Диференцијација на експоненцијални и логаритамски функции - Хипермаркет на знаење. Диференцијација на експоненцијални и логаритамски функции. Антидериват на експоненцијалната функција во задачите на UNT Диференцијација на експоненцијалните и логаритамските функции на муцките

Тема на часот: „Диференцијација на експоненцијални и логаритамски функции. Антидериватив експоненцијална функција» во задачите на УНТ

Цел : развивање на вештините на учениците за примена на теоретските знаења на тема „Диференцијација на експоненцијални и логаритамски функции. Антидериват на експоненцијалната функција“ за решавање UNT задачи.

Задачи

Образовни: систематизирај го теоретското знаење на учениците, консолидирај ги вештините за решавање проблеми на оваа тема.

Образовни:развие меморија, набљудување, логично размислување, математички говор на учениците, внимание, самопочит и вештини за самоконтрола.

Образовни:придонесе:

развивање одговорен однос кон учењето кај учениците;

развој на одржлив интерес за математиката;

создавање позитивна внатрешна мотивација за изучување математика.

Наставни методи: вербална, визуелна, практична.

Форми на работа:индивидуална, фронтална, во парови.

За време на часовите

Епиграф: „Умот лежи не само во знаењето, туку и во способноста да се примени знаењето во пракса“ Аристотел (слајд 2)

Јас. Време на организирање.

II. Решавање на крстозборот. (слајд 3-21)

Францускиот математичар од 17 век Пјер Фермат ја дефинира оваа линија како „Правата линија најблиску до кривата во мало соседство на точката“.

Тангента

Функција која е дадена со формулата y = log а x.

Логаритамски

Функција која е дадена со формулата y = А X.

Индикативно

Во математиката, овој концепт се користи за да се најде брзината на движење. материјална точкаи аголниот коефициент на тангентата на графикот на функцијата во дадена точка.

Дериват

Како се вика функцијата F(x) за функцијата f(x), ако условот F"(x) =f(x) е задоволен за која било точка од интервалот I.

Антидериватив

Како се вика врската помеѓу X и Y, во која секој елемент од X е поврзан со еден елемент од Y.

Дериват на поместување

Брзина

Функција која е дадена со формулата y = e x.

Излагач

Ако функцијата f(x) може да се претстави како f(x)=g(t(x)), тогаш оваа функција се нарекува...

III. Математички диктат (слајд 22)

1. Запиши ја формулата за изводот на експоненцијалната функција. ( А x)" = А x ln а

2. Запиши ја формулата за изводот на експоненцијалот. (e x)" = e x

3. Запиши ја формулата за изводот на природниот логаритам. (n x)"=

4. Запиши ја формулата за извод на логаритамска функција. (лог а x)" =

5. Запиши ја општата форма на антидеривати за функцијата f(x) = А X. F(x)=

6. Запиши ја општата форма на антидеривати за функцијата f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Проверете ја вашата работа (одговори на слајд 23).

IV. Решавање UNT проблеми (симулатор)

А) бр. 1,2,3,6,10,36 на таблата и во тетратката (слајд 24)

Б) Работа во парови бр. 19,28 (симулатор) (слајд 25-26)

V. 1. Најдете грешки: (слајд 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17

3) f(x)=log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4x), f "(x)=
.

VI. Ученичка презентација.

Епиграф: „Знаењето е толку скапоцено нешто што не е срам да се добие од кој било извор“ Томас Аквински (слајд 28)

VII. Домашна работа бр.19,20 стр.116

VIII. Тест (резервна задача) (слајд 29-32)

IX. Резиме на лекција.

„Ако сакате да учествувате во одличен живот, потоа наполнете ја главата со математика додека имате можност. Таа потоа ќе ви пружи голема помош во текот на вашиот живот“ М. Калинин (слајд 33)

Час по алгебра во 11 одделение на тема: „Диференцијација и интеграција на експоненцијални и логаритамски функции“

Цели на лекцијата:

Систематизирајте го изучениот материјал на тема „Експоненцијални и логаритамски функции“.

Да се развие способност за решавање на проблеми кои вклучуваат диференцијација и интеграција на експоненцијални и логаритамски функции.

Искористете ги можностите информатички технологиида развива мотивација за изучување сложени теми во математичката анализа.

Наведете ги барањата за завршување на тест-работата на оваа тема во следниот час.

За време на часовите

I. Организациски момент (1 – 2 минути).

Наставникот ги соопштува целите на часот.

Часот е поделен во 4 групи.

II. Блиц анкета со помош на формули (домашна работа).

Разговор во форма на дијалог со учениците.

Да речеме дека сте депонирале 10.000 рубли во банка со каматна стапка од 12% годишно. За колку години вашата инвестиција ќе се удвои?

За да го направите ова, треба да ја решиме равенката: , т.е Како?

Треба да одиме на основата 10, односно (со помош на калкулатор)

Така, удвојувањето на придонесот ќе се случи за шест години (малку повеќе).

Тука ни требаше формула за преселба во нова база. Кои формули поврзани со диференцијација и интеграција на логаритамски и експоненцијални функции ги знаете? (сите формули се преземени од страниците на учебникот, стр. 81, стр. 86).

Прашања едни на други во синџир.

Прашања за наставникот.

Наставникот бара да изведе 1–2 формули.

На одделни мали парчиња хартија има математички диктат за познавање на формулите. Во тек е меѓусебна проверка. Сениорите во групите го прикажуваат просечниот аритметички резултат и го внесуваат во табелата.

Табела за активности

Вид на активност
1. Познавање на формули.
2. Индивидуално знаење. Работа во парови.
3. Усна работа.
4. Контролни тестови (компјутерска проценка).
5. Самостојна работа(задачи на задолжително ниво).
6. Задачи со зголемена сложеност.

III. Усна работа:

Определи го бројот на решенија на равенките.

А) ;

Б) ;

Откако учениците ќе одговорат со помош на проекторот, на екранот се прикажуваат графикони.

А) 2 решенија

Б) 1 решение

Дополнително прашање:Најдете највисока вредностфункции

Функцијата за намалување е најголема кога индикаторот има најмала вредност.

(2 начини)

IV. Индивидуална работа.

За време на усна работа, по 2 лица од секоја група работат на индивидуални задачи.

1 група:Едниот ја истражува функцијата, вториот има график на оваа функција на интерактивната табла.

Дополнително прашање:. Одговор: (Број д? Види страна 86 од учебникот).

Група 2:Најдете крива што минува низ точката n (0; 2) ако наклонот на тангентата во која било точка на кривата е еднаков на производот на координатите на точката на тангенција. Еден е диференцијална равенкаи наоѓа општо решение, вториот наоѓа одредено решение користејќи ги почетните услови.

Одговор:

Дополнително прашање:Зошто еднаков на аголотпомеѓу тангентата нацртана во точката X=0 на графикот на функцијата y = д x и x-оската. (45 o)

Графикот на оваа функција се нарекува „експонент“ (Најдете информации за ова во учебникот и проверете го вашето образложение со објаснувањата во учебникот, страница 86).

Група 3:

Споредете

Едниот споредува со помош на микрокалкулатор, а другиот без.

Дополнително прашање:Определи на која x0 е еднаквоста?

Одговор: x = 2 0,5.

Група 4:Докажете го тоа

Доказ на различни начини.

Дополнително прашање:Најдете приближна вредност д 1.01. Споредете ја вашата вредност со одговорот во примерот 2 (страница 86 од учебникот).

V. Работа со учебникот.

Децата се поканети да разгледаат примери од пример 1 - пример 9 (страници 81 - 84 од учебникот). Врз основа на овие примери, трчајте контролни тестови.

VI. Контролни тестови.

Задача на екранот. Се води дискусија. Се избира точниот одговор и се дава оправдување. Компјутерот дава оценка. Најстариот во групата ја забележува во табелата активноста на неговите другари за време на тестот.

1) Дадена функција f(x)= 2-e 3x . Определи на која вредност на C минува графикот на неговиот антидериват F(x)+C низ точката М (1/3;-д/3)

Одговор: а) д-1; б) 5/8; в) -2/3; г) 2.

2) Дадена функција f(x)= e 3x-2 +ln(2x+3). Најдете ѓ"(2/3)

Одговор: а) -1; б) 45/13; в) 1/3; г) 2.

3) Дали функцијата задоволува y = e секираравенка y" = ај.

Одговор: а) да; б) не; в) сè зависи од двете; г) невозможно е да се каже дефинитивно.

VII. Самостојна работа.

Задачи на задолжително ниво: Најдете екстремни точки на функции.

		III група

Најстариот во групата става бодови за оваа задача во табелата.

Во тоа време, едно лице од секоја група работи на одборот со задачи од зголемена сложеност.

		III група

Наставникот попатно ја покажува комплетната писмена документација на задачите (се проектира на екранот, тоа е многу важно за завршување на последователната тест работа).

VIII. Домашна работа.

IX. Резиме на лекцијата:

Давање оценки земајќи ги предвид добиените бодови Норми на оценки за претстојната тест работа на следниот час.

Диференцирање експоненцијални и логаритамски функции

1. Број e. Функција y = e x, неговите својства, график, диференцијација

Да разгледаме експоненцијална функција y=a x, каде што a > 1. За различни основи a добиваме различни графикони (сл. 232-234), но можете да забележите дека сите минуваат низ точката (0; 1), сите имаат хоризонтална асимптота y = 0 во , сите се конвексно свртени надолу и, конечно, сите имаат тангенти во сите нивни точки. Да нацртаме, на пример, тангента на графикафункција y=2x во точка x = 0 (сл. 232). Ако направите точни конструкции и мерења, можете да се уверите дека оваа тангента формира агол од 35° (приближно) со оската x.

Сега да нацртаме тангента на графикот на функцијата y = 3 x, исто така во точката x = 0 (сл. 233). Овде аголот помеѓу тангентата и x-оската ќе биде поголем - 48°. А за експоненцијалната функција y = 10 x во слична
ситуација добиваме агол од 66,5° (сл. 234).

Значи, ако основата a на експоненцијалната функција y=ax постепено се зголемува од 2 на 10, тогаш аголот помеѓу тангентата на графикот на функцијата во точката x=0 и x-оската постепено се зголемува од 35° на 66,5 °. Логично е да се претпостави дека постои основа a за која соодветниот агол е 45°. Оваа основа мора да биде затворена помеѓу броевите 2 и 3, бидејќи за функцијата y-2x аголот на интерес за нас е 35°, што е помало од 45°, а за функцијата y=3 x е еднакво на 48° , што е веќе малку повеќе од 45 °. Основата за која нè интересира обично се означува со буквата e. Утврдено е дека бројот e е ирационален, т.е. претставува бесконечен децимален непериодичен дропка:

e = 2,7182818284590...;

во пракса обично се претпоставува дека e=2.7.

Коментар(не многу сериозно). Јасно е дека Л.Н. Толстој нема никаква врска со бројот e, сепак, при пишувањето на бројот e, имајте предвид дека бројот 1828 се повторува двапати по ред - годината на раѓање на Л.Н. Толстој.

Графикот на функцијата y=e x е прикажан на сл. 235. Ова е експоненцијал кој се разликува од другите експоненцијали (графикони на експоненцијални функции со други основи) по тоа што аголот помеѓу тангентата на графикот во точката x=0 и оската x е 45°.

Својства на функцијата y = e x:

1)
2) не е ниту парен ниту непарен;
3) се зголемува;
4) не е ограничен од горе, ограничен од долу;
5) нема ниту најголеми ниту најмали вредности;
6) континуирано;
7)
8) конвексен надолу;
9) диференцијабилни.

Вратете се на § 45, погледнете го списокот со својства на експоненцијалната функција y = a x за a > 1. Ќе ги најдете истите својства 1-8 (што е сосема природно), и деветтото својство поврзано со
тогаш не ја спомнавме диференцијабилноста на функцијата. Ајде да разговараме за тоа сега.

Дозволете ни да изведеме формула за наоѓање на изводот y-ex. Во овој случај, нема да го користиме вообичаениот алгоритам, кој го развивме во § 32 и кој е успешно користен повеќе од еднаш. Во овој алгоритам, во последната фаза е неопходно да се пресмета лимитот, а нашето знаење за теоријата на граници е сè уште многу, многу ограничено. Затоа, ќе се потпреме на геометриски простории, особено земајќи го предвид самиот факт на постоење на тангента на графикот на експоненцијалната функција без сомнение (затоа толку самоуверено го запишавме деветтото својство во горната листа на својства - диференцијабилноста на функцијата y = e x).

1. Забележете дека за функцијата y = f(x), каде што f(x) =ex, веќе ја знаеме вредноста на изводот во точката x =0: f / = tan45°=1.

2. Да ја воведеме функцијата y=g(x), каде g(x) -f(x-a), т.е. g(x)-ex" a. На сл. 236 е прикажан графикот на функцијата y = g(x): се добива од графикот на функцијата y - fx) со поместување по оската x за |a| скала единици Тангента на графикот на функцијата y = g (x) во точка х-ае паралелна со тангентата на графикот на функцијата y = f(x) во точката x -0 (види Сл. 236), што значи дека формира агол од 45° со оската x. Користење на геометриско значењеизвод, можеме да напишеме дека g(a) =tg45°;=1.

3. Да се вратиме на функцијата y = f(x). Ние имаме:

4. Утврдивме дека за која било вредност на a релацијата важи. Наместо буквата a, можете, се разбира, да ја користите буквата x; тогаш добиваме

Од оваа формула ја добиваме соодветната формула за интеграција:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 одделение

Календарско-тематско планирање по математика, Видеопо математика онлајн, Математика на училиште преземање

Содржина на лекцијата белешки за лекцијатаподдршка на рамка лекција презентација методи забрзување интерактивни технологии Вежбајте задачи и вежби работилници за самотестирање, обуки, случаи, потраги прашања за дискусија за домашни задачи реторички прашања од ученици Илустрации аудио, видео клипови и мултимедијафотографии, слики, графики, табели, дијаграми, хумор, анегдоти, шеги, стрипови, параболи, изреки, крстозбори, цитати Додатоци апстрактистатии трикови за љубопитните креветчиња учебници основни и дополнителен речник на поими друго Подобрување на учебниците и лекциитекорекција на грешки во учебникотажурирање фрагмент во учебник, елементи на иновација во лекцијата, замена на застарените знаења со нови Само за наставници совршени лекции календарски планза една година насокипрограми за дискусија Интегрирани лекции

Алгебра и почеток на математичка анализа

Диференцирање експоненцијални и логаритамски функции

Составен од:

наставник по математика, Општинска образовна установа СОУ бр.203 KhEC

град Новосибирск

Видутова Т.В.

Број д.Функција y = e x, неговите својства, графикон, диференцијација

1. Ајде да изградиме графикони за различни основи: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2-ра опција) (1-ва опција) " width="640"

Размислете за експоненцијалната функција y = a x, каде што a е 1.

Ќе градиме за разни бази А графика:

1. y=2 x

3. y=10 x

2. y=3 x

(Опција 2)

(1 опција)

1) Сите графикони минуваат низ точката (0; 1);

2) Сите графикони имаат хоризонтална асимптота y = 0

на X  ∞;

3) Сите се конвексно свртени надолу;

4) Сите тие имаат тангенти на сите нивни точки.

Да нацртаме тангента на графикот на функцијата y=2 x во точката X= 0 и измерете го аголот формиран од тангентата со оската X

Користејќи прецизни конструкции на тангенти на графиконите, можете да забележите дека ако основата Аекспоненцијална функција y = a xосновата постепено се зголемува од 2 на 10, потоа аголот помеѓу тангентата на графикот на функцијата во точката X= 0 и x-оската постепено се зголемува од 35' на 66,5'.

Затоа има причина А, за кои соодветниот агол е 45’. И ова е значењето Ае склучен помеѓу 2 и 3, бидејќи на А= 2 аголот е 35’, со А= 3 е еднакво на 48’.

Во текот на математичката анализа се докажува дека оваа основа постои, обично се означува со буквата д.

Утврди дека д – ирационален број, т.е. претставува бесконечна непериодична децимална дропка:

e = 2,7182818284590… ;

Во пракса обично се претпоставува дека д ≈ 2,7.

График на функции и својства y = e x :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) се зголемува;

4) не е ограничено одозгора, ограничено одоздола

5) нема ниту најголем ниту најмал

вредности;

6) континуирано;

7) Е(ѓ) = (0; + ∞);

8) конвексен надолу;

9) диференцијабилни.

Функција y = e x повикани експонент .

Во текот на математичката анализа се докажа дека функцијата y = e x има извод во која било точка X :

(д x ) = д x

(д 5x )" = 5е 5x

(д x-3 )" = д x-3

(д -4x+1 )" = -4е -4x-1

Пример 1 . Нацртајте тангента на графикот на функцијата во точката x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = пр

Одговор:

Пример 2 .

x = 3.

Пример 3 .

Испитајте ја екстремната функција

x=0 и x=-2

X= -2 – максимална точка

X= 0 – минимален поен

Ако основата на логаритам е број д, тогаш велат дека е дадено природен логаритам . За природни логаритмивоведена е посебна ознака ln (l – логаритам, n – природен).

График и својства на функцијата y = ln x

Својства на функцијата y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) не е ниту парен ниту непарен;

3) се зголемува за (0; + ∞);

4) не е ограничен;

5) нема ниту најголеми ниту најмали вредности;

6) континуирано;

7) E(f) = (- ∞; + ∞);

8) конвексен врв;

9) диференцијабилни.

0 е валидна формулата за диференцијација "ширина = "640".

Во текот на математичката анализа се докажува дека за која било вредност x0формулата за диференцијација е валидна

Пример 4:

Пресметај го изводот на функцијата во точка x = -1.

На пример:

Интернет ресурси:

http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
http://ru.wikipedia.org/wiki/
http://900igr.net/prezentatsii
http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Преглед на лекцијата

Предмет: Алгебра

Датум: 04.02.13.

Одделение: 11-то одделение

Наставник: Тишибаева Н.Ш.

Тема: Диференцијација на логаритамски и експоненцијални функции. Антидериват на експоненцијалната функција.

Цел:

1) формулира формули за изводи на логаритамски и експоненцијални функции; учат како да се најде антидериват на експоненцијална функција

2) развиваат меморија, набљудување, логично размислување, математички говор на учениците, способност за анализа и споредба, развивање на когнитивен интерес за предметот;

3) воспитуваат комуникативна култураученици, вештини за колективна активност, соработка, меѓусебно помагање.

Тип на лекција: објаснување на нов материјал и консолидација на стекнатите знаења, вештини и способности.

Опрема : картички, интерактивна табла.

Технологија: диференциран пристап

За време на часовите:

1.Орг. момент .(2мин) .

2. Решавање крстозбор (8 мин.)

1. Францускиот математичар од 17 век Пјер Фермат ја дефинирал оваа линија како „Правата линија што е најблиску до кривата во мало соседство на точката“.

Тангента

2.Функција, која е дадена со формулата y =а x.

Индикативно

3.Функција, која е дадена со формулата y = logсекира.

Логаритамски

4. Извод на поместување

Брзина

5.Како се вика функцијата F(x) за функцијата f(x), ако условот F"(x) =f(x) е задоволен за која било точка од интервалот I.

Антидериватив

6.Како се нарекува врската помеѓу X и Y, во која секој елемент од X е поврзан со еден елемент од Y.

Функција

7. Ако функцијата f(x) може да се претстави во форма f(x)=g(t(x)), тогаш оваа функција се нарекува...

Комплексен

Вертикално зборно презиме на француски математичар и механичар

Лагранж

3.Објаснување на нов материјал: (10 мин.)

Експоненцијалната функција во која било точка во доменот на дефиниција има извод и овој извод се наоѓа со формулата:

(.ln a во формулата го заменуваме бројоти на е, добиваме

(e x)" = e x_ формула извод на експоненцијалот
Логаритамската функција има извод во која било точка од нејзиниот домен на дефиниција, а овој извод се наоѓа со формулата:

(log a x)" = заменете го бројот во формулатаи на е, добиваме

Експоненцијална функција y =(А во која било точка од доменот на дефиниција има антидериват и овој антидериват се наоѓа со формулата F(x) =+ В

4. Консолидација на нов материјал (20 мин.)

Математички диктат.

1. Напиши ја формулата за изводот на експоненцијалната функција (а X)"

(a x)" = a x ln a

2. Запиши ја формулата за изводот на експоненцијалот. (д X)"

(e x)" = e x

3. Запиши ја формулата за изводот на природниот логаритам

4. Запишете ја формулата за изводот на логаритамската функција (лога x)"=?

(log a x)" =

5. Запиши ја општата форма на антидеривати за функцијата f(x) = a X .