Неравенки и системи на неравенки се една од темите опфатени во алгебрата во средно училиште. Во однос на нивото на тежина, тоа не е најтешко, бидејќи има едноставни правила (повеќе за нив малку подоцна). Како по правило, учениците учат лесно да ги решаваат системите на нееднаквости. Ова се должи и на фактот што наставниците едноставно ги „обучуваат“ своите ученици на оваа тема. И тие не можат а да не го направат ова, затоа што во иднина се изучува со помош на други математички величини, а исто така се тестира на Единствениот државен испит и Обединетиот државен испит. Во училишните учебници темата за нееднаквости и системи на нееднаквости е опфатена многу детално, па ако сакате да ја проучувате, најдобро е да прибегнете кон нив. Оваа статија резимира само поголем материјал и може да има некои пропусти.

Концептот на систем на нееднаквости

Ако се свртиме кон научниот јазик, можеме да го дефинираме концептот на „систем на нееднаквости“. Ова е математички модел кој претставува неколку неравенки. Овој модел, се разбира, бара решение и ова ќе биде општиот одговор за сите неравенки на системот предложени во задачата (обично ова е напишано во него, на пример: „Реши го системот на неравенки 4 x + 1 > 2 и 30 - x > 6...“). Сепак, пред да преминете на видовите и методите на решенија, треба да разберете нешто друго.

Системи на неравенки и системи на равенки

Кога се учи нова тема, често се појавуваат недоразбирања. Од една страна, сè е јасно и сакате што поскоро да почнете да ги решавате задачите, но од друга страна, некои моменти остануваат во „сенка“ и не се целосно разбрани. Исто така, некои елементи на веќе стекнатото знаење може да бидат испреплетени со нови. Како резултат на ова „преклопување“, често се појавуваат грешки.

Затоа, пред да започнеме да ја анализираме нашата тема, треба да се потсетиме на разликите помеѓу равенките и неравенките и нивните системи. За да го направите ова, треба уште еднаш да објасниме што претставуваат овие математички концепти. Равенката е секогаш еднаквост и секогаш е еднаква на нешто (во математиката овој збор се означува со знакот „="). Нееднаквоста е модел во кој една вредност е или поголема или помала од друга, или содржи изјава дека тие не се исти. Така, во првиот случај, соодветно е да се зборува за еднаквост, а во вториот, колку и да звучи очигледно од самото име, за нееднаквоста на првичните податоци. Системите на равенки и неравенки практично не се разликуваат едни од други и методите за нивно решавање се исти. Единствената разлика е што во првиот случај се користат еднаквости, а во вториот случај се користат неравенки.

Видови неравенки

Постојат два вида неравенки: нумерички и со непозната променлива. Првиот тип претставува обезбедени количини (броеви) кои се нееднакви една со друга, на пример, 8 > 10. Вториот се неравенки кои содржат непозната променлива (означена со буква од латиницата, најчесто X). Оваа променлива треба да се најде. Во зависност од тоа колку ги има, математичкиот модел прави разлика помеѓу неравенки со една (сочинуваат систем на неравенки со една променлива) или неколку променливи (сочинуваат систем на неравенки со повеќе променливи).

Последните два вида, според степенот на нивната конструкција и степенот на сложеност на решението, се делат на едноставни и сложени. Едноставните се нарекуваат и линеарни неравенки. Тие, пак, се поделени на строги и нестроги. Строгите конкретно „велат“ дека една количина нужно мора да биде или помала или повеќе, така што ова е чиста нееднаквост. Може да се дадат неколку примери: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, итн. Нестрогите исто така вклучуваат еднаквост. Односно, една вредност може да биде поголема или еднаква на друга вредност (знакот „≥“) или помала или еднаква на друга вредност (знакот „≤“). Дури и во линеарни неравенки, променливата не е во корен, квадрат или делива со ништо, поради што се нарекуваат „едноставни“. Сложените вклучуваат непознати променливи кои бараат повеќе математика за да се најдат. Тие често се наоѓаат во квадрат, коцка или под корен, можат да бидат модуларни, логаритамски, фракционо, итн. . Сепак, пред тоа треба да се кажат неколку зборови за нивните својства.

Својства на неравенки

Својствата на неравенките го вклучуваат следново:

  1. Знакот за нееднаквост се менува ако се користи операција за промена на редоследот на страните (на пример, ако t 1 ≤ t 2, тогаш t 2 ≥ t 1).
  2. Двете страни на неравенката ви дозволуваат да го додадете истиот број на себе (на пример, ако t 1 ≤ t 2, тогаш t 1 + број ≤ t 2 + број).
  3. Две или повеќе неравенки со знак во иста насока дозволуваат да се додадат нивната лева и десна страна (на пример, ако t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, тогаш t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
  4. Двата дела на неравенката може да се помножат или поделат со ист позитивен број (на пример, ако t 1 ≤ t 2 и број ≤ 0, тогаш бројот · t 1 ≥ број · t 2).
  5. Две или повеќе неравенки кои имаат позитивни членови и знак во иста насока дозволуваат да се множат едни со други (на пример, ако t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 потоа t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
  6. Двата дела на неравенката дозволуваат да се множат или поделат со ист негативен број, но во овој случај знакот на неравенката се менува (на пример, ако t 1 ≤ t 2 и број ≤ 0, тогаш бројот · t 1 ≥ број · t 2).
  7. Сите неравенки имаат својство на транзитивност (на пример, ако t 1 ≤ t 2 и t 2 ≤ t 3, тогаш t 1 ≤ t 3).

Сега, по проучувањето на основните принципи на теоријата поврзани со нееднаквостите, можеме да продолжиме директно на разгледување на правилата за решавање на нивните системи.

Решавање системи на нееднаквости. Генерални информации. Решенија

Како што споменавме погоре, решението се вредностите на променливата што се погодни за сите неравенки на дадениот систем. Решавањето на системи на неравенки е имплементација на математички операции кои на крајот водат до решение на целиот систем или докажуваат дека тој нема решенија. Во овој случај, се вели дека променливата припаѓа на празно нумеричко множество (напишано на следниов начин: буква што означува променлива∈ (знакот „припаѓа“) ø (знакот „празен сет“), на пример, x ∈ ø (читај: „Променливата „x“ припаѓа на празното множество“). Постојат неколку начини за решавање на системи на неравенки: графички, алгебарски, метод на замена. Вреди да се напомене дека тие се однесуваат на оние математички модели кои имаат неколку непознати променливи. Во случај кога има само еден, методот на интервал е погоден.

Графички метод

Ви овозможува да решите систем на неравенки со неколку непознати величини (од две и погоре). Благодарение на овој метод, системот на линеарни неравенки може да се реши прилично лесно и брзо, па затоа е најчестиот метод. Ова се објаснува со фактот дека исцртувањето на графиконот го намалува обемот на пишување математички операции. Посебно е пријатно да направите мала пауза од пенкалото, да земете молив со линијар и да започнете понатамошни активности со нивна помош кога ќе завршите многу работа и сакате малку разновидност. Сепак, на некои луѓе не им се допаѓа овој метод затоа што треба да се оттргнат од задачата и да ја префрлат својата ментална активност на цртање. Сепак, ова е многу ефикасен метод.

За да се реши систем на неравенки со помош на графички метод, потребно е да се пренесат сите членови на секоја неравенка на нивната лева страна. Знаците ќе бидат обратни, десно треба да се напише нула, а потоа секоја неравенка треба да се запише посебно. Како резултат на тоа, функциите ќе се добијат од неравенки. По ова, можете да извадите молив и линијар: сега треба да нацртате графикон за секоја добиена функција. Целото множество броеви што ќе бидат во интервалот на нивното пресекување ќе биде решение за системот на неравенки.

Алгебарски начин

Ви овозможува да решите систем на неравенки со две непознати променливи. Исто така, неравенките мора да го имаат истиот знак за нееднаквост (односно, тие мора да го содржат или само знакот „поголемо од“ или само знакот „помалку од“ итн.) И покрај неговите ограничувања, овој метод е исто така покомплексен. Се применува во две фази.

Првиот вклучува активности за да се ослободиме од една од непознатите променливи. Прво треба да го изберете, а потоа проверете дали има броеви пред оваа променлива. Ако ги нема (тогаш променливата ќе изгледа како една буква), тогаш не менуваме ништо, ако ги има (типот на променливата ќе биде, на пример, 5y или 12y), тогаш потребно е да се направи сигурни дека во секоја неравенка бројот пред избраната променлива е ист. За да го направите ова, треба да го помножите секој член од неравенките со заеднички фактор, на пример, ако во првата неравенка е напишано 3y, а во втората 5y, тогаш треба да ги помножите сите членови на првата неравенка со 5. , а вториот за 3. Резултатот е 15y и 15y, соодветно.

Втора фаза на решение. Неопходно е да се префрли левата страна на секоја неравенка на нивните десни страни, менувајќи го знакот на секој член на спротивната страна и напишете нула на десната страна. Потоа доаѓа забавниот дел: ослободување од избраната променлива (инаку позната како „намалување“) со додавање на нееднаквостите. Ова резултира со нееднаквост со една променлива што треба да се реши. После ова, треба да го направите истото, само со друга непозната променлива. Добиените резултати ќе бидат решение на системот.

Метод на замена

Ви овозможува да решите систем на неравенки доколку е можно да се воведе нова променлива. Вообичаено, овој метод се користи кога непознатата променлива во едниот член од неравенката е подигната до четвртата моќност, а во другиот член е на квадрат. Така, овој метод е насочен кон намалување на степенот на нееднаквости во системот. Неравенството на примерокот x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 се решава на овој начин. Воведена е нова променлива, на пример т. Тие пишуваат: „Нека t = x 2“, потоа моделот се препишува во нова форма. Во нашиот случај, добиваме t 2 - t - 1 ≤0. Оваа неравенка треба да се реши со методот на интервал (повеќе за тоа малку подоцна), потоа да се вратиме на променливата X, а потоа да го сториме истото со другата неравенка. Добиените одговори ќе бидат решение на системот.

Метод на интервал

Ова е наједноставниот начин за решавање на системи на нееднаквости, а во исто време е универзален и широко распространет. Се користи во средните училишта, па дури и во повисоките училишта. Нејзината суштина лежи во фактот што ученикот бара интервали на неравенки на бројна права, која е нацртана во тетратка (ова не е график, туку само обична линија со броеви). Онаму каде што интервалите на неравенки се сечат, се наоѓа решението на системот. За да го користите методот на интервал, треба да ги следите овие чекори:

  1. Сите членови на секоја неравенка се пренесуваат на левата страна со знакот кој се менува во спротивното (десно е напишана нула).
  2. Неравенките се запишуваат посебно и се одредува решението на секоја од нив.
  3. Пронајдени се пресеците на неравенки на бројната права. Сите броеви кои се наоѓаат на овие раскрсници ќе бидат решение.

Кој метод треба да го користам?

Очигледно онаа што изгледа најлесно и најзгодно, но има случаи кога задачите бараат одреден метод. Најчесто тие велат дека треба да решите или користејќи графикон или методот на интервал. Алгебарскиот метод и замена се користат исклучително ретко или воопшто не се користат, бидејќи се доста сложени и збунувачки, а освен тоа, тие се повеќе користени за решавање системи на равенки наместо неравенки, па затоа треба да се прибегнете кон цртање графикони и интервали. Тие носат јасност, што не може, а да не придонесе за ефикасно и брзо извршување на математичките операции.

Ако нешто не успее

При проучувањето на одредена тема во алгебрата, природно, може да се појават проблеми со нејзиното разбирање. И ова е нормално, бидејќи нашиот мозок е дизајниран на таков начин што не е во состојба да разбере сложен материјал со еден потег. Честопати треба да препрочитате став, да побарате помош од наставникот или да вежбате да решавате стандардни задачи. Во нашиот случај, тие изгледаат, на пример, вака: „Реши го системот на неравенки 3 x + 1 ≥ 0 и 2 x - 1 > 3“. Така, личната желба, помошта од аутсајдери и практиката помагаат во разбирањето на секоја сложена тема.

Решавач?

Книга за решенија е исто така многу погодна, но не за копирање домашна задача, туку за самопомош. Во нив можете да најдете системи на нееднаквости со решенија, да ги погледнете (како шаблони), да се обидете да разберете како точно авторот на решението се справил со задачата, а потоа обидете се да го сторите истото самостојно.

заклучоци

Алгебрата е еден од најтешките предмети во училиштето. Па, што можете да направите? Математиката отсекогаш била вака: за некого е лесно, а за други тешко. Но, во секој случај, треба да се запомни дека општообразовната програма е структурирана на таков начин што секој студент може да се справи со неа. Покрај тоа, мора да се има предвид огромниот број асистенти. Некои од нив се споменати погоре.

Решавање на неравенство во две променливи, и уште повеќе системи на неравенки со две променливи, се чини дека е доста тешка задача. Сепак, постои едноставен алгоритам кој помага лесно и без многу напор да се решат навидум многу сложени проблеми од овој вид. Ајде да се обидеме да го сфатиме.

Дозволете ни да имаме неравенство со две променливи од еден од следниве типови:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

За да го прикажете множеството решенија за таквата нееднаквост на координатната рамнина, постапете на следниов начин:

1. Градиме график на функцијата y = f(x), која ја дели рамнината на два региони.

2. Избираме која било од добиените области и разгледуваме произволна точка во неа. Ја проверуваме изводливоста на првобитната нееднаквост за оваа точка. Ако тестот резултира со правилна нумеричка неравенка, тогаш заклучуваме дека оригиналната неравенка е задоволена во целиот регион на кој припаѓа избраната точка. Така, множеството решенија на нееднаквоста е регионот на кој припаѓа избраната точка. Ако резултатот од проверката е неточна нумеричка неравенка, тогаш множеството решенија на неравенката ќе биде вториот регион на кој не му припаѓа избраната точка.

3. Ако неравенката е строга, тогаш границите на регионот, односно точките на графикот на функцијата y = f(x), не се вклучени во множеството решенија и границата е прикажана со точкаста линија. Ако неравенката не е строга, тогаш границите на регионот, односно точките на графикот на функцијата y = f(x), се вклучени во множеството решенија на оваа неравенка и границата во овој случај е прикажана како полна линија.
Сега да разгледаме неколку проблеми на оваа тема.

Задача 1.

Кое множество точки е дадено со неравенката x · y ≤ 4?

Решение.

1) Градиме график на равенката x · y = 4. За да го направите ова, прво го трансформираме. Очигледно, x во овој случај не се претвора во 0, бидејќи во спротивно би имале 0 · y = 4, што е неточно. Ова значи дека можеме да ја поделиме нашата равенка со x. Добиваме: y = 4/x. Графикот на оваа функција е хипербола. Ја дели целата рамнина на два региони: оној помеѓу двете гранки на хиперболата и оној надвор од нив.

2) Да избереме произволна точка од првиот регион, нека биде точката (4; 2).
Да ја провериме неравенството: 4 · 2 ≤ 4 – неточно.

Тоа значи дека точките од овој регион не ја задоволуваат првобитната нееднаквост. Тогаш можеме да заклучиме дека множеството решенија на неравенката ќе биде вториот регион на кој не му припаѓа избраната точка.

3) Бидејќи неравенството не е строга, граничните точки, односно точките на графикот на функцијата y = 4/x, ги цртаме со полна линија.

Ајде да го насликаме множеството точки што ја дефинираат првобитната нееднаквост во жолта боја (сл. 1).

Задача 2.

Нацртајте ја областа дефинирана на координатната рамнина од системот
(y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Решение.

За почеток, градиме графикони на следните функции (Сл. 2):

y = x 2 + 2 – парабола,

y + x = 1 – права линија

x 2 + y 2 = 9 – круг.

1) y > x 2 + 2.

Ја земаме точката (0; 5), која се наоѓа над графикот на функцијата.
Да ја провериме неравенството: 5 > 0 2 + 2 – точно.

Следствено, сите точки што лежат над дадената парабола y = x 2 + 2 ја задоволуваат првата неравенка на системот. Ајде да ги обоиме жолто.

2) y + x > 1.

Ја земаме точката (0; 3), која се наоѓа над графикот на функцијата.
Да ја провериме неравенството: 3 + 0 > 1 – точно.

Следствено, сите точки што лежат над правата линија y + x = 1 ја задоволуваат втората нееднаквост на системот. Да ги обоиме со зелено засенчување.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Земете ја точката (0; -4), која лежи надвор од кругот x 2 + y 2 = 9.
Да ја провериме неравенството: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неточно.

Затоа, сите точки што лежат надвор од кругот x 2 + y 2 = 9, не ја задоволуваат третата нееднаквост на системот. Тогаш можеме да заклучиме дека сите точки што се наоѓаат во кругот x 2 + y 2 = 9 ја задоволуваат третата неравенка на системот. Ајде да ги обоиме со виолетово засенчување.

Не заборавајте дека ако нееднаквоста е строга, тогаш соодветната гранична линија треба да се повлече со точкаста линија. Ја добиваме следната слика (сл. 3).

(сл. 4).

Задача 3.

Нацртајте ја областа дефинирана на координатната рамнина од системот:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Решение.

За почеток, градиме графикони на следните функции:

x 2 + y 2 = 16 – круг,

x = -y – права линија

x 2 + y 2 = 4 – круг (сл. 5).

Сега да ја разгледаме секоја нееднаквост одделно.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Земете ја точката (0; 0), која лежи во кругот x 2 + y 2 = 16.
Да ја провериме неравенството: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – точно.

Според тоа, сите точки што лежат во кругот x 2 + y 2 = 16 ја задоволуваат првата нееднаквост на системот.
Да ги обоиме со црвено засенчување.

Ја земаме точката (1; 1), која се наоѓа над графикот на функцијата.
Да ја провериме неравенството: 1 ≥ -1 – точно.

Следствено, сите точки што лежат над правата x = -y ја задоволуваат втората неравенка на системот. Ајде да ги обоиме со сино засенчување.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Земете ја точката (0; 5), која лежи надвор од кругот x 2 + y 2 = 4.
Да ја провериме неравенството: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – точно.

Следствено, сите точки што лежат надвор од кругот x 2 + y 2 = 4 ја задоволуваат третата неравенка на системот. Ајде да ги обоиме сино.

Во овој проблем, сите нееднаквости не се строги, што значи дека ги повлекуваме сите граници со полна линија. Ја добиваме следната слика (сл. 6).

Областа за пребарување е областа каде што сите три обоени области се вкрстуваат една со друга (Слика 7).

Сè уште имате прашања? Не знаете како да решите систем на неравенки со две променливи?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.

Час и презентација на тема: „Системи на неравенки. Примери на решенија“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Едукативни помагала и симулатори во онлајн продавницата Integral за 9 одделение
Интерактивен учебник за 9 одделение „Правила и вежби по геометрија“
Електронски учебник „Разбирлива геометрија“ за 7-9 одделение

Систем на нееднаквости

Момци, проучувавте линеарни и квадратни неравенки и научивте како да решавате проблеми на овие теми. Сега да преминеме на нов концепт во математиката - систем на нееднаквости. Системот на неравенки е сличен на системот на равенки. Дали се сеќавате на системите на равенки? Сте учеле системи на равенки во седмо одделение, обидете се да се сетите како сте ги решиле.

Да ја воведеме дефиницијата за систем на нееднаквости.
Неколку неравенки со некоја променлива x формираат систем на неравенки ако треба да ги најдете сите вредности на x за кои секоја од неравенките формира точен нумерички израз.

Секоја вредност на x за која секоја неравенка го зема точниот нумерички израз е решение на неравенката. Може да се нарече и приватно решение.
Што е приватно решение? На пример, во одговорот го добивме изразот x>7. Тогаш x=8, или x=123, или кој било друг број поголем од седум е одредено решение, а изразот x>7 е општо решение. Општото решение го формираат многу приватни решенија.

Како го комбиниравме системот на равенки? Тоа е точно, кадрава заграда, и така тие го прават истото со нееднаквостите. Ајде да погледнеме пример за систем на неравенки: $\begin(scases)x+7>5\\x-3
Ако системот на неравенки се состои од идентични изрази, на пример, $\begin(scases)x+7>5\\x+7
Значи, што значи тоа: да се најде решение за систем на нееднаквости?
Решение за неравенство е збир на парцијални решенија на неравенство што ги задоволува двете неравенки на системот одеднаш.

Општата форма на системот на неравенки ја пишуваме како $\begin(scases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Да го означиме $Х_1$ како општо решение на неравенката f(x)>0.
$X_2$ е општото решение на неравенката g(x)>0.
$X_1$ и $X_2$ се збир на одредени решенија.
Решението на системот на неравенки ќе бидат броеви кои припаѓаат и на $X_1$ и на $X_2$.
Да се ​​потсетиме на операциите на сетови. Како да најдеме елементи од множество кои припаѓаат на двете множества одеднаш? Така е, има операција на вкрстување за ова. Значи, решението за нашата неравенка ќе биде множеството $A= X_1∩ X_2$.

Примери на решенија за системи на неравенки

Ајде да погледнеме примери за решавање системи на нееднаквости.

Решете го системот на неравенки.
а) $\begin(случаи)3x-1>2\\5x-10 б) $\begin(случаи)2x-4≤6\\-x-4
Решение.
а) Решете ја секоја неравенка посебно.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x> 1$.
5x-10 долари
Да ги означиме нашите интервали на една координатна линија.

Решението на системот ќе биде сегментот на пресекот на нашите интервали. Нееднаквоста е строга, тогаш сегментот ќе биде отворен.
Одговор: (1;3).

Б) Исто така, ќе ја решиме секоја неравенка посебно.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$.


Решението на системот ќе биде сегментот на пресекот на нашите интервали. Втората нееднаквост е строга, тогаш сегментот ќе биде отворен лево.
Одговор: (-5; 5].

Ајде да резимираме што научивме.
Да речеме дека е неопходно да се реши системот на неравенки: $\begin(scases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(scases)$.
Тогаш, интервалот ($x_1; x_2$) е решение за првата неравенка.
Интервалот ($y_1; y_2$) е решение за втората неравенка.
Решението за систем на неравенки е пресекот на решенијата на секоја неравенка.

Системите на неравенки може да се состојат не само од неравенки од прв ред, туку и од какви било други видови неравенки.

Важни правила за решавање на системи на нееднаквости.
Ако една од нееднаквостите на системот нема решенија, тогаш целиот систем нема решенија.
Ако една од неравенките е задоволена за која било вредност на променливата, тогаш решението на системот ќе биде решение на другата неравенка.

Примери.
Решете го системот на неравенки:$\begin(scases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(scases)$
Решение.
Ајде да ја решиме секоја неравенка посебно.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.



Да ја решиме втората неравенка.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Решението на неравенството е интервалот.
Ајде да ги нацртаме двата интервали на иста линија и да го најдеме пресекот.
Пресекот на интервали е сегментот (4; 6].
Одговор: (4;6].

Решете го системот на неравенки.
а) $\begin(случаи)3x+3>6\\2x^2+4x+4 б) $\begin(случаи)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end (случаи ) $.

Решение.
а) Првата неравенка има решение x>1.
Да ја најдеме дискриминаторот за втората нееднаквост.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Да се ​​потсетиме на правилото: кога една од нееднаквостите нема решенија, тогаш целиот систем нема решенија.
Одговор: Нема решенија.

Б) Првата неравенка има решение x>1.
Втората неравенка е поголема од нула за сите x. Тогаш решението на системот се совпаѓа со решението на првата неравенка.
Одговор: x>1.

Проблеми на системи на нееднаквости за самостојно решавање

Решавајте системи на неравенки:
а) $\begin(случаи)4x-5>11\\2x-12 б) $\begin(случаи)-3x+1>5\\3x-11 в) $\begin(случаи)x^2-25 г) $\begin(случаи)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(случаи)$
д) $\begin(случаи)x^2+36

Статијата ја опфаќа темата за нееднаквости, се дискутираат дефинициите на системите и нивните решенија. Ќе се разгледуваат чести примери за решавање системи на равенки во училиште во алгебра.

Дефиниција на систем на нееднаквости

Системите на неравенки се одредуваат со дефинициите за системи на равенки, што значи дека посебно внимание се посветува на записите и значењето на самата равенка.

Дефиниција 1

Систем на нееднаквостинаречен запис на равенки комбинирани со кадрава заграда со множество решенија истовремено за сите неравенки вклучени во системот.

Подолу се дадени примери на нееднаквости. Дадени се две неравенки: 2 x − 3 > 0 и 5 − x ≥ 4 x − 11. Неопходно е да се напише една равенка под другата, а потоа да се комбинира со помош на кадрава заграда:

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

На ист начин, дефинициите за системи на нееднаквости се претставени во училишните учебници и за користење на една променлива и за две.

Главни типови на систем на неравенки

Се создаваат бесконечен број системи на неравенки. Тие се класифицирани во групи кои се разликуваат по одредени карактеристики. Неравенките се поделени според следниве критериуми:

  • број на системски нееднаквости;
  • број на променливи за снимање;
  • тип на нееднаквости.

Бројот на дојдовни неравенки може да биде два или повеќе. Претходниот став разгледа пример за решавање на систем со две неравенки.

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

Ајде да размислиме да решиме систем со четири неравенки.

x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 y 2

Решавањето на неравенство одделно не го означува решението на системот како целина. За да се реши системот, потребно е да се искористат сите постоечки нееднаквости.

Ваквите системи на неравенки можат да имаат една, две, три или повеќе променливи. Во последниот прикажан систем тоа е јасно видливо, таму имаме три променливи: x, y, z. Равенките може да содржат една променлива, како во примерот, или неколку. Врз основа на примерите, неравенството x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 и 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 не се сметаат за еквивалентни. Училишните наставни програми се фокусираат на решавање на нееднаквости во една променлива.

Кога се пишува систем, може да се вклучат равенки од различни типови и со различен број на променливи. Најчесто има цели нееднаквости различни степени. Кога се подготвувате за испити, може да наидете на системи со ирационални, логаритамски, експоненцијални равенки од формата:

544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , дневник x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Таквиот систем вклучува експоненцијална и логаритамска равенка.

Решавање на системот на неравенки

Дефиниција 2

Да разгледаме пример за решавање системи на равенки со една променлива.

x > 7, 2 - 3 x ≤ 0

Ако вредноста x = 8, тогаш решението на системот е очигледно, бидејќи се држат 8 > 7 и 2 − 3 8 ≤ 0. На x = 1, системот нема да биде решен, бидејќи првата нумеричка неравенка при замена има 1 > 7. Систем со две или повеќе променливи се решава на ист начин.

Дефиниција 3

Решавање на систем на неравенки со две или повеќе променливинаведете ги вредностите што се решение за сите неравенки кога секоја се претвора во правилна нумеричка неравенка.

Ако x = 1 и y = 2 ќе биде решението на неравенката x + y< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .

Кога решаваат системи на неравенки, тие можат да дадат одреден број одговори или можат да дадат бесконечен број. Ова значи дека има многу решенија за таков систем. Ако нема решенија, велиме дека има празен сет на решенија. Ако решението има специфичен број, тогаш множеството решенија има конечен број на елементи. Ако има многу решенија, тогаш множеството решенија содржи бесконечен број на броеви.

Некои учебници даваат дефиниција за одредено решение за систем на нееднаквости, што се подразбира како посебно решение. А генералното решение на системот на неравенки се смета за сите негови посебни решенија. Оваа дефиниција ретко се користи, па затоа велат „решавање систем на нееднаквости“.

Овие дефиниции на системи на неравенки и решенија се сметаат како пресеци на множества решенија за сите неравенки на системот. Посебно внимание треба да се посвети на делот посветен на еквивалентни нееднаквости.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter


Оваа статија дава првични информации за системите на нееднаквости. Еве дефиниција за систем на неравенки и дефиниција за решение за систем на неравенки. Наведени се и главните типови системи со кои најчесто треба да се работи на часовите по алгебра на училиште, а се дадени и примери.

Навигација на страницата.

Што е систем на нееднаквости?

Удобно е да се дефинираат системите на неравенки на ист начин како што ја воведовме дефиницијата за систем на равенки, односно според видот на ознаката и значењето вградено во него.

Дефиниција.

Систем на нееднаквостие запис што претставува одреден број неравенки напишани една под друга, обединети лево со кадрава заграда и го означува множеството од сите решенија кои истовремено се решенија за секоја неравенка на системот.

Да дадеме пример за систем на нееднаквости. Да земеме две произволни, на пример, 2 x−3>0 и 5−x≥4 x−11, да ги напишеме една под друга
2 x−3>0,
5−x≥4 x−11
и се обединуваме со системски знак - кадрава заграда, како резултат на тоа добиваме систем на нееднаквости од следнава форма:

Слична идеја е дадена и за системите на нееднаквости во училишните учебници. Вреди да се напомене дека нивните дефиниции се дадени потесно: за неравенки со една променлива или со две променливи.

Главни типови системи на неравенки

Јасно е дека е можно да се создадат бесконечно многу различни системи на нееднаквости. За да не се изгубите во оваа разновидност, препорачливо е да ги разгледате во групи кои имаат свои карактеристични карактеристики. Сите системи на неравенки можат да се поделат во групи според следниве критериуми:

  • според бројот на нееднаквости во системот;
  • според бројот на променливи вклучени во снимањето;
  • според видот на самите неравенки.

Врз основа на бројот на неравенки вклучени во записот, се разликуваат системи од два, три, четири итн. нееднаквости Во претходниот став дадовме пример за систем, кој е систем од две неравенки. Да покажеме уште еден пример на систем од четири неравенки .

Одделно, ќе кажеме дека нема смисла да се зборува само за систем на нееднаквост; во овој случај, во суштина, зборуваме за самата нееднаквост, а не за системот.

Ако го погледнете бројот на променливи, тогаш постојат системи на неравенки со една, две, три итн. променливи (или, како што исто така велат, непознати). Погледнете го последниот систем на неравенки напишан два параграфи погоре. Тоа е систем со три променливи x, y и z. Ве молиме имајте предвид дека нејзините први две неравенки не ги содржат сите три променливи, туку само една од нив. Во контекст на овој систем, тие треба да се сфатат како неравенки со три променливи од формата x+0·y+0·z≥−2 и 0·x+y+0·z≤5, соодветно. Забележете дека училиштето се фокусира на нееднаквости со една променлива.

Останува да се разговара за какви видови нееднаквости се вклучени во системите за снимање. На училиште, тие главно ги разгледуваат системите од две неравенки (поретко - три, уште поретко - четири или повеќе) со една или две променливи, а самите неравенки обично се цели нееднаквостипрв или втор степен (поретко - повисоки степени или фракционо рационално). Но, немојте да се изненадите ако во вашите материјали за подготовка за обединет државен испит наидете на системи на неравенки кои содржат ирационални, логаритамски, експоненцијални и други неравенки. Како пример, го даваме системот на нееднаквости , превземено е од .

Кое е решението за системот на нееднаквости?

Да воведеме друга дефиниција поврзана со системи на неравенки - дефиниција за решение на систем на неравенки:

Дефиниција.

Решавање на систем на неравенки со една променливасе нарекува таква вредност на променлива која секоја од неравенките на системот ја претвора во вистинита, со други зборови, таа е решение за секоја неравенка на системот.

Да објасниме со пример. Да земеме систем од две неравенки со една променлива. Да ја земеме вредноста на променливата x еднаква на 8, таа е решение за нашиот систем на неравенки по дефиниција, бидејќи нејзината замена во неравенки на системот дава две точни нумерички неравенки 8>7 и 2−3·8≤0. Напротив, единството не е решение за системот, бидејќи кога ќе се замени со променливата x, првата неравенка ќе се претвори во неточна бројна неравенка 1>7.

Слично, можете да воведете дефиниција за решение за систем на неравенки со две, три или повеќе променливи:

Дефиниција.

Решавање на систем на неравенки со два, три итн. променливинаречен пар, три итн. вредностите на овие променливи, што во исто време е решение за секоја неравенка на системот, односно ја претвора секоја неравенка на системот во правилна нумеричка неравенка.

На пример, пар вредности x=1, y=2 или во друга нотација (1, 2) е решение за систем на неравенки со две променливи, бидејќи 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Системите на неравенки може да немаат решенија, може да имаат конечен број решенија или може да имаат бесконечен број решенија. Луѓето често зборуваат за множеството решенија на системот на нееднаквости. Кога системот нема решенија, тогаш има празен сет од неговите решенија. Кога има конечен број решенија, тогаш множеството решенија содржи конечен број елементи, а кога има бесконечно многу решенија, тогаш множеството решенија се состои од бесконечен број елементи.

Некои извори воведуваат дефиниции за одредено и општо решение на системот на нееднаквости, како на пример во учебниците на Мордкович. Под приватно решение на системот на нееднаквостиразберете ја нејзината единствена одлука. За возврат општо решение на системот на неравенки- тоа се сите нејзини приватни одлуки. Сепак, овие термини имаат смисла само кога е неопходно конкретно да се нагласи за какво решение зборуваме, но обично тоа е веќе јасно од контекстот, па многу почесто тие едноставно велат „решение на систем на нееднаквости“.

Од дефинициите за систем на неравенки и неговите решенија воведени во овој напис, произлегува дека решението на системот на неравенки е пресекот на множествата решенија на сите неравенки на овој систем.

Библиографија.

  1. Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  2. Алгебра: 9-то одделение: воспитно. за општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2009. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  3. Мордкович А.Г.Алгебра. 9-то одделение. За 2 часа Дел 1. Учебник за студенти од општообразовни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13. издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 стр.: илустрација. ISBN 978-5-346-01752-3.
  4. Мордкович А.Г.Алгебра и почеток на математичка анализа. 11 одделение. За 2 часа Дел 1. Учебник за студенти од општообразовни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - второ издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01027-2.
  5. Единствен државен испит-2013 година. Математика: стандардни опции за испит: 30 опции / ед. А. Л. Семенова, И. В. Јашченко. – М.: Издавачка куќа „Национално образование“, 2012. – 192 стр. – (КОРИСТЕЊЕ-2013. ФИПИ - училиште).