СОУ бр.45.

Московски град.

Ученик од 10-то одделение „Б“ Горохов Евгениј

Предмети (нацрт).

Вовед во теоријата на матрици и детерминанти.

1. Матрици ..................................................... .......................................................... ................................................... ......................................

1.1 Концепт на матрица................................................ ................................................... ..........................................................

1.2 Основни операции на матрици...................................... .......................................................... ............. .

2. Детерминанти................................................ .......................................................... ................................................... .........

2.1 Концептот на детерминанта................................................ .......................................................... ...................................

2.2 Пресметка на детерминанти................................................ ................................................... ...........................

2.3 Основни својства на детерминантите................................................ .......................................................... .............

3. Системи на линеарни равенки................................................ .......................................................... .............. .

3.1 Основни дефиниции................................................ .................................................... ..........................................

3.2 Услов за конзистентност за системи на линеарни равенки................................. ..........................

3.3 Решавање системи на линеарни равенки со помош на Крамеровиот метод................................... ........... ..........

3.4 Решавање системи на линеарни равенки со помош на Гаусовиот метод................................... ...........................

4. Инверзна матрица................................................ ................................................... ..........................................................

4.1 Концепт на инверзна матрица................................................. .......................................................... ................................

4.2 Пресметка на инверзна матрица................................................ .......................................................... ............................

Библиографија...................................................... ................................................ .....................................

Матрица е правоаголна табела со броеви која содржи одредена количинам линии и одреден бројn колони. Броевим Иn се нарекуваат нарачкиматрици. Аком = n , матрицата се нарекува квадрат, а бројотm = n -- неа во ред.

Основните аритметички операции на матриците се множење матрица со број, собирање и множење матрици.

Ајде да продолжиме со дефинирање на основните операции на матриците.

Додавање на матрица: Збир на две матрици, на пример:АИБ, имајќи ист број на редови и колони, со други зборови, исти нарачким Иn наречена матрица C = (СОij)(i = 1, 2, …m; j = 1, 2, ...n)истите наредбимИn, елементиЦијкои се еднакви.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) (1.2 )

За да се означи збирот на две матрици, се користи ознакатаC = A + B.Операцијата на собирање матрици се нарекува нивна додавање

Значи по дефиниција имаме:

+ =

Од дефиницијата за збир на матрици, или поточно од формулата ( 1.2 ) веднаш следува дека операцијата за собирање матрици ги има истите својства како операцијата за собирање реални броеви, имено:

1) комутативно својство:А + Б = Б + А

2) комбинирање на имотот:(A + B) + C = A + (B + C)

Овие својства овозможуваат да не се грижите за редоследот на термините на матрицата при додавање на две или повеќе матрици.

Множење на матрица со број :

Матричен производ за реален број се нарекува матрицаC = (Cij) (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ..., n), чии елементи се еднакви

Циј = Aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). (1.3 )

За да се означи производ на матрица и број, се користи ознакатаC= АилиC=A . Операцијата на составување производ на матрица со број се нарекува множење на матрицата со овој број.

Директно од формулата ( 1.3 ) јасно е дека множењето матрица со број ги има следните својства:

1) дистрибутивно својство во однос на збирот на матрици:

(А + Б) = А+ Б

2) асоцијативно својство во однос на нумерички фактор:

() A= ( А)

3) дистрибутивно својство во однос на збирот на броеви:

( + ) A= А + А.

Коментар :Разлика на две матрици А ИБ од идентични редови природно е да се нарече таква матрицаВ од истите наредби, кои во сума со матрицатаБ дава матрицаА . За да се означи разликата помеѓу две матрици, се користи природна нотација:C = A - B.

Множење на матрицата :

Матричен производA = (Aij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n), имајќи наредби соодветно еднаквим Иn , по матрицаB = (Биј) (i = 1, 2, ..., n;

j = 1, 2, ..., p), имајќи наредби соодветно еднаквиn Истр , се нарекува матрицаC=(СОij) (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ... , p), со нарачки соодветно еднаквим Истр , и елементиЦиј, дефинирана со формулата

Cij = (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., p) (1.4 )

Да се означи производ на матрицаА до матрицатаБ користете снимање

C=AB. Операција на составување матричен производА до матрицатаБ повикани множењеовие матрици. Од погоре формулираната дефиниција произлегува дека матрица А не може да се помножи со ниедна матрица Б : потребно е бројот на матрични колониА беше еднаквиброј на матрични редовиБ . Со цел за двете делаАБ ИБ.А. не само што беа дефинирани, туку имаа и ист редослед, потребно е и доволно двете матрициА ИБ беа квадратни матрици од ист ред.

Формула ( 1.4 ) е правило за составување матрични елементиВ ,

што е производ на матрицатаА до матрицатаБ . Ова правило може да се формулира вербално: Елемент Циј , стои на раскрсницата јас та линија и j- та матрична колона C=AB , е еднаков збирот на парните производи на соодветните елементи јас та линија матрици А И j- та матрична колона Б . Како пример за примена на ова правило ја прикажуваме формулата за множење квадратни матрици од втор ред

Од формулата ( 1.4 ) следуваат следните својства на матричниот производ:Адо матрицатаБ :

1) асоцијативно својство: (AB)C= A(BC);

2) дистрибутивно својство во однос на збирот на матрици:

(A + B) C = AC + BCилиA (B + C) = AB + AC.

Има смисла да се постави прашањето за пермутациското својство на производ од матрици само за квадратни матрици од ист ред. Елементарните примери покажуваат дека производот од две квадратни матрици од ист ред, општо земено, нема својство на комутација. Всушност, ако ставиме

A = , B =

Обично се нарекуваат истите матрици за кои производот има својство на комутација патување.

Тема 1. Матрици и матрични детерминанти

Што учиме:

Основни поими на линеарна алгебра: матрица, детерминанта.

Што ќе научиме:

Врши операции на матрици;

Пресметај со детерминанти од втор и трет ред.

Тема 1.1. Концептот на матрица. Дејства на матрици

∆ Матрица е правоаголна табела која се состои од редови и колони, исполнета со некои математички предмети.

Матриците се означуваат со големи латински букви, самата табела е затворена во загради (поретко во квадрат или други форми).

Елементи А ijповикани елементи на матрицата . Прв индекс јас– број на линија, вторј– број на колона. Најчесто елементите се броеви.

Влез „матрица“ Аима големина м× n» значи дека зборуваме за матрица која се состои одмлинии и nколони.

Ако м = 1, а n > 1, тогаш матрицата ематрица - ред . Ако м > 1, а n = 1, тогаш матрицата ематрица - колона .

Матрица во која бројот на редови се совпаѓа со бројот на колони (m= n), повикан квадрат .

Елементи а 11 , а 22 ,…, а нн квадратна матрицаА (големина n× n) форма главна дијагонала , елементи а 1 n , а 2 n -1 ,…, а n 1 - странична дијагонала .

Во матрицата
елементи 5; 7 ја формираат главната дијагонала, елементите –5; 8 – странична дијагонала.

Матрици А И Б се нарекуваат еднакви (А= Б), ако имаат иста големина и нивните елементи во исти позиции се совпаѓаат, т.е.А ij = б ij .

Матрица на идентитет е квадратна матрица во која елементите на главната дијагонала се еднакви на еден, а останатите елементи се еднакви на нула. Матрицата за идентитет обично се означува Е.

Матрица транспонирани до матрицата А со големинам× n, се нарекува матрица АТ големина n× м, добиени од матрицата А, ако нејзините редови се запишани во колони, а нејзините колони во редови.

Аритметички операции на матрици.

Да најде збир на матрици А И Б со иста димензија, неопходно е да се додадат елементи со исти индекси (стоејќи на истите места):

Собирањето на матрицата е комутативно, односно A + B = B + A.

Да најде разлика во матрицата А И Б со иста димензија, неопходно е да се најде разликата на елементите со исти индекси:

До множи матрица Апо број к, Неопходно е да се помножи секој елемент од матрицата со овој број:

Работа матрици АБ може да се дефинира само за матрициА големина м× n И Б големина n× стр, т.е. број на матрични колониА мора да биде еднаков на бројот на матрични редовиВО. При што А· Б= В, матрица Вима големина м× стр, и неговиот елемент в ij се наоѓа како скаларен производјастиматрични редови Ана јти матрична колонаБ: ( јас=1,2,…, м; ј=1,2,…, стр).

!! Всушност, секоја линија е потребнаматрици А (стои лево) множете се скаларно со секоја матрична колона Б (стои од десната страна).

Производот на матриците не е комутативен, т.еА·В ≠ В·А . ▲

☺ Неопходно е да се анализираат примери за да се консолидира теоретскиот материјал.

Пример 1. Одредување на големината на матриците.

Пример 2. Дефиниција на матрични елементи.

Во матричниот елемент А 11 = 2, А 12 = 5, А 13 = 3.

Во матричниот елемент А 21 = 2, А 13 = 0.

Пример 3: Изведување на транспозиција на матрица.

Пример 4. Изведување операции на матрици.

Најдете 2 А- Б, Ако , .

Решение. .

Пример 5. Најдете го производот на матриците И .

Решение. Големина на матрицатаА – 3 × 2 , матрици ВО – 2 × 2 . Затоа производотА·Б можете да го најдете. Добиваме:

Работа VAне може да се најде.

Пример 6. Најдете А 3 ако А =
.

Решение. А 2 = ·=
=
,

А 3 = ·=
=
.

Пример 6. Најдете 2 А 2 + 3 А + 5 Ена
,
.

Решение. ,

,
,

,
.

Задачи за завршување

1. Пополнете ја табелата.

Матрица	Големина	Тип на матрица	Матрични елементи
Матрица	Големина	Тип на матрица		а 12	а 23	а 32	а 33

2. Вршете операции на матрици
И
:

3. Изведете множење на матрицата:

4. Транспонирајте матрици:

? 1. Што е матрица?

2. Како да се разликува матрицата од другите елементи на линеарната алгебра?

3. Како да се одреди големината на матрицата? Зошто е ова потребно?

4. Што значи записот? А ij ?

5. Дајте објаснување за следните поими: главна дијагонала, секундарна дијагонала на матрицата.

6. Какви операции може да се извршат на матрици?

7. Објасни ја суштината на операцијата на множење на матрицата?

8. Дали може да се множат какви било матрици? Зошто?

Тема 1.2. Детерминанти од втор и трет ред : м методи за нивна пресметка

∆ Ако A е квадратна матрица n-ти ред, тогаш можеме да се поврземе со него повикан број детерминанта n-ти реди се означува со |A|. Односно, детерминантата се пишува како матрица, но наместо загради се става во прави загради.

!! Понекогаш определувачите се нарекуваат детерминанти на англиски начин, т.е = Дет А.

Детерминанта од 1 ред (детерминанта на матрицата А со големина1 × 1 ) е самиот елемент што го содржи матрицата А, т.е.

Детерминанта од 2 ред (детерминанта на матрицатаГолемина 2 × 2 ) е број што може да се најде користејќи го правилото:

(производот на елементите на главната дијагонала на матрицата минус производот на елементите на секундарната дијагонала).

Детерминанта од 3 ред (детерминанта на матрицатаГолемина 3 × 3 ) е број што може да се најде со користење на правилото „триаголници“:

За да ги пресметате детерминантите од 3 ред, можете да користите поедноставно правило - правило за насоки (паралелни линии).

Правило за насоки : Со правото на детерминантата се додава на првите две колони, производите на елементите на главната дијагонала и на дијагоналите паралелни со неа се земаат со знак плус; а производите на елементите на секундарната дијагонала и дијагоналите паралелни со неа се со знак минус.

!! За да ги пресметате детерминантите, можете да ги користите нивните својства, кои важат за детерминанти од кој било ред.

Својства на детерминантите:

1° . Детерминантата на матрицата А не се менува при транспонирање, т.е. |А| = |АТ |. Ова својство ја карактеризира еднаквоста на редовите и колоните.

2° . При преуредување на два реда (две колони), детерминантата ја задржува својата претходна вредност, но знакот е обратен.

4° . Ако која било редица или колона содржи заеднички фактор, тогаш може да се извади од знакот за детерминанта.

Заклучок 4.1. Ако сите елементи од која било серија на детерминанта се еднакви на нула, тогаш детерминантата е еднаква на нула.

Заклучок 4.2. Ако елементите на која било серија на детерминанта се пропорционални со соодветните елементи на серија паралелна со неа, тогаш детерминантата е еднаква на нула.▲

☺ Неопходно е да се анализираат правилата за пресметување на детерминантите.

Пример 1: Пресметкадетерминанти од втор ред,
.

Решение.

Метрички и нормализирани простори.

Евклидски и унитарни простори.

Евклидски простори. Точка производ во Евклидов простор и неговите својства.

Должина на вектор во Евклидов простор, агол помеѓу вектори. Неравенка на Коши-Бунјаковски и неравенство на триаголник.

Ортогонални и ортонормални системи на вектори во Евклидов простор. Точка производ на ортонормална основа.

Штурмовиот процес на ортогонализација на систем од вектори.

Изоморфизам на Евклидските простори.

Унитарни простори. Скаларниот производ во унитарен простор и неговите својства.

Должина на векторот во унитарен простор. Неравенка на Коши-Бунјаковски и неравенство на триаголник.

Ортогонални и ортонормални системи во унитарен простор. Точка производ на ортонормална основа.

Ортогонално дополнување на потпростор. Својства на ортогоналниот комплемент.

Претставување на простор како директен збир на потпростор и неговиот ортогонален комплемент.

Ортогонална проекција и ортогонална компонента на вектор на потпростор.

Растојанието помеѓу вектор и потпростор, вектор и колектор.

Аголот помеѓу векторот и потпросторот на Евклидовиот простор, аголот помеѓу векторот и колекторот на Евклидовиот простор.

Метрички простори. Граница на низа во метрички простор.

Топки во метрички простор. Ограничени сетови. Гранични точки.

Комплетност на метричките простори. Теорема за вгнездени топки.

Нормализирани простори. Врска помеѓу нормирани и метрички простори.

Координативно-мудра конвергенција и конвергенција на норми, врската меѓу нив. Комплетност на нормализирани простори.

Линеарни функционалности на линеарен простор. Простор на линеарни функционалности.

Билинеарни функционалности на линеарен простор. Симетрични и антисиметрични биланеарни функционалности.

Повеќелинеарни функционалности на линеарен простор. Симетрични, антисиметрични, апсолутно симетрични и апсолутно антисиметрични повеќелинеарни функционалности.

Детерминантата на квадратна матрица како мултилинеарна апсолутно антисиметрична функционалност. Формули за пресметување на детерминанти од втор и трет ред.

Својства на детерминантите.

Разложување на детерминантата на елементи од ред или во елементи на колона.

Малолетници од ред, нивните алгебарски комплементи. Лапласова теорема.

Начин за пресметување на детерминантите на редоследот со нивно намалување во триаголен облик.

Метод за идентификација на линеарни фактори при пресметување на детерминантите на редот. Вандермонд детерминанта.

Метод на рекурентни односи при пресметување на детерминантата на редот.

Метод на претставување на детерминанта како збир на две детерминанти при пресметување на детерминантите на редот.

Метод за промена на елементите на детерминантата при пресметување на детерминантите на редот.

Детерминанти од втор и трет ред.

Се повикуваат броевите m и n димензииматрици.

Матрицата се нарекува квадрат, ако m = n. Бројот n во овој случај се нарекува во редквадратна матрица.

Секоја квадратна матрица може да се поврзе со број кој е уникатно определен со користење на сите елементи на матрицата. Овој број се нарекува детерминанта.

Детерминанта од втор реде број добиен со помош на елементите на квадратна матрица од 2-ри ред како што следува: .

Во овој случај, од производот на елементите лоцирани на таканаречената главна дијагонала на матрицата (од горниот лев кон долниот десен агол), се одзема производот на елементите лоцирани на втората или секундарната дијагонала. .

Детерминанта од трет реде број определен со користење на елементите на квадратна матрица од 3 ред како што следува:

Коментар. За полесно да ја запомните оваа формула, можете да го користите таканареченото правило Крамер (триаголници). Тоа е вака: елементите чии производи се вклучени во детерминантата со знакот „+“ се распоредени на следниов начин:

Формирање на два триаголници, симетрични во однос на главната дијагонала. Елементите чии производи се вклучени во детерминантата со знакот „-“ се наоѓаат на сличен начин во однос на секундарната дијагонала:

14. Детерминанти од ти ред. (детерминанти од повисок ред)

Детерминанта nри редослед што одговара на матрицата не,бројот се вика:

Основни методи за пресметување детерминанти:

1) Метод за намалување на нарачката Детерминантата се заснова на врската: (1)

Каде се нарекува алгебарски комплемент на тиот елемент. Малолетнитиот елемент се нарекува детерминанта n-1редослед, добиен од оригиналната детерминанта со бришење јас-таа линија и јта колона.

Релацијата (1) се нарекува проширување на детерминантата во јас- таа линија. Слично на тоа, можеме да го напишеме проширувањето на детерминантата по колона:

Теорема:За која било квадратна матрица важи еднаквоста ,

каде и е симболот Кронекер

2) Начин на редукција во триаголна форма се заснова на седмото својство на детерминантите.

Пример: Пресметај ја детерминантата: Одземи ја првата линија од сите останати.

3) Метод на рекурентна врска овозможува да се изрази дадена детерминанта преку детерминанта од ист тип, но од понизок ред.

Пермутации, инверзии.

Било кој распоред на броевите 1, 2, ..., nпо некој конкретен редослед, наречен преуредување од nзнаци (броеви).

Општ поглед на пермутацијата: .

Ниту еден од нив не се појавува двапати во пермутација.

Пермутацијата се нарекува дури , ако неговите елементи сочинуваат парен број на инверзии, и чудно во спротивно.

Броевите k и p во пермутацијата се инверзија (нарушување), ако k > p, но k доаѓа пред p во оваа пермутација.

Три својства на пермутациите.

Сопственост 1:Бројот на различни пермутации е еднаков на ( , гласи: nфакторски“).

Доказ.Бројот на пермутации се совпаѓа со бројот на начини на кои може да се состават различни пермутации. При составување пермутации како ј 1 можете да земете кој било од броевите 1, 2, ..., n, што дава nможности. Ако ј 1 е веќе избрано, а потоа како ј 2 можете да земете еден од преостанатите n– 1 број и бројот на начини на кои можете да изберете ј 1 и ј 2 ќе биде еднаков, итн. Последниот број во пермутацијата може да се избере само на еден начин, што дава начини, а со тоа и пермутации.

Сопственост 2:Секоја транспозиција го менува паритетот на пермутацијата.

Доказ.Случај 1.Транспонираните броеви се во пермутација еден до друг, т.е. изгледа како (..., к,стр, ...), овде елипсата (...) означува броеви кои остануваат на своите места при транспозиција. Транспозицијата ја претвора во пермутација на формата (..., стр, к,...). Во овие пермутации, секој од броевите к,Рги прави истите инверзии при што бројките остануваат на место. Доколку бројките кИ стрне сте претходно составиле инверзии (т.е. к < Р), тогаш во новата пермутација ќе се појави друга инверзија и бројот на инверзии ќе се зголеми за една; ако кИ Рпретставуваше инверзија, а потоа по транспонирањето бројот на инверзии ќе се намали за една. Во секој случај, паритетот на пермутацијата се менува.

Сопственост 3:Кога ќе се преуреди, детерминантата го менува знакот.

17. Својства на детерминантите: детерминанта на транспонирана матрица, замена на редови во детерминантата, детерминанта на матрица со идентични редови.

Имотот 1.Детерминантата не се менува при транспозиција, т.е.

Доказ.

Коментар. Следниве својства на детерминантите ќе бидат формулирани само за низи. Покрај тоа, од својството 1 следува дека колоните ќе ги имаат истите својства.

Имотот 6. При преуредување на два реда од детерминанта, таа се множи со –1.

Доказ.

Имотот 4.Детерминантата која има две еднакви низи е 0:

Доказ:

18. Својства на детерминантите: разложување на детерминанта во низа.

Малолетниелемент на детерминанта е детерминанта која се добива од даден елемент со вкрстување на редот и колоната во кои се појавува избраниот елемент.

Ознака: избраниот елемент на детерминантата, неговата мала.

Пример. За

Алгебарски комплементелементот на детерминантата се нарекува негов минор ако збирот на индексите на овој елемент i+j е парен број, или бројот спротивен на минорот ако i+j е непарен, т.е.

Да разгледаме уште еден начин за пресметување на детерминантите од трет ред - таканареченото проширување на ред или колона. За да го направите ова, ја докажуваме следнава теорема:

Теорема:Детерминантата е еднаква на збирот на производите на елементите на која било од нејзините редови или колони и нивните алгебарски комплементи, т.е. каде што i=1,2,3.

Доказ.

Да ја докажеме теоремата за првиот ред од детерминантата, бидејќи за која било друга редица или колона може да се спроведе слично расудување и да се добие истиот резултат.

Ајде да најдеме алгебарски комплементи на елементите од првиот ред:

Можете сами да го докажете ова својство со споредување на вредностите на левата и десната страна на еднаквоста пронајдена со помош на Дефиниција 1.5.

СОУ бр.45.

Московски град.

Ученик од 10-то одделение „Б“ Горохов Евгениј

Предмети (нацрт).

Вовед во теоријата на матрици и детерминанти .

1996 година

1. Матрици.

1.1 Концептот на матрица.

Матрица е правоаголна табела со броеви која содржи одредена количина м линии и одреден број n колони. Броеви м И n се нарекуваат нарачки матрици. Ако м = n , матрицата се нарекува квадрат, а бројот m = n - неа во ред .

1.2 Основни операции на матрици.

Основните аритметички операции на матриците се множење матрица со број, собирање и множење матрици.

Ајде да продолжиме со дефинирање на основните операции на матриците.

Додавање на матрица : Збир на две матрици, на пример: А И Б , имајќи ист број на редови и колони, со други зборови, исти нарачки м И n наречена матрица C = ( СО ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, ...n) истите наредби м И n , елементи Циј кои се еднакви.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) ( 1.2 )

За да се означи збирот на две матрици, се користи ознаката C = A + B. Операцијата на собирање матрици се нарекува нивна додавање

Значи по дефиниција имаме:

+ =

Од дефиницијата за збир на матрици, или поточно од формулата ( 1.2 ) веднаш следува дека операцијата за собирање матрици ги има истите својства како операцијата за собирање реални броеви, имено:

комутативно својство: А + Б = Б + А

комбинирање на имотот: (A + B) + C = A + (B + C)

Множење на матрица со број :

Матричен производ до реален број наречена матрица C = (Cij) (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ..., n) , чии елементи се еднакви

Циј = Aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). ( 1.3 )

За да се означи производ на матрица и број, се користи ознаката C= А или C=A . Операцијата на составување производ на матрица со број се нарекува множење на матрицата со овој број.

Директно од формулата ( 1.3 ) јасно е дека множењето матрица со број ги има следните својства:

дистрибутивно својство во однос на збирот на матрици:

( А + Б) = А+ Б

асоцијативно својство во однос на нумерички фактор:

( ) A= ( А)

дистрибутивно својство во однос на збирот на броеви:

( + ) A= А + А .

Коментар : Разлика на две матрици А И Б од идентични редови природно е да се нарече таква матрица В од истите наредби, кои во сума со матрицата Б дава матрица А . За да се означи разликата помеѓу две матрици, се користи природна нотација: C = A - B.

Множење на матрицата :

Матричен производ A = (Aij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) , имајќи наредби соодветно еднакви м И n , по матрица B = (Биј) (i = 1, 2, ..., n;

j = 1, 2, ..., p) , имајќи наредби соодветно еднакви n И стр , се нарекува матрица C= (СО ij) (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ... , p) , со нарачки соодветно еднакви м И стр , и елементи Циј , дефинирана со формулата

Циј = (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., p) ( 1.4 )

Да се означи производ на матрица А до матрицата Б користете снимање

C=AB . Операција на составување матричен производ А до матрицата Б повикани множење овие матрици. Од погоре формулираната дефиниција произлегува дека матрица А не може да се помножи со ниедна матрица Б : потребно е бројот на матрични колони А беше еднакви број на матрични редови Б . Со цел за двете дела АБ И Б.А. не само што беа дефинирани, туку имаа и ист редослед, потребно е и доволно двете матрици А И Б беа квадратни матрици од ист ред.

Формула ( 1.4 ) е правило за составување матрични елементи В ,

што е производ на матрицата А до матрицата Б . Ова правило може да се формулира вербално: Елемент Циј , стои на раскрсницата јас та линија и j- та матрична колона C=AB , е еднаков збирот на парните производи на соодветните елементи јас та линија матрици А И j- та матрична колона Б . Како пример за примена на ова правило ја прикажуваме формулата за множење квадратни матрици од втор ред

Од формулата ( 1.4 ) следуваат следните својства на матричниот производ: А до матрицата Б :

асоцијативно својство: ( AB)C = A(BC);

дистрибутивно својство во однос на збирот на матрици:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Има смисла да се постави прашањето за пермутациското својство на производ од матрици само за квадратни матрици од ист ред. Елементарните примери го покажуваат тоа Производите од две квадратни матрици од ист ред, општо земено, немаат својство на комутација. Всушност, ако ставиме

A= , Б = , Тоа AB = , А БА =

Обично се нарекуваат истите матрици за кои производот има својство на комутација патување.

Меѓу квадратните матрици, ја истакнуваме класата на т.н дијагонала матрици, од кои секоја има елементи лоцирани надвор од главната дијагонала еднаква на нула. Меѓу сите дијагонални матрици со совпаѓачки елементи на главната дијагонала, две матрици играат особено важна улога. Првата од овие матрици се добива кога сите елементи на главната дијагонала се еднакви на една и се нарекува идентитетска матрица n- Е . Втората матрица се добива со сите елементи еднакви на нула и се нарекува нулта матрица n- ред и се означува со симболот О . Да претпоставиме дека постои произволна матрица А , Потоа

AE=EA=A , АО=ОА=О .

Првата од формулите ја карактеризира посебната улога на идентитетската матрица Е , слично на улогата што ја игра бројот 1 при множење на реални броеви. Што се однесува до посебната улога на нултата матрица ЗА , тогаш тоа се открива не само со втората од формулите, туку и со елементарната проверлива еднаквост: А+О=О+А=А . Концептот на нулта матрица може да се воведе не за квадратни матрици.

2. Детерминанти.

2.1 Концептот на детерминанта.

Пред сè, треба да запомните дека детерминантите постојат само за матрици од квадратен тип, бидејќи нема детерминанти за матрици од други типови. Во теоријата на системи на линеарни равенки и во некои други прашања, погодно е да се користи концептот детерминанта , или детерминанта .

2.2 Пресметка на детерминанти.

Размислете кои било четири броеви напишани во форма на матрица два во редови и секој две колони , Детерминанта или детерминанта , составен од броевите во оваа табела, е бројот ад-пр.н.е , означено на следниов начин: . Таквата детерминанта се нарекува одредница од втор ред , бидејќи за нејзино составување е земена табела од два реда и две колони. Броевите што ја сочинуваат детерминантата се нарекуваат нејзини елементи ; во исто време велат дека елементите а И г Шминка главна дијагонала детерминанта и елементите б И в неговиот странична дијагонала . Може да се види дека детерминантата е еднаква на разликата на производите од парови елементи лоцирани на нејзината главна и секундарна дијагонала. Детерминантата на третиот и кој било друг ред е приближно иста, имено: Да речеме дека имаме квадратна матрица . Детерминантата на следната матрица е следниов израз: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Како што можете да видите, се пресметува прилично лесно ако се сеќавате на одредена низа. Со позитивен знак се главната дијагонала и триаголниците формирани од елементите, кои имаат страна паралелна со главната дијагонала, во овој случај тоа се триаголници a12a23a31 , a13a21a32 .

Страничната дијагонала и триаголниците паралелни со неа имаат негативен предзнак, т.е. a11a23a32, a12a21a33 . На овој начин може да се најдат детерминанти од кој било ред. Но, има случаи кога овој метод станува доста комплициран, на пример, кога има многу елементи во матрицата, а за да се пресмета детерминантата треба да потрошите многу време и внимание.

Постои полесен начин да се пресмета детерминантата n- ај ред, каде n 2 . Ајде да се согласиме секој елемент да го наречеме минор Ај матрици n- детерминанта од прв ред што одговара на матрицата што се добива од матрицата како резултат на бришење јас та линија и j- та колона (таа редица и онаа колона на чиј пресек има елемент Ај ). Мала елемент Ај ќе означиме со симболот . Во оваа нотација, горниот индекс го означува бројот на редот, долниот индекс бројот на колоната и лентата горе М значи дека наведениот ред и колона се прецртани. Детерминанта на редот n , што одговара на матрицата, го нарекуваме бројот еднаков на и се означува со симболот .

Теорема 1.1 Без оглед на бројот на линијата јас ( i =1, 2…, n) , за детерминантата n- валидна е формулата за прв ред на големина

= det A =

повикани јас- та линија . Нагласуваме дека во оваа формула експонентот на кој е подигнат бројот (-1) е еднаков на збирот на броевите на редовите и колоните на чиј пресек се наоѓа елементот. Ај .

Теорема 1.2 Без оглед на бројот на колоната ј ( j = 1, 2…, n) , за детерминантата n валидна е формулата за по ред

= det A =

повикани проширување на оваа детерминанта во j- та колона .

2.3 Основни својства на детерминантите.

Детерминантите имаат и својства кои ја олеснуваат задачата за нивно пресметување. Значи, подолу утврдуваме голем број својства што ги има произволна детерминанта n -ти ред.

1 . Својство за еднаквост на редови-колона . Транспонирање на која било матрица или детерминанта е операција како резултат на која редовите и колоните се заменуваат додека се одржува нивниот редослед. Како резултат на транспозиција на матрицата А добиената матрица се нарекува матрица, наречена транспонирана во однос на матрицата А и се означува со симболот А .

Првото својство на детерминантата е формулирано на следниов начин: при транспозиција се зачувува вредноста на детерминантата, т.е. = .

2 . Својство на антисиметрија при преуредување два реда (или две колони) . Кога два реда (или две колони) се заменуваат, детерминантата ја задржува својата апсолутна вредност, но го менува знакот во спротивното. За детерминанта од втор ред, ова својство може да се потврди на елементарен начин (од формулата за пресметување на детерминантата од втор ред веднаш следи дека детерминантите се разликуваат само во знакот).

3 . Линеарно својство на детерминантата. Ќе кажеме дека некоја низа ( а) е линеарна комбинација на другите две жици ( б И в ) со коефициенти И . Линеарното својство може да се формулира на следниов начин: ако во детерминантата n -ти ред некои јас -тиот ред е линеарна комбинација од два реда со коефициенти И , Тоа = + , Каде

– детерминанта која има јас -тиот ред е еднаков на еден од двата реда од линеарната комбинација, а сите други редови се исти како , А - детерминанта што има јас- Низата i е еднаква на втората од двете низа, а сите други низи се исти како .

Овие три својства се главните својства на детерминантата, откривајќи ја нејзината природа. Следниве пет својства се логични последици три главни својства.

Заклучок 1. Детерминанта со две идентични редови (или колони) е еднаква на нула.

Заклучок 2. Множење на сите елементи од некоја редица (или некоја колона) на детерминанта со број а е еквивалентно на множење на детерминантата со овој број а . Со други зборови, заедничкиот фактор на сите елементи од одредена редица (или некоја колона) на детерминанта може да се извади од знакот на оваа детерминанта.

Заклучок 3. Ако сите елементи на одредена редица (или некоја колона) се еднакви на нула, тогаш самата детерминанта е еднаква на нула.

Заклучок 4. Ако елементите на два реда (или две колони) на детерминанта се пропорционални, тогаш детерминантата е еднаква на нула.

Заклучок 5. Ако на елементите на одредена редица (или некоја колона) од детерминантата ги додадеме соодветните елементи на друга редица (друга колона), множење со произволен фактор , тогаш вредноста на детерминантата не се менува. Заклучокот 5, како и линеарното својство, дозволува поопшта формулација, која ќе ја дадам за низите: ако на елементите на одредена редица од детерминанта ги додадеме соодветните елементи на низата што е линеарна комбинација од неколку други редови. на оваа детерминанта (со какви било коефициенти), тогаш вредноста на детерминантата нема да се промени. Заклучокот 5 е широко користен во конкретната пресметка на детерминантите.

3. Системи на линеарни равенки.

3.1 Основни дефиниции.

…….

3.2 Услов за компатибилност на системи на линеарни равенки.

…….

3.3 Решавање системи на линеарни равенки со помош на методот Крамер.

Познато е дека со помош на матрици можеме да решиме различни системи на равенки, а овие системи можат да бидат од која било големина и да имаат кој било број на променливи. Со неколку изводи и формули, решавањето на огромни системи на равенки станува доста брзо и полесно.

Конкретно, ќе ги опишам методите Крамер и Гаус. Најлесен начин е методот Крамер (за мене), или како што уште се нарекува, формулата Крамер. Значи, да речеме дека имаме некој систем на равенки . Главната детерминанта, како што веќе забележавте, е матрица составена од коефициентите на променливите. Тие се појавуваат и по редослед на колони, т.е. првата колона ги содржи коефициентите што се наоѓаат во x , во втората колона на y , и така натаму. Ова е многу важно, бидејќи во следните чекори секоја колона со коефициенти за променлива ќе ја замениме со колона од одговори на равенките. Така, како што реков, колоната на првата променлива ја заменуваме со колоната за одговор, потоа во втората, секако се зависи од тоа колку променливи треба да најдеме.

1 = , 2 = , 3 = .