Скратените формули за изразување многу често се користат во пракса, па затоа е препорачливо да ги научите сите напамет. До овој момент верно ќе ни служи, што препорачуваме да го испечатите и постојано да го чувате пред очи:

Првите четири формули од составената табела со скратени формули за множење ви овозможуваат да го квадратите и коцкате збирот или разликата на два израза. Петтиот е наменет за накратко множење на разликата и збирот на два изрази. А шестата и седмата формула се користат за множење на збирот на два израза a и b со нивниот нецелосен квадрат на разликата (вака се нарекува изразот на формата a 2 −a b+b 2) и разликата од два изразите a и b со нецелосниот квадрат од нивниот збир (a 2 + a·b+b 2) соодветно.

Вреди да се напомене посебно дека секоја еднаквост во табелата е идентитет. Ова објаснува зошто скратените формули за множење се нарекуваат и скратени идентитети за множење.

При решавање на примери, особено во кои полиномот е факторизиран, FSU често се користи во форма со заменети левата и десната страна:


Последните три идентитети во табелата имаат свои имиња. Се нарекува формулата a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b). формула за разлика од квадрати, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - формула за збир на коцки, А a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - разлика на формулата на коцки. Ве молиме имајте предвид дека не ги именувавме соодветните формули со преуредени делови од претходната табела.

Дополнителни формули

Не би било лошо да додадете уште неколку идентитети на табелата со скратени формули за множење.

Области на примена на скратени формули за множење (FSU) и примери

Главната цел на скратените формули за множење (fsu) се објаснува со нивното име, односно се состои во накратко множење на изрази. Сепак, опсегот на примена на FSU е многу поширок и не е ограничен на кратко множење. Да ги наведеме главните насоки.

Несомнено, централната примена на скратената формула за множење е пронајдена во извршувањето на идентични трансформации на изразите. Најчесто овие формули се користат во процесот поедноставување на изрази.

Пример.

Поедностави го изразот 9·y−(1+3·y) 2 .

Решение.

Во овој израз, квадратирањето може да се изврши скратено, имаме 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Останува само да се отворат заградите и да се донесат слични термини: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

Во броителот, изразот е разликата помеѓу коцките на два изрази 2 x и z 2, а во именителот, разликата во квадратите на овие изрази. По примената на соодветните формули, оригиналната дропка ќе ја добие формата . Сега можете да ги намалите истите фактори во броителот и именителот: .

Ајде накратко да го сумираме решението:

Одговор:

.

Скратените формули за множење понекогаш ви дозволуваат рационално да ги пресметате вредностите на изразите. Како пример, да покажеме како можете да го квадратите бројот 79 користејќи ја формулата за квадратна разлика: 79 2 =(80−1) 2 =80 2 −2 80 1+1 2 = 6.400−160+1=6.241. Овој пристап ви овозможува да вршите слични пресметки дури и усно.

Како заклучок, ајде да зборуваме за уште една важна трансформација - квадратен бином, која се заснова на формулата за скратено множење квадрат на збирот. На пример, изразот 4 x 2 +4 x−3 може да се претвори во (2 x) 2 +2 x 2 x 1+1 2 −4 и првите три члена се заменуваат со формулата за квадратен збир. Значи изразот станува (2 x+1) 2 −4. Ваквите трансформации се широко користени, на пример, со .

Библиографија.

  • Алгебра:тетратка за 7 одделение општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 17-ти ед. - М.: Образование, 2008. - 240 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А.Г.Алгебра. 7-мо одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за ученици образовните институции/ А. Г. Мордкович. - 13. изд., рев. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 стр.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.

Една од првите теми што се изучуваат на курсот за алгебра се скратените формули за множење. Во одделение 7, тие се користат во наједноставните ситуации, каде што треба да препознаете една од формулите во изразот и да факторизирате полином или, обратно, брзо квадрат или коцка збир или разлика. Во иднина, FSU се користи за брзо решавање на неравенки и равенки, па дури и за пресметување на некои нумерички изразибез калкулатор.

Како изгледа списокот со формули?

Постојат 7 основни формули кои ви овозможуваат брзо множење на полиноми во загради.

Понекогаш оваа листа вклучува и проширување за четврти степен, што произлегува од презентираните идентитети и има форма:

a⁴ — b4 = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Сите еднаквости имаат пар (збир - разлика), освен разликата на квадратите. Формулата за збир на квадрати не е дадена.

Останатите еднаквости лесно се паметат:

Треба да се запомни дека FSU работат во секој случај и за какви било вредности аИ б: овие можат да бидат или произволни броеви или цели броеви.

Во ситуација кога одеднаш не можете да се сетите кој знак е пред одреден термин во формулата, можете да ги отворите заградите и да го добиете истиот резултат како откако ќе ја искористите формулата. На пример, ако се појави проблем при примена на коцката разлика FSU, треба да го запишете оригиналниот израз и изврши множење еден по еден:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Како резултат на тоа, по донесувањето на сите слични поими, се добива истиот полином како во табелата. Истите манипулации може да се извршат со сите други FSU.

Примена на FSU за решавање равенки

На пример, треба да решите равенка која содржи полином од степен 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

ВО училишна наставна програмауниверзалните методи за решавање не се разгледуваат кубни равенки, а ваквите задачи најчесто се решаваат со помош на поедноставни методи (на пример, размножување). Ако забележиме дека левата страна на идентитетот наликува на коцка од збир, тогаш равенката може да се напише во поедноставна форма:

(x + 1)³ = 0.

Коренот на таквата равенка се пресметува усно: x = -1.

Неравенките се решаваат на сличен начин. На пример, можете да ја решите нееднаквоста x³ – 6x² + 9x > 0.

Пред сè, треба да го факторизирате изразот. Прво треба да заградите x. По ова, забележете дека изразот во загради може да се претвори во квадрат на разликата.

Потоа треба да ги пронајдете точките на кои се зема изразот нула вредности, и означете ги на бројната линија. Во одреден случај, тие ќе бидат 0 и 3. Потоа, користејќи го методот на интервал, одреди во кои интервали x ќе одговараат на условот за нееднаквост.

FSU може да бидат корисни при изведување некои пресметки без помош на калкулатор:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Дополнително, со факторинг на изрази, можете лесно да ги намалите дропките и да поедноставите разни алгебарски изрази.

Примери на проблеми за 7-8 одделение

Како заклучок, ќе анализираме и решиме две задачи за употреба на скратени формули за множење во алгебрата.

Задача 1. Поедноставете го изразот:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Решение. Условот на задачата бара поедноставување на изразот, т.е. отворање на заградите, извршување на операциите множење и степенување, а исто така и доведување на сите слични членови. Ајде условно да го поделиме изразот на три дела (според бројот на поими) и да ги отвориме заградите еден по еден, користејќи FSU каде што е можно.

  • (m + 3)² = m² + 6m + 9(збир на квадрат);
  • (3м + 1)(3м - 1) = 9м² – 1(разлика на квадрати);
  • Во последниот член треба да помножите: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Добиените резултати да ги замениме со оригиналниот израз:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Земајќи ги предвид знаците, ќе ги отвориме заградите и ќе претставиме слични термини:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Задача 2. Решете равенка што ја содржи непознатата k до 5-та сила:

k5 + 4k4 + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Решение. Во овој случај, неопходно е да се користи FSU и методот на групирање. Потребно е последниот и претпоследниот термин да се премести на десната страна на идентитетот.

k5 + 4k4 + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Заедничкиот фактор е изведен од десната и левата страна (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Сè е префрлено на левата страна од равенката, така што 0 останува на десната страна:

k³ (k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Повторно е неопходно да се извади заедничкиот фактор:

(k³ - k) (k² + 4k + 4) = 0.

Од првиот добиен фактор можеме да изведеме к. Според формулата за кратко множење, вториот фактор ќе биде идентично еднаков на (k+2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

Користејќи ја формулата за разлика од квадрати:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.

Бидејќи производот е еднаков на 0 ако барем еден од неговите фактори е нула, не е тешко да се најдат сите корени на равенката:

  1. k = 0;
  2. k - 1 = 0; k = 1;
  3. k + 1 = 0; k = -1;
  4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Врз основа на визуелни примери, можете да разберете како да запомните формули, нивните разлики, а исто така да решите неколку практични проблемикористејќи FSU. Задачите се едноставни и не треба да има потешкотии при нивното завршување.

Во претходната лекција се занимававме со факторизација. Совладавме два методи: ставање на заедничкиот фактор надвор од загради и групирање. Во оваа лекција - следниот моќен метод: скратени формули за множење. Накратко - ФСУ.

Скратените формули за множење (квадрат со збир и разлика, коцка за збир и разлика, разлика на квадрати, збир и разлика на коцки) се исклучително неопходни во сите гранки на математиката. Се користат при поедноставување изрази, решавање равенки, множење полиноми, редуцирање дропки, решавање интеграли итн. и така натаму. Накратко, постојат сите причини да се справиме со нив. Разберете од каде доаѓаат, зошто се потребни, како да ги запомните и како да ги примените.

Дали разбираме?)

Од каде потекнуваат скратените формули за множење?

Равенките 6 и 7 не се напишани на многу познат начин. Тоа е нешто спротивно. Ова е намерно.) Секоја еднаквост функционира и од лево кон десно и од десно кон лево. Овој запис појаснува од каде потекнуваат FSU.

Тие се земени од множење.) На пример:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Тоа е тоа, без научни трикови. Едноставно ги множиме заградите и даваме слични. Вака испаѓа сите скратени формули за множење. Скратеномножењето е затоа што во самите формули нема множење на загради и намалување на слични. Скратено.) Резултатот се дава веднаш.

ФСУ треба да се знае напамет. Без првите три, не можете да сонувате за Ц; без останатите, не можете да сонувате за Б или А.)

Зошто ни се потребни скратени формули за множење?

Постојат две причини за учење, па дури и запаметување, овие формули. Првиот е дека готовиот одговор автоматски го намалува бројот на грешки. Но, ова не е главната причина. Но, вториот ...

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Со цел да се поедностават алгебарските полиноми, постојат скратени формули за множење. Ги нема толку многу и лесно се паметат, но треба да ги запомните. Ознаката што се користи во формулите може да има каква било форма (број или полином).

Првата скратена формула за множење се нарекува разлика на квадрати. Се состои во одземање на квадратот на еден број од квадратот на вториот број, што е еднакво на разликата помеѓу овие броеви, како и нивниот производ.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Ајде да го погледнеме за јасност:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Втората формула е за збир на квадрати. Звучи како збирот на две величини на квадрат е еднаков на квадратот на првото количество, на него се додава двојниот производ на првата количина помножен со втората, на нив се додава квадратот на втората количина.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Благодарение на оваа формула, станува многу полесно да се пресмета квадратот на голем број, без употреба на компјутерска технологија.

Така на пример:квадратот 112 ќе биде еднаков на
1) Прво, да го разделиме 112 на броеви чии квадрати ни се познати
112 = 100 + 12
2) Резултатот го внесуваме во загради
112 2 = (100+12) 2
3) Применувајќи ја формулата, добиваме:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третата формула е квадратна разлика. Што вели дека две величини одземени една од друга во квадрат се еднакви, бидејќи од првото количество на квадрат го одземаме двојниот производ на првата количина помножен со втората, додавајќи им го квадратот на втората количина.

(а + б) 2 = a 2 - 2ab + b 2

каде што (а - б) 2 е еднакво на (б - а) 2. За да се докаже ова, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Се вика четвртата формула за скратено множење коцка од сума. Што звучи вака: две збирни количини во коцка се еднакви на коцка од 1 количество, се додава тројниот производ на 1 количество помножен со второто количество, на нив се додава тројниот производ од 1 количина помножен со квадратот од 2 количини, плус втората количина во коцки.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Петтиот, како што веќе разбравте, се вика разлика коцка. Која ги наоѓа разликите меѓу количините, бидејќи од првата нотација во коцката го одземаме тројниот производ на првата ознака во квадратот помножен со втората, на нив се додава тројниот производ на првата нотација помножен со квадратот на втората. нотација, минус втората нотација во коцката.

(а-б) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Шестиот се вика - збир на коцки. Збирот на коцките е еднаков на производот на двата додавки помножен со парцијалниот квадрат на разликата, бидејќи во средината нема двојна вредност.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Друг начин да се каже збирот на коцки е да се нарече производ во две загради.

Се вика седмиот и последен разлика на коцки(Лесно може да се помеша со формулата за коцка за разлика, но тоа се различни работи). Разликата на коцките е еднаква на производот од разликата на две количини помножена со парцијалниот квадрат од збирот, бидејќи во средината нема двојна вредност.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

И така има само 7 формули за скратено множење, тие се слични една на друга и лесно се паметат, единствено важно е да не се мешате во знаците. Тие исто така се дизајнирани да се користат во обратен редослед, а учебниците содржат доста такви задачи. Бидете внимателни и се ќе ви успее.

Ако имате прашања во врска со формулите, задолжително напишете ги во коментарите. Со задоволство ќе ви одговориме!

Ако сте на породилно отсуство, но сакате да заработите пари. Само следете ја врската Интернет бизнис со Орифлеим. Сè е напишано и прикажано таму во многу детали. Ќе биде интересно!

Во оваа лекција ќе се запознаеме со формулите за квадрат на збирот и квадратот на разликата и ќе ги изведеме. Да ја докажеме формулата за квадратот на збирот геометриски. Дополнително, ќе решиме многу различни примери користејќи ги овие формули.

Размислете за формулата за квадратот на збирот:

Значи, ја изведевме формулата за квадратот на збирот:

Вербално, оваа формула се изразува на следниов начин: квадратот на збирот е еднаков на квадратот на првиот број плус двапати од производот на првиот број со вториот плус квадратот на вториот број.

Оваа формула лесно се прикажува геометриски.

Размислете за квадрат со страна:

Површина на квадрат.

Од друга страна, истиот квадрат може различно да се претстави со делење на страната на a и b (сл. 1).

Ориз. 1. Квадрат

Тогаш површината на квадратот може да се претстави како збир на површини:

Бидејќи квадратите биле исти, нивните површини се еднакви, што значи:

Значи, геометриски ја докажавме формулата за квадратот на збирот.

Ајде да погледнеме примери:

Коментар:Примерот е решен со помош на формулата за квадрат збир.

Да ја изведеме формулата за квадратна разлика:

Значи, ја изведевме формулата за квадратната разлика:

Вербално, оваа формула се изразува на следниов начин: квадратот на разликата е еднаков на квадратот на првиот број минус двапати од производот на првиот број со вториот плус квадратот на вториот број.

Ајде да погледнеме примери:

Формулите за квадрат збир и квадратна разлика можат да работат и од лево кон десно и од десно кон лево. Кога се користат од лево кон десно, тие ќе бидат скратени формули за множење и се користат при пресметување и конвертирање на примери. И кога се користи од десно кон лево - формули за факторизација.

Ајде да погледнеме примери во кои треба да факторизирате даден полином користејќи ги формулите за квадрат збир и квадратна разлика. За да го направите ова, треба многу внимателно да го погледнете полиномот и точно да одредите како правилно да го проширите.

Коментар:За да факторингирате полином, треба да одредите што е претставено во дадениот израз. Значи, го гледаме квадратот и квадратот од едно. Сега треба да го пронајдете двојниот производ - ова е. Значи, сите потребни елементи ги има, само треба да одредите дали е квадратот на збирот или разликата. Пред двојниот производ има знак плус, што значи дека го имаме квадратот на збирот.