03.10.2020

Формули за синус и косинус на збирот на аргументи. Збирот и разликата на синусите и косинусите: изведување на формули, примери. Примери за решавање на практични проблеми

Формулите за збир и разлика на синусите и косинусите за два агли α и β ни овозможуваат да се движиме од збирот на овие агли до производот на аглите α + β 2 и α - β 2. Веднаш да забележиме дека не треба да ги мешате формулите за збир и разлика на синусите и косинусите со формулите за синусите и косинусите на збирот и разликата. Подолу ги наведуваме овие формули, ги даваме нивните изводи и прикажуваме примери за примена за конкретни проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формули за збир и разлика на синуси и косинуси

Ајде да запишеме како изгледаат формулите за збир и разлика за синусите и косинусите

Формули за збир и разлика за синуси

грев α + грев β = 2 грев α + β 2 cos α - β 2 грев α - грев β = 2 грев α - β 2 cos α + β 2

Формули за збир и разлика за косинусите

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 грев α + β 2 · β - α 2

Овие формули важат за сите агли α и β. Аглите α + β 2 и α - β 2 се нарекуваат полусума и полуразлика на аглите алфа и бета, соодветно. Да ја дадеме формулацијата за секоја формула.

Дефиниции на формули за збирови и разлики на синуси и косинуси

Збир на синуси од два аглие еднаков на двапати од производот на синусот од полу-збирот на овие агли и косинусот на полу-разликата.

Разлика на синусите од два аглие еднаков на двапати од производот на синусот на полуразликата на овие агли и косинусот на полу-збирот.

Збир на косинуси од два аглие еднаков на двапати од производот на косинусот на полусумата и косинусот на полуразликата на овие агли.

Разлика на косинусите од два аглие еднаков на двапати од производот на синусот на полусумата и косинусот на полуразликата на овие агли, земени со негативен знак.

Изведување формули за збир и разлика на синуси и косинуси

За да се изведат формули за збир и разлика на синус и косинус на два агли, се користат формули за собирање. Да ги наведеме подолу

грев (α + β) = грев α · cos β + cos α · грев β sin (α - β) = грев α · cos β - cos α · грев β cos (α + β) = cos α · cos β - грев α sin β cos (α - β) = cos α cos β + грев α sin β

Ајде да ги замислиме и самите агли како збир од полусоби и полу-разлики.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Продолжуваме директно до изведување на формулите за збир и разлика за sin и cos.

Изведување на формулата за збир на синуси

Во збирот sin α + sin β, ги заменуваме α и β со изразите за овие агли дадени погоре. Добиваме

грев α + грев β = грев α + β 2 + α - β 2 + грев α + β 2 - α - β 2

Сега ја применуваме формулата за собирање на првиот израз, а на вториот - формулата за синусните разлики на аголот (види формули погоре)

грев α + β 2 + α - β 2 = грев α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 грев α - β 2 грев α + β 2 - α - β 2 = грев α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + грев α + β 2 - α - β 2 = грев α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Отворете ги заградите, додајте слични поими и добијте ја потребната формула

грев α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 грев α - β 2 + грев α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 грев α - β 2 = = 2 грев α + β 2 cos α - β 2

Слични се чекорите за извлекување на преостанатите формули.

Изведување на формулата за разлика на синусите

грев α - грев β = грев α + β 2 + α - β 2 - грев α + β 2 - α - β 2 грев α + β 2 + α - β 2 - грев α + β 2 - α - β 2 = грев α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 грев α - β 2 - грев α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 грев α - β 2 = = 2 грев α - β 2 cos α + β 2

Изведување на формулата за збир на косинуси

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - грев α + β 2 грев α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + грев α + β 2 грев α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Изведување на формулата за разлика на косинусите

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - грев α + β 2 грев α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + грев α + β 2 грев α - β 2 = = - 2 грев α + β 2 sin α - β 2

Примери за решавање на практични проблеми

Прво, да провериме една од формулите со замена на специфични вредности на аголот во неа. Нека α = π 2, β = π 6. Дозволете ни да ја пресметаме вредноста на збирот на синусите на овие агли. Прво, да ја користиме табелата со основни вредности тригонометриски функции, а потоа примени ја формулата за збир на синуси.

Пример 1. Проверка на формулата за збир на синуси од два агли

α = π 2, β = π 6 грев π 2 + грев π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 грев π 2 + грев π 6 = 2 грев π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 грев π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Сега да го разгледаме случајот кога вредностите на аголот се разликуваат од основните вредности претставени во табелата. Нека α = 165°, β = 75°. Да ја пресметаме разликата помеѓу синусите на овие агли.

Пример 2. Примена на формулата за разлика на синусите

α = 165 °, β = 75 ° грев α - грев β = грев 165 ° - грев 75 ° грев 165 - грев 75 = 2 грев 165 ° - грев 75 ° 2 cos 165 ° + грев 75 ° 2 = = 2 грев 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Користејќи ги формулите за збир и разлика на синусите и косинусите, можете да преминете од збирот или разликата до производот на тригонометриските функции. Често овие формули се нарекуваат формули за движење од збир до производ. Формулите за збир и разлика на синусите и косинусите се широко користени во решавањето тригонометриски равенкии при конвертирање на тригонометриски изрази.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

На електронски ресурсе одличен материјал за спроведување на интерактивна обука во модерни училишта. Правилно е напишано, има јасна структура и одговара на училишната програма. Благодарение на деталните објаснувања, темата претставена во видео лекцијата ќе им стане јасна на што е можно повеќе ученици во класот. Наставниците мора да запомнат дека не сите ученици имаат ист степен на перцепција, брзина на разбирање или основа. Таквите материјали ќе ви помогнат да се справите со тешкотиите и да ги достигнете вашите врсници, да ги подобрите вашите академски перформанси. Со нивна помош, во мирна домашна средина, самостојно или заедно со учител, студентот може да разбере одредена тема, да учи теорија и да гледа примери практична применаедна или друга формула итн.

Оваа видео лекција е посветена на темата „Синус и косинус на разликата во аргументите“. Се претпоставува дека учениците веќе ги научиле основите на тригонометријата, запознаени со основните функции и нивните својства, формули на духови и табели на тригонометриски вредности.

Исто така, пред да продолжите да ја проучувате оваа тема, мора да имате разбирање за синусот и косинусот на збирот на аргументи, да знаете две основни формули и да можете да ги користите.

На почетокот на видео лекцијата, најавувачот ги потсетува учениците на овие две формули. Следно, се демонстрира првата формула - синусот на разликата во аргументите. Покрај тоа како е изведена самата формула, се прикажува и како е изведена од друга. Така, ученикот нема да мора да запомни нова формула без да ја разбере, што е вообичаена грешка. Ова е многу важно за учениците од оваа класа. Секогаш мора да запомните дека можете да додадете знак + пред знакот минус, а минус на знакот плус на крајот ќе се претвори во минус. Со овој едноставен чекор, можете да ја користите формулата за синус на збир и да ја добиете формулата за синусот на разликата на аргументите.

Формулата за косинус на разликата е изведена на сличен начин од формулата за косинус на збирот на аргументите.

Говорникот објаснува сè чекор по чекор, и како резултат на тоа, на сличен начин е изведена општата формула за косинус на збирот и разликата на аргументите и синусот.

Првиот пример од практичниот дел на оваа видео лекција сугерира да се најде косинус на Pi/12. Се предлага оваа вредност да се прикаже во форма на одредена разлика, во која минуендот и субтрахендот ќе бидат табеларни вредности. Следно, ќе се примени косинусната формула за разликата на аргументите. Со замена на изразот, можете да ги замените добиените вредности и да го добиете одговорот. Објавувачот го чита одговорот, кој е прикажан на крајот од примерот.

Вториот пример е равенка. И на десната и на левата страна ги гледаме косинусите на разликите на аргументите. Говорникот наликува на формули за кастинг, кои се користат за замена и поедноставување на овие изрази. Овие формули се напишани на десната страна за да можат учениците да разберат од каде доаѓаат одредени промени.

Друг пример, третиот, е одредена дропка, каде и во броител и во именителот имаме тригонометриски изрази, имено, разликите на производите.

И овде, при решавање, се користат формули за намалување. Така, учениците можат да видат дека ако пропуштат една тема во тригонометријата, ќе биде сè потешко да ја разберат останатата.

И конечно, четвртиот пример. Ова е исто така равенка во која е неопходно да се користат нови научени и стари формули при нивното решавање.

Можете подетално да ги погледнете примерите дадени во видео туторијалот и да се обидете сами да го решите. Тие можат да се постават како домашна работаученици.

ДЕКОДИРАЊЕ НА ТЕКСТ:

Темата на лекцијата е „Синус и косинус на разликата во аргументите“.

Во претходниот курс запознавме двајца тригонометриски формулисинус и косинус од збирот на аргументите.

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

синусот од збирот на два агли е еднаков на збирот помеѓу производот на синусот од првиот агол и косинусот од вториот агол и производот од косинусот од првиот агол и синусот од вториот агол;

Косинусот од збирот на два агли е еднаков на разликата помеѓу производот на косинусите на овие агли и производот од збирот на овие агли.

Користејќи ги овие формули, ќе ги изведеме формулите Синус и косинус на разликата во аргументите.

Синус од разликата на аргументите sin(x-y)

Две формули (синус на збирот и синус на разликата) може да се напишат како:

грев (xy) = грев x cos ycos x грев y.

Слично на тоа, ја изведуваме формулата за косинус на разликата:

Да го преработиме косинусот на разликата меѓу аргументите како збир и да ја примениме веќе познатата формула за косинус на збирот: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

само за аргументите x и -y. Заменувајќи ги овие аргументи во формулата, добиваме cosxcos(- y) - sinxsin(- y).

sin(- y)= - siny). и го добиваме конечниот израз cosxcosy + sinxsiny.

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.

Ова значи cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.

Косинусот на разликата на два агли е еднаков на збирот помеѓу производот на косинусите на овие агли и производот од синусите на овие агли.

Комбинирајќи две формули (косинус на збирот и косинус на разликата) во една, пишуваме

cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.

Да се потсетиме дека формулите во пракса можат да се применат и од лево кон десно и обратно.

Ајде да погледнеме примери.

ПРИМЕР 1. Пресметај cos (косинус на пи поделен со дванаесет).

Решение. Да го напишеме пи поделено со дванаесет како разлика на пи со три и пи поделено со четири: = - .

Ајде да ги замениме вредностите во формулата за разлика: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, со тоа cos = cos (-) = cos cos + sin sin

Знаеме дека cos = , cos = грев = , sin = . Прикажи табела со вредности.

Вредноста на синус и косинус ја заменуваме со нумерички вредности и добиваме ∙ + ∙ кога множиме дропка со дропка, ги множиме броителите и именители, добиваме

cos = cos (-) = cos cos + грев грев = ∙ + ∙ = = =.

Одговор: cos =.

ПРИМЕР 2. Решете ја равенката cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (косинус од два пи минус пет x е еднаков на косинус на пи со два минус пет x).

Решение. На левата и десната страна на равенката ги применуваме формулите за намалување cos(2π - cos (косинус два пи минус алфа еднакво на косинусалфа) и cos(- = sin (косинус pi за два минус алфа е еднаков на синус алфа), добиваме cos 5x = sin 5x, го намалуваме во форма на хомогена равенка од прв степен и добиваме cos 5x - sin 5x = 0. Ова е хомогена равенка од прв степен Да ги поделиме двете страни на членот на равенката со cos 5x. Имаме:

cos 5x: cos 5x - грев 5x: cos 5x = 0, бидејќи cos 5x: cos 5x = 1, и sin 5x: cos 5x = tan 5x, тогаш добиваме:

Бидејќи веќе знаеме дека равенката tgt = a има решение t = arctga + πn, и бидејќи имаме t = 5x, a = 1, добиваме

5x = арктан 1 + πn,

а вредноста на arctg е 1, потоа tg 1= Прикажи табела

Заменете ја вредноста во равенката и решете ја:

Одговор: x = +.

ПРИМЕР 3. Најдете ја вредноста на дропката. (во броителот е разликата на производот на косинусите од седумдесет и пет степени и шеесет и пет степени и производот на синусите од седумдесет и пет степени и шеесет и пет степени, а во именителот е разликата на производот од синусот од осумдесет и пет степени и косинус од триесет и пет степени и производ од косинус од осумдесет и пет степени и синус од триесет и пет степени).

Решение. Во броителот на оваа дропка, разликата може да се „склопи“ во косинус од збирот на аргументите 75° и 65°, а во именителот, разликата може да се „склопи“ во синусот на разликата помеѓу аргументите. 85° и 35°. Добиваме

Одговор: - 1.

ПРИМЕР 4. Решете ја равенката: cos(-x) + sin(-x) = 1(косинус на разликата на pi за четири и x плус синусот на разликата на pi за четири и x е еднаков на еден).

Решение. Да ги примениме формулите косинусова разлика и синусната разлика.

Прикажи косинус формула за општа разлика

Тогаш cos (-x) = cos cos x + sinsinх