Нека X– аргумент (независна променлива); y=y(x)– функција.
Да земеме фиксна вредност на аргументот x=x 0 и пресметај ја вредноста на функцијата y 0 =y(x 0 ) . Сега произволно да поставиме зголемување (промена) на аргументот и означете го X ( Xможе да биде од кој било знак).
Аргументот за зголемување е точка X 0 + X. Да речеме дека содржи и вредност на функцијата y=y(x 0 + X)(види слика).
Така, со произволна промена на вредноста на аргументот, се добива промена на функцијата, која се нарекува зголемување вредности на функции:
и не е произволна, туку зависи од видот на функцијата и вредноста 
.
Аргументи и функционални зголемувања може да бидат конечна, т.е. изразени како константни броеви, во кој случај тие понекогаш се нарекуваат конечни разлики.
Во економијата, конечните зголемувања се разгледуваат доста често. На пример, табелата покажува податоци за должината на железничката мрежа на одредена држава. Очигледно, зголемувањето на должината на мрежата се пресметува со одземање на претходната вредност од следната.
Должината на железничката мрежа ќе ја разгледаме како функција, чиј аргумент ќе биде времето (години).
|
Должина на пругата од 31 декември, илјада км. |
Зголемување |
Просечен годишен раст |
|
Само по себе, зголемувањето на функцијата (во овој случај, должината на железничката мрежа) не ја карактеризира добро промената на функцијата. Во нашиот пример, од фактот дека 2,5>0,9 не може да се заклучи дека мрежата пораснала побрзо во 2000-2003 години отколку во 2004 е., бидејќи прирастот 2,5 се однесува на тригодишен период, и 0,9 - за само една година. Затоа, сосема е природно зголемувањето на функцијата да доведе до промена на единицата во аргументот. Зголемувањето на аргументот овде е периоди: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .
Го добиваме она што се нарекува во економската литература просечен годишен раст.
Можете да ја избегнете операцијата за намалување на зголемувањето на единицата за промена на аргументот ако ги земете вредностите на функциите за вредностите на аргументите кои се разликуваат за еден, што не е секогаш можно.
Во математичката анализа, особено во диференцијалното сметање, се разгледуваат бесконечно мали (IM) зголемувања на аргументот и функцијата.
Диференцијација на функција од една променлива (дериват и диференцијал) Извод на функција
Зголемување на аргументот и функцијата во точка X 0 може да се смета за споредливи бесконечно мали величини (види тема 4, споредба на BM), т.е. БМ е од ист ред.
Тогаш нивниот сооднос ќе има конечна граница, која се дефинира како извод на функцијата во т X 0 .
Граница на односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на BM на аргументот во точка x=x 0 повикани дериват функционира во дадена точка.
Симболичкото означување на дериват со удар (или подобро, со римски број I) беше воведено од Њутн. Можете исто така да користите подлога, која покажува со која променлива се пресметува изводот, на пример, 
. Друга нотација предложена од основачот на пресметката на деривати, германскиот математичар Лајбниц, исто така е широко користен: 
. Ќе дознаете повеќе за потеклото на оваа ознака во делот Диференцијал на функции и диференцијал на аргументи.
Оваа бројка проценува брзинапромени во функцијата што минува низ точка 
.
Ајде да инсталираме геометриско значењеизвод на функција во точка. За таа цел, ќе ја нацртаме функцијата y=y(x)и на него означете ги точките што ја одредуваат промената y(x)во меѓувреме 
Тангента на графикот на функција во точка М 0
ќе ја разгледаме ограничувачката положба на секантот М 0
Мсо оглед на тоа 
(точка Мсе лизга по графикот на функцијата до точка М 0
).
Ајде да размислиме 
. Очигледно, 
.
Ако точката Мдиректно по графикот на функцијата кон точката М 0
, потоа вредноста 
ќе се стреми кон одредена граница, која ја означуваме 
. При што.
Ограничи агол
се совпаѓа со аголот на наклонетост на тангентата нацртана на графикот на функцијата вкл. М 0
, па дериватот 
нумерички еднакви тангентен наклон
во наведената точка.
-
геометриско значење на изводот на функцијата во точка.
Така, можеме да ги напишеме тангентите и нормалните равенки ( нормално - ова е права линија нормална на тангентата) на графикот на функцијата во одреден момент X 0 :
Тангента - .
Нормално - 
.
Од интерес се случаите кога овие линии се наоѓаат хоризонтално или вертикално (види Тема 3, посебни случаи на положба на права на рамнина). Потоа,
Ако 
;
Ако 
.
Дефиницијата за извод се нарекува диференцијација функции.
Ако функцијата во точката X 0 има конечен извод, тогаш се нарекува диференцијабилнаво оваа точка. Функцијата што е диференцијабилна во сите точки на одреден интервал се нарекува диференцијабилна на овој интервал.
Теорема . Доколку функцијата y=y(x)диференцијабилна вкл. X 0 , тогаш тоа е континуирано во оваа точка.
Така, континуитет– неопходен (но не доволен) услов за диференцијабилност на функцијата.
Дефиниција 1
Ако за секој пар $(x,y)$ вредности на две независни променливи од некој домен е поврзана одредена вредност $z$, тогаш се вели дека $z$ е функција од две променливи $(x,y) $. Нотација: $z=f(x,y)$.
Во однос на функцијата $z=f(x,y)$, да ги разгледаме концептите на општи (вкупни) и парцијални зголемувања на функцијата.
Нека е дадена функција $z=f(x,y)$ од две независни променливи $(x,y)$.
Забелешка 1
Бидејќи променливите $(x,y)$ се независни, едната од нив може да се промени, додека другата останува константна.
Да и дадеме на променливата $x$ зголемување од $\Delta x$, додека вредноста на променливата $y$ ќе остане непроменета.
Тогаш функцијата $z=f(x,y)$ ќе добие инкремент, кој ќе се нарече делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ во однос на променливата $x$. Ознака:
Слично на тоа, ќе и дадеме на променливата $y$ зголемување од $\Delta y$, додека вредноста на променливата $x$ ќе остане непроменета.
Тогаш функцијата $z=f(x,y)$ ќе добие инкремент, кој ќе се нарече делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ во однос на променливата $y$. Ознака:
Ако на аргументот $x$ му се даде зголемување од $\Delta x$, а на аргументот $y$ му се даде зголемување од $\Delta y$, тогаш се добива вкупниот прираст дадена функција$z=f(x,y)$. Ознака:
Така имаме:
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ за $x$;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ за $y$;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - вкупно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$.
Пример 1
Решение:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ над $x$;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ во однос на $y$.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - вкупно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$.
Пример 2
Пресметајте го делумното и вкупното зголемување на функцијата $z=xy$ во точката $(1;2)$ за $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.
Решение:
По дефиниција за делумно зголемување наоѓаме:
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ над $x$
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ за $y$;
По дефиниција за вкупен прираст наоѓаме:
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - вкупно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$.
Оттука,
\[\Делта _(x) z=(1+0,1)\cточка 2=2,2\] \[\Делта _(y) z=1\cdot (2+0,1)=2,1 \] \[\Делта z= (1+0,1)\cточка (2+0,1)=1,1\cточка 2,1=2,31.\]
Забелешка 2
Вкупниот пораст на дадена функција $z=f(x,y)$ не е еднаков на збирот на нејзините парцијални зголемувања $\Delta _(x) z$ и $\Delta _(y) z$. Математичка нотација: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.
Пример 3
Проверете ги наводните забелешки за функцијата
Решение:
$\Делта _(x) z=x+\Делта x+y$; $\Делта _(y) z=x+y+\Делта y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (добиено во пример 1)
Да го најдеме збирот на парцијални зголемувања на дадена функција $z=f(x,y)$
\[\Делта _(x) z+\Делта _(y) z=x+\Делта x+y+(x+y+\Делта y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Делта _(x) z+\Делта _(y) z\ne \Делта z.\]
Дефиниција 2
Ако за секоја тројна $(x,y,z)$ од вредностите на три независни променливи од некој домен е поврзана одредена вредност $w$, тогаш се вели дека $w$ е функција од три променливи $(x, y,z)$ во оваа област.
Нотација: $w=f(x,y,z)$.
Дефиниција 3
Ако за секое множество $(x,y,z,...,t)$ вредности на независни променливи од одреден регион е поврзана одредена вредност $w$, тогаш се вели дека $w$ е функција од променливите $(x,y, z,...,t)$ во оваа област.
Нотација: $w=f(x,y,z,...,t)$.
За функција од три или повеќе променливи, на ист начин како и за функција од две променливи, се одредуваат парцијални зголемувања за секоја од променливите:
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z,... ,t )$ од $z$;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - делумно зголемување на функцијата $w =f (x,y,z,...,t)$ од $t$.
Пример 4
Напишете парцијални и вкупни функции за зголемување
Решение:
По дефиниција за делумно зголемување наоѓаме:
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $x$
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $y$;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $z$;
По дефиниција за вкупен прираст наоѓаме:
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - вкупно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$.
Пример 5
Пресметајте го делумното и вкупното зголемување на функцијата $w=xyz$ во точката $(1;2;1)$ за $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Делта z=0,1$.
Решение:
По дефиниција за делумно зголемување наоѓаме:
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $x$
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $y$;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $z$;
По дефиниција за вкупен прираст наоѓаме:
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - вкупно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$.
Оттука,
\[\Делта _(x) w=(1+0,1)\cточка 2\cточка 1=2,2\] \[\Делта _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Делта _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1,1\cточка 2,1\cточка 1,1=2,541.\]
СО геометриска точкаВо однос на погледот, вкупниот пораст на функцијата $z=f(x,y)$ (по дефиниција $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) е еднаков на зголемувањето на апликацијата на графикот на функцијата $z =f(x,y)$ кога се движи од точка $M(x,y)$ во точка $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Делта y)$ (сл. 1).
Слика 1.
Нека x е произволна точка во некое соседство на фиксна точка x 0 . разликата x – x 0 обично се нарекува инкремент на независната променлива (или зголемување на аргументот) во точката x 0 и се означува Δx. Така,
Δx = x –x 0,
од каде произлегува дека
Зголемување на функцијата -разликата помеѓу две функциски вредности.
Нека е дадена функцијата на = f(x), дефинирана со вредноста на аргументот еднаква на X 0 . Да му дадеме на аргументот инкремент Д X, ᴛ.ᴇ. сметаат дека вредноста на аргументот е еднаква на x 0+D X. Да претпоставиме дека оваа вредност на аргументот е исто така во опсегот на оваа функција. Тогаш разликата Д y = f(x 0+D X) – f(x 0)Најчесто се нарекува зголемување на функцијата. Зголемување на функцијата ѓ(x) во точка x- функцијата обично се означува Δ x fод новата променлива Δ xдефинирани како
Δ x f(Δ x) = ѓ(x + Δ x) − ѓ(x).
Најдете го зголемувањето на аргументот и зголемувањето на функцијата во точката x 0 ако
Пример 2. Најдете го инкрементот на функцијата f(x) = x 2 ако x = 1, ∆x = 0,1
Решение: f(x) = x 2, f(x+∆x) = (x+∆x) 2
Да го најдеме инкрементот на функцијата ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /
Заменете ги вредностите x=1 и ∆x= 0,1, добиваме ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21
Најдете го зголемувањето на аргументот и зголемувањето на функцијата во точката x 0
2.f(x) = 2x 3. x 0 =3 x=2.4
3. f(x) = 2x 2 +2 x 0 =1 x=0,8
4. f(x) = 3x+4 x 0 =4 x=3,8
Дефиниција: Дериватна функцијата во точка, вообичаено е да се повика границата (ако постои и е конечна) на односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот, под услов вториот да се стреми кон нула.
Најчесто користените деривативни ознаки се:
Така,
Наоѓањето на дериватот обично се нарекува диференцијација . Воведени дефиниција на диференцијабилна функција: Функцијата f која има извод во секоја точка од одреден интервал обично се нарекува диференцијабилна на овој интервал.
Нека функцијата е дефинирана во одредено соседство на точка Изводот на функцијата обично се нарекува број таков што функцијата во соседството У(x 0) може да се претстави како
ѓ(x 0 + ч) = ѓ(x 0) + Ах + о(ч)
доколку постои.
Одредување на извод на функција во точка.
Нека функцијата f(x)дефинирани на интервалот (а; б), и се точките на овој интервал.
Дефиниција. Извод на функција f(x)во точка вообичаено е да се нарече граница на односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот во. Означено со .
Кога последната граница добива одредена конечна вредност, зборуваме за постоењето конечен извод во точката. Ако границата е бесконечна, тогаш го велиме тоа изводот е бесконечен во дадена точка. Ако границата не постои, тогаш изводот на функцијата во овој момент не постои.
Функција f(x)се вели дека е диференцијабилна во точка кога има конечен извод на неа.
Во случај функцијата f(x)диференцијабилна во секоја точка од одреден интервал (а; б), тогаш функцијата се нарекува диференцијабилна на овој интервал. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, која било точка xод помеѓу (а; б)можеме да ја совпаднеме вредноста на изводот на функцијата во овој момент, односно имаме можност да дефинираме нова функција, која се нарекува извод на функцијата f(x)на интервалот (а; б).
Операцијата за наоѓање на изводот обично се нарекува диференцијација.
Во животот не сме секогаш заинтересирани за точните вредности на која било количина. Понекогаш е интересно да се знае промената на оваа количина, на пример, просечната брзина на автобусот, односот на количината на движење до временскиот период итн. За да се спореди вредноста на функцијата во одредена точка со вредностите на истата функција во други точки, погодно е да се користат концепти како што се „прираст на функцијата“ и „прираст на аргументот“.
Концептите на „инкремент на функција“ и „прираст на аргументи“
Да речеме дека x е некоја произволна точка што лежи во некое соседство на точката x0. Зголемувањето на аргументот во точката x0 е разликата x-x0. Инкрементот се означува на следниов начин: ∆x.
- ∆x=x-x0.
Понекогаш оваа големина се нарекува и зголемување на независната променлива во точката x0. Од формулата следува: x = x0+∆x. Во такви случаи велат дека почетната вредност на независната променлива x0 добила инкремент ∆x.
Ако го смениме аргументот, тогаш ќе се промени и вредноста на функцијата.
- f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).
Зголемување на функцијата f во точката x0,соодветниот прираст ∆х е разликата f(x0 + ∆х) - f(x0). Зголемувањето на функцијата се означува на следниов начин: ∆f. Така, по дефиниција добиваме:
- ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).
Понекогаш, ∆f се нарекува и зголемување на зависната променлива и ∆у се користи за оваа ознака ако функцијата била, на пример, y=f(x).
Геометриско значење на инкрементот
Погледнете ја следната слика.
Како што можете да видите, зголемувањето ја покажува промената на ординатата и апсцисата на точка. И односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот го одредува аголот на наклонетост на секантата што минува низ почетната и крајната положба на точката.
Ајде да погледнеме примери за зголемување на функција и аргумент
Пример 1.Најдете го зголемувањето на аргументот ∆x и зголемувањето на функцијата ∆f во точката x0, ако f(x) = x 2, x0=2 а) x=1,9 б) x =2,1
Ајде да ги користиме формулите дадени погоре:
а) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;
- ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;
б) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;
- ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.
Пример 2.Пресметај го инкрементот ∆f за функцијата f(x) = 1/x во точката x0 ако зголемувањето на аргументот е еднакво на ∆x.
Повторно, ќе ги користиме формулите добиени погоре.
- ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).
Дефиниција 1
Ако за секој пар $(x,y)$ вредности на две независни променливи од некој домен е поврзана одредена вредност $z$, тогаш се вели дека $z$ е функција од две променливи $(x,y) $. Нотација: $z=f(x,y)$.
Во однос на функцијата $z=f(x,y)$, да ги разгледаме концептите на општи (вкупни) и парцијални зголемувања на функцијата.
Нека е дадена функција $z=f(x,y)$ од две независни променливи $(x,y)$.
Забелешка 1
Бидејќи променливите $(x,y)$ се независни, едната од нив може да се промени, додека другата останува константна.
Да и дадеме на променливата $x$ зголемување од $\Delta x$, додека вредноста на променливата $y$ ќе остане непроменета.
Тогаш функцијата $z=f(x,y)$ ќе добие инкремент, кој ќе се нарече делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ во однос на променливата $x$. Ознака:
Слично на тоа, ќе и дадеме на променливата $y$ зголемување од $\Delta y$, додека вредноста на променливата $x$ ќе остане непроменета.
Тогаш функцијата $z=f(x,y)$ ќе добие инкремент, кој ќе се нарече делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ во однос на променливата $y$. Ознака:
Ако на аргументот $x$ му е даден инкремент $\Delta x$, а на аргументот $y$ му е даден инкремент $\Delta y$, тогаш целосниот пораст на дадената функција $z=f(x,y)$ се добива. Ознака:
Така имаме:
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ за $x$;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ за $y$;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - вкупно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$.
Пример 1
Решение:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ над $x$;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ во однос на $y$.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - вкупно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$.
Пример 2
Пресметајте го делумното и вкупното зголемување на функцијата $z=xy$ во точката $(1;2)$ за $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.
Решение:
По дефиниција за делумно зголемување наоѓаме:
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ над $x$
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ за $y$;
По дефиниција за вкупен прираст наоѓаме:
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - вкупно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$.
Оттука,
\[\Делта _(x) z=(1+0,1)\cточка 2=2,2\] \[\Делта _(y) z=1\cdot (2+0,1)=2,1 \] \[\Делта z= (1+0,1)\cточка (2+0,1)=1,1\cточка 2,1=2,31.\]
Забелешка 2
Вкупниот пораст на дадена функција $z=f(x,y)$ не е еднаков на збирот на нејзините парцијални зголемувања $\Delta _(x) z$ и $\Delta _(y) z$. Математичка нотација: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.
Пример 3
Проверете ги наводните забелешки за функцијата
Решение:
$\Делта _(x) z=x+\Делта x+y$; $\Делта _(y) z=x+y+\Делта y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (добиено во пример 1)
Да го најдеме збирот на парцијални зголемувања на дадена функција $z=f(x,y)$
\[\Делта _(x) z+\Делта _(y) z=x+\Делта x+y+(x+y+\Делта y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Делта _(x) z+\Делта _(y) z\ne \Делта z.\]
Дефиниција 2
Ако за секоја тројна $(x,y,z)$ од вредностите на три независни променливи од некој домен е поврзана одредена вредност $w$, тогаш се вели дека $w$ е функција од три променливи $(x, y,z)$ во оваа област.
Нотација: $w=f(x,y,z)$.
Дефиниција 3
Ако за секое множество $(x,y,z,...,t)$ вредности на независни променливи од одреден регион е поврзана одредена вредност $w$, тогаш се вели дека $w$ е функција од променливите $(x,y, z,...,t)$ во оваа област.
Нотација: $w=f(x,y,z,...,t)$.
За функција од три или повеќе променливи, на ист начин како и за функција од две променливи, се одредуваат парцијални зголемувања за секоја од променливите:
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z,... ,t )$ од $z$;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - делумно зголемување на функцијата $w =f (x,y,z,...,t)$ од $t$.
Пример 4
Напишете парцијални и вкупни функции за зголемување
Решение:
По дефиниција за делумно зголемување наоѓаме:
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $x$
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $y$;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $z$;
По дефиниција за вкупен прираст наоѓаме:
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - вкупно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$.
Пример 5
Пресметајте го делумното и вкупното зголемување на функцијата $w=xyz$ во точката $(1;2;1)$ за $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Делта z=0,1$.
Решение:
По дефиниција за делумно зголемување наоѓаме:
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $x$
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $y$;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $z$;
По дефиниција за вкупен прираст наоѓаме:
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - вкупно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$.
Оттука,
\[\Делта _(x) w=(1+0,1)\cточка 2\cточка 1=2,2\] \[\Делта _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Делта _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1,1\cточка 2,1\cточка 1,1=2,541.\]
Од геометриска гледна точка, вкупниот пораст на функцијата $z=f(x,y)$ (по дефиниција $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) е еднаков на зголемувањето на апликацијата на графичката функција $z=f(x,y)$ кога се движите од точката $M(x,y)$ до точката $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Делта y)$ (сл. 1).
Слика 1.
