Пресметајте ја површината на револуцијата онлајн. Наоѓање на волумен на тело од пресечни површини. Пресметка на волумени на тела на револуција

Пред да преминеме на формулите за површина на површина на револуција, ќе дадеме кратка формулација на самата површина на револуција. Површина на револуција или, што е истото, површина на тело со револуција е просторна фигура формирана со ротација на сегмент АБкривина околу оската Вол(слика подолу).

Ајде да замислиме заоблен трапез, ограничена погоре со споменатиот сегмент од кривата. Тело формирано со ротирање на овој трапез околу истата оска Вол, и е тело на ротација. А областа на површината на револуција или површината на телото на револуција е нејзината надворешна обвивка, не сметајќи ги круговите формирани со ротација околу оската на прави линии x = аИ x = б .

Забележете дека телото на револуција и, соодветно, неговата површина, исто така може да се формираат со ротирање на фигурата не околу оската Вол, и околу оската Ој.

Пресметување на површината на површината на вртење наведена во правоаголни координати

Оставете ја во правоаголни координати на рамнината равенката y = ѓ(x) наведена е крива, чија ротација околу координатната оска формира тело на револуција.

Формулата за пресметување на површината на револуција е како што следува:

(1).

Пример 1.Најдете ја површината на параболоидот формирана со ротација околу неговата оска Воллак на парабола што одговара на промената xод x= 0 до x = а .

Решение. Да ја изразиме експлицитно функцијата што го дефинира лакот на параболата:

Ајде да го најдеме изводот на оваа функција:

Пред да ја искористиме формулата за да ја пронајдеме областа на површината на револуција, да го напишеме делот од неговиот интегранд што го претставува коренот и да го замениме дериватот што штотуку го најдовме таму:

Одговор: Должината на лакот на кривата е

Пример 2.Најдете ја површината формирана со ротација околу оската Воластроид.

Решение. Доволно е да се пресмета површината што произлегува од ротацијата на една гранка на астроидот, која се наоѓа во првата четвртина, и да се помножи со 2. Од равенката на астрооидот, експлицитно ќе ја изразиме функцијата што ќе треба да ја замениме во формула за наоѓање на површината на ротација:

Ние се интегрираме од 0 до а:

Пресметка на површината на површината на вртење одредена параметарски

Да го разгледаме случајот кога кривата што ја формира површината на револуцијата е дадена со параметарски равенки

Потоа, површината на ротација се пресметува со формулата

(2).

Пример 3.Најдете ја областа на површината на вртење формирана со ротација околу оската Ојфигура ограничена со циклоид и права линија y = а. Циклоидот е даден параметарски равенки

Решение. Да ги најдеме пресечните точки на циклоидот и правата линија. Изедначување на циклоидната равенка и равенката на правата y = а, ајде да најдеме

Од ова произлегува дека границите на интеграцијата одговараат

Сега можеме да ја примениме формулата (2). Ајде да најдеме деривати:

Ајде да го напишеме радикалниот израз во формулата, заменувајќи ги пронајдените деривати:

Ајде да го најдеме коренот на овој израз:

Ајде да го замениме она што го најдовме во формулата (2):

Ајде да направиме замена:

И конечно наоѓаме

За трансформација на изразите се користеа тригонометриски формули

Одговор: Површината на револуцијата е.

Пресметување на површината на површината на револуција наведена во поларните координати

Нека кривата, чија ротација ја формира површината, е специфицирана во поларни координати.

Ако кривата е дадена со параметарски равенки, тогаш површината добиена со ротирање на оваа крива околу оската се пресметува со формулата . Во овој случај, „насоката на цртање“ на линијата, за која беа скршени толку многу копии во статијата, е рамнодушна. Но, како и во претходниот пасус, важно е кривата да се наоѓа повисоко x-оска - инаку ќе ја преземе функцијата „одговорна за игрите“. негативни вредностиа пред интегралот ќе треба да ставите знак минус.

Пример 3

Пресметајте ја плоштината на сферата добиена со ротирање на круг околу оската.

Решение: од статијата на површина и волумен за параметарски дефинирана линијазнаете дека равенките дефинираат круг со центар на почетокот на радиусот 3.

добро и сфера , за оние кои заборавиле, ова е површината топка(или сферична површина).

Ние се придржуваме до утврдената шема за решение. Ајде да најдеме деривати:

Ајде да го составиме и поедноставиме коренот „формула“:

Непотребно е да се каже дека се покажа дека е бонбона. Проверете за споредба како Фихтенхолц ги удира главите со областа елипсоид на револуција.

Според теоретската забелешка го разгледуваме горниот полукруг. Се „исцртува“ кога вредноста на параметарот се менува во границите (лесно е да се види тоа на овој интервал), на тој начин:

Одговори:

Ако го решите проблемот во општа форма, ќе ја добиете точно училишната формула за плоштината на сферата, каде е нејзиниот радиус.

Тоа беше толку болно едноставна задача, дури и се срамев... Ви предлагам да ја поправите оваа грешка =)

Пример 4

Пресметајте ја површината добиена со ротирање на првиот лак на циклоидот околу оската.

Задачата е креативна. Обидете се да ја изведете или интуитивно да ја погодите формулата за пресметување на површината добиена со ротирање на крива околу оската на ординатите. И, се разбира, повторно треба да се забележи предноста на параметарските равенки - тие не треба да се менуваат на кој било начин; нема потреба да се мачиме со наоѓање други граници за интеграција.

Циклоидниот графикон може да се погледне на страницата Површина и волумен, ако линијата е параметарски одредена. Површината на ротација ќе личи... Не знам ни со што да споредам... нешто неземно - кружна форма со зашилена вдлабнатина во средината. За случајот на ротација на циклоид околу оска, веднаш ми падна на ум една асоцијација - долгнавеста рагби топка.

Решението и одговорот се на крајот од лекцијата.

Го заклучуваме нашиот фасцинантен преглед со случајот поларни координати. Да, само преглед, ако погледнете учебници за математичка анализа (Фихтенхолц, Бохан, Пискунов, други автори), можете да добиете десетина (или дури и многу повеќе) стандардни примери, меѓу кои можеби ќе го најдете проблемот што ви треба .

Како да се пресмета површината на револуција,
ако правата е дадена во поларен координатен систем?

Ако кривата е дадена во поларни координатиравенка, а функцијата има континуиран извод на даден интервал, тогаш површината добиена со ротирање на оваа крива околу поларната оска се пресметува со формулата , каде се аголните вредности што одговараат на краевите на кривата.

Во согласност со геометриска смислаинтегративни проблеми , а тоа се постигнува само под услов (и очигледно се не-негативни). Затоа, неопходно е да се земат предвид вредностите на аголот од опсегот, со други зборови, кривата треба да се наоѓа повисокополарната оска и нејзиното продолжение. Како што можете да видите, истата приказна како во двата претходни параграфи.

Пример 5

Пресметајте ја површината формирана со ротирање на кардиоидот околу поларната оска.

Решение: графикот на оваа крива може да се види во Пример 6 од лекцијата за поларен координатен систем. Кардиоидот е симетричен во однос на поларната оска, па затоа ја разгледуваме неговата горна половина во интервалот (што, всушност, се должи на горната забелешка).

Површината на ротација ќе личи на bullseye.

Техниката на решение е стандардна. Ајде да го најдеме дериватот во однос на „phi“:

Ајде да го составиме и поедноставиме коренот:

Се надевам со редовно тригонометриски формули никој немаше никакви тешкотии.

Ја користиме формулата:

Помеѓу , оттука: (Зборував детално за тоа како правилно да се ослободите од коренот во статијата Должина на кривиниот лак).

Одговори:

Интересна и кратка задача за независна одлука:

Пример 6

Пресметајте ја плоштината на сферичниот појас,

Што е топчест појас? Ставете кружен, неизлупен портокал на масата и земете нож. Направете две паралелносече, а со тоа се дели овошјето на 3 дела со произволни големини. Сега земете го центарот, кој има сочно месо изложено од двете страни. Ова тело се нарекува сферичен слоји површината што ја ограничува (кора од портокал) – топчест појас.

Читателите запознаени со поларни координати, лесно презентираше цртеж на проблемот: равенката одредува круг со центар на полот на радиусот, од кој зраци отсечен помалкулак. Овој лак ротира околу поларната оска и на тој начин создава сферичен појас.

Сега можете да јадете портокал со чиста совест и лесно срце, и на оваа вкусна белешка ќе ја завршиме лекцијата, не го расипувајте вашиот апетит со други примери =)

Решенија и одговори:

Пример 2:Решение : пресметајте ја површината формирана со ротација на горната гранка околу оската на апсцисата. Ја користиме формулата .
Во овој случај: ;

Така:

Одговори:

Пример 4:Решение : користете ја формулата . Првиот лак на циклоидот е дефиниран на сегментот .
Ајде да најдеме деривати:

Ајде да го составиме и поедноставиме коренот:

Така, површината на ротација е:

Помеѓу , Затоа

Првиот интегралинтегрираат по делови :

Во вториот интеграл користиметригонометриска формула .

Одговори:

Пример 6:Решение : користете ја формулата:

Одговори:

Виша математика за дописни студенти и повеќе >>>

(Оди на главната страница)

Како да се пресмета дефинитивен интеграл
користејќи ја трапезоидната формула и методот на Симпсон?

Нумеричките методи се прилично голем дел од вишата математика, а сериозните учебници на оваа тема содржат стотици страници. Во пракса, во тестовиТрадиционално, некои проблеми се предлагаат да се решат со помош на нумерички методи, а еден од најчестите проблеми е приближната пресметка определени интеграли. Во оваа статија ќе разгледам два методи за приближна пресметка определен интеграл – трапезоиден методИ Симпсон метод.

Што треба да знаете за да ги совладате овие методи? Можеби звучи смешно, но можеби воопшто не можете да земете интеграли. А вие дури и не разбирате што се интеграли. Од технички средства ќе ви треба микрокалкулатор. Да, да, нè очекуваат рутински училишни пресметки. Уште подобро, преземете го мојот полуавтоматски калкулатор за трапезоиден метод и метод Симпсон. Калкулаторот е напишан во Excel и ќе го намали времето потребно за решавање и завршување проблеми за десетици пати. За куклите на Excel, вклучен е видео прирачник! Инаку, првото видео со мојот глас.

Прво, да се запрашаме: зошто воопшто ни се потребни приближни пресметки? Изгледа можете да го најдете антидериват на функцијатаи користете ја формулата Њутн-Лајбниц, пресметувајќи ја точната вредност на определениот интеграл. За да одговориме на прашањето, веднаш да погледнеме демо пример со слика.

Пресметај дефинитивен интеграл

Се би било добро, но во овој примеринтегралот не може да се земе - пред вас е непреземен интеграл, т.н интегрален логаритам. Дали воопшто постои овој интеграл? Дозволете ни да го прикажеме на цртежот графикот на функцијата интегранд:

Се е во ред. Интегранд континуиранона отсечката и определениот интеграл бројно е еднаков на засенчената површина. Има само еден улов: интегралот не може да се земе. И во такви случаи, тие доаѓаат на помош нумерички методи. Во овој случај, проблемот се јавува во две формулации:

1) Пресметај го определениот интеграл приближно , заокружувајќи го резултатот на одредено децимално место. На пример, до две децимали, до три децимални места итн. Да претпоставиме дека приближниот одговор е 5.347. Всушност, можеби не е сосема точно (во реалноста, да речеме, поточниот одговор е 5.343). Нашата задача е само тоарезултатот да се заокружи на три децимални места.

2) Пресметај го определениот интеграл приближно, со одредена точност. На пример, пресметајте одреден интеграл приближно со точност од 0,001. Што значи тоа? Ова значи дека ако приближниот одговор е 5.347, тогаш Ситеброевите мора да бидат армиран бетон точно. Поточно, одговорот 5.347 треба да се разликува од вистината во апсолутна вредност (во една или друга насока) не повеќе од 0.001.

Постојат неколку основни методи за приближно пресметување на дефинитивниот интеграл што се јавува во проблеми:

Метод на правоаголник. Сегментот за интеграција е поделен на неколку делови и се конструира чекор фигура ( столбест дијаграм), што е блиску по површина до саканата област:

Не судете строго според цртежите, точноста не е идеална - тие само помагаат да се разбере суштината на методите.

Во овој пример, сегментот за интеграција е поделен на три сегменти:
. Очигледно, колку е почеста поделбата (помали средни сегменти), толку е поголема точноста. Методот на правоаголник дава груба апроксимација на површината, што очигледно е зошто многу ретко се среќава во пракса (се сеќавам само на еден практичен пример). Во овој поглед, нема да го разгледам методот на правоаголник, па дури и нема да дадам едноставна формула. Не затоа што сум мрзлив, туку поради принципот на мојата книга за решенија: она што е исклучително ретко во практичните проблеми не се разгледува.

Трапезоиден метод. Идејата е слична. Сегментот за интеграција е поделен на неколку средни сегменти, а се приближува графикот на функцијата интегранд прекината линијалинија:

Така, нашата област (сино засенчување) се приближува со збирот на површините на трапезоидите (црвено). Оттука и името на методот. Лесно е да се види дека трапезоидниот метод дава многу подобра апроксимација од методот на правоаголник (со ист број на партициони сегменти). И, нормално, колку повеќе помали средни сегменти сметаме, толку поголема ќе биде точноста. Трапезоидниот метод се среќава од време на време кај практични задачи, а оваа статија ќе разгледа неколку примери.

Симпсоновиот метод (метод со парабола). Ова е понапреден метод - графикот на интеграндот не се приближува со скршена линија, туку со мали параболи. Има толку мали параболи колку што има средни сегменти. Ако ги земеме истите три отсечки, тогаш методот на Симпсон ќе даде уште попрецизно приближување од методот на правоаголник или методот на трапез.

Не ја гледам поентата во изградбата на цртеж, бидејќи визуелното приближување ќе биде надредено на графикот на функцијата (скршената линија од претходниот став - па дури и тогаш речиси се совпадна).

Проблемот со пресметување дефинитивен интеграл со помош на формулата на Симпсон е најпопуларната задача во пракса. И на методот на парабола ќе му се посвети значително внимание.

5. Наоѓање на површината на телата на ротација

Нека кривата AB е графикот на функцијата y = f(x) ≥ 0, каде што x [a; b], а функцијата y = f(x) и нејзиниот извод y" = f"(x) се континуирани на оваа отсечка.

Дозволете ни да ја најдеме областа S на површината формирана со ротација на кривата AB околу оската Ox (сл. 8).

Да ја примениме шемата II (диференцијален метод).

Преку произволна точка x [a; b] нацртајте рамнина P нормална на оската Ox. Рамнината П ја пресекува површината на ротација во круг со радиус y – f(x). Големината S на површината на делот од фигурата на револуција што лежи лево од рамнината е функција од x, т.е. s = s(x) (s(a) = 0 и s(b) = S).

Да му дадеме на аргументот x инкремент Δx = dx. Преку точката x + dx [a; б] цртаме и рамнина нормална на оската Ox. Функцијата s = s(x) ќе добие зголемување од Δs, прикажано на сликата како „појас“.

Да ја најдеме диференцијалната површина ds со замена на фигурата формирана помеѓу пресеците со скратен конус, чија генератрица е еднаква на dl, а радиусите на базите се еднакви на y и y + dу. Областа на неговата странична површина е еднаква на: = 2ydl + dydl.

Отфрлање на производот dу d1 како бесконечно мал повисок редод ds, добиваме ds = 2уdl, или, бидејќи d1 = dx.

Интегрирајќи ја добиената еднаквост во опсегот од x = a до x = b, добиваме

Ако кривата AB е дадена со параметарските равенки x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, тогаш формулата за површината на ротација добива форма

S=2 dt.

Пример: Најдете ја површината на топка со радиус R.

S=2 =

6. Наоѓање на работата на променлива сила

Работа со променлива сила

Нека материјална точка M се движи по оската Ox под дејство на променлива сила F = F(x) насочена паралелно со оваа оска. Работата што ја врши сила при поместување на точката М од положбата x = a во положбата x = b (а

Колку треба да се работи за да се истегне пружината за 0,05 m ако сила од 100 N го истегне пружината за 0,01 m?

Според законот на Хук, еластичната сила што ја истегнува пружината е пропорционална на ова истегнување x, т.е. F = kх, каде што k е коефициентот на пропорционалност. Според условите на задачата, сила F = 100 N го протега пружината за x = 0,01 m; затоа, 100 = k 0,01, од каде k = 10000; затоа, F = 10000x.

Потребната работа врз основа на формулата

Најдете ја работата што треба да се потроши за да се испумпува течност преку работ од вертикален цилиндричен резервоар со висина N m и радиус на основата R m (сл. 13).

Работата потрошена за подигнување на тело со тежина p до висина h е еднаква на p N. Но, различните слоеви на течност во резервоарот се на различни длабочини и висината на издигнувањето (до работ на резервоарот) на различни слоевите не се исти.

За да го решиме проблемот, ја применуваме шемата II (диференцијален метод). Ајде да воведеме координатен систем.

1) Работата потрошена за испумпување на слој течност со дебелина x (0 ≤ x ≤ H) од резервоар е функција од x, т.е. A = A(x), каде што (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Најдете го главниот дел од зголемувањето ΔA кога x се менува за износот Δx = dx, т.е. ја наоѓаме диференцијалната dA на функцијата A(x).

Поради малата вредност на dx, претпоставуваме дека „елементарниот“ слој на течност се наоѓа на иста длабочина x (од работ на резервоарот). Тогаш dA = dрх, каде што dр е тежината на овој слој; тоа е еднакво на g АV, каде што g е забрзување на гравитацијата, е густината на течноста, dv е волуменот на „елементарниот“ слој на течноста (тоа е нагласено на сликата), т.е. dр = g. Волуменот на наведениот течен слој е очигледно еднаков на , каде што dx е висината на цилиндерот (слојот), е површината на неговата основа, т.е. dv = .

Така, dр = . И

3) Интегрирајќи ја добиената еднаквост во опсегот од x = 0 до x = H, наоѓаме

8. Пресметка на интеграли со помош на MathCAD пакетот

При решавање на некои применети проблеми, неопходно е да се користи операцијата на симболична интеграција. Во овој случај, програмата MathCad може да биде корисна и во почетната фаза (добро е да се знае одговорот однапред или да се знае дека постои) и во последната фаза (добро е да се провери резултатот користејќи одговор од друг извор или туѓо решение).

Кога решавате голем број проблеми, можете да забележите некои карактеристики на решавање проблеми со помош на програмата MathCad. Да се обидеме со неколку примери да разбереме како функционира оваа програма, да ги анализираме решенијата добиени со негова помош и да ги споредиме овие решенија со решенија добиени со други методи.

Главните проблеми при користење на програмата MathCad се како што следува:

а) програмата го дава одговорот не во форма на познати елементарни функции, туку во форма на специјални функции кои не се познати на сите;

б) во некои случаи „одбива“ да даде одговор, иако има решение за проблемот;

в) понекогаш е невозможно да се искористи добиениот резултат поради неговата гломазност;

г) не го решава проблемот целосно и не го анализира решението.

За да се решат овие проблеми, неопходно е да се искористат силните и слабите страни на програмата.

Со негова помош е лесно и едноставно да се пресметаат интеграли на дробни рационални функции. Затоа, се препорачува да се користи методот на замена со променлива, т.е. Претходно подгответе го интегралот за решението. За овие цели, може да се користат замените дискутирани погоре. Исто така, треба да се има предвид дека добиените резултати мора да се испитаат за совпаѓање на домените на дефинирање на оригиналната функција и добиениот резултат. Дополнително, некои од добиените решенија бараат дополнително истражување.

Програмата MathCad го ослободува ученикот или истражувачот од рутинска работа, но не може да го ослободи од дополнителна анализа и при поставување на проблем и при добивање на какви било резултати.

Овој труд ги испитуваше главните одредби поврзани со изучувањето на примената на определен интеграл во предметот по математика.

– направена е анализа на теоретската основа за решавање на интеграли;

– материјалот беше систематизиран и генерализиран.

Во процесот на завршување на предметната работа беа разгледани примери на практични проблеми од областа на физиката, геометријата и механиката.

Заклучок

Примерите на практични проблеми дискутирани погоре ни даваат јасна претстава за важноста на дефинитивниот интеграл за нивната решливост.

Тешко е да се именува научно поле во кое нема да се користат методите на интегрално пресметување, генерално, и особините на определениот интеграл, особено. Значи, во процесот на завршување на работата на курсот, разгледавме примери на практични проблеми од областа на физиката, геометријата, механиката, биологијата и економијата. Се разбира, ова е далеку од исцрпна листа на науки кои го користат интегралниот метод за да бараат утврдена вредност кога решаваат конкретен проблем и утврдуваат теоретски факти.

Дефинитивниот интеграл се користи и за изучување на самата математика. На пример, при решавање на диференцијални равенки, кои пак даваат незаменлив придонес во решавањето на практичните проблеми. Можеме да кажеме дека определен интеграл е одредена основа за изучување на математиката. Оттука е важноста да знаете како да ги решите.

Од сето горенаведено, јасно е зошто запознавањето со определениот интеграл се случува во рамките на средното образование, каде што учениците го учат не само концептот на интегралот и неговите својства, туку и некои негови примени.

Литература

1. Волков Е.А. Нумерички методи. М., Наука, 1988 година.

2. Пискунов Н.С. Диференцијална и интегрална пресметка. М., Интеграл-Прес, 2004. Т. 1.

3. Шипачев В.С. Виша математика. М., Виша школа, 1990 г.

Пример:Најдете го волуменот на сфера со радиусР.

Во пресеците на топката се добиваат кругови со променлив радиус y. Во зависност од тековната x координата, овој радиус се изразува со формулата.

Тогаш функцијата површина на пресек има форма: Q(x) = .

Го добиваме волуменот на топката:

Пример:Најдете го волуменот на произволна пирамида со висина H и плоштина на основатаС.

Кога пирамидата е пресечена со рамнини нормални на висината, во пресек добиваме бројки слични на основата. Коефициентот на сличност на овие бројки е еднаков на односот x/H , каде што x е растојанието од рамнината на пресекот до врвот на пирамидата.

Од геометријата е познато дека односот на плоштините на слични фигури е еднаков на коефициентот на сличност на квадрат, т.е.

Од тука ја добиваме функцијата на пресечни области:

Наоѓање на волуменот на пирамидата:

Обем на тела на ротација.

Размислете за кривата дадена со равенката y = f(x ). Да претпоставиме дека функцијата f(x ) е континуирано на интервалот [а, б ]. Ако соодветниот криволинеарен трапез со основи a иб ротираат околу оската Ox, добиваме т.н тело на ротација.

y = f(x)

Површина на тело на револуција.

М и Б

Дефиниција: Површина на ротацијакривата AB околу дадена оска е граница до која тежат површините на површините на ротација на скршените линии впишани во кривата AB кога најголемата од должините на врските на овие скршени линии се стреми кон нула.

Дозволете ни да го поделиме лакот AB на n делови по точки M 0, M 1, M 2, …, M n . Координатите на темињата на добиената полилинија ги имаат координатите x i и y i . Со ротирање на скршената линија околу нејзината оска, добиваме површина составена од странични површини на скратени конуси, чија површина е еднаква на D P i . Оваа област може да се најде со помош на формулата:

Нека се даде тело во вселената. Нека неговите делови се изградени со рамнини нормални на оската што минува низ точките
на неа. Областа на фигурата формирана во делот зависи од точката X, дефинирајќи ја рамнината на пресекот. Нека оваа зависност биде позната и дадена континуирано функција. Потоа волуменот на делот од телото кој се наоѓа помеѓу рамнините x=aИ x=bпресметано со формулата

Пример.Да го најдеме волуменот на ограниченото тело затворено помеѓу површината на цилиндар со радиус :, хоризонтална рамнина и наклонета рамнина z = 2y и лежи над хоризонталната рамнина.

Очигледно е дека телото што се разгледува е проектирано на сегментот на оската
, и atx
пресекот на телото е правоаголен триаголник со катети y и z = 2y, каде што y може да се изрази преку x од равенката на цилиндерот:

Според тоа, површината на попречниот пресек S(x) е:

Користејќи ја формулата, го наоѓаме волуменот на телото:

Пресметка на волумени на тела на револуција

Нека за сегментот[ а, б] е наведена континуирана функција на константен знак y= ѓ(x). Томови на тело на револуција формирано со ротација околу оската О(или секири ОУ) заоблен трапез ограничен со крива y= ѓ(x) (ѓ(x) 0) и директно y=0, x=a, x=б, се пресметуваат соодветно со помош на формулите:

, ( 19)

(20)

Ако телото се формира со ротирање околу оска ОУкриволинеарен трапез ограничен со крива
и директно x=0, y= в, y= г, тогаш волуменот на телото на револуцијата е еднаков на

. (21)

Пример.Пресметајте го волуменот на телото добиен со ротирање на фигура ограничена со линии околу оската О.

Според формулата (19), потребниот волумен

Пример.Да ја разгледаме правата y=cosx на отсечката во xOy рамнината .

Е Таа линија ротира во просторот околу оската, а добиената површина на ротација ограничува одредено тело на ротација (види слика). Ајде да го најдеме волуменот на ова тело на ротација.

Според формулата, добиваме:

Површина на ротација

,
, ротира околу оската Ox, а потоа површината на ротација се пресметува со формулата
, Каде аИ б- апсциса на почетокот и крајот на лакот.

Ако лакот на крива дефиниран со ненегативна функција
,
, ротира околу оската Oy, а потоа површината на ротација се пресметува со формулата

каде што c и d се апсциса на почетокот и крајот на лакот.

Ако е даден лакот на кривата параметарски равенки
,
, и
, Тоа

Ако лакот е наведен во поларни координати
, Тоа

Пример.Да ја пресметаме површината формирана со ротација во просторот околу оската на дел од правата y= се наоѓа над шипката за сечење.

Бидејќи
, тогаш формулата ни го дава интегралот

Да ја направиме промената t=x+(1/2) во последниот интеграл и да добиеме:

Во првиот од интегралите од десната страна правиме замена z=t 2 -:

За да го пресметаме вториот од интегралите на десната страна, го означуваме и интегрираме по делови, добивајќи ја равенката за:

Движејќи се на левата страна и делејќи се со 2, добиваме

каде, конечно,

Примени на дефинитивен интеграл за решавање на некои проблеми во механиката и физиката

Работа со променлива сила. Да го разгледаме движењето на материјалната точка долж оската Волпод влијание на променлива сила ѓ, во зависност од положбата на точката xна оската, т.е. сила, што е функција x. Потоа работете А, неопходно за поместување на материјалната точка од положбата x = аво позиција x = бпресметано со формулата:

Да се пресмета сили на притисок на течностакористете го Паскаловиот закон, според кој притисокот на течноста на платформата е еднаков на нејзината површина С, помножено со длабочината на потопување ч, на густина ρ и забрзување на гравитацијата е, т.е.

1. Моменти и центри на маса на рамни криви. Ако лакот на кривата е даден со равенката y=f(x), a≤x≤b и има густина
, Тоа статични моментина овој лак M x и M y во однос на координатните оски Ox и Oy се еднакви

;

моменти на инерција I X и I y во однос на истите оски Ox и Oy се пресметуваат со помош на формулите

А центар на маса координати И - според формули

каде што l е масата на лакот, т.е.

Пример 1. Најдете ги статичките моменти и моменти на инерција за оските Ox и Oy на лакот на катенарната права y=chx за 0≤x≤1.

Ако густината не е одредена, се претпоставува дека кривата е униформа и
. Имаме: Затоа,

Пример 2.Најдете ги координатите на центарот на масата на кружниот лак x=acost, y=asint, кој се наоѓа во првата четвртина. Ние имаме:

Од тука добиваме:

Во апликациите често е корисно следново Теорема Гилдер. Површината на површината формирана со ротација на лак на рамна крива околу оската што лежи во рамнината на лакот и не ја пресекува е еднаква на производот од должината на лакот и должината на опишаниот круг по својот центар на маса.

Пример 3.Најдете ги координатите на центарот на масата на полукругот

Поради симетрија
. Кога се ротира полукругот околу оската Ox, се добива сфера, чија површина е еднаква, а должината на полукругот е еднаква на na. Според теоремата на Гулден имаме 4

Од тука
, т.е. центарот на маса C има координати C
.

2. Физички задачи.Некои примени на дефинитивниот интеграл во решавањето физички проблеми се илустрирани во примерите подолу.

Пример 4.Брзината на праволиниско движење на телото се изразува со формулата (m/s). Најдете ја патеката што ја помина телото за 5 секунди од почетокот на движењето.

Бидејќи патеката што ја поминува телотосо брзина v(t) во одреден временски период, се изразува со интегралот

тогаш имаме:

П
пример.Да ја најдеме плоштината на ограничената област што лежи помеѓу оската и правата y=x 3 -x. Затоа што

правата ја пресекува оската на три точки: x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.

Ограничената област помеѓу линијата и оската се проектира на сегментот
,и на сегментот
,линија = x 3 -x оди над оската (односно, линија = 0 и натаму - подолу. Затоа, површината на регионот може да се пресмета на следниов начин:

П
пример.Да ја најдеме областа на регионот затворен помеѓу првиот и вториот свиок на спиралата Архимед r=a (a>0) и отсечка од хоризонталната оска
.

Првиот пресврт на спиралата одговара на промена на аголот во опсег од 0 до, а вториот - од. Да се даде промена на аргументот на една празнина, ја запишуваме равенката на вториот свиок на спиралата во форма
,

. Тогаш областа може да се најде со помош на формулата, ставајќи
И
: