Оваа бројка е една од првите фрактали што ги проучувале научниците. Доаѓа од три примероци Кох крива, кој првпат се појави во трудот на шведскиот математичар Хелге фон Кох во 1904 година. Оваа крива е измислена како пример за континуирана линија која не може да биде тангента на ниту една точка. Линиите со ова својство биле познати и порано (Карл Вајерштрас го изградил својот пример во 1872 година), но кривата Кох е извонредна по едноставноста на нејзиниот дизајн. Не случајно неговата статија е наречена „За континуирана крива без тангенти, што произлегува од елементарната геометрија“.

Цртежот и анимацијата совршено покажуваат како е конструирана кривата Кох чекор по чекор. Првата итерација е едноставно почетниот сегмент. Потоа се дели на три еднакви дела, централниот се комплетира до правилен триаголника потоа фрлен. Резултатот е втората итерација - скршена линија која се состои од четири сегменти. Истата операција се применува на секој од нив, и се добива четвртиот чекор на изградба. Продолжувајќи во истиот дух, можете да добивате се повеќе и повеќе нови линии (сите ќе бидат скршени линии). А она што се случува во границата (ова веќе ќе биде имагинарен објект) се нарекува Кох крива.

Основни својства на Кох кривата

1. Континуирано е, но никаде не може да се разликува.Грубо кажано, токму затоа е измислен - како пример за ваков вид математички „изроди“.

2. Има бесконечна должина.Нека должината на оригиналниот сегмент е еднаква на 1. На секој чекор на конструкција, секој од сегментите што ја сочинуваат линијата го заменуваме со скршена линија, која е 4/3 пати подолга. Ова значи дека должината на целата скршена линија се множи со 4/3 на секој чекор: должината на линијата со број nеднакво на (4/3) n-1. Затоа, граничната линија нема друг избор освен да биде бесконечно долга.

3. Коховата снегулка ја ограничува конечната област.И ова и покрај фактот што неговиот периметар е бесконечен. Ова својство може да изгледа парадоксално, но очигледно е - снегулката целосно се вклопува во круг, па нејзината површина е очигледно ограничена. Површината може да се пресмета, а за ова не ви треба ни посебно знаење - формули за плоштина на триаголник и збир геометриска прогресијасе одвиваат на училиште. За оние кои се заинтересирани, пресметката е наведена подолу со ситни букви.

Нека страната на оригиналниот правилен триаголник е еднаква на а. Тогаш неговата површина е . Прво страната е 1, а плоштината е: . Што се случува кога повторувањето се зголемува? Можеме да претпоставиме дека малите рамностран триаголници се прикачени на постоечки многуаголник. Првиот пат ги има само 3, а секој следен пат има 4 пати повеќе од претходниот. Тоа е, на nчекорот ќе биде завршен Тн= 3 4 n– 1 триаголник. Должината на страната на секоја од нив е една третина од страната на триаголникот завршен во претходниот чекор. Значи, тоа е еднакво на (1/3) n. Областите се пропорционални на квадратите на страните, така што плоштината на секој триаголник е . За големи вредности nПатем, ова е многу малку. Вкупниот придонес на овие триаголници во областа на снегулката е Тн · С н= 3/4 · (4/9) n · С 0 . Затоа после n-чекор, површината на фигурата ќе биде еднаква на збирот С 0 + Т 1 · С 1 + Т 2 · С 2 + ... +ТнС n = . Снегулка се добива по бесконечен број чекори, што одговара на n→ ∞. Резултатот е бесконечен збир, но ова е збир на опаѓачка геометриска прогресија; постои формула за тоа: . Областа на снегулката е.

4. Фракталната димензија е еднаква на log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Прецизното пресметување ќе бара значителен напор и детални објаснувања, така што еве прилично илустрација за дефиницијата на фракталната димензија. Од формулата на законот за моќ Н(δ ) ~ (1/δ )Д, Каде Н- број на квадрати што се вкрстуваат, δ - нивната големина и Д- димензија, тоа го добиваме Д= дневник 1/ δ Н. Оваа еднаквост е точно до додавање на константа (иста за сите δ ). Фигурите ја прикажуваат петтата итерација на конструирање на Кох кривата; квадратите на мрежата што се вкрстуваат со неа се засенчени со зелена боја. Должината на оригиналниот сегмент е 1, така што на горната слика должината на страните на квадратите е 1/9. 12 квадрати се засенчени, лог 9 12 ≈ 1,130929... . Сè уште не е многу слично на 1,261859... . Ајде да погледнеме понатаму. На средната слика квадратите се половина од големината, нивната големина е 1/18, засенчени 30. лог 18 30 ≈ 1,176733... . Веќе подобро. Подолу, квадратите се сè уште поголеми за половина; 72 парчиња се веќе обоени. дневник 72 30 ≈ 1,193426... . Уште поблиску. Потоа треба да го зголемите бројот на повторување и во исто време да ги намалите квадратите, тогаш „емпириската“ вредност на димензијата на кривата Кох стабилно ќе се приближува до дневникот 3 4, а во границата целосно ќе се совпадне.

Фракталната снегулка, еден од најпознатите и најмистериозните геометриски објекти, беше опишана од Хелга фон Кох на почетокот на нашиот век. Според традицијата, во нашата литература се нарекува Кохова снегулка. Ова е многу „шилеста“ геометриска фигура, која метафорично може да се види како резултат на постојано „множење“ на Давидовата ѕвезда сама по себе. Неговите шест главни зраци се покриени со бесконечен број големи и мали темиња со „игли“. Секој микроскопски фрагмент од контурата на снегулката е како два грашок во мешунка, а големиот зрак, пак, содржи бесконечен број исти микроскопски фрагменти.

На меѓународен симпозиум за методологија на математичко моделирање во Варна во 1994 година, наидов на работата на бугарските автори кои го опишаа нивното искуство за користење на снегулките на Кох и други слични предмети на часовите во средно училиште за да го илустрираат проблемот со деливоста на просторот и филозофските апории на Зенон. Дополнително, од едукативен аспект, според мене, многу е интересен самиот принцип на конструирање на правилни фрактални геометриски структури - принципот на рекурзивно множење на основниот елемент. Не е за ништо што природата „сака“ фрактални форми. Тоа се објаснува токму со фактот дека тие се добиваат со едноставна репродукција и менување на големината на одреден елементарен градежен блок. Како што знаете, природата не се преплавува со различни причини и, каде што е можно, се задоволува со наједноставните алгоритамски решенија. Погледнете ги внимателно контурите на листовите и во многу случаи ќе најдете јасна врска со обликот на контурата на снегулката Кох.

Визуелизација на фрактални геометриски структури е можна само со помош на компјутер. Веќе е многу тешко рачно да се конструира Кох снегулка над третиот ред, но навистина сакате да погледнете во бесконечноста! Затоа, зошто да не се обидете да развиете соодветна компјутерска програма. Во RuNet можете да најдете препораки за изградба на снегулка Кох од триаголници. Резултатот од овој алгоритам изгледа како збрка од линии кои се вкрстуваат. Поинтересно е да се комбинира оваа бројка од „парчиња“. Контурата на снегулката Кох се состои од сегменти со еднаква должина наклонети на 0°, 60° и 120° во однос на хоризонталната х-оска. Ако ги означиме со 1, 2 и 3 соодветно, тогаш снегулката од кој било ред ќе се состои од последователни тројки - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3... итн. Секој од овие три типа на сегменти може да се прикачат на претходниот на едниот или на другиот крај. Земајќи ја предвид оваа околност, можеме да претпоставиме дека контурата на снегулката се состои од сегменти од шест типа. Да ги означиме со 0, 1, 2, 3, 4, 5. Така, добиваме можност да шифрираме контура од кој било ред со помош на 6 цифри (види слика).

Снегулка од повисок ред се добива од претходник од понизок ред со замена на секој раб со четири, поврзани како преклопени дланки (_/\_). Типот на раб 0 се заменува со четири рабови 0, 5, 1, 0 и така натаму според табелата:

0 0 1 5 0
1 1 2 0 1
2 2 3 1 2
3 3 4 2 3
4 4 5 3 4
5 5 0 4 5

Едноставен рамностран триаголник може да се замисли како снегулка Кох од нула ред. Во опишаниот систем за кодирање, тоа одговара на записот 0, 4, 2. Сè друго може да се добие со опишаните замени. Јас нема да го дадам кодот за процедура овде и со тоа да ве лишам од задоволството да развивате сопствена програма. Кога го пишувате, воопшто не е неопходно да се користи експлицитен рекурзивен повик. Може да се замени со редовен циклус. Во процесот на работа, ќе имате уште една причина да размислувате за рекурзијата и нејзината улога во формирањето на квази-фракталните форми на светот околу нас, и на крајот од патеката (ако, се разбира, не сте премногу мрзливи да поминете низ него до крај) ќе можете да му се восхитувате на сложената шема на контурите на фрактална снегулка, а исто така конечно да погледнете во лицето на бесконечноста.

Тема: Фрактали.

1. Вовед. Кратко историска референцаза фракталите. 2. Фракталите се елементи на геометријата во природата.

3. Објекти со фрактални својства во природата. 4. Дефиниција на терминологијата „фрактали“.

5.Класи на фрактали.

6.Опис на фрактални процеси. 7.Постапки за добивање фрактални множества.

8.1 Скршена Коха (постапка за добивање).

8.2 Кох снегулка (Кох фрактал).

8.3 Сунѓери Менгер.

9. Примери за употреба на фрактали.

Вовед. Кратка историска позадина на фракталите.

Фракталите се млада гранка на дискретната математика.

ВО Во 1904 година, Швеѓанецот Кох излезе со континуирана крива која никаде нема тангента - кривата Кох.

ВО Во 1918 година, Французинот Јулија опиша цело семејство на фрактали.

ВО Во 1938 година, Пјер Леви ја објави статијата „Равини и просторни кривини и површини кои се состојат од делови слични на целината“.

ВО 1982 Беноа Манделброт ја објави книгата „Фракталната геометрија на природата“.

СО Со едноставни конструкции и формули се добиваат слики. Се појави „фрактално сликарство“.

Од 1993 година, World Scientific го објавува списанието „Fractals“.

Фракталите се елементи на геометријата во природата.

Фракталите се алатки за опишување на објекти како што се модели на планински венци, груби крајбрежје, циркулаторни системи на многу капилари и садови, круни на дрвја, каскадни водопади, ладени обрасци на стакло.

Или овие: лист од папрат, облаци, дамка.

Сликите на таквите објекти може да се претстават со помош на фрактална графика.

Објекти со фрактални својства во природата.

CoralsStarfish и Urchins Морски школки

Цвеќиња и растенија (брокула, зелка) Овошје (ананас)

Круни од дрвја и лисја од растенија Циркулаторниот системи бронхиите на луѓето и животните Во неживата природа:

Граници на географски објекти (земји, региони, градови) Крајбрежја Планински венци Снегулки Облаци Молња

Шаблони формирани на стакло Кристали Сталактити, сталагмити, хеликтити.

Дефиниција на терминологијата „фрактали“.

Фракталите се геометриски фигури, кои задоволуваат едно или повеќе од следниве својства:

Има сложена нетривијална структура при секое зголемување (на сите размери); таа е (приближно) самослична.

Има фракциона Hausdorff (фрактална) димензија или ја надминува тополошката; Може да се конструира со рекурзивни процедури.

За правилни фигури како што се круг, елипса, график на мазна функцијамал фрагмент во многу големи размери изгледа како фрагмент од права линија. За фрактал, зголемувањето на скалата не води до поедноставување на структурата; за сите скали ќе видиме подеднакво сложени слики.

Фрактални класи

Фрактал е структура која се состои од делови (подструктури) слични на целината.

Некои фрактали, како елементи на природата, може да се класифицираат како геометриски (конструктивни) фрактали.

Остатокот може да се класифицира како динамични фрактали (алгебарски).

Постапки за добивање фрактални множества.

Ова е едноставна рекурзивна процедура за добивање фрактални криви: наведете произволна скршена линија со конечен бројврски - генератор. Следно, секој сегмент од генераторот се заменува во него. Потоа секој сегмент во него повторно се заменува со генератор, и така до бесконечност.

Прикажано: поделба на единечна отсечка на 3 дела (а), единечна квадратна површина на 9 дела (б), единична коцка на 27 делови (в) и 64 делови (г). Бројот на делови е n, факторот на скалирање е k, а димензијата на просторот е d. Ги имаме следните односи: n = kd,

ако n = 3, k = 3, тогаш d = 1; ако n = 9, k = 3, тогаш d = 2; ако n = 27, k = 3, тогаш d = 3.

ако n = 4, k = 4, тогаш d = 1; ако n = 16, k = 4, тогаш d = 2; ако n = 64, k = 4, тогаш d = 3. Димензијата на просторот се изразува во цели броеви: d = 1, 2, 3; за n = 64, вредноста на d е

Прикажани се пет чекори за конструирање на полилинија Кох: сегмент со должина на единицата (а), поделен на три дела (k = 3), од четири дела (n = 4) - скршена линија (б); секој правилен сегмент е поделен на три дела (k2 = 9) и од 16 делови (n2 = 16) - скршена линија (c); постапката се повторува за k3 = 27 и n3 = 64 – прекината линија (g); за k5 = 243 и n5 = 1024 – прекината линија (г).

Димензија

Ова е фракциона или фрактална димензија.

Полилината Кох, предложена од Хелг фон Кох во 1904 година, делува како фрактал кој е погоден за моделирање на грубоста на крајбрежјето. Манделброт воведе елемент на случајност во алгоритмот за изградба на крајбрежјето, што, сепак, не влијаеше на главниот заклучок во врска со должината на крајбрежјето. Бидејќи границата

Должината на крајбрежјето се стреми кон бесконечност поради бескрајната грубост на брегот.

Постапката за измазнување на крајбрежјето при движење од подетална скала во помалку детална, т.е.

Кох снегулка (Кох фрактал)

Како основа за конструкција, не можете да земете сегменти со единечна должина, туку рамностран триаголник, на секоја страна од која можете да ја проширите постапката на множење на неправилностите. Во овој случај, добиваме снегулка Кох (сл.), и тоа од три типа: новоформираните триаголници се насочени само кон надвор од претходниот триаголник (а) и (б); само внатре (во); случајно или нанадвор или навнатре (г) и (д). Како можете да ја поставите процедурата за конструирање на Кох фрактал.

Ориз. Снегулка Кох

На сл. прикажани се два векторски дијаграми; Броевите над стрелките веројатно ќе го покренат прашањето: што значат тие? Векторот 0 се совпаѓа со позитивната насока на оската на апсцисата, бидејќи неговиот фазен фактор exp (i2πl/6) при l = 0 ја задржува својата насока. Векторот 1 се ротира во однос на векторот 0 под агол од 2π/6, кога l= 1. Векторот 5 има фазен фактор exp (i2π5/6), l = 5. Последниот вектор има ист фазен фактор како првиот ( l = 0). Цели броеви l го карактеризираат аголот на фазниот фактор на единечниот вектор.

Првиот чекор (сл.) одредува рекурзивна процедура за сите последователни чекори и, особено, за вториот чекор (сл.). Како да преминете од множество броеви φ1 = (0 1 5 0) до φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0)? Одговор: преку директно множење на матрицата, кога секој елемент од една матрица се множи со оригиналната матрица. Бидејќи во овој случај имаме работа со еднодимензионална низа, т.е. Бидејќи матриците се вектори, секој елемент од една матрица-вектор се множи со сите елементи на друга матрица-вектор. Покрај тоа, елементите на матрицата-вектор φ1 се состојат од експоненцијални функции exp (i2πl/6), затоа, 10 при множење на бројот h ќе треба да се додаде според мод (6), а не да се множи.

Беше невообичаено топла зима во Бостон, но сепак го чекавме првиот снег. Гледајќи како снегот паѓа низ прозорецот, размислував за снегулките и како нивната структура не е воопшто лесно математички да се опише. Сепак, постои еден посебен вид снегулка, позната како Кох снегулка, која може да се опише релативно едноставно. Денес ќе погледнеме како може да се изгради неговата форма со користење на COMSOL Multiphysics Application Builder.

Создавањето на Коховата снегулка

Како што веќе споменавме во нашиот блог, фракталите може да се користат во. Снегулка Кохе фрактал, што е забележливо по тоа што има многу едноставен итеративен процес за негово конструирање:

  1. Да почнеме со рамностран триаголник, кој всушност е нулта итерација на снегулката Кох.
  2. Ајде да ја најдеме централната точка на секој раб на тековната снегулка.
  3. Во центарот на секој раб, додадете рамностран триаголник кој излегува нанадвор со страна еднаква на 1/3 од должината на тековниот раб.
  4. Ајде да го дефинираме следното повторување на Кох снегулката да биде на надворешната страна на претходната снегулка и сите додадени триаголници.
  5. Повторете ги чекорите 2-4 онолку пати колку што е потребно.

Оваа постапка е илустрирана на сликата подолу за првите четири повторувања на цртање снегулка.

Првите четири повторувања на снегулката Кох. Слика од Wxs - Сопствена работа. Лиценцирано под CC BY-SA 3.0, преку Wikimedia Commons.

Изградба на геометријата на снегулките Кох

Бидејќи сега знаеме кој алгоритам да го користиме, ајде да погледнеме како да создадеме таква структура користејќи го COMSOL Multiphysics Application Builder. Ќе отвориме нова датотека и ќе создадеме 2D објект геометриски делна јазолот Глобални дефиниции. За овој објект, ќе поставиме пет влезни параметри: должината на страната на рамностран триаголник; X- И y– координати на средната точка на основата; и компоненти на нормалниот вектор насочени од средината на основата кон спротивното теме, како што е прикажано на сликите подолу.


Пет параметри се користат за поставување на големината, положбата и ориентацијата на рамностран триаголник.


Поставување на влезните параметри на геометрискиот дел.
Многуаголен примитив се користи за конструирање на рамностран триаголник.


Предметот може да ротира околу центарот на долниот раб.


Предметот може да се помести во однос на потеклото.

Сега кога го дефиниравме геометрискиот дел, го користиме еднаш во делот Геометрија. Овој единечен триаголник е еквивалентен на нултата повторување на снегулката Кох, а сега да го користиме Изградувачот на апликации за да создадеме посложени снегулки.

Обележување на интерфејсот на апликацијата во Градителот на апликации

Апликацијата има многу едноставен кориснички интерфејс. Содржи само две компоненти со кои корисникот може да комуницира: Лизгач (лизгач)(означено како 1 на сликата подолу), со што можете да го поставите бројот на повторувања потребни за создавање на снегулка, и Копче(ознака 2), со кликнување на која се креира и прикажува добиената геометрија. Исто така има Текст натпис(етикета 3) и Приказ (Приказ) на податоци(етикета 4), кои го прикажуваат бројот на наведените повторувања, како и прозорецот Табели(етикета 5), која ја прикажува конечната геометрија.


Апликацијата има една единствена форма со пет компоненти.

Апликацијата има две Дефиниции, од кои едната дефинира цел бројна вредност наречена Итерации, која стандардно е нула, но корисникот може да ја промени. Дефинирана е и 1Д низа од двојки наречена Центар. Единечниот елемент во низата има вредност од 0,5, што се користи за наоѓање на централната точка на секој раб. Оваа вредност никогаш не се менува.


Поставки за две дефиниции.

Компонентата Slider во корисничкиот интерфејс ја контролира вредноста на параметарот цел број, Iterations. Сликата од екранот подолу ги прикажува поставките за „Лизгачот“ и вредностите, кои се поставени како цели броеви во опсегот помеѓу 0 и 5. Истиот извор (како и за лизгачот) е избран и за компонентата Приказ на податоциза да се прикаже бројот на одредени повторувања на екранот на апликацијата. Го ограничуваме потенцијалниот корисник на пет повторувања бидејќи користениот алгоритам е неоптимален и не многу ефикасен, но е доволно едноставен за имплементација и демонстрација.


Поставки за компонентата „Лизгач“.

Следно, да ги погледнеме поставките за нашето копче, прикажани на екранот подолу. Кога ќе се притисне копчето, се извршуваат две команди. Прво, се повикува методот CreateSnowFlake. Добиената геометрија потоа се прикажува во графичкиот прозорец.


Поставки на копчињата.

Сега го разгледавме корисничкиот интерфејс на нашата апликација и можеме да видиме дека создавањето на каква било геометрија на снегулки мора да се случи преку метод наречен. Ајде да го погледнеме кодот за овој метод, со нумерирање на линии додадено на левата страна и константи на низата означени со црвено:

1 model.geom("geom1" ).feature().clear(); 2 model.geom("geom1" ).create("pi1" , "PartInstance" ); 3 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 4 за (int iter = 1; итер "geom1" ).getNEdges()+1; 6 UnionList = „пи“ + итер; 7 за (int edge = 1; раб "geom1" ).getNEdges(); edge++) ( 8 String newPartInstance = "pi" + iter + edge; 9 model.geom("geom1" ).create(newPartInstance, "PartInstance" ).set("part" , "part1"); 10 with(model. geom("geom1" ).feature(newPartInstance)); 11 setEntry("inputexpr", "Length", toString(Math.pow(1.0/3.0, iter))); 12 setEntry("inputexpr", "px" , model.geom("geom1").edgeX(раб, центар)); 13 setEntry("inputexpr", "py" , model.geom("geom1" ).edgeX(раб, центар)); 14 setEntry("inputexpr " , "nx" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(раб, центар)); 15 setEntry("inputexpr" , "ny" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(раб, центар)) ; 16 endwith(); 17 UnionList = newPartInstance; 18 ) 19 model.geom("geom1" ).create("pi" +(iter+1), "Union" ).selection("input" ).set(UnionList ); 20 model.geom("geom1" ).feature("pi" +(iter+1)).set("intbnd" , "исклучено" ); 21 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 22)

Ајде да одиме низ кодот ред по ред за да разбереме каква функција извршува секоја линија:

  1. Ги бришеме сите постоечки геометриски секвенци за да можеме да почнеме од нула.
  2. Ние создаваме еден примерок на објектот - нашиот „триаголник“, користејќи ја стандардната големина, ориентација и локација. Ова е нашата снегулка од нула редослед со идентификаторска ознака pi1.
  3. Ајде да ја финализираме геометријата. Оваа операција е потребна за ажурирање на сите геометриски индекси.
  4. Да го започнеме процесот на повторување низ сите дадени повторувања на снегулката, користејќи ја дефиницијата Итерации како услов за запирање.
  5. Дефинираме празна низа низи, UnionList. Секој елемент од низата содржи идентификатор на различни геометриски објекти. Должината на оваа низа е еднаква на бројот на рабовите во последната итерација плус еден.
  6. Го дефинираме првиот елемент во низата UnionList. Тоа е идентификатор на резултатот од претходната итерација. Имајте на ум дека повторувањето нула е веќе креирано во редовите 1-3. Целобројната вредност iter автоматски се претвора во низа и се додава на крајот на низата „pi“ .
  7. Поминуваме низ бројот на рабовите во претходно генерираната снегулка.
  8. Поставивме идентификаторна етикета за нов примерок на објект што пристапува од примерот на дел „триаголник“ што е креиран на овој раб. Забележете дека целобројните вредности iter и edge се секвенцијално додадени на крајот на низата pi, идентификаторската ознака на примерот на објектот.
  9. Ние создаваме примерок од објектот „триаголник“ и му ја доделуваме ознаката за идентификатор што штотуку беше наведена.
  10. Посочуваме дека линиите 11-15 се однесуваат на тековната инстанца на објектот (дел инстанца) користејќи ја изјавата with()/endwith().
  11. Одреди ја должината на страната на триаголникот. Нултиот ред има должина на страна од еден, така што n-тата итерација има должина на страна од (1/3)n. Функцијата toString() е потребна за да се емитуваат (конвертираат) типовите на податоци - број со подвижна запирка во стринг.
  12. Поставивме x-координата на новиот триаголник, како централна точка на страната на последната итерација. Методот edgeX е документиран во . Потсетиме дека Центарот е поставен на 0,5.
  13. Поставивме y-координира.
  14. Поставивме x-компонента на нормалниот вектор на триаголникот. Методот edgeNormal е исто така документиран во Референтен прирачник за програмирање COMSOL.
  15. Поставивме y-компонента на нормалниот вектор.
  16. Ја затвораме изјавата with()/endwith().
  17. Додадете етикета-идентификатор на тековниот триаголник на списокот со сите објекти.
  18. Го затвораме пребарувањето на сите рабови.
  19. Ние создаваме Булова унија (логичка унија) на сите објекти во геометриска низа. Доделуваме нова вредност pi на етикетата Н, каде N е бројот следноитерации. Потребни се загради околу (iter+1), така што зголемената вредност на iter се претвора во низа.
  20. Укажуваме дека внатрешните граници на крајниот објект не се зачувани.
  21. Ајде да ја финализираме геометријата. Последна операцијаги ажурира сите геометриски индекси за следната итерација на снегулката.
  22. Го затвораме циклусот на повторувања на создавање снегулка.

Така, ги опфативме сите аспекти и елементи на нашата апликација. Да ги погледнеме резултатите!


Нашата едноставна апликација за конструирање на снегулката Кох.

Можеме да ја прошириме нашата апликација за пишување геометрија во датотека, па дури и директно да извршиме дополнителни анализи. На пример, би можеле да дизајнираме фрактална антена. Ако сте заинтересирани за дизајнот на антената, проверете го нашиот пример или дури и направете го нејзиниот распоред од нула.

Пробајте го сами

Ако сакате сами да ја изградите оваа апликација, но сè уште не сте го комплетирале Изградувачот на апликации, може да ви бидат корисни следниве ресурси:

  • Преземете го водичот Вовед во околината за развој на апликации на англиски јазик
  • Гледајте ги овие видеа и научете како да ги користите
  • Прочитајте ги овие теми за да се запознаете со тоа како се користат апликациите за симулација

Откако ќе го покриете овој материјал, ќе видите како функционалноста на апликацијата може да се прошири за да се промени големината на снегулката, да се извезе создадената геометрија, да се процени областа и периметарот и многу повеќе.

Каква апликација би сакале да креирате во COMSOL Multiphysics? за помош.

Оваа бројка е една од првите фрактали што ги проучувале научниците. Доаѓа од три примероци Кох крива, кој првпат се појави во трудот на шведскиот математичар Хелге фон Кох во 1904 година. Оваа крива е измислена како пример за континуирана линија која не може да биде тангента на ниту една точка. Линиите со ова својство биле познати и порано (Карл Вајерштрас го изградил својот пример во 1872 година), но кривата Кох е извонредна по едноставноста на нејзиниот дизајн. Не случајно неговата статија е наречена „За континуирана крива без тангенти, што произлегува од елементарната геометрија“.

Пишувањето функција која се нарекува себеси рекурзивно е еден начин да се генерира фрактален дијаграм на екранот. Меѓутоа, што ако сакате редовите во горенаведениот Cantor да се постават како посебни објекти што може да се поместуваат независно? Рекурзивната функција е едноставна и елегантна, но не ви дозволува да направите многу повеќе од едноставно креирање на самиот шаблон.

Еве ги правилата. Кривата Кох и другите фрактални обрасци често се нарекуваат „математички чудовишта“. Ова се должи на чудниот парадокс што се појавува кога бескрајно многу пати ја применувате рекурзивната дефиниција. Ако должината на оригиналната почетна линија е една, првото повторување на кривата Кох ќе даде должина на линијата од четири третини. Направете го тоа повторно и ќе добиете шеснаесет и девет. Додека се повторувате во бесконечноста, должината на кривата Кох се приближува до бесконечноста. Сепак, се вклопува во малиот конечен простор обезбеден токму овде на овој труд!

Првите фази на конструирање на Кох кривата

Цртежот и анимацијата совршено покажуваат како е конструирана кривата Кох чекор по чекор. Првата итерација е едноставно почетниот сегмент. Потоа се дели на три еднакви дела, централниот се комплетира за да се формира правилен триаголник и потоа се исфрла. Резултатот е втората итерација - скршена линија која се состои од четири сегменти. Истата операција се применува на секој од нив, и се добива четвртиот чекор на изградба. Продолжувајќи во истиот дух, можете да добивате се повеќе и повеќе нови линии (сите ќе бидат скршени линии). А она што се случува во границата (ова веќе ќе биде имагинарен објект) се нарекува Кох крива.

Бидејќи работиме на Земјата со обработка на конечни пиксели, овој теоретски парадокс нема да биде фактор за нас. Можеме да продолжиме на ист начин како со множеството Cantor и да напишеме рекурзивна функција која итеративно ги применува правилата на Кох одново и одново. Сепак, овој проблем ќе го решиме поинаку со третирање на секој сегмент од Кох-кривата како посебен објект. Ова ќе отвори некои можности за дизајн. На пример, ако секој сегмент е објект, можеме да дозволиме секој сегмент да се движи независно од неговата оригинална локација и да учествува во симулација на физиката.

Основни својства на Кох кривата

1. Континуирано е, но никаде не може да се разликува.Грубо кажано, токму затоа е измислен - како пример за ваков вид математички „изроди“.

2. Има бесконечна должина.Нека должината на оригиналниот сегмент е еднаква на 1. На секој чекор на конструкција, секој од сегментите што ја сочинуваат линијата го заменуваме со скршена линија, која е 4/3 пати подолга. Ова значи дека должината на целата скршена линија се множи со 4/3 на секој чекор: должината на линијата со број nе еднакво на (4/3) n–1 . Затоа, граничната линија нема друг избор освен да биде бесконечно долга.

Дополнително, можеме да користиме случајна боја, дебелина на линијата итн. За да се прикаже секој сегмент поинаку. За да ја исполниме нашата задача да го третираме секој сегмент како посебен објект, прво мора да одлучиме што треба да прави објектот. Какви карактеристики треба да има?

Ајде да погледнеме што имаме. Со горенаведените елементи, како и каде ги применуваме Коховите правила и принципи на рекурзија? Во оваа симулација секогаш следевме две генерации: сегашната и следната. Кога завршивме со пресметување на следната генерација, сега стана релевантно и преминавме на пресметување на новата следна генерација.

3. Коховата снегулка ја ограничува конечната област.И ова и покрај фактот што неговиот периметар е бесконечен. Ова својство може да изгледа парадоксално, но очигледно е - снегулката целосно се вклопува во круг, па нејзината површина е очигледно ограничена. Областа може да се пресмета, а за ова не ви треба ни посебно знаење - на училиште се изучуваат формули за плоштина на триаголник и збир на геометриска прогресија. За оние кои се заинтересирани, пресметката е наведена подолу со ситни букви.

Овде ќе користиме слична техника. Вака изгледа кодот. Се разбира, горенаведеното ја исклучува вистинската „работа“ овде што ги дефинира овие правила. Како да поделиме една линија на четири како што е опишано во правилата? Конструкцијата на фрактал се заснова на концептот на бесконечност. Чекор 2: Оваа отсечка ќе ја поделиме на три еднакви делови и ќе подигнеме рамностран триаголник на централниот дел. Чекор 3: На четирите нови сегменти ќе го извршиме чекорот.

Пресечете ја алатката помеѓу двата објекти, кликнете на кругот. Снегулката Кох е специјална фрактална крива конструирана од математичарот Кох, почнувајќи од Коховата чипка. Ова е крива нацртана по страните на рамностран триаголник. Кох конци се изградени на секоја страна од триаголникот.

Нека страната на оригиналниот правилен триаголник е еднаква на а. Потоа неговата област. Прво страната е 1, а плоштината е: . Што се случува кога повторувањето се зголемува? Можеме да претпоставиме дека малите рамностран триаголници се прикачени на постоечки многуаголник. Првиот пат ги има само 3, а секој следен пат има 4 пати повеќе од претходниот. Тоа е, на nНа тиот чекор ќе се пополнат T n = 3 · 4 n–1 триаголници. Должината на страната на секоја од нив е една третина од страната на триаголникот завршен во претходниот чекор. Ова значи дека е еднакво на (1/3) n. Областите се пропорционални на квадратите на страните, така што плоштината на секој триаголник е . За големи вредности nПатем, ова е многу малку. Вкупниот придонес на овие триаголници во областа на снегулката е T n · S n = 3/4 · (4/9) n · S 0 . Затоа после nти чекор, површината на фигурата ќе биде еднаква на збирот S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n · S n = . Снегулка се добива по бесконечен број чекори, што одговара на n → ∞. Резултатот е бесконечен збир, но ова е збир на опаѓачка геометриска прогресија; постои формула за тоа: . Површината на снегулката е еднаква.

Следната табела ги прикажува првите чекори при конструирање крива. За да креирате фрактал, едноставно треба да вметнете три копии од кривата долж страните на триаголникот. Забележете дека втората фигура е Давидовата ѕвезда. Крајниот резултат е затворена крива изградена на рамностран триаголник. Може да се забележи дека фрит содржи шесткрака ѕвезда. Дизајнот е многу сличен на фрактален пентагонален.

Постои уште еден начин да се изградат снегулки. Конструкцијата опишана погоре може да се дефинира како конструкција со собирање, бидејќи почетната фигура, триаголникот, додава други елементи. Постои подструктура која ги отстранува елементите наместо оригиналната форма.

4. Фракталната димензија е log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Прецизното пресметување ќе бара значителен напор и детални објаснувања, така што еве прилично илустрација за дефиницијата на фракталната димензија. Од формулата на законот за моќност N(δ) ~ (1/δ)D, каде Н- број на квадрати што се вкрстуваат, δ - нивната големина, Д- димензија, добиваме дека D = log 1/δ N. Оваа еднаквост е точно до собирање на константа (исто за сите δ ). Фигурите ја прикажуваат петтата итерација на конструирање на Кох кривата; квадратите на мрежата што се вкрстуваат со неа се засенчени со зелена боја. Должината на оригиналниот сегмент е 1, така што на левата слика должината на страните на квадратите е 1/9. 12 квадрати се засенчени, лог 9 12 ≈ 1,130929... . Сè уште не е многу слично на 1,261859... . Ајде да погледнеме понатаму. На средната слика квадратите се половина од големината, нивната големина е 1/18, засенчени 30. лог 18 30 ≈ 1,176733... . Веќе подобро. Од десната страна, квадратите се сè уште пола, 72 парчиња се веќе обоени. дневник 72 30 ≈ 1,193426... . Уште поблиску. Потоа треба да го зголемите бројот на повторување и во исто време да ги намалите квадратите, тогаш „емпириската“ вредност на димензијата на кривата Кох стабилно ќе се приближува до дневникот 3 4, а во границата целосно ќе се совпадне.

Опции

Снегулката на Кох „во рикверц“добиени ако конструираме Кох криви во оригиналниот рамностран триаголник.

Цезаро линии. Наместо рамностран триаголнициСе користат рамнокраки со основен агол од 60° до 90°. На сликата, аголот е 88°.

Квадратна опција. Овде квадратите се комплетирани.

Тридимензионални аналози. Кох простор.