Статијата е посветена на анализа на задачите 15 од профил Единствен државен испитпо математика за 2017 г. Во оваа задача од учениците се бара да решаваат неравенки, најчесто логаритамски. Иако може да има индикативни. Оваа статија дава анализа на примери логаритамски неравенки, вклучувајќи ги и оние што содржат променлива во основата на логаритмот. Сите примери се земени од отворена банказадачи на обединетиот државен испит по математика (профил), така што таквите нееднаквости најверојатно ќе се сретнат на испитот како задача 15. Идеален за оние кои сакаат да научат како да ја решат задачата 15 од вториот дел на профилот Единствен државен испит во математика во краток временски период со цел да се добијат повеќе поени на испитот.
Анализа на задачи 15 од профилот Единствен државен испит по математика
| Пример 1. Решете ја неравенството: |
Во задачите 15 од Единствениот државен испит по математика (профил), често се среќаваат логаритамски неравенки. Решавањето на логаритамските неравенки започнува со определување на опсегот на прифатливи вредности. Во овој случај, нема променлива во основата на двата логаритма, постои само бројот 11, што во голема мера го поедноставува проблемот. Значи, единственото ограничување што го имаме овде е дека двата израза под знакот логаритам се позитивни:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Првата нееднаквост во системот е квадратна нееднаквост. За да го решиме, навистина би сакале да ја факторизираме левата страна. Мислам дека знаете дека некој квадратен триномљубезен 
се факторизира на следниов начин:
каде и се корените на равенката. Во овој случај, коефициентот е 1 (ова е нумеричкиот коефициент пред ). Коефициентот е исто така еднаков на 1, а коефициентот е слободен член, тоа е еднакво на -20. Корените на трином најлесно се одредуваат со помош на теоремата на Виета. Равенката што ја дадовме значи дека збирот на корените ќе биде еднаков на коефициентот со спротивен знак, односно -1, а производот од овие корени ќе биде еднаков на коефициентот, односно -20. Лесно е да се погоди дека корените ќе бидат -5 и 4.
Сега левата страна на нееднаквоста може да се факторизира: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} Xво точките -5 и 4. Тоа значи дека потребното решение на неравенството е интервалот . За оние кои не разбираат што е напишано овде, можете да ги погледнете деталите во видеото, почнувајќи од овој момент. Таму ќе најдете и детално објаснување како се решава втората нееднаквост на системот. Се решава. Згора на тоа, одговорот е сосема ист како и за првата нееднаквост на системот. Односно, множеството напишано погоре е регионот на дозволените вредности на нееднаквоста.
Значи, земајќи ја предвид факторизацијата, првобитната нееднаквост ја има формата:
Користејќи ја формулата, додаваме 11 на моќта на изразот под знакот на првиот логаритам, а вториот логаритам го поместуваме на левата страна на неравенката, менувајќи го неговиот знак на спротивен:
По намалувањето добиваме:
Последната неравенка поради зголемувањето на функцијата е еквивалентна на неравенката 
, чие решение е интервалот 
. Останува само да се вкрсти со регионот на прифатливи вредности на нееднаквоста и тоа ќе биде одговорот на целата задача.
Значи, потребниот одговор на задачата изгледа вака:
Се занимававме со оваа задача, сега преминуваме на следниот пример на задача 15 од Единствениот државен испит по математика (профил).
| Пример 2. Решете ја неравенството:
|
Решението го започнуваме со одредување на опсегот на прифатливи вредности на оваа нееднаквост. Во основата на секој логаритам мора да има позитивен број кој не е еднаков на 1. Сите изрази под знакот на логаритам мора да бидат позитивни. Именителот на дропката не смее да содржи нула. Последниот услов е еквивалентен на фактот дека, бидејќи само во спротивно двата логаритами во именителот исчезнуваат. Сите овие услови го одредуваат опсегот на дозволените вредности на оваа нееднаквост, даден со следниов систем на неравенки:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Во опсегот на прифатливи вредности, можеме да користиме формули за конверзија на логаритам за да ја поедноставиме левата страна на нееднаквоста. Користење на формула 
се ослободуваме од именителот:
Сега имаме само логаритми со основа. Ова е веќе поудобно. Следно, ја користиме формулата, а исто така и формулата за да го донесеме изразот вреден за слава во следната форма:
Во пресметките го користевме она што е во опсегот на прифатливи вредности. Користејќи ја замената, доаѓаме до изразот:
Ајде да користиме уште една замена: . Како резултат, доаѓаме до следниот резултат:
Значи, постепено се враќаме на оригиналните променливи. Прво до променливата:
Секции: Математика
Често, кога се решаваат логаритамски неравенки, има проблеми со променлива логаритамска основа. Така, нееднаквост на формата
е стандардна училишна нееднаквост. Како по правило, за да се реши, се користи транзиција кон еквивалентен сет на системи:
Недостаток овој методе потребата да се решат седум нееднаквости, не сметајќи два системи и една популација. Веќе со овие квадратни функции, решавањето на популацијата може да потрае многу време.
Можно е да се предложи алтернативен, помалку одземен начин за решавање на оваа стандардна нееднаквост. За да го направите ова, ја земаме предвид следната теорема.
Теорема 1. Нека постои континуирана растечка функција на множество X. Тогаш на ова множество знакот за зголемување на функцијата ќе се совпадне со знакот за зголемување на аргументот, т.е. , Каде 
.
Забелешка: ако континуирано опаѓачка функција на множество X, тогаш .
Да се вратиме на нееднаквоста. Ајде да преминеме на децимален логаритам (може да преминете на кој било со константна основа поголема од една).
Сега можете да ја користите теоремата, забележувајќи го зголемувањето на функциите во броителот 
а во именителот. Така е вистина
Како резултат на тоа, бројот на пресметки што водат до одговорот е намален за приближно половина, што заштедува не само време, туку и ви овозможува потенцијално да направите помалку аритметички и невнимателни грешки.
Пример 1.
Споредувајќи со (1) наоѓаме 
, 
, .
Преминувајќи кон (2) ќе имаме:
Пример 2.
Споредувајќи со (1) наоѓаме , , .
Преминувајќи кон (2) ќе имаме:
Пример 3.
Бидејќи левата страна на неравенката е растечка функција како и 
, тогаш одговорот ќе биде многу.
Многубројните примери во кои може да се примени Темата 1 може лесно да се прошират со земање предвид на Тема 2.
Нека на сетот Xсе дефинираат функциите , , , и на ова множество знаците и се поклопуваат, т.е. , тогаш ќе биде фер.
Пример 4.
Пример 5.
Со стандардниот пристап, примерот се решава според следната шема: производот е помал од нула кога факторите се со различни знаци. Оние. се разгледува збир од два системи на неравенки, во кои, како што е наведено на почетокот, секоја неравенка се распаѓа на уште седум.
Ако ја земеме во предвид теоремата 2, тогаш секој од факторите, земајќи го во предвид (2), може да се замени со друга функција која го има истиот знак во овој пример О.Д.З.
Методот на замена на зголемувањето на функцијата со зголемување на аргументот, земајќи ја предвид теоремата 2, се покажува како многу удобен кога се решаваат типични проблеми за испитување на обединета држава C3.
Пример 6.
Пример 7.
. Да означиме. Добиваме
. Забележете дека замената подразбира: . Враќајќи се на равенката, добиваме
.
Пример 8.
Во теоремите што ги користиме нема ограничувања за класи на функции. Во оваа статија, како пример, теоремите беа применети за решавање на логаритамски неравенки. Следниве неколку примери ќе го покажат ветувањето за методот за решавање на други видови неравенки.
ЛОГАРИТАМСКИ НЕЕДНАКВИ ВО УПОТРЕБАТА
Сечин Михаил Александрович
Мала академијанауки за студенти на Република Казахстан „Искател“
MBOU "Советскаја средно училиште бр. 1", 11 одделение, гр. Советски Советски округ
Гунко Људмила Дмитриевна, наставник на Општинската буџетска образовна институција „Советскаја средно училиште бр.
Областа Советски
Цел на работата:проучување на механизмот за решавање на логаритамски неравенки C3 со користење на нестандардни методи, идентификување интересни фактилогаритам
Предмет на истражување:
3) Научете да решавате специфични логаритамски неравенки C3 користејќи нестандардни методи.
Резултати:
Содржина
Вовед…………………………………………………………………………………….4
Поглавје 1. Историја на проблемот………………………………………………………………………
Поглавје 2. Збирка на логаритамски неравенки ………………………………… 7
2.1. Еквивалентни транзиции и генерализирани метод на интервал…………… 7
2.2. Метод на рационализација…………………………………………………………………… 15
2.3. Нестандардна замена……………………………………………………. ........ ..... 22
2.4. Задачи со стапици………………………………………………………………………………………
Заклучок………………………………………………………………………………… 30
Литература……………………………………………………………………. 31
Вовед
Јас сум 11-то одделение и планирам да влезам на факултет каде основната тема е математика. Затоа многу работам со задачи во дел В. Во задачата Ц3, треба да решам нестандардна неравенка или систем на неравенки, обично поврзан со логаритми. Кога се подготвував за испитот, се соочив со проблемот на недостиг на методи и техники за решавање на испитните логаритамски неравенки понудени во C3. Методи кои се изучуваат во училишна наставна програмана оваа тема, не давајте основа за решавање на задачите на Ц3. Наставничката по математика ми предложи да работам на задачите Ц3 самостојно под нејзино водство. Дополнително, ме интересираше прашањето: дали во животот се среќаваме со логаритми?
Имајќи го ова предвид, беше избрана темата:
„Логаритамски неравенки во обединетиот државен испит“
Цел на работата:проучување на механизмот за решавање на задачите C3 со помош на нестандардни методи, идентификување на интересни факти за логаритамот.
Предмет на истражување:
1) Најдете ги потребните информации за нестандардни методи за решавање на логаритамски неравенки.
2) Најдете дополнителни информации за логаритмите.
3) Научете да решавате специфични проблеми со C3 користејќи нестандардни методи.
Резултати:
Практично значењесе состои во проширување на апаратот за решавање на Ц3 проблеми. Овој материјал може да се користи на некои часови, за клубови и изборни часови по математика.
Производот на проектот ќе биде збирката „C3 логаритамски нееднаквости со решенија“.
Поглавје 1. Позадина
Во текот на 16 век, бројот на приближни пресметки брзо се зголемил, првенствено во астрономијата. Подобрувањето на инструментите, проучувањето на планетарните движења и друга работа бараше колосални, понекогаш и многу години, пресметки. Астрономијата беше во реална опасност да се удави во неисполнети пресметки. Потешкотии се појавија и во други области, на пример во осигурителен бизнисЗа различни процентуални вредности беа потребни сложени табели со камата. Главната тешкотија беше множењето и делењето на повеќецифрените броеви, особено тригонометриските величини.
Откривањето на логаритмите се засновало на својствата на прогресиите кои биле добро познати до крајот на 16 век. За поврзаноста меѓу членовите геометриска прогресија q, q2, q3, ... и аритметичка прогресијанивните показатели се 1, 2, 3,... Архимед зборувал во својот „Псалмитис“. Друг предуслов беше проширувањето на концептот на степен на негативни и фракциони експоненти. Многу автори истакнале дека множењето, делењето, степенувањето и извлекувањето на коренот во геометриска прогресија одговараат во аритметиката - по ист редослед - собирање, одземање, множење и делење.
Тука беше идејата за логаритам како експонент.
Во историјата на развојот на доктрината за логаритми, поминаа неколку фази.
Фаза 1
Логаритмите биле измислени најдоцна до 1594 година независно од шкотскиот барон Напиер (1550-1617) и десет години подоцна од швајцарскиот механичар Бурги (1552-1632). И двајцата сакаа да обезбедат ново, практично средство за аритметички пресметки, иако на овој проблем му пристапија на различни начини. Напиер кинематски ја изразил логаритамската функција и на тој начин навлегол во ново поле на теоријата на функции. Бурги остана врз основа на разгледување на дискретни прогресии. Сепак, дефиницијата на логаритам и за двете не е слична на модерниот. Терминот „логаритам“ (логаритам) му припаѓа на Напиер. Произлезе од комбинација грчки зборови: logos - „врска“ и ariqmo - „број“, што значеше „број на односи“. Првично, Напиер користеше различен термин: numeri artificiales - „вештачки броеви“, за разлика од нумери природните - „природни броеви“.
Во 1615 година, во разговор со Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика на колеџот Греш во Лондон, Напиер предложи да се земе нула како логаритам на еден, а 100 како логаритам од десет, или што е истото. , едноставно 1. Вака се појавија децимални логаритмии беа испечатени првите логаритамски табели. Подоцна, табелите на Бригс беа дополнети од холандскиот продавач на книги и математички ентузијаст Адријан Флакус (1600-1667). Напиер и Бригс, иако дојдоа до логаритми порано од сите други, ги објавија своите табели подоцна од другите - во 1620 година. Знаците log и Log биле воведени во 1624 година од И. Кеплер. Терминот „природен логаритам“ бил воведен од Менголи во 1659 година и следен од Н. Меркатор во 1668 година, а лондонскиот учител Џон Спејдел објавил табели на природни логаритми на броеви од 1 до 1000 под името „Нови логаритми“.
Првите логаритамски табели беа објавени на руски во 1703 година. Но, во сите логаритамски табели имаше грешки во пресметката. Првите табели без грешки беа објавени во 1857 година во Берлин, обработени од германскиот математичар К. Бремикер (1804-1877).
Фаза 2
Понатамошниот развој на теоријата на логаритми е поврзан со поширока примена на аналитичката геометрија и бесконечно мало сметање. До тоа време, врската помеѓу квадратурата на рамностран хипербола и природен логаритам. Теоријата на логаритми од овој период се поврзува со имињата на голем број математичари.
Германскиот математичар, астроном и инженер Николаус Меркатор во својот есеј
„Логаритмотехника“ (1668) дава серија давајќи го проширувањето на ln(x+1) во
моќи на x:
Овој израз точно одговара на текот на неговата мисла, иако тој, се разбира, не ги користел знаците d, ..., туку потешка симболика. Со откривањето на логаритамската серија, техниката за пресметување на логаритми се промени: тие почнаа да се одредуваат со помош на бесконечни серии. Во своите предавања „Основна математика со највисоката точкавизија“, прочитано во 1907-1908 година, Ф. Клајн предложил користење на формулата како почетна точка за конструирање на теоријата на логаритми.
Фаза 3
Дефиниција логаритамска функцијакако инверзна функција
експоненцијален, логаритам како експонент на дадена основа
не беше формулиран веднаш. Есеј од Леонхард Ојлер (1707-1783)
„Вовед во анализата на бесконечно малите“ (1748) послужи за понатаму
развој на теоријата на логаритамски функции. Така,
Поминаа 134 години откако логаритмите првпат беа воведени
(сметајќи од 1614 година), пред математичарите да дојдат до дефиницијата
концептот на логаритам, кој сега е основа на училишниот курс.
Поглавје 2. Збирка на логаритамски неравенки
2.1. Еквивалентни транзиции и генерализираниот метод на интервали.
Еквивалентни транзиции
, ако a > 1
, ако 0 <
а <
1
Метод на генерализиран интервал
Овој методнајуниверзална за решавање на неравенки од речиси секаков вид. Дијаграмот за решение изгледа вака:
1. Доведете ја неравенката до форма каде што е функцијата од левата страна 
, а десно 0.
2. Најдете го доменот на функцијата .
3. Најдете ги нулите на функцијата , односно решете ја равенката 
(и решавањето на равенката обично е полесно од решавањето на неравенство).
4. Нацртај го доменот на дефиниција и нули на функцијата на бројната права.
5. Определи ги знаците на функцијата на добиените интервали.
6. Изберете интервали каде функцијата ги зема бараните вредности и запишете го одговорот.
Пример 1.
Решение:
Да го примениме методот на интервал
каде
За овие вредности, сите изрази под логаритамските знаци се позитивни.
Одговор:
Пример 2.
Решение:
1-ви начин . ADL се определува со нееднаквост x> 3. Земање логаритми за такви xдо основата 10, добиваме
Последната неравенка би можела да се реши со примена на правила за проширување, т.е. споредувајќи ги факторите со нула. Меѓутоа, во овој случај лесно е да се одредат интервалите на постојан знак на функцијата
затоа може да се примени методот интервал.
Функција ѓ(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ е континуирано во x> 3 и исчезнува на точки x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Така, ги одредуваме интервалите на константен знак на функцијата ѓ(x):
Одговор:
2-ри метод . Дозволете ни директно да ги примениме идеите за методот на интервал на првобитната неравенка.
За да го направите ова, потсетете се дека изразите аб- ав и ( а - 1)(б- 1) има еден знак. Тогаш нашата нееднаквост во x> 3 е еквивалентно на нееднаквост
или
Последната неравенка се решава со методот на интервал
Одговор:
Пример 3.
Решение:
Да го примениме методот на интервал
Одговор:
Пример 4.
Решение:
Од 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 за сите реални x, Тоа
За да ја решиме втората неравенка го користиме методот на интервал
Во првата нееднаквост ја правиме замената
тогаш доаѓаме до неравенката 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, кои ја задоволуваат неравенката -0,5< y < 1.
Од каде, затоа што
ја добиваме нееднаквоста
што се спроведува кога x, за што 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Сега, земајќи го предвид решението на втората нееднаквост на системот, конечно го добиваме
Одговор:
Пример 5.
Решение:
Нееднаквоста е еквивалентна на збирка системи
или
Да го користиме методот интервал или
Одговори:
Пример 6.
Решение:
Нееднаквоста е еднакво на системот
Нека
Потоа y > 0,
и првата нееднаквост
системот добива форма
или, се расплетува
квадратен трином фактор,
Примена на методот на интервал на последната неравенка,
гледаме дека неговите решенија ја задоволуваат состојбата y> 0 ќе биде сè y > 4.
Така, првобитната нееднаквост е еквивалентна на системот:
Значи, решенијата за нееднаквоста се сè
2.2. Метод на рационализација.
Претходно, нееднаквоста не беше решена со методот на рационализација. Ова е „новата модерна“ ефективен методрешенија за експоненцијални и логаритамски неравенки“ (цитат од книгата на С.И. Колесникова)
И наставникот да го познаваше, имаше страв - дали го познаваше? Експерт за унифициран државен испит, зошто не даваат на училиште? Имаше ситуации кога наставникот му рече на ученикот: „Каде го добивте седнете - 2?
Сега методот се промовира насекаде. А за експерти има насоки, поврзан со овој метод и во решението „Најкомплетни изданија на опции за модел...“ C3 го користи овој метод.
ПРЕКРАСЕН МЕТОД!
„Волшебна маса“
Во други извори
Ако a >1 и b >1, потоа log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;
Ако а > 1 и 0 ако 0<а<1 и b
>1, а потоа најавете б<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ако 0<а<1 и 00 и (а -1) (б -1)>0. Извршеното расудување е едноставно, но значително го поедноставува решението на логаритамските неравенки. Пример 4.
дневник x (x 2 -3)<0
Решение:
Пример 5.
дневник 2 x (2x 2 -4x +6)≤лог 2 x (x 2 +x ) Решение: Пример 6.
За да ја решиме оваа неравенка, наместо именителот, пишуваме (x-1-1)(x-1), а наместо броителот го запишуваме производот (x-1)(x-3-9 + x). Пример 7.
Пример 8.
2.3. Нестандардна замена. Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
дневник 4 (3 x -1) лог 0,25 Да ја направиме замената y=3 x -1; тогаш оваа нееднаквост ќе добие форма Дневник 4 дневник 0,25 Бидејќи дневник 0,25 Да ја направиме замената t =log 4 y и да ја добиеме неравенката t 2 -2t +≥0, чие решение се интервалите - Така, за да ги најдеме вредностите на y имаме множество од две едноставни неравенки Според тоа, првобитната неравенка е еквивалентна на множеството од две експоненцијални неравенки, Решението на првата неравенка од ова множество е интервалот 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Пример 8.
Решение:
Нееднаквоста е еднакво на системот Решението на втората неравенка што го дефинира ODZ ќе биде множеството од тие x,
за кои x > 0.
За да ја решиме првата неравенка ја правиме замената Тогаш ја добиваме нееднаквоста или Множеството решенија на последната неравенка се наоѓа со методот интервали: -1< т < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, добиваме или Многу од тие x, кои ја задоволуваат последната нееднаквост припаѓа на ОДЗ ( x> 0), според тоа, е решение за системот, а оттука и првобитната нееднаквост. Одговор: 2.4. Задачи со стапици. Пример 1.
Решение. ODZ на неравенката е сè x што го задоволува условот 0 Пример 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Одговори. (0; 0,5) U.
Одговори :
(3;6)
.
= -дневник 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , потоа последната неравенка ја препишуваме како 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Решението за ова множество се интервалите 0<у≤2 и 8≤у<+.
односно агрегати 
. Така, оригиналната нееднаквост е задоволена за сите вредности на x од интервалите 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Според тоа, сите x се од интервалот 0
Заклучок
Не беше лесно да се најдат специфични методи за решавање на проблемите C3 од големо изобилство на различни образовни извори. Во текот на сработеното, можев да проучувам нестандардни методи за решавање на сложени логаритамски неравенки. Тоа се: еквивалентни транзиции и генерализиран метод на интервали, метод на рационализација , нестандардна замена , задачи со стапици на ОДЗ. Овие методи не се вклучени во училишната програма.
Користејќи различни методи, решив 27 нееднаквости предложени на Единствениот државен испит во делот В, имено Ц3. Овие неравенки со решенија по методи ја формираа основата на збирката „C3 логаритамски неравенки со решенија“, која стана проектен производ на мојата активност. Хипотезата што ја поставив на почетокот на проектот беше потврдена: C3 проблемите можат ефективно да се решат ако ги знаете овие методи.
Покрај тоа, открив интересни факти за логаритмите. За мене беше интересно да го направам ова. Моите проектни производи ќе бидат корисни и за учениците и за наставниците.
Заклучоци:
Така, целта на проектот е постигната и проблемот е решен. И го добив најкомплетното и најразновидно искуство на проектни активности во сите фази на работа. Додека работев на проектот, моето главно развојно влијание беше на менталната компетентност, активности поврзани со логички ментални операции, развој на креативна компетентност, лична иницијатива, одговорност, упорност и активност.
Гаранција за успех при креирање на истражувачки проект за Стекнав: значајно училишно искуство, способност да добивам информации од различни извори, да ја проверувам нејзината веродостојност и да ги рангувам по важност.
Покрај директното познавање на предметот по математика, ги проширив моите практични вештини од областа на компјутерските науки, стекнав нови знаења и искуства од областа на психологијата, воспоставив контакти со соучениците и научив да соработувам со возрасни. Во текот на проектните активности беа развиени организациски, интелектуални и комуникациски општообразовни вештини.
Литература
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Системи на неравенки со една променлива (стандардни задачи C3).
2. Malkova A. G. Подготовка за единствен државен испит по математика.
3. Самарова С. С. Решавање логаритамски неравенки.
4. Математика. Збирка работи за обука уредена од А.Л. Семенов и И.В. Јашченко. -М.: МТсНМО, 2009. - 72 стр.-
