Начини за брзо усно множење на броеви. Начини за множење броеви Како се множат во други земји

Општинска образовна институција

Старомаксимкинскаја главна средно училиште

Регионална научна - практична конференцијапо математика

„Чекор во науката“

Научно - истражувачка работа

„Нестандардни алгоритми за броење или брзо броење без калкулатор“

Надзорник: ,

наставник по математика

Со. чл. Максимкино, 2010 година

Вовед…………………………………………………………………………………………………………….3

Поглавје 1. Историја на сметката

1.2. Чудотворни бројачи………………………………………………………………………………...9

Поглавје 2. Антички методи на множење

2.1. Руски селански метод на множење……………………………………………..Метод на „решетка“………………………….. ………………………… ………….………..13

2.3. Индиски начин на множење………………………………………………………..15

2.4. Египетски метод на множење………………………………………………………….16

2.5. Множење на прстите………………………………………………………………..17

Поглавје 3. Ментална аритметика - ментална гимнастика

3.1. Множење и делење со 4…………………………………………………………………….19

3.2. Множење и делење со 5…………………………………………………………….19

3.3. Множење со 25……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.4. Множење со 1,5……………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.5. Множење со 9………………………………………………………………………….20

3.6. Множење со 11……………………………………………………………………………………..20

3.7. Множење трицифрен бројна 101…………………………………………………………21

3.7. Квадратирање на број што завршува на 5……………………………21

3.8. Квадратирање на број блиску до 50……………………………………………………………………

3.9. Игри…………………………………………………………………………………….22

Заклучок……………………………………………………………………………………………………………….. 24

Список на користена литература………………………………………………………………………………………………………………………………

Вовед

Дали е можно да се замисли свет без бројки? Без броеви не можете да купите, не можете да го дознаете времето, не можете да бирате телефонски број. А што е со вселенските бродови, ласерите и сите други технички достигнувања?! Тие едноставно би биле невозможни доколку не беше науката за броевите.

Два елементи доминираат во математиката - броевите и бројките со нивната бесконечна разновидност на својства и врски. Во нашата работа, предност се дава на елементите на броеви и дејства со нив.

Сега, во фаза на брз развој на компјутерската наука и компјутерска технологија, модерните ученици не сакаат да се замараат со ментална аритметика. Затоа сметавме Важно е да се покаже не само дека самиот процес на извршување на дејство може да биде интересен, туку и дека, откако темелно ги совладале техниките на брзо броење, може да се натпреварува со компјутер.

Објектистражувањата се алгоритми за броење.

Предметистражувањето е процес на пресметување.

Цел:проучувајте нестандардни методи за пресметување и експериментално идентификувајте ја причината за одбивањето да се користат овие методи при предавање математика на современи ученици.

Задачи:

Откријте ја историјата на потеклото на сметката и феноменот на „Чудата бројачи“;

Опишете ги античките методи на множење и експериментално идентификувајте ги тешкотиите во нивната употреба;

Размислете за некои техники усно множењеи прикажете ги придобивките од нивната употреба користејќи конкретни примери.

Хипотеза:Во старите денови велеа: „Множењето е моја мака“. Тоа значи дека множењето порано било комплицирано и тешко. Дали нашиот модерен начин на множење е едноставен?

Додека работев на извештајот, јас ги користеше следните методи :

Ø пребарување метод со користење на научна и образовна литература, како и пребарување на потребните информации на Интернет;

Ø практични метод на извршување на пресметки со користење на нестандардни алгоритми за броење;

Ø анализа податоци добиени во текот на студијата.

РелевантностОваа тема е дека употребата на нестандардни техники во формирањето на компјутерските вештини го зголемува интересот на учениците за математиката и го промовира развојот на математичките способности.

Зад едноставниот чин на множење се кријат тајните на историјата на математиката. Случајно ги слушнав зборовите „множење со решетка“ и „шаховски метод“ ме заинтригираа. Сакав да ги знам овие и други методи на множење и да ги споредам со нашата акција за множење денес.

Со цел да се открие дали современите ученици знаат и други начини на извршување аритметички операции, покрај множење со колона и делење со агол и би сакале да научат нови начини, спроведена е усна анкета. Анкетирани се 20 ученици од 5-7 одделение. Оваа анкета покажа дека современите ученици не знаат други начини за извршување на дејствијата, бидејќи ретко се свртуваат кон материјали надвор од училишната програма.

Резултати од анкетата:

(На дијаграмите е прикажан процентот на потврдни одговори на учениците).

1) Дали современите луѓе треба да бидат способни да вршат аритметички операции со природни броеви?

2) а) Дали знаете како да множите, собирате,

б) Дали знаете други начини за извршување на аритметички операции?

3) би сакале да знаете?

Поглавје 1. Историја на сметката

1.1. Како се појавија бројките?

Луѓето научиле да бројат предмети уште во античкото камено доба - палеолит, пред десетици илјади години. Како се случи ова? На почетокот луѓето се споредуваат само со око различни количиниидентични предмети. Тие можеа да одредат која од двете купишта има повеќе плодови, кое стадо има повеќе елени итн. Ако едно племе ја заменило уловената риба за камени ножеви направени од луѓе од друго племе, немало потреба да се брои колку риби и колку ножеви донеле. . Доволно беше да се стави нож до секоја риба за да се изврши размената меѓу племињата.

За успешно да се занимава со земјоделство, потребно беше аритметичко знаење. Без броење денови, беше тешко да се одреди кога да се сее нива, кога да се почне со наводнување, кога да се очекува потомство од животните. Требаше да се знае колку овци има во стадото, колку вреќи жито се ставени во амбарите.
И пред повеќе од осум илјади години, древните овчари почнаа да прават кригли од глина - по една за секоја овца. За да открие дали барем една овца исчезнала во текот на денот, овчарот оставал настрана кригла секој пат кога друго животно влегувало во пенкалото. И дури откако се увери дека се вратиле овци колку што има кругови, мирно си легна. Но, во неговото стадо немаше само овци - тој пасеше крави, кози и магариња. Затоа, морав да направам други фигури од глина. А земјоделците, користејќи глинени фигурини, воделе евиденција за жетвата, забележувајќи колку вреќи со жито биле ставени во шталата, колку бокали масло биле исцедени од маслинки, колку парчиња лен биле исткаени. Ако овците раѓале, овчарот додавал нови на круговите, а ако некои од овците биле користени за месо, морало да се отстранат неколку кругови. Значи, уште не знаејќи како да брои, античките луѓе практикувале аритметика.

Тогаш на човечкиот јазик се појавија бројки, а луѓето можеа да го именуваат бројот на предмети, животни, денови. Обично имаше малку такви бројки. На пример, жителите на реката Мареј од Австралија имале два прости броеви: enea (1) и petchewal (2). Тие изразувале други броеви со сложени цифри: 3 = „петчевал-енеа“, 4 „петчевал-петчевал“, итн. Друго австралиско племе, Камилорите, имало едноставни бројки mal (1), Булан (2), Гулиба (3). И тука се добиваа други броеви со собирање помали: 4 = „булан - булан“, 5 = „булан - гулиба“, 6 = „гулиба - гулиба“ итн.

За многу народи, името на бројот зависело од предметите што се броеле. Ако жителите на островите Фиџи броеле чамци, тогаш бројот 10 бил наречен „боло“; ако броеле кокос, бројот 10 се викал „каро“. Точно истото го направија и Нивховите кои живеат на Сахалин и бреговите на Амур. Дури и во минатиот век се јавиле на истиот број со различни зборови, ако сте избројале луѓе, риби, чамци, мрежи, ѕвезди, стапови.

Сè уште користиме разни неопределени броеви со значење „многу“: „толпа“, „стадо“, „стадо“, „куп“, „куп“ и други.

Со развојот на производството и трговската размена, луѓето почнаа подобро да разбираат што имаат заедничко три чамци и три секири, десет стрели и десет ореви. Племињата често тргувале „ствар за ствар“; на пример, размениле 5 јастиви корени за 5 риби. Стана јасно дека 5 е исто и за корените и за рибите; Ова значи дека можете да го наречете со еден збор.

Други народи користеле слични методи на броење. Така настанале нумерациите засновани на броење во петки, десетки и дваесет.

Досега зборувавме за ментално броење. Како се запишаа бројките? Отпрвин, дури и пред појавата на пишувањето, тие користеле засеци на стапчиња, засеци на коски и јазли на јажиња. Волчевата коска пронајдена во Долни Вестонице (Чехословачка) имала 55 засеци направени пред повеќе од 25.000 години.

Кога се појавуваше пишување, се појавуваа броеви за да се снимаат броеви. Отпрвин, бројките личеа на засеци на стапчиња: во Египет и Вавилон, во Етрурија и Феника, во Индија и Кина, малите броеви се пишуваа со стапови или линии. На пример, бројот 5 беше напишан со пет стапчиња. Индијците Ацтеките и Маите користеле точки наместо стапчиња. Потоа се појавија посебни знаци за некои броеви, како 5 и 10.

Во тоа време, речиси сите нумерации не беа позиционирани, туку слични на римското нумерирање. Само едно вавилонско сексазимално нумерирање било позиционирано. Но, долго време немаше нула во него, како и запирка што го одвојува целиот дел од фракциониот дел. Затоа, истиот број може да значи 1, 60 или 3600. Значењето на бројот требаше да се погоди според значењето на проблемот.

Пред неколку векови нова ераизмислен нов начинснимање на броеви, во кои буквите од обичната азбука служеле како бројки. Првите 9 букви ги означувале броевите десетици 10, 20,..., 90, а уште 9 букви означувале стотици. Ова азбучно нумерирање се користело до 17 век. За да се разликуваат „вистинските“ букви од бројките, беше поставена цртичка над буквите-броеви (во Русија оваа цртичка се нарекуваше „titlo“).

Во сите овие нумерации беше многу тешко да се извршат аритметички операции. Затоа, пронајдокот во 6 век. Индијците, децималното нумерирање со право се смета за едно од најголемите достигнувања на човештвото. Индиското нумерирање и индиските цифри станаа познати во Европа од Арапите и обично се нарекуваат арапски.

При долго пишување на дропки, целиот дел се пишувал со новото, децимално нумерирање, а дробниот дел во сексазимално. Но, на почетокот на 15 век. Самарканд математичарот и астроном Ал-Каши почнал да користи децимални фракции во пресметките.

Бројките со кои работиме се позитивни и негативни броеви. Но, излегува дека тоа не се сите бројки што се користат во математиката и другите науки. И можете да дознаете за нив без да чекате средно училиште, и многу порано, ако ја проучувате историјата на појавата на броевите во математиката.

1.2 „Чудо - бројачи“

Тој совршено разбира сè и веднаш формулира заклучок до кој обичен човек, можеби, ќе дојде низ долга и болна мисла. Тој пренесува книги со неверојатна брзина, а на прво место на неговата кратка листа на бестселери е учебникот по забавна математика. Во моментот на решавање на најтешките и најтешките проблеми, во неговите очи гори огнот на инспирацијата. Барањата да се оди во продавница или да се мијат садовите не се слушаат или наидуваат на големо незадоволство. Најдобрата награда е патување во предавална, а највредниот подарок е книга. Тој е максимално практичен и во своите постапки главно е подложен на разумот и логиката. Тој се однесува студено со луѓето околу себе и повеќе би сакал шах со компјутер отколку лизгање на ролери. Како дете, тој е прерано свесен за сопствените недостатоци и се карактеризира со зголемени емоционална стабилности приспособливост на надворешни околности.

Овој портрет не е заснован на аналитичар на ЦИА.
Вака, според психолозите, изгледа човечки калкулатор, индивидуа со уникатни математички способности, овозможувајќи му да ги прави најсложените пресметки во главата додека трепнеш.

Надвор од прагот на свеста е чудо - сметководителите, способни да вршат незамисливо сложени аритметички операции без калкулатор, имаат уникатни карактеристикимеморија која ги разликува од другите луѓе. Како по правило, покрај огромните линии на формули и пресметки, овие луѓе (научниците ги нарекуваат мнемоници - од грчки збор mnemonika, што значи „уметност на паметење“) во нивните глави чуваат списоци со адреси не само на пријатели, туку и на случајни познаници, како и бројни организации каде што некогаш ги посетиле.

Во лабораторијата на Истражувачкиот институт за психотехнологии, каде што решиле да го проучат феноменот, спроведоа таков експеримент. Тие поканија единствена личност - вработен во Централниот државен архив на Санкт Петербург Му беа понудени разни зборови и бројки за паметење. Мораше да ги повтори. За само неколку минути тој можеше да поправи до седумдесет елементи во своето сеќавање. Десетици зборови и бројки беа буквално „симнати“ во меморијата на Александар. Кога бројот на елементи надмина двесте, решивме да ги тестираме неговите способности. На изненадување на учесниците во експериментот, мегамеморијата воопшто не пропадна. Движејќи ги усните за секунда, тој почна да ја репродуцира целата серија елементи со неверојатна точност, како да чита.

На пример, друг научник-истражувач спроведе експеримент со Мадемазел Осака. Од субјектот беше побарано да постави квадрат 97 за да се добие десеттиот степен на тој број. Таа го направи тоа веднаш.

Арон Чикашвили живее во регионот Ван во западна Грузија. Тој произведува брзо и прецизно во својот ум сложени пресметки. Некако, пријателите решија да ги тестираат можностите на „чудесниот бројач“. Задачата беше тешка: колку зборови и букви ќе каже најавувачот кога ќе го коментира второто полувреме на фудбалскиот натпревар „Спартак“ (Москва) - „Динамо“ (Тбилиси). Во исто време беше вклучен и магнетофонот. Одговорот дојде веднаш штом кажа најавувачот последен збор: 17427 букви, 1835 зборови. Беа потребни….5 часа за да се провери. Одговорот се покажа како точен.

Се вели дека таткото на Гаус обично ги плаќал своите работници на крајот на неделата, додавајќи прекувремена работа на заработката секој ден. Еден ден, откако таткото Гаус ги завршил пресметките, едно тригодишно дете кое ги следело операциите на неговиот татко извикало: „Тато, пресметката не е точна!“ Ова треба да биде сумата“. Пресметките се повторија и бевме изненадени кога видовме дека детето ја посочи точната сума.

Интересно е што многу „чудо бројачи“ немаат поим како се бројат. „Сметаме, тоа е сè! Но, како што мислиме, Бог знае“. Некои од „шалтерите“ беа целосно необразовани луѓе. Англичанецот Бакстон, „виртуоз калкулатор“, никогаш не научил да чита; Американскиот „негро сметководител“ Томас Фалер почина неписмен на 80-годишна возраст.

Натпреварите се одржаа во Институтот за кибернетика на Украинската академија на науките. На натпреварот присуствуваше младиот „контра-феномен“ Игор Шелушков и компјутерот Мир. Машината изврши многу сложени математички операции за неколку секунди. Победник на овој натпревар беше Игор Шелушков.

Повеќето од овие луѓе имаат одлична меморија и талент. Но, некои од нив немаат никаква способност по математика. Ја знаат тајната! А оваа тајна е дека тие добро ги совладале техниките на брзо броење и запамтиле неколку специјални формули. Но, еден белгиски вработен кој за 30 секунди му дал повеќецифрен број кој му бил даден, добиен со множење на одреден број со себе 47 пати, го повикува овој број (го извлекува коренот на 47.

степени од повеќецифрен број), постигна таков неверојатен успех во броењето како резултат на долгогодишна обука.

Значи, многу „феномени на броење“ користат специјални техники за брзо броење и специјални формули. Ова значи дека можеме да користиме и некои од овие техники.

ПоглавјеII. Антички методи на множење.

2.1. Руски селански метод на множење.

Во Русија, пред 2-3 века, методот беше вообичаен кај селаните во некои провинции што не бараше познавање на целата табела за множење. Требаше само да можете да множите и делите со 2. Овој метод беше наречен селанец(постои мислење дека потекнува од египетски).

Пример: помножете 47 со 35,

Ајде да ги запишеме броевите на една линија и да повлечеме вертикална линија меѓу нив;

Ќе го поделиме левиот број со 2, ќе го помножиме десниот број со 2 (ако се појави остаток при делењето, тогаш го отфрламе остатокот);

Поделбата завршува кога единицата се појавува лево;

Ги прецртуваме оние линии во кои лево има парни броеви;

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

2.2. Метод на решетка.

1). Извонредниот арапски математичар и астроном Абу Муса ал Хорезми живеел и работел во Багдад. „Ал - Хорезми“ буквално значи „од Хорезми“, односно роден во градот Хорезм (сега дел од Узбекистан). Научникот работел во Домот на мудроста, каде што имало библиотека и опсерваторија тука работеле речиси сите главни арапски научници.

Има многу малку информации за животот и активностите на Мухамед ал Хорезми. Зачувани се само две негови дела - за алгебра и аритметика. Последната од овие книги дава четири правила за аритметички операции, речиси исти како оние што се користат во наше време.

2). Во неговиот „Книга за индиско сметководство“научникот опиша метод измислен во Античка Индија, а подоцна наречен „Метод на решетка“(ака „љубомора“).Овој метод е уште поедноставен од оној што се користи денес.

Да речеме дека треба да помножиме 25 и 63.

Ајде да нацртаме табела во која има две ќелии во должина и две во ширина, запишете еден број за должината и друг за ширината. Во ќелиите го запишуваме резултатот од множење на овие броеви, на нивниот пресек ги одделуваме десетките и единиците со дијагонала. Добиените броеви ги додаваме дијагонално, а добиениот резултат може да се прочита по стрелката (надолу и десно).

Разгледавме едноставен пример, но овој метод може да се користи за множење на повеќецифрени броеви.

Ајде да погледнеме друг пример: множи 987 и 12:

Нацртајте правоаголник 3 на 2 (според бројот на децимални места за секој фактор);

Потоа ги делиме квадратните ќелии дијагонално;

На врвот на табелата го пишуваме бројот 987;

Лево од табелата е бројот 12 (види слика);

Сега во секој квадрат ќе го внесеме производот на броеви - множители лоцирани во иста линија и во иста колона со овој квадрат, десетици над дијагоналата, оние подолу;

По пополнувањето на сите триаголници, броевите во нив се додаваат по секоја дијагонала;

Резултатот го пишуваме на десната и на дното на табелата (види слика);

987 ∙ 12=11844

Овој алгоритам за множење два природни броевибеше широко распространета во средниот век на Исток и Италија.

Ја забележавме непријатноста на овој метод во макотрпноста на подготовката на правоаголна табела, иако самиот процес на пресметка е интересен и пополнувањето на табелата наликува на игра.

2.3 Индиски начин на множење

Некои искусни учители во минатиот век веруваа дека овој метод треба да го замени општоприфатениот метод на множење во нашите училишта.

На Американците им се допадна толку многу што дури го нарекоа „Американски начин“. Сепак, тоа го користеле жителите на Индија уште во 6 век. n. д., и би било поправилно да се нарече „индиски начин“. Помножете ги сите два двоцифрени броеви, да речеме 23 со 12. Веднаш пишувам што се случува.

Гледате: одговорот беше примен многу брзо. Но, како е добиено?

Прв чекор: x23 велам: „2 x 3 = 6“

Втор чекор: x23 велам: „2 x 2 + 1 x 3 = 7“

Трет чекор: x23 велам: „1 x 2 = 2“.

12 Запишувам 2 лево од бројот 7

276 добиваме 276.

Многу добро го запознавме овој метод едноставен примербез да помине низ категоријата. Меѓутоа, нашето истражување покажа дека може да се користи и при множење броеви со премин низ цифра, како и при множење повеќецифрени броеви. Еве неколку примери:

x528 x24 x15 x18 x317

123 30 13 19 12

Во Русија, овој метод бил познат како метод на множење со крст.

Овој „крст“ е непријатноста на множењето, лесно е да се збуни, а исто така е тешко да се имаат на ум сите меѓупроизводи, чии резултати потоа мора да се соберат;

2.4. Египетски начин на множење

Ознаките на броеви кои се користеле во античко време биле повеќе или помалку погодни за запишување на резултатот од пребројувањето. Но, беше многу тешко да се извршат аритметички операции со нивна помош, особено кога станува збор за множење (пробајте да множите: ξφß*τδ). Египќаните најдоа излез од оваа ситуација, па методот беше наречен египетски.Тие го замениле множењето со кој било број со удвојување, односно додавање број на себе.

Пример: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

Бидејќи 5 = 4 + 1, тогаш за да се добие одговорот остана да се соберат броевите во десната колона наспроти броевите 4 и 1, односно 136 + 34 = 170.

2.5. Множење на прстите

Старите Египќани биле многу религиозни и верувале дека душата на покојникот е задгробниот животПодложени на тест за броење прсти. Ова веќе доволно говори за важноста што древните ја придавале на овој метод на множење на природните броеви (тој бил наречен броење со прсти).

Помножувале едноцифрени броеви од 6 до 9 на прстите За да го направат тоа, испружиле онолку прсти на едната рака колку што првиот фактор го надминал бројот 5, а на вториот истото го направиле и за вториот фактор. Останатите прсти беа свиткани. По ова, тие земале десетици колку што е должината на прстите на двете раце, а на оваа бројка го додале производот од свитканите прсти на првата и втората рака.

Пример: 8 ∙ 9 = 72

Подоцна, броењето на прстите беше подобрено - научија да покажуваат броеви до 10.000 со прстите.

Движење на прстите

Еве уште еден начин да ја помогнете вашата меморија: користете ги прстите за да ја запомните табелата за множење со 9. Ставајќи ги двете раце една до друга на масата, нумерирајте ги прстите на двете раце по редослед на следниов начин: првиот прст од левата страна ќе биде означен како 1 , вториот зад него ќе биде означен 2, потоа 3, 4... до десеттиот прст, што значи 10. Ако треба да помножите некој од првите девет броеви со 9, тогаш за да го направите ова, без да ги движите рацете од табелата, треба да го подигнете прстот чиј број значи број со кој се множи девет; тогаш бројот на прсти што лежат лево од подигнатиот прст го одредува бројот на десетици, а бројот на прстите што лежат десно од подигнатиот прст го означува бројот на единици од добиениот производ.

Пример. Да претпоставиме дека треба да го најдеме производот 4x9.

Со двете раце на масата, подигнете го четвртиот прст, броејќи од лево кон десно. Потоа има три прста (десетици) пред кренатиот прст, а 6 прсти (единици) по кренатиот прст. Затоа, резултатот од производот 4 на 9 е еднаков на 36.

Друг пример:

Да речеме дека треба да помножиме 3 * 9.

Од лево кон десно најди го третиот прст, од тој прст ќе има 2 исправени прсти, ќе значат 2 десетки.

Десно од свитканиот прст ќе се исправат 7 прсти, тие значат 7 единици. Додадете 2 десетки и 7 единици и добивате 27.

Самите прсти го покажаа овој број.

// // /////

Значи, античките методи на множење што ги испитувавме покажуваат дека алгоритмот што се користи во училиштето за множење природни броеви не е единствениот и не бил секогаш познат.

Сепак, тоа е прилично брзо и најзгодно.

Поглавје 3. Ментална аритметика - ментална гимнастика

3.1. Множење и делење со 4.

За да се помножи некој број со 4, тој се удвојува.

На пример,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

За да се подели број со 4, тој двапати се дели со 2.

На пример,

124: 4 = (124: 2) : 2 = 62: 2 = 31

2648: 4 = (2648: 2) : 2 = 1324: 2 = 662

3.2. Множење и делење со 5.

За да помножите број со 5, треба да го помножите со 10/2, односно да помножите со 10 и да го делите со 2.

На пример,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380: 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480: 2 = 2740

За да поделите број со 5, треба да го помножите со 0,2, односно двојно да го зголемите оригиналниот број, да ја одделите последната цифра со запирка.

На пример,

345: 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51: 5 = 51 * 0,2 = 10,2

3.3. Помножете се со 25.

За да помножите број со 25, треба да го помножите со 100/4, односно да помножите со 100 и да поделите со 4.

На пример,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800: 2) : 2 = 17400: 2 = 8700

3.4. Помножете се со 1,5.

За да помножите број со 1,5, треба да додадете половина од него на оригиналниот број.

На пример,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

3.5. Помножете се со 9.

За да помножите број со 9, додадете му 0 и одземете го оригиналниот број. На пример,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

3.6. Помножете се со 11.

1 начин. За да помножите број со 11, додадете му 0 и додадете го оригиналниот број. На пример:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

Метод 2.Ако сакате да помножите број со 11, тогаш направете го ова: запишете го бројот што треба да се помножи со 11 и помеѓу цифрите од оригиналниот број вметнете го збирот на овие цифри. Ако износот испадне двоцифрен број, потоа додаваме 1 на првата цифра од оригиналниот број. На пример:

45 * 11 = * 11 = 967

Овој метод е погоден само за множење двоцифрени броеви.

3.7. Множење на трицифрен број со 101.

На пример 125 * 101 = 12625

(зголемете го првиот фактор со бројот на неговите стотици и додадете ги последните две цифри од првиот фактор на него десно)

125 + 1 = 126 12625

Децата лесно ја учат оваа техника кога пишуваат пресметки во колона.

x x 125
101
+ 125
125 _
12625

x x348
101
+348
348 _
35148

Друг пример: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227

3.8. Квадрат на број што завршува на 5.

За квадрат број што завршува на 5 (на пример, 65), помножете го неговиот број од десетици (6) со бројот на десетици зголемени за 1 (6+1 = 7) и додадете 25 на добиениот број

(6 * 7 = 42 Одговор: 4225)

На пример:

3.8. Квадрат на број блиску до 50.

Ако сакате да квадратите број кој е блиску до 50, но поголем од 50, тогаш направете го ова:

1) од овој број одземе 25;

2) додадете го квадратот на вишокот на резултатот во две цифри даден бројнад 50.

Објаснување: 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.

Објаснување: 67 – 25 = 42, 67 – 50 = 17, 172 = 289,

672 = 4200 + 289 = 4489.

Ако сакате да квадратите број кој е блиску до 50, но помал од 50, тогаш направете го ова:

1) од овој број одземе 25;

2) додадете на резултатот со две цифри квадратот на недостаток на овој број до 50.

Објаснување: 48 – 25 = 23, 50 – 48 =2, 22 = 4, 482 = 2304.

Објаснување: 37 – 25 = 12, = 13, 132 = 169,

372 = 1200 + 169 = 1369.

3.9. Игри

Погодување на добиениот број.

1. Размислете за број. Додадете 11 на него; помножете го добиениот износ со 2; одземе 20 од овој производ; добиената разлика помножете ја со 5 и од новиот производ одземете број кој е 10 пати поголем од бројот што го имате на ум.

Претпоставувам: имаш 10. Нели?

2. Размислете за број. Тројни го. Одземете 1 од резултатот. Помножете го резултатот со 5. Додадете 20 на резултатот. Одземете ја предвидената вредност од резултатот.

Имаш 1.

3. Размислете за број. Помножете го со 6. Одземете 3. Помножете го со 2. Додадете 26. Одземете двапати од предвидената вредност. Поделете со 10. Одземете го она што сте го намериле.

Имаш 2.

4. Размислете за број. Тројно го. Одземете 2. Множете со 5. Додадете 5. Делете со 5. Додадете 1. Делете според планираното. Имаш 3.

5. Размислете за број, удвои го. Додадете 3. Помножете со 4. Одземете 12. Поделете со она што сте го замислиле.

Имаш 8.

Погодување на предвидените броеви.

Поканете ги вашите другари да размислат за какви било бројки. Нека секој додаде 5 на наменетиот број.

Добиената сума нека се помножи со 3.

Нека одземе 7 од производот.

Нека одземе уште 8 од добиениот резултат.

Сите нека ви го дадат листот со конечниот резултат. Гледајќи го листот хартија, веднаш им кажувате на сите кој број го имаат на ум.

(За да го погодите предвидениот број, поделете го резултатот напишан на лист или усно кажан со 3)

Заклучок

Влеговме во нов милениум! Големи откритија и достигнувања на човештвото. Знаеме многу, можеме многу. Изгледа нешто натприродно што со помош на бројки и формули можете да го пресметате летот вселенски брод, „економска ситуација“ во земјава, време за „утре“, опишуваат звукот на нотите во мелодијата. Ја знаеме изјавата на античкиот грчки математичар и филозоф кој живеел во 4 век п.н.е. - Питагора - „Сè е бројка!“

Според филозофското гледиште на овој научник и неговите следбеници, бројките управуваат не само со мерката и тежината, туку и со сите појави што се случуваат во природата и се суштината на хармонијата што владее во светот, душата на космосот.

Опишувајќи ги древните методи на пресметување и современите методи на брзо пресметување, се обидовме да покажеме дека и во минатото и во иднина не може да се направи без математиката, наука создадена од човечкиот ум.

Проучувањето на античките методи на множење покажа дека оваа аритметичка операција е тешка и сложена поради разновидноста на методите и нивната гломазна имплементација.

Современиот метод на множење е едноставен и достапен за секого.

По разгледувањето на научната литература, откривме побрзи и посигурни методи на множење. Затоа, проучувањето на дејството на множење е ветувачка тема.

Можно е многу луѓе да не можат брзо и веднаш да ги извршат овие или други пресметки првиот пат. Нека не биде можно да се користи техниката прикажана во делото на почетокот. Нема проблем. Потребна е постојана обука за пресметување. Од лекција во лекција, од година во година. Тоа ќе ви помогне да стекнете корисни ментални аритметички вештини.

Список на користена литература

1. Wangqiang: Учебник за 5-то одделение. - Самара: Издавачка куќа

„Федоров“, 1999 година.

2., Ахадововиот свет на броеви: Книга на студенти, - М. Образование, 1986 година.

3. „Од игра до знаење“, М., „Просветителство“ 1982 година.

4. Свечников, фигури, проблеми М., Образование, 1977 г.

5. http://matsievsky. *****/sys-schi/file15.htm

6. http://*****/mod/1/6506/history. html

Истражувачка работа по математика во основно училиште

Кратко резиме на истражувачката работа
Секој ученик знае како да множи повеќецифрени броеви во колона. Во ова дело, авторот го привлекува вниманието на постоењето на достапни алтернативни методи на множење помлади ученици, што може да ги претвори „досадните“ пресметки во забавна игра.
Работата дискутира за шест неконвенционални начини на множење повеќецифрени броеви, користени во различни историски епохи: Руски селанец, решетка, мал замок, кинески, јапонски, според табелата на В. Оконешников.
Проектот е наменет да развие когнитивен интерес за предметот што се изучува и да ги продлабочи знаењата од областа на математиката.
Содржина
Вовед 3
Поглавје 1. Алтернативни методи на множење 4
1.1. Малку историја 4
1.2. Руски селански метод на множење 4
1.3. Множење со методот „Мал замок“ 5
1.4. Множење броеви со методот „љубомора“ или „множење на решетки“ 5
1.5. Кинески начин на множење 5
1.6. Јапонски начин на множење 6
1.7. Табела 6 на Оконешников
1.8.Множење по колона. 7
Поглавје 2. Практичен дел 7
2.1. Селски начин 7
2.2. Малиот замок 7
2.3. Множење броеви со методот „љубомора“ или „множење на решетки“ 7
2.4. Кинески начин 8
2.5. Јапонски метод 8
2.6. Табела Оконешников 8
2.7. Испрашување 8
Заклучок 9
Додаток 10

„Предметот математика е толку сериозен предмет што е добро да се искористи секоја прилика за да се направи малку забавен“.
Б. Паскал
Вовед
Лицето во секојдневниот животтоа е невозможно да се направи без пресметки. Затоа, на часовите по математика, пред сè не учат да вршиме операции на броеви, односно да броиме. Множеме, делиме, собираме и одземаме на вообичаените начини што се изучуваат на училиште. Се појави прашањето: дали има други алтернативни методи на пресметка? Сакав да ги проучувам подетално. Во потрага по одговор на овие прашања, беше спроведена оваа студија.
Цел на студијата: да се идентификуваат неконвенционални методи на множење за да се проучи можноста за нивна употреба.
Во согласност со целта, ги формулиравме следните задачи:
- Најдете што е можно повеќе необични начинимножење.
- Научете да ги користите.
- Изберете за себе најинтересните или полесните од оние што се нудат на училиште и искористете ги при броењето.
- Проверете го во пракса множењето на повеќецифрени броеви.
- Спроведете анкета за ученици од 4-то одделение
Предмет на проучување:разни нестандардни алгоритми за множење повеќецифрени броеви
Предмет на истражување: математичка операција"множење"
Хипотеза: Ако постојат стандардни начини за множење на повеќецифрени броеви, можеби постојат алтернативни начини.
Релевантност: Дисеминира знаење за алтернативните методи на множење.
Практично значење. Во текот на работата беа решени многу примери и беше направен албум во кој беа вклучени примери со различни алгоритми за множење повеќецифрени броеви на неколку алтернативни начини. Ова може да ги интересира соучениците да ги прошират своите математички хоризонти и да послужат како почеток на нови експерименти.

Поглавје 1. Алтернативни методи на множење

1.1. Малку историја
Методите на пресметка што ги користиме сега не беа секогаш толку едноставни и удобни. Во старите денови се користеа понезгодни и побавни техники. И кога модерен ученик би можел да се врати петстотини години наназад, ќе ги воодушеви сите со брзината и точноста на неговите пресметки. Гласините за него ќе се рашират низ околните училишта и манастири, засенувајќи ја славата на највештите калкулатори од тоа време, а луѓето ќе доаѓаат од сите страни да учат кај новиот голем мајстор.
Операциите на множење и делење биле особено тешки во старите времиња.
Во книгата на В. Белустин „Како луѓето постепено стигнаа до вистинската аритметика“, се наведени 27 методи на множење, а авторот забележува: „Многу е можно да има други методи скриени во вдлабнатините на книжните складишта, расфрлани во бројни, главно рачно напишани. збирки“. И сите овие техники за множење се натпреваруваа едни со други и беа научени со голема тешкотија.
Да ги погледнеме најинтересните и едноставни начинимножење.
1.2. Руски селански метод на множење
Во Русија, пред 2-3 века, методот беше вообичаен кај селаните во некои провинции што не бараше познавање на целата табела за множење. Требаше само да можеш да множиш и делиш со 2. Овој метод беше наречен селански метод.
За да се помножат два броја, тие биле напишани еден до друг, а потоа левиот број бил поделен со 2, а десниот број се множел со 2. Резултатите биле напишани во колона додека 1 не остане лево. Пречкртајте ги оние линии кои имаат парни броеви лево. Ги собираме преостанатите броеви во десната колона.
1.3. Множење со методот „Мал замок“.
Италијанскиот математичар Лука Пачиоли, во својот трактат „Збир на аритметика, соодноси и пропорционалност“ (1494), дава осум различни методи на множење. Првиот од нив се вика „Малиот замок“.
Предноста на методот за множење „Малиот замок“ е што водечките цифри се одредуваат од самиот почеток, а тоа може да биде важно ако треба брзо да ја процените вредноста.
Цифрите од горниот број, почнувајќи од најзначајната цифра, се множат за возврат со долниот број и се запишуваат во колона со додаден потребниот број на нули. Резултатите потоа се собираат.
1.4. Множење броеви со методот „љубомора“ или „множење на решетки“.
Вториот метод на Лука Пачиоли се нарекува „љубомора“ или „множење на решетки“.
Прво, се црта правоаголник, поделен на квадрати. Потоа квадратните ќелии се поделени дијагонално и „... резултатот е слика слична на решетки ролетни“, пишува Пачиоли. „Таквите ролетни беа закачени на прозорците на венецијанските куќи, спречувајќи ги уличните минувачи да ги видат дамите и калуѓерките како седат на прозорците“.
Со множење на секоја цифра од првиот фактор со секоја цифра од вториот, производите се запишуваат во соодветните ќелии, поставувајќи десетици над дијагоналата и оние под неа. Цифрите на производот се добиваат со собирање на цифрите во коси ленти. Резултатите од дополнувањата се запишани под табелата, како и десно од неа.
1.5. Кинески начин на множење
Сега да го претставиме методот на множење, кој енергично се дискутира на Интернет, кој се нарекува кинески. Кога се множат броевите, се пресметуваат пресечните точки на линиите, кои одговараат на бројот на цифри на секоја цифра од двата фактора.
1.6. Јапонски начин на множење
Јапонскиот начин на множење е графички методкористејќи кругови и линии. Не помалку смешно и интересно од кинескиот. Дури и нешто слично на него.
1.7. Табела Оконешников
Кандидат за филозофија Василиј Оконешников, пронаоѓач со скратено работно време нов системментална аритметика, верува дека учениците од училиштата ќе можат да научат вербално да собираат и множат милиони, милијарди, па дури и секстилиони и квадрилиони. Според самиот научник, најповолен во овој поглед е деветкратниот систем - сите податоци едноставно се сместени во девет ќелии, лоцирани како копчиња на калкулатор.
Според научникот, пред да стане компјутерски „компјутер“, неопходно е да се запамети табелата што тој ја создал.
Табелата е поделена на 9 дела. Тие се наоѓаат според принципот на мини калкулатор: „1“ во долниот лев агол, „9“ во горниот десен агол. Секој дел е табела за множење за броевите од 1 до 9 (со користење на истиот систем „притисни копче“). За да помножиме кој било број, на пример, со 8, наоѓаме голем квадрат што одговара на бројот 8 и ги запишуваме броевите од овој квадрат, што одговара на бројкитеповеќецифрен множител. Добиените броеви ги додаваме одделно: првата цифра останува непроменета, а сите останати се додаваат во парови. Добиениот број ќе биде резултат на множење.
Ако при собирање на две цифри се добие број поголем од девет, тогаш неговата прва цифра се додава на претходната цифра од резултатот, а втората се запишува на своето „сопствено“ место.
Новата техника е тестирана во неколку Руски училиштаи универзитетите. Министерството за образование на Руската Федерација дозволи објавување на нова табела за множење во карирани тетратки заедно со вообичаената питагорова табела - засега само за запознавање.
1.8. Множење на колони.
Не многу луѓе знаат дека авторот на нашиот вообичаен метод за множење на повеќецифрен број со повеќецифрен број со колона треба да се смета Адам Ризе (Прилог 7). Овој алгоритам се смета за најзгодно.
Поглавје 2. Практичен дел
Совладувајќи ги наведените методи на множење, решени се многу примери, а изработен е и албум со примероци од различни алгоритми за пресметување. (Апликација). Ајде да го разгледаме алгоритмот за пресметување користејќи примери.
2.1. Селски начин
Помножете 47 со 35 (Додаток 1),
-запишете ги броевите на една линија, повлечете вертикална линија меѓу нив;
-левиот број ќе се подели со 2, десниот број ќе се помножи со 2 (ако се појави остаток при делењето, тогаш остатокот ќе се отфрли);
- поделбата завршува кога лево ќе се појави единица;
-прецртај ги оние линии во кои лево има парни броеви;
-ги собираме преостанатите броеви од десната страна - ова е резултатот.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Заклучок. Методот е удобен по тоа што е доволно да се знае табелата само за 2. Меѓутоа, кога се работи со голем број, тоа е многу незгодно. Практично за работа со двоцифрени броеви.
2.2. Мал замок
(Прилог 2). Заклучок. Методот е многу сличен на нашата модерна „колона“. Покрај тоа, веднаш се одредуваат броевите на највисоките цифри. Ова може да биде важно ако треба брзо да ја процените вредноста.
2.3. Множење броеви со методот „љубомора“ или „множење на решетки“.
Ајде да ги помножиме, на пример, броевите 6827 и 345 (Прилог 3):
1. Нацртајте квадратна решетка и напишете еден од факторите над колоните, а вториот - по висината.
2. Помножете го бројот на секој ред последователно со броевите на секоја колона. Ние последователно множиме 3 со 6, со 8, со 2 и со 7, итн.
4. Додадете ги броевите по дијагоналните ленти. Ако збирот на една дијагонала содржи десетици, тогаш додадете ги на следната дијагонала.
Од резултатите од собирањето на броевите по дијагоналите се формира бројот 2355315, кој е производ на броевите 6827 и 345, односно 6827 ∙ 345 = 2355315.
Заклучок. Методот на „множење на решетки“ не е полош од општо прифатениот. Тоа е уште поедноставно, бидејќи броевите директно од табелата за множење се внесуваат во ќелиите на табелата без истовремено собирање присутно во стандардниот метод.
2.4. Кинески начин
Да претпоставиме дека треба да помножите 12 со 321 (Додаток 4). На лист хартија цртаме линии една по една, чиј број е одреден од овој пример.
Го цртаме првиот број – 12. За да го направите ова, од горе до долу, од лево кон десно, цртаме:
едно зелено стапче (1)
и две портокалови (2).
Нацртајте го вториот број – 321, од долу нагоре, од лево кон десно:
три сини стапчиња (3);
две црвени (2);
еден јоргован (1).
Сега, користејќи едноставен молив, ги одвојуваме пресечните точки и почнуваме да ги броиме. Се движиме од десно кон лево (во насока на стрелките на часовникот): 2, 5, 8, 3.
Ајде да го прочитаме резултатот од лево кон десно - 3852
Заклучок. Интересен начин, но цртањето 9 прави при множење со 9 е некако долго и неинтересно, а потоа броењето на точките на пресек. Без вештина, тешко е да се разбере поделбата на броевите на цифри. Во принцип, не можете без табела за множење!
2.5. Јапонски начин
Ајде да помножиме 12 со 34 (Прилог 5). Бидејќи вториот фактор е двоцифрен број, а првата цифра од првиот фактор е 1, конструираме два единечни кругови во горната линија и два бинарни кругови во долната линија, бидејќи втората цифра од првиот фактор е 2. .
Бидејќи првата цифра од вториот фактор е 3, а втората е 4, круговите од првата колона ги делиме на три дела, а круговите од втората колона на четири дела.
Бројот на делови на кои се поделени круговите е одговорот, односно 12 x 34 = 408.
Заклучок. Методот е многу сличен на кинеската графика. Само прави линии се заменуваат со кругови. Полесно е да се одредат цифрите на некој број, но цртањето кругови е помалку погодно.
2.6. Табела Оконешников
Треба да помножите 15647 x 5. Веднаш се сеќаваме на големото „копче“ 5 (тоа е во средината) и ментално ги наоѓаме малите копчиња 1, 5, 6, 4, 7 на него (тие исто така се наоѓаат како на калкулатор) . Тие одговараат на броевите 05, 25, 30, 20, 35. Ги додаваме добиените броеви: првата цифра е 0 (останува непроменета), 5 е ментално додадена на 2, добиваме 7 - ова е втората цифра од резултатот , 5 се додава на 3, ја добиваме третата цифра - 8 , 0+2=2, 0+3=3 и останува последната цифра од производот - 5. Резултатот е 78.235.
Заклучок. Методот е многу удобен, но треба да го научите напамет или секогаш да имате маса при рака.
2.7. Анкета со студенти
Спроведена е анкета на четвртоодделенци. Учествуваа 26 лица (Прилог 8). Врз основа на истражувањето, беше откриено дека сите испитаници можеле да се размножуваат на традиционален начин. Но, повеќето момци не знаат за нетрадиционални методи на множење. И има луѓе кои сакаат да ги запознаат.
По првичната анкета се одржа воннаставниот час „Множење со страст“ на кој децата се запознаа со алтернативни алгоритми за множење. После тоа, беше спроведена анкета за да се идентификуваат методите што најмногу ни се допаднаа. Неприкосновен лидер беше најсовремениот метод на Василиј Оконешников. (Прилог 9)
Заклучок
Откако научив да броам користејќи ги сите презентирани методи, верувам дека најзгодниот метод за множење е методот „Малиот замок“ - на крајот на краиштата, тој е толку сличен на нашиот сегашен!
Од сите необични методи на броење што ги најдов, „јапонскиот“ метод ми изгледаше поинтересен. Наједноставниот метод ми се чинеше дека е „удвојување и разделување“, што го користеа руските селани. Не го користам премногу при множење. големи бројки. Многу е погодно да се користи при множење двоцифрени броеви.
Така, ја постигнав целта на моето истражување - учев и научив да користам неконвенционални методи за множење повеќецифрени броеви. Мојата хипотеза беше потврдена - совладав шест алтернативни методи и дознав дека тоа не се сите можни алгоритми.
Нетрадиционалните методи за множење што ги проучував се многу интересни и имаат право да постојат. А во некои случаи тие се уште полесни за употреба. Верувам дека можете да зборувате за постоењето на овие методи на училиште, дома и да ги изненадите вашите пријатели и познаници.
Додека ние само учевме и анализиравме познати методимножење. Но, кој знае, можеби во иднина ние самите ќе можеме да откриваме нови начини на множење. Исто така, не сакам да застанам тука и да продолжам да ги проучувам неконвенционалните методи на множење.
Список на извори на информации
1. Референци
1.1. Харутјуњан Е., Левитас Г. Забавна математика. - М.: АСТ - ПРЕС, 1999. - 368 стр.
1.2. Bellustina V. Како луѓето постепено стигнаа до вистинската аритметика. - ЛКИ, 2012.-208 стр.
1.3. Депман I. Приказни за математиката. – Ленинград: Образование, 1954. – 140 стр.
1.4. Likum A. Сè за сè. Т. 2. - М.: Филолошко друштво „Слово“, 1993. - 512 стр.
1.5. Олехник С.Н., Нестеренко Ју.В., Потапов М.К.. Стари забавни проблеми. - М.: Наука. Главна редакција на физичко-математичката литература, 1985. – 160 стр.
1.6. Перелман Ја.И. Забавна аритметика. - М.: Русанова, 1994 – 205 стр.
1.7. Перелман Ја.И. Брзо броење. Триесет едноставни техники за ментално броење. Л.: Лениздат, 1941 - 12 стр.
1.8. Савин А.П. Математички минијатури. Забавна математика за деца. - М.: Детска литература, 1998 - 175 стр.
1.9. Енциклопедија за деца. Математика. – М.: Аванта +, 2003. – 688 стр.
1.10. Го истражувам светот: Детска енциклопедија: Математика / комп. Савин А.П., Станзо В.В., Котова А.Ју. - М.: Издавачка куќа АСТ ДОО, 2000. - 480 стр.
2. Други извори на информации
Интернет ресурси:
2.1. Корнеев А.А. Феноменот на руско множење. Приказна. [Електронски ресурс]

ВО античка Индијакористени се два методи на множење: решетки и галии.
На прв поглед изгледаат многу комплицирани, но ако ги следите предложените вежби чекор по чекор, ќе видите дека е прилично едноставно.
Ги множиме, на пример, броевите 6827 и 345:
1. Нацртајте квадратна мрежа и напишете еден од броевите над колоните, а вториот по висина. Во предложениот пример, можете да користите една од овие мрежи.

2. Откако избравте мрежа, помножете го бројот на секој ред последователно со броевите на секоја колона. Во овој случај, ние секвенцијално множиме 3 со 6, со 8, со 2 и со 7. Погледнете го овој дијаграм за да видите како производот е запишан во соодветната ќелија.

3. Погледнете како изгледа решетката со сите пополнети ќелии.

4. На крајот, соберете ги броевите по дијагоналните ленти. Ако збирот на една дијагонала содржи десетици, тогаш додадете ги на следната дијагонала.

Погледнете како резултатите од собирањето на броевите по дијагоналите (тие се означени со жолто) го формираат бројот 2355315, кој е производ на броевите 6827 и 345.

Третјакова Анастасија, Тиомкина Алина

Цел и цели на проектот:

Цел: запознавање со различни методи на множење природни броеви кои не се користат на часовите и нивна примена при пресметување на нумерички изрази.

Задачи:

Најдете и анализирајте различни начини на множење.
Научете да демонстрирате некои техники за множење.
Разговарајте за новите начини на множење и научете ги учениците како да ги користат.
Развијте вештини самостојна работа: пребарување на информации, избор и дизајн на пронајден материјал.

Хипотеза: „Знаењето се открива само со тоа.

Кој знае различни бројки!!!“

Преземи:

Преглед:

Општинска буџетска образовна институција

средно училиште бр.35 од областа Самара

Проект на тема:

„Начини на множење

Природни броеви“

Работата ја завршија: ученици од 5 одделение „А“

Третјакова Анастасија,

Тиомкина Алина.

Научен раководител:

наставник по математика

Рузанова И.М.

Самара, 2014 година

Цел и цели на проектот:

Цел: запознавање со различни методи на множење природни броеви кои не се користат на часовите и нивна примена при пресметување на нумерички изрази.

Задачи:

Најдете и анализирајте различни начини на множење.
Научете да демонстрирате некои техники за множење.
Разговарајте за новите начини на множење и научете ги учениците како да ги користат.
Развијте вештини за самостојна работа: барање информации, избор и подготовка на пронајдениот материјал.

Хипотеза: „Знаењето се открива само со тоа.

Кој знае различни бројки!!!“

Питагора.

Вовед. 4 страници
Главен дел. 5 – 13 стр.

Руско-селански метод на множење. 5 – 6 стр.
Питагоровиот плоштад. 6 – 7 стр.
Табела Оконешников. 7 – 9 стр.
Индиски начин на множење. 9 - 11 стр.
Египетски метод на множење. 11 – 12 стр.
Кинески начин на множење. 12 страници
Јапонски начин на множење. 13 стр.

Заклучок. 14 стр.
Литература. 14 стр.

Вовед.

….. Нема да можете да множите повеќецифрени броеви - дури и двоцифрени - освен ако не ги запаметите сите резултати од множење едноцифрени броеви, односно она што се нарекува табела за множење. Во античката „Аритметика“ на Магнитски има потреба солидно знаењеТабелите за множење се опеани во такви стихови, кои мора да признаеме дека се туѓи за модерните уши:

Ако некој не каже

маси и гордости,

Не може да се знае

број да се множи

И во целата наука, не ослободена од маки,

Колико нема да биде депресивен

И нема да биде корисно ако заборави.

Самиот Магнитски, авторот на овие песни, очигледно не знаел или занемарил дека постојат начини да се множат броевите без да се знае табелата за множење. Овие методи не се слични на нашите училишни методи.

На училиште тие ја проучуваат табелата за множење, а потоа ги учат децата да множат броеви во колона. Се разбира, ова не е единствениот начин за размножување. Всушност, постојат неколку десетици начини за множење на повеќецифрени броеви. Во оваа работа ќе претставиме неколку методи на множење можеби ќе изгледаат поедноставни и ќе ги искористите.

Главен дел.

Руско-селански метод на множење.

Нејзината суштина е дека множењето на кои било два броја се сведува на серија последователни поделби на еден број на половина, додека истовремено се удвојува другиот број. Пример: 32 x 13

Мултипликант =32	Мултипликатор = 13

Табела 1.

Делењето на половина (видете ја левата половина од Табела 1) продолжува додека количникот не се покаже дека е 1, додека истовремено се удвојува другиот број (десната страна од Табела 1). Последниот двојно зголемен број го дава посакуваниот резултат.

Не е тешко да се разбере на што се базира овој метод: производот не се менува ако еден фактор се преполови, а другиот се удвои. Значи, јасно е дека како резултат на постојано повторување на оваа операција, се добива посакуваниот производ:(32 x 13) = (1 x 416)

Особено внимателните луѓе ќе забележат „Што е со непарните броеви кои не се делат со 2?

Значи, треба да помножиме два броја: 987 и 1998 година. Едниот ќе го напишеме лево, а вториот десно на една линија. Левиот број ќе го поделиме со 2, а десниот број ќе го помножиме со 2 и резултатите ќе ги запишеме во колона. Ако се појави остаток при делењето, тој се фрла.

Ја продолжуваме операцијата додека не остане 1 лево. Ова е посакуваната работа. Дадена е графичка илустрација на овој опис. (Види Табела 2.)

Табела 2.

Питагоровиот плоштад.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Ова е за секого познатиот плоштадПитагора, како одраз на светскиот броен систем, кој се состои од девет цифри: од 1 до 9. Изразено модерен јазике девет-битна нумеричка матрица во која броевите, кои се основа за понатамошни пресметки од секаква сложеност, се подредени во растечки редослед. Питагоровиот квадрат се нарекува и Енеад, а трите броја се нарекуваат тријада. Можете да земете во предвид тројки од броеви лоцирани хоризонтално (123, 456, 789) и вертикално (147, 258, 369). Покрај тоа, напишани на овој начин, тројки цифри почнуваат да означуваат посебни броеви кои ги почитуваат законите за математичка пропорција и хармонија.

Да се потсетиме на главното правило на древната египетска математика, кое вели дека множењето се врши со удвојување и собирање на добиените резултати; односно секое удвојување е собирање на број за себе. Затоа, интересно е да се погледне резултатот од таквото удвојување на цифрите и броевите, но резултатот модерен методпреклопување „во колона“, познато дури и во основно училиштеучилишта. Ова ќе личи на египетскиот броен систем, всушност, со таа разлика што сите броеви или броеви се напишани во една колона (без да се означи ова или она дејство во соседната колона - како Египќаните).

Да почнеме со броевите што го сочинуваат Питагоровиот плоштад: од 1 до 9.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Цифра 1: нормална секвенцијална серија на броеви.

Број 9: левата колона е јасен растечки ред („проток“).

десната колона е јасна опаѓачка серија од последователни броеви. Дозволете ни да се согласиме да повикаме серија растечки, вредностите на броевите во кои се зголемуваат од врвот до дното; во опаѓање, обратно е: вредностите на бројките се намалуваат од врвот до дното.

Број 2: се повторува во десната колона парни броеви 2,4,6,8 („во период“).

Број 8: истото повторување - само во обратен редослед - 8,6,4,2.

Броеви 4 и 6: парни броеви „во период“ 4,8,2,6 и 6,2,8,4.

Број 5: го почитува правилото за собирање на бројот 5 - наизменично 5 и 0.

Број 3: десната колона е опаѓачки ред од не броеви, туку броеви кои формираат тројки од вертикални редови на плоштадот Питагора - 369, 258, 147. Покрај тоа, одбројувањето доаѓа „од десниот агол на квадратот“ или од десно налево. Правилото за растечки - опаѓачки серии усвоено погоре, исто така важи и овде. Но, растечката серија е движење од тројката од броевите 147 до тројката од 369; опаѓачки - од 369 до 147 г.

Слика 7: Растечка серија од броеви 147,258,369 од „левиот агол“ или од лево кон десно. Сепак, сè зависи од тоа како е прикажана самата деветбитна нумеричка матрица - каде да се стави бројот 1.

Табела Оконешников.

Студентите ќе можат да научат вербално да собираат и множат милиони, милијарди, па дури и секстилиони и квадрилиони. А во тоа ќе им помогне кандидатот за филозофски науки Василиј Оконешников, кој е и изумител на нов систем за ментално броење. Научникот тврди дека едно лице е способно да запомни огромна количина на информации, главната работа е како да ги организира овие информации.
Според самиот научник, најповолен во овој поглед е деветкратниот систем - сите податоци едноставно се сместени во девет ќелии, лоцирани како копчиња на калкулатор.

Според научникот, пред да стане компјутерски „компјутер“, неопходно е да се запамети табелата што тој ја создал. Броевите во него се распределени во девет ќелии на мачен начин. Според Оконешников, човечкото око и неговата меморија се толку умно дизајнирани што информациите распоредени според неговиот метод се паметат, прво, побрзо, а второ, цврсто.
Табелата е поделена на 9 дела. Тие се наоѓаат според принципот на мини калкулатор: „1“ во долниот лев агол, „9“ во горниот десен агол. Секој дел е табела за множење на броеви од 1 до 9 (повторно во долниот лев агол со 1, веднаш до десниот за 2 итн., користејќи го истиот систем „копче со копче“). Како да ги користите?
На пример , треба да се множите 9 на 842 . Веднаш се сеќаваме на големото „копче“ 9 (тоа е горе десно и на него ментално ги наоѓаме малите копчиња 8,4,2 (исто така се наоѓаат како на калкулатор). Тие одговараат на броевите 72, 36, 18 Добиените броеви ги додаваме одделно: првата цифра е 7 (останува непроменета), 2 е ментално додадена на 3, добиваме 5 - ова е втората цифра од резултатот, 6 се додава на 1, ја добиваме третата цифра -. 7, а последната цифра од саканиот број останува - 8. Резултатот е 7578.
Ако при собирање на две цифри се добие број поголем од девет, тогаш неговата прва цифра се додава на претходната цифра од резултатот, а втората се запишува на своето „сопствено“ место.
Користејќи ја матричната табела на Оконешников, според самиот автор, можно е да се проучува странски јазици, па дури и периодниот систем. Новата техника беше тестирана во неколку руски училишта и универзитети. Министерството за образование на Руската Федерација дозволи објавување на нова табела за множење во карирани тетратки заедно со вообичаената питагорова табела - засега само за запознавање.

Пример: 15647 x 5

Индиски начин на множење.

Во античка Индија се користеле два методи на множење: решетки и галии. На прв поглед изгледаат многу комплицирани, но ако ги следите предложените вежби чекор по чекор, ќе видите дека е прилично едноставно.

На пример, ние множиме броеви 6827 и 345:

1. Нацртајте квадратна мрежа и напишете еден од броевите над колоните, а вториот по висина. Во предложениот пример, можете да користите една од овие мрежи.

Решетка 1 Решетка 2

2. Откако избравте мрежа, помножете го бројот на секој ред последователно со броевите на секоја колона. Во овој случај, ние секвенцијално множиме 3 со 6, со 8, со 2 и со 7. Погледнете го овој дијаграм за да видите како производот е запишан во соодветната ќелија.

Решетка 1

3. Погледнете како изгледа решетката со сите пополнети ќелии.

Решетка 1

4. На крајот, соберете ги броевите по дијагоналните ленти. Ако збирот на една дијагонала содржи десетици, тогаш додадете ги на следната дијагонала.

Решетка 1

Погледнете како се формира број од резултатите од собирањето броеви по дијагоналите (тие се означени со жолто) 2355315 , што епроизвод на броеви 6827 и 345, односно 6827 x 345 = 2355315.

Египетски метод на множење.

Множењето на староегипет е секвенцијален метод за множење два броја. За да множат броеви, тие не требаше да ги знаат табелите за множење, туку требаше само да можат да ги множат броевите во повеќе основи, да ги множат тие множители и да собираат. Египетскиот метод вклучува разложување на најмалиот од два фактора на множители и потоа нивно последователно множење со вториот фактор (види пример). Овој метод и денес може да се најде во многу оддалечени региони.

Распаѓање. Египќаните користеле систем на разложување на најмалиот фактор на множители, чиј збир би се збирал на оригиналниот број.

За да го изберете точниот множител, треба да ја знаете следната табела со вредности:

1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 4 x 2 = 8 8 x 2 = 16 16 x 2 = 32

Пример разложување на бројот 25: Повеќекратниот фактор за бројот „25“ е 16; 25 - 16 = 9. множителот на бројот „9“ е 8; 9 - 8 = 1. множителот на бројот „1“ е 1; 1 - 1 = 0. Така, „25“ е збир од три члена: 16, 8 и 1.

Пример: помножете го „13“ со „238“ “. Познато е дека 13 = 8 + 4 + 1. Секој од овие членови мора да се помножи со 238. Добиваме: ✔ 1 x 238 = 238 ✔ 4 x 238 = 952 ✔ 8 x 238 = 190413 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 1904 + 952 + 238 = 3094.

Кинески начин на множење.

Сега да го претставиме методот на множење, кој енергично се дискутира на Интернет, кој се нарекува кинески метод. Кога се множат броевите, се пресметуваат пресечните точки на линиите, кои одговараат на бројот на цифри на секоја цифра од двата фактора.

Пример: помножете 21 со 13 . Првиот фактор содржи 2 десетки и 1 единица, што значи дека градиме 2 паралелни и 1 права линија на растојание.

Вториот фактор има 1 десет и 3 единици. Градиме паралелно 1 и на растојание 3 линии што ги сечат линиите на првиот фактор.

Правите се сечат на точки, чиј број е одговорот, т.е 21 x 13 = 273

Смешно и интересно е, но цртањето 9 прави линии кога се множи со 9 е некако долго и неинтересно, а потоа броењето на пресечните точки... Во принцип, не можете без табела за множење!

Јапонски начин на множење.

Јапонскиот метод на множење е графички метод со користење на кругови и линии. Не помалку смешно и интересно од кинескиот. Дури и нешто слично на него.

Пример: помножете 12 со 34. Бидејќи вториот фактор е двоцифрен број, а првата цифра од првиот фактор 1 , конструираме два единечни кругови во горната линија и два бинарни кругови во долната линија, бидејќи втората цифра од првиот фактор е еднаква на 2 .

12 x 34

Од првата цифра на вториот множител 3 и вториот 4 , поделете ги круговите од првата колона на три дела, круговите од втората колона на четири.

12 x 34

Бројот на делови на кои се поделени круговите е одговорот, т.е 12 x 34 = 408.

Заклучок.

Работејќи на оваа тема дознавме дека има многу различни, смешни и интересни начинимножење. Некои сè уште се користат во различни земји. Но, не сите методи се погодни за употреба, особено кога се множат повеќецифрени броеви. Во принцип, сè уште треба да ја знаете табелата за множење!

Ова дело може да се користи за часови во математички кругови, дополнителни часови со деца по училишните часови, како дополнителен материјална час на тема „Множење на природни броеви“. Материјалот е претставен на достапен и интересен начин, што ќе го привлече вниманието и интересот на учениците кон предметот математика.

Литература.

И ЈАС. Депман, Н.Ја. Виленкин „Зад страниците на учебникот по математика“.
Л.Ф. Магнитски „Аритметика“.
Списание „Математика“ бр.15 2011 г
Интернет ресурси.