Тип на лекција:учење нов материјал.

Цели на лекцијата:

  • проширување и продлабочување на разбирањето на учениците за проблемите решени со помош на аритметичка прогресија; организирање на активности за пребарување на учениците при изведување на формулата за збир на првите n членови на аритметичка прогресија;
  • развивање на способност за самостојно стекнување на нови знаења и користење на веќе стекнатото знаење за постигнување на дадена задача;
  • развивање на желбата и потребата за генерализирање на добиените факти, развивање независност.

Задачи:

  • сумирање и систематизирање на постојните знаења на тема „Аритметичка прогресија“;
  • изведе формули за пресметување на збирот на првите n членови на аритметичка прогресија;
  • учат како се применуваат добиените формули при решавање различни задачи;
  • привлече внимание на учениците на постапката за пронаоѓање на вредноста на нумеричкиот израз.

Опрема:

I. Ажурирање на основните знаења.

1. Самостојна работаво парови.

1-ва опција:

Дефинирајте ја аритметичката прогресија. Запишете формула за повторување што дефинира аритметичка прогресија. Ве молиме наведете пример за аритметичка прогресија и наведете ја нејзината разлика.

2-ра опција:

Запишете ја формулата за n-ти член на аритметичка прогресија. Најдете го 100-тиот член од аритметичката прогресија ( a n}: 2, 5, 8 …
Во тоа време, двајца студенти задна странаодборите подготвуваат одговори на истите овие прашања.
Учениците ја оценуваат работата на партнерот така што ќе ги проверат на табла. (Се предаваат листови со одговори.)

2. Игра момент.

Вежба 1.

Наставник.Мислев на некоја аритметичка прогресија. Поставете ми само две прашања за по одговорите набрзина да го именувате 7-от член од оваа прогресија. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Прашања од студенти.

  1. Кој е шестиот член на прогресијата и која е разликата?
  2. Кој е осмиот член на прогресијата и која е разликата?

Ако нема повеќе прашања, тогаш наставникот може да ги стимулира - „забрана“ за d (разлика), односно не е дозволено да се прашува на што е еднаква разликата. Можете да поставувате прашања: на што е еднаков шестиот член од прогресијата и на што е еднаков 8-ми член од прогресијата?

Задача 2.

На таблата се напишани 20 бројки: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Наставникот стои со грб кон таблата. Учениците го повикуваат бројот, а наставникот веднаш го повикува самиот број. Објасни како можам да го направам тоа?

Наставникот се сеќава на формулата за n-ти член a n = 3n – 2и, заменувајќи ги наведените вредности n, ги наоѓа соодветните вредности a n.

II. Поставување задача за учење.

Предлагам да се реши древен проблем кој датира од II милениум п.н.е., пронајден во египетски папируси.

Задача:„Нека ви се каже: поделете 10 мерки јачмен на 10 луѓе, разликата меѓу секој човек и неговиот сосед е 1/8 од мерката.

  • Како овој проблем е поврзан со темата аритметичка прогресија? (Секој следен добива 1/8 од мерката повеќе, што значи разликата е d=1/8, 10 лица, што значи n=10.)
  • Што мислите, што значат мерките број 10? (Збир на сите термини на прогресијата.)
  • Што друго треба да знаете за да може лесно и едноставно да се подели јачменот според условите на проблемот? (Прв рок на прогресија.)

Цел на часот– добивање на зависноста на збирот на членовите на прогресијата од нивниот број, првиот член и разликата и проверка дали проблемот бил правилно решен во античко време.

Пред да ја заклучиме формулата, да погледнеме како старите Египќани го решиле проблемот.

И тие го решија на следниов начин:

1) 10 мерки: 10 = 1 мерка – просечно учество;
2) 1 мерка ∙ = 2 мерки – двојно просексподелување.
Двојно просекудел е збир на акциите на 5-то и 6-то лице.
3) 2 мерки – 1/8 мерки = 1 7/8 мерки – двојно поголем удел на петтото лице.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – дел од петтина; и така натаму, можете да го најдете уделот на секоја претходна и наредна личност.

Ја добиваме низата:

III. Решавање на проблемот.

1. Работа во групи

Група I:Најдете го збирот од 20 последователни природни броеви: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Генерално

II група:Најдете го збирот на природните броеви од 1 до 100 (Легендата за малиот Гаус).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Заклучок:

III група:Најдете го збирот на природните броеви од 1 до 21.

Решение: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Заклучок:

IV група:Најдете го збирот на природните броеви од 1 до 101.

Заклучок:

Овој метод за решавање на разгледаните проблеми се нарекува „Гаус метод“.

2. Секоја група го прикажува решението на проблемот на табла.

3. Генерализирање на предложените решенија за произволна аритметичка прогресија:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Ајде да ја најдеме оваа сума користејќи слично расудување:

4. Дали го решивме проблемот?(Да.)

IV. Примарно разбирање и примена на добиените формули при решавање на задачи.

1. Проверка на решението на антички проблем со помош на формулата.

2. Примена на формулата при решавање на различни проблеми.

3. Вежби за развивање на способност за примена на формули при решавање проблеми.

А) бр.613

Со оглед на: ( а н) -аритметичка прогресија;

(а n): 1, 2, 3, ..., 1500

Најдете: S 1500

Решение: , а 1 = 1 и 1500 = 1500,

Б) Со оглед на: ( а н) -аритметичка прогресија;
(а n): 1, 2, 3,…
S n = 210

Најдете: n
Решение:

V. Самостојна работа со меѓусебна проверка.

Денис почна да работи како курир. Во првиот месец неговата плата беше 200 рубли, во секој следен месец се зголемуваше за 30 рубли. Колку заработил вкупно за една година?

Со оглед на: ( а н) -аритметичка прогресија;
a 1 = 200, d=30, n=12
Најдете: С 12
Решение:

Одговор: Денис доби 4380 рубли за годината.

VI. Упатство за домашна задача.

  1. Дел 4.3 – научете ја изведбата на формулата.
  2. №№ 585, 623 .
  3. Создадете проблем што може да се реши користејќи ја формулата за збир од првите n членови од аритметичка прогресија.

VII. Сумирајќи ја лекцијата.

1. Лист со резултати

2. Продолжи со речениците

  • Денес на час научив...
  • Научените формули...
  • Верувам дека …

3. Дали можете да го најдете збирот на броевите од 1 до 500? Кој метод ќе го користите за да го решите овој проблем?

Библиографија.

1. Алгебра, 9-то одделение. Упатство за образовните институции. Ед. Г.В. Дорофеева.М.: „Просветителство“, 2009 година.

Некои луѓе го третираат зборот „прогресија“ со претпазливост, како многу сложен термин од гранките на вишата математика. Во меѓувреме, наједноставната аритметичка прогресија е работата на таксиметарот (каде што сè уште постојат). И разбирањето на суштината (и во математиката нема ништо поважно од „разбирање на суштината“) на аритметичката низа не е толку тешко, имајќи анализирани неколку елементарни концепти.

Математичка бројна низа

Нумеричка низа обично се нарекува серија од броеви, од кои секоја има свој број.

a 1 е првиот член на низата;

и 2 е вториот член од низата;

и 7 е седмиот член од низата;

и n е n-тиот член на низата;

Сепак, ниеден произволен збир на бројки и бројки не нè интересира. Ќе го фокусираме нашето внимание на нумеричка низа во која вредноста на n-тиот член е поврзана со неговиот реден број со врска која може јасно да се формулира математички. Со други зборови: нумеричката вредност на n-тиот број е некоја функција на n.

a е вредност на член на нумеричка низа;

n - неговиот сериски број;

f(n) е функција, каде што редниот број во нумеричката низа n е аргументот.

Дефиниција

Аритметичката прогресија обично се нарекува нумеричка низа во која секој следен член е поголем (помал) од претходниот за ист број. Формулата за n-ти член на аритметичка низа е како што следува:

a n - вредноста на тековниот член на аритметичката прогресија;

a n+1 - формула на следниот број;

г - разлика (одреден број).

Лесно е да се одреди дека ако разликата е позитивна (d>0), тогаш секој следен член од серијата што се разгледува ќе биде поголем од претходниот и таквата аритметичка прогресија ќе се зголемува.

На графиконот подолу лесно може да се види зошто низата на броеви се нарекува „зголемување“.

Во случаи кога разликата е негативна (г<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Наведена вредност на членот

Понекогаш е неопходно да се одреди вредноста на кој било произволен член a n од аритметичка прогресија. Ова може да се направи со последователно пресметување на вредностите на сите членови на аритметичката прогресија, почнувајќи од првиот до саканиот. Сепак, оваа патека не е секогаш прифатлива ако, на пример, е неопходно да се најде вредноста на петилјадитиот или осуммилионитиот член. Традиционалните пресметки ќе потрае многу време. Сепак, одредена аритметичка прогресија може да се проучува со користење на одредени формули. Постои и формула за n-тиот член: вредноста на кој било член на аритметичка прогресија може да се определи како збир на првиот член на прогресијата со разликата на прогресијата, помножена со бројот на саканиот член, намалена за еден.

Формулата е универзална за зголемување и намалување на прогресијата.

Пример за пресметување на вредноста на даден член

Да го решиме следниов проблем за наоѓање на вредноста на n-тиот член на аритметичка прогресија.

Услов: постои аритметичка прогресија со параметри:

Првиот член од низата е 3;

Разликата во серијата на броеви е 1,2.

Задача: треба да ја пронајдете вредноста на 214 поими

Решение: за да ја одредиме вредноста на даден член, ја користиме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Заменувајќи ги податоците од изјавата за проблемот во изразот, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Одговор: 214-от член од низата е еднаков на 258,6.

Предностите на овој метод на пресметка се очигледни - целото решение трае не повеќе од 2 реда.

Збир на даден број поими

Многу често, во дадена аритметичка серија, неопходно е да се одреди збирот на вредностите на некои од нејзините сегменти. За да го направите ова, исто така, нема потреба да се пресметуваат вредностите на секој член и потоа да се собираат. Овој метод е применлив ако бројот на поими чиј збир треба да се најде е мал. Во други случаи, попогодно е да се користи следнава формула.

Збирот на членовите на аритметичката прогресија од 1 до n е еднаков на збирот на првиот и n-тиот член, помножен со бројот на членот n и поделен со два. Ако во формулата вредноста на n-тиот член се замени со изразот од претходниот став на статијата, добиваме:

Пример за пресметка

На пример, да решиме проблем со следниве услови:

Првиот член од низата е нула;

Разликата е 0,5.

Проблемот бара да се одреди збирот на термините од серијата од 56 до 101.

Решение. Да ја користиме формулата за одредување на количината на прогресија:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Прво, го одредуваме збирот на вредностите на 101 член на прогресијата со замена на дадените услови на нашиот проблем во формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

Очигледно, за да се дознае збирот на условите на прогресијата од 56-та до 101-та, потребно е да се одземе S 55 од S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Така, збирот на аритметичката прогресија за овој пример е:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Пример за практична примена на аритметичка прогресија

На крајот од статијата, да се вратиме на примерот на аритметичка низа дадена во првиот пасус - таксиметар (таксиметар). Да го разгледаме овој пример.

Качувањето во такси (кое вклучува 3 километри патување) чини 50 рубли. Секој следен километар се плаќа по стапка од 22 рубли/км. Растојанието на патување е 30 км. Пресметајте ги трошоците за патувањето.

1. Да ги отфрлиме првите 3 км, чија цена е вклучена во цената на слетувањето.

30 - 3 = 27 км.

2. Понатамошното пресметување не е ништо повеќе од парсирање на аритметичка бројна серија.

Број на член - број на поминати километри (минус првите три).

Вредноста на членот е збирот.

Првиот термин во овој проблем ќе биде еднаков на 1 = 50 рубли.

Разлика во прогресијата d = 22 r.

бројот што нè интересира е вредноста на (27+1)-тиот член на аритметичката прогресија - отчитувањето на метар на крајот на 27-ми километар е 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Пресметките на податоците од календарот за произволно долг период се засноваат на формули кои опишуваат одредени нумерички секвенци. Во астрономијата, должината на орбитата е геометриски зависна од растојанието на небесното тело до ѕвездата. Покрај тоа, различни серии на броеви успешно се користат во статистиката и другите применети области од математиката.

Друг тип на низа на броеви е геометриска

Геометриската прогресија се карактеризира со поголеми стапки на промени во споредба со аритметичката прогресија. Не случајно во политиката, социологијата и медицината, за да се покаже големата брзина на ширење на одредена појава, на пример, болест за време на епидемија, велат дека процесот се развива во геометриска прогресија.

N-тиот член од серијата на геометриски броеви се разликува од претходниот по тоа што се множи со некој константен број - именителот, на пример, првиот член е 1, именителот е соодветно еднаков на 2, тогаш:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - вредноста на тековниот член на геометриската прогресија;

b n+1 - формула на следниот член на геометриската прогресија;

q е именителот на геометриската прогресија (константен број).

Ако графикот на аритметичка прогресија е права линија, тогаш геометриската прогресија дава малку поинаква слика:

Како и во случајот со аритметиката, геометриската прогресија има формула за вредноста на произволен член. Секој n-ти член од геометриска прогресија е еднаков на производот од првиот член и именителот на прогресијата до моќта на n намален за еден:

Пример. Имаме геометриска прогресија со првиот член еднаков на 3 и именителот на прогресијата еднаков на 1,5. Да го најдеме 5-тиот член на прогресијата

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Збирот на даден број членови исто така се пресметува со помош на посебна формула. Збирот на првите n членови на геометриската прогресија е еднаков на разликата помеѓу производот на n-тиот член на прогресијата и неговиот именител и првиот член од прогресијата, поделен со именителот намален за еден:

Ако b n се замени со формулата дискутирана погоре, вредноста на збирот на првите n членови од броената серија што се разгледува ќе ја има формата:

Пример. Геометриската прогресија започнува со првиот член еднаков на 1. Именителот е поставен на 3. Да го најдеме збирот на првите осум члена.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

При изучувањето на алгебрата во средно училиште (9-то одделение), една од важните теми е изучувањето на нумеричките низи, кои вклучуваат прогресии - геометриски и аритметички. Во оваа статија ќе разгледаме аритметичка прогресија и примери со решенија.

Што е аритметичка прогресија?

За да се разбере ова, неопходно е да се дефинира прогресијата за која станува збор, како и да се дадат основните формули кои подоцна ќе се користат при решавање на проблемите.

Аритметичка или алгебарска прогресија е збир на подредени рационални броеви, од кои секој член се разликува од претходниот по одредена константна вредност. Оваа вредност се нарекува разлика. Односно, познавајќи го кој било член на нарачана серија на броеви и разликата, можете да ја вратите целата аритметичка прогресија.

Да дадеме пример. Следната низа од броеви ќе биде аритметичка прогресија: 4, 8, 12, 16, ..., бидејќи разликата во овој случај е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но, множеството од броеви 3, 5, 8, 12, 17 повеќе не може да се припише на видот на прогресијата што се разгледува, бидејќи разликата за тоа не е константна вредност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Сега да ги претставиме основните формули кои ќе бидат потребни за решавање на проблеми со помош на аритметичка прогресија. Со симболот a n да го означиме n-тиот член на низата, каде што n е цел број. Разликата ја означуваме со латинската буква d. Тогаш важат следните изрази:

  1. За да се одреди вредноста на n-тиот член, погодна е следната формула: a n = (n-1)*d+a 1 .
  2. За да се одреди збирот на првите n членови: S n = (a n +a 1)*n/2.

За да се разберат какви било примери на аритметичка прогресија со решенија во 9-то одделение, доволно е да се запаметат овие две формули, бидејќи сите проблеми од типот што се разгледува се засноваат на нивната употреба. Исто така, треба да запомните дека разликата во прогресијата се одредува со формулата: d = a n - a n-1.

Пример #1: наоѓање непознат поим

Да дадеме едноставен пример за аритметичка прогресија и формулите што треба да се користат за да се реши.

Нека биде дадена низата 10, 8, 6, 4, ..., во неа треба да најдете пет члена.

Од условите на проблемот веќе произлегува дека првите 4 поими се познати. Петтиот може да се дефинира на два начина:

  1. Ајде прво да ја пресметаме разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. Слично на тоа, можете да земете кои било други други членови кои стојат еден до друг. На пример, d = 4 - 6 = -2. Бидејќи е познато дека d = a n - a n-1, тогаш d = a 5 - a 4, од што добиваме: a 5 = a 4 + d. Ги заменуваме познатите вредности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
  2. Вториот метод исто така бара познавање на разликата во односната прогресија, така што прво треба да ја одредите како што е прикажано погоре (d = -2). Знаејќи дека првиот член a 1 = 10, ја користиме формулата за n бројот на низата. Имаме: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Заменувајќи го n = 5 во последниот израз, добиваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Како што можете да видите, двете решенија доведоа до истиот резултат. Забележете дека во овој пример, разликата во прогресијата d е негативна вредност. Ваквите низи се нарекуваат опаѓачки, бидејќи секој следен член е помал од претходниот.

Пример #2: разлика во прогресијата

Сега да ја комплицираме задачата малку, да дадеме пример како

Познато е дека кај некои првиот член е еднаков на 6, а седмиот член е еднаков на 18. Неопходно е да се најде разликата и да се врати оваа низа на 7-ми член.

Да ја користиме формулата за да го одредиме непознатиот член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Да ги замениме познатите податоци од условот во него, односно броевите a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. Од овој израз можете лесно да ја пресметате разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така, го одговоривме првиот дел од задачата.

За да ја вратите низата до седмиот член, треба да ја користите дефиницијата за алгебарска прогресија, односно a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d итн. Како резултат на тоа, ја враќаме целата низа: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример бр. 3: изготвување прогресија

Да го искомплицираме проблемот уште повеќе. Сега треба да одговориме на прашањето како да најдеме аритметичка прогресија. Може да се даде следниов пример: дадени се два броја, на пример - 4 и 5. Потребно е да се создаде алгебарска прогресија така што меѓу нив ќе се постават уште три члена.

Пред да започнете да го решавате овој проблем, треба да разберете какво место ќе заземат дадените броеви во идната прогресија. Бидејќи меѓу нив ќе има уште три члена, тогаш 1 = -4 и 5 = 5. Откако го утврдивме ова, преминуваме на проблемот, кој е сличен на претходниот. Повторно, за n-тиот член ја користиме формулата, добиваме: a 5 = a 1 + 4 * d. Од: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Она што го добивме овде не е цел бројна вредност на разликата, туку е рационален број, така што формулите за алгебарската прогресија остануваат исти.

Сега да ја додадеме пронајдената разлика на 1 и да ги вратиме термините што недостасуваат од прогресијата. Добиваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, што се совпаѓа со условите на проблемот.

Пример бр. 4: прв рок на прогресија

Да продолжиме да даваме примери за аритметичка прогресија со решенија. Во сите претходни задачи беше познат првиот број на алгебарската прогресија. Сега да разгледаме проблем од различен тип: нека се дадат два броја, каде што е 15 = 50 и 43 = 37. Неопходно е да се најде со кој број започнува оваа низа.

Досега користените формули претпоставуваат познавање на 1 и d. Во изјавата за проблемот, ништо не се знае за овие бројки. Сепак, ќе запишеме изрази за секој поим за кои информации се достапни: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Добивме две равенки во кои има 2 непознати величини (а 1 и г). Тоа значи дека проблемот се сведува на решавање на систем од линеарни равенки.

Најлесен начин да се реши овој систем е да се изрази 1 во секоја равенка и потоа да се споредат добиените изрази. Првата равенка: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; втора равенка: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Изедначувајќи ги овие изрази, добиваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, од каде разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (дадени се само 3 децимални места).

Знаејќи го d, можете да користите кој било од 2-те изрази погоре за 1. На пример, прво: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ако се сомневате во добиениот резултат, можете да го проверите, на пример, да го одредите 43-от термин на прогресијата, што е наведено во условот. Добиваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малата грешка се должи на фактот што во пресметките се користело заокружување на илјадити делови.

Пример бр. 5: износ

Сега да погледнеме неколку примери со решенија за збир на аритметичка прогресија.

Нека е дадена нумеричка прогресија од следната форма: 1, 2, 3, 4, ...,. Како да се пресмета збирот од 100 од овие броеви?

Благодарение на развојот на компјутерската технологија, можно е да се реши овој проблем, односно да се додадат сите броеви последователно, што компјутерот ќе го направи веднаш штом лицето ќе го притисне копчето Enter. Меѓутоа, проблемот може да се реши ментално ако обрнете внимание дека претставената серија на броеви е алгебарска прогресија, а нејзината разлика е еднаква на 1. Применувајќи ја формулата за збирот, добиваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Интересно е да се забележи дека овој проблем е наречен „Гаус“ затоа што на почетокот на 18 век познатиот Германец, сè уште имал само 10 години, можел да го реши во својата глава за неколку секунди. Момчето не ја знаело формулата за збир на алгебарска прогресија, но забележал дека ако ги соберете броевите на краевите на низата во парови, секогаш го добивате истиот резултат, односно 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а бидејќи овие збирови ќе бидат точно 50 (100 / 2), тогаш за да се добие точниот одговор доволно е да се помножи 50 со 101.

Пример бр. 6: збир на членови од n до m

Друг типичен пример за збир на аритметичка прогресија е следниов: дадени се низа броеви: 3, 7, 11, 15, ..., треба да најдете колку ќе биде еднаков збирот на членовите од 8 до 14. .

Проблемот се решава на два начина. Првиот од нив вклучува пронаоѓање непознати поими од 8 до 14, а потоа последователно собирање. Бидејќи има неколку термини, овој метод не е доста трудоинтензивен. Сепак, се предлага да се реши овој проблем со помош на втор метод, кој е поуниверзален.

Идејата е да се добие формула за збирот на алгебарската прогресија помеѓу членовите m и n, каде што n > m се цели броеви. За двата случаи, пишуваме два изрази за збирот:

  1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
  2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Бидејќи n > m, очигледно е дека вториот збир го вклучува првиот. Последниот заклучок значи дека ако ја земеме разликата меѓу овие збирови и на неа го додадеме поимот a m (во случај да се земе разликата, таа се одзема од збирот S n), ќе го добиеме потребниот одговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Неопходно е да се заменат формулите за n и a m во овој израз. Потоа добиваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Резултирачката формула е донекаде незгодна, сепак, збирот S mn зависи само од n, m, a 1 и d. Во нашиот случај, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Заменувајќи ги овие броеви, добиваме: S mn = 301.

Како што може да се види од горенаведените решенија, сите задачи се засноваат на познавање на изразот за n-тиот член и формулата за збир на множеството од први членови. Пред да започнете да решавате некој од овие проблеми, се препорачува внимателно да ја прочитате состојбата, јасно да разберете што треба да најдете и дури потоа да продолжите со решението.

Друг совет е да се стремите кон едноставност, односно, ако можете да одговорите на прашање без да користите сложени математички пресметки, тогаш треба да го направите токму тоа, бидејќи во овој случај веројатноста да направите грешка е помала. На пример, во примерот на аритметичка прогресија со решение бр. 6, може да се застане на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и пауза заедничка задачаво посебни подзадачи (во овој случај, прво најдете ги поимите a n и a m).

Доколку се сомневате во добиениот резултат, се препорачува да го проверите, како што беше направено во некои од дадените примери. Дознавме како да најдеме аритметичка прогресија. Ако го сфатите тоа, не е толку тешко.

Математиката има своја убавина, исто како сликарството и поезијата.

Рускиот научник, механичар Н.Е. Жуковски

Многу чести задачи во приемни испитиво математиката се проблеми поврзани со поимот аритметичка прогресија. За успешно решавање на ваквите проблеми, мора да имате добро познавање на својствата на аритметичката прогресија и да имате одредени вештини во нивната примена.

Прво да се потсетиме на основните својства на аритметичката прогресија и да ги претставиме најважните формули, поврзани со овој концепт.

Дефиниција. Редоследот на броеви, во кој секој нареден член се разликува од претходниот за ист број, наречена аритметичка прогресија. Во овој случај бројотнаречена прогресивна разлика.

За аритметичка прогресија важат следните формули:

, (1)

Каде. Формулата (1) се нарекува формула на општиот член на аритметичка прогресија, а формулата (2) го претставува главното својство на аритметичката прогресија: секој член од прогресијата се совпаѓа со аритметичката средина на нејзините соседни членови и .

Имајте на ум дека токму поради ова својство прогресијата што се разгледува се нарекува „аритметичка“.

Горенаведените формули (1) и (2) се генерализирани на следниов начин:

(3)

За да се пресмета износотпрво услови на аритметичка прогресијаформулата обично се користи

(5) каде и .

Ако ја земеме предвид формулата (1), тогаш од формулата (5) следува

Ако означиме, тогаш

Каде. Бидејќи , формулите (7) и (8) се генерализација на соодветните формули (5) и (6).

Особено , од формулата (5) следува, Што

Малку познато за повеќето студенти е својството на аритметичка прогресија, формулирана преку следнава теорема.

Теорема.Ако тогаш

Доказ.Ако тогаш

Теоремата е докажана.

На пример, користејќи ја теоремата, може да се покаже дека

Ајде да продолжиме да разгледуваме типични примери за решавање проблеми на тема „Аритметичка прогресија“.

Пример 1.Нека биде. Најдете .

Решение.Применувајќи ја формулата (6), добиваме . Од и , тогаш или .

Пример 2.Нека е трипати поголем, а кога се дели со количникот, резултатот е 2, а остатокот е 8. Определи и .

Решение.Од условите на примерот следува системот на равенки

Бидејќи , , и , тогаш од системот равенки (10) добиваме

Решението на овој систем на равенки е и .

Пример 3.Најдете дали и.

Решение.Според формулата (5) имаме или . Меѓутоа, користејќи го својството (9), добиваме .

Од и , тогаш од еднаквоста следи равенкатаили .

Пример 4.Најдете дали.

Решение.Според формулата (5) имаме

Сепак, користејќи ја теоремата, можеме да напишеме

Од тука и од формулата (11) добиваме .

Пример 5. Дадени:. Најдете .

Решение.Од тогаш. Меѓутоа, затоа.

Пример 6.Нека, и. Најдете .

Решение.Користејќи ја формулата (9), добиваме . Затоа, ако , тогаш или .

Бидејќи и тогаш тука имаме систем на равенки

Решавајќи го, добиваме и .

Природен корен на равенкатае .

Пример 7.Најдете дали и.

Решение.Бидејќи според формулата (3) го имаме тоа , тогаш системот на равенки следи од проблемските услови

Ако го замениме изразотво втората равенка на системот, тогаш добиваме или .

Корени квадратна равенкасеИ .

Да разгледаме два случаи.

1. Нека , тогаш . Оттогаш и тогаш.

Во овој случај, според формулата (6), имаме

2. Ако , тогаш , и

Одговор: и.

Пример 8.Познато е дека и. Најдете .

Решение.Земајќи ја предвид формулата (5) и состојбата на примерот, пишуваме и .

Ова го подразбира системот на равенки

Ако првата равенка на системот ја помножиме со 2 и потоа ја додадеме на втората равенка, ќе добиеме

Според формулата (9) имаме. Во овој поглед, произлегува од (12)или .

Оттогаш и тогаш.

Одговор:.

Пример 9.Најдете дали и.

Решение.Бидејќи , и по услов , тогаш или .

Од формулата (5) се знае, Што . Од тогаш.

Оттука, овде имаме систем на линеарни равенки

Од тука добиваме и . Земајќи ја предвид формулата (8), пишуваме .

Пример 10.Решете ја равенката.

Решение.Од дадена равенкаследува дека . Да претпоставиме дека , , и . Во овој случај .

Според формулата (1), можеме да напишеме или .

Бидејќи , тогаш равенката (13) го има единствениот соодветен корен .

Пример 11.Најдете ја максималната вредност под услов и .

Решение.Од , тогаш аритметичката прогресија што се разгледува се намалува. Во овој поглед, изразот ја зема својата максимална вредност кога е бројот на минималниот позитивен член на прогресијата.

Да ја искористиме формулата (1) и фактот, тоа и. Потоа го добиваме тоа или .

Оттогаш или . Меѓутоа, во оваа нееднаквостнајголем природен број, Затоа .

Ако вредностите на и се заменат во формулата (6), добиваме.

Одговор:.

Пример 12.Определи го збирот на сите двоцифрени природни броеви кои, кога се делат со бројот 6, оставаат остаток од 5.

Решение.Да означиме со множеството од сите двоцифрени природни броеви, т.е. . Следно, ќе конструираме подмножество кое се состои од оние елементи (броеви) од множеството кои, кога се делат со бројот 6, даваат остаток од 5.

Лесно се инсталира, Што . Очигледно, дека елементите на множествотоформираат аритметичка прогресија, во која и .

За да се утврди кардиналноста (бројот на елементи) на множеството, претпоставуваме дека . Бидејќи и , произлегува од формулата (1) или . Земајќи ја предвид формулата (5), добиваме .

Горенаведените примери за решавање проблеми во никој случај не можат да тврдат дека се исцрпни. Оваа статија е напишана врз основа на анализата современи методирешавање на типични проблеми на дадена тема. За подлабинско проучување на методите за решавање проблеми поврзани со аритметичка прогресија, препорачливо е да се повикате на списокот со препорачана литература.

1. Збирка задачи по математика за кандидати на колеџи / Ед. М.И. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 стр.

2. Супрун В.П. Математика за средношколци: дополнителни делови училишна наставна програма. – М.: Ленанд / УРСС, 2014. – 216 стр.

3. Медински М.М. Целосен курселементарна математика во задачи и вежби. Книга 2: Секвенци на броевии прогресија. – М.: Едитус, 2015. – 208 стр.

Сè уште имате прашања?

За да добиете помош од учител, регистрирајте се.

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.


На пример, низата \(2\); \(5\); \(8\); \(единаесет\); \(14\)... е аритметичка прогресија, бидејќи секој следен елемент се разликува од претходниот по три (може да се добие од претходниот со додавање три):

Во оваа прогресија, разликата \(d\) е позитивна (еднаква на \(3\)), и затоа секој следен член е поголем од претходниот. Ваквите прогресии се нарекуваат се зголемува.

Сепак, \(d\) исто така може да биде негативен број. На пример, во аритметичка прогресија \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... разликата во прогресијата \(d\) е еднаква на минус шест.

И во овој случај, секој следен елемент ќе биде помал од претходниот. Овие прогресии се нарекуваат се намалува.

Нотација на аритметичка прогресија

Напредокот е означен со мала латиница.

Броевите што формираат прогресија се нарекуваат членови(или елементи).

Тие се означуваат со иста буква како аритметичка прогресија, но со нумерички индекс еднаков на бројот на елементот по ред.

На пример, аритметичката прогресија \(a_n = \лево\( 2; 5; 8; 11; 14…\десно\)\) се состои од елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така натаму.

Со други зборови, за прогресијата \(a_n = \лево\(2; 5; 8; 11; 14…\десно\)\)

Решавање проблеми со аритметичка прогресија

Во принцип, информациите презентирани погоре се веќе доволни за да се реши речиси секој проблем со аритметичка прогресија (вклучувајќи ги и оние понудени во OGE).

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е специфицирана со условите \(b_1=7; d=4\). Најдете \(b_5\).
Решение:

Одговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени се првите три члена на аритметичка прогресија: \(62; 49; 36…\) Најдете ја вредноста на првиот негативен член од оваа прогресија..
Решение:

Ни се дадени првите елементи од низата и знаеме дека тоа е аритметичка прогресија. Односно, секој елемент се разликува од својот сосед со ист број. Ајде да дознаеме кој со одземање на претходниот од следниот елемент: \(d=49-62=-13\).

Сега можеме да ја вратиме нашата прогресија до (првиот негативен) елемент што ни треба.

Подготвени. Можете да напишете одговор.

Одговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени се неколку последователни елементи на аритметичка прогресија: \(…5; x; 10; 12,5...\) Најдете ја вредноста на елементот означен со буквата \(x\).
Решение:


За да го пронајдеме \(x\), треба да знаеме колку следниот елемент се разликува од претходниот, со други зборови, разликата во прогресијата. Да го најдеме од два познати соседни елементи: \(d=12,5-10=2,5\).

И сега лесно можеме да го најдеме она што го бараме: \(x=5+2,5=7,5\).


Подготвени. Можете да напишете одговор.

Одговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е дефинирана со следните услови: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Најдете го збирот на првите шест членови од оваа прогресија.
Решение:

Треба да го најдеме збирот на првите шест члена од прогресијата. Но, не ги знаеме нивните значења, ни е даден само првиот елемент. Затоа, прво ги пресметуваме вредностите една по една, користејќи го она што ни е дадено:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
И откако ги пресметавме шесте елементи што ни се потребни, го наоѓаме нивниот збир.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Пронајдена е потребната сума.

Одговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). Во аритметичка прогресија \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Најдете ја разликата на оваа прогресија.
Решение:

Одговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметичка прогресија

Како што можете да видите, многу проблеми за аритметичката прогресија можат да се решат едноставно со разбирање на главната работа - дека аритметичката прогресија е синџир од броеви, а секој следен елемент во овој синџир се добива со додавање на истиот број на претходниот (на разлика на прогресијата).

Сепак, понекогаш има ситуации кога одлучувањето „главно“ е многу незгодно. На пример, замислете дека во првиот пример не треба да го најдеме петтиот елемент \(b_5\), туку триста осумдесет и шестиот \(b_(386)\). Дали треба да додадеме четири \(385\) пати? Или замислете дека во претпоследниот пример треба да го најдете збирот на првите седумдесет и три елементи. Ќе ви здосади да броите...

Затоа, во такви случаи тие не ги решаваат работите „главно“, туку користат специјални формули изведени за аритметичка прогресија. А главните се формулата за n-тиот член на прогресијата и формулата за збир на \(n\) првите членови.

Формула на \(n\)тиот член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), каде што \(a_1\) е првиот член од прогресијата;
\(n\) – број на потребниот елемент;
\(a_n\) – член на прогресијата со број \(n\).


Оваа формула ни овозможува брзо да го најдеме дури тристатиот или милионитиот елемент, знаејќи го само првиот и разликата во прогресијата.

Пример. Аритметичката прогресија е специфицирана со условите: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Најдете \(b_(246)\).
Решение:

Одговор: \(b_(246)=1850\).

Формула за збир на првите n членови: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), каде



\(a_n\) – последниот сумиран член;


Пример (OGE). Аритметичката прогресија е специфицирана со условите \(a_n=3,4n-0,6\). Најдете го збирот на првите \(25\) членови од оваа прогресија.
Решение:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

За да го пресметаме збирот на првите дваесет и пет члена, треба да ја знаеме вредноста на првиот и дваесет и петтиот член.
Нашата прогресија е дадена со формулата на n-тиот член во зависност од неговиот број (за повеќе детали, видете). Ајде да го пресметаме првиот елемент со замена на еден за \(n\).

\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)

Сега да го најдеме дваесет и петтиот член со замена на дваесет и пет наместо \(n\).

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)

Па, сега можеме лесно да ја пресметаме потребната сума.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Одговорот е подготвен.

Одговор: \(S_(25)=1090\).

За збирот \(n\) од првите членови, можете да добиете друга формула: само треба да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) наместо \(a_n\) заменете ја формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Добиваме:

Формула за збир од првите n членови: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), каде

\(S_n\) – потребната сума од \(n\) првите елементи;
\(a_1\) – првиот сумиран член;
\(d\) – разлика во прогресијата;
\(n\) – број на елементи вкупно.

Пример. Најдете го збирот на првите \(33\)-ex членови на аритметичката прогресија: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Одговор: \(S_(33)=-231\).

Покомплексни проблеми со аритметичка прогресија

Сега ги имате сите информации што ви се потребни за да го решите речиси секој проблем со аритметичката прогресија. Ајде да ја завршиме темата со разгледување на проблеми во кои не само што треба да примените формули, туку и да размислите малку (во математиката ова може да биде корисно ☺)

Пример (OGE). Најдете го збирот на сите негативни членови на прогресијата: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Задачата е многу слична на претходната. Почнуваме да го решаваме истото: прво го наоѓаме \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)

Сега би сакал да го заменам \(d\) во формулата за збирот... и тука се појавува мала нијанса - не знаеме \(n\). Со други зборови, не знаеме колку термини ќе треба да се додадат. Како да дознаете? Ајде да размислиме. Ќе престанеме да додаваме елементи кога ќе го достигнеме првиот позитивен елемент. Тоа е, треба да го дознаете бројот на овој елемент. Како? Да ја запишеме формулата за пресметување на кој било елемент на аритметичка прогресија: \(a_n=a_1+(n-1)d\) за нашиот случај.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)

Ни треба \(a_n\) да стане поголемо од нула. Ајде да дознаеме на што \(n\) ќе се случи ова.

\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)

\((n-1)·0,3>19,3\) \(|: 0,3\)

Ние ги делиме двете страни на неравенката со \(0,3\).

\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)

Пренесуваме минус еден, не заборавајќи да ги смениме знаците

\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)

Ајде да пресметаме...

\(n>65.333…\)

...и излегува дека првиот позитивен елемент ќе го има бројот \(66\). Според тоа, последниот негативен има \(n=65\). За секој случај, ајде да го провериме ова.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)

Значи, треба да ги додадеме првите \(65\) елементи.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)

Одговорот е подготвен.

Одговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е специфицирана со условите: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Пронајдете го збирот од \(26\)-тиот до елементот \(42\) вклучувајќи го.
Решение:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

Во овој проблем, исто така, треба да го пронајдете збирот на елементи, но почнувајќи не од првиот, туку од \(26\)-тиот. За таков случај немаме формула. Како да се одлучи?
Лесно е - за да го добиете збирот од \(26\)-то до \(42\)-то, прво мора да го најдете збирот од \(1\)-то до \(42\)-то, а потоа да го одземете од него збирот од првиот до \(25\)ти (види слика).


За нашата прогресија \(a_1=-33\), и разликата \(d=4\) (на крајот на краиштата, ги додаваме четирите на претходниот елемент за да го најдеме следниот). Знаејќи го ова, го наоѓаме збирот на првите \(42\)-y елементи.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Сега збирот на првите \(25\) елементи.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cточка 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

И, конечно, го пресметуваме одговорот.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Одговор: \(S=1683\).

За аритметичка прогресија, има уште неколку формули кои не ги разгледавме во оваа статија поради нивната мала практична корисност. Сепак, можете лесно да ги најдете.