхолија I“.
Гравирањето, со димензии 23,9 x 18,8 сантиметри, е презаситено со детали и предмети. Овде можете да видите песочен часовник и сончев часовник, вага, ѕвоно, компас, сфера, полиедар, врежан магичен квадрат, како и градежни алатки.
А најинтересната претпоставка на руската уметничка критичарка Паола Волкова е верзијата: на гравурата не е прикажана крилеста жена, туку самиот Албрехт Дурер со крилја на ангел, што, сепак, е сосема природно.
Магичен плоштад
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-004.jpg" alt="Фрагмент од гравурата „Меланхолија I“. Автор: А. Дурер. ¦ Фото: kaplyasveta.ru." title="Фрагмент од гравурата „Меланхолија I“.
Првата верзија: уметникот решил да создаде неколку дела што ја одразуваат меланхолијата, па почнал да ги нумерира своите дела. Но, како што знаете, Дирер повеќе немаше продолжение на серијата гравури посветени на Меланхолија.
Втората верзија се заснова на психолошките учења од тоа време, во кои се наведува дека постојат три типа на меланхолични луѓе. Некои од нив беа креативни луѓе, со развиена имагинација, други се политичари и научници, со развиен ум, а трети се луѓе од религија и филозофи, со развиена интуиција. Затоа, Дурер, кој себеси се сметал за меланхоличен човек, во гравурата пишува: МЕЛЕНКОЛИЈА И.
Според третата верзија: „Јас“ воопшто не е римска цифра, туку латинската буква „i“. А во комбинација со меланхолија значи „Бегај, меланхолија“.
И последниот, најверојатно. Бидејќи техниката на гравирање се изведува во огледална слика, Дурер направи грешка при пишувањето на името, што не беше прв пат во неговата практика. Наместо буквата „А“ - последната буква, тој почна да ја пишува буквата „М“. А за да си ја поправи грешката решил на овој начин да се извлече од моменталната ситуација.
„Меланхолија I“ е последната од серијата три познати „мајсторски гравури“ на Дирер и неговото најомилено дело. Првите две се „Џером во ќелијата“ и „Витезот, смртта и ѓаволот“.
Во сите три има лик: витез, Свети Џером, крилеста жена. Според многу ликовни критичари, во овие три дела уметникот опишал различни состојби на човечката душа.
Можете да дознаете повеќе за делото „Витез, смрт и ѓавол“ во прегледот:
XIII научно-практична конференција на ученици
„Магични квадрати“
Ученици од 8 „А“ одд
ПТП Лицеј
Шолохова Ана
Раководителот Анохин М.Н.
Историјата на создавањето на моето дело……………………………………………………………………
Магичен квадрат ................................................ ...................................3
Историски значајни магични квадрати...................4-5
ПЛОШТАД ПРОНАЈДЕН ВО КАЈУРАХО (ИНДИЈА).......6
Магичен плоштад на Јанг Хуи (Кина)................................................ ..7
Плоштадот Албрехт Дирер ..................................................... ...... ............8
Квадрати од Хенри Е. Дадени и Алан В. Џонсон Џуниор.....9
Ѓаволски магичен квадрат................................10-11
ПРАВИЛА ЗА ИЗГРАДБА НА МАГИЧНИ Плоштади.....12
ИЗВРШУВАЊЕ НА МАГИЧНИ ПЛОШТАТИ...................................13-15
Создавањето на волшебниот плоштад на Албрехт Дирер. .....17-18
Судоку................................................ .. ..................................19-21 Какуро ................................................ .. ..................................22-23
БАНКА ЗА ЗАДАЧИ................................................ ... ..............24-25
Заклучоци................................................................ ................................26 Литература................. .................................................. ........ .........27
Историјата на создавањето на моето дело .
Порано не ни помислував дека вакво нешто може да се измисли. Првиот пат кога наидов на магични квадрати беше во прво одделение во учебник, тие беа наједноставни.
Неколку години подоцна, отидов на море со моите родители и запознав девојка која беше во Судоку. И јас сакав да учам, а таа ми објасни како да го направам тоа. Многу ми се допадна оваа активност, и таа стана мое таканаречено хоби.
Откако ми беше понудено да учествувам на научна и практична конференција, веднаш ја избрав темата „Магични квадрати“. Во ова дело вклучив историски материјал, сорти и правила за создавање игра загатки.
Магичен плоштад.
Магичен или магичен квадрат е квадратна табела исполнета со n броеви така што збирот на броевите во секој ред, во секоја колона и на двете дијагонали е ист. Магичен квадрат исполнет со целинаброеви од 1 до n.
Волшебните квадрати постојат за сите редови освен n=2, иако случајот n=1 е тривијален - квадратот се состои од еден број.
Збирот на броевите во секој ред, колона и дијагонала. Се јави магична константа, M. Магичната константа на нормален магичен квадрат зависи само од n и е дадена со формулата.
| Нарачка n |
|||||||||||
Првите вредности на магичните константи се дадени во следните табели.
Историски значајни магични квадрати.
Во древната кинеска книга „Же-ким“ („Книга за пермутации“) постои легенда дека императорот Ну, кој живеел пред 4 илјади години, видел света желка на брегот на реката. На нејзината школка имаше шара од бели и црни кругови (сл. 1). Ако ја замените секоја фигура со број кој покажува колку кругови содржи, ќе добиете табела.
Оваа маса има прекрасен имот. Да ги собереме броевите во првата колона: 4+3+8=15 Истиот резултат ќе се добие и при собирањето на броевите во втората и третата колона. Се добива и со собирање броеви од која било од трите линии. Не само тоа, туку истиот одговор 15 се добива ако се соберат броевите на секоја од двете дијагонали: 4+5+6=8+5+2=15.
Кинезите веројатно дошле до оваа легенда кога го пронашле распоредот на броевите од 1 до 9 со толку извонредно својство. Тие го нарекоа цртежот „ло-шу“ и почнаа да го сметаат за магичен симбол и да го користат во магии. Затоа, сега се нарекува секоја квадратна табела составена од броеви и која го има ова својство магичен квадрат.
Сл.1
ПЛОШТАД НАЈДЕН ВО КАЈУРАХО (ИНДИЈА).
Најраниот уникатен магичен плоштад е откриен во натпис од 11 век во индискиот град Каџурахо.
Ова е првиот магичен плоштад, кој припаѓа на различни таканаречени „ѓаволски“ квадрати.
Магичен плоштад на Јанг Хуи (Кина)
Во 13 век, математичарот Јанг Хуи се зафатил со проблемот со методите за изградба на магични квадрати. Неговото истражување потоа го продолжиле и други кинески математичари. Јанг Хуи ги сметаше магичните квадрати не само од третиот, туку и од повисоките редови.
Некои од неговите квадрати беа доста сложени, но тој секогаш даваше правила за нивната изградба. Тој успеа да конструира магичен квадрат од шести ред.
Збирот на броевите на која било хоризонтална, вертикална и дијагонала е 34. Овој збир го има и во сите аголни квадрати 2x2, во централниот квадрат (10+11+6+7), во квадратот на аголните ќелии (16+13+4+1), во квадратите изградени со „витешки потег“ (2+8 +9+15 и 3+5+12+14), правоаголници формирани од парови средни ќелии на спротивни страни (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Повеќето дополнителни симетри се поради фактот што збирот кој било два централно симетрично лоцирани броја е 17.
Квадрати од Хенри Е. Дадени и Алан В. Џонсон, Џуниор.
Ако нестрого природна серија на броеви се внесе во квадрат n x n матрица, тогаш овој магичен квадрат е нетрадиционален. Подолу се прикажани два такви магични квадрати, исполнети главно со прости броеви. Првиот (сл. 3) има ред n=3 (квадрат на Дадени); вториот (сл. 4) (големина 4x4) е квадрат на Џонсон. И двете беа развиени на почетокот на дваесеттиот век.
Сл.3 Сл.4
Ѓаволски магичен плоштад- магичен квадрат, во кој збирот на броеви долж скршените дијагонали (дијагонали кои се формираат при превиткување на квадратот во торус)во двете насоки.
Таквите квадрати се нарекуваат и пандијагонален .
Има 48 ѓаволски магични квадрати 4x4 со прецизност на ротација и рефлексија. Ако ја земеме предвид и нивната дополнителна симетрија - торички паралелни преводи, тогаш остануваат само 3 значително различни квадрати:
Ориз. 5 сл. 6
Сепак, докажано е дека (сл. 7) наједноставните пермутации на броеви ги произведуваат првите два квадрати (сл. 5, 6). Односно, третата опција е основен ѓаволски квадрат, од кој сите останати можат да се конструираат со користење на различни трансформации.
Пандијагоналните квадрати постојат за непарен редослед n>3, за кој било ред на двоен паритет n=4k (k=1,2,3...) и не постојат за единечен редослед на паритет n=4k+2 (k=1,2, 3...) .
Пандијагоналните квадрати од четврти ред имаат голем број дополнителни својства за кои се нарекуваат совршено.Не постојат совршени пандијагонални квадрати со непарен редослед. Меѓу пандијагоналните квадрати со паритет повисоки од 4 има совршени.
Има 3600 пандијагонални квадрати од петти ред.Земајќи ги предвид торичките паралелни преводи, има 144 различни пандиагонални квадрати. Еден од нив е прикажан подолу.
ПРАВИЛА ЗА ИЗГРАДБА НА МАГИЧНИ Плоштади
Правилата за изградба на магични квадрати се поделени во три категории во зависност од тоа дали редоследот на квадратот е непарен, еднаков на двапати непарен број или еднаков на четири пати непарен број. Општ методИзградбата на сите квадрати е непозната, иако широко се користат различни шеми.
Можно е да се најдат сите волшебни квадрати од редот n само за n=3,4, затоа, од голем интерес се одредени постапки за конструирање магични квадрати за n>4. Наједноставната конструкција е за магичен квадрат со непарен ред. Треба да ставите број во ќелијата со координати (x,y).
Уште полесно е да се конструира на следниов начин: земете матрица n x n. Внатре е изграден ромб со чекори. Во него, ќелиите од лево кон врвот по дијагоналите се полни со секвенцијална серија на броеви. Се одредува вредноста на централната ќелија C.
Потоа во аглите на магичниот квадрат вредностите ќе бидат како што следува: горната десна ќелија C-1; долната лева ќелија C+1; долу десно ќелија C-n; горната лева ќелија C+n.
ИЗВРШУВАЊЕ НА МАГИЧНИ ПЛОШТАТИ.
Како се прават магични квадрати?
Создавање на магичниот плоштад „Ло-Шу“.
Задача: Квадрат 3x3, составен од броеви од 1 до 9, така што збировите на броевите во секоја редица, колона и дијагонала се еднакви.
Решение:Ајде да го решиме проблемот без да прибегнеме кон поминување низ сите пермутации од 9 цифри во 9 ќелии една по друга (бројот на таквите аранжмани е 362880). Ајде да размислуваме вака. Збирот на сите броеви од 1 до 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Тоа значи дека во секој ред и во секоја колона збирот на броевите треба да биде еднаков на: 45:3=15. Но, ако ги сумирате сите броеви во втората колона и ред и во двете дијагонали, тогаш секој број ќе се појави еднаш, со исклучок на централниот, кој ќе се појави четири пати. Тоа значи дека ако централниот број го означиме со x, тогаш мора да важи еднаквоста 4*15=3x+3*15. Оттука x=5, односно бројот 5 треба да биде во центарот на табелата.
Сега забележете дека бројот 9 не може да се појави во аголот на табелата, да речеме во горниот лев агол. На крајот на краиштата, тогаш во спротивниот агол би бил бројот 1, а за првиот ред и колона би останала една комбинација - броевите 4 и 2. Тоа значи дека 9 е во средината на некои надворешни редови или колони ( кај нас, во средината на првиот ред). Другите два броја во овој ред се 4 и 2, а третиот број во средната колона треба да биде 15-9-5=1. Броевите 8 и 6 треба да бидат на иста линија со 1. Така, магичниот квадрат е речиси пополнет и лесно е да се најде место за преостанатите броеви. Резултатот е квадрат „Ло-Шу“.
Секако, за 9 можете да изберете други три места, а по изборот на место за овој број, постојат две можности за поставување на броевите 4 и 2. Вкупно добивате 4 * 2 = 8 различни магични квадрати од три редови и три колони (или, како што велат математичарите, квадрати од трет ред). Сите овие квадрати може да се добијат на „Lo-Shu“ или со ротирање на квадратот за 180,90 или 270. Можна е и опција за огледална слика.
Плоштад
„Ло-Шу“
| 4 |
9 |
2 |
| 3 |
5 |
7 |
| 8 |
1 |
6 |
Создавање магичен квадрат
Албрехт Дирер.
Задача : Направете магичен квадрат 4x4 од броевите од 1 до 16, така што збировите на броевите во секој ред, колона и дијагонала се еднакви.
Решение: Збир на сите броеви од 1 до 16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Тоа значи дека во секој ред и во секоја колона збирот на броевите треба да биде еднаков на: 136:4 = 34. Но, ако ги сумирате сите броеви, второ, во колоната и редот и во двете дијагонали, тогаш секој број ќе се појави еднаш, со исклучок на централните, кои ќе се појават двапати. Овие бројки ќе бидат 10,11,6,7. Потоа ќе ги доставиме преостанатите броеви 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 до останатите ќелии
Плоштадот Албрехт Дирер
Судоку.
Во превод од јапонски, „су“ значи „цифра“, а „доку“ значи „стоење сам“.
Нема потреба да се погодува или навлегува во книги - само логика и внимание!
Задача: Пополнете ги празните ќелии со броеви од 1 до 9 за да не се повторува бројот во ниту еден ред, ниту една колона и во секој од 9-те блокови 3x3.
Решение: Чекор 1
Да го погледнеме означениот ред. Нему му недостасуваат само два броја: 1 и 2. Ајде да ја погледнеме првата празна ќелија од десната страна. Можеме ли да ставиме 1 таму? Бр. Бидејќи оваа колона веќе има 1, а овие бројки не можат да се повторат во колоната. Тоа значи дека во оваа ќелија можеме да собереме само 2. Ќе го сториме тоа. Сега сè што треба да направиме е да го внесеме бројот 1 во празната, последна ќелија во овој ред, и редот е завршен.
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
8 |
7 |
||||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
3 |
1 |
|||||
| 3 |
7 |
4 |
5 |
2 |
Ајде да ја погледнеме избраната колона: и недостигаат само два броја - 2 и 7. Не можеме да го внесеме бројот 7 во првата празна ќелија од врвот на оваа колона, бидејќи во редот што ја пресекува колоната веќе има број 7. Но, можеме да го внесеме во број 2, што е она што го правиме! А за бројот 7 има само еден празен
ќелијата во оваа колона е втората ќелија од дното. Слободно напишете го бројот 7 во него - колоната е пополнета!
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Па, сега да го погледнеме централниот блок на ќелии: во него остана само една празна ќелија, односно недостасува само еден број. Ајде да погледнеме внимателно - ова е број 9, бидејќи сите други броеви се веќе на место. Повторно го пишуваме бројот 9 во ќелијата ... и повторно „гледаме наоколу“ - и повторно имаме еден ред и една колона. Во кои недостигаат две цифри. Што е следно? Одговорот ќе го најдеме сами - чекор 1, чекор 2...
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Броеви на податоци.
| 1 |
9 |
2 |
3 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
| 8 |
3 |
5 |
1 |
2 |
4 |
6 |
9 |
7 |
| 6 |
4 |
7 |
8 |
9 |
5 |
2 |
3 |
1 |
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 9 |
2 |
6 |
4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
9 |
7 |
6 |
3 |
| 2 |
6 |
9 |
5 |
1 |
8 |
3 |
7 |
4 |
| 4 |
5 |
8 |
7 |
3 |
2 |
9 |
1 |
6 |
| 3 |
МАГИЧНИОТ ПЛОШТАД НА ДУРЕР
Волшебниот плоштад, репродуциран од германскиот уметник Албрехт Дурер во гравурата „Меланхолија“, им е познат на сите истражувачи на магичните квадрати.
Овој плоштад е детално опишан овде. Прво, ќе ја прикажам гравурата „Меланхолија“ (сл. 1) и магичниот квадрат што е прикажан на неа (сл. 2).
Ориз. 1
Ориз. 2
Сега ќе го прикажам овој квадрат во неговата вообичаена форма (слика 3):
|
16 |
3 |
2 |
13 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
Ориз. 3
Интересно е што двата средни броја во последната линија од квадратот (тие се истакнати) ја сочинуваат годината кога е создадена гравурата - 1514 година.
Се верува дека дошол до овој плоштад, кој толку го фасцинирал Албрехт Дурер Западна Европаод Индија на почетокот XVIвек. Во Индија овој плоштад бил познат во Јасвек од нашата ера. Се верува дека магичните квадрати ги измислиле Кинезите, бидејќи најраното спомнување за нив е пронајдено во кинески ракопис напишан 4000-5000 п.н.е. Ете колку се стари магични квадрати!
Сега да ги разгледаме сите својства на овој неверојатен плоштад. Но, ова ќе го направиме на друг плоштад, чија група го вклучува плоштадот Дурер. Тоа значи дека квадратот Дирер се добива од квадратот што сега ќе го разгледаме со една од седумте главни трансформации на магични квадрати, имено ротација од 180 степени. Сите 8 квадрати што ја формираат оваа група имаат својства кои сега ќе бидат наведени, само во својството 8 за некои квадрати зборот „ред“ ќе се замени со зборот „колона“ и обратно.
Главниот квадрат на оваа група можете да го видите на сл. 4.
|
1 |
14 |
15 |
4 |
|
12 |
7 |
6 |
9 |
|
8 |
11 |
10 |
5 |
|
13 |
2 |
3 |
16 |
Ориз. 4
Сега да ги наведеме сите својства на овој познат плоштад.
Имотот 1 . Овој квадрат е асоцијативен, односно секој пар броеви симетрично лоцирани во однос на центарот на квадратот дава вкупно 17 = 1+ n 2 .
Имотот 2. Збирот на броевите лоцирани во аголните ќелии на квадратот е еднаков на магичната константа на квадратот - 34.
Имотот 3. Збирот на броевите во секој агол 2x2 квадрат, како и во централниот квадрат 2x2, е еднаков на магичната константа на квадратот.
Имотот 4. Магичната константа на квадрат е еднаква на збирот на броевите на спротивните страни на двата централни правоаголници 2x4, имено: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Имотот 5. Магичната константа на квадратот е еднаква на збирот на броевите во ќелиите означени со потегот на шаховскиот витез, и тоа: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+ 2+12=34 и 4+10+13 +7=34.
Имотот 6. Магичната константа на квадрат е еднаква на збирот на броевите во соодветните дијагонали на аголните квадрати 2x2 во непосредна близина на спротивните темиња на квадратот. На пример, во аголните квадрати 2x2, кои се означени на сл. 4, збирот на броевите во првиот пар на соодветни дијагонали: 1+7+10+16=34 (ова е разбирливо, бидејќи овие броеви се наоѓаат на главната дијагонала на самиот квадрат). Збирот на броевите во другиот пар на соодветни дијагонали: 14+12+5+3=34.
Имотот 7. Магичната константа на квадратот е еднаква на збирот на броевите во ќелиите означени со движење слично на движењето на шаховски витез, но со издолжена буква G. Ги прикажувам овие броеви: 1+9+8+16= 34, 4+12+5+13=34, 1+2 +15+16=34,4+3+14+13=34.
Имотот 8. Во секој ред од квадратот има пар соседни броеви, чиј збир е 15, и уште еден пар соседни броеви, чиј збир е 19. Во секоја колона од квадратот има пар соседни броеви, чиј збир е 13, и уште еден пар исто така соседни броеви, чиј збир е 21.
Имотот 9. Збировите на квадратите на броевите во двата надворешни редови се еднакви еден на друг. Истото може да се каже и за збировите на квадратите на броевите во двата средни реда. Видете:
1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438
12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310
Броевите во колоните на квадрат имаат слично својство.
Имотот 10. Ако впишеме квадрат со темиња во средината на страните во квадратот што се разгледува (сл. 5), тогаш:
а) збирот на броевите лоцирани по еден пар спротивставени страни на впишан квадрат е еднаков на збирот на броевите лоцирани покрај другиот пар спротивставени страни, и секој од овие збирови е еднаков на магичната константа на квадратот;
б) збировите на квадрати и збирови на коцки од наведените броеви се еднакви:
12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374
12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624
Ориз. 5
Ова се својствата на магичниот квадрат на Сл. 4.
Треба да се забележи дека во асоцијативен квадрат, што е квадратот за кој станува збор, можете да извршите и такви трансформации како преуредување симетрични редови и/или колони. На пример, на сл. 6 покажува квадрат добиен од квадратот на сл. 4 со преуредување на двете средни колони.
Публикации |
