Образовно-истражувачка работа за математичка логика. Примерок на теми за предмети од дисциплината „Математичка логика. Проблемите решени од крајот

За да ја видите оваа PDF-датотека со форматирање и обележување, преземете ја и отворете ја на вашиот компјутер.
Министерство за образование на регионот Оренбург

Државна автономна стручна образовна институција
„Орск машински инженерски колеџ“

Орск, регионот Оренбург

Истражување

математика

«
МАТЕМАТИКА БЕЗ
ФОРМУЛИ, РАВЕНКИ И
НЕЕДНАКВИ
»

Подготвени
:
Торик Екатерина
,

група ученик
15 LP

Супервизор:
Марченко О.В.
.,

наставник по математика
матики

Математика
–

ова е посебен свет во кој формулите играат водечка улога,
симболи и геометриски објекти. Во истражувањето
На работа решивме
дознајте што се случува ако отстраните формули, равенки и
нееднаквост?

Релевантноста на оваа студија е во тоа

од година во година
Изгубен интерес за математика. Тие не сакаат математика, особено затоа што
-
за формули.
Во ова

Во нашата работа сакаме не само да ја покажеме убавината на математиката, туку и
надминете ги новите идеи за „сувоста“ во главите на учениците,
формален карактер, изолација на оваа наука од животот и практиката.

Цел на работата: да докаже дека математиката ќе остане комплетна
напредна наука, со
ова е интересно и повеќеслојно, ако отстраните формули, равенки и
нееднаквости.

Работни цели:
покажете дека математичарот
А

без формули, равенки и
нееднаквости
е целосна наука
; спроведе анкета
и двете
ча
Ју
работа; проучување
информативни
е-извори; запознајте се со главните решенија
логички проблеми.

Под претпоставка дека математичките формули
-

само пригоден јазик
да ги претставиме идеите и методите на математиката, тогаш самите овие идеи може да се опишат,
користејќи познати и визуелни слики од
околниот живот.

Цел на нашето истражување беа методи за решавање математички
проблеми без формули, равенки и неравенки.

Нашите студенти беа замолени да одговорат на прашањето: што
што ќе се случи со математиката ако формули, равенки и друго
еднаквост?
избирајќи еден одговор од следниве опции:

а) бројките, бројките, буквите ќе останат б) ќе остане само теоријата

в) теоремите и доказите ќе останат г) графиците ќе останат

д) математиката ќе стане литература е) ништо нема да остане

Резултатите од ова
анкетата покажа дека мнозинството студенти се сигурни без
формули, равенки и неравенки, математиката ќе стане литература. Ние одлучивме
побијте го ова мислење. Без формули, равенки и неравенки во математиката, во
пред се ќе има логични задачи кои
e најчесто претставуваат
повеќето од задачите на Олимпијадата по математика. Разновидност на логички
задачите се многу големи. Исто така, постојат многу начини за нивно решавање. Но, најголемиот
Следниве станаа широко распространети: методот на расудување, методот на табели, методот
графикони, кругови Еј
Лера, метод на блок
-
шеми

Начин на расудување

најпримитивниот начин. На овој начин
се решаваат наједноставните логички проблеми. Неговата идеја е дека ние
спроведе расудување користејќи секвенцијално сите услови на проблемот и
доаѓаме до заклучок дека
ќе биде одговорот на проблемот.
На овој начин
обично решаваат едноставни логички проблеми.

Главната техника што се користи при решавање на логиката на текстот
задачи е
градење маси
. Табелите не само што ви дозволуваат да визуелизирате
сегашна состојба ж
проблеми или нејзиниот одговор, но тие многу помагаат
донесуваат правилни логички заклучоци при решавање на проблем.

Графички метод.
Графикон
-

тоа е збирка на предмети со врски меѓу нив.
Објектите се претставени како темиња, или јазли, на графикот (тие се означени
Тоа
очила), и врски
-

како лакови или ребра. Ако врската е еднонасочна
означено на дијаграмот со линии со стрелки, ако врската помеѓу објектите
двострано е означено во дијаграмот со линии без стрелки.

Метод на Ојлер круг.
Во решавањето се користат Ојлерови дијаграми

голема група логички проблеми. Конвенционално, сите овие задачи може да се поделат на три
тип. Во проблемите од првиот тип, неопходно е симболично да се изразат многумина
гестови,
засенчени на Ојлеровите дијаграми користејќи го знакот
ки на операции на раскрсница,
комбинации и дополнувања.
Кај проблемите од вториот тип, Ојлерови дијаграми
се користат за анализа на ситуации поврзани со дефиниција на класа. Трет тип
проблеми за кои се користат Ојлеровите дијаграми,
-

задачи за
логична сметка.

Блок метод
-
шеми
.
Овој тип на логично решавање на проблеми
вклучени во курсот
предавање на студентите од општообразовните институции курс по компјутерски науки.
Програмирање на јазикот
Паскал
.

Покрај логичките проблеми во математиката,
ори за решавање едноставни
математички проблеми треба да правиш апсурдни работи кои одат подалеку
ра
ограничувањата на нашата логика, нашето размислување.
Апсурдно
–

по математика и логика,
значи што
-
тогаш елементот нема значење во рамките на даденото
теории,

системи или

полиња, суштински некомпатибилни со нив, иако елементот
што е апсурдно во овој систем
може да има смисла на друг начин.

Во математиката, софизмите (вештина, вештина) се класифицираат во посебна група.
-

комплексен заклучок, кој, сепак, при површно испитување
изгледа правилно.

Без формули во математиката, може да се појави ситуација каде
другиот може
постојат во реалноста, но нема логично објаснување. Таква ситуација
наречен парадокс. Појавата на парадокси не е нешто
-
Тоа
неправилни, неочекувани, случајни во историјата на развојот на научната
размислување. Нивниот изглед е сигнализиран
зборува за потребата од ревидирање на претходните
теоретски идеи, поставувајќи поадекватни концепти, принципи
и методи на истражување.

Светот на науката како математиката не е ограничен само на решавање
посебен вид на задачи. Покрај сите тешкотии,

има нешто убаво и интересно,
понекогаш дури и смешно. Математичкиот хумор, како и математичкиот свет,
софистициран и посебен.

Така, без формули, равенки и неравенки, математиката ќе остане
полноправна наука, во исто време интересна и повеќеслојна.

Библиографска листа.

Агафонова, I. G. Учење да размислуваме: забавни логички задачи,
тестови и вежби за деца. Упатство [Tex] /
I. G. Агафонова

Санкт Петербург
ИКФ МиМ
–

експрес, 1996 година.
–

Балајан Е.Н. Олимпијада од 1001 година и забавни проблеми
и од страна на
математика
[Текс]

/ Е.Н. Балајан.
-

3
-
е ед.
-

Ростов n/d: Феникс, 2008 година.
-

Математички олимпијади на училиште Фарков, А.В. 5
-
11 одделение.
[Текс]/

А.В.Фарков.
-

8
-
e ed., rev. и дополнителни
-

М.: Ирис
-
печат, 2009 година.
-

http://www.arhimedes.org/

Турнир именуван по М.В. Ломоносова (Москва)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/

Прикачени датотеки

XI РЕГИОНАЛНА НАУЧНА И ПРАКТИЧНА КОНФЕРЕНЦИЈА „КОЛМОГОРОВСКИ ЧИТА“

Дел „Математика“

Предмет

„Решавање логички проблеми“

Општинско буџетско општо образование

училиште бр.2 ул. Архонскаја,

7-мо одделение.

Научен директор

наставник по математика МБОУ СОУ бр.2 ул. Архонскаја

Тримасова Н.И.

„Решавање логички проблеми“

7-мо одделение

средно образовна установа

училиште бр.2, ул. Архонскаја.

прибелешка

Ова дело дискутира за различни начини за решавање на логички проблеми и различни техники. Секој од нив има своја област на примена. Покрај тоа, во работата можете да се запознаете со основните концепти на насоката „математика без формули“ - математичка логика и да научите за креаторите на оваа наука. Можете исто така да ги видите резултатите од дијагностичкото „решавање логички проблеми кај учениците од средно ниво“.

содржина

1. Вовед_____________________________________________________ 4

2. Основачите на науката за „логиката“_________________________ 6

3.Како да научите да решавате логички проблеми?_____________________ _8

4. Видови и методи на решавање на логички проблеми_____________________ 9

4.1 Проблеми од типот „Кој е кој?“. 9

а) Графички метод_________________________________________________ 9

б) Табеларен метод________________________________________________ 11

4.2 Тактички задачи________________________________________________ 13

а) метод на расудување________________________________________________ 13

4.3 Проблеми со наоѓање на пресек или заедница на множества________________________________________________ 14

а) Ојлерови кругови________________________________________________ 14

1. Загатки со букви и проблеми со ѕвезди_________________ 16

4.5 Проблеми со вистината________________________________________________ 17

4.6 Проблеми од типот „шапка“_________________________________________________ 18

5. Практичен дел________________________________________________________________ 19

5.1 Проучување на нивото на логично размислување на средношколците________________________________________________________________ 19

6. Заклучок_________________________________________________________________ 23

7. Литература_________________________________________________________________ 24

„Решавање логички проблеми“

Крутоголова Дијана Александровна

7-мо одделение

Општинско буџетско општо образование

средно образовна установа

училиште бр.2, ул. Архонскаја.

1. Вовед

Развојот на креативна активност, иницијатива, љубопитност и генијалност се олеснува со решавање на нестандардни проблеми.И покрај фактот што училишниот курс по математика содржи голем број интересни проблеми, многу корисни проблеми не се опфатени. Овие задачи вклучуваат логички задачи.

Решавањето на логичките проблеми е многу возбудливо. Се чини дека во нив нема математика - нема броеви, нема функции, нема триаголници, нема вектори, туку има само лажговци и мудреци, вистина и лаги. Во исто време, во нив најјасно се чувствува духот на математиката - половина од решението за секој математички проблем (а понекогаш и многу повеќе од половина) е правилно да се разбере состојбата, да се откријат сите врски меѓу предметите што учествуваат.

Математичкиот проблем секогаш помага да се развијат точни математички концепти, подобро да се разберат различните аспекти на односите во околниот живот и овозможуваат примена на теоретските принципи што се изучуваат. Во исто време, решавањето проблеми придонесува за развој на логично размислување.

Додека го подготвував ова дело, поставивцел - развијте ја вашата способност за расудување и донесување правилни заклучоци. Само решавањето на тежок, нестандарден проблем ја носи радоста на победата. Кога решавате логички проблеми, имате можност да размислите за необична состојба и причина. Ова го буди и го одржува мојот интерес за математиката. Логичната одлука е најдобриот начин да ја ослободите вашата креативност.

Релевантност. Во денешно време, многу често успехот на човекот зависи од неговата способност да размислува јасно, логично да размислува и јасно да ги изразува своите мисли.

Задачи: 1) запознавање со концептите „логика“ и „математичка логика“; 2) проучување на основни методи за решавање на логички проблеми; 3) спроведување дијагностика за да се идентификува нивото на логично размислување на учениците од 5-8 одделение.

Истражувачки методи: собирање, проучување, генерализација на експериментален и теоретски материјал

2. Основачите на науката за „логика“

Логиката е една од најстарите науки. Во моментов не е можно точно да се утврди кој, кога и каде првпат се свртел кон оние аспекти на размислување кои го сочинуваат предметот на логиката. Некои од почетоците на логичкото учење може да се најдат во Индија, на крајот на II милениум п.н.е. д. Меѓутоа, ако зборуваме за појавата на логиката како наука, односно за повеќе или помалку систематизирано тело на знаење, тогаш би било фер да се смета големата цивилизација на Античка Грција како родно место на логиката. Тука е во V-IV век п.н.е. д. Во периодот на брзиот развој на демократијата и придружното невидено заживување на општествено-политичкиот живот, темелите на оваа наука беа поставени од делата на Демокрит, Сократ и Платон.

Основач на логиката како наука е старогрчкиот филозоф и научник Аристотел (384-322 п.н.е.). Тој прво ја развил теоријата на дедукција, односно теоријата на логичко заклучување. Токму тој го привлече вниманието на фактот дека во расудувањето ги заклучуваме другите од некои искази, врз основа не на специфичната содржина на изјавите, туку на одреден однос меѓу нивните форми и структури.

Уште тогаш во Античка Грција беа создадени училишта во кои луѓето научија да дебатираат. Учениците од овие училишта ја научија уметноста да ја бараат вистината и да ги убедуваат другите луѓе дека се во право. Тие научија да ги избираат потребните од различни факти, да градат синџири на расудување што ги поврзуваат поединечните факти едни со други и да ги извлечат вистинските заклучоци.
Веќе од овие времиња беше општо прифатено дека логиката е наука за размислување, а не за објекти на објективна вистина.

Античкиот грчки математичар Евклид (330-275 п.н.е.) бил првиот што се обидел да ги организира опширните информации за геометријата што биле акумулирани до тоа време. Тој ги постави темелите за разбирање на геометријата како аксиоматска теорија и на целата математика како збир на аксиоматски теории.
Во текот на многу векови, разни филозофи и цели филозофски школи ја надополнувале, подобрувале и менувале логиката на Аристотел. Ова беше првата, пред-математичка, фаза во развојот на формалната логика. Втората фаза е поврзана со употребата на математички методи во логиката, која ја започнал германскиот филозоф и математичар Г. В. Лајбниц (1646-1716). Тој се обиде да изгради универзален јазик со помош на кој ќе се решат споровите меѓу луѓето, а потоа целосно „да ги замени сите идеи со калкулации“.
Важен период во формирањето на математичката логика започнува со делото на англискиот математичар и логичар Џорџ Бул (1815-1864) „Математичка анализа на логиката“ (1847) и „Истраги во законите на мислата“ (1854). Тој ги применил во логиката методите на современата алгебра - јазикот на симболите и формулите, составот и решението на равенките. Тој создаде еден вид алгебра - алгебра на логиката. Во овој период, таа се обликува како пропозициска алгебра и значително се развива во делата на шкотскиот логичар А. де Морган (1806-1871), англиската - В. Џевонс (1835-1882), американската - Ц. Пирс и други.Создавањето на алгебрата на логиката беше последната алка во развојот на формалната логика.

Значаен поттик за нов период во развојот на математичката логика даде создавањето во првата половина на 19 век од големиот руски математичар Н.И. Лобачевски (1792-1856) и независно од унгарскиот математичар Ј. Бољаи (1802- 1860) на неевклидовата геометрија. Дополнително, создавањето на анализата на бесконечно малите доведе до потреба да се поткрепи концептот на број како основен концепт на целата математика. Парадоксите откриени на крајот на 19 век во теоријата на множествата ја комплетираа сликата: тие јасно покажаа дека тешкотиите за поткрепување на математиката се тешкотии од логичка и методолошка природа. Така, математичката логика беше соочена со проблеми кои не се појавија пред логиката на Аристотел. Во развојот на математичката логика се формирале три насоки во поткрепувањето на математиката, во кои креаторите на различни начини се обидувале да ги надминат тешкотиите што настанале.

3. Како да научите да решавате логички проблеми?

Многу луѓе го мислат само она што го мислат.

Тие сметаат дека процесот на размислување е непријатен:

ова бара вештина и одредена количина напор,

Зошто да се мачиш кога можеш без него.

Огден Неш

Логично илиненумерички проблемите сочинуваат широка класа на нестандардни проблеми. Ова ги вклучува, пред сè, текстуалните проблеми во кои е неопходно да се препознаат предметите или да се подредат во одреден редослед според постоечките својства. Во овој случај, некои од изјавите за условите на проблемот може да имаат различни вредности на вистинитост (да бидат вистинити или неточни).

Проблемите со логиката на текстот можат да се поделат на следниве типови:

1. сите изјави се вистинити;

   не се вистинити сите изјави;

   проблеми со кажувачите на вистината и лажговците.

Препорачливо е да се практикува да се решава секој тип на проблем постепено, чекор по чекор.

Значи, ќе научиме како логичките проблеми можат да се решат на различни начини. Излегува дека има неколку такви техники, тие се разновидни и секоја од нив има своја област на примена. Откако ќе се запознаеме детално, ќе откриеме во кои случаи е попогодно да се користи еден или друг метод.

4. Видови и методи на решавање на логички проблеми

4.1 Проблеми од типот „Кој е кој?“.

Проблеми како „Кој е кој?“ многу разновидни по сложеност, содржина и способност за решавање. Тие секако се од интерес.

а) Графички метод

Еден начин е да се реши со помош на графикони. График е неколку точки, од кои некои се поврзани една со друга со сегменти или стрелки (во овој случај, графикот се нарекува ориентиран). Дозволете ни да воспоставиме кореспонденција помеѓу два типа на објекти (множества). Точките означуваат елементи на множества, а кореспонденцијата меѓу нив - сегменти. Испрекината линија ќе спои два елементи кои не одговараат еден на друг.

Проблем 1 . Се запознале три пријателки Белова, Краснова и Чернова. Еден од нив бил облечен во црн, другиот во црвен, а третиот во бел фустан. Девојка во бел фустан и вели на Чернова: „Треба да ги смениме фустаните, инаку бојата на нашите фустани не се совпаѓа со нашите презимиња“. Кој каков фустан носеше?

Решение. Решавањето на проблемот е едноставно ако земете во предвид дека:

Секој елемент од едно множество нужно одговара на елемент од друго множество, но само еден

Ако некој елемент од секое множество е поврзан со сите елементи (освен еден) од друго множество со испрекинати сегменти, тогаш тој е поврзан со вториот со цврст сегмент.

Наместо полни отсечки, можете да користите обоени, во тој случај решението е пошарено,

Да ги означиме презимињата на девојчињата на сликата со буквите Б, Ч, К, а буквата Б и белиот фустан да ги поврземе со испрекината линија, што ќе значи: „Белова не е во бел фустан“. Следно, добиваме уште три точки со точки што одговараат на минусите во табелата. Бел фустан може да носи само Краснова - буквата К и белиот фустан ќе ги поврземе со полна линија, што ќе значи „Краснова во бел фустан“ итн.

На ист начин, можете да најдете кореспонденција помеѓу три сета.

Задача 2. Во кафуле се сретнаа тројца пријатели: скулпторот Белов, виолинистот Чернов и уметникот Рижов. „Прекрасно е што еден од нас има бела коса, друг има црна, а третиот има црвена коса, но ниту една боја на коса не се совпаѓа со нашето презиме“, забележа црномурестиот човек. „Во право си“, рече Белов. Каква боја е косата на уметникот?

Решение. Прво, сите услови се нацртани на дијаграмот. Решението се сведува на пронаоѓање на три цврсти триаголници со темиња во различни множества (сл. 2.).

Белов Чернов Рижов

скулптор виолинист уметник

бело црно црвено

Уметникот е црномурест

Кога решаваме, можеме да добиеме триаголници од три вида:

а) сите страни се континуирани сегменти (решение на проблемот);

б) едната страна е цврста отсечка, а другите се испрекинати;

в) сите страни се испрекинати отсечки.

Така, невозможно е да се добие триаголник во кој двете страни се цврсти отсечки, а третата е испрекината отсечка.

Задача 3. Кој каде?

Даб,јавор, бор, бреза, трупец!

Скриени зад нив, тие демнат

Бивер, зајак, верверица, рис, елен.

Кој каде? Обидете се да го сфатите“.

Кај е рисот, ни зајак ни дабар

Ниту лево, ниту десно - јасно е.

Идо верверицата - тоа е лукаво -

Не ги барајте ни залудно.

До еленот нема рис.

И нема зајак десно и лево.

А верверицата од десната страна е местото каде што е еленот!

Сега започнете го вашето пребарување со доверба.

И сака да ви даде совет

Висок трупец покриен со мов:

- Кој каде? Најдете ја вистинската патека

Ќе помогнат верверица и елен.

Решение. Ајде да го најдеме одговорот користејќи графикони, означувајќи го секое животно со точка и неговото поставување со стрелки. Останува само да се избројат стрелките (сл.)

Зајак на рисот

верверица зајак Бивер елен верверица рис

Елен даб јавор бор бреза трупецот

Дабар

б) Табеларен метод

Вториот начин за решавање на логички проблеми - користење на табели - е исто така едноставен и интуитивен, но може да се користи само кога е неопходно да се воспостави кореспонденција помеѓу две групи. Поудобно е кога комплетите имаат пет или шест елементи.

Задача 4. Еден ден, седум брачни парови се собраа на семејна веселба. Машките презимиња: Владимиров, Федоров, Назаров, Викторов, Степанов, Матвеев и Тарасов. Имињата на жените се: Тоња, Љусја, Лена, Света, Маша, Оља и Гаља.

Решение. Кога го решаваме проблемот, знаеме дека секој маж има едно презиме и една жена.

Правило 1: Секој ред и секоја колона од табелата може да содржи само еден знак за совпаѓање (на пример, „+“).

Правило 2: Ако во редот (или колоната) сите „места“, освен едно, се зафатени со елементарна забрана (знак за несовпаѓање, на пример „-“), тогаш треба да ставите знак „+“ на слободниот простор; ако веќе има знак „+“ во ред (или колона), тогаш преостанатите места треба да бидат окупирани со знак „-“.

Откако ќе нацртате табела, треба да поставите познати забрани во неа врз основа на условите на проблемот. Откако ја пополнивме табелата според условите на проблемот, веднаш добиваме решенија: (сл. 3).

Тоња

Луси

Лена

Света

Маша

Оља

Галија

Владимиров

Федоров

Назаров

Викторов

Степанов

Матвеев

Тарасов

4.2 Тактички задачи

Решавањето на тактички и теоретски проблеми со множества вклучува изготвување план за акција што води до точниот одговор. Тешкотијата е што изборот мора да се направи од многу голем број опции, т.е. овие можности не се познати, тие треба да се измислат.

а) Проблемите со поместување или правилно поставување фигури може да се решат на два начина: практични (дејства при поместување парчиња, избирање) и ментален (размислување за потег, предвидување на резултатот, погодување решение -метод на расудување ).

Во начинот на расудување при решавањето помагаат: дијаграми, цртежи, кратки белешки, можност за избор на информации, способност за користење на правилото за набројување.

Овој метод обично се користи за решавање на едноставни логички проблеми.

Проблем 5 . Лена, Олја, Тања учествуваа во трката на 100 м. Лена трчаше 2 секунди порано од Оља, Олја трчаше 1 секунда подоцна од Тања. Кој дојде порано: Тања или Лена и за колку секунди?

Решение. Ајде да направиме дијаграм:

Лена Оља Тања

Одговори. Претходно, Лена пристигна на 1-ви.

Да разгледаме едноставен проблем.

Проблем 6 . Сеќавајќи се на есенскиот крст, вервериците се расправаат два часа:

Зајакот победи на трката.Авториот беше лисица!

- Не, вели друга верверица,

- Ти за менешеги

Првиот, се сеќавам, беше лос!

- „Јас“, рече важната був,

- Нема да се вклучам во туѓ спор.

Но, во секој твој збор

Има една грешка.

Налутено шмркаа верверичките.

Тоа им стана непријатно.

Откако ќе измерите сè, вие одлучувате

Кој беше прв, кој втор.

Решение.

Зајак - 1 2

Лисица - 2

Лос - 1

Ако претпоставиме дека точната изјава е зајакот дојде 1, тогаш лисицата 2 не е точно, т.е. во втората група изјави, двете опции остануваат неточни, но тоа е во спротивност со условот. Одговор: Ел - 1, Лисица - 2, Зајак - 3.

4.3 Проблеми со пронаоѓање на пресек или соединување на множества (Ејлеров кругови)

Друг тип на проблем е оној во кој е неопходно да се најде некаков пресек на множества или нивно спојување, набљудувајќи ги условите на проблемот.

Ајде да го решиме проблемот 7:

Од 52 ученици, 23 собираат значки, 35 собираат поштенски марки, а 16 собираат и значки и печати. Останатите не се заинтересирани за собирање. Колку ученици не се заинтересирани да собираат?

Решение. Условите на овој проблем не се толку лесни за разбирање. Ако се додадат 23 и 35, добивате повеќе од 52. Тоа се објаснува со тоа што овде двапати изброивме некои ученици, поточно оние кои собираат и значки и печати.За да ја олесниме дискусијата, да ги искористиме Ојлеровите кругови

На сликата има голем кругги означува предметните 52 студенти; кругот 3 прикажува ученици кои собираат значки, а кругот М прикажува ученици кои собираат поштенски марки.

Големиот круг е поделен со кругови 3 и М на неколку области. Пресекот на круговите 3 и М одговара на тоа што учениците собираат и значки и печати (сл.). Делот од кругот 3 што не припаѓа на кругот М одговара на ученици кои собираат само значки, а делот од кругот М што не припаѓа на кругот 3 одговара на ученици кои собираат само поштенски марки. Слободниот дел од големиот круг претставува ученици кои не се заинтересирани за собирање.

Ние последователно ќе го пополниме нашиот дијаграм, внесувајќи го соодветниот број во секоја област. Според условот, и беџовите и печатите ги собираат 16 лица, па на пресекот на круговите 3 и М ќе го напишеме бројот 16 (сл.).

Бидејќи 23 ученици собираат значки, а 16 ученици собираат и значки и печати, тогаш само значки собираат 23 - 16 = 7 луѓе. На ист начин, само поштенски марки собираат 35 - 16 = 19 луѓе. Да ги запишеме броевите 7 и 19 во соодветните области на дијаграмот.

Од сликата се гледа колку луѓе се вклучени во собирањето. За да го дознаете оватреба да ги соберете броевите 7, 9 и 16. Добиваме 42 лица. Тоа значи дека 52 - 42 = 10 ученици остануваат незаинтересирани за собирање. Ова е одговорот на проблемот, може да се внесе во слободното поле на големиот круг.

Ојлеровиот метод е незаменлив за решавање на некои проблеми, а исто така во голема мера го поедноставува расудувањето.

4.4 Загатки со букви и проблеми со ѕвездички

Загатки со букви и примери со ѕвездички се решаваат со избирање и разгледување на различни опции.

Ваквите проблеми се разликуваат по сложеност и шема на решенија. Ајде да погледнеме еден таков пример.

Проблем 8 Решете загатка со броеви

ЗНД

KSI

ISK

Решение. Износ И+ В (на десетките) завршува на C, но I ≠ 0 (види го местото на единиците). Ова значи дека I = 9 и 1 десет на местото на единиците се памети. Сега е лесно да се најде К на стотките: K = 4. За C останува само една можност: C = 5.

4.5 Проблеми со вистината

Проблемите во кои е неопходно да се утврди вистинитоста или неточноста на изјавите ќе ги наречеме вистинитости.

Проблем 9 . Тројца пријатели Коља, Олег и Петја си играле во дворот, а еден од нив случајно со топка го скршил прозорското стакло. Коља рече: „Не бев јас тој што го скрши стаклото“. Олег рече: „Петја го скрши стаклото“. Подоцна беше откриено дека едната од овие изјави е вистинита, а другата лажна. Кое момче го скршило стаклото?

Решение. Да претпоставиме дека Олег ја кажа вистината, тогаш Коља исто така ја кажа вистината, а тоа е во спротивност со условите на проблемот. Како резултат на тоа, Олег кажа лага, а Коља ја кажа вистината. Од нивните изјави произлегува дека Олег го скршил стаклото.

Проблем 10 Четири ученици - Витја, Петја, Јура и Сергеј - зазедоа четири први места на математичката олимпијада. На прашањето кои места ги зазеле, биле дадени следниве одговори:

а) Петја - втора, Вита - трета;

б) Сергеј - втор, Петја - прв;

в) Јура - втора, Витија - четврта.

Наведете кој на кое место заземал ако само еден дел од секој одговор е точен.

Решение. Да претпоставиме дека изјавата „Петар - II“ е точна, тогаш и двете изјави на второто лице се неточни, а тоа е во спротивност со условите на проблемот.

Да претпоставиме дека изјавата „Сергеј - II“ е точна, тогаш и двете изјави на првото лице се неточни, а тоа е во спротивност со условите на проблемот.

Да претпоставиме дека изјавата „Јура - II“ е вистинита, тогаш првата изјава на првото лице е лажна, а втората е вистинита. И првата изјава на второто лице е неточна, но втората е точна.

Одговор: прво место - Петја, второ место - Јура, трето место - Витја, четврто место Сергеј.

4.6 Проблеми од типот „Капчиња“.

Најпознатиот проблем е за мудреците кои треба да ја одредат бојата на капата на главата. За да решите таков проблем, треба да го вратите синџирот на логично расудување.

Задача 11 . „Каква боја се беретките?

Тројца пријателки, Ања, Шура и Соња, седеа во амфитеатарот една по друга без бреки. Соња и Шура не можат да погледнат назад. Шура ја гледа само главата на Соња како седи под неа, а Ања ги гледа главите на двајцата пријатели. Од кутија во која имало 2 бели и 3 црни беретки (за ова знаат сите тројца пријатели), извадиле три и ги ставиле на главата, а да не зборувам каква боја била беретката; во кутијата останаа две беретки. Кога Ања ја прашале за бојата на беретката што и ја ставиле, таа не можела да одговори. Шура го слушна одговорот на Ања и рече дека и таа не може да ја одреди бојата на нејзината беретка. Може ли Соња да ја одреди бојата на нејзината беретка врз основа на одговорите на нејзините пријатели?

Решение. Можете да резонирате на овој начин. Од одговорите на Ања, двете девојки заклучија дека и двете не можат да имаат две бели беретки на главите. (Инаку Ања веднаш ќе речеше дека има црна беретка на главата). Имаат или две црни, или бело и црно. Меѓутоа, ако Соња имаше бела беретка на главата, тогаш Шура исто така рече дека не знае која беретка ја има на главата, тогаш, според тоа, Соња имаше црна беретка на главата.

5. Практичен дел

1. 1. Проучување на нивото на логично размислување на средношколците.

Во практичниот дел од истражувачката работа избрав логички проблеми како:Кој е кој?

Задачите одговараа на нивото на знаење на 5-то и 6-то, 7-мо и 8-мо одделение, соодветно. Учениците ги решија овие проблеми, а јас ги анализирав резултатите. Да ги разгледаме добиените резултати подетално.

Следниве задачи беа предложени за 5 и 6 одделение:

Проблем 1. Сеќавајќи се на есенскиот крст, вервериците се расправаат два часа:

Зајакот победи на трката.Авториот беше лисица!

- Не, вели друга верверица,

- Ти за менешегифрли ги овие. Зајакот беше втор, се разбира,

Првиот, се сеќавам, беше лос!

- „Јас“, рече важната був,

- Нема да се вклучам во туѓ спор.

Но, во секој твој збор

Има една грешка.

Налутено шмркаа верверичките.

Тоа им стана непријатно.

Откако ќе измерите сè, вие одлучувате

Кој беше прв, кој втор.

Задача 2. Се сретнаа тројца пријатели на Белова, Краснова и Чернова. Еден од нив бил облечен во црн, другиот во црвен, а третиот во бел фустан. Девојка во бел фустан и вели на Чернова: „Треба да ги смениме фустаните, инаку бојата на нашите фустани не се совпаѓа со нашите презимиња“. Кој каков фустан носеше?

Меѓу учениците од 5 и 6 одделение, имаше 25 луѓе со предложени задачи како „Кој е кој?“ 11 луѓе го завршија, од кои 5 девојчиња и 6 момчиња. Резултатите од решавањето логички задачи од учениците од 5 и 6 одделение се прикажани на сликата:

Бројката покажува дека 44% успешно ги решиле двата проблема „Кој е кој?“. Речиси сите ученици се справија со првата задача, а втората задача, користејќи графикони или табели, им предизвикуваше потешкотии на децата.

Да резимираме, можеме да заклучиме дека, генерално, учениците од 5-то и 6-то одделение се справуваат со поедноставни задачи, но ако се додадат малку повеќе елементи во расудувањето, тогаш не сите се справуваат со такви задачи.

За 7-мо и 8-мо одделение беа предложени следните задачи:

Задача 1. Лена, Олја, Тања учествуваа во трката на 100 м. Лена трчаше 2 секунди порано од Оља, Оља истрча 1 секунда подоцна од Тања. Кој дојде порано: Тања или Лена и за колку секунди?

Проблем 2. Во кафуле се сретнаа тројца пријатели: скулпторот Белов, виолинистот Чернов и уметникот Рижов. „Прекрасно е што еден од нас има бела коса, друг има црна, а третиот има црвена коса, но ниту една боја на коса не се совпаѓа со нашето презиме“, забележа црномурестиот човек. „Во право си“, рече Белов. Каква боја е косата на уметникот?

Задача 3. Некогаш седум брачни парови се собрале на семеен празник. Машките презимиња: Владимиров, Федоров, Назаров, Викторов, Степанов, Матвеев и Тарасов. Имињата на жените се: Тоња, Љусја, Лена, Света, Маша, Оља и Гаља.Вечерта, Владимиров танцуваше со Лена и Света, Назаров - со Маша и Света, Тарасов - со Лена и Оља, Викторов - со Лена, Степанов - со Света, Матвеев - со Оља. Потоа почнаа да играат карти. Најпрвин Викторов и Владимиров играа со Оља и Гаља, потоа Степанов и Назаров ги заменија мажите, а жените ја продолжија играта. И конечно Степанов и Назаров одиграа по еден натпревар со Тоња и Лена.

Обидете се да одредите кој со кого е оженет ако се знае дека вечерта ниту еден маж не танцувал со сопругата и ниту една брачна двојка не седнала во исто време на маса за време на играта.

Во седмо и осмо одделение меѓу 33 луѓе со сите проблеми како „Кој е кој?“ Го завршија 18 луѓе, од кои 8 девојчиња и 10 момчиња.

Резултатите од решавањето логички проблеми од страна на учениците од 7 и 8 одделение се прикажани на сликата:

Бројката покажува дека 55% од учениците се справиле со сите задачи, 91% ја завршиле првата задача, 67% успешно ја решиле втората задача, а последната задача се покажала како најтешка за децата и само 58% ја завршиле.

Анализирајќи ги добиените резултати, генерално можеме да кажеме дека учениците од VII и VIII одделение подобро се справуваа со решавање на логички проблеми. Учениците од 5-то и 6-то одделение покажаа полоши резултати, можеби причината за тоа е што за решавање на ваков тип на проблеми потребно е добро познавање на математиката, учениците од 5-то одделение се уште немаат искуство во решавање на такви проблеми.

Спроведов и социјални. анкета меѓу учениците од 5-8 одделение. На сите им го поставив прашањето: „Кои проблеми полесно се решаваат: математички или логички? Во анкетата учествувале 15 лица. 10 луѓе одговориле - математички, 3-логички, 2 - не можат да решат ништо. Резултатите од истражувањето се прикажани на сликата:

Сликата покажува дека математичките задачи полесно се решаваат за 67% од испитаниците, логичките задачи за 20%, а 13% нема да можат да решат ниту еден проблем.

6.Заклучок

Во оваа работа се запознавте со логички проблеми. Со каква логика е. Ви предочивме различни логички задачи кои помагаат да се развие логично и имагинативно размислување.

Секое нормално дете има желба за знаење, желба да се тестира себеси. Најчесто, способностите на учениците остануваат неоткриени сами за себе, тие не се сигурни во своите способности и се рамнодушни кон математиката.

За такви ученици, предлагам користење на логички задачи. Овие задачи може да се земат предвид во клубските и изборните часови.

Тие мора да бидат достапни, да ја разбудат интелигенцијата, да го привлечат нивното внимание, да изненадат, да ги разбудат до активна имагинација и независни одлуки.

Исто така, верувам дека логиката ни помага да се справиме со какви било тешкотии во нашите животи и сè што правиме треба да биде логично сфатено и структурирано.

Логички и логички проблеми се среќаваме не само во училиштето за време на часовите по математика, туку и во другите предмети.

7. Литература

Дорофеев Г.В. Математика VI одделение.-Просветителство,: 2013 г.

Matveeva G. Логички проблеми // Математика. - 1999. бр. 25. - стр. 4-8.

Orlova E. Методи на решение логички проблеми и проблеми со броеви //

Математика. - 1999. бр. 26. - стр. 27-29.

4. Шаригин И.Ф. , Шевкин Е.А. Задачи за генијалност.-Москва,: Образование, 1996.-65 стр.

Внимание студенти! Предметот е завршен независно во строга согласност со избраната тема. Не се дозволени дупликати теми! Ве молиме да го информирате наставникот за избраната тема на кој било пригоден начин, поединечно или во список со полно име, број на групата и наслов на предметот.

Примерок на теми за предмети во дисциплината
„Математичка логика“

1. Методот на разрешување и неговата примена во пропозициска алгебра и предикатна алгебра.

2. Аксиоматски системи.

3. Минимални и најкратки CNF и DNF.

4. Примена на методите на математичката логика во теоријата на формалните јазици.

5. Формалните граматики како логички пресметки.

6. Методи за решавање на текстуални логички проблеми.

7. Логичко програмирање системи.

8. Логичка игра.

9. Нерешителност на логиката од прв ред.

10. Нестандардни модели на аритметика.

11. Метод на дијагонализација во математичката логика.

12. Туринг машините и тезата на Черч.

13. Пресметливост на абакусот и рекурзивните функции.

14. Претставливост на рекурзивни функции и негативни резултати од математичката логика.

15. Решливост на собирање аритметика.

16. Логика од втор ред и дефинираност во аритметиката.

17. Методот на ултрапродукти во теоријата на модели.

18. Теорема на Гедел за нецелосноста на формалната аритметика.

19. решливи и нерешливи аксиоматски теории.

20. Лемата за интерполација на Крег и нејзините примени.

21. Наједноставните конвертори на информации.

22. Преклопни кола.

24. Контактни структури.

25. Примена на Булова функции за реле контактни кола.

26. Примена на Буловите функции во теоријата на препознавање шаблони.

27. Математичка логика и системи за вештачка интелигенција.

Работата на курсот мора да се состои од 2 дела: теоретска содржина на темата и збир на проблеми на темата (најмалку 10) со решенија. Дозволено е и пишување терминска работа од тип на истражување, заменувајќи го вториот дел (решавање проблеми) со независен развој (на пример, работен алгоритам, програма, примерок итн.) создаден врз основа на дискутираниот теоретски материјал во првиот дел од делото.

1) Barwise J. (ed.) Референтна книга за математичка логика. - М.: Наука, 1982 година.

2) Браќа на програмски јазици. - М.: Наука, 1975 година.

3) Булос Ј., пресметливост и логика. - М.: Мир, 1994 година.

4) Хиндикинска логика во проблемите. - М., 1972 година.

5), Палутинска логика. - М.: Наука, 1979 година.

6) Ершов решливост и конструктивни модели. - М.: Наука, 1980 година.

7), Теорија на Тајтслин // Успехи Мат Наук, 1965, 20, бр. 4, стр. 37-108.

8) Игошин - работилница за математичка логика. - М.: Образование, 1986 година.

9) Игошинска логика и теорија на алгоритми. - Саратов: Издавачка куќа Сарат. Универзитет, 1991 година.

10) Во Ts., користејќи Turbo Prolog. - М.: Мир, 1993 година.

11) вовед во метаматематика. - М., 1957 година.

12) атематска логика. - М.: Мир, 1973 година.

13) ogics во решавањето на проблемите. - М.: Наука, 1990 година.

14) Колмогоровска логика: учебник за универзитетска математика. специјалитети /, - М.: Издавачка куќа УРСС, 2004. - 238 стр.

15) приказна со јазли / Превод. од англиски - М., 1973 година.

16) логичка игра / Транс. од англиски - М., 1991 година.

17), Максимов за теоријата на множества, математичката логика и теоријата на алгоритми. - 4-то издание. - М., 2001 година.

18), логика на Сукачева. Курс за предавање. Практична книга за проблеми и решенија: Водич за проучување. 3. ed., rev. - Санкт Петербург.

19) Издавачка куќа „Лан“, 2008. - 288 стр.

20) Лискова по компјутерски науки / , . - М.: Лабораторија на основни знаења, 2001. - 160 стр.

21) Математичка логика / Под општото уредување и други - Минск: Виша школа, 1991 година.

22) вовед во математичка логика. - М.: Наука, 1984 година.

23) Мошченски за математичка логика. - Минск, 1973 година.

24) Николскаја со математичка логика. - М.: Московски психолошки и социјален институт: Флинт, 1998. - 128 стр.

25) Николскаја логика. - М., 1981 година.

26) Новиков математичка логика. - М.: Наука, 1973 година.

27) Рабин теорија. Во книгата: Референтна книга за математичка логика, дел 3. Теорија на рекурзија. - М.: Наука, 1982. - стр. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. et al. Логички пристап кон вештачката интелигенција. Т. 1. - М.: Мир, 1990 година.

29) Tey A., Gribomon P. et al. Логички пристап кон вештачката интелигенција. Т. 2. - М.: Мир, 1998 година.

30) Чен Ч., Ли Р. Математичка логика и автоматско докажување на теоремите. - М.: Наука, 1983 година.

31) вовед во математичка логика. - М.: Мир, 1960 година.

32) Шабунинска логика. Пропозициска логика и логика на прирок: учебник /, реп. ед. ; Чувашка држава Универзитетот именуван по . - Чебоксари: Чувашка издавачка куќа. Универзитет, 2003. - 56 стр.

Вовед. 3

1. Математичка логика (бесмислена логика) и логика „здрав разум“ 4

2. Математички судови и заклучоци. 6

3. Математичка логика и „здрав разум“ во 21 век. единаесет

4. Неприродна логика во основите на математиката. 12

Заклучок. 17

Користена литература… 18

Проширувањето на областа на логички интереси е поврзано со општите трендови во развојот на научното знаење. Така, појавата на математичката логика во средината на 19 век беше резултат на вековните аспирации на математичарите и логичарите да изградат универзален симболички јазик, ослободен од „недостатоците“ на природниот јазик (првенствено неговата полисемија, т.е. полисемија). .

Понатамошниот развој на логиката е поврзан со комбинираната употреба на класичната и математичката логика во применетите полиња. Некласичните логики (деонтичка, релевантна, правна логика, логика на одлучување итн.) често се занимаваат со несигурноста и нејасноста на предметите што се проучуваат, со нелинеарната природа на нивниот развој. Така, кога се анализираат прилично сложени проблеми во системите за вештачка интелигенција, се јавува проблемот на синергија помеѓу различни видови расудување при решавање на истиот проблем. Изгледите за развој на логиката во согласност со конвергенцијата со компјутерската наука се поврзани со создавање на одредена хиерархија на можни модели на расудување, вклучувајќи расудување на природен јазик, веродостојно расудување и формализирани дедуктивни заклучоци. Ова може да се реши со користење на класична, математичка и некласична логика. Така, не зборуваме за различни „логики“, туку за различни степени на формализирање на размислувањето и „димензија“ на логичките значења (логика со две вредности, повеќевредности итн.).

Идентификација на главните насоки на модерната логика:

1. општа или класична логика;

2. симболичка или математичка логика;

3. некласична логика.

Математичката логика е прилично нејасен концепт, поради фактот што има и бескрајно многу математички логики. Овде ќе разговараме за некои од нив, оддавајќи повеќе почит на традицијата отколку на здравиот разум. Затоа што, сосема веројатно, ова е здрав разум... Логично?

Математичката логика ве учи да размислувате логично не повеќе од која било друга гранка на математиката. Ова се должи на фактот дека „логичноста“ на расудувањето во логиката е одредена од самата логика и може правилно да се користи само во самата логика. Во животот, кога размислуваме логично, по правило користиме различни логики и различни методи на логично расудување, бесрамно мешајќи ја дедукцијата со индукцијата... Освен тоа, во животот го градиме нашето размислување врз основа на контрадикторни премиси, на пример, „Дон „Одложете го за утре она што може да се направи денес“ и „Ќе ги насмеете луѓето набрзина“. Често се случува логичен заклучок кој не ни се допаѓа да доведе до ревизија на почетните премиси (аксиоми).

Можеби дојде време да се каже за логиката, можеби најважното нешто: класичната логика не се занимава со значење. Ниту здрав ниту кој било друг! Да се ​​проучува здравиот разум, патем, постои психијатрија. Но, во психијатријата, логиката е прилично штетна.

Се разбира, кога ја разликуваме логиката од смислата, мислиме пред се на класичната логика и на секојдневното разбирање на здравиот разум. Во математиката нема забранети насоки, затоа проучувањето на значењето по логика, и обратно, во различни форми е присутно во голем број современи гранки на логичката наука.

(Последната реченица излезе добро, иако нема да се обидам да го дефинирам терминот „логичка наука“ ни приближно). Значењето, или семантиката ако сакате, се занимава, на пример, со теоријата на модели. И воопшто, терминот семантика често се заменува со терминот толкување. И ако се согласиме со филозофите дека толкувањето (приказот!) на објектот е негово разбирање во некој даден аспект, тогаш граничните сфери на математиката, кои можат да се користат за напад на значењето во логиката, стануваат неразбирливи!

Во практична смисла, теоретското програмирање е принудено да се интересира за семантиката. И во него, покрај само семантика, има и оперативна, и денотациона, и процедурална итн. и така натаму. семантика...

Само да ја спомнеме апотеозата - ТЕОРИЈАТА НА КАТЕГОРИИТЕ, која ја доведе семантиката до формална, нејасна синтакса, каде што значењето е веќе толку едноставно - поставено на полици што е сосема невозможно обичен смртник да дојде до дното на тоа. ... Ова е за елитата.

Па, што прави логиката? Барем во најкласичниот дел? Логиката го прави само она што го прави. (И таа го дефинира ова крајно строго). Главната работа во логиката е строго да се дефинира! Поставете ја аксиоматката. И тогаш логичките заклучоци треба да бидат (!) во голема мера автоматски...

Образложението за овие заклучоци е друга работа! Но, овие аргументи веќе се надвор од границите на логиката! Затоа, тие бараат строга математичка смисла!

Можеби изгледа дека ова е едноставен вербален чин на балансирање. НЕ! Како пример за одреден логички (аксиоматски) систем, да ја земеме добро познатата игра 15. Да го поставиме (мешаме) почетниот распоред на квадратните чипови. Тогаш играта (логичен заклучок!), а конкретно движењето на чиповите во празен простор, може да се справи со некој механички уред, и можете трпеливо да гледате и да се радувате кога, како резултат на можни движења, ќе се појави низа од 1 до 15 се формира во кутијата.Но, никој не забранува контролен механички уред и да го поттикне, БИЗ Здрав разум, со правилни движења на чиповите за да се забрза процесот. Или можеби дури и да се докаже, користејќи за логично расудување, на пример, гранка од математиката како КОМБИНАТОРИКА, дека со даден почетен распоред на чипови воопшто е невозможно да се добие потребната конечна комбинација!

Нема повеќе здрав разум во тој дел од логиката што се нарекува ЛОГИЧКА АЛГЕБРА. Овде се воведуваат ЛОГИЧКИ ОПЕРАЦИИ и се дефинираат нивните својства. Како што покажа практиката, во некои случаи законите на оваа алгебра може да одговараат на логиката на животот, но во други не. Поради таквата непостојаност, законите на логиката не можат да се сметаат за закони од гледна точка на практиката на животот. Нивното знаење и механичка употреба не само што можат да помогнат, туку и да наштетат. Особено психолози и адвокати. Ситуацијата е комплицирана од фактот дека, заедно со законите на алгебрата на логиката, кои понекогаш кореспондираат или не одговараат на животното расудување, постојат логични закони кои некои логичари категорично не ги препознаваат. Ова првенствено се однесува на таканаречените закони на ЕКСКЛУЗИВНАТА ТРЕТА и КОНТРАДИКЦИЈА.

2. Математички судови и заклучоци

Во размислувањето, концептите не се појавуваат одделно, тие се поврзани едни со други на одреден начин. Формата на поврзување на концептите едни со други е суд. Во секое судење се воспоставува некаква врска или некаква врска помеѓу концептите, а тоа го потврдува постоењето на врска или однос помеѓу предметите опфатени со соодветните концепти. Ако пресудите правилно ги одразуваат овие објективно постоечки зависности помеѓу нештата, тогаш таквите судови ги нарекуваме вистинити, инаку пресудите ќе бидат лажни. Така, на пример, предлогот „секој ромб е паралелограм“ е точен предлог; предлогот „секој паралелограм е ромб“ е лажен предлог.

Така, пресудата е форма на размислување што го одразува присуството или отсуството на самиот предмет (присуството или отсуството на некоја од неговите карактеристики и врски).

Да се ​​размислува значи да се суди. Со помош на судови, мислата и концептот го добиваат својот понатамошен развој.

Бидејќи секој концепт рефлектира одредена класа на предмети, појави или односи меѓу нив, секој суд може да се смета како вклучување или невклучување (делумно или целосно) на еден концепт во класата на друг концепт. На пример, предлогот „секој квадрат е ромб“ покажува дека концептот „квадрат“ е вклучен во концептот „ромб“; предлогот „прави што се пресекуваат не се паралелни“ означува дека правата што се сечат не припаѓаат на множеството прави наречено паралелни.

Пресудата има своја лингвистичка обвивка - реченица, но не секоја реченица е суд.

Карактеристична особина на пресудата е задолжителното присуство на вистина или неточност во реченицата што ја изразува.

На пример, реченицата „триаголникот ABC е рамнокрак“ изразува одреден суд; реченицата „Дали ABC ќе биде рамнокрак?“ не изразува пресуда.

Секоја наука во суштина претставува одреден систем на судови за предметите кои се предмет на нејзиното проучување. Секоја од пресудите е формализирана во форма на одреден предлог, изразен во термини и симболи својствени за оваа наука. Математиката претставува и одреден систем на судови изразени во математички реченици преку математички или логички поими или нивни соодветни симболи. Математички поими (или симболи) ги означуваат оние поими што ја сочинуваат содржината на математичката теорија, логичките поими (или симболи) означуваат логички операции со чија помош се конструираат други математички предлози од некои математички предлози, од некои судови се формираат други судови. , чија целина ја сочинува математиката како наука.

Општо земено, пресудите се формираат во размислувањето на два главни начини: директно и индиректно. Во првиот случај, резултатот од перцепцијата се изразува со помош на пресуда, на пример, „оваа бројка е круг“. Во вториот случај, расудувањето произлегува како резултат на посебна ментална активност наречена заклучување. На пример, „множеството дадени точки на рамнина е такво што нивното растојание од една точка е исто; Ова значи дека оваа бројка е круг“.

Во процесот на оваа ментална активност, обично се прави премин од еден или повеќе меѓусебно поврзани судови кон нов суд, кој содржи ново знаење за предметот на проучување. Оваа транзиција е заклучок, кој ја претставува највисоката форма на размислување.

Значи, заклучувањето е процес на добивање нов заклучок од еден или повеќе дадени судови. На пример, дијагоналата на паралелограм го дели на два складни триаголници (прв предлог).

Збирот на внатрешните агли на триаголникот е 2d (втор предлог).

Збирот на внатрешните агли на паралелограм е еднаков на 4d (нов заклучок).

Когнитивната вредност на математичките заклучоци е исклучително голема. Тие ги прошируваат границите на нашето знаење за предметите и појавите од реалниот свет поради фактот што повеќето математички предлози се заклучок од релативно мал број основни судови, кои по правило се добиваат преку директно искуство и кои го одразуваат нашето наједноставно и најопшто знаење за неговите предмети.

Заклучокот се разликува (како форма на размислување) од концептите и судовите по тоа што е логична операција на индивидуалните мисли.

Не секоја комбинација на пресуди меѓу себе претставува заклучок: мора да постои одредена логичка врска помеѓу пресудите, што ја одразува објективната врска што постои во реалноста.

На пример, не може да се извлече заклучок од предлозите „збирот на внатрешните агли на триаголникот е 2d“ и „2*2=4“.

Јасно е какво значење има способноста за правилно конструирање на разни математички реченици или донесување заклучоци во процесот на расудување во системот на нашето математичко знаење. Говорниот јазик е слабо прилагоден за изразување одредени судови, а уште помалку за идентификување на логичката структура на расудувањето. Затоа, природно е дека имаше потреба од подобрување на јазикот што се користи во процесот на расудување. Математичкиот (или подобро, симболичкиот) јазик се покажа како најсоодветен за ова. Посебното поле на науката што се појавило во 19 век, математичката логика, не само што целосно го решила проблемот за создавање теорија на математичко докажување, туку имало и големо влијание врз развојот на математиката во целина.

Формалната логика (која се појавила во античките времиња во делата на Аристотел) не се поистоветува со математичката логика (која настанала во 19 век во делата на англискиот математичар Џ. Бул). Предмет на формалната логика е проучувањето на законите на односот на судовите и концептите во заклучоците и правилата за докази. Математичката логика се разликува од формалната по тоа што, врз основа на основните закони на формалната логика, ги истражува обрасците на логичките процеси врз основа на употребата на математички методи: „Логичките врски што постојат помеѓу судовите, концептите итн., се изразени во формули чие толкување е ослободено од нејаснотии кои лесно може да произлезат од вербалното изразување. Така, математичката логика се карактеризира со формализирање на логичките операции, поцелосно апстракција од специфичната содржина на речениците (искажување каква било пресуда).

Да го илустрираме ова со еден пример. Размислете за следниот заклучок: „Ако сите растенија се црвени и сите кучиња се растенија, тогаш сите кучиња се црвени“.

Секоја од пресудите што се користат овде и пресудата што ја добивме како резултат на воздржани заклучоци се чини дека се патентни глупости. Меѓутоа, од гледна точка на математичката логика, овде се работи со вистинска реченица, бидејќи во математичката логика вистинитоста или неточноста на заклучокот зависи само од вистинитоста или неточноста на неговите составни премиси, а не од нивната специфична содржина. Затоа, ако еден од основните концепти на формалната логика е суд, тогаш аналогниот концепт на математичка логика е концептот на изјава-изјава, за која има смисла само да се каже дали е точно или неточно. Не треба да се мисли дека секоја изјава се карактеризира со недостаток на „здрав разум“ во неговата содржина. Само значајниот дел од реченицата што ја сочинува оваа или онаа изјава бледне во позадина во математичката логика и е неважен за логичката конструкција или анализа на овој или оној заклучок. (Иако, се разбира, тоа е од суштинско значење за разбирање на содржината на она што се дискутира кога се разгледува ова прашање.)

Јасно е дека во самата математика се разгледуваат значајни искази. Со воспоставување на различни врски и врски меѓу концептите, математичките судови потврдуваат или негираат какви било односи меѓу предметите и феномените на реалноста.

3. Математичка логика и „здрав разум“ во 21 век.

Логиката не е само чисто математичка, туку и филозофска наука. Во 20 век, овие две меѓусебно поврзани ипостаси на логиката се покажа дека се разделени во различни насоки. Од една страна, логиката се сфаќа како наука за законите на правилното размислување, а од друга страна е претставена како збир на лабаво поврзани вештачки јазици, кои се нарекуваат формални логички системи.

За многумина е очигледно дека размислувањето е сложен процес со чија помош се решаваат секојдневни, научни или филозофски проблеми и се раѓаат брилијантни идеи или фатални заблуди. Јазикот многумина го разбираат едноставно како средство со кое резултатите од размислувањето може да се пренесат на современиците или да им се остават на потомците. Но, откако во нашата свест го поврзавме размислувањето со концептот „процес“, а јазикот со концептот „средство“, во суштина престануваме да го забележуваме непроменливиот факт дека во овој случај „средството“ не е целосно подредено на „процесот“. , но во зависност од нашиот намерен или несвесен избор на одредени или вербални клишеа има силно влијание врз текот и резултатот на самиот „процес“. Покрај тоа, има многу случаи кога таквото „обратно влијание“ се покажува не само како пречка за правилно размислување, туку понекогаш дури и негово уништување.

Од филозофска гледна точка, задачата поставена во рамките на логичкиот позитивизам никогаш не беше завршена. Конкретно, во неговите подоцнежни студии, еден од основачите на овој тренд, Лудвиг Витгенштајн, дошол до заклучок дека природниот јазик не може да се реформира во согласност со програмата развиена од позитивистите. Дури и јазикот на математиката како целина се спротивстави на моќниот притисок на „логикализмот“, иако многу термини и структури на јазикот предложени од позитивистите влегоа во некои делови од дискретната математика и значително ги надополнија. Популарноста на логичкиот позитивизам како филозофски тренд во втората половина на 20 век значително опадна - многу филозофи дојдоа до заклучок дека отфрлањето на многу „нелогичности“ на природниот јазик, обид да се притисне во рамката на основните принципи. на логичкиот позитивизам повлекува дехуманизација на процесот на сознавање, а во исто време и дехуманизација на човечката култура во целина.

Многу методи на расудување што се користат во природниот јазик честопати е многу тешко да се пресликаат недвосмислено во јазикот на математичката логика. Во некои случаи, таквото мапирање доведува до значително нарушување на суштината на природното расудување. И има причина да се верува дека овие проблеми се последица на првичната методолошка позиција на аналитичката филозофија и позитивизмот за нелогичноста на природниот јазик и потребата од негова радикална реформа. Самата оригинална методолошка поставеност на позитивизмот исто така не издржува критика. Да се ​​обвинува говорниот јазик дека е нелогичен е едноставно апсурдно. Всушност, нелогичноста не го карактеризира самиот јазик, туку многу корисници на овој јазик кои едноставно не знаат или не сакаат да користат логика и ја компензираат оваа мана со психолошки или реторички техники на влијание врз јавноста, или во своето расудување што го користат. како логика систем кој се нарекува логика само со недоразбирање. Во исто време, има многу луѓе чиј говор се одликува со јасност и логика, а овие квалитети не се одредени со знаење или непознавање на основите на математичката логика.

Во расудувањето на оние кои можат да се класифицираат како законодавци или следбеници на формалниот јазик на математичката логика, често се открива еден вид „слепило“ во однос на елементарните логички грешки. Еден од големите математичари, Анри Поенкаре, го привлече вниманието на ова слепило во основните дела на Г. Кантор, Д. Хилберт, Б. Расел, Ј. Пеано и други на почетокот на нашиот век.

Еден пример за таков нелогичен пристап кон расудувањето е формулацијата на познатиот Расел парадокс, во кој два чисто хетерогени концепти „елемент“ и „множество“ се неразумно збунети. Во многу современи трудови за логика и математика, во кои е забележливо влијанието на програмата на Хилберт, не се објаснети многу изјави кои се јасно апсурдни од гледна точка на природната логика. Односот помеѓу „елемент“ и „множество“ е наједноставниот пример од овој вид. Многу дела во оваа насока тврдат дека одредено множество (да го наречеме А) може да биде елемент на друго множество (да го наречеме Б).

На пример, во добро познат прирачник за математичка логика ќе ја најдеме следната фраза: „Самите множества можат да бидат елементи на множества, така што, на пример, множеството од сите множества цели броеви има множества како свои елементи“. Забележете дека оваа изјава не е само одрекување од одговорност. Таа е содржана како „скриена“ аксиома во теоријата на формалните множества, која многу експерти ја сметаат за основа на модерната математика, како и во формалниот систем што математичарот К. Гедел го изгради кога ја докажува својата позната теорема за нецелосноста на формалните системи. Оваа теорема се однесува на прилично тесна класа на формални системи (тие вклучуваат формална теорија на множества и формална аритметика), чија логичка структура очигледно не одговара на логичката структура на природното расудување и оправдување.

Меѓутоа, повеќе од половина век тоа е предмет на жестока дискусија меѓу логичарите и филозофите во контекст на општата теорија на знаењето. Со толку широка генерализација на оваа теорема, излегува дека многу елементарни концепти се фундаментално непознати. Но, со поприсебен пристап, излегува дека теоремата на Гедел ја покажала само недоследноста на програмата за формално оправдување на математиката предложена од Д. Хилберт и преземена од многу математичари, логичари и филозофи. Поширокиот методолошки аспект на теоремата на Гедел тешко може да се смета за прифатлив додека не се одговори на следното прашање: дали Хилбертовата програма за оправдување на математиката е единствената можна? За да се разбере двосмисленоста на изјавата „множеството А е елемент од множеството Б“, доволно е да се постави едноставно прашање: „Од кои елементи се формираат множеството Б во овој случај? Од гледна точка на природната логика, можни се само две меѓусебно исклучувачки објаснувања. Објаснување еден. Елементите на множеството Б се имињата на некои множества и, особено, името или ознаката на множеството А. На пример, множеството од сите парни броеви е содржано како елемент во множеството на сите имиња (или ознаки) на множества одделени со некои карактеристики од множеството на сите цели броеви. Да дадеме појасен пример: множеството од сите жирафи е содржано како елемент во множеството на сите познати животински видови. Во поширок контекст, множеството Б може да се формира и од концептуални дефиниции на множества или референци на множества. Објаснување второ. Елементите на множеството Б се елементи на некои други множества, а особено на сите елементи на множеството А. На пример, секој парен број е елемент од множеството од сите цели броеви, или секоја жирафа е елемент на збир на сите животни. Но, тогаш излегува дека и во двата случаи изразот „множеството А е елемент од множеството Б“ нема смисла. Во првиот случај, излегува дека елементот на множеството Б не е самото множество А, туку неговото име (или ознака или повикување на него). Во овој случај, имплицитно е воспоставена врска на еквивалентност помеѓу множеството и неговото именување, што е неприфатливо ниту од гледна точка на обичниот здрав разум, ниту од гледна точка на математичката интуиција, која е неспојлива со прекумерниот формализам. Во вториот случај, излегува дека множеството А е вклучено во множеството Б, т.е. е негово подмножество, но не и елемент. И овде има очигледна замена на поимите, бидејќи односот на вклучување на множества и односот на членството (што е елемент на множеството) во математиката имаат суштински различни значења. Познатиот парадокс на Расел, кој ја поткопа довербата на логичарите во концептот на множество, се заснова на овој апсурд - парадоксот се заснова на двосмислената премиса дека множеството може да биде елемент на друго множество.

Можно е и друго можно објаснување. Нека множеството A се дефинира со едноставно набројување на неговите елементи, на пример, A = (a, b). Множеството B, пак, се одредува со набројување на некои множества, на пример, B = ((a, b), (a, c)). Во овој случај, се чини очигледно дека елементот на Б не е името на множеството А, туку самото множество А. Но и во овој случај, елементите на множеството А не се елементи на множеството Б, а множеството А овде се смета за неразделна колекција, која може добро да се замени со неговото име. Но, ако ги сметаме сите елементи од множествата содржани во него за елементи на B, тогаш во овој случај множеството B би било еднакво на множеството (a, b, c), а множеството A во овој случај не би било елемент од Б, но негово подмножество. Така, излегува дека оваа верзија на објаснувањето, во зависност од нашиот избор, се сведува на претходно наведените опции. И ако не се нуди избор, тогаш настанува елементарна нејаснотија, што често води до „необјасниви“ парадокси.

Би можело да не се обрнува посебно внимание на овие терминолошки нијанси ако не за една околност. Излегува дека многу од парадоксите и недоследностите на модерната логика и дискретната математика се директна последица или имитација на оваа двосмисленост.

На пример, во современото математичко расудување, концептот на „самоприменливост“ често се користи, што лежи во основата на Раселовиот парадокс. Во формулацијата на овој парадокс, самоприменливоста подразбира постоење на множества кои се елементи на самите себе. Оваа изјава веднаш води до парадокс. Ако го земеме предвид множеството од сите „не-самоприменливи“ множества, излегува дека тоа е и „самоприменливо“ и „не-самоприменливо“.

Математичката логика придонесе многу за брзиот развој на информатичката технологија во 20 век, но концептот на „пресуда“, кој се појави во логиката уште во времето на Аристотел и на кој, како основа, почива логичката основа на природниот јазик. , испадна од своето видно поле. Ваквиот пропуст воопшто не придонесе за развој на логичка култура во општеството, па дури и создаде илузија кај многумина дека компјутерите се способни да не размислуваат полошо од самите луѓе. Многумина не се ни засрамени од фактот дека наспроти позадината на општата компјутеризација во пресрет на третиот милениум, логичните апсурди во самата наука (да не зборуваме за политиката, законодавството и псевдонауката) се уште почести отколку на крајот на 19 век. . И за да се разбере суштината на овие апсурди, нема потреба да се свртиме кон сложени математички структури со повеќеместонски релации и рекурзивни функции кои се користат во математичката логика. Излегува дека за да се разберат и анализираат овие апсурди, сосема е доволно да се примени многу поедноставна математичка структура на расудување, која не само што не противречи на математичките основи на модерната логика, туку на некој начин ги надополнува и проширува.

Библиографија

1. Василиев Н.А. Имагинарна логика. Избрани дела. - М.: Наука. 1989 година; - стр 94-123.

2. Кулик Б.А. Основни принципи на филозофијата на здравиот разум (когнитивен аспект) // Вести за вештачка интелигенција, 1996 година, бр. 3, стр. 7-92.

3. Кулик Б.А. Логички основи на здравиот разум / Изменето од Д.А. Поспелов. - Санкт Петербург, Политехника, 1997. 131 стр.

4. Кулик Б.А. Логиката на здравиот разум. - Здрав разум, 1997 година, бр. 1 (5), стр. 44 - 48.

5. Styazhkin N.I. Формирање на математичка логика. М.: Наука, 1967 година.

6. Soloviev A. Дискретна математика без формули. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html

Испратете ја вашата добра работа во базата на знаење е едноставна. Користете ја формата подолу

Студентите, дипломираните студенти, младите научници кои ја користат базата на знаење во нивните студии и работа ќе ви бидат многу благодарни.

Објавено на http://www.allbest.ru/

ДИПЛОМСКА РАБОТА

Тема на тезата

„Употреба на елементите на математичката логика на часовите по математика во основно училиште“

математичка логика елементарна

Вовед

Поглавје 1. Теоретски основи за изучување на елементите на математичката логика во основното училиште

1.1 Разбирање на логичката структура на математичките поими и реченици

1.2 Изучување на логиката како гранка на математиката

1.3 Логичко расудување

Заклучоци за поглавје 1

Поглавје 2. Користење на елементи од математичка логика во часовите по математика во основно училиште

2.1 Користење на елементи на логика во почетен курс по математика

2.2 Психолошки и педагошки основи на користење на елементи од математичка логика според образовниот комплекс „Проспективно основно училиште“

2.3 Систем на задачи насочени кон развивање на концептот на „елементи на математичката логика“ кај учениците по завршувањето на основното училиште

Заклучоци за поглавје 2

Заклучок

Библиографија

Апликации

Вовед

Во моментов, земјата активно бара начини за подобрување на математичкото образование. Врз основа на Сојузниот државен образовен стандард на новото општо образование, учениците од основните училишта мора да се придржуваат до барањата за резултатите од совладувањето на основната образовна програма од основното општо образование по предметот математика:

1) користи основни математички знаења за опишување и објаснување на околните објекти, процеси, појави, како и проценка на нивните квантитативни и просторни односи;

2) ги совлада основите на логичкото и алгоритамското размислување, просторната имагинација и математичкиот говор, мерењето, повторното пресметување, проценката и евалуацијата, визуелното прикажување на податоци и процеси, снимање и извршување на алгоритми;

3) да може да врши усни и писмени аритметички операции со броеви и нумерички изрази, да решава текстуални задачи, способност да дејствува во согласност со алгоритам и да гради едноставни алгоритми, да истражува, препознава и прикажува геометриски форми, да работи со табели, дијаграми, графикони. и дијаграми, синџири, агрегати, презентирање, анализа и интерпретација на податоци.

Денес, математичкото образование е дел од системот на средно образование и во исто време еден вид самостојна фаза на образование. Новата содржина на математичкото образование е насочена главно кон формирање култура и независност на размислување на помладите ученици, елементи на воспитно-образовната дејност со средства и методи на математика. За време на обуката, децата мора да научат општи методи на дејствување, спроведување чекор-по-чекор контрола и самоевалуација на завршените активности со цел да се утврди усогласеноста на нивните постапки со планираниот план.

Затоа, не случајно во програмите по математика посебно внимание се посветува на формирање на алгоритамски, логички и комбинаторни линии, кои се развиваат во процесот на изучување на аритметичките, алгебарските и геометриските делови на програмата.

Во делата на математичарите А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич А.С. Столјара, А.М. Пишкало, П.М. Ердниева и другите ги истакнуваат фундаменталните прашања за подобрување на училишното математичко образование, особено прашањата поврзани со зајакнувањето на логичката основа на училишниот курс, вклучително и елементите на математичката логика во него.

Во последната деценија, кога училиштето влезе во процес на модернизација, во практиката се воведуваат нови стандарди, технологии, методи и разни наставни помагала, прашањето за континуитет во образованието меѓу основното и основното ниво станува најважно. Присуството на збир на учебници е важна компонента на континуитетот помеѓу овие нивоа. Според А.А. Столјар „потребна е ментална, логична програма, која треба да се спроведе во основните и средните одделенија на училиштето“.

Истражување на психолози и наставници В.В. Виготски, Л.В.Занков, В.В. Давидова, Н.М. Скаткина и други покажуваат дека под одредени услови е можно да се постигне не само високо ниво на знаење, вештини и способности, туку и општ развој. Во традиционалната настава, развојот се појавува како пожелен, но далеку од предвидлив производ на учење.

Според нас, во психолошката и методолошката литература проблемот на формирање елементи на математичката логика кај учениците делумно се разгледува во однос на наставата по математика во средно училиште.

Така, нумеричкото множество, почнувајќи од првите одделенија на општообразовното училиште, претставува лабораторија каде што е можно појасно да се развијат кај учениците вештините за расудување, кои се основа за утврдување на вистинитоста или неточноста на одреден пристап, одредена формулација на проблем. Се поставува прашањето: „Дали ваквата задача е главната цел на процесот на настава по математика на училиште и колкав дел од овој проблем се јавува во основното училиште? Одговорот на ова прашање може да се добие само по темелна анализа на програмата и учебниците по математика за I-IV одделение.

Итноста на проблемот е да се подобри содржината на наставата по математика во основното училиште со цел да се формираат елементи на математичката логика кај помладите ученици.

Целта на студијатаРазмислете за проучување на елементите на математичката логика во рамките на курсот по математика кога се предава математика во 1-4 одделение и развива образовни и методолошки алатки за нејзино спроведување.

Предмет на проучување- процесот на изучување на елементите од математичката логика при предавањето на часовите по математика во основно училиште.

Ставка- методи и средства за формирање елементи од математичката логика кај учениците од 1-4 одделение.

Истражувачка хипотезае дека е можно да се организира процесот на настава по математика, кој заедно со подготовката на математичките знаења и вештини, свесно и систематски ќе ги развиваме логичките вештини.

За да се постигне целта и да се имплементира хипотезата, беа идентификувани: истражувачки цели:

1. Дајте го концептот за логичката структура на математичките поими и реченици;

2. Ја проучува логиката како наука и гранка на математиката;

3. Откријте што е логично расудување и дајте ги неговите дефиниции;

4. Анализирајте ги образовните стандарди, наставните програми и актуелните училишни учебници по математика од гледна точка на логичкиот развој на учениците;

5. Да се ​​идентификуваат психолошките, педагошките и методолошките основи за формирање на елементи на математичката логика кај децата во процесот на наставата по математика во основно училиште;

6. Спроведете експериментална студија за тестирање на ефективноста на развиените методи во основно училиште.

Теоретската и методолошката основа на студијата се состоеше од: основните принципи на дијалектичко-материјалистичката филозофија и доктрината за лично-активен пристап кон учењето развиена врз нивна основа (А.С. Виготски, А.Н. Леонтиев, С.Л. Рубинштајн итн.); појдовните точки на теоријата за развојно учење (В.В. Давидов, Л.В. Занков, Н.А. Менчинскаја, Д.Б. Елконин, Н.В. Јакиманскаја, итн.); фундаментални идеи на методолошките математичари (А.М. Пишкало, П.М. Ердниев).

Поглавје 1. Теоретски основи за изучување на елементите на математичката логика во основното училиште

1.1 Разбирање на логичката структура на математичките поими и реченици

При изучувањето на математиката на училиште потребно е да се совлада одреден систем на поими, предлози и докази, но за да се совлада овој систем и потоа успешно да се применат стекнатите знаења и вештини, да се подучуваат помладите ученици и да се решава проблемот на нивниот развој со помош на математика. , треба да разберете кои се карактеристиките на математичките концепти, како тие се структурирани дефиниции, реченици кои ги изразуваат својствата на концептите и докази.

На наставникот во основно училиште му треба такво знаење затоа што тој е првиот што ги воведува децата во светот на математичкото знаење, а односот на детето кон учењето математика во иднина зависи од тоа колку компетентно и успешно го прави тоа.

Изучувањето на овој материјал е поврзано со совладување на теоретски јазик на множества, кој ќе се користи не само при разгледување на логичката структура на математичките поими, предлози и докази, туку и при конструирање на целиот курс.

Концептите што се изучуваат на воведниот курс по математика обично се претставени во четири групи. Првиот вклучува концепти поврзани со броеви и операции на нив: број, собирање, член, поголем итн. Ова ги вклучува алгебарските концепти: изразување, еднаквост, равенка итн. Третата група ја сочинуваат геометриски поими: права линија, отсечка, триаголник итн. Четвртата група ја сочинуваат концепти поврзани со количините и нивното мерење.

За да се проучи таквото изобилство на многу различни концепти, неопходно е да се има идеја за концептот како логичка категорија и карактеристиките на математичките концепти.

Во логиката, концептите се сметаат како форма на мисла што ги рефлектира предметите (предмети или појави) во нивните суштински и општи својства. Јазичната форма на концепт е збор или група зборови.

Да се ​​размислува за некој предмет значи да може да се разликува од другите слични предмети. Математичките концепти имаат голем број карактеристики. Главната работа е што математичките објекти во однос на кои се формираат концепти всушност не постојат. Сите математички предмети се создадени од човечкиот ум. Идеален за објекти кои рефлектираат вистински предмети или феномени.

На пример, во геометријата ја проучуваат формата и големината на предметите без да ги земат предвид другите својства: боја, маса, цврстина итн. Тие се оттргнати од сето ова, апстрахирани. Затоа, во геометријата, наместо зборот „објект“ велат „геометриска фигура“.

Резултатот од апстракцијата се такви математички концепти како „број“ и „големина“.

Општо земено, математичките предмети постојат само во човечкото размислување и во оние знаци и симболи кои го формираат математичкиот јазик.

Со проучување на просторните форми и квантитативните односи на материјалниот свет, математиката не само што користи различни техники на апстракција, туку самата апстракција делува како процес во повеќе фази.

Појавувањето во математиката на нови поими, а со тоа и нови поими што ги означуваат овие поими, претпоставува нивно дефинирање.

Дефиницијата е обично реченица што ја објаснува суштината на нов термин (или ознака). Како по правило, ова се прави врз основа на претходно воведени концепти.

Бидејќи дефиницијата на концепт преку род и специфична разлика во суштина е условен договор за воведување нов термин или замена на кој било сет на познати термини, не може да се каже за дефиницијата дали е точна или неточна; ниту е докажано ниту побиено. Но, кога формулираат дефиниции, тие се придржуваат до голем број правила:

· Определувањето мора да биде пропорционално. Тоа значи дека обемот на дефинираните и дефинирачките концепти мора да се совпаѓаат. Ова правило произлегува од фактот дека дефинираните и дефинирачките концепти се заменливи;

· Не треба да има маѓепсан круг во дефиницијата (или нивниот систем). Тоа значи дека не можете да дефинирате концепт преку себе (дефинирачкиот поим не треба да го содржи поимот што се дефинира) или да го дефинирате преку друг, кој, пак, дефинира преку него. Затоа што во математиката не земаат предвид само индивидуални концепти. И нивниот систем, тогаш ова правило го забранува маѓепсаниот круг во системот на дефиниции;

· Дефиницијата мора да биде јасна. Ова не е очигледно правило на прв поглед, но значи многу. Пред сè, потребно е значењето на поимите вклучени во дефинирачкиот концепт да се знае до моментот кога ќе се воведе дефиницијата на новиот концепт. Условите за јасност на дефиницијата ја вклучуваат и препораката да се вклучат во конкретната разлика само онолку својства колку што се неопходни и доволни за да се изолираат дефинираните објекти од опсегот на генеричкиот концепт.

При изучувањето на математиката во основно училиште, ретко се користат дефиниции преку разликување род и вид. Има многу концепти во почетниот курс по математика.

При изучувањето на математиката во основно училиште најчесто се користат таканаречените имплицитни дефиниции. Во нивната структура е невозможно да се разликуваат определеното и определувачкото. Меѓу нив, се издвојуваат контекстуални и нагласени.

Во контекстуалните дефиниции, содржината на новиот концепт се открива преку премин од текст, низ контекст, преку анализа на одредена ситуација. Опишување на значењето на воведениот концепт. Преку контекстот се воспоставува врска помеѓу дефинираниот концепт и другите познати поими, а со тоа индиректно се открива неговата содржина. Пример за контекстуална дефиниција би била дефиницијата на равенката и нејзиното решение.

Отензивните дефиниции се дефиниции со демонстрација. Тие се користат за воведување поими со демонстрација на предметите на кои се однесуваат термините. На пример, на овој начин може да се дефинираат концептите на еднаквост и нееднаквост во основното училиште.

Проучувањето на реалните процеси, математички описи, се користат како природен вербален јазик и симболично значење. Описите се конструирани со помош на реченици. Но, за да може математичкото знаење да биде точен, адекватен одраз на реалноста што не опкружува, овие предлози мора да бидат вистинити. Секоја математичка теза се карактеризира со содржина и логичка форма (структура), а содржината е нераскинливо поврзана со формата и невозможно е да се разбере првата без да се разбере втората.

1) Бројот 12 е парен;

Гледаме дека речениците што се користат во математиката може да се напишат и на природен (руски) јазик и на математички јазик, користејќи симболи. За речениците 1,4,5 и 6 можеме да кажеме дека носат вистинити информации, а за реченицата 2 - неточно. Во однос на реченицата x +5 = 8, генерално е невозможно да се каже дали е точно или неточно. Гледањето на реченицата од гледна точка на точно или неточно доведе до концепт на изјава.

1.2 Изучување на логиката како гранка на математиката

Логиката е една од најстарите науки. Во моментов не е можно точно да се утврди кој, кога и каде првпат се свртел кон оние аспекти на размислување кои го сочинуваат предметот на логиката. Како што истакнува Ивин А.А. , некои од почетоците на логичкото учење може да се најдат во Индија, на крајот на II милениум п.н.е. сепак, ако зборуваме за појавата на логиката како наука, односно за повеќе или помалку систематизирано тело на знаење, тогаш би било фер да се смета големата цивилизација на Античка Грција како родно место на логиката. Тука е во 5-4 век п.н.е. Во периодот на брзиот развој на демократијата и придружното невидено заживување на општествено-политичкиот живот, темелите на оваа наука беа поставени од делата на Демокрит, Платон и Сократ. Предокот, „таткото“ на логиката, со право се смета за најголем мислител на антиката. Ученик на Платон е Аристотел (384-322 п.н.е.). Токму тој во своите дела се обединил под општиот наслов „Органон“ (алатка за сознавање), за првпат темелно ги анализирал и опишал основните логички облици и правила на расудување, имено: облиците на заклучоците од т.н. наречени категорични пресуди - категоричен силогизам („Прва аналитика“), ги формулираше основните принципи на научни докази („Втора анализа“), даде анализа на значењето на одредени видови изјави („За толкување“) и ги наведе главните пристапи кон развојот на доктрината на концепти („Категории“). Аристотел, исто така, посвети сериозно внимание на разоткривањето на различни видови логички грешки и софистички техники во споровите („За софистичките побивања“).

Логиката има долга и богата историја, нераскинливо поврзана со историјата на развојот на општеството во целина.

На појавата на логиката како теорија му претходеше практиката на размислување да се враќа илјадници години наназад. Со развојот на трудот, материјалното и производствените активности на луѓето, дојде до постепено подобрување и развој на нивните мисловни способности, особено способноста за апстракција и заклучување. И ова, порано или подоцна, но неизбежно требаше да доведе до фактот дека предмет на истражување стана самото размислување со своите форми и закони.

Како што истакнува Ивин А.А. , историјата покажува дека индивидуалните логички проблеми се појавиле пред човечкиот ум пред повеќе од 2,5 илјади години - прво во Античка Индија и Античка Кина. Тие потоа добиваат поцелосен развој во Античка Грција и Рим. Само постепено се формира повеќе или помалку кохерентен систем на логичко знаење и се формира независна наука.

Кои се причините за појавата на логиката? Ивин А.А. смета дека има две главни. Еден од нив е потеклото и почетниот развој на науките, особено математиката. Овој процес датира од 6 век. п.н.е. а својот најцелосен развој го добива во Античка Грција. Родена во борбата против митологијата и религијата, науката се засноваше на теоретско размислување, вклучувајќи заклучоци и докази. Оттука и потребата да се проучува природата на самото размислување како средство за сознание.

Според Курбатов В.И. , логиката настана, пред сè, како обид да се идентификуваат и оправдаат оние барања што научното размислување мора да ги задоволи за неговите резултати да одговараат на реалноста.

Друга, можеби уште поважна причина е развојот на ораторството, вклучително и судската уметност, која процвета во услови на античка грчка демократија. Најголемиот римски оратор и научник Цицерон (106-43 п.н.е.), говорејќи за моќта на ораторот, сопственик на „божествениот дар“ на елоквентност, истакнал: „Тој може безбедно да остане дури и меѓу вооружените непријатели, заштитен не толку со неговиот персонал, колку според неговото име на говорник; тој може со својот збор да ја разбуди огорченоста на своите сограѓани и да ги казни виновниците за злосторството и измамата, а со силата на својот талент да ги спаси невините од судење и казна; тој е способен да ги мотивира плашливите и неодлучни луѓе на херојство, умее да ги изведе од заблуда, умее да ги разгори против никаквци и да го смири мрморењето против достојните луѓе; тој знае како, конечно, со еден збор може и да ги возбуди и смири сите човечки страсти кога тоа го бараат околностите на случајот“.

Според Ивин А.А., основачот на логиката - или, како што понекогаш велат, „таткото на логиката“ - се смета за најголемиот антички грчки филозоф и енциклопедист Аристотел (384-322 п.н.е.). Сепак, треба да се има на ум дека првото прилично детално и систематско прикажување на логичките проблеми всушност го дал претходниот антички грчки филозоф и натуралист Демокрит (460 - приближно 370 п.н.е.). Меѓу неговите бројни дела беше и обемниот трактат во три книги, „За логиката или за каноните“. Овде не беше откриена само суштината на знаењето, неговите главни форми и критериуми на вистината, туку се покажа и огромната улога на логичкото расудување во знаењето и беше дадена класификација на судовите. Некои видови на инференцијални знаења беа силно критикувани и беше направен обид да се развие индуктивна логика - логика на експериментално знаење. За жал, овој трактат на Демокрит, како и сите други, не стигна до нас.

Нова, повисока фаза во развојот на логиката започнува во 17 век. Оваа фаза е органски поврзана со создавањето во нејзините рамки, заедно со дедуктивната логика, на индуктивната логика. Тоа ги одразува разновидните процеси на стекнување општо знаење врз основа на сè поакумулираниот емпириски материјал. Потребата за стекнување на такво знаење најцелосно ја согледа и изрази во своите дела извонредниот англиски филозоф и природонаучник Ф. Бејкон (1561-1626). Тој стана основач на индуктивната логика. „...логиката што сега постои е бескорисна за откривање на знаењето“, ја изрече својата сурова пресуда. Затоа, како за разлика од стариот „Органон“ на Аристотел, Бејкон го напишал „Новиот органон...“, каде што ја истакнал индуктивната логика. Своето главно внимание го посвети на развојот на индуктивните методи за определување на каузалната зависност на појавите. Ова е голема заслуга на Бејкон. Сепак, доктрината за индукција што тој ја создаде, иронично, се покажа дека не е негирање на претходната логика. И негово натамошно збогатување и развој. Тоа придонесе за создавање на генерализирана теорија на заклучоци. И тоа е природно, бидејќи, како што ќе биде прикажано подолу, индукцијата и дедукцијата не исклучуваат, туку претпоставуваат една со друга и се во органско единство.

Руските научници дадоа добро познат придонес во развојот на традиционалната формална логика. Така, веќе во првите трактати за логиката, почнувајќи од околу 10 век. беа направени обиди самостојно да се коментираат делата на Аристотел и други научници. Оригиналните логички концепти во Русија беа развиени во 18 век. а се поврзуваат првенствено со имињата на М. Ломоносов (1711-1765) и А. Радишчев (1749-1802). Почетокот на логичкото истражување кај нас датира од крајот на 19 век.

Грандиозен обид да се развие интегрален систем на нова, дијалектичка логика беше направен од германскиот филозоф Г. Хегел (1770-1831). Во своето фундаментално дело „Наука за логиката“, тој, пред сè, ја откри фундаменталната противречност помеѓу постојните логички теории и вистинската практика на размислување, која дотогаш достигна значителни височини.

Како што истакнува Курбатов В.И., Хегел ја преиспитал природата на размислувањето, неговите закони и форми. Во тој поглед, тој дошол до заклучок дека „дијалектиката ја сочинува природата на самото размислување, дека како разум мора да падне во самонегирање, во контрадикторност“. Мислителот ја гледал својата задача како да најде начин да ги реши овие противречности. Хегел жестоко ја критикуваше старата, обична логика за нејзината поврзаност со метафизичкиот метод на знаење. Но, во оваа критика тој отиде толку далеку што ги отфрли неговите принципи засновани на законот на идентитетот и законот на контрадикторност.

Ивин А.А. вели дека проблемите на дијалектичката логика, нејзиниот однос со формалната логика нашле понатамошна конкретизација и развој во делата на германските филозофи и научници К. Маркс) 1818-1883) и Ф. Енгелс (1820-1895). Користејќи го најбогатиот интелектуален материјал акумулиран од филозофијата, природните и општествените науки, тие создадоа квалитативен нов, дијалектичко-материјалистички систем, кој беше отелотворен во дела како „Капитал“ од К. Маркс, „Анти-Диринг“ и „Дијалектика на природата“. “ од Ф. Енгелс. Од овие општи филозофски позиции, Маркс и Енгелс го оценија посебното „учење на размислување и неговите закони“ - логика и дијалектика. Тие не ја негираа важноста на формалната логика, не ја сметаа за „глупост“, туку го истакнаа нејзиниот историски карактер. Така, Енгелс забележа дека теоретското размислување на секоја ера е историски производ, кој во различни времиња добива многу различни форми и во исто време многу различна содржина. „Следствено, науката за размислување, како и секоја друга наука, е историска наука, наука за историскиот развој на човечкото размислување“.

Во последните децении кај нас се направени многу плодни обиди за систематско прикажување на дијалектичката логика. Случувањата се одвиваат во две главни насоки. Од една страна, ова е откривање на обрасците на рефлексија на развојната реалност во човечкото размислување, нејзините објективни противречности, а од друга страна, откривање на моделите на развој на самото размислување, сопствената дијалектика.

Во услови на научна и технолошка револуција, кога науките преминуваат на нови, подлабоки нивоа на знаење и кога се зголемува улогата на дијалектичкото размислување, потребата за дијалектичка логика се повеќе се засилува. Добива нови стимулации за понатамошен развој.

Вистинска револуција во логичкото истражување предизвика создавањето на математичката логика во втората половина на 19 век, која беше наречена и симболична и означи нова, модерна фаза во развојот на логиката.

Почетоците на оваа логика можат да се следат веќе кај Аристотел, како и кај неговите следбеници, стоиците, во форма на елементи на логиката на предикатот и теоријата на модалните заклучоци, како и на пропозициската логика. Сепак, систематскиот развој на неговите проблеми датира од многу подоцнежно време.

Како што истакнува Ивин А.А., зголемените успеси во развојот на математиката и навлегувањето на математичките методи во другите науки веќе во втората половина на 17 век итно покренаа два фундаментални проблеми. Од една страна, ова е употребата на логиката за развивање на теоретските основи на математиката, а од друга, математизацијата на самата логика како наука. Најдлабок и најплоден обид за решавање на проблемите што се појавија го направи најголемиот германски филозоф и математичар Г. Лајбниц (1646-1416). Така, тој стана, во суштина, основач на математичката логика. Лајбниц сонувал за време кога научниците не би се занимавале со емпириско истражување, туку во пресметка со молив во рака. Тој се обиде да измисли за оваа цел универзален симболички јазик преку кој секоја емпириска наука може да се рационализира. Новите сознанија, според него, ќе бидат резултат на логичко пресметување - калкулус.

Според В.И. Курбатов, идеите на Лајбниц добиле одреден развој во 18 век и првата половина на 19 век. Сепак, најповолните услови за моќен развој на симболичката логика се појавија дури во втората половина на 19 век. Во тоа време, математизацијата на науките постигна особено значаен напредок, а во самата математика се појавија нови фундаментални проблеми за нејзиното оправдување. Англиски научник, математичар и логичар Railway. Бул (1815-1864) првенствено ја применувал математиката на логиката во своите дела. Дал математичка анализа на теоријата на заклучоци и развил логичко пресметување („Булова алгебра“). Германскиот логичар и математичар Г. Фреге (1848-1925) ја применува логиката во изучувањето на математиката. Преку проширен предикат калкулус тој конструирал формализиран систем на аритметика.

Така се отвори нова, модерна фаза во развојот на логичкото истражување. Можеби најважната карактеристика на оваа фаза е развојот и употребата на нови методи за решавање на традиционалните логички проблеми. Ова е развој и употреба на вештачки, таканаречен формализиран јазик - јазик на симболи, т.е. азбучни и други знаци (оттука и најчестото име за модерната логика - „симболично“).

Како што истакнува Ивин А.А. , постојат два вида на логичко пресметување: исказно пресметување и пресметување предикати. Со првото е дозволено апстракција од внатрешната, концептуална структура на судовите, а со втората се зема предвид оваа структура и, соодветно, симболичкиот јазик се збогатува и надополнува со нови знаци.

Важноста на симболичките јазици во логиката е тешко да се прецени. Г. Фреге го спореди со значењето на телескоп и микроскоп. И германскиот филозоф Г. Клаус (1912-1974) веруваше дека создавањето на формализиран јазик има исто значење за технологијата на логичко заклучување како и преминот од физичка работа кон машинска работа во сферата на производството. Појавувајќи се врз основа на традиционалната формална логика, симболичката логика, од една страна, ги разјаснува, продлабочува и генерализира претходните идеи за логичките закони и форми, особено во теоријата на заклучоци, а од друга страна, сè повеќе ги проширува и збогатува логичките проблеми. . Модерната логика е сложен и високо развиен систем на знаење. Вклучува многу насоки, одделни, релативно независни „логики“, сè поцелосно изразувајќи ги потребите на практиката и на крајот одразувајќи ја различноста на сложеноста на околниот свет, единството и различноста на размислувањето за самиот овој свет.

Симболичката логика се повеќе се користи во другите науки - не само во математиката, туку и во физиката, биологијата, кибернетиката, економијата и лингвистиката. Тоа доведува до појава на нови гранки на знаење (математика). Особено впечатлива и јасна е улогата на логиката во сферата на производството. Отворајќи ја можноста за автоматизирање на процесот на расудување, овозможува пренос на некои функции на размислување на технички уреди. Неговите резултати се повеќе се користат во технологијата: во создавање на кола за контакт со реле, компјутери, информациски логички системи итн. Според фигуративниот израз на еден од научниците, модерната логика не е само „алатка“ на прецизна мисла, туку и „мисла“ на прецизен инструмент, електронски автомат. Достигнувањата на модерната логика се користат и во правната сфера. Така, во форензичката наука во различни фази од проучувањето се врши логичка и математичка обработка на собраните информации.

Растечките потреби на научниот и технолошкиот напредок го одредуваат понатамошниот интензивен развој на модерната логика.

Останува да се каже дека руските научници дадоа важен придонес во развојот на системи на симболичка логика. Меѓу нив особено се издвојува P. Poretsky (1846-1907). Тој беше првиот во Русија кој почна да држи предавања за математичка логика. Математичката логика продолжува да се развива и денес.

Според В.И. Курбатов, проучувањето на математичката логика го дисциплинира умот. Сеќавајќи се на познатата изрека на М.В. Ломоносов за математиката, можеме да кажеме дека математичката логика, повеќе од која било друга математичка наука, „го става во ред умот“.

Јазикот на која било алгебра се состои од збир на знаци наречени азбука на овој јазик.

Знаците на азбуката, по аналогија со знаците на азбуката на природниот јазик, се нарекуваат букви.

Природно се поставува прашањето: кои букви треба да бидат содржани во азбуката на јазикот на нумеричката алгебра?

Пред сè, очигледно, мора да имаме букви за означување на елементите на множеството - носител на алгебра, во овој случај за означување на броеви и променливи за елементите на ова множество.

Користејќи го декадниот броен систем за означување броеви, мора да вклучиме во азбуката на нумеричката алгебра десет букви наречени броеви: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, со чија помош, според на одредени правила, имињата на сите броеви.

Како нумерички променливи (променливи за броеви од кое било од множествата N, N0, Z, Q или R) се користат буквите од латинската азбука a, b, c, x, y, z или една од овие букви со индекс, за пример X1, X2, Xn.

Понекогаш буквите од латинската азбука се користат и како нумерички константи, односно како имиња на броеви (кога зборуваме за одреден, но не е важно кој конкретен број). Во овој случај, почетните букви од латинската азбука a, b, c обично се користат како константи, а последните букви x, y, z се користат како променливи.

Потребни ни се и писма за претставување на операциите. За собирање и множење се користат добро познатите знаци (букви) + и *, соодветно.

Покрај тоа, улогата на интерпункциските знаци во јазикот на алгебрата се игра со загради (лево и десно).

Така, азбуката на јазикот на кој е опишана која било нумеричка алгебра мора да вклучува збир што се состои од четири класи на букви: I - броеви од кои се конструирани имињата на броевите; II - букви од латинската азбука - нумерички променливи или константи; III - знаци за работа; IV -- загради.

Знаците за одземање (--) и делење (:) може да се воведат со дефиниции на соодветните операции.

Постепено, азбуката на нумеричката алгебра се надополнува со други „букви“, особено се воведуваат знаци на бинарни односи „еднакви“, „помалку од“, „поголеми“.

Сите наведени знаци се вклучени во азбуката на математичкиот јазик, вештачки јазик кој настанал во врска со потребата од прецизни, концизни и недвосмислено разбрани формулации на математички закони, правила и докази.

Историски гледано, симболиката на математиката била создадена низ вековите со учество на многу извонредни научници. Така, се верува дека означувањето на непознати количини со букви го користел Диофант (3 век), а широката употреба на големите букви од латинската азбука во алгебрата започнала со Виета (16 век). малите букви од оваа азбука биле воведени за означување од Р. Декарт (XVII век). знакот за еднаквост (=) за прв пат се појавил во делата на англискиот научник R. Record (XVI век), но вообичаено се користи дури во XVIII век. Знаци на нееднаквост (< , >) се појавиле на почетокот на 17 век, ги вовел англискиот математичар Гариот. И иако знаците „=“, „>“, „<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .

Изјава во математиката е реченица за која е значајно прашањето: точно е или неточно.

Може да се донесат различни судови во врска со концептите и односите меѓу нив. Јазичната форма на судовите се наративни реченици. На пример. Во основниот курс по математика можете да ги најдете следните реченици:

1) Бројот 12 е парен;

4) Бројот 15 содржи една десетка и 5 единици;

5) Производот не се менува од преуредување на факторите;

6) Некои броеви се деливи со 3.

Гледаме дека речениците што се користат во математиката може да се напишат и на природен (руски) јазик и на математички јазик, користејќи симболи. За речениците 1,4,5 и 6 можеме да кажеме дека носат вистинити информации, а за реченицата 2 - неточно. Во однос на реченицата x +5 = 8, генерално е невозможно да се каже дали е точно или неточно.

Ако се дадени изјавите А и Б, тогаш од нив може да се направат нови изјави користејќи сврзници „и“, „или“, „ако ... тогаш ...“, „или ... или ...“, „ако и само ако ако“, како и честичката „не“. На пример, нека A значи исказот „Сега е сончево“, а B значи изјавата „Сега е ветровито“. Тогаш изјавата „А и Б“ значи: „Сега е сончево и ветровито“, изјавата „Ако не е А, тогаш не е Б“ значи „Ако сега не е сончево, тогаш не е ветровито“.

Таквите искази се нарекуваат сложени, а исказите А и Б вклучени во нив се нарекуваат елементарни искази. Две сложени тврдења А и Б се вели дека се еквивалентни ако се и вистинити и во исто време неточни под какви било претпоставки за вистинитоста на елементарните искази вклучени во нив. Во овој случај пишуваат: A=B.

Веќе од првиот час по математика основците наидуваат на изјави, главно вистинити. Тие се запознаваат со следните изјави: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.

Ако А е некој исказ, тогаш, со тврдењето дека е неточен, добиваме нов исказ, кој се нарекува негирање на изјавата А и е означен со симболот Б.

Така, ако изјавата е вистинита, тогаш нејзината негација е неточна, и обратно. Овој заклучок може да се напише со помош на табела во која „I“ значи вистинит исказ, а „L“ значи лажен. Табелите од овој тип се нарекуваат табели на вистинитост (види Додаток 2, Сл. 1).

Нека A и B се две елементарни тврдења. Поврзувајќи ги со сврзникот „и“, добиваме нова изјава наречена сврзник податоци искази и е означен со А? Б. Влез А? Б гласеше: „А и Б“.

По дефиниција, сврзникот од две искази е точен ако и само ако и двете тврдења се вистинити. Ако барем еден од нив е неточен, тогаш сврзникот е неточен (види Додаток 2, Сл. 2).

Размислете за изјавата „7 - 4 = 3 и 4 е парен број“. Тоа е спој на две изјави: „7 - 4 = 3“ и „4 е парен број“. Бидејќи и двете тврдења се вистинити, тогаш нивниот сврзник е вистинит.

Ако во врска А? Ако ги замениме исказите A и B, тогаш ќе добиеме сврзник од формата B? A. Од табелата за вистинитост е јасно дека формулите А? Б и Б? И за различни значења на исказите А и Б се или симултано вистинити или истовремено неточни.

Следствено, тие се еквивалентни, а за сите тврдења А и Б имаме: А? Б = Б? А

Оваа нотација го изразува комутативното својство на сврзникот, што овозможува да се заменат членовите на сврзникот.

Дали сте ги составиле табелите на вистината за (А? Б) ? С и А? (B? C), добиваме дека за какви било вистинити вредности на исказите A, B, C, вистинити вредности на искази (A? B) ? С и А? (Б? В) натпревар.

Така, (А? Б) ? C = A? (Б? В).

Оваа еднаквост го изразува асоцијативното својство на сврзникот. Таквата врска е точна ако и само ако сите искази вклучени во него се вистинити.

Со поврзување на два елементарни искази А и Б со сврзникот „или“, добиваме нов исказ наречен дисјункција податоци искази . Дијункцијата на исказите А и Б се означува со А?Б и се чита „А или Б“. Дисјункцијата е неточна само ако и двата искази од кои е формирана се неточни; во сите други случаи дисјункцијата е вистинита. Табелата на вистинитост на дисјункцијата има форма (види Додаток 2, Сл. 3).

За дисјункција, како и за сврзник, може да се наведат голем број еквиваленции. За кои било A, B и C имаме:

А? Б = Б? А (комутативна дисјункција);

(А? Б) ? C = A? (Б? В) (асоцијативност на дисјункција).

Асоцијативното својство на дисјункција ни овозможува да ги изоставиме заградите и да напишеме А? ВО? C наместо (A? B) ? СО.

Користејќи табели за вистинитост, лесно е да се утврди тоа

(А? Б) ? C = (A? C) ? (Б? В)

(А? Б) ? C = (A? C) ? (B?C)

Првата еднаквост го изразува дистрибутивниот закон на сврзник во однос на дисјункцијата, а втората еднаквост го изразува дистрибутивниот закон на дисјункција во однос на сврзницата.

Операциите на сврзување, дисјункција и негација се поврзани со следните односи, чија валидност може да се утврди со помош на табелите на вистинитост:

Овие односи се нарекуваат формули на Де Морган.

Да разгледаме сложена изјава, која се формира од две елементарни со користење на зборовите „ако ... тогаш ...“.

Нека, на пример, се дадени изјавите А: „Вчера беше недела“ и Б: „Не бев на работа“. Тогаш сложената изјава „Ако вчера беше недела, тогаш не бев на работа“ ја има формулата „Ако А, тогаш Б“.

Се нарекува изјавата „Ако А, тогаш Б“. импликација на изјавите А, Б и со помош на симболи се пишуваат вака: А => Б. Исказот А, вклучен во импликацијата А => Б, се нарекува услов на импликацијата, а изјавата Б е нејзин заклучок.

Затоа, вистинитоста на импликацијата „Ако А, тогаш Б“ изгледа вака (види Додаток 2, Сл. 4).

Од две изјави А и Б, можете да дадете нова изјава, која гласи вака: „И ако и само ако Б“. Оваа изјава се нарекува еквивалентни изјави А и Б и означете: А Б. Исказот А Б се смета за вистинит ако и двете тврдења А и Б се вистинити или и двете тврдења А и Б се неточни. Во други случаи (т.е., ако едното тврдење е точно, а другото е неточно), еквивалентноста се смета за неточна. Така, табелата на вистинитост за еквивалентноста на А и Б има форма (види Додаток 2, Сл. 5).

1.3 Логично расудување

Секое расудување се состои од синџир на искази кои следат едни од други според одредени правила. Способноста да расудуваат и правилно да ги поткрепат своите заклучоци е неопходна за луѓето од која било професија. Човекот учи да расудува од моментот кога ќе почне да зборува, но насочената обука за логиката на расудувањето започнува на училиште. Веќе почетниот курс по математика претпоставува развивање на вештините на учениците за споредување, класифицирање на предмети, анализа на факти и докажување на наједноставните искази. Логичното расудување е потребно не само за решавање на математички проблеми, туку и за граматичка анализа, совладување на принципите на природната историја итн. Затоа, наставникот во основно училиште мора да биде запознаен со логиката, т.е. со науката за законите и облиците на размислување, за општите обрасци на расудување.

Главните видови судови и заклучоци се разгледуваат во класичната логика, создадена од античкиот грчки филозоф Аристотел (384-322 п.н.е.).

Во логиката, расудувањето е поделено на:

1. точно;

2. неточно.

Правилно расудување е расудување во кое се почитуваат сите правила и закони на логиката. Неправилно расудување е расудување во кое се прават логички грешки поради прекршување на правилата или законите на логиката.

Постојат два вида логички грешки:

1. паралогизми;

2. софистика.

Паралогизмите се логички грешки кои се прават ненамерно (од незнаење) во процесите на расудување.

Софизмите се логички грешки кои се прават во процесите на расудување намерно со цел да се доведе во заблуда противникот, да се оправда лажна изјава, какви глупости итн.

Софизмите се познати уште од античко време. Софистите широко користеле такви размислувања во нивната практика. Од нив потекнува и името „софизам“.До нашево време преживеале бројни примери на расудување што софистите ги користеле во разни спорови. Да наведеме некои од нив.

Најпознатиот антички софизам е расудувањето наречено „Рогови“.

Замислете ситуација: една личност сака да убеди друга дека има рогови. Оправдувањето за ова е дадено: „Она што не сте го изгубиле, го имате. Не си ги изгубил роговите. Значи имаш рогови“.

На прв поглед, ова размислување изгледа точно. Но, таа содржи логичка грешка што лицето кое не ја разбира логиката веројатно нема да може веднаш да ја најде.

Да дадеме уште еден пример. Протагора (основачот на школата на софистите) бил ученик на Еватлус. Наставникот и ученикот склучиле договор според кој Еватл ќе плати школарина дури откако ќе ја добие првата тужба. Но, откако ги заврши студиите, Еватл не брзаше да се појави на суд. Трпението на учителот се потроши и тој поднесе тужба против својот ученик: „Во секој случај, Еватлус ќе мора да ми плати“, помисли Протагора. - Или ќе го добие ова судење или ќе го загуби. Ако победи, плати како што е договорено; ако загуби ќе плати според судската пресуда“. „Ништо такво“, се спротивстави Еватл. - Навистина, или ќе го добијам судењето или ќе го изгубам.

Ако победам, судската одлука ќе ме ослободи од плаќање, но ако загубам, нема да платам според нашиот договор *.

Има и логична заблуда во овој пример. А кој точно - ќе дознаеме понатаму.

Главната задача на логиката е анализа на правилните размислувања. Логичарите се трудат да ги идентификуваат и истражат моделите на такви размислувања, да ги дефинираат нивните различни типови итн. Неточното расудување во логиката се анализира само од гледна точка на грешките што биле направени во нив.

Треба да се забележи дека исправноста на расудувањето не значи вистинитост на неговите премиси и заклучок. Општо земено, логиката не се занимава со утврдување на вистинитоста или неточноста на премисите и заклучоците од размислувањата. Но, во логиката постои такво правило: ако разгледувањето е правилно изградено (во согласност со правилата и законите на логиката) и во исто време се заснова на вистински премиси, тогаш заклучокот од таквото расудување секогаш ќе биде безусловно вистинит. Во други случаи, вистинитоста на заклучокот не може да се гарантира.

Така, ако расудувањето е конструирано погрешно, тогаш, дури и покрај фактот дека неговите премиси се вистинити, заклучокот од таквото расудување може да биде вистинит во еден случај, а неточен во вториот случај.

Да ги разгледаме, на пример, следните две размислувања, кои се конструирани според истата неточна шема:

(1) Логиката е наука.

Алхемијата не е логика.

Алхемијата не е наука.

(2) Логиката е наука.

Законот не е логика.

Правото не е наука.

Очигледно е дека во првото образложение заклучокот е вистинит, но во второто е неточен, иако премисите и во двата случаи се вистинити искази.

Исто така, невозможно е да се гарантира вистинитоста на заклучокот на аргументот кога барем една од неговите премиси е неточна, дури и ако ова размислување е точно.

Правилно расудување е расудување во кое некои размислувања (заклучоци) нужно произлегуваат од други мислења (премиси).

Пример за правилно расудување може да биде следниов заклучок: „Секој граѓанин на Украина мора да го признае нејзиниот Устав. Сите народни пратеници на Украина се државјани на Украина. Значи, секој од нив мора да го признае Уставот на својата држава“, а пример за вистинска мисла е пресудата: „Има граѓани на Украина кои не признаваат барем некои членови од Уставот на својата држава“.

Следното резонирање треба да се смета за неточно: „Бидејќи економската криза во Украина јасно се чувствува себеси по прогласувањето на нејзината независност, таа е причината за оваа криза“. Овој тип на логичка грешка се нарекува „по ова - поради ова“. Тоа лежи во фактот дека временскиот редослед на настаните во вакви случаи се поистоветува со каузалноста. Пример за невистинито мислење може да биде секој став што не одговара на реалноста, да речеме, изјавата дека украинската нација воопшто не постои.

Целта на знаењето е да се добие вистинско знаење. За да се добие такво знаење преку расудување, прво мора да имаш вистински премиси, и второ, правилно да ги комбинираш, да размислуваш според законите на логиката. Кога користат лажни премиси, тие прават фактички грешки, а кога ги прекршуваат законите на логиката, правилата за конструирање размислувања, прават логички грешки. Фактичките грешки, се разбира, мора да се избегнуваат, што не е секогаш можно. Што се однесува до логичките, личноста со висока интелектуална култура може да ги избегне овие грешки, бидејќи основните закони на логички правилно размислување, правилата за градење расудување, па дури и значајно типични грешки во расудувањето се одамна формулирани.

Логиката ве учи да размислувате правилно, да избегнувате логички грешки и да го разликувате правилното расудување од неточното расудување. Ги класифицира правилните размислувања со цел систематски да се разберат. Во тој контекст, може да се постави прашање: бидејќи има многу размислувања, дали е можно, според зборовите на Козма Прутков, да се прифати неограниченото? Да, тоа е можно, бидејќи логиката учи човек да размислува, фокусирајќи се не на специфичната содржина на мислите што се дел од расудувањето, туку на шемата, структурата на расудувањето, формата на комбинирање на овие мисли. Да речеме форма на расудување како „Секое x е y, а ова z е x; Следствено, даденото r е точно, а знаењето за неговата исправност вклучува многу побогати информации отколку знаењето за точноста на посебен значаен аргумент со слична форма. И формата на расудување според шемата „Секое x е y, а z е исто така y; затоа, z е x“ се однесува на неточните. Како што граматиката ги проучува формите на зборовите и нивните комбинации во реченицата, апстрахирајќи се од специфичната содржина на јазичните изрази, така и логиката ги проучува формите на мислењата и нивните комбинации, апстрахирајќи од специфичната содржина на овие мисли.

За да се открие формата на мисла или размислување, таа мора да се формализира.

Заклучоци за поглавје 1

Врз основа на горенаведеното, може да се извлечат следните заклучоци:

1. Логиката настанала како гранка на филозофското знаење. Главните причини за неговото појавување се развојот на науките и ораторството. Бидејќи науката се заснова на теоретско размислување, кое вклучува конструкција на заклучоци и докази, постои потреба да се проучува самото размислување како форма на сознание.

2. Во современата наука важноста на симболичката логика е многу голема. Таа наоѓа примена во кибернетиката, неврофизиологијата и лингвистиката. Симболичката логика е модерна фаза во развојот на формалната логика. Ги проучува процесите на расудување и докажување преку неговото претставување во логичките системи. Така, во својот предмет оваа наука е логиката, а во нејзиниот метод е математиката.

Откако ги проучувавме материјалите, ги разјаснивме нашите идеи за математичките концепти:

Тоа се концепти на идеални објекти;

Секој математички концепт има поим, опсег и содржина;

На концептите им се дадени дефиниции; тие можат да бидат експлицитни или имплицитни. Имплицитните вклучуваат контекстуални и нагласени дефиниции;

Учењето на концептот се случува од класа до класа со проширено истражување на темата.

При проучувањето на материјалот се запознавме со поими со чија помош го разјаснивме значењето на сврзниците „и“, „или“, честичката „не“, зборовите „секое“, „постои“, „затоа“ и „еквивалентно“ се користи во математиката. Ова се концептите:

Изјава;

Елементарни изјави;

Логички врски;

Сложени искази;

Сврзување на изјави;

Дисјункција на искази;

Негирање на изјави.

Ги разгледа правилата:

Одредување на вистинитоста на сложено тврдење;

Конструкции на негација на реченици од различни структури.

Поглавје 2. Користење на елементи од математичка логика во часовите по математика во основно училиште

2.1 Употребаелементи на логиката во почетниот тек на математиката

Математиката обезбедува вистински предуслови за развој на логично размислување; задачата на наставникот е да ги искористи овие можности поцелосно кога ги учи децата математика. Сепак, не постои специфична програма за развој на техники на логично размислување што треба да се формулира при изучување на овој предмет. Како резултат на тоа, работата на развојот на логично размислување продолжува без познавање на системот на потребните техники, без познавање на нивната содржина и редоследот на формирање.

Баракина В.Т. ги истакнува следните барања за знаењата, вештините и способностите на учениците при изучување на елементите на логиката во основното училиште:

1. Елементи на теоријата на множества:

Запознајте се со множества од различна природа користејќи конкретни примери и начини на нивно пишување (со набројување);

Научете да идентификувате елементи од множеството;

Запознајте се со главните типови на односи меѓу множествата и начинот на кој тие се претставени со помош на Ојлер-Вен кругови;

Научете да изведувате некои операции на множества (соединување, пресек).

2. Елементи на теоријата на исказот:

Запознајте се со изјавата на ниво на идеи;

Научете да разликувате изјави од други реченици;

Запознајте се со главните видови изјави;

Научете да изведувате некои операции на искази (негирање, сврзник, дисјункција).

3. Елементи на комбинаторика:

Запознајте се со овој концепт на ниво на идеи;

Научете да разликувате комбинаторни проблеми од други видови текстуални задачи опфатени во часовите по математика;

Научете да решавате проблеми за да го одредите бројот на сместувања на n елементи по m елементи.

Елементите на логиката во основното училиште се опфатени и на часовите по математика и по компјутерски науки. Во исто време, нивото на барања за знаења, вештини и способности на студентите, како и содржината на обуката во овој дел, донекаде се разликува во различни програми. Ова се должи, пред сè, на фактот дека во моментов Сојузниот државен образовен стандард за основно општо образование не бара задолжително разгледување на оваа тема во одделението 1-4.

Во моментов, сите курсеви по математика се насочени кон развој на учениците. На пример, курсот на Истомина Н.Б. нејзината главна цел е развој на методи на ментална активност на учениците, ментални операции: анализа, синтеза, споредба, класификација, аналогија, генерализација.

...

Слични документи

Изучување на текот на математичката логика. Основата на логиката е свесноста за структурата на математичката наука и нејзините фундаментални концепти. Историска скица. Еквивалентност на речениците. Негирање на изјави. Логично следење.

теза, додадена 08/08/2007


Воннаставните активности како една од облиците на работа. Педагошки основи за изучување на математичката логика во средно училиште како дел од воннаставните активности. Анализа на постоечки методи за развивање општи логички и логички вештини кај учениците.

работа на курсот, додадена 19.11.2012


Основи на методи за изучување на математички поими. Математички поими, нивната содржина и обем, класификација на поимите. Психолошки и педагошки карактеристики на наставата по математика во 5-6 одделение. Психолошки аспекти на формирањето на концептот.

теза, додадена 08/08/2007


Јазични основи на придавките за учење во основно училиште. Психолошки и педагошки основи на учење придавки во основно училиште. Методологија за работа на придавки според системот на развојно образование Л.В. Занкова.

теза, додадена 04/03/2007


Теоретски основи на подготовка на децата за учење математика на училиште. Прашања за подготовка на децата за училиште во психолошка, педагошка и методолошка литература. Поимот, суштината, значењето на математичката подготвеност за учење на училиште. Истражувачка програма.

работа на курсот, додадена на 23.10.2008 година


Карактеристики на изучување математика во основно училиште според Сојузниот државен образовен стандард за основно општо образование. Содржина на курсот. Анализа на основни математички поими. Суштината на индивидуалниот пристап во дидактиката.

се разбира работа, додаде 29.09.2016


Психолошки и педагошки основи за развој на логично размислување кај учениците од основните училишта. Изработка на методологија за решавање на проблемот за развивање на логичката писменост на учениците во часовите по математика во основно училиште, примери за решавање на нестандардни аритметички задачи.

теза, додадена 31.03.2012


Теоретски и методолошки основи на тест задачи и негови видови. Психолошки и педагошки основи. Тестови на часови по математика. Анализа на искуството на наставниците во користењето на тест предмети. Краток опис на предностите од користење на тест форма на контрола.

работа на курсот, додадена 17.04.2017 година


Психолошки карактеристики на помлад ученик. Техники и методи за користење на елементи на етимолошка анализа на часовите во основно училиште. Карактеристики на предавање компетентно пишување на помлади ученици. Анализа на образовниот комплекс „Руски јазик“ во основните одделенија.

теза, додадена 24.03.2015


Развој на говорот на учениците на часовите по математика. Техники за развој на математички говор. Врски помеѓу говорот, размислувањето и јазикот. Развој на логика, експресивност, докази и точност на математичкиот говор. Зголемување на нивото на говорна култура на ученикот.