Од училишен курсМатематичарите знаат дека векторот на рамнина е насочен сегмент. Неговиот почеток и крај имаат две координати. Векторските координати се пресметуваат со одземање на почетните координати од крајните координати.

Концептот на вектор може да се прошири на n-димензионален простор (наместо две координати ќе има n координати).

Градиентград z на функцијата z = f(x 1, x 2, ...x n) е векторот на парцијални изводи на функцијата во точка, т.е. вектор со координати .

Може да се докаже дека градиентот на функцијата го карактеризира правецот на најбрзиот раст на нивото на функцијата во точка.

На пример, за функцијата z = 2x 1 + x 2 (види Слика 5.8), градиентот во која било точка ќе има координати (2; 1). Можете да го конструирате на рамнина на различни начини, земајќи ја секоја точка како почеток на векторот. На пример, можете да ја поврзете точката (0; 0) со точката (2; 1), или точката (1; 0) со точката (3; 1) или точката (0; 3) со точката (2; 4), или така натаму. .Стр. (Види Слика 5.8). Сите вектори конструирани на овој начин ќе имаат координати (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Од Слика 5.8 јасно се гледа дека нивото на функцијата се зголемува во насока на градиентот, бидејќи конструираните линии на нивоа одговараат на вредностите на нивоата 4 > 3 > 2.

Слика 5.8 - Градиент на функцијата z = 2x 1 + x 2

Да разгледаме уште еден пример - функцијата z = 1/(x 1 x 2). Градиентот на оваа функција повеќе нема секогаш да биде ист во различни точки, бидејќи нејзините координати се одредуваат со формулите (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Слика 5.9 ги прикажува линиите на нивоа на функцијата z = 1/(x 1 x 2) за нивоата 2 и 10 (правата линија 1/(x 1 x 2) = 2 е означена со точкаста линија, а правата линија
1/(x 1 x 2) = 10 – полна линија).

Слика 5.9 - Градиенти на функцијата z = 1/(x 1 x 2) во различни точки

Земете ја, на пример, точката (0,5; 1) и пресметајте го градиентот во оваа точка: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Забележете дека точката (0,5; 1) лежи на линијата на ниво 1/(x 1 x 2) = 2, бидејќи z = f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. За да се прикаже векторот ( -4; -2) на слика 5.9, ја поврзуваме точката (0.5; 1) со точката (-3.5; -1), бидејќи
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Да земеме друга точка на линијата на исто ниво, на пример, точка (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Ајде да го пресметаме градиентот во овој момент
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). За да го прикажеме на слика 5.9, ја поврзуваме точката (1; 0.5) со точката (-1; -3.5), бидејќи (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Да земеме уште една точка на линијата на исто ниво, но само сега во непозитивна координатна четвртина. На пример, точка (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиентот во оваа точка ќе биде еднаков на
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Да го прикажеме на слика 5.9 со поврзување на точката (-0.5; -1) со точката (3.5; 1), бидејќи (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Концепт насочен дериват се смета за функции од две и три променливи. За да го разберете значењето на насочениот извод, треба да ги споредите дериватите по дефиниција

Оттука,

Сега можеме да го најдеме насочениот извод на оваа функција користејќи ја неговата формула:

И сега - домашна работа. Тој дава функција од не три, туку само две променливи, но векторот на насоката е наведен малку поинаку. Значи, ќе мора да го направите тоа повторно векторска алгебра .

Пример 2.Најдете го изводот на функцијата во точка М0 (1; 2) во насока на векторот, каде М1 - точка со координати (3; 0).

Векторот што ја одредува насоката на изводот може да се даде и во форма како во следниот пример - во форма проширување во единечни вектори на координатни оски, но ова е позната тема од самиот почеток на векторската алгебра.

Пример 3.Најдете го изводот на функцијата во точката М0 (1; 1; 1) во насока на векторот.

Решение. Да ги најдеме косинусите на насоката на векторот

Да ги најдеме парцијалните изводи на функцијата во точката М0 :

Затоа, можеме да го најдеме насочениот дериват на оваа функција користејќи ја неговата формула:

.

Градиент функција

Градиент на функција од неколку променливи во една точка М0 ја карактеризира насоката на максимален раст на оваа функција во точката М0 и големината на овој максимален раст.

Како да го пронајдете градиентот?

Треба да се утврди вектор чии проекции на координатните оскисе вредностите парцијални деривати, , оваа функција во соодветната точка:

.

Тоа е, тоа треба да функционира претставување на вектор со единечни вектори на координатни оски, во која парцијалниот извод што одговара на неговата оска се множи со секоја единица.

Предавање 15. „Диференцијација на функција од неколку променливи“

    Градиент на функција од две променливи и насочен извод.

Дефиниција. Градиент функција

наречен вектор

.

Како што може да се види од дефиницијата на градиентот на функцијата, компонентите на векторот на градиент се парцијални изводи на функцијата.

Пример. Пресметајте го градиентот на функцијата

во точка А(2,3).

Решение. Да ги пресметаме парцијалните изводи на функцијата.

Општо земено, функционалниот градиент има форма:

=

Да ги замениме координатите на точката A(2,3) во парцијалните изводни изрази

Градиентот на функцијата во точката A(2,3) има форма:

Слично на тоа, можеме да го дефинираме концептот на градиент на функција од три променливи:

Дефиниција. Градиентна функција од три променливи

наречен вектор

Во спротивно, овој вектор може да се запише на следниов начин:

Дефиницијанасочен дериват.

Нека е дадена функција од две променливи

и произволен вектор

Да го разгледаме зголемувањето на оваа функција земено по даден вектор

Оние. векторот е колинеарен во однос на векторот . Должина на зголемување на аргументот

Изводот во одредена насока е граница на односот на зголемувањето на функцијата по дадена насока до должината на зголемувањето на аргументот, кога должината на зголемувањето на аргументот се стреми кон 0.

Формула за пресметување на насочен дериват.

Врз основа на дефиницијата на градиентот, насочениот извод на функцијата може да се пресмета на следниот начин.

некој вектор. Вектор со иста насока, но синглда ја наречеме должината

Координатите на овој вектор се пресметуваат на следниов начин:

Од дефиницијата за насочен дериват, насочениот дериват може да се пресмета со следнава формула:

Десната страна на оваа формула е скаларен производ на два вектори

Затоа, насочениот дериват може да се претстави како следнава формула:

Од оваа формула произлегуваат неколку важни својства на векторот на градиент.

Првото својство на градиентот произлегува од очигледниот факт што го зема скаларниот производ на два вектори највисока вредност, кога векторите се совпаѓаат во насока. Второто својство произлегува од фактот дека скаларниот производ на нормалните вектори е еднаков на нула. Дополнително, првото својство го подразбира геометриското значење на градиентот - градиентот е вектор долж насоката чијшто насочен извод е најголем. Бидејќи насочениот извод ја одредува тангентата на аголот на наклонетост на тангентата на површината на функцијата, градиентот е насочен долж најголемиот наклон на тангентата.

Пример 2. За функција (од пример 1)

Пресметајте насочен извод

во точка А(2,3).

Решение. За да го пресметате насочениот извод, треба да го пресметате векторот на градиент во наведената точка и векторот на насоката на единицата (т.е. нормализирајте го векторот).

Векторот на градиент беше пресметан во пример 1:

Го пресметуваме векторот на насоката на единицата:

Ние го пресметуваме дериватот во однос на насоката:

#2. Максимални и минимални функции на неколку променливи.

Дефиниција.Функција

Има максимум во точка (т.е. во и ), ако

Дефиниција.Токму на ист начин велат дека функцијата

Има минимум во точка (т.е. во и ), ако

за сите точки доволно блиски до точката и различни од неа.

Максимумот и минимумот на функцијата се нарекуваат екстреми на функцијата, односно велат дека функцијата има екстрем во дадена точка ако оваа функција има максимум или минимум во дадена точка.

На пример, функцијата

Има очигледен минимум z = -1 при x = 1 и y = 2.

Има максимум во точката x = 0 и y = 0.

Теорема.(неопходни услови за екстрем).

Ако функцијата достигне екстрем на , тогаш секој парцијален извод од прв ред на z или исчезнува за овие вредности на аргументот или не постои.

Коментар.Оваа теорема не е доволна за проучување на прашањето за екстремните вредности на функцијата. Можеме да дадеме примери на функции кои имаат нула парцијални изводи во некои точки, но немаат екстрем во овие точки.

Пример.Функција која има нула парцијални изводи, но нема екстрем.

Навистина:

Доволни услови за екстрем.

Теорема.Нека во некој домен кој ја содржи точката , функцијата има континуирани парцијални изводи до трет ред вклучувајќи; Дополнително, точката нека биде критична точка на функцијата, т.е.

Тогаш кога ,

Пример 3.2. Истражете ги максималните и минималните функции

    Да ги најдеме критичните точки, т.е. точки во кои првите парцијални изводи се нула или не постојат.

Прво, ги пресметуваме самите парцијални деривати.

Делумните изводи ги изедначуваме со нула и го решаваме следниов систем на линеарни равенки

Помножете ја втората равенка со 2 и додајте ја на првата. Резултатот е равенка само во y.

Ја наоѓаме и заменуваме во првата равенка

Ајде да се трансформираме

Затоа, точката () е критична.

    Да ги пресметаме вторите изводи од втор ред и да ги замениме координатите на критичната точка во нив.

Во нашиот случај, нема потреба да се заменат вредностите на критичните точки, бидејќи вторите деривати се броеви.

Како резултат имаме:

Затоа, пронајдените критична точка, е екстремна точка. Згора на тоа, бидејќи

тогаш ова е минималната точка.

Од училишниот курс по математика знаеме дека вектор на рамнина е насочена отсечка. Неговиот почеток и крај имаат две координати. Векторските координати се пресметуваат со одземање на почетните координати од крајните координати.

Концептот на вектор може да се прошири на n-димензионален простор (наместо две координати ќе има n координати).

Градиент gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) е векторот на парцијални изводи на функцијата во точка, т.е. вектор со координати.

Може да се докаже дека градиентот на функцијата го карактеризира правецот на најбрзиот раст на нивото на функцијата во точка.

На пример, за функцијата z = 2x 1 + x 2 (види Слика 5.8), градиентот во која било точка ќе има координати (2; 1). Можете да го конструирате на рамнина на различни начини, земајќи ја секоја точка како почеток на векторот. На пример, можете да ја поврзете точката (0; 0) со точката (2; 1), или точката (1; 0) со точката (3; 1) или точката (0; 3) со точката (2; 4), или така натаму. .Стр. (Види Слика 5.8). Сите вектори конструирани на овој начин ќе имаат координати (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Од Слика 5.8 јасно се гледа дека нивото на функцијата се зголемува во насока на градиентот, бидејќи конструираните линии на нивоа одговараат на вредностите на нивоата 4 > 3 > 2.

Слика 5.8 - Градиент на функцијата z= 2x 1 + x 2

Да разгледаме уште еден пример - функцијата z = 1/(x 1 x 2). Градиентот на оваа функција повеќе нема секогаш да биде ист во различни точки, бидејќи нејзините координати се одредуваат со формулите (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Слика 5.9 ги прикажува линиите на ниво на функција z = 1/(x 1 x 2) за нивоата 2 и 10 (правата линија 1/(x 1 x 2) = 2 е означена со точкаста линија, а правата линија 1/( x 1 x 2) = 10 е солидна линија).

Слика 5.9 - Градиенти на функцијата z= 1/(x 1 x 2) во различни точки

Земете ја, на пример, точката (0,5; 1) и пресметајте го градиентот во оваа точка: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Забележете дека точката (0,5; 1) лежи на линијата линија 1/(x 1 x 2) = 2, бидејќи z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. За да се нацрта векторот ( -4; -2) на слика 5.9, поврзете ја точката (0.5; 1) со точката (-3.5; -1), бидејќи (-3.5 – 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

Да земеме уште една точка на линијата на исто ниво, на пример, точка (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Да го пресметаме градиентот во оваа точка (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). За да го прикажеме на слика 5.9, ја поврзуваме точката (1; 0.5) со точката (-1; -3.5), бидејќи (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Да земеме уште една точка на линијата на исто ниво, но само сега во непозитивна координатна четвртина. На пример, точка (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиентот во оваа точка ќе биде еднаков на (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Да го прикажеме на слика 5.9 со поврзување на точката (-0.5; -1) со точката (3.5; 1), бидејќи (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Треба да се забележи дека во сите три разгледани случаи, градиентот ја покажува насоката на раст на нивото на функцијата (кон линијата на ниво 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Може да се докаже дека градиентот е секогаш нормален на линијата (нивоповршина) што минува низ дадена точка.

Екстреми на функција од неколку променливи

Ајде да го дефинираме концептот екстремниза функција од многу променливи.

Функција од многу променливи има f(X) во точката X (0) максимум (минимум),ако има соседство на оваа точка така што за сите точки X од ова соседство неравенките f(X)f(X (0)) () се задоволени.

Ако овие нееднаквости се задоволени како строги, тогаш се нарекува екстрем силна, а ако не, тогаш слаб.

Забележете дека вака дефинираниот екстрем е локалникарактер, бидејќи овие неравенки се задоволуваат само за одредено соседство на екстремната точка.

Неопходен услов за локален екстремум на диференцијабилна функција z=f(x 1, . . ., x n) во точка е еднаквоста на нула на сите парцијални изводи од прв ред во оваа точка:
.

Точките во кои стојат овие еднаквости се нарекуваат стационарни.

На друг начин, потребниот услов за екстрем може да се формулира на следниов начин: во екстремната точка, градиентот е нула. Може да се докаже и поопшта изјава: во екстремната точка, изводите на функцијата исчезнуваат во сите правци.

Стационарни точки треба да бидат подложени на дополнително истражување за да се утврди дали се исполнети доволни услови за постоење на локален екстрем. За да го направите ова, одреди го знакот на диференцијалот од втор ред. Ако за која било, не истовремено еднаква на нула, таа е секогаш негативна (позитивна), тогаш функцијата има максимум (минимум). Ако може да оди на нула не само со нула зголемувања, тогаш прашањето за екстремот останува отворено. Ако може да земе и позитивни и негативни вредности, тогаш нема екстрем во стационарна точка.

Во општиот случај, одредувањето на знакот на диференцијалот е прилично сложен проблем, кој нема да го разгледаме овде. За функција од две променливи може да се докаже дека ако е во неподвижна точка
, тогаш е присутен екстремумот. Во овој случај, знакот на вториот диференцијал се совпаѓа со знакот
, т.е. Ако
, тогаш ова е максимум, и ако
, тогаш ова е минимум. Ако
, тогаш во овој момент нема екстрем, и ако
, тогаш прашањето за екстремот останува отворено.

Пример 1. Најдете ги екстремите на функцијата
.

Ајде да најдеме парцијални изводи користејќи го методот на логаритамска диференцијација.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)

Исто така
.

Ајде да најдеме неподвижни точки од системот на равенки:

Така, пронајдени се четири неподвижни точки (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).

Да ги најдеме парцијалните деривати од втор ред:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Исто така
;
.

Бидејќи
, знак за изразување
зависи само од
. Забележете дека и кај двата од овие изводи именителот е секогаш позитивен, така што можете да го земете предвид само знакот на броителот, па дури и знакот на изразите x(x 2 – 3) и y(y 2 – 3). Дозволете ни да го дефинираме во секоја критична точка и да провериме дали е исполнет доволен услов за екстрем.

За точката (1; 1) добиваме 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух негативни броеви
> 0, и
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

За точката (1; -1) добиваме 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Бидејќи производ на овие бројки
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

За точката (-1; -1) добиваме (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Бидејќи производ на два позитивни броја
> 0, и
> 0, во точката (-1; -1) може да се најде минимумот. Тоа е еднакво на 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Најдете глобалномаксималната или минималната (најголемата или најмалата вредност на функцијата) е нешто покомплицирано од локалниот екстрем, бидејќи овие вредности може да се постигнат не само на стационарни точки, туку и на границата на доменот на дефиниција. Не е секогаш лесно да се проучува однесувањето на функцијата на границата на овој регион.

Кратка теорија

Градиент е вектор чија насока ја покажува насоката на најбрзото зголемување на функцијата f(x). Наоѓањето на оваа векторска величина е поврзано со определување на парцијалните деривати на функцијата. Насочениот извод е скаларна големина и ја покажува брзината на промена на функцијата кога се движи по насоката одредена од некој вектор.

Пример за решение на проблемот

Задачата

Дадена е функција, точка и вектор. Најдете:

Решението на проблемот

Наоѓање на градиент на функција

1) Најдете го градиентот на функцијата во точката:

Посакуваниот градиент:

Наоѓање на изводот во однос на насоката на векторот

2) Најдете го изводот во насока на векторот:

каде е аголот формиран од векторот и оската

Потребниот дериват во точката:

Цената е во голема мера под влијание на итноста на одлуката (од еден ден до неколку часа). Онлајн помош со испити/тестови е достапна со закажување.

Можете да оставите барање директно во разговорот, откако претходно сте ги испратиле условите за задачите и ве информирале за временската рамка за решението што ви треба. Времето на одговор е неколку минути.