Дефиниција 1.Точка x од бесконечна права се нарекува гранична точка на низата (x n) ако во кое било е-соседство на оваа точка има бесконечно многу елементи од низата (x n).

Лема 1.Ако x е гранична точка на низата (x k ), тогаш од оваа низа можеме да избереме потсеквенца (x n k ), која се приближува кон бројот x.

Коментар.Спротивното тврдење е исто така точно. Ако од низата (x k) е можно да се избере потсеквенца која конвергира кон бројот x, тогаш бројот x е граничната точка на низата (x k). Навистина, во кое било е-соседство на точката x има бесконечно многу елементи на потсеквенцата, а со тоа и на самата низа (x k ).

Од Лема 1 следува дека можеме да дадеме друга дефиниција за граничната точка на низата, еквивалентна на Дефиниција 1.

Дефиниција 2.Точка x од бесконечна права се нарекува гранична точка на низата (x k), ако од оваа низа е можно да се избере потсеквенца која се конвергира на x.

Лема 2.Секоја конвергентна низа има само една гранична точка, која се совпаѓа со границата на таа низа.

Коментар.Ако низата се конвергира, тогаш од Лема 2 има само една гранична точка. Меѓутоа, ако (xn) не е конвергентен, тогаш може да има неколку гранични точки (и, генерално, бесконечно многу гранични точки). Да покажеме, на пример, дека (1+(-1) n ) има две гранични точки.

Навистина, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... има две гранични точки 0 и 2, бидејќи потсеквенците (0)=0,0,0,... и (2)=2,2,2,... од оваа низа имаат граници на броевите соодветно 0 и 2. Оваа низа нема други гранични точки. Навистина, нека x е која било точка на бројната оска освен точките 0 и 2. Да земеме e >0 така

мали така што e - соседствата на точките 0, x и 2 не се сечат. Е-соседството на точките 0 и 2 ги содржи сите елементи на низата и затоа е-соседството на точката x не може да содржи бесконечно многу елементи (1+(-1) n ) и затоа не е гранична точка на оваа низа.

Теорема.Секоја ограничена низа има најмалку една гранична точка.

Коментар.Ниту еден број x не надминува , е ограничувачка точка на низата (x n), т.е. - најголемата гранична точка на низата (x n).

Нека x е кој било број поголем од . Дозволете ни да избереме e>0 толку мала што

и x 1 О(x), десно од x 1 има конечен број елементи од низата (x n) или воопшто ги нема, т.е. x не е гранична точка на низата (x n ).



Дефиниција.Најголемата гранична точка на низата (x n) се нарекува горна граница на низата и се означува со симболот. Од забелешката произлегува дека секоја ограничена низа има горна граница.

Слично, се воведува концептот на долна граница (како најмала гранична точка на низата (x n )).

Значи, ја докажавме следнава изјава. Секоја ограничена низа има горните и долните граници.

Да ја формулираме следната теорема без доказ.

Теорема.За да може низата (x n) да биде конвергентна, потребно е и доволно таа да биде ограничена и да се совпаѓаат нејзините горни и долни граници.

Резултатите од овој дел водат до следната главна теорема на Болзано-Вајерштрас.

Теорема Болзано-Вајерштрас.Од која било ограничена низа може да се избере конвергентна потследица.

Доказ.Бидејќи низата (x n ) е ограничена, таа има најмалку една гранична точка x. Потоа, од оваа низа можеме да избереме потсеквенца што се конвергира до точката x (следи од Дефиниција 2 на граничната точка).

Коментар.Од која било ограничена низа може да се изолира монотона конвергентна низа.

Потсетиме дека соседството на точка го нарековме интервал што ја содржи оваа точка; -соседство на точка x - интервал

Дефиниција 4. Точката се нарекува гранична точка на множеството ако кое било соседство на оваа точка содржи бесконечно подмножество од множеството X.

Овој услов е очигледно еквивалентен на фактот дека во кое било соседство на точка има барем една точка од множеството X што не се совпаѓа со неа. (Проверете!)

Да дадеме неколку примери.

Ако тогаш граничната точка за X е само точката.

За интервал, секоја точка од сегментот е гранична точка и во овој случај нема други гранични точки.

За множеството рационални броеви, секоја точка Е е гранична точка, бидејќи, како што знаеме, во секој интервал на реални броеви има рационални броеви.

Лема (Болзано-Вајерштрасе). Секое бесконечно ограничено множество има најмалку една гранична точка.

Нека X е дадено подмножество на E. Од дефиницијата за ограниченост на множество X произлегува дека X е содржан во одредена отсечка. Да покажеме дека барем една од точките на отсечката I е гранична точка за X.

Да не беше така, тогаш секоја точка ќе имаше соседство во кое или воопшто нема точки од множеството X, или има конечен број од нив таму. Множеството од такви соседства конструирани за секоја точка формира покривка на отсечката I со интервали од кои, користејќи ја лемата за конечно покривање, можеме да извлечеме конечен систем на интервали што ја покриваат отсечката I. Но, бидејќи истиот овој систем ја покрива целата множество X. Меѓутоа, во секој интервал има само конечен број точки од множеството X, што значи дека во нивната заедница има и конечен број на точки X, односно X е конечно множество. Произлегуваната противречност го комплетира доказот.

Даден е доказ за теоремата Болзано-Вајерштрас. За да го направите ова, се користи лемата за вгнездени сегменти.

содржина

Исто така види: Лема на вгнездени сегменти

Од која било ограничена низа на реални броеви, можно е да се избере потсеквенца што конвергира кон конечен број. И од која било неограничена низа - бескрајно голема последователна низа што се спојува кон или до .

Теоремата Болзано-Вајерштрас може да се формулира на овој начин.

Од која било низа на реални броеви, можно е да се избере потсеквенца што конвергира или кон конечен број, или до или до .

Доказ за првиот дел од теоремата

За да го докажеме првиот дел од теоремата, ќе ја примениме вгнездената отсечка лема.

Нека низата е ограничена. Ова значи дека има позитивен број M, така што за сите n,
.
Односно, сите членови на низата припаѓаат на отсечката, која ја означуваме како . Еве . Должина на првиот сегмент. Ајде да земеме кој било елемент од низата како прв елемент од потсеквенцата. Да го означиме како .

Поделете го сегментот на половина. Ако нејзината десна половина содржи бесконечен број елементи од низата, тогаш земете ја десната половина како следен сегмент. Во спротивно, да ја земеме левата половина. Како резултат на тоа, добиваме втор сегмент кој содржи бесконечен број елементи од низата. Должината на овој сегмент. Еве, ако ја земеме десната половина; и - ако се остави. Како втор елемент од потсеквенцата, земаме кој било елемент од низата што припаѓа на вториот сегмент со број поголем од n 1 . Да го означиме како ().

На овој начин го повторуваме процесот на делење на сегментите. Поделете го сегментот на половина. Ако нејзината десна половина содржи бесконечен број елементи од низата, тогаш земете ја десната половина како следен сегмент. Во спротивно, да ја земеме левата половина. Како резултат на тоа, добиваме сегмент кој содржи бесконечен број елементи од низата. Должината на овој сегмент. Како елемент од потсеквенцата, земаме кој било елемент од низата што припаѓа на сегмент со број поголем од n к.

Како резултат на тоа, добиваме последователна низа и систем на вгнездени сегменти
.
Покрај тоа, секој елемент од последователната низа припаѓа на соодветниот сегмент:
.

Бидејќи должините на отсечките имаат тенденција на нула како , тогаш според лемата за вгнездени отсечки, постои единствена точка c која им припаѓа на сите отсечки.

Да покажеме дека оваа точка е граница на последователната секвенца:
.
Навистина, бидејќи точките и c припаѓаат на сегмент со должина , тогаш
.
Бидејќи, тогаш според теоремата за средна низа,
. Од тука
.

Првиот дел од теоремата е докажан.

Доказ за вториот дел од теоремата

Редоследот нека биде неограничен. Ова значи дека за кој било број М, постои n такво што
.

Прво, разгледајте го случајот кога низата е неограничена десно. Односно, за секој М > 0 , постои n такво што
.

Како прв елемент од последователната низа, земете кој било елемент од низата поголем од еден:
.
Како втор елемент од последователната низа, земаме кој било елемент од низата поголем од два:
,
и да .
И така натаму. Како k-ти елемент од потсеквенцата земаме кој било елемент
,
и .
Како резултат на тоа, добиваме последователна низа, од која секој елемент ја задоволува нееднаквоста:
.

Ги внесуваме броевите M и N M, поврзувајќи ги со следните односи:
.
Следи дека за кој било број М може да се избере природен број, така што за сите природни броеви k >
Тоа значи дека
.

Сега разгледајте го случајот кога низата е ограничена десно. Бидејќи е неограничена, мора да се остави неограничена. Во овој случај, образложението го повторуваме со мали измени.

Избираме последователна низа така што нејзините елементи ги задоволуваат нееднаквостите:
.
Потоа ги внесуваме броевите M и N M, поврзувајќи ги со следните односи:
.
Тогаш за кој било број M може да се избере природен број, така што за сите природни броеви k > N M важи неравенството.
Тоа значи дека
.

Теоремата е докажана.

Исто така види:

Дефиниција v.7. Точка x € R на бројната права се нарекува гранична точка на низата (xn) ако за кое било соседство U (x) и кој било природен број N е можно да се најде елемент xn што припаѓа на ова соседство со број поголем од LG, т.е. x 6 R - гранична точка ако. Со други зборови, точка x ќе биде гранична точка за (xn) ако некое од нејзините соседства содржи елементи од оваа низа со произволно големи броеви, иако можеби не сите елементи со броеви n > N. Затоа, следнава изјава е сосема очигледна . Изјава б.б. Ако lim(xn) = 6 6 R, тогаш b е единствената гранична точка на низата (xn). Навистина, врз основа на дефиницијата 6.3 за границата на низата, сите нејзини елементи, почнувајќи од одреден број, спаѓаат во кое било произволно мало соседство на точката 6, и затоа елементите со произволно голем број не можат да паднат во соседството на која било друга точка . Следствено, условот од дефиницијата 6.7 е задоволен само за една точка 6. Меѓутоа, не секоја гранична точка (понекогаш наречена тенка кондензирана точка) на низата е нејзина граница. Така, низата (b.b) нема граница (види пример 6.5), но има две гранични точки x = 1 и x = - 1. Низата ((-1)pp) има две бесконечни точки +oo и како гранични точки - со продолжената бројна права, чија заедница се означува со еден симбол oo. Затоа можеме да претпоставиме дека бесконечните гранични точки се совпаѓаат, а бесконечната точка oo, според (6.29), е граница на оваа низа. Гранични точки на низата бројна права.Доказ за тестот Вајерштрас и критериумот Коши. Нека е дадена низата (jn), а броевите k формираат растечка низа од позитивни цели броеви. Тогаш низата (Vnb каде yn = xkn> се нарекува потсеквенца од првичната низа. Очигледно, ако (i„) го има бројот 6 како граница, тогаш која било од нејзините потсеквенци ја има истата граница, бидејќи почнувајќи од одреден број сите елементи и на првобитната низа и на која било од нејзините последователни секвенци спаѓаат во кое било избрано соседство на точката 6. Во исто време, секоја гранична точка на потсеквенца е исто така гранична точка за низата.Теорема 9. Од која било низа што има гранична точка, може да се избере потсеквенца која ја има оваа гранична точка како своја граница.Нека b е граничната точка на низата (xn), тогаш, според Дефиницијата 6. 7 гранична точка, за секоја n има елемент кој припаѓа на соседството U (6, 1/n) од точката b со радиус 1/n. Понсеквенцата составена од точки ijtj, ...1 ..., каде zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, има граница во точката 6. Навистина, за произволна e > 0, може да се избере N такви што. Тогаш сите елементи на потсеквенцата, почнувајќи од бројот km, ќе паднат во ^-соседството U(6, e) од точката 6, што одговара на условот 6.3 од дефиницијата на границата на низата. Обратна теорема е исто така вистинита. Гранични точки на низата бројна права.Доказ за тестот Вајерштрас и критериумот Коши. Теорема 8.10. Ако некоја низа има потсеквенца со граница 6, тогаш b е граничната точка на оваа низа. Од дефиницијата 6.3 на границата на низата следува дека, почнувајќи од одреден број, сите елементи на потсеквенцата со граница b спаѓаат во соседство U(b, ​​e) со произволен радиус e. Бидејќи елементите на последователната се истовремено елементи на низата (xn)> елементите xn спаѓаат во ова соседство со исто толку произволно големи броеви, а тоа, врз основа на Дефиницијата 6.7, значи дека b е граничната точка на низата (n). Забелешка 0.2. Теоремите 6.9 и 6.10 важат и во случај кога граничната точка е бесконечна, ако при докажување на мерто соседството на U(6, 1 /n) го земеме предвид соседството (или соседствата). може да се изолира од низа се утврдува со следнава теорема.Теорема 6.11 (Болзано - Вајерштрас) Секоја ограничена низа содржи потсеквенца која конвергира кон конечна граница Нека сите елементи од низата (an) се помеѓу броевите a и 6 , т.е. xn € [a, b] Vn € N. Поделете ја отсечката [a , b] на половина. Тогаш барем една од нејзините половини ќе содржи бесконечен број елементи од низата, бидејќи во спротивно целата отсечка [a, b] би содржи конечен број од нив, што е невозможно. , потоа било кој од нив).Слично, од отсечката која содржи бесконечно множество елементи на низата итн. Продолжувајќи го овој процес, ќе конструираме систем на вгнездени отсечки со bn - an = (6- a)/2P. Според принципот на вгнездени отсечки, постои точка x која им припаѓа на сите овие отсечки. Оваа точка ќе биде гранична точка за низата (xn) - Всушност, за секое е-соседство U(x, e) = (xx + e) ​​точка x постои сегмент C U(x, e) (тоа доволно е само да се избере n од неравенката (, која содржи бесконечен број елементи од низата (sn). Според дефиницијата 6.7, x е граничната точка на оваа низа. Потоа, според теорема 6.9, постои последователна конверзија кон точката x. Методот на расудување што се користи во докажувањето на оваа теорема (некогаш се нарекува лема Болзано-Вајер-Штрас) и поврзан со секвенцијалното пресекување на отсечките што се разгледуваат е познат како Болзано метод. Оваа теорема во голема мера го поедноставува докажувањето на многу сложени теореми. Тоа ви овозможува да докажете голем број клучни теореми на поинаков (понекогаш поедноставен) начин. Додаток 6.2. Доказ за Вајерштрасовиот тест и критериумот Коши Прво, ја докажуваме изјавата 6.1 (Вајерштрасов тест за конвергенција на ограничена монотона низа). Да претпоставиме дека низата (jn) не се намалува. Тогаш множеството од неговите вредности е ограничено погоре и, со теорема 2.1, има врв што го означуваме со sup(xn) е R. Поради својствата на горната вредност (види 2.7) Граничните точки на низата се бројот линија.Доказ за тестот Вајерштрас и критериумот Коши. Според дефиницијата 6.1 за низа што не се намалува имаме или Потоа > Ny и земајќи ја во предвид (6.34) добиваме дека одговара на Дефиницијата 6.3 од границата на низата, т.е. 31im(sn) и lim(xn) = 66R. Ако низата (xn) не се зголемува, тогаш текот на докажувањето е сличен. Сега да преминеме на докажување на доволноста на критериумот Кочија за конвергенција на низа (види изјава 6.3), бидејќи неопходноста од условот за критериум произлегува од теорема 6.7. Нека низата (jn) е фундаментална. Според дефиницијата 6.4, со оглед на произволно € > 0, може да се најде број N(и) таков што имплицираат m^N и n^N. Потоа, земајќи m - N, за Vn > N добиваме € £ Бидејќи низата што се разгледува има конечен број на елементи со броеви што не надминуваат N, произлегува од (6.35) дека основната низа е ограничена (за споредба, види доказ за теорема 6.2 за границата на конвергентна низа ). За збир на вредности на ограничена низа, постојат инфимум и врвни граници (види теорема 2.1). За множеството вредности на елементите за n > N, ги означуваме овие лица an = inf xn и bjy = sup xn, соодветно. Како што се зголемува N, точниот инфимум не се намалува, а точниот супрем не се зголемува, т.е. . Дали добивам систем за климатизација? отсечки Според принципот на вгнездени отсечки постои заедничка точка која им припаѓа на сите отсечки. Да го означиме со b. Така, со Од споредба (6. 36) и (6.37) како резултат добиваме дека одговара на Дефиницијата 6.3 од границата на низата, т.е. 31im(x„) и lim(sn) = 6 6 Р. Болцано почна да ги проучува фундаменталните низи. Но, тој немаше ригорозна теорија за реални броеви, и затоа не беше во можност да ја докаже конвергенцијата на основната низа. Коши го направи тоа, земајќи го здраво за готово принципот на вгнездени сегменти, што подоцна го потврди Кантор. Не само што критериумот за конвергенција на низата го дава името Коши, туку основната низа често се нарекува Коши низа, а принципот на вгнездени отсечки е именуван по Кантор. Прашања и задачи 8.1. Докажи дека: 6.2. Наведете примери на неконвергентни низи со елементи кои припаѓаат на множествата Q и R\Q. 0.3. Под кои услови термините на аритметичките и геометриските прогресии формираат секвенци што се намалуваат и зголемуваат? 6.4. Докажи ги врските што следат од табелата. 6.1. 6.5. Конструирај примери на низи кои се стремат кон бесконечните точки +оо, -оо, оо, и пример на низа што конвергираат до точката 6 € R. c.v. Може ли неограничената низа да не биде б.б.? Ако да, тогаш дај пример. во 7. Конструирај пример за дивергентна низа составена од позитивни елементи која нема ниту конечна ниту бесконечна граница. 6.8. Докажи ја конвергенцијата на низата (jn) дадена со рекурентната формула sn+i = sin(xn/2) под услов „1 = 1. 6.9. Докажи дека lim(xn)=09 ако sn+i/xn-»g€ .

Поделете го сегментот [ а 0 ,б 0 ] на половина на два еднакви сегменти. Најмалку еден од добиените отсечки содржи бесконечен број членови од низата. Ајде да го означиме [ а 1 ,б 1 ] .

Во следниот чекор ќе ја повториме постапката со сегментот [ а 1 ,б 1 ]: поделете го на два еднакви отсечки и изберете од нив оној на кој лежат бесконечен број членови од низата. Ајде да го означиме [ а 2 ,б 2 ] .

Продолжувајќи го процесот добиваме низа од вгнездени сегменти

во кој секој нареден е половина од претходниот и содржи бесконечен број членови од низата ( x к } .

Должините на сегментите имаат тенденција на нула:

Врз основа на принципот Коши-Кантор на вгнездени отсечки, постои една точка ξ што им припаѓа на сите сегменти:

Со изградба на секој сегмент [а м ,б м ] има бесконечен број членови од низата. Ајде да избереме последователно

при набљудување на условот за зголемување на броевите:

Тогаш последователната низа конвергира до точката ξ. Ова произлегува од фактот дека растојанието од до ξ не ја надминува должината на сегментот што ги содржи [а м ,б м ] , каде

Проширување на случајот на простор со произволна димензија

Теоремата Болзано-Вајерштрас лесно се генерализира во случај на простор со произволна димензија.

Нека биде дадена низа точки во просторот:

(долниот индекс е бројот на член на низата, горниот индекс е координатниот број). Ако низата точки во просторот е ограничена, тогаш секоја од нумеричките низи на координати:

исто така ограничен ( - координатен број).

Врз основа на еднодимензионалната верзија на теоремата Болзано-Вајрштрас од низата ( x к) можеме да избереме потсеквенца од точки чии први координати формираат конвергентна низа. Од добиената последователна низа, уште еднаш избираме потсеквенца што се конвергира по втората координата. Во овој случај, конвергенцијата долж првата координата ќе биде зачувана поради фактот што секоја наредна секвенца од конвергентна низа исто така конвергира. И така натаму.

По nдобиваме одредена низа чекори

која е последователна од , и конвергира по секоја од координатите. Следи дека оваа последователна низа конвергира.

Приказна

Теорема Болзано-Вајерштрас (за случајот n= 1) првпат го докажа чешкиот математичар Болзано во 1817 година. Во работата на Болзано, таа дејствуваше како лема во докажувањето на теоремата за средни вредности на континуирана функција, сега позната како теорема Болзано-Коши. Сепак, овие и други резултати, докажани од Болзано долго пред Коши и Вајерштрас, останаа незабележани.

Само половина век подоцна, Вајерштрас, независно од Болцано, повторно ја открил и докажал оваа теорема. Првично наречена Вајерштрасова теорема, пред работата на Болзано да стане позната и прифатена.

Денес оваа теорема ги носи имињата на Болзано и Вајерштрас. Оваа теорема често се нарекува Лема Болзано-Вајерштрас, а понекогаш и лема на граничната точка.

Теоремата Болзано-Вајерштрас и концептот на компактност

Теоремата Болзано-Вајерштрас го утврдува следново интересно својство на ограничено множество: секоја низа точки Мсодржи конвергентна суссеквенца.

При докажување на различни предлози во анализата, тие често прибегнуваат кон следнава техника: одредуваат низа точки што има некое посакувано својство, а потоа од неа избираат последователна низа што исто така ја има, но веќе е конвергентна. На пример, вака се докажува теоремата на Вајерштрас дека функцијата континуирана на интервал е ограничена и ги зема своите најголеми и најмали вредности.

Ефективноста на таквата техника воопшто, како и желбата да се прошири теоремата на Вајерштрас на произволни метрички простори, го поттикнаа францускиот математичар Морис Фреше да го воведе концептот во 1906 година. компактност. Својството на ограничените множества во , утврдено со теоремата Болзано-Вајерштрас, е, фигуративно кажано, дека точките од множеството се наоѓаат прилично „блиску“ или „компактно“: откако направивме бесконечен број чекори долж ова множество, ќе секако дека ќе се приближиме колку што сакаме до некоја точка во вселената.

Фреше ја воведува следната дефиниција: сет Мповикани компактен, или компактен, ако секоја низа од нејзините точки содржи последователна низа што се конвергира до некоја точка од ова множество. Се претпоставува дека на сетот Мметриката е дефинирана, односно е