Линеарни диференцијални системи равенки.
Системот на диференцијални равенки се нарекува линеарна,ако е линеарен во однос на непознатите функции и нивните деривати. систем n-линеарни равенки од прв ред се пишуваат во форма:
Системските коефициенти се конст.
Удобно е да се напише овој систем во форма на матрица:
каде е колона вектор од непознати функции во зависност од еден аргумент.
Колонски вектор на деривати на овие функции.
Колона вектор на слободни поими.
Матрица на коефициент.
Теорема 1:Ако сите коефициенти на матрицата Асе континуирани на одреден интервал и , потоа во одредено соседство на секој m. 
Условите за TS&E се исполнети. Следствено, една интегрална крива поминува низ секоја таква точка.
Навистина, во овој случај, десните страни на системот се континуирани во однос на множеството аргументи и нивните парцијални деривати во однос на (еднакви на коефициентите на матрицата А) се ограничени, поради континуитетот на затворен интервал.
Методи за решавање на SLD
1. Систем на диференцијални равенки може да се сведе на една равенка со елиминирање на непознатите.
Пример:Решете го системот на равенки: 
(1)
Решение:исклучува zод овие равенки. Од првата равенка имаме . Заменувајќи се во втората равенка, 
по поедноставување добиваме: 
.
Овој систем на равенки (1) сведена на една равенка од втор ред. По наоѓањето од оваа равенка y, треба да се најде z, користејќи еднаквост.
2. При решавање на систем од равенки со елиминирање на непознати, обично се добива равенка од повисок ред, па затоа во многу случаи е попогодно да се реши системот со наоѓање интегрирани комбинации.
Продолжува 27б
Пример:Решете го системот 
Решение:
Ајде да го решиме овој систем користејќи го Ојлеровиот метод. Да ја запишеме детерминантата за наоѓање на карактеристиката
равенка: , (бидејќи системот е хомоген, за да има нетривијално решение, оваа детерминанта мора да биде еднаква на нула). Добиваме карактеристична равенка и ги наоѓаме нејзините корени: 
Општото решение е: 
;
- сопствен вектор.
Го запишуваме решението за: 
;
- сопствен вектор.
Го запишуваме решението за: 
;
Го добиваме општото решение: 
.
Ајде да провериме:
ајде да најдеме : и да го замениме во првата равенка на овој систем, т.е. .
Добиваме:
- вистинска еднаквост.
Линеарна разлика. равенки од n-ти ред. Теорема за општо решение на нехомогена линеарна равенка од n-ти ред.
Линеарна диференцијална равенка од n-ти ред е равенка од формата: (1)
Ако оваа равенка има коефициент, тогаш делејќи се со него, доаѓаме до равенката: (2) .
Обично равенки од типот (2). Да претпоставиме дека во ur-i (2) сите шанси, како и f(x)континуирано во одреден интервал (а, б).Потоа, според TS&E, равенката (2) има единствено решение кое ги задоволува почетните услови: , , …, за . Овде - која било точка од интервалот (а, б),и сите - кои било дадени броеви. Равенката (2) ги задоволува TC&E , затоа нема специјални решенија.
Деф.: посебенточките се оние на кои =0.
Својства на линеарна равенка:
- Линеарна равенка останува таква за секоја промена во независната променлива.
- Линеарна равенка останува така за секоја линеарна промена на саканата функција.
Def:ако во равенката (2) стави f(x)=0, тогаш добиваме равенка од формата: (3) , кој се нарекува хомогена равенкаво однос на нехомогената равенка (2).
Да го претставиме линеарниот диференцијален оператор: (4). Користејќи го овој оператор, можете да ја преработите во кратка форма равенката (2) И (3): L(y)=f(x), L(y)=0.Оператор (4) ги има следните едноставни својства:
Од овие две својства може да се заклучи заклучокот: .
Функција y=y(x)е решение на нехомогена равенка (2), Ако L(y(x))=f(x), Потоа f(x)наречено решение на равенката. Значи решението на равенката (3) наречена функција y(x), Ако L(y(x))=0на разгледуваните интервали.
Да се разгледа нехомогена линеарна равенка: , L(y)=f(x).
Да претпоставиме дека на некој начин најдовме одредено решение, тогаш .
Ајде да воведеме нова непозната функција zспоред формулата: , каде е одредено решение.
Да го замениме во равенката: , отворете ги заградите и добијте: .
Добиената равенка може да се преработи како: 
Бидејќи е одредено решение за оригиналната равенка, тогаш .
Така, добивме хомогена равенка во однос на z. Општото решение за оваа хомогена равенка е линеарна комбинација: , каде што функциите - го сочинуваат основниот систем на решенија на хомогената равенка. Замена zво формулата за замена, добиваме: 
(*) за функција y– непозната функција на првобитната равенка. Сите решенија на оригиналната равенка ќе бидат содржани во (*).
Така, општото решение на нехомогена линија. равенката е претставена како збир од општо решение на хомогена линеарна равенка и одредено решение на нехомогена равенка.
(продолжува од другата страна)
30. Теорема за постоење и единственост на решението на диференцијалот. равенки
Теорема:Ако десната страна на равенката е континуирана во правоаголникот 
и е ограничен, а исто така го задоволува условот Липшиц: , N=const, тогаш постои единствено решение кое ги задоволува почетните услови и е дефинирано на сегментот 
, Каде.
Доказ:
Размислете за целосниот метрички простор СО,чии точки се сите можни континуирани функции y(x) дефинирани на интервалот , чии графикони лежат во правоаголникот, а растојанието се одредува со еднаквоста: 
. Овој простор често се користи во математичката анализа и се нарекува простор на еднообразна конвергенција, бидејќи конвергенцијата во метриката на овој простор е униформа.
Да го замениме диференцијалот. равенка со дадени почетни услови на еквивалентна интегрална равенка: 
и размислете за операторот A(y), еднаква на десната страна на оваа равенка: 
. Овој оператор доделува на секоја континуирана функција
Користејќи ја Липшицовата нееднаквост, можеме да напишеме дека растојанието . Сега да избереме една за која би била следнава неравенка: .
Треба да изберете така што, тогаш. Така покажавме дека.
Според принципот на пресликување на контракција, постои една точка или, што е исто, единствена функција - решение на диференцијална равенка што ги задоволува дадените почетни услови.
Теорема за општото решение (за структурата на општото решение) на нормален систем на нехомогени линеарни оди.
Да разгледаме нехомоген линеарен систем на обични диференцијални равенки од n-ти ред
Еве 
А 
Следното е точно теорема за структура на општо решениена овој нехомоген линеарен систем на ODE.
Ако матрица А(x) и векторска функција б
(x) се континуирани на [ а,
б], пушти го Φ
(x) е основната матрица на решенија на хомоген линеарен систем, потоа општото решение на нехомогениот систем Y"
= А(x) Y
+ б(x) има форма: 
Каде В- произволен константен вектор на колона, x 0 - произволна фиксна точка од сегментот.
Од горенаведената формула лесно е да се добие формула за решавање на проблемот на Коши за линеарен нехомоген ODE систем - формулата Коши.
Решавање на проблемот со Коши, Y(x 0) = Y 0 е векторска функција
Метод на варијација на произволни константи за наоѓање парцијални решенија на нормален систем на нехомогени линеарни оди.
Дефиниција на систем на нехомогени линеарни ODE. ODU системтип:
повикани линеарна хетерогени . Нека
Систем (*) во векторско-матрица: .- системот е хомоген, во спротивно е нехомоген.
Самиот метод.
Нека има линеарен нехомоген систем 
, тогаш е линеарен хомоген систем кој одговара на линеарен нехомоген. Нека е основната матрица на системот за одлучување, 
, каде што C е произволен константен вектор, е општото решение на системот. Да бараме решение за системот (1) во форма 
, каде што C(x) е непозната (сеуште) векторска функција. Сакаме векторската функција (3) да биде решение за системот (1). Тогаш идентитетот мора да биде вистинит:
(произволен константен вектор, кој се добива како резултат на интеграција, може да се смета за еднаков на 0). Овде точките x 0 се сите.
Според тоа, гледаме дека ако во (3) земеме како C(t) 
, потоа векторската функција 
ќе биде решение за системот (1).
Општото решение на линеарниот нехомоген систем (1) може да се запише во форма 
. Нека биде неопходно да се најде решение за системот (1) што ја задоволува почетната состојба 
. Замената (4) на почетните податоци (5) дава 
. Затоа, решението на проблемот на Коши (1)-(5) може да се запише како: 
. Во посебниот случај кога последната формула ја има формата: 
.
Основен систем на решенија на нормален систем на хомогени линеарни равенки со константни коефициенти во случај на едноставни реални корени на карактеристичната равенка.
Нормален линеарен хомоген системnред со константни коефициенти
-
или 
,Коефициентите на линеарни комбинации на бараните функции се константни. Овој систем е во форма на матрица 
– форма на матрица, каде што А е константна матрица. Матричен метод: Од карактеристична равенка 
ќе најдеме различни корени и за секој корен (земајќи ја предвид неговата мноштво) ќе го одредиме соодветното конкретно решение. Општото решение е: 
. Во овој случај 1) ако -
е вистински корен од повеќекратно 1, тогаш 
, каде е сопствениот вектор на матрицата А што одговара на сопствената вредност, т.е. 2)
–
коренот на множина, тогаш системското решение кое одговара на овој корен се бара во форма на вектор 
(**), чии коефициенти 
се одредуваат од систем на линеарни равенки добиени со изедначување на коефициентите со исти моќиx како резултат на замена на векторот (**) во оригиналниот систем.
Основен систем на NLOS решенијае збир од произволни n линеарно независни решенија
Основен систем на решенија за нормален систем на хомогени линеарни ODE со постојани коефициенти во случај кога сите корени на карактеристичната равенка се едноставни, но има сложени корени.
Прашањето е отстрането.
Општ поглед на системот
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - системски коефициенти; - слободни членови; - променливи;
Ако сите = 0, системот се нарекува хомоген.
Општо решение на систем од линеарни равенки
Дефиниција 1. Хомоген систем млинеарни алгебарски равенки за nнепознати се нарекува систем на равенки
тип (1) или во форма на матрица (2)
каде што A е дадена матрица на коефициенти со големина mxn,
Колона n од непознати е нултата колона со висина m.
Хомоген систем е секогаш конзистентен (проширената матрица се совпаѓа со А) и има очигледни решенија: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Ова решение се нарекува нула или тривијални. Секое друго решение, доколку постои, се нарекува нетривијални.
Теорема 1. Ако рангот на матрицата А е еднаков на бројот на непознати, тогаш системот (1) има единствено (тривијално) решение.
Навистина, според теоремата на Крамер, r=n и решението е единствено.
Теорема 2. За да може хомоген систем да има решение кое не е нула, потребно е и доволно рангот на системската матрица да биде помал од бројот на непознати ( произлегува од теоремата за бројот на решенија).
Þ ако има ненула решенија, тогаш решението не е единствено, тогаш детерминантата на системот е еднаква на нула, тогаш r Ü ако р Теорема 3. Хомоген систем од n равенки со n непознати има ненула решение ако и само ако detA = 0. Þ ако има ненула решенија, тогаш има бесконечно многу решенија, тогаш според теоремата за бројот на решенија r Ü ако detA = 0, тогаш r Теорема 4. За да може хомоген систем да има решение кое не е нула, потребно е бројот на равенките на системот да биде помал од бројот на непознати. Бидејќи рангот на матрицата со коефициенти не може да биде поголем од бројот на нејзините редови (како и бројот на колони), тогаш r Дефиниција 2. Се повикуваат системските променливи лоцирани на основните колони од оригиналната матрица на коефициенти основни променливи, и се повикуваат останатите променливи на системот бесплатно. Дефиниција 4. Приватна одлуканехомоген систем AX = B се нарекува колона вектор X добиен од нулавредности бесплатнопроменливи. Теорема 6. Општо решение на нехомоген системлинеарните равенки AX = B ја имаат формата , каде што е одредено решение на системот на равенки AX = B, и е FSR на хомогениот систем AX = 0. Нехомоген систем на линеарни равенки е систем од формата: Неговата продолжена матрица. Теорема (за општо решение на нехомогени системи). · ако , каде е бројот на променливи на системот (2), тогаш решението (2) постои и е единствено; · ако , тогаш општото решение на системот (2) има форма , каде е општото решение на системот (1), т.н. општ хомоген раствор, е одредено решение на системот (2), наречено приватно нехомогено решение. Хомоген систем на линеарни равенки е систем од формата: Нулта решение на системот (1) се вика тривијално решение. Хомогените системи се секогаш компатибилни, бидејќи секогаш има тривијално решение. Ако има некое не-нула решение за системот, тогаш тој се нарекува нетривијални. Решенијата на хомоген систем имаат својство на линеарност: Теорема (за линеарно решение на хомогени системи). Теорема (за структурата на општото решение). · ако , каде е бројот на системски променливи, тогаш постои само тривијално решение; · ако , тогаш постојат линеарно независни решенија за системот што се разгледува: , и неговиот заедничка одлукаима форма: , каде има некои константи. 2. Пермутации и замени. Детерминанта од n-ти ред. Својства на детерминантите. Дефиниција на детерминантата - ти ред. Нека биде дадена квадратна матрица од прв ред: Дефиниција. Производот на елементите на матрицата А, земен по еден од секоја редица и секоја колона, се нарекува член на детерминантата на матрицата А.3 Ако во детерминантата се заменети било кои две редови или две колони, тогаш детерминантата го менува својот знак во спротивната. 4Ако матрицата содржи нулта ред (колона), тогаш детерминантата на оваа матрица е еднаква на нула.5 Ако два реда (колони) од матрицата се еднакви еден на друг, тогаш детерминантата на оваа матрица е еднаква на нула.6 Ако два реда (колони) од матрицата се пропорционални еден на друг, тогаш детерминантата на оваа матрица е еднаква на нула.7 Детерминантата на триаголната матрица е еднаква на производот на елементите на главната дијагонала.8 Ако сите елементи ккако збирови се прикажуваат та ред (колона) од детерминантата а к ј + b k j, тогаш детерминантата може да се претстави како збир од соодветните детерминанти.9 Детерминантата нема да се промени ако соодветните елементи од друга редица (или соодветната колона) се додадат на елементите на која било од нејзините редови (или соодветната колона) , помножено со истиот број.10. Нека АИ Бсе квадратни матрици од ист ред. Тогаш детерминантата на производот на матриците е еднаква на производот на детерминантите: Циклус -таква низа од ќелии во транспортната табела (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),...(i k ,j 1), во која две и само две соседни ќелии се лоцирани во еден ред или колона, при што првата и последната ќелија се исто така во истиот ред или колона. (?) Пермутација долж циклусот - (поместување по циклусот по вредност t)-зголемување на волумените во сите непарни ќелии од циклусот означени со знакот „+“ со t и намалување на транспортните волумени во сите парни ќелии означени со знакот „-“ со t. Оптималниот транспортен план одговара на минимумот на линеарната целна функција f(X)= min под ограничувања на потрошувачката и понудата Равенка од формата F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, каде што k е фиксен број, а n е произволен природен број, x n; x n +1 ;…; x n + k се членови на некоја непозната броена низа, наречена различна равенка од редот k. Решавањето на равенката за разлика значи наоѓање на сите секвенци (x n) кои ја задоволуваат равенката. Општото решение на равенката од k-ти ред е неговото решение x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), во зависност од k независни произволни константи C 1 , C 2 , …, C k . Бројот на k константи е еднаков на редот на равенката на разликата, а независноста значи дека ниту една од константите не може да се изрази во однос на другите. Размислете за линеарна разлика равенка од редот k со константни коефициенти: a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n, каде што a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) и (f n ) – дадени броеви и низа. ^
Теорема за општо решение на нехомогена равенка.
Општото решение x n на равенката на линеарна нехомогена разлика е збирот на одреденото решение x n * од оваа равенка и општото решение n на соодветната хомогена равенка. ^
Теорема за општо решение на хомогена равенка.
Нека x n 1 ,…, x n k е систем кој се состои од k линеарно независни решенија на линеарна хомогена разлика равенка. Тогаш општото решение на оваа равенка е дадено со формулата: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k. Познавањето на корените на карактеристичната равенка ни овозможува да изградиме општо решение за равенката за хомогена разлика. Ајде да го разгледаме ова користејќи го примерот на равенка од втор ред: Резултираните решенија може лесно да се пренесат во случај на равенки од повисок ред. Во зависност од вредностите на дискриминантната D=b 2 -4ac на карактеристичната равенка, можни се следниве случаи: Множеството решенија на линеарна хомогена разлика равенка од k-ти ред формира k-димензионален линеарен простор, а секое множество од k линеарно независни решенија (наречено основно множество) е неговата основа. Знак за линеарна независност на решенијата на хомогена равенка е дека детерминантата Касорати не е еднаква на нула: Равенката се нарекува карактеристична равенка на хомогена линеарна равенка. ^
Во која форма треба да се бара неговото конкретно решение? Објаснете го одговорот.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n Во каква форма треба да се бара неговото конкретно решение? Одговорот мора да се објасни. X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n X n +2 -4x n +1 +3x n =0 X n =C 1 3 n +C 2 1 n X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2) n2 n X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n 1) x n +2 -4x n +1 +3x=0 λ 1 =3, λ 2 =1 x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2 2) f(n)=2 n, g(n)=3 n, z(n)=n 2 Бидејќи основата на експоненцијалната моќност f(n)=2 n, еднаква на 2, не се совпаѓа со ниту еден од корените на карактеристичната равенка, го бараме соодветното одредено решение во форма Y n =C(2) n . Бидејќи основата на експоненцијалната функција g(n)=3 n, еднаква на 3, се совпаѓа со еден од корените на карактеристичната равенка, го бараме соодветното одредено решение во форма X n =Bn(3) n. Бидејќи z(n)=n 2 е полином, ќе бараме одредено решение во форма на полином: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 . x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2 1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0 λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i Бидејќи основата на експоненцијалната моќност f(n)=3 n, еднаква на 3, не се совпаѓа со ниту еден од корените на карактеристичната равенка, го бараме соодветното одредено решение во форма Y n =B(3) n . Бидејќи g(n)=n 2 е полином, ќе бараме одредено решение во форма на полином: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2 λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i X n 0 =(2) n (C 1 cos + C 2 sin ) 2) f(n)=3 n, g(n)=n2, z(n)=cos Бидејќи основата на експоненцијалната моќност f(n)=3 n, еднаква на 3, не се совпаѓа со ниту еден од корените на карактеристичната равенка, го бараме соодветното одредено решение во форма Y n =B(3) n . Бидејќи g(n)=n 2 е полином, ќе бараме одредено решение во форма на полином: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos Моделот на деловниот циклус Самуелсон-Хикс претпоставува директна пропорционалност на обемот на инвестициите со зголемувањето на националниот доход (принцип на забрзување), т.е. каде што коефициентот V>0 е фактор на забрзување, I t - износот на инвестицијата во периодот t, X t -1 , X t -2 - вредноста на националниот доход во периодите (t-1) и (t-2), соодветно. Исто така, се претпоставува дека побарувачката во оваа фаза каде што a, b се коефициентите на линеарното изразување на побарувачката во оваа фаза: Стационарна низа 40. Формулирајте го проблемот за одредување на тековната вредност на купонската обврзница. Кој е проблемот на Коши за равенка за разлика? Најдете решение за рамнотежа на проблемот на Коши за одредување на моменталната вредност на купонската обврзница. Проверете дали пронајдената вредност се совпаѓа со износот што мора да се плати во моментот за да го добиете износот на купонот во секој купонски период на бескрајно долго време по дадена каматна стапка за еден купонски период. Нека Ф
- номиналната вредност на купонската обврзница (т.е. износот на пари платен од издавачот во моментот на откупот што се совпаѓа со крајот на последниот купонски период), К
– вредност на купонот (т.е. износот на пари платен на крајот на секој купонски период), X Оние. стр Каде што C 1 и C 2 се непознати. Сите y се познати броеви, пресметани на x = x 0. За системот да има решение за која било десна страна, потребно е и доволно главната детерминанта да биде различна од 0. Ако , тогаш детерминантата Вронски не е еднаква на 0, за која било вредност од x 0. Доказ. Нека детерминантата е еднаква на 0, но да ги избереме почетните ненула услови y=0, y’=0. Потоа го добиваме следниот систем: Овој систем има бесконечен број решенија кога детерминантата е 0. C 11 и C 12 се решенија на системот. Ова е во спротивност со првиот случај, што значи дека детерминантата Вронски не е еднаква на 0 за било кој x 0 ако . Секогаш е можно да се избере одредено решение од општото решение за. Билет бр.33 Теорема за структурата на општото решение на линеарна хомогена диференцијална равенка од втор ред со доказ. Теорема за општо решение на диференцијална равенка: решенија на оваа равенка, потоа функцијата Доказ: Билет бр.34 Теорема за структурата на општото решение на линеарна нехомогена диференцијална равенка од 2 ред со доказ. Нека е дадена равенка со десната страна: . Равенка без десна страна Теорема за структурата на општото решение на равенката со десната страна. Т.1 Општото решение на равенката со десната страна може да се состави како збир од општото решение на равенката без десната страна и некое посебно решение на оваа равенка. Доказ. Да означиме со општо решение и некое посебно решение на оваа равенка. Да ја земеме функцијата Заменувајќи ги изразите за y, y', y'' во левата страна на равенката, наоѓаме: Изразот во првата квадратна заграда е еднаков на 0. А изразот во втората заграда е еднаков на функцијата f(x ). Затоа, функцијата Билет бр.35 Линеарни хомогени диференцијални равенки од 2 ред со константни коефициенти, F.S.R. и општо решение во случај на различни реални корени, карактеристични равенки со доказ. Да земеме хомогена линеарна равенка од втор ред со константни коефициенти: каде а се броевите. Ајде да се обидеме да ја задоволиме равенката со функција од формата. Од тука имаме: Од ова можеме да видиме какво ќе биде решението на оваа равенка ако r е коренот на квадратната равенка. Оваа равенка се нарекува карактеристика. За да креирате карактеристична равенка, треба да го замените y со еден, а секој извод со r со моќност од редот на изводот. 1) Корените на карактеристичната равенка се реални и различни. Во овој случај, двата корени може да се земат како индикатори на функцијата r. Овде можете веднаш да добиете две равенки. Јасно е дека нивниот однос не е еднаков на константна вредност. Општото решение во случај на реални и различни корени е дадено со формулата: Билет бр.36 Линеарни хомогени диференцијални равенки од 2 ред со константни коефициенти, F.S.R. и општо решение во случај на повеќе корени, карактеристични равенки со доказ. Корените на реалната равенка се реални и еднакви.
Нека (т.е. системот (2) е конзистентен), тогаш:
Нека се решенијата на хомогениот систем (1), а нека се произволни константи. Потоа е, исто така, решение за системот што се разгледува.
Нека тогаш:
1
| | | | | | | | | | |
Бесплатна проценка на клетките– (види потенцијален метод)
Оптималниот план треба да ги определи минималните вкупни трошоци за транспорт, без да го надмине обемот на производство на секој од добавувачите и целосно да ги покрие потребите на секој од потрошувачите.
^
Услов за оптималност на референтниот план.
Бр. 32. Формулирајте ја дефиницијата за равенка за разлика од редот k и нејзиното општо решение. Наведете ја дефиницијата за линеарна разлика равенка од ред k со константни коефициенти. Формулирајте теореми за општото решение на равенките на хомогени и нехомогени линеарни разлики (без доказ).
Бр. 33. Опишете алгоритам за решавање на хомогена линеарна разлика равенка со константни коефициенти. Формулирајте дефиниции за следните поими: фундаментално множество решенија на равенка на линеарна разлика, карактеристична равенка, детерминанта Касорати.
C 1 , C 2 се произволни константи.
№ 34. Дадена е равенка за линеарна разлика со константни коефициенти X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.
бр.35. Дадена е линеарна разлика равенка со константни коефициенти x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. Во која форма треба да се бара неговото конкретно решение?
бр. 36. Дадена е равенка на линеарна разлика со константни коефициенти x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2. Во која форма треба да се бара неговото конкретно решение?
бр.37. Дадена е линеарна разлика равенка со константни коефициенти x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . Во која форма треба да се бара неговото конкретно решение?
#38: Опишете го моделот Семјуелсон-Хикс. Кои економски претпоставки се во основата на тоа? Во кој случај решението на Хиксовата равенка е стационарна низа?
зависи од износот на националниот доход во претходната фаза 
линеарно 
. Условот за еднаквост на понудата и побарувачката има форма 
. Потоа доаѓаме до Хиксовата равенка
е решение на Хиксовата равенка само за 
; фактор 
се нарекува Кејнсов множител (еднодимензионален аналог на матрицата на вкупните трошоци).
№ ^
39. Опишете го моделот на пазарот на пајаци. Кои економски претпоставки се во основата на тоа? Најдете ја состојбата на рамнотежа на моделот на веб-пазарот.
- тековната вредност на обврзницата на крајот на n-тиот купонски период, 
се совпаѓа со износот што мора да се плати во моментот за да се добие купонскиот износ во секој купонски период на бесконечно долго време по дадена каматна стапка за еден купонски период.
Одредница на Вронски. Ако детерминантата е 0, тогаш системот има решение само ако има дел од почетните услови. Според тоа, од ова произлегува дека изборот на почетните услови е предмет на законот, така што не може да се преземат какви било првични услови, а тоа е прекршување на условите на проблемот на Коши.
исто така решение. Врз основа на оваа теорема, можеме да заклучиме за структурата на општото решение на хомогена равенка: ако 1 и 2 имаат решенија за диференцијалната равенка така што нивните соодноси не се еднакви на константа, тогаш линеарната комбинација на овие функции е општо решение на диференцијалната равенка. Тривијално решение (или нула) не може да послужи како решение за оваа равенка.
ако наместо функција ставиме 0, ја нарекуваме карактеристика.
. Ние имаме
, 
.
има решение за оваа равенка.,
.
