Лема 1 : Ако во матрица со големина n n барем еден ред (колона) е нула, тогаш редовите (колоните) од матрицата се линеарно зависни.
Доказ:Нека првата линија е нула, тогаш
Каде а 10. Тоа е она што се бараше.
Дефиниција: Се нарекува матрица чии елементи лоцирани под главната дијагонала се еднакви на нула триаголен:
и ij = 0, i>j.
Лема 2: Детерминантата на триаголна матрица е еднаква на производот на елементите на главната дијагонала.
Доказот лесно се изведува со индукција на димензијата на матрицата.
Теорема на линеарна независност на вектори.
А)Неопходност: линеарно зависни D=0 .
Доказ:Нека бидат линеарно зависни, j=,
тоа е, има j, не сите се еднакви на нула, j=,Што a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j –матрични колони А.Нека, на пример, n¹0.
имаме a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .
Да ја замениме последната колона од матрицата Ана
A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .
Според погоре докажаното својство на детерминантата (нема да се промени ако на која било колона во матрицата се додаде друга колона помножена со број), детерминантата на новата матрица е еднаква на детерминантата на оригиналната. Но, во новата матрица една колона е нула, што значи дека, проширувајќи ја детерминантата над оваа колона, добиваме D=0, Q.E.D.
б)Адекватност:Матрица за големина n nсо линеарно независни редовисекогаш може да се сведе на триаголна форма користејќи трансформации кои не се менуваат апсолутна вредностдетерминанта. Покрај тоа, од независноста на редовите на оригиналната матрица, произлегува дека нејзината детерминанта е еднаква на нула.
1. Ако во матрицата за големина n nсо линеарно независни редови елемент а 11е еднаква на нула, потоа колоната чиј елемент a 1 j ¹ 0. Според Лема 1, таков елемент постои. Детерминантата на трансформираната матрица може да се разликува од детерминантата на оригиналната матрица само по знак.
2. Од линии со броеви i>1одземете ја првата линија помножена со дропката a i 1 /a 11. Покрај тоа, во првата колона од редови со броеви i>1ќе добиете нула елементи.
3. Да почнеме да ја пресметуваме детерминантата на добиената матрица со разложување преку првата колона. Бидејќи сите елементи во него освен првиот се еднакви на нула,
D ново = 11 нови (-1) 1+1 D 11 нови,
Каде г 11 новое детерминанта на матрица со помала големина.
Следно, да се пресмета детерминантата Д 11повторете ги чекорите 1, 2, 3 додека последната детерминанта не испадне дека е детерминанта на матрицата за големина 1 1. Бидејќи чекор 1 го менува само знакот на детерминантата на матрицата што се трансформира, а чекор 2 воопшто не ја менува вредноста на детерминантата, тогаш, до знакот, на крајот ќе ја добиеме детерминантата на оригиналната матрица. Во овој случај, бидејќи поради линеарната независност на редовите од оригиналната матрица, чекор 1 е секогаш задоволен, сите елементи на главната дијагонала ќе испаднат нееднакви на нула. Така, конечната детерминанта, според опишаниот алгоритам, е еднаква на производот на не-нула елементи лоцирани на главната дијагонала. Затоа, детерминантата на оригиналната матрица не е еднаква на нула. Q.E.D.
Додаток 2
Нека Л – линеарен простор над теренот Р . Нека А1, а2, ..., ан (*) конечен систем на вектори од Л . Вектор ВО = a1× А1 + a2× А2 + … + an× Ан (16) се нарекува Линеарна комбинација на вектори ( *), или велат дека векторот ВО линеарно изразено преку систем на вектори (*).
Дефиниција 14. Се нарекува системот на вектори (*). Линеарно зависна , ако и само ако постои ненула множество од коефициенти a1, a2, … , такво што a1× А1 + a2× А2 + … + an× Ан = 0. Ако a1× А1 + a2× А2 + … + an× Ан = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, тогаш се повикува системот (*). Линеарно независна.
Својства на линеарна зависност и независност.
10. Ако системот на вектори содржи нула вектор, тогаш тој е линеарно зависен.
Навистина, ако во системот (*) векторот A1 = 0, Тоа е 1× 0 + 0× А2 + … + 0 × Аn = 0 .
20. Ако системот на вектори содржи два пропорционални вектори, тогаш тој е линеарно зависен.
Нека А1 = Л×a2. Потоа 1× А1 -l× А2 + 0× А3 + … + 0× А N= 0.
30. Конечен систем на вектори (*) за n ³ 2 е линеарно зависен ако и само ако барем еден од неговите вектори е линеарна комбинација од преостанатите вектори од овој систем.
Þ Нека (*) е линеарно зависна. Потоа, постои ненула збир на коефициенти a1, a2, …, an, за кои a1× А1 + a2× А2 + … + an× Ан = 0 . Без губење на општоста, можеме да претпоставиме дека a1 ¹ 0. Тогаш постои A1 = ×a2× А2 + … + ×an× А N. Значи, вектор А1 е линеарна комбинација на преостанатите вектори.
Ü Нека еден од векторите (*) е линеарна комбинација на другите. Можеме да претпоставиме дека ова е првиот вектор, т.е. A1 = Б2 А2+ … + бн А N, Оттука (–1)× А1 + b2 А2+ … + бн А N= 0 , т.е. (*) е линеарно зависен.
Коментар. Користејќи го последното својство, можеме да ја дефинираме линеарната зависност и независноста на бесконечен систем на вектори.
Дефиниција 15. Векторски систем А1, а2, ..., ан , … (**) се нарекува Линеарно зависна, Ако барем еден од неговите вектори е линеарна комбинација на некои конечен бројпреостанатите вектори. Во спротивно, се повикува системот (**). Линеарно независна.
40. Конечен систем на вектори е линеарно независен ако и само ако ниту еден од неговите вектори не може линеарно да се изрази во однос на неговите преостанати вектори.
50. Ако системот на вектори е линеарно независен, тогаш кој било од неговите потсистеми е исто така линеарно независен.
60. Ако некој потсистем на даден систем на вектори е линеарно зависен, тогаш и целиот систем е линеарно зависен.
Нека се дадени два системи на вектори А1, а2, ..., ан , … (16) и В1, В2, …, Вс,… (17). Ако секој вектор на системот (16) може да се претстави како линеарна комбинација на конечен број вектори на системот (17), тогаш за системот (17) се вели дека е линеарно изразен преку системот (16).
Дефиниција 16. Двата векторски системи се нарекуваат Еквивалент , ако секој од нив е линеарно изразен преку другиот.
Теорема 9 (основна линеарна теорема на зависност).
Нека биде – два конечни системи на вектори од Л . Ако првиот систем е линеарно независен и линеарно изразен преку вториот, тогаш Н£ s.
Доказ.Да претпоставиме дека Н> С.Според условите на теоремата
|
|
Бидејќи системот е линеарно независен, еднаквост (18) Û X1=x2=…=xN= 0.Овде да ги замениме изразите на векторите: …+=0 (19). Оттука (20). Условите (18), (19) и (20) се очигледно еквивалентни. Но (18) е задоволен само кога X1=x2=…=xN= 0.Ајде да откриеме кога еднаквоста (20) е вистина. Ако сите негови коефициенти се нула, тогаш очигледно е точно. Изедначувајќи ги на нула, го добиваме системот (21). Бидејќи овој систем има нула, тогаш тоа е |
(21)зглоб Бидејќи бројот на равенки повеќе бројнепознати, тогаш системот има бесконечно многу решенија. Затоа, има не-нула X10, x20, ..., xN0. За овие вредности, еднаквоста (18) ќе биде вистинита, што е во спротивност со фактот дека системот на вектори е линеарно независен. Значи, нашата претпоставка е погрешна. Оттука, Н£ s.
Последица.Ако два еквивалентни системи на вектори се конечни и линеарно независни, тогаш тие содржат ист број вектори.
Дефиниција 17. Векторскиот систем се нарекува Максимален линеарно независен систем на вектори Линеарен простор Л , ако е линеарно независен, но при додавање на кој било вектор од Л , кој не е вклучен во овој систем, тој станува линеарно зависен.
Теорема 10. Било кои два конечни максимални линеарно независни системи на вектори од Л Содржи ист број вектори.
Доказпроизлегува од фактот дека кои било два максимални линеарно независни системи на вектори се еквивалентни .
Лесно е да се докаже дека секој линеарно независен систем на просторни вектори Л може да се прошири до максимален линеарно независен систем на вектори во овој простор.
Примери:
1. Во множеството на сите колинеарни геометриски векторисекој систем кој се состои од еден ненулти вектор е максимално линеарно независен.
2. Во множеството од сите компланарни геометриски вектори, кои било два неколинеарни вектори сочинуваат максимален линеарно независен систем.
3. Во множеството од сите можни геометриски вектори на тродимензионалниот Евклидов простор, секој систем од три некомпланарни вектори е максимално линеарно независен.
4. Во множеството од сите полиноми, степените не се повисоки од НСо реални (комплексни) коефициенти, систем на полиноми 1, x, x2, ... , xnМаксимално е линеарно независен.
5. Во множеството од сите полиноми со реални (комплексни) коефициенти, примери на максимален линеарно независен систем се
А) 1, x, x2, ... , xn, ... ;
б) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)Н, ...
6. Множество матрици за димензии М´ Не линеарен простор (проверете го ова). Пример за максимален линеарно независен систем во овој простор е матричниот систем Е11= , Е12 =, ..., ЕМн = .
Нека е даден систем на вектори C1, c2, ..., сп (*). Се нарекува потсистемот вектори од (*). Максимална линеарно независна ПодсистемСистеми ( *) , ако е линеарно независен, но кога се додава кој било друг вектор од овој систем на него, тој станува линеарно зависен. Ако системот (*) е конечен, тогаш кој било од неговите максимални линеарно независни потсистеми содржи ист број вектори. (Докажете сами). Се повикува бројот на вектори во максимално линеарно независен потсистем на системот (*). Ранг Овој систем. Очигледно, еквивалентни системи на вектори имаат исти рангови.
Следниве даваат неколку критериуми за линеарна зависност и, соодветно, линеарна независност на векторските системи.
Теорема. (Неопходен и доволен услов за линеарна зависност на вектори.)
Систем на вектори е зависен ако и само ако еден од векторите на системот е линеарно изразен преку другите од овој систем.
Доказ. Неопходност. Нека системот е линеарно зависен. Тогаш, по дефиниција, нетривијално го претставува нултиот вектор, т.е. постои нетривијална комбинација на овој систем на вектори еднаков на нултиот вектор:
каде што барем еден од коефициентите на оваа линеарна комбинација не е еднаков на нула. Нека,.
Ајде да ги поделиме двете страни на претходната еднаквост со овој коефициент кој не е нула (т.е. помножи со:
Да означиме: , каде .
тие. еден од векторите на системот линеарно се изразува преку другите од овој систем итн.
Адекватност. Нека еден од векторите на системот е линеарно изразен преку другите вектори на овој систем:
Да го поместиме векторот надесно од оваа еднаквост:
Бидејќи коефициентот на векторот е еднаков на , тогаш имаме нетривијално претставување на нула со систем на вектори, што значи дека овој систем на вектори е линеарно зависен итн.
Теоремата е докажана.
Последица.
1. Векторски систем векторски просторе линеарно независен ако и само ако ниту еден од векторите на системот не е линеарно изразен во однос на другите вектори на овој систем.
2. Систем на вектори што содржи нула вектор или два еднакви вектори е линеарно зависен.
Доказ.
1) неопходност. Нека системот е линеарно независен. Да го претпоставиме спротивното и постои вектор на системот кој линеарно се изразува преку другите вектори на овој систем. Тогаш, според теоремата, системот е линеарно зависен и доаѓаме до контрадикција.
Адекватност. Нека ниту еден од векторите на системот не се изразува во однос на другите. Да го претпоставиме спротивното. Нека системот е линеарно зависен, но тогаш од теоремата произлегува дека постои вектор на системот кој линеарно се изразува преку другите вектори на овој систем и повторно доаѓаме до контрадикција.
2а) Нека системот содржи нула вектор. За дефинитивноста да претпоставиме дека векторот :. Тогаш еднаквоста е очигледна
тие. еден од векторите на системот линеарно се изразува преку другите вектори на овој систем. Од теоремата произлегува дека таквиот систем на вектори е линеарно зависен итн.
Забележете дека овој факт може да се докаже директно од линеарно зависен систем на вектори.
Бидејќи , следнава еднаквост е очигледна
Ова е нетривијална претстава на нула векторот, што значи дека системот е линеарно зависен.
2б) Нека системот има два еднакви вектори. Дозволете за. Тогаш еднаквоста е очигледна
Оние. првиот вектор линеарно се изразува преку преостанатите вектори од истиот систем. Од теоремата произлегува дека овој системлинеарно зависни итн.
Слично на претходната, оваа изјава може да се докаже директно со дефиниција на линеарно зависен систем. Тогаш овој систем нетривијално го претставува нултиот вектор
од каде следи линеарната зависност на системот.
Теоремата е докажана.
Последица. Систем кој се состои од еден вектор е линеарно независен ако и само ако овој вектор е ненула.
3.3. Линеарна независност на вектори. Основа.Линеарна комбинација векторски системи
наречен вектор
каде што 1, a 2, ..., a n - произволни броеви.
Ако сите и = 0, тогаш се повикува линеарната комбинација тривијални . Во овој случај, очигледно
Дефиниција 5.
|
Ако за систем на вектори
постои нетривијална линеарна комбинација (барем една ai¹ 0) еднаков на векторот нула: тогаш се нарекува системот на вектори линеарна зависни. Ако еднаквоста (1) е можна само во случај кога сите а јас =0, тогаш се нарекува системот на вектори линеарна независна . |
Теорема 2 (Услови на линеарна зависност).
Дефиниција 6.
Од теорема 3 произлегува дека ако е дадена основа во просторот, тогаш со додавање на произволен вектор на неа, добиваме линеарно зависен систем на вектори. СпоредТеорема 2 (1) , еден од нив (може да се покаже дека векторот) може да се претстави како линеарна комбинација од другите:
.
Дефиниција 7.
|
Броеви се нарекуваат координати вектори во основата (означува
|
Ако векторите се разгледаат на рамнината, тогаш основата ќе биде подреден пар на неколинеарни вектори
а координатите на векторот во оваа основа се пар броеви:
Забелешка 3. Може да се покаже дека за дадена основа, координатите на векторот се одредуваат единствено . Од ова, особено, произлегува дека ако векторите се еднакви, тогаш нивните соодветни координати се еднакви и обратно .
Така, ако основата е дадена во празно место, тогаш секој вектор на просторот одговара на подредена тројка од броеви (координати на векторот во оваа основа) и обратно: секоја тројка од броеви одговара на вектор.
На рамнината, се воспоставува слична кореспонденција помеѓу вектори и парови на броеви.
Теорема 4 (Линеарни операции преку векторски координати).
|
Ако по некоја основа И а е произволен број, тогаш во оваа основа |
Со други зборови:
Кога векторот се множи со број, неговите координати се множат со тој број ;
при собирање вектори се додаваат нивните соодветни координати .
Пример 1 . Во некоја основа векторитеимаат координати
Покажете дека векторите формираат основа и пронајдете ги координатите на векторот во оваа основа.
Векторите формираат основа ако се некомпланарни, затоа (во согласност соод теорема 3(2) ) се линеарно независни.
По дефиниција 5 тоа значи дека еднаквоста
можно само акоx = y = z = 0.
Деф Множеството w се нарекува линеарен простор, а неговиот елемент. -вектори ако:
*законот е наведен (+) според кат. кои било два елементи x, y од w се поврзани со елемент наречен. нивниот збир [x + y]
*даден е закон (* за бројот a), според cat елементот x од w и a, се споредува елемент од w, наречен производ на x и a [ax];
* завршено
следните барања (или аксиоми):
Трага c1. нула вектор (ctv 0 1 и 0 2. од a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 и 0 1 + 0 2 = 0 1. од a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)
в2.
.(ctv, a4)
c3. 0 вект.(a7)
в4. a(број)*0=0.(a6,c3)
c5.
x (*) -1 =0 вектор, спротивно на x, т.е. (-1)x = -x. (a5,a6) в6. Во w се дефинира дејството на одземање: векторот x се нарекува разлика на векторите b и a, ако x + a = b, и се означува x = b - a.Број n повикани Л димензија Л лин. пр-а в6. Во w се дефинира дејството на одземање: векторот x се нарекува разлика на векторите b и a, ако x + a = b, и се означува x = b - a., доколку во в6. Во w се дефинира дејството на одземање: векторот x се нарекува разлика на векторите b и a, ако x + a = b, и се означува x = b - a.постои систем на Л= в6. Во w се дефинира дејството на одземање: векторот x се нарекува разлика на векторите b и a, ако x + a = b, и се означува x = b - a.лин. незав. вектори и кој било систем на Л +1 вектор - лин. зависни слабо
. Простор наречен n-димензионален.
Нарачана колекција од n линии. незав. вектори n димензионални независни. простор - основаТеорема. Секој вектор X може да биде претставен
единствениот начин во вид на линеарни комбинации на базични векториНека (1) е основа на n-димензионална линеарна. пр-ва В 1.
, т.е. збирка од линеарно независни вектори. Множеството вектори ќе биде линеарно. зависни, бидејќи нивните
n+ Оние. има броеви кои не се сите еднакви на нула во исто време, каква врска има тоа (инаку (1) се линеарно зависни). Потоакаде е векторското разложување
x
по основа(1) .
Овој израз е единствен, бидејќи ако постои друг израз (**)
одземање на еднаквоста (**) од (*),
добиваме
Бидејќи
се линеарно независни, тогаш . Chtd
Теорема. Ако - лин. независни вектори на просторот V и секој вектор x од V може да се претстават преку , тогаш овие вектори формираат основа на V
№4Doc: (1)-lin.independent =>документот останува линеарно-независен. Според конвенцијата Секој вектор a се изразува преку (1): , разгледај , rang≤n => меѓу колоните не повеќе од n се линеарно независни, но m > n=> m колоните се линеарно зависни => s=1, nОдносно, векторите се линеарно зависни
Така, просторот V е n-димензионален и (1) неговата основа
Деф.
Подмножество L lin. производство V се нарекува lin. конд. на овој простор ако, во однос на операциите (+) и (*a) наведени во V, потпросторот L е линеарен простор Теорема Множеството l вектори на просторот V е линеарно. Изведува потпростор од овој простор(напред) нека (1) и (2) се задоволени, за L да биде поедноставно.V останува да се докаже дека се задоволени сите аксиоми на lin. пр-ва.
(-x): -x+x=0
г
Doc: (1)-lin.independent =>документот останува линеарно-независен. Според конвенцијата Секој вектор a се изразува преку (1): , разгледај , rang≤n => меѓу колоните не повеќе од n се линеарно независни, но m > n=> m колоните се линеарно зависни => s=1, n. a(x + y) = секира + ay;
Теорема(а-б) и (е-ж) следува од валидноста на V, да докажеме (в) (нужност) Нека L е lin. потпросторот на овој простор, тогаш (1) и (2) се задоволуваат врз основа на дефиницијата на линии. пр-ва даден систем на вектори лини. пр е линеарен подпр на овој пр. )
ОДА.Непразно подмножество од вектори на L права. производство V се нарекува lin. потпростор ако:
а) збирот на кои било вектори од L припаѓа на L
б) производот на секој вектор од L по кој било број му припаѓа на L
Збир од два потпросториЛповторно е потпросторЛ
1) Нека y 1 +y 2 (L 1 +L 2)<=>y 1 =x 1 +x 2, y 2 =x’ 1 +x’ 2, каде што (x 1, x’ 1) L 1, (x 2, x’ 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), каде што (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => првиот услов на линеарен потпростор е задоволен.
ay 1 =ax 1 +ax 2, каде што (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => затоа што (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => се исполнети условите => L 1 +L 2 е линеарен потпростор.
Пресек на две поделбиЛ 1 ИЛ 2 лин. пр-ваЛ е исто така супсп. овој простор.
Размислете за два произволни вектори Потоа,y, кои припаѓаат на пресекот на потпростори и два произволни броја а,б:.
Според деф. пресеци на множества:
=> по дефиниција за потпростор на линеарен простор:,.
вектор Т.К секира + од страна наим припаѓа на многумина Л 1, и многу Л 2, тогаш припаѓа, по дефиниција, на пресекот на овие множества. Така:
ОДА.Велат дека V е директен збир на неговите поделби. ако и б) ова разложување е единствено
б")Да покажеме дека б) е еквивалентно на b’)
Кога б) е точно б')
Секакви (М, Н) од се сечат само по нултиот вектор
Нека ∃ z ∈
Фер враќањеЛ=
контрадикторност
Теорема До (*) е неопходен и доволен за соединување на базите ( ја формираа основата на просторот
(Задолжително)нека (*) и вектори се бази на подмножества. и има проширување во ;
(x се проширува над основата L, за да се тврди дека ( претставуваат основа, потребно е да се докаже нивната линеарна независност; сите тие содржат 0 0=0+...+0. Поради уникатноста на проширувањето на 0 над : => поради линеарната независност на основата => ( – основаВон.)
Нека ( ја формира основата на L единствено распаѓање (**) постои барем едно распаѓање. Според единственост (*) => единственост (**)
Коментар. Димензијата на директната сума е еднаква на збирот на димензиите на потпросторот
Секоја квадратна матрица што не е единствена може да послужи како преодна матрица од една основа во друга Нека во n димензионалналинеарен простор
V има две основи и
(1) =A , каде што елементите * и ** не се броеви, но ќе прошириме одредени операции на нумеричка матрица на такви редови.
Бидејќи во спротивно векторите ** би биле линеарно зависниНазад.
Ако тогаш колоните од А се линеарно независни =>образуваат основа И Координати поврзани по однос , Каде
Нека се знае разградувањето на елементите на „новата“ основа во „старата“.
Тогаш еднаквостите се вистинити
Но, ако линеарна комбинација на линеарно независни елементи е 0 тогаш =>
Основна линеарна теорема на зависност
Ако (*) линеарно се изразува преку (**) Тоав6. Во w се дефинира дејството на одземање: векторот x се нарекува разлика на векторите b и a, ако x + a = b, и се означува x = b - a.<= м
Да докажеме со индукција на m
m=1: системот (*) содржи 0 и лини. менаџер - невозможно
нека е точно за m=k-1
да докажеме за m=k
Може да испадне дека 1), т.е. v-ry (1) се lin.comb. лин. во-ров (2)Систем (1) линеарен несигурен, бидејќи е дел од лин.незав. системи (*). Бидејќи во системот (2) има само k-1 вектори, тогаш со индукциската хипотеза добиваме k+1
