Ранг на матрица

Дефиниција 1

Системот на редови/колони на матрицата се вели дека е линеарно независен ако ниту една од овие редови (ниту една од овие колони) не е линеарно изразена во однос на другите редови/колони.

Рангот на систем од редови/колони од одредена матрица $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ е најголемиот број на линеарно независни редови/колони.

Рангирањето на системот на колоните секогаш се совпаѓа со рангот на системот на редови. Овој ранг се нарекува ранг на матрицата за која станува збор.

Рангот на матрицата е максимум од малите редови на дадена матрица за која детерминантата е ненула.

Следниве ознаки се користат за означување на рангот на матрицата: $rangA$, $rgA$, $rankA$.

Рангот на матрицата ги има следниве својства:

  1. За нулта матрица, рангирањето на матрицата е нула, за останатите, рангот е некој позитивен број.
  2. Рангот на правоаголна матрица од ред $m\пати n$ не е поголем од помалиот од бројот на редови или колони на матрицата, т.е. $0\le ранг\le \min (m,n)$.
  3. За неединечна квадратна матрица од одреден ред, рангирањето на оваа матрица се совпаѓа со редоследот на дадената матрица.
  4. Детерминанта на квадратна матрица од некој ред, со ранг помал од редот на матрицата, еднаков на нула.

Постојат два начини да се најде рангот на матрицата:

  • граница со користење на одредувачи и минори (метод на рабови);
  • преку елементарни трансформации.

Алгоритмот на методот на ивица го вклучува следново:

  1. Во случај кога сите минори од прв ред се еднакви на нула, го имаме рангирањето на матрицата што се разгледува еднаква на нула.
  2. Во случај кога барем еден од малолетниците од прв ред не е еднаков на нула, а сите малолетници од втор ред се еднакви на нула, рангот на матрицата е еднаков на 1.
  3. Во случај кога барем еден од малолетниците од втор ред не е еднаков на нула, се испитуваат малолетниците од трет ред. Како резултат на тоа, се наоѓа минор од ред $k$ и се проверува дали минор од ред $k+1$ се еднакви на нула. Ако сите помали од редот $k+1$ се еднакви на нула, тогаш рангот на матрицата е еднаков на $k$.

Како да се одреди рангот на матрицата: примери

Пример 1

Решение:

Забележете дека рангот на оригиналната матрица не може да биде повеќе од 3.

Меѓу малолетниците од прв ред има малолетници кои не се еднакви на нула, на пример, $M_(1) =\лево|-2\десно|=-2$. Да ги земеме предвид малолетниците од втор ред.

$M_(2) =\лево|\почеток(низа)(cc) (-2) & (1) \\ (1) & (0) \end (низа)\десно|=-2\cdot 0-1 \cdot 1=0-1=-1\ne 0$

$M_(3) =\лево|\почеток(низа)(cccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) и (2 ) & (3) \end (низа)\десно|=-2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 4-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cточка 3-2\cточка 3\cточка (-2)=3+8-0-3+12=20\не 0$

Затоа, рангот на матрицата за која станува збор е 3.

Пример 2

Определи го рангот на матрицата $A=\left(\begin(низа)(ccccc) (1) & (2) & (3) & (0) & (1) \\ (0) & (1) & ( 2) и (3) и (4) \\ (2) и (3) и (1) и (4) и (5) \\ (0) и (0) и (0) и (0) и ( 0) \ крај (низа)\десно)$.

Решение:

Забележете дека рангирањето на оригиналната матрица не може да биде повеќе од 4 (4 редови, 5 колони).

Меѓу малолетниците од прв ред има и оние кои не се нула, на пример, $M_(1) =\лево|1\десно|=1$. Да ги земеме предвид малолетниците од втор ред.

$M_(2) =\лево|\почеток(низа)(cc) (1) & (2) \\ (0) & (1) \end (низа)\десно|=1\cdot 1-0\cdot 2=1-0=1\ne 0$

Дозволете ни да извршиме рабирање на мол од втор ред и да добиеме мол од трет ред.

$M_(3) =\лево|\почеток(низа)(кцц) (1) и (2) и (3) \\ (0) и (1) и (2) \\ (2) и (3) & (1) \end(низа)\десно|=1\cточка 1\cточка 1+2\cточка 2\cточка 2+0\cточка 3\cточка 3-2\cточка 1\cточка 3-0\cточка 1\ cdot 2-2\cdot 3\cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3\ne 0$

Дозволете ни да извршиме раб на мол од трет ред и да добиеме мол од четврти ред.

$M_(4) =\лево|\почеток(низа)(cccc) (1) и (2) и (3) и (0) \\ (0) и (1) и (2) и (3) \ \ (2) & (3) & (1) & (4) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \end(низа)\десно|=0$ (содржи нула низа)

$M_(5) =\лево|\почеток(низа)(cccc) (1) и (2) и (3) и (1) \\ (0) и (1) и (2) и (4) \ \ (2) & (3) & (1) & (5) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \end(низа)\десно|=0$ (содржи нула низа)

Сите минори од четврти ред на матрицата се еднакви на нула, затоа, рангот на предметната матрица е 3.

Наоѓањето на ранг на матрица преку елементарни трансформации се сведува на намалување на матрицата во дијагонална (чекор) форма. Рангот на матрицата добиен како резултат на трансформациите е еднаков на бројот на ненулта дијагонални елементи.

Пример 3

Определете го рангот на матрицата $A=\left(\begin(array)(cccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2 ) & (3) \end (низа)\десно)$.

Решение:

Ајде да ги замениме првиот и вториот ред од матрицата А:

$A=\лево(\почеток(низа)(кцц) (-2) и (1) и (4) \\ (1) и (0) и (3) \\ (1) и (2) и ( 3) \end (низа)\десно)\sim \лево(\почеток(низа)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (-2) & (1) & (4) \\ (1) и (2) и (3) \крај (низа)\десно)$

Помножете го првиот ред од матрицата B со бројот 2 и додадете го во вториот ред:

$\лево(\почеток(низа)(кцц) (1) и (0) и (3) \\ (-2) и (1) и (4) \\ (1) и (2) и (3) \end (низа)\десно)\sim \лево(\почеток(низа)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) и (10) \\ (1) & (2) & (3) \end (низа)\десно)$

Ајде да го помножиме првиот ред од матрицата C со бројот -1 и да го додадеме во третиот ред:

$\left(\begin(низа)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (1) & (2) & (3) \ крај (низа)\десно)\sim \лево(\почеток(низа)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (2) и (0) \end (низа)\десно)$

Ајде да го помножиме вториот ред од матрицата D со бројот -2 и да го додадеме во третиот ред:

$\left(\begin(низа)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (2) & (0) \ крај (низа)\десно)\sim \лево(\почеток(низа)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) и (-20) \end (низа)\десно)$

$\left(\begin(низа)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (-20) \end(низа)\десно)$ - ешалон матрица

Бројот на ненулта дијагонални елементи е 3, па оттука $rang=3$.

Секоја матрица Асо цел m×nможе да се смета како колекција мниза вектори или nвектори на колони.

Рангматрици Асо цел m×nе максималниот број на линеарно независни вектори на колони или вектори на редови.

Ако матричниот ранг Аеднакви р, тогаш пишува:

Наоѓање на ранг на матрица

Нека Аматрица за произволен редослед м× n. Да се ​​најде ранг на матрица АНа него го применуваме Гаусовиот метод на елиминација.

Забележете дека ако во некоја фаза на елиминација водечкиот елемент е еднаков на нула, тогаш ја заменуваме оваа линија со линијата во која водечкиот елемент е различен од нула. Ако се покаже дека нема таква линија, тогаш преминете на следната колона итн.

По гаусовиот процес на елиминација, добиваме матрица чии елементи под главната дијагонала се еднакви на нула. Покрај тоа, може да има нула вектори на ред.

Бројот на вектори на ред без нула ќе биде ранг на матрицата А.

Ајде да го погледнеме сето ова со едноставни примери.

Пример 1.

Помножувајќи ја првата линија со 4 и собирајќи ја втората линија и множејќи ја првата линија со 2 и собирајќи ја третата линија, имаме:

Помножете ја втората линија со -1 и додајте ја во третата линија:

Добивме два реда без нула и, според тоа, рангот на матрицата е 2.

Пример 2.

Да го најдеме рангирањето на следнава матрица:

Помножете ја првата линија со -2 и додадете ја во втората линија. Слично на тоа, ги ресетираме елементите од третиот и четвртиот ред од првата колона:

Ајде да ги ресетираме елементите од третиот и четвртиот ред од втората колона со додавање на соодветните редови во вториот ред помножени со бројот -1.

Под елементарни трансформации на редовите (колоните) на матрицата ги подразбираме следните дејства:

  1. Промена на позициите на два реда (колони).
  2. Множење на сите елементи од ред (колона) со одреден број $a\neq 0$.
  3. Збирот на сите елементи од еден ред (колона) со соодветните елементи на друг ред (колона), помножен со одреден реален број.

Ако примениме некоја елементарна трансформација на редовите или колоните од матрицата $A$, добиваме нова матрица $B$. Во овој случај $\rang(A)=\rang(B)$, т.е. елементарните трансформации не го менуваат рангот на матрицата.

Ако $\rang A=\rang B$, тогаш се повикуваат матриците $A$ и $B$ еквивалент. Фактот дека матрицата $A$ е еквивалентна на матрицата $B$ се запишува на следниов начин: $A\sim B$.

Често се користи и следната нотација: $A\rightarrow B$, што значи дека матрицата $B$ се добива од матрицата $A$ користејќи некоја елементарна трансформација.

Кога го наоѓате рангирањето користејќи го Гаусовиот метод, можете да работите и со редови и со колони. Попогодно е да се работи со редови, така што во примерите на оваа страница трансформациите се вршат конкретно на редовите на матрици.

Забележете дека транспонирањето не го менува рангот на матрицата, т.е. $\rang(A)=\rang(A^T)$. Во некои случаи, ова својство е погодно за користење (види пример бр. 3), бидејќи, доколку е потребно, редовите лесно може да се претворат во колони и обратно.

Краток опис на алгоритмот

Ајде да воведеме неколку термини. Нулта линија- низа чии елементи се сите нула. Низа што не е нулта- низа, чиј барем еден елемент е различен од нула. Водечки елементНиза што не е нула е нејзиниот прв (броејќи од лево кон десно) ненула елемент. На пример, во низата $(0;0;5;-9;0)$ водечкиот елемент ќе биде третиот елемент (тој е еднаков на 5).

Рангирањето на која било нулта матрица е 0, така што ќе разгледаме матрици различни од нула. Крајната цел на трансформациите на матрицата е да се направи ешалон. Рангот на матрицата на ешалон е еднаков на бројот на редови кои не се нула.

Разгледаниот метод за наоѓање на ранг на матрица се состои од неколку чекори. Првиот чекор ја користи првата линија, вториот чекор ја користи втората итн. Кога под редот што го користиме на тековниот чекор остануваат само нула редови или воопшто нема оставени редови, алгоритмот запира, бидејќи добиената матрица ќе биде чекор по чекор.

Сега да се свртиме кон оние трансформации преку низи што се изведуваат на секој чекор од алгоритмот. Нека има линии кои не се нула под тековната линија што треба да ги користиме на овој чекор, и $k$ е бројот на водечкиот елемент на тековната линија, а $k_(\min)$ е најмалиот број на водечки елементи на оние линии кои лежат под тековната линија .

  • Ако $k\lt(k_(\min))$, тогаш одете на следниот чекор од алгоритмот, т.е. да ја користите следната линија.
  • Ако $k=k_(\min)$, тогаш ги ресетираме водечките елементи на оние основни линии чиј број на водечки елемент е еднаков на $k_(\min)$. Ако се појават нула редови, ги преместуваме до дното на матрицата. Потоа преминуваме на следниот чекор од алгоритмот.
  • Ако $k\gt(k_(\min))$, тогаш ја заменуваме тековната линија со една од оние основни линии чиј број на водечки елемент е $k_(\min)$. После ова, ги ресетираме водечките елементи на оние основни линии чиј број на водечки елемент е $k_(\min)$. Ако нема такви линии, тогаш преминете на следниот чекор од алгоритмот. Ако се појават нула редови, ги преместуваме до дното на матрицата.

Да разгледаме во пракса како точно водечките елементи се ресетираат на нула. Ајде да ги користиме буквите $r$ (од зборот „ред“) за означување на редови: $r_1$ е првиот ред, $r_2$ е вториот ред, итн. Да ги користиме буквите $c$ (од зборот „колона“) за да означиме колони: $c_1$ е првата колона, $c_2$ е втората колона итн.

Во примерите на оваа страница, ќе ја користам буквата $k$ за да го означам бројот на водечки елемент на тековната линија, а ознаката $k_(\min)$ ќе се користи за означување на најмалиот број на водечки елементи од линиите што лежат под тековната линија.

Пример бр. 1

Најдете го рангот на матрицата $A=\left(\begin(array)(ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 и 12 и 18 \\ -9 и 6 и 0 и -2 и 21 \\ -5 и 5 и 1 и 1 и 1 \крај (низа) \десно)$.

Првиот чекор

Во првиот чекор работиме со првата линија. Во првиот ред од матрицата што ни е дадена, водечки елемент е првиот, т.е. број на водечки елемент од првата линија $k=1$. Ајде да ги погледнеме линиите под првата линија. Водечките елементи во овие линии се нумерирани со 4, 1, 1 и 1. Најмалиот од овие броеви е $k_(\min)=1$. Бидејќи $k=k_(\min)$, ги ресетиравме водечките елементи на оние основни линии чиј број на водечки елемент е еднаков на $k_(\min)$. Со други зборови, треба да ги ресетирате водечките елементи од третата, четвртата и петтата линија.

Во принцип, можете да продолжите со нула на горенаведените елементи, меѓутоа, за оние трансформации што се изведуваат на нула, погодно е кога водечкиот елемент на користената низа е еден. Ова не е неопходно, но во голема мера ги поедноставува пресметките. Нашиот водечки елемент од првата линија е бројот -2. За да го замените „незгодниот“ број со еден (или број (-1)) има неколку опции. Можете, на пример, да го помножите првиот ред со 2, а потоа да го одземете петтиот од првиот ред. Или едноставно можете да ги замените првата и третата колона. По преуредувањето на колоните бр. 1 и бр. 3, добиваме нова матрица еквивалентна на дадената матрица $A$:

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) -2 и 3 и 1 и 0 и -4 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и -6 \\ 4 и -11 и -5 и 12 и 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \end(низа)\десно)\overset(c_1\леводесно стрелка(c_3))(\sim) \лево(\ почеток (низа) (cccccc) \задебелени (1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \normblue(-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 и 6 & -9 & -2 и 21 \\ \normgreen(1) & 5 & -5 & 1 & 1 \end (низа)\десно) $$

Водечкиот елемент на првата линија е еден. Бројот на водечкиот елемент од првата линија не е променет: $k=1$. Броевите на водечките елементи на линиите лоцирани под првата се следни: 4, 1, 2, 1. Најмалиот број е $k_(\min)=1$. Бидејќи $k=k_(\min)$, ги ресетиравме водечките елементи на оние основни линии чиј број на водечки елемент е еднаков на $k_(\min)$. Ова значи дека треба да ги ресетирате водечките елементи од третиот и петтиот ред. Овие елементи се означени со сина и зелена боја.

За да ги ресетираме потребните елементи, ќе извршиме операции со редовите на матрицата. Ќе ги запишам овие операции одделно:

$$ \begin(порамнет) &r_3-\frac(\normblue(-5))(\boldred(1))\cdot(r_1)=r_3+5r_1;\\ &r_5-\frac(\normgreen(1))( \boldred(1))\cdot(r_1)=r_5-r_1. \end (порамнет) $$

Ознаката $r_3+5r_1$ значи дека соодветните елементи од првиот ред, помножени со пет, се додадени на елементите од третиот ред. Резултатот е запишан на местото на третиот ред во новата матрица. Ако се појават потешкотии со извршување на таква операција орално, тогаш ова дејство може да се изврши одделно:

$$ r_3+5r_1 =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+5\cdot(1;\;3;\;-2;\;0;\;- 4)=\\ =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+(5;\;15;\;-10;\;0;\;-20) = (0;\;4;\;-6;\;12;\;-2). $$

Дејството $r_5-r_1$ се изведува слично. Како резултат на трансформациите на редови, ја добиваме следната матрица:

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) 1 и 3 и -2 и 0 и -4 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и -6 \\ -5 и -11 и 4 и 12 и 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \end(низа)\десно) \почеток(низа) (l) \phantom(0)\\ \phantom( 0)\\ r_3+5r_1 \\ \фантом(0) \\ r_5-r_1 \end (низа)\sim \left(\ почеток (низа) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и -6 \\ 0 и 4 и -6 и 12 и -2 \\ 0 и 6 и -9 и -2 и 21 \\ 0 и 2 и -3 и 1 и 5 \крај (низа)\десно) $$

Во овој момент првиот чекор може да се смета за завршен. Бидејќи под првата линија останаа линии без нула, треба да продолжиме да работиме. Единственото предупредување: во третиот ред од добиената матрица, сите елементи се деливи со 2. За да ги намалите броевите и да ги поедноставите пресметките, помножете ги елементите од третиот ред со $\frac(1)(2)$, а потоа преминете на вториот чекор:

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) 1 и 3 и -2 и 0 и -4 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и -6 \\ 0 и 4 и -6 и 12 и -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end(низа)\десно) \почеток(низа) (l) \phantom(0)\\ \phantom( 0)\\ 1/2\cdot(r_3) \\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \end (низа)\sim \left(\begin(низа)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 и 1 и 5 \end (низа)\десно) $$

Втор чекор

Во вториот чекор работиме со втората линија. Во вториот ред од матрицата, водечки елемент е четвртиот елемент, т.е. број на водечки елемент од втората линија $k=4$. Ајде да ги погледнеме линиите под втората линија. Водечките елементи во овие линии се нумерирани со 2, 2 и 2. Најмалиот од овие броеви е $k_(\min)=2$. Бидејќи $k\gt(k_(\min))$, треба да ја замените тековната втора линија со една од оние линии чиј број на водечки елемент е $k_(\min)$. Со други зборови, треба да ја смените втората линија со третата, четвртата или петтата. Ќе ја изберам петтата линија (ова ќе избегне појава на дропки), т.е. Ќе ги заменам петтиот и вториот ред:

$$ \лево(\почеток(низа)(cccccc) 1 и 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end(низа)\десно) \overset(r_2\леводесно стрелка(r_5))(\sim) \лево(\ почеток(низа)(cccccc) 1 и 3 и -2 и 0 и -4 \\ 0 & \boldred(2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \normblue(2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \normgreen(6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end (низа)\десно) $$

Ајде повторно да ја погледнеме втората линија. Сега водечки елемент во него е вториот елемент (тој е означен со црвено), т.е. $k=2$. Најмалиот број од водечките елементи на основните линии (т.е. од броевите 2, 2 и 4) ќе биде $k_(\min)=2$. Бидејќи $k=k_(\min)$, ги ресетиравме водечките елементи на оние основни линии чиј број на водечки елемент е еднаков на $k_(\min)$. Ова значи дека треба да ги ресетирате водечките елементи од третиот и четвртиот ред. Овие елементи се означени со сина и зелена боја.

Забележувам дека во претходниот чекор, водечкиот елемент на тековниот ред беше направен со преуредување на колоните. Ова беше направено за да се избегне работа со дропки. Тука, исто така, можете да ставите еден на местото на водечкиот елемент од вториот ред: на пример, со замена на втората и четвртата колона. Сепак, ние нема да го сториме тоа, бидејќи фракциите сепак нема да се појават. Дејствата со жици ќе бидат вака:

$$ \begin(порамнет) &r_3-\frac(\normblue(2))(\boldred(2))\cdot(r_2)=r_3-r_2;\\ &r_4-\frac(\normgreen(6))(\ задебелен (2))\cdot(r_2)=r_4-3r_2. \end (порамнет) $$

Извршувајќи ги овие операции, доаѓаме до следната матрица:

$$ \лево(\почеток(низа)(cccccc) 1 и 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end(низа)\десно) \почеток(низа) (l) \phantom(0)\\ \phantom( 0)\\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \phantom(0) \end (низа)\sim \left(\begin(низа)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \крај (низа )\десно)$$

Вториот чекор е завршен. Бидејќи под втората линија останаа линии без нула, преминуваме на третиот чекор.

Трет чекор

Во третиот чекор работиме со третата линија. Во третиот ред од матрицата, водечки елемент е четвртиот елемент, т.е. број на водечки елемент од третата линија $k=4$. Ајде да ги погледнеме линиите под третата линија. Водечките елементи во овие линии се нумерирани со 4 и 4, од кои најмалиот е $k_(\min)=4$. Бидејќи $k=k_(\min)$, ги ресетиравме водечките елементи на оние основни линии чиј број на водечки елемент е еднаков на $k_(\min)$. Ова значи дека водечките елементи од четвртата и петтата линија треба да се ресетираат. Трансформациите што се вршат за оваа намена се целосно слични на оние што беа извршени претходно:

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) 1 и 3 и -2 и 0 и -4 \\ 0 и 2 и -3 и 1 и 5 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и -6 \\ 0 и 0 и 0 и -5 и 6 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и -6 \крај (низа)\десно) \почеток (низа) (l) \фантом(0)\\ \фантом(0) \\ \фантом(0) \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end(низа)\sim \лево(\почеток(низа)(cccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 и -3 и 1 и 5 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и -6 \\ 0 и 0 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 0 и 0 \крај (низа)\десно) $$

Под третата линија остануваат само нула линии. Ова значи дека трансформацијата е завршена. Ја намаливме матрицата на чекор по чекор. Бидејќи дадената матрица содржи три реда без нула, нејзиниот ранг е 3. Следствено, рангот на оригиналната матрица е три, т.е. $\rang A=3$. Целосното решение без објаснување е:

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) -2 и 3 и 1 и 0 и -4 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и -6 \\ 4 и -11 и -5 и 12 и 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \end(низа)\десно)\overset(c_1\леводесно стрелка(c_3))(\sim) \лево(\ почеток (низа) (кццц) 1 и 3 и -2 и 0 и -4 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и -6 \\ -5 и -11 и 4 и 12 и 18 \\ 0 и 6 & - 9 & -2 и 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \end(низа)\десно) \почеток(низа) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3+ 5r_1 \\ \фантом(0) \\ r_5-r_1 \end (низа)\sim $$ $$ \sim\left(\ почеток(низа)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \крај ( низа)\десно) \почеток(низа) (л) \фантом(0)\\ \фантом(0)\\ 1/2\cdot(r_3) \\ \фантом(0) \\ \фантом(0) \ крај (низа)\sim \лево(\почеток(низа)(кццц) 1 и 3 и -2 и 0 и -4 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и -6 \\ 0 и 2 и -3 и 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 и 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end(низа)\десно) \overset(r_2\леводесно стрелка(r_5))(\sim ) \left(\begin(низа)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 и 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end(низа)\десно) \почеток(низа) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \phantom(0) \end (низа)\sim $$ $$ \sim\left(\begin(низа)(cccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 и 2 и -3 и 1 и 5 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и -6 \\ 0 и 0 и 0 и -5 и 6 \\ 0 и 0 и 0 и 5 и - 6 \end (низа)\десно) \почеток (низа) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end (низа) \sim \лево(\почеток(низа)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 и 0 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 0 и 0 \крај (низа)\десно) $$

Одговори: $\rang A=3$.

Пример бр. 2

Најдете го рангот на матрицата $A=\left(\begin(array)(cccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \крај (низа) \десно)$.

Оваа матрица не е нула, што значи дека нејзиниот ранг е поголем од нула. Ајде да преминеме на првиот чекор од алгоритмот.

Првиот чекор

Во првиот чекор работиме со првата линија. Во првиот ред од матрицата што ни е дадена, водечки елемент е првиот, т.е. број на водечки елемент од првата линија $k=1$. Ајде да ги погледнеме линиите под првата линија. Водечките елементи во овие линии се нумерирани со 1, т.е. најмалиот број на водечки елементи на основните линии е $k_(\min)=1$. Бидејќи $k=k_(\min)$, неопходно е да се ресетираат водечките елементи на оние основни линии чиј број на водечки елемент е еднаков на $k_(\min)$. Со други зборови, треба да ги ресетирате водечките елементи од втората, третата и четвртата линија.

За погодност на пресметките, ќе направиме водечкиот елемент од првата линија да биде еден. Во претходниот пример, за да го направиме ова, ги заменивме колоните, но со оваа матрица таквото дејство нема да работи - во оваа матрица нема елементи еднакви на еден. Ајде да извршиме едно помошно дејство: $r_1-5r_2$. Тогаш водечкиот елемент од првиот ред ќе биде еднаков на 1.

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end(низа) \десно) \почеток(низа) (l) r_1-5r_2\\ \фантом(0)\\ \фантом(0) \\ \фантомски (0) \end(низа)\sim \лево(\почеток(низа)(cccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \крај (низа) \десно) $$

Водечкиот елемент на првата линија е еден. Ајде да ги ресетираме водечките елементи на основните линии:

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end (низа) \десно) \почеток (низа) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1\\ r_3+3r_1 \\ r_4-4r_1 \ крај (низа)\sim \лево(\почеток(низа)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & - 2 и 0\\ 0 и 12 и 0 и 7 и -4 \крај (низа) \десно) $$

Првиот чекор е завршен. Бидејќи под првата линија останаа линии без нула, треба да продолжиме да работиме.

Втор чекор

Во вториот чекор работиме со втората линија. Во вториот ред од матрицата, водечки елемент е вториот елемент, т.е. број на водечки елемент од втората линија $k=2$. Водечките елементи во основните линии го имаат истиот број 2, така што $k_(\min)=2$. Бидејќи $k=k_(\min)$, ги ресетиравме водечките елементи на оние основни линии чиј број на водечки елемент е еднаков на $k_(\min)$. Ова значи дека треба да ги ресетирате водечките елементи од третиот и четвртиот ред.

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0\ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end (низа) \десно) \почеток (низа) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3+r_2 \\ r_4-3r_2 \ крај (низа)\sim \лево(\почеток(низа)(кццц) 1 и -3 и 6 и 0 и -1\\ 0 и 4 и -1 и 2 и 0\\ 0 и 0 и 0 и 0 и 0\\ 0 и 0 и 3 и 1 и -4 \крај (низа) \десно) $$

Се појавува нулта линија. Ајде да го спуштиме до дното на матрицата:

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end(низа) \десно) \overset(r_3\леводесно стрелка(r_4))(\sim) \лево(\почеток(низа)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \крај (низа) \десно) $$

Вториот чекор е завршен. Забележете дека веќе добивме матрица на чекори. Сепак, можеме формално да го завршиме нашиот алгоритам. Бидејќи под втората линија останаа ненула линии, треба да отидете на третиот чекор и да работите со третата линија, но под третата линија нема линии што не се нула. Затоа, трансформацијата е завршена.

Патем, матрицата што ја добивме е трапезоидна. Трапезоидна матрица е посебен случај на скалеста матрица.

Бидејќи оваа матрица содржи три реда без нула, нејзиниот ранг е 3. Следствено, рангот на оригиналната матрица е три, т.е. $\rang(A)=3$. Целосното решение без објаснување е:

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end(низа) \десно) \почеток(низа) (l) r_1-5r_2\\ \фантом(0)\\ \фантом(0) \\ \фантомски (0) \end(низа)\sim \лево(\почеток(низа)(cccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end (низа) \десно) \почеток (низа) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1\ \ r_3 +3r_1 \\ r_4-4r_1 \end (низа)\sim $$ $$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end(низа) \десно) \почеток(низа) (l) \фантом(0) \\ \фантом(0)\\ r_3+r_2 \\ r_4-3r_2 \end(низа)\sim \left(\ почеток(низа)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end(низа)\десно)\overset(r_3\леводесно стрелка(r_4))( \sim ) \лево(\почеток(низа)(cccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4\ \ 0 и 0 и 0 и 0 и 0 \крај (низа) \десно) $$

Одговори: $\rang A=3$.

Пример бр. 3

Најдете го рангот на матрицата $A=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 и 3 и 0 \end (низа) \десно)$.

Понекогаш е погодно да се транспонира матрицата за време на процесот на решение. Бидејќи рангот на транспонираната матрица е еднаков на рангот на оригиналната матрица, оваа операција е сосема дозволена. Овој пример ќе разгледа токму таков случај. За време на трансформациите ќе се појават два идентични редови $(0;\;1;\;-2)$ (првиот и четвртиот). Во принцип, можете да го извршите дејството $r_4-r_1$, потоа четвртата линија ќе се ресетира, но ова ќе го продолжи решението само за еден запис, така што нема да извршиме ресетирање на четвртиот ред.

$$ \лево(\почеток(низа)(кцц) 0 и 2 и -4 \\ -1 и -4 и 5 \\ 3 и 1 и 7 \\ 0 и 5 и -10 \\ 2 и 3 и 0 \end (низа) \десно) \почеток (низа) (l) 1/2\cdot(r_1)\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ 1/5\cdot(r_4) \\ \Phantom(0) \end (низа)\sim \left(\begin(низа)(cccc) 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \end (низа) \десно)\sim $$ $$ \sim\лево(\почеток(низа)(cccccc) 0&-1&3&0&2\\ 1&-4&1&1&3\\ -2&5&7&- 2&0 \крај (низа) \десно) \overset(r_1\леводесно стрелка(r_2))(\sim) \лево(\почеток(низа)(ccccc) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ -2&5&7&-2&0 \крај (низа) \десно) \почеток (низа) (л) \фантом(0)\\ \фантом(0)\\ r_3+2r_1 \end (низа)\sim $$ $$ \лево (\ почеток (низа) (цццц) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&-3&9&0&6 \end (низа) \десно) \почеток (низа) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3-3r_2 \ крај (низа)\sim \лево(\почеток(низа)(кццц) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&0&0&0&0 \крај (низа) \десно) $$

Рангот на трансформираната матрица е 2, затоа рангот на оригиналната матрица е $\rang(A)=2$. Во принцип, беше можно да се најде рангот без транспонирање на матрицата: заменете го првиот ред со вториот, третиот или петтиот и продолжете со вообичаените трансформации со редовите. Методот за редуцирање на матрицата во чекор по форма овозможува варијации во процесот на решавање.

Одговори: $\rang A=2$.

Пример бр. 4

Најдете го рангот на матрицата $A=\left(\begin(array)(cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 10 & 0& -4&1 \end (низа) \десно)$.

Оваа матрица не е нула, т.е. неговиот ранг е поголем од нула. Ајде да преминеме на првиот чекор од алгоритмот.

Првиот чекор

Во првиот чекор работиме со првата линија. Во првиот ред од матрицата што ни е дадена, водечки елемент е вториот елемент, т.е. број на водечки елемент од првата линија $k=2$. Ајде да ги погледнеме линиите под првата линија. Водечките елементи во овие линии се нумерирани со 3, т.е. најмалиот број на водечки елементи на основните линии е $k_(\min)=3$. Бидејќи $k\lt(k_(\min))$, преминуваме на следниот чекор од алгоритмот.

Втор чекор

Во вториот чекор работиме со втората линија. Во вториот ред, водечки елемент е третиот елемент, т.е. број на водечки елемент од втората линија $k=3$. Под вториот ред има само една трета линија, чиј број на водечки елемент е 3, значи $k_(\min)=3$. Бидејќи $k=k_(\min)$, го ресетиравме водечкиот елемент од третата линија:

$$ \лево(\почеток(низа)(cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 10 & 0& -4&1 \крај (низа ) \десно) \почеток(низа) (l) \фантом(0)\\ \фантом(0)\\ r_3-2r_2 \end(низа)\sim \left(\ почеток(низа)(cccccc) 0 & - 1 и 2 и -4 и 0 и 5 \\ 0 и 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 и 0 и 0 & 0& -8&-5 \крај (низа) \десно) $$

Се добива матрица на чекори. Рангот на трансформираната матрица, а со тоа и рангот на првобитната матрица, е 3.

Одговори: $\rang A=3$.

Пример бр. 5

Најдете го рангот на матрицата $A=\лево(\почеток(низа)(ccccc) 0&0&0&0&6\\ 9&0&0&0&-11\\ 5&2&0&0&-5. \end(низа) \десно)$.

Понекогаш можете да ја намалите матрицата на матрица чекор користејќи само преуредување на редови или колони. Ова се случува, се разбира, исклучително ретко, но успешното преуредување може значително да го поедностави решението.

$$ \лево(\почеток(низа)(ccccc) 0&0&0&0&6\\ 9&0&0&0&-11\\ 5&2&0&0&-5 \end (низа) \десно) \overset(r_1\леводесно стрелка(r_3))(\sim) \лево(\ почеток (низа) (кццц) 5&2&0&0&-5\\ 9&0&0&0&-11\\ 0&0&0&0&6 \крај (низа) \десно) \overset(с_1\леводесно стрелка(с_4))(\sim) \лево(\почеток(низа)(ccccc ) 0&2&0&5&-5\\ 0&0&0&0&9&-11\\ 0&0&0&0&6 \крај (низа) \десно) $$

Матрицата е сведена на ешалон, $\rang(A)=3$.

Одговори: $\rang A=3$.

Дефиниција. Ранг на матрицае максималниот број на линеарно независни редови кои се сметаат како вектори.

Теорема 1 за рангот на матрицата. Ранг на матрицасе нарекува максимален редослед на ненулта минор на матрицата.

Веќе разговаравме за концептот на малолетник во лекцијата за детерминанти, а сега ќе го генерализираме. Да земеме одреден број редови и одреден број колони во матрицата, и ова „колку“ треба да биде помало од бројот на редови и колони на матрицата, а за редови и колони ова „колку“ треба да биде истиот број. Потоа, на пресекот на колку редови и колку колони ќе има матрица со понизок ред од нашата оригинална матрица. Детерминантата е матрица и ќе биде минор од k-ти ред ако споменатото „some“ (бројот на редови и колони) е означено со k.

Дефиниција.Мала ( р+1)-ти редослед, во кој лежи избраниот малолетник р-тиот ред се нарекува граничен за даден малолетник.

Двата најчесто користени методи се наоѓање на ранг на матрицата. Ова начин на граничи со малолетнициИ метод на елементарни трансформации(Гаусовиот метод).

При користење на методот на граничи мали, се користи следнава теорема.

Теорема 2 за рангот на матрицата.Ако минор може да се состави од матрични елементи рти ред, не еднаков на нула, тогаш рангот на матрицата е еднаков на р.

Кога се користи методот на елементарна трансформација, се користи следново својство:

Ако преку елементарни трансформации се добие трапезоидна матрица што е еквивалентна на првобитната, тогаш ранг на оваа матрицае бројот на линии во него, освен линиите што се состојат целосно од нули.

Наоѓање на ранг на матрица користејќи го методот на граничи со малолетници

Заграден мол е минор од повисок ред во однос на дадениот ако овој мол од повисок ред го содржи дадениот мол.

На пример, со оглед на матрицата

Ајде да земеме малолетник

Граничните малолетници ќе бидат:

Алгоритам за наоѓање на ранг на матрицаследно.

1. Најдете минори од втор ред кои не се еднакви на нула. Ако сите минори од втор ред се еднакви на нула, тогаш рангот на матрицата ќе биде еднаков на еден ( р =1 ).

2. Ако има барем еден минор од втор ред кој не е еднаков на нула, тогаш ги составуваме граничните минори од трет ред. Ако сите гранични малолетници од трет ред се еднакви на нула, тогаш рангот на матрицата е еднаков на два ( р =2 ).

3. Ако барем еден од граничните малолетници од трет ред не е еднаков на нула, тогаш ги составуваме граничните малолетници. Ако сите гранични малолетници од четврти ред се еднакви на нула, тогаш рангот на матрицата е еднаков на три ( р =2 ).

4. Продолжете на овој начин додека големината на матрицата дозволува.

Пример 1.Најдете го рангот на матрицата

.

Решение. Малолетник од втор ред .

Ајде да го граничиме. Ќе има четири гранични малолетници:

,

,

Така, сите гранични малолетници од трет ред се еднакви на нула, затоа, рангот на оваа матрица е еднаков на два ( р =2 ).

Пример 2.Најдете го рангот на матрицата

Решение. Рангот на оваа матрица е еднаков на 1, бидејќи сите малолетници од втор ред на оваа матрица се еднакви на нула (во ова, како и во случаите на граничните малолетници во двата следни примери, драги студенти се поканети да проверат за самите, можеби користејќи ги правилата за пресметување детерминанти), а меѓу минорите од прв ред, односно меѓу елементите на матрицата има и не-нула.

Пример 3.Најдете го рангот на матрицата

Решение. Минорот од втор ред на оваа матрица е, а сите минори од трет ред од оваа матрица се еднакви на нула. Затоа, рангот на оваа матрица е два.

Пример 4.Најдете го рангот на матрицата

Решение. Рангот на оваа матрица е 3, бидејќи единствениот минор од трет ред на оваа матрица е 3.

Наоѓање на ранг на матрица со помош на методот на елементарни трансформации (Метод Гаус)

Веќе во примерот 1 е јасно дека задачата за одредување на рангот на матрицата користејќи го методот на граничи со малолетници бара пресметка на голем број детерминанти. Сепак, постои начин да се намали износот на пресметките на минимум. Овој метод се заснова на употреба на елементарни матрични трансформации и се нарекува и Гаусовиот метод.

Следниве операции се разбираат како елементарни матрични трансформации:

1) множење на која било редица или колона од матрица со број различен од нула;

2) додавање на елементите на која било редица или колона од матрицата соодветните елементи од друга редица или колона, помножени со ист број;

3) замена на два реда или колони од матрицата;

4) отстранување на „нулти“ редови, односно оние чии елементи се сите еднакви на нула;

5) бришење на сите пропорционални линии освен една.

Теорема.За време на елементарна трансформација, рангот на матрицата не се менува. Со други зборови, ако користиме елементарни трансформации од матрицата Аотиде во матрицата Б, Тоа .

Претходно за квадратна матрица Воведен е концептот на малолетно лице
елемент . Да потсетиме дека така се вика детерминантата на редот
, добиени од детерминантата
со вкрстување та линија и та колона.

Сега да го воведеме општиот концепт на малолетник. Ајде да разгледаме некои не мора да е квадратматрица . Ајде да избереме некои броеви на линии
И броеви на колони
.

Дефиниција. Мала нарачка матрици (што одговара на избраните редови и колони) се нарекува детерминанта за редослед , формирана од елементи лоцирани на пресекот на избраните редови и колони, т.е. број

.

Секоја матрица има исто толку минори од даден ред , на колку начини можете да изберете броеви на линии
и колони
.

Дефиниција. Во матрицата големини
помала нарачка повикани основни, ако е ненула и сите помали се во ред
еднаков на нула или помал ред
на матрицата апсолутно не.

Јасно е дека матрицата може да има неколку различни основни минори, но сите основни минори имаат ист редослед. Навистина, ако сите малолетници се во ред
се еднакви на нула, тогаш сите минори од редот се еднакви на нула
, и, следствено, сите повисоки нарачки.

Дефиниција. Ранг на матрицаРедоследот на основниот минор се нарекува, или, со други зборови, најголемиот ред за кој постојат помали, освен нула. Ако сите елементи на матрицата се еднакви на нула, тогаш рангирањето на таквата матрица, по дефиниција, се смета за нула.

Ранг на матрица ќе означиме со симболот
. Од дефиницијата за ранг произлегува дека за матрицата големини
соодносот е точен.

Два начини за пресметување на рангот на матрицата

А) Граничен мал метод

Нека се најде малолетник во матрицата
-ти ред, различен од нула. Да ги земеме предвид само тие малолетници
-ти ред, кои содржат (раб) малолетник
: ако сите се еднакви на нула, тогаш рангот на матрицата е . Инаку, меѓу граничните малолетници има и малолетник кој не е нула
-ти ред, а целата постапка се повторува.

Пример 9 . Најдете го ранг на матрица со методот на граничи малолетници.

Ајде да избереме малолетник од втор ред
. Има само еден малолетник од трет ред, кој се граничи со избраниот малолетник
. Ајде да го пресметаме.

Значи минорен е
основно, а рангот на матрицата е еднаков на неговиот редослед, т.е.

Јасно е дека повторувањето низ малолетниците на овој начин во потрага по основата е задача поврзана со големи пресметки, доколку димензиите на матрицата не се многу мали. Меѓутоа, постои поедноставен начин да се најде рангот на матрицата - користејќи елементарни трансформации.

б) Метод на елементарна трансформација

Дефиниција. Трансформации на елементарни матрициСледниве трансформации се нарекуваат:

    множење на низа со број различен од нула;

    додавање на друга линија на една линија;

    преуредување на линии;

    истите трансформации на колони.

Трансформациите 1 и 2 се вршат елемент по елемент.

Со комбинирање на трансформации од првиот и вториот тип, можеме да додадеме линеарна комбинација од преостанатите низи на која било низа.

Теорема. Елементарните трансформации не го менуваат рангот на матрицата.

(Без доказ)

Идејата за практичен метод за пресметување на ранг на матрица

е дека со помош на елементарни трансформации оваа матрица доведе до појава

, (5)

во кои „дијагоналните“ елементи
се разликуваат од нула, а елементите лоцирани под „дијагоналните“ се еднакви на нула. Ајде да се договориме да ја повикаме матрицата овој тип на триаголен (инаку, тоа се нарекува дијагонална, трапезоидна или скала). По редукција на матрицата на триаголната форма веднаш можеме да го напишеме тоа
.

Навистина,
(бидејќи елементарните трансформации не го менуваат рангот). Но, матрицата постои минор ред без нула :

,

и секој малолетник по ред
содржи нула низа и затоа е еднаква на нула.

Сега да го формулираме практичното правило за пресметка на рангматрици користејќи елементарни трансформации: да се најде рангот на матрицата треба да се доведе до триаголна форма користејќи елементарни трансформации . Потоа рангот на матрицата ќе биде еднаков на бројот на не-нула редови во добиената матрица .

Пример 10. Најдете го ранг на матрица со методот на елементарни трансформации

Решение.

Ајде да ги замениме првата и втората линија (бидејќи првиот елемент од втората линија е −1 и ќе биде погодно да се извршат трансформации со него). Како резултат на тоа, добиваме матрица еквивалентна на оваа.


Да означиме - тој ред од матрицата - . Треба да ја намалиме оригиналната матрица во триаголна форма. Првата линија ќе ја сметаме за водечка линија, таа ќе учествува во сите трансформации, но самата останува непроменета.

Во првата фаза ќе извршиме трансформации кои ни овозможуваат да добиеме нули во првата колона, освен во првиот елемент. За да го направите ова, одземете ја првата линија од втората линија, помножена со 2
, додадете го првиот во третиот ред
, а од третата ја одземаме првата, помножена со 3
Добиваме матрица чиј ранг се совпаѓа со рангот на оваа матрица. Да го означиме со истата буква :

.

Бидејќи треба да ја намалиме матрицата за да формираме (5), втората ја одземаме од четвртиот ред. Во овој случај имаме:

.

Добиена е матрица со триаголен облик и можеме да го заклучиме тоа
, односно бројот на линии кои не се нула. Накратко, решението на проблемот може да се напише на следниов начин: