Цели на лекцијата:

Образовни:

  • градат знаење на нова темаво согласност со програмскиот материјал;
  • проучи својство на реверзибилност на функција и научи како да се најде инверзната функција на дадена;

Развојни:

  • развиваат вештини за самоконтрола, суштински говор;
  • да го совлада концептот на инверзна функција и да научи методи за пронаоѓање на инверзна функција;

Образовни: да се развие комуникативна компетентност.

Опрема:компјутер, проектор, екран, интерактивна табла SMART Board, материјали ( самостојна работа) за групна работа.

За време на часовите.

1. Организациски момент.

Цел – подготовка на учениците за работа на час:

Дефиниција на отсутни,

Расположение на учениците за работа, организирање внимание;

Наведете ја темата и целта на часот.

2. Ажурирање позадинско знаењеучениците.Фронтална анкета.

Цел - утврдување на исправноста и свесноста на изучениот теоретски материјал, повторување на опфатениот материјал.<Приложение 1 >

График на функција е прикажан на интерактивната табла за ученици. Наставникот формулира задача - разгледајте го графикот на функцијата и наведете ги проучуваните својства на функцијата. Учениците ги наведуваат својствата на функцијата во согласност со дизајнот на истражувањето. Наставникот десно од графикот на функцијата ги запишува именуваните својства со маркер на интерактивната табла.

Карактеристики на функцијата:

На крајот од студијата, наставникот известува дека денес на часот ќе се запознаат со друго својство на функцијата - реверзибилност. За значајно проучување на новиот материјал, наставникот ги повикува децата да се запознаат со главните прашања на кои учениците мора да одговорат на крајот од часот. Прашањата се напишани на редовна табла и секој ученик ги има како ливчиња (дистрибуирани пред часот)

  1. Која функција се нарекува инверзибилна?
  2. Дали некоја функција е инверзибилна?
  3. Која функција се нарекува инверзна на податок?
  4. Како се поврзани доменот на дефиниција и множеството вредности на функцијата и нејзината инверзна?
  5. Ако функцијата е дадена аналитички, како може да се дефинира инверзната функција со формула?
  6. Ако функцијата е дадена графички, како да се прикаже нејзината инверзна функција?

3. Објаснување на нов материјал.

Цел - генерира знаење за нова тема во согласност со програмскиот материјал; проучи својство на реверзибилност на функција и научи како да се најде инверзната функција на дадена; развиваат суштински говор.

Наставникот го презентира материјалот во согласност со материјалот од параграфот. На интерактивната табла, наставникот ги споредува графиконите на две функции чии домени на дефиниција и множества вредности се исти, но едната од функциите е монотона, а другата не, со што ги запознава учениците со концептот на инвертибилна функција. .

Потоа, наставникот ја формулира дефиницијата за инверзибилна функција и спроведува доказ за теоремата за инверзибилна функција користејќи го графикот на монотона функција на интерактивната табла.

Дефиниција 1: Се повикува функцијата y=f(x), x X реверзибилна, ако земе некоја од неговите вредности само во една точка од множеството X.

Теорема: Ако функцијата y=f(x) е монотона на множество X, тогаш таа е инверзибилна.

Доказ:

  1. Нека функцијата y=f(x)се зголемува за Xпушти го x 1 ≠x 2- две точки од сетот X.
  2. Да бидам конкретен, нека x 1< x 2.
    Потоа од фактот дека x 1< x 2следи тоа f(x 1) < f (x 2).
  3. Така, различните вредности на аргументот одговараат на различни вредности на функцијата, т.е. функцијата е инверзибилна.

(Како што напредува докажувањето на теоремата, наставникот користи маркер за да ги направи сите потребни објаснувања на цртежот)

Пред да ја формулира дефиницијата за инверзна функција, наставникот бара од учениците да утврдат која од предложените функции е инверзибилна? Интерактивната табла прикажува графикони на функции и пишува неколку аналитички дефинирани функции:

Б)

G) y = 2x + 5

Г) y = -x 2 + 7

Наставникот ја воведува дефиницијата за инверзна функција.

Дефиниција 2: Нека функционира инвертибилното y=f(x)дефинирани на сетот XИ E(f)=Y. Ајде да се поклопиме со секој yод Yтоа е единственото значење X, на која f(x)=y.Потоа добиваме функција која е дефинирана на Y, А X– опсег на функции

Оваа функција е назначена x=f -1 (y)и се нарекува инверзна на функцијата y=f(x).

Од учениците се бара да извлечат заклучок за поврзаноста помеѓу доменот на дефиниција и множеството вредности на инверзни функции.

За да се разгледа прашањето како да се најде инверзната на дадена функција, наставникот привлекол двајца ученици. Ден претходно, децата добија задача од наставникот самостојно да ги анализираат аналитичките и графичките методи за пронаоѓање на инверзната функција на дадена функција. Наставникот делуваше како консултант при подготовката на учениците за часот.

Порака од првиот ученик.

Забелешка: монотоноста на функцијата е доволноуслов за постоење на инверзна функција. Но тоа не енеопходен услов.

Ученикот даде примери за различни ситуации кога функцијата не е монотона, туку инверзибилна, кога функцијата не е монотона и не е инверзибилна, кога е монотона и инверзибилна

Потоа ученикот ги запознава учениците со метод за пронаоѓање на инверзната функција дадена аналитички.

Алгоритам за наоѓање

  1. Проверете дали функцијата е монотона.
  2. Изрази ја променливата x во однос на y.
  3. Преименувајте ги променливите. Наместо x=f -1 (y) напишете y=f -1 (x)

Потоа решава два примери за да ја најде инверзната функција на дадена.

Пример 1:Покажете дека за функцијата y=5x-3 има инверзна функција и најдете го нејзиниот аналитички израз.

Решение. Линеарната функција y=5x-3 е дефинирана на R, се зголемува на R, а нејзиниот опсег на вредности е R. Тоа значи дека инверзната функција постои на R. За да го пронајдете нејзиниот аналитички израз, решете ја равенката y=5x- 3 за x; добиваме Ова е потребната инверзна функција. Се дефинира и се зголемува на Р.

Пример 2:Покажете дека за функцијата y=x 2, x≤0 има инверзна функција и најдете го нејзиниот аналитички израз.

Функцијата е континуирана, монотона во својот домен на дефиниција, па затоа е инверзибилна. Откако ги анализиравме домени на дефиниција и множества на вредности на функцијата, се прави соодветен заклучок за аналитичкиот израз за инверзната функција.

Вториот ученик прави презентација за графичкиметод за наоѓање на инверзна функција. При своето објаснување ученикот ги користи можностите на интерактивната табла.

За да се добие график на функцијата y=f -1 (x), обратен на функцијата y=f(x), потребно е да се трансформира графикот на функцијата y=f(x) симетрично во однос на правата линија. y=x.

При објаснувањето на интерактивната табла се извршува следната задача:

Конструирај график на функција и график на нејзината инверзна функција во ист координатен систем. Запишете го аналитичкиот израз за инверзната функција.

4. Примарна консолидација на нов материјал.

Цел - утврдете ја исправноста и свесноста за разбирањето на изучениот материјал, идентификувајте празнини во примарното разбирање на материјалот и поправете ги.

Учениците се делат во парови. Им се даваат листови со задачи, во кои работата ја вршат во парови. Времето за завршување на работата е ограничено (5-7 минути). Еден пар ученици работи на компјутер, проекторот се исклучува за тоа време и останатите деца не можат да видат како учениците работат на компјутерот.

На крајот од времето (се претпоставува дека поголемиот дел од учениците ја завршиле работата), работата на учениците се прикажува на интерактивната табла (проекторот повторно се вклучува), каде што при проверката се утврдува дали задачата беше правилно пополнет во парови. По потреба наставникот врши поправна и објаснувачка работа.

Самостојна работа во парови<Додаток 2 >

5. Резиме на лекцијата.Во однос на прашањата кои беа поставени пред предавањето. Објавување на оценки за часот.

Домашна задача §10. Бр. 10.6 (а, в) 10.8-10.9 (б) 10.12 (б)

Алгебра и почетоците на анализата. Одделение 10 Во 2 дела за општообразовни институции (ниво на профил) / А.Г. Мордкович, Л.О. Денишчева, Т.А.Корешкова итн.; Изменето од А.Г. Мордкович, М: Мнемозина, 2007 година

Соодветни изрази кои се превртуваат еден со друг. За да разберете што значи ова, вреди да се погледне конкретен пример. Да речеме дека имаме y = cos(x). Ако го земете косинусот од аргументот, можете да ја најдете вредноста на y. Очигледно, за ова треба да имате X. Но, што ако играта првично беше дадена? Овде доаѓа до суштината на работата. За да го решите проблемот, треба да ја користите инверзната функција. Во нашиот случај тоа е аркозин.

По сите трансформации добиваме: x = arccos(y).

Односно, за да се најде функција инверзна на дадена, доволно е едноставно да се изрази аргумент од неа. Но, ова функционира само ако добиениот резултат има единствено значење (повеќе за ова подоцна).

Општо земено, овој факт може да се запише на следниов начин: f(x) = y, g(y) = x.

Дефиниција

Нека f е функција чиј домен е множеството X и чиј домен е множеството Y. Тогаш, ако постои g чии домени извршуваат спротивни задачи, тогаш f е инвертибилна.

Згора на тоа, во овој случај g е единствен, што значи дека постои точно една функција што го задоволува ова својство (ни повеќе, ни помалку). Тогаш се нарекува инверзна функција, а во пишувањето се означува на следниов начин: g(x) = f -1 (x).

Со други зборови, тие можат да се сметаат како бинарна релација. Реверзибилноста се јавува само кога еден елемент од множеството одговара на една вредност од друга.

Инверзната функција не постои секогаш. За да го направите ова, секој елемент y є Y мора да одговара на најмногу еден x є X. Тогаш f се нарекува еден-на-еден или инјекција. Ако f -1 припаѓа на Y, тогаш секој елемент од ова множество мора да одговара на некои x ∈ X. Функциите со ова својство се нарекуваат сурјекции. По дефиниција важи ако Y е слика на f, но тоа не е секогаш случај. За да биде инверзна, функцијата мора да биде и инјекција и шприц. Таквите изрази се нарекуваат биекции.

Пример: функции на квадрат и корен

Функција дефинирана на $

Бидејќи оваа функција е опаѓачка и континуирана на интервалот $X$, тогаш на интервалот $Y=$, кој исто така е опаѓачки и континуиран на овој интервал (теорема 1).

Ајде да пресметаме $x$:

\ \

Изберете соодветен $x$:

Одговор:инверзна функција $y=-\sqrt(x)$.

Проблеми за наоѓање инверзни функции

Во овој дел ќе разгледаме инверзни функции за некои елементарни функции. Ние ќе ги решиме проблемите според шемата дадена погоре.

Пример 2

Најдете ја инверзната функција за функцијата $y=x+4$

    Ајде да најдеме $x$ од равенката $y=x+4$:

Пример 3

Најдете ја инверзната функција за функцијата $y=x^3$

Решение.

Бидејќи функцијата е растечка и континуирана во целиот домен на дефиниција, тогаш, според теорема 1, има инверзна континуирана и растечка функција на неа.

    Ајде да најдеме $x$ од равенката $y=x^3$:

    Наоѓање соодветни вредности од $x$

    Вредноста е погодна во нашиот случај (бидејќи доменот на дефиниција се сите броеви)

    Да ги редефинираме променливите, добиваме дека инверзната функција ја има формата

Пример 4

Најдете ја инверзната функција за функцијата $y=cosx$ на интервалот $$

Решение.

Размислете за функцијата $y=cosx$ на множеството $X=\left$. Тој е континуиран и се намалува на множеството $X$ и го пресликува множеството $X=\left$ на множеството $Y=[-1,1]$, според тоа, според теоремата за постоење на инверзна континуирана монотона функција, функцијата $y=cosx$ во множеството $ Y$ има инверзна функција, која исто така е континуирана и расте во множеството $Y=[-1,1]$ и го пресликува множеството $[-1,1]$ до множеството $\лево$.

    Ајде да најдеме $x$ од равенката $y=cosx$:

    Наоѓање соодветни вредности од $x$

    Да ги редефинираме променливите, добиваме дека инверзната функција ја има формата

Пример 5

Најдете ја инверзната функција за функцијата $y=tgx$ на интервалот $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Решение.

Размислете за функцијата $y=tgx$ на множеството $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Тој е континуиран и се зголемува во множеството $X$ и го пресликува множеството $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\десно)$ на множеството $Y =R$, значи, според теоремата за постоење на инверзна континуирана монотона функција, функцијата $y=tgx$ во множеството $Y$ има инверзна функција, која исто така е континуирана и расте во множеството $Y=R $ и го пресликува множеството $R$ на множеството $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi)(2)\десно)$

    Ајде да најдеме $x$ од равенката $y=tgx$:

    Наоѓање соодветни вредности од $x$

    Да ги редефинираме променливите, добиваме дека инверзната функција ја има формата

    Нека постои функција y=f(x), X е нејзиниот домен на дефиниција, Y е неговиот опсег на вредности. Знаеме дека секој x 0  одговара на една вредност y 0 =f(x 0), y 0 Y.

    Може да испадне дека секој y (или неговиот дел  1) одговара и на еден x од X.

    Потоа велат дека на областа  (или нејзиниот дел  ) функцијата x=y е дефинирана како инверзна функција за функцијата y=f(x).

    На пример:


    X =(f); Y=)