Значи, имаме моќ од два. Ако го земете бројот од крајната линија, лесно можете да ја пронајдете моќта на која ќе треба да подигнете два за да ја добиете оваа бројка. На пример, за да добиете 16, треба да подигнете два до четвртата сила. И за да добиете 64, треба да подигнете два на шестата сила. Ова може да се види од табелата.
И сега, всушност, дефиницијата на логаритам:
Основата на логаритам од x е моќта до која мора да се подигне a за да се добие x.
Ознака: log a x = b, каде што a е основата, x е аргументот, b е она на што всушност е еднаков логаритамот.
На пример, 2 3 = 8 ⇒ лог 2 8 = 3 (основниот 2 логаритам од 8 е три бидејќи 2 3 = 8). Со истиот успех, лог 2 64 = 6, бидејќи 2 6 = 64.
Операцијата за наоѓање на логаритам на број на дадена основа се нарекува логаритмизација. Значи, да додадеме нова линија на нашата табела:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| дневник 2 2 = 1 | дневник 2 4 = 2 | дневник 2 8 = 3 | дневник 2 16 = 4 | дневник 2 32 = 5 | дневник 2 64 = 6 |
За жал, не сите логаритми се пресметуваат толку лесно. На пример, обидете се да го најдете дневникот 2 5. Бројот 5 го нема во табелата, но логиката налага дека логаритамот ќе лежи некаде на интервалот. Бидејќи 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Таквите броеви се нарекуваат ирационални: броевите по децималната точка можат да се напишат бесконечно и никогаш не се повторуваат. Ако се покаже дека логаритамот е ирационален, подобро е да се остави така: дневник 2 5, лог 3 8, лог 5 100.
Важно е да се разбере дека логаритам е израз со две променливи (основата и аргументот). Многу луѓе на почетокот збунуваат каде е основата и каде е аргументот. За да избегнете досадни недоразбирања, само погледнете ја сликата:
[Наслов за сликата]
Пред нас не е ништо повеќе од дефиниција на логаритам. Запомнете: логаритам е моќ, во која мора да се вгради основата за да се добие аргумент. Тоа е основата што е подигната на јачина - таа е означена со црвено на сликата. Излегува дека основата е секогаш на дното! Им го кажувам ова прекрасно правило на моите ученици уште на првата лекција - и не се појавува забуна.
Ја сфативме дефиницијата - останува само да научиме како да броиме логаритми, т.е. ослободете се од знакот „дневник“. За почеток, забележуваме дека од дефиницијата произлегуваат два важни факти:
- Аргументот и основата секогаш мора да бидат поголеми од нула. Ова произлегува од дефиницијата за степенот рационален индикатор, на што се сведува дефиницијата за логаритам.
- Основата мора да биде различна од една, бидејќи една до кој било степен сè уште останува една. Поради ова, прашањето „до каква моќ треба да се подигне за да се добијат две“ е бесмислено. Таква диплома нема!
Таквите ограничувања се нарекуваат опсег на прифатливи вредности(ОДЗ). Излегува дека ODZ на логаритмот изгледа вака: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Забележете дека нема ограничувања за бројот b (вредноста на логаритамот). На пример, логаритамот може да биде негативен: log 2 0,5 = −1, бидејќи 0,5 = 2 −1.
Сепак, сега само размислуваме нумерички изрази, каде што не е потребно да се знае CVD на логаритамот. Сите ограничувања веќе се земени предвид од авторите на проблемите. Но, кога ќе одат логаритамски равенкии нееднаквости, барањата за DHS ќе станат задолжителни. На крајот на краиштата, основата и аргументот може да содржат многу силни конструкции кои не мора да одговараат на горенаведените ограничувања.
Сега да размислиме општа шемапресметување на логаритми. Се состои од три чекори:
- Основата a и аргументот x изразете ги како моќност со минимална можна основа поголема од една. На патот, подобро е да се ослободите од децимали;
- Решете ја равенката за променливата b: x = a b ;
- Резултирачкиот број b ќе биде одговорот.
Тоа е се! Ако логаритмот се покаже дека е ирационален, тоа ќе биде видливо веќе во првиот чекор. Условот основата да биде поголема од една е многу важна: ова ја намалува веројатноста за грешка и во голема мера ги поедноставува пресметките. Истото е и со децималните дропки: ако веднаш ги претворите во обични, ќе има многу помалку грешки.
Ајде да видиме како функционира оваа шема користејќи конкретни примери:
Задача. Пресметај го логаритамот: log 5 25
- Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
- Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
дневник 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Го добивме одговорот: 2.
Задача. Пресметајте го логаритамот:
[Наслов за сликата]
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 4 64
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
дневник 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Го добивме одговорот: 3.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 16 1
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
дневник 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Го добивме одговорот: 0.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 7 14
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од седум: 7 = 7 1 ; 14 не може да се претстави како сила од седум, бидејќи 7 1< 14 < 7 2 ;
- Од претходниот став следува дека логаритмот не се брои;
- Одговорот е без промена: дневник 7 14.
Мала забелешка до последен пример. Како можеш да бидеш сигурен дека некој број не е точна моќност на друг број? Многу е едноставно - само вклучете го во основни фактори. И ако таквите фактори не можат да се соберат во моќи со исти експоненти, тогаш оригиналниот број не е точна моќност.
Задача. Откријте дали бројките се точни сили: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точен степен, бидејќи има само еден множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна моќност, бидејќи има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точен степен;
35 = 7 · 5 - повторно не е точна моќност;
14 = 7 · 2 - повторно не е точен степен;
Да забележиме и дека ние самите примарни броевисе секогаш точни степени за себе.
Децимален логаритам
Некои логаритми се толку чести што имаат посебно име и симбол.
Децималниот логаритам на x е логаритам на основата 10, т.е. Моќта до која треба да се подигне бројот 10 за да се добие бројот x. Ознака: lg x.
На пример, дневник 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - итн.
Отсега натаму, кога ќе се појави фраза како „Најди lg 0.01“ во учебник, знајте дека ова не е печатна грешка. Ова е децимален логаритам. Меѓутоа, ако не сте запознаени со оваа нотација, секогаш можете да ја преработите:
лог x = дневник 10 x
Сè што е точно за обичните логаритми важи и за децималните логаритми.
Природен логаритам
Постои уште еден логаритам кој има своја ознака. На некој начин, тоа е уште поважно од децималното. Зборуваме за природниот логаритам.
Природниот логаритам на x е логаритам на основата e, т.е. моќта до која мора да се подигне бројот e за да се добие бројот x. Ознака: ln x.
Многумина ќе прашаат: кој е бројот e? Ова е ирационален број, неговата точна вредност не може да се најде и запише. Ќе ги дадам само првите бројки:
e = 2,718281828459...
Нема да навлегуваме во детали за тоа што е оваа бројка и зошто е потребна. Само запомнете дека e е основата на природниот логаритам:
ln x = log e x
Така ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - итн. Од друга страна, ln 2 е ирационален број. Во принцип, природниот логаритам на кој било рационален бројирационален. Освен, се разбира, за еден: ln 1 = 0.
За природни логаритмиважат сите правила кои се точни за обичните логаритми.
ДЕФИНИЦИЈА
Децимален логаритамнаречен логаритам на основата 10:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Овој логаритам е решението експоненцијална равенка. Понекогаш (особено во странска литература) декадниот логаритам се означува и како , иако првите две ознаки се исто така својствени за природниот логаритам.
Првите табели со децимални логаритми беа објавени од англискиот математичар Хенри Бригс (1561-1630) во 1617 година (затоа, странските научници често ги нарекуваат и декадните логаритми Бригс), но овие табели содржеа грешки. Врз основа на табелите (1783) на словенечкиот и австрискиот математичар Георг Варталомеј Вега (Јури Веха или Веховец, 1754-1802), во 1857 година германскиот астроном и геодет Карл Бремикер (1804-1877) го објавил првото издание без грешки. Со учество на рускиот математичар и учител Леонти Филипович Магнитски (Телјатин или Тељашин, 1669-1739), првите табели на логаритми беа објавени во Русија во 1703 година. Децималните логаритми беа широко користени за пресметки.
Својства на децималните логаритми
Овој логаритам ги има сите својства својствени за логаритам за произволна основа:
1. Основен логаритамски идентитет:
5. 
.
7. Транзиција кон нова база:
Децималната логаритамска функција е функција. Графикот на оваа крива често се нарекува логаритамски.
Својства на функцијата y=lg x
1) Опсег на дефиниција: .
2) Повеќекратни значења: .
3) Општа функција.
4) Функцијата е непериодична.
5) Графикот на функцијата ја сече оската x во точката .
6) Интервали на постојаност на знакот: title=" Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} 
тоа за.
Тие често го земаат бројот десет. Се повикуваат логаритми на броеви засновани на основата десет децимална. При вршење на пресметки со децимален логаритам, вообичаено е да се работи со знакот lg, но не дневник; во овој случај, бројот десет, кој ја дефинира основата, не е означен. Да, да замениме дневник 10 105да се поедностави lg105; А дневник 10 2на lg2.
За децимални логаритмитипични се истите карактеристики што ги имаат логаритмите со основа поголема од една. Имено, децималните логаритми се карактеризираат исклучиво за позитивни броеви. Децималните логаритми на броевите поголеми од еден се позитивни, а оние на броевите помали од еден се негативни; од два ненегативни броја, поголемиот е еквивалентен на поголемиот децимален логаритам, итн. Дополнително, декадните логаритми имаат карактеристични карактеристикии необични карактеристики кои објаснуваат зошто е удобно да се претпочита бројот десет како основа на логаритмите.
Пред да ги испитаме овие својства, да се запознаеме со следните формулации.
Цел број од децимален логаритам на број Асе нарекува карактеристика, а фракциониот е мантисаовој логаритам.
Карактеристики на децимален логаритам на број Ае означена како , а богомолката како (lg А}.
Да земеме, да речеме, лог 2 ≈ 0,3010 Според тоа = 0, (лог 2) ≈ 0,3010.
Слично за дневникот 543,1 ≈2,7349. Според тоа, = 2, (лог 543,1)≈ 0,7349.
Пресметката на децимални логаритми на позитивни броеви од табели е широко користена.
Карактеристични карактеристики на децималните логаритми.
Првиот знак на децималниот логаритам.не целина негативен број, претставена со еден проследен со нули, е позитивен цел број еднаков на бројот на нули во внесувањето на избраниот број .
Да го земеме дневникот 100 = 2, дневникот 1 00000 = 5.
Општо земено, ако
Тоа А= 10n , од кои добиваме
lg a = lg 10 n = n lg 10 =П.
Втор знак.Десетот логаритам на позитивна децимала, прикажан како еден со водечки нули, е - П, Каде П- бројот на нули во претставувањето на овој број, земајќи ги предвид нула цели броеви.
Ајде да размислиме , дневник 0,001 = - 3, дневник 0,000001 = -6.
Општо земено, ако
,
Тоа а= 10-n и испаѓа
лга= лг 10n =-n дневник 10 =-n
Трет знак.Карактеристиката на децималниот логаритам на ненегативен број поголем од еден е еднаква на бројот на цифри во целиот дел од овој број без една.
Да ја анализираме оваа карактеристика: 1) Карактеристиката на логаритамот lg 75.631 е еднаква на 1.
Навистина, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод
лг 10< lg 75,631 < lg 100,
1 < lg 75,631 < 2.
Ова имплицира,
дневник 75,631 = 1 +b,
Поместување на запирка во децималнадесно или лево е еквивалентно на операцијата за множење на оваа дропка со моќност од десет со цел број експонент П(позитивно или негативно). И затоа, кога децималната точка во позитивна децимална дропка е поместена налево или надесно, мантисата на децималниот логаритам на оваа дропка не се менува.
Значи, (лог 0,0053) = (лог 0,53) = (лог 0,0000053).
