Знаците на припадност се добро познати од курсот за планиметрија. Наша задача е да ги разгледаме во однос на проекциите на геометриските објекти.

Точката припаѓа на рамнина ако припаѓа на права што лежи во оваа рамнина.

Припаѓањето на права рамнина се одредува со еден од двата критериуми:

а) права линија поминува низ две точки што лежат во оваа рамнина;

б) права минува низ точка и е паралелна со правите што лежат во оваа рамнина.

Користејќи ги овие својства, да го решиме проблемот како пример. Нека рамнината е дефинирана со триаголник ABC. Потребно е да се конструира проекцијата што недостасува Д 1 поен Дкои припаѓаат на овој авион. Редоследот на конструкциите е како што следува (сл. 2.5).

Ориз. 2.5. Да се ​​конструираат проекции на точка што припаѓа на рамнина

Преку точка Д 2 вршиме праволиниска проекција г, лежејќи во авионот ABC, вкрстувајќи една од страните на триаголникот и точката А 2. Тогаш точката 1 2 припаѓа на линиите А 2 Д 2 и В 2 ВО 2. Затоа, можеме да ја добиеме нејзината хоризонтална проекција 1 1 на В 1 ВО 1 преку комуникациска линија. Поврзувачки точки 1 1 и А 1, добиваме хоризонтална проекција г 1 . Јасно е дека поентата Д 1 му припаѓа и лежи на линијата на проекциска врска со точката Д 2 .

Проблемите за одредување дали точка или права рамнина припаѓа се решаваат многу едноставно. На сл. Слика 2.6 го прикажува напредокот во решавањето на ваквите проблеми. За јасност на приказот на проблемот, ја дефинираме рамнината со триаголник.

Ориз. 2.6. Проблеми за одредување дали точката припаѓа на права рамнина.

Со цел да се утврди дали точка припаѓа Ерамнина ABC, повлечете права линија низ неговата фронтална проекција E 2 А 2. Претпоставувајќи дека права линија a припаѓа на рамнината ABC, да ја конструираме нејзината хоризонтална проекција А 1 на пресечните точки 1 и 2. Како што гледаме (сл. 2.6, а), право А 1 не поминува низ точката Е 1 . Затоа, поентата Е ABC.

Во проблемот на припадност на линија Втриаголни рамнини ABC(Сл. 2.6, б), доволно е да се користи една од праволиниските проекции В 2 изгради друга В 1 * со оглед на тоа В ABC. Како што гледаме, В 1* и В 1 не се совпаѓаат. Затоа, директно В ABC.

2.4. Линии на ниво во рамнина

Дефиницијата на линии на ниво беше дадена претходно. Линиите на нивоа кои припаѓаат на дадена рамнина се нарекуваат главен . Овие линии (прави линии) играат значајна улога во решавањето на голем број проблеми од описната геометрија.

Ајде да размислиме за изградба на линии на ниво во рамнината дефинирана со триаголникот (сл. 2.7).

Ориз. 2.7. Конструирање на главните линии на рамнина дефинирана со триаголник

Хоризонтална рамнина ABCзапочнуваме со цртање на неговата фронтална проекција ч 2, за која се знае дека е паралелна со оската О. Бидејќи оваа хоризонтална линија припаѓа на оваа рамнина, таа поминува низ две точки на рамнината ABC, имено, поени Аи 1. Имајќи ги нивните фронтални проекции А 2 и 1 2, преку линијата за комуникација добиваме хоризонтални проекции ( А 1 веќе постои) 1 1 . Поврзување на точките А 1 и 1 1 , имаме хоризонтална проекција ч 1 хоризонтална рамнина ABC. Проекцијата на профилот ч 3 хоризонтални рамнини ABCќе биде паралелно со оската Оа-приоритет.

Преден авион ABCе конструиран на сличен начин (сл. 2.7) со единствена разлика што неговото цртање започнува со хоризонтална проекција ѓ 1, бидејќи е познато дека е паралелна со оската OX. Проекцијата на профилот ѓ 3 фронта мора да бидат паралелни со оската OZ и да минуваат низ проекциите СО 3, 2 3 од истите точки СОи 2.

Линија на профилот на авионот ABCима хоризонтална Р 1 и напред Р 2 проекции паралелни со оските OYИ ОЗ, и проекцијата на профилот Р 3 може да се добие од предната страна користејќи пресечни точки ВОи 3 с ABC.

Кога ги конструирате главните линии на рамнината, треба да запомните само едно правило: за да го решите проблемот секогаш треба да добиете две точки на пресек со дадена рамнина. Изградбата на главните линии што лежат во рамнина дефинирана на поинаков начин не е покомплицирана отколку што беше дискутирано погоре. На сл. Слика 2.8 ја прикажува конструкцијата на хоризонталната и фронталната рамнина дефинирана со две вкрстени права АИ В.

Ориз. 2.8. Конструкција на главните линии на рамнина дефинирана со вкрстување на прави линии.

Точката и линијата се основни геометриски формина површината.

Дефиницијата за точка и линија не е воведена во геометријата; овие концепти се разгледуваат на интуитивно концептуално ниво.

Точките се означени со големи (големи, големи) латински букви: A, B, C, D, ...

Директните линии се означуваат со една мала (мала) латинска буква, на пример,

- директно а.

Правата линија се состои од бесконечен број точки и нема почеток ниту крај. Сликата прикажува само дел од правата линија, но се подразбира дека таа се протега бесконечно далеку во просторот, продолжувајќи бесконечно во двете насоки.

Се вели дека точките што лежат на линија припаѓаат на оваа линија. Припадноста се означува со знакот ∈. Се вели дека точките надвор од линијата не припаѓаат на оваа линија. Знакот „не припаѓа“ е ∉.

На пример, точката Б припаѓа на линијата a (напиши: B∈a),

точката F не припаѓа на правата a, (напиши: F∉a).

Основни својства на припадност на точки и прави на рамнина:

Без оглед на правата, има точки кои припаѓаат на оваа права и точки кои не припаѓаат на неа.

Низ кои било две точки можете да нацртате права линија, и тоа само една.

Линиите се означуваат и со две големи латински букви, по имињата на точките што лежат на линијата.

- директно АБ.

- оваа линија може да се нарече MK или MN или NK.

Две линии може или не мора да се сечат. Ако линиите не се сечат, немаат заеднички точки. Ако линиите се сечат, тие имаат една заедничка точка. Знак за премин - ∩ .

На пример, правите a и b се сечат во точката O

(Напиши ∩ b=O).

Правите c и d исто така се сечат, иако нивната пресечна точка не е прикажана на сликата.

Ориз. 3.2Релативна положба на линиите

Линиите во просторот можат да заземат една од трите позиции една во однос на друга:

1) да биде паралелен;

2) се вкрстуваат;

3) вкрстуваат.

Паралелносе нарекуваат прави кои лежат во иста рамнина и немаат заеднички точки.

Ако линиите се паралелни една со друга, тогаш на CN нивните проекции со исто име се исто така паралелни (види дел 1.2).

Се вкрстуваатсе нарекуваат прави кои лежат во иста рамнина и имаат една заедничка точка.

За линиите што се вкрстуваат на CN, истоимените проекции се сечат во проекциите на точката А. Покрај тоа, фронталните () и хоризонталните () проекции на оваа точка мора да бидат на иста комуникациска линија.

Вкрстувањесе нарекуваат прави кои лежат во паралелни рамнини и немаат заеднички точки.

Ако линиите се сечат, тогаш на CN нивните проекции со исто име може да се сечат, но точките на пресек на истоимените проекции нема да лежат на истата линија за поврзување.

На сл. 3,4 поени СОприпаѓа на линијата б, и точка Д- директно А. Овие точки се на исто растојание од фронталната рамнина на проекции. Слично на точка ЕИ Фприпаѓаат на различни линии, но се на исто растојание од хоризонталната рамнина на проекции. Затоа, на CN нивните фронтални проекции се совпаѓаат.

Постојат два можни случаи на локација на точка во однос на рамнината: точката може да припаѓа на рамнината или да не припаѓа на неа (сл. 3.5).

Знак за припадност на точка и права рамнина:

Точката му припаѓа на авионот, ако припаѓа на линија што лежи во оваа рамнина.

Правата линија припаѓа на рамнината, ако има две заеднички точки со неа или има една заедничка точка со неа и е паралелна со друга права што лежи во оваа рамнина.

На сл. 3.5 покажува рамнина и точки ДИ Е. Точка Дприпаѓа на авионот затоа што припаѓа на линијата л, кој има две заеднички точки со оваа рамнина - 1 И А. Точка Ене припаѓа на авионот, бидејќи невозможно е да се повлече права линија низ неа што лежи во дадена рамнина.

На сл. 3.6 покажува рамнина и права линија т, лежејќи во овој авион, бидејќи има заедничка точка со неа 1 и паралелно со правата А.


На Декартов производ, каде што M е збир на точки, воведуваме релација од 3 места d. Ако подредена тројка точки (A, B, C) припаѓа на оваа релација, тогаш ќе кажеме дека точката B лежи помеѓу точките A и C и ќе ја користиме ознаката: A-B-C. Воведената релација мора да ги задоволува следните аксиоми:

Ако точката Б лежи помеѓу точките A и C, тогаш A, B, C се три различни точки на иста права, а B лежи помеѓу C и A.

Какви и да се точките А и Б, има барем една точка C таква што Б лежи помеѓу А и В.

Помеѓу трите точки на линијата, има најмногу една што се наоѓа помеѓу другите две.

За да се формулира последната, четврта аксиома од втората група, погодно е да се воведе следниот концепт.

Дефиниција 3.1. Под отсечка (според Хилберт) подразбираме пар точки AB. Точките А и Б ќе ги наречеме краеви на отсечката, точките што лежат меѓу неговите краеви - внатрешни точки на отсечката или едноставно точки на отсечката и точките на правата линија AB кои не лежат меѓу краевите А и Б - надворешните точки на сегментот.

. (Аксиома на Паш) Нека A, B и C се три точки кои не лежат на иста права, а l е права линија на рамнината ABC што минува низ овие точки. Потоа, ако права линија l поминува низ точка на отсечка AB, тогаш таа содржи или точка на отсечка AC или точка на отсечка BC.

Од аксиомите на првата и втората група следува доста многу. геометриски својстваточки, линии и отсечки. Може да се докаже дека секоја отсечка има најмалку една внатрешна точка, меѓу три точки на правата секогаш има една и само една лежи помеѓу две други, помеѓу две точки на права секогаш има бесконечно многу точки, што значи дека има бесконечно многу точки на една линија. Исто така, може да се докаже дека изјавата за аксиомата на Паш е вистинита и за точките што лежат на иста права: ако точките A, B и C припаѓаат на иста права, правата l не поминува низ овие точки и пресекува една од отсечките. , на пример, AB во внатрешната точка, тогаш ја сече или отсечката AC или отсечката BC во внатрешна точка. Забележете исто така дека од аксиомите на првата и втората група не произлегува дека множеството точки на правата е неброено. Ние нема да обезбедиме докази за овие тврдења. Читателот може да се запознае со нив во прирачниците, и. Ајде внимателно да ја разгледаме главната геометриски концепти, имено зрак, полурамнина и полупростор, кои се воведени со користење на аксиомите на членство и ред.

Следната изјава е вистинита:

Точката O од правата l го дели множеството преостанати точки од оваа права на две непразни подмножества така што за било кои две точки A и B кои припаѓаат на истото подмножество, точката O е надворешна точка на отсечката AB, а за која било две точки C и D кои припаѓаат на различни подмножества, точката O е внатрешна точка на отсечката CD.

Секое од овие подмножества се нарекува зракправа линија l со почеток во точката O. Зраците ќе се означат со h, l, k, ...OA, OB, OC,..., каде што O е почеток на зракот, а A, B и C се точките на зракот. Доказот за оваа изјава ќе го дадеме подоцна, во делот 7, но користејќи различна аксиоматика на тридимензионалниот Евклидов простор. Концептот на зрак ни овозможува да го дефинираме најважниот геометриски објект - агол.

Дефиниција 3.2.Под агол (според Хилберт) подразбираме пар зраци h и k кои имаат заедничко потекло O и не лежат на иста права линија.

Точката O се нарекува теме на аголот, а зраците h и k се неговите страни. За агли ќе ја користиме ознаката . Да го разгледаме најважниот концепт на елементарната геометрија - концептот на полу-рамнина.

Теорема 3.1.Права a што лежи во рамнината a го дели своето множество точки што не припаѓаат на правата на две непразни подмножества, така што ако точките A и B припаѓаат на истото подмножество, тогаш отсечката AB нема заеднички точки со правата l , и ако точките A и B припаѓаат на различни подмножества, тогаш отсечката AB ја пресекува правата l во нејзината внатрешна точка.

Доказ.Во доказот ќе го користиме следново својство на релацијата еквивалентност. Ако на одредено множество се воведе бинарна релација, која е еквивалентна релација, т.е. ги задоволува условите на рефлексивност, симетрија и транзитивност, тогаш целото множество се дели на дисјунктни подмножества - класи на еквивалентност, а кои било два елементи припаѓаат на иста класа ако и само ако се еквивалентни.

Да го разгледаме множеството точки на рамнината што не припаѓаат на права линија a. Ќе претпоставиме дека две точки A и B се во бинарна релација d: AdB ако и само ако нема внатрешни точки на отсечката AB што припаѓаат на правата a. Ајде исто така да размислиме Тоа значи дека секоја точка е во бинарна врска d со себе. Да покажеме дека за која било точка А што не припаѓа на правата a, постојат точки различни од А, и оние што се и оние што не се во бинарна врска со неа. Дозволете ни да избереме произволна точка P на права линија a (види слика 6). Потоа, во согласност со аксиомата, постои точка B на правата AP таква што P-A-B. Правата AB го сече a во точката P, која не лежи помеѓу точките A и B, затоа точките A и B се во релацијата d. Во согласност со истата аксиома, постои точка C таква што A-R-C. Според тоа, точката P лежи помеѓу A и C, точките A и C не се во врска со d.

Да докажеме дека релацијата d е еквивалентна релација. Условот на рефлексивност очигледно е задоволен поради дефинирањето на бинарната релација d: AdA. Нека точките A и B се во релација d. Тогаш нема точки на права а на отсечката AB. Следи дека нема точки на правата a на отсечката BA, затоа BdA, релацијата на симетрија е задоволена. Конечно, нека се дадени три точки A, B и C, така што AdB и BdC. Да покажеме дека точките A и C се во бинарна релација d. Да претпоставиме дека спротивното, на отсечката AC има точка P од права линија a (сл. 7). Потоа, врз основа на аксиомата, аксиомата на Паш, правата линија a ја сече отсечката BC или отсечката AB (на Сл. 7 права линија a ја пресекува отсечката BC). Дојдовме до контрадикција, бидејќи од условите АdВ и ВdС произлегува дека правата а не ги пресекува овие отсечки. Така, релацијата d е еквивалентна релација и таа го дели множеството точки на рамнината што не припаѓаат на правата a на класи на еквивалентност.

Да провериме дали има точно две такви класи на еквивалентност. За да го направите ова, доволно е да се докаже дека ако точките A и C и B и C не се еквивалентни, тогаш точките A и B, пак, се еквивалентни една на друга. Бидејќи точките A и C и B и C не се во еквивалентната релација d, права линија a ги пресекува отсечките AC и BC во точките P и Q (види слика 7). Но, тогаш, врз основа на аксиомата на Паш, оваа права не може да го пресече сегментот AB. Според тоа, точките А и Б се еквивалентни една на друга. Теоремата е докажана.

Се повикува секоја од класите на еквивалентност дефинирани во теорема 3.2 полу-рамнина.Така, секоја права линија на авион ја дели на две полурамнини, за кои служи граница.

Слично на концептот на полурамнина, воведен е концептот на полупростор. Докажана е теорема, која вели дека секоја рамнина a од просторот ги дели точките во просторот на две множества. Отсечка чии краеви се точки од едно множество нема заеднички точки со рамнината a. Ако краевите на сегментот припаѓаат на различни множества, тогаш таков сегмент има рамна точка a како внатрешност. Доказот за оваа изјава е сличен на доказот на теоремата 3.2; ние нема да го презентираме.

Дозволете ни да го дефинираме концептот на внатрешна точка на агол. Нека е даден аголот. Размислете за правата линија ОА што го содржи зракот ОА, страната на овој агол. Јасно е дека точката на зракот OB припаѓа на истата полурамнина во однос на правата линија ОА. Слично на тоа, точките на зракот ОА, страните на даден агол, припаѓаат на истата полурамнина b, чија граница е директно ОБ (сл. 8). Се викаат точките кои припаѓаат на пресекот на полурамнините a и b внатрешни точкиагол. На слика 8, точката М е внатрешна точка. Множеството од сите внатрешни точки на аголот се нарекува негово внатрешна област. Зрак чие теме се совпаѓа со темето на аголот и чии точки се внатрешни се нарекува внатрешен зракагол. Слика 8 го прикажува внатрешниот зрак h на аголот AOB.

Следниве изјави се вистинити.

10 . Ако зракот што започнува од темето на аголот содржи барем една од неговите внатрешни точки, тогаш тоа е внатрешен зрак на овој агол.

20 . Ако краевите на сегментот се наоѓаат на две различни страни на аголот, тогаш секоја внатрешна точка на отсечката е внатрешна точка на аголот.

триесет. Секој внатрешен зрак на аголот пресекува отсечка чии краеви се на страните на аголот.

Доказите на овие искази ќе ги разгледаме подоцна, во став 5. Користејќи ги аксиомите од втората група, се дефинираат концептите скршена линија, триаголник, многуаголник, концептот на внатрешна област на едноставен многуаголник и се докажува дека едноставен многуаголник ја дели рамнината на два региони, внатрешен и надворешен од него.

Третата група Хилбертови аксиоми на тродимензионалниот Евклидов простор се состои од таканаречените конгруентни аксиоми. Нека S е множество од отсечки, A збир на агли. На декартовските производи ќе воведеме бинарни односи, кои ќе ги наречеме конгруентна релација.

Забележете дека релацијата воведена на овој начин не е однос на главните објекти на разгледуваната аксиоматика, т.е. точки на прави и рамнини. Третата група на аксиоми може да се воведе само кога се дефинирани поимите отсечка и агол, т.е. беа воведени првата и втората група на Хилбертовите аксиоми.

Исто така, да се согласиме складните отсечки или агли да ги нарекуваме исто така геометриски еднакви или едноставно еднакви отсечки или агли; терминот „складен“, во случај кога тоа не води до недоразбирања, ќе се замени со терминот „еднаков“ и ќе се означи со симбол „=“.