Равенката и нејзините корени. Лекција „равенки и нивните корени“. Кој е коренот на равенката

\(2x+1=x+4\) го наоѓаме одговорот: \(x=3\). Ако замените тројка наместо X, ги добивате истите вредности лево и десно:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

И ниту еден друг број освен три нема да ни даде таква еднаквост. Ова значи дека бројот \(3\) е единствениот корен на равенката.

Уште еднаш: коренот НЕ е X!X е променлива , А коренот е број , што ја претвора равенката во вистинска еднаквост (во примерот погоре, тројка). И кога решаваме равенки, го бараме овој непознат број (или броеви).

Пример : Дали \(5\) е коренот на равенката \(x^(2)-2x-15=0\)?
Решение : Ајде да го замениме \(5\) за X:

\(5^(2)-2\cdot5-15=0\)
\(25-10-15=0\)
\(0=0\)

Од двете страни на еднакви се исти вредности (нула), што значи дека 5 е навистина корен.

Матак: На тестовите на овој начин можете да проверите дали правилно сте ги нашле корените.

Пример : Кој од броевите \(0, \pm1, \pm2\) е коренот на \(2x^(2)+15x+22=0\)?
Решение : Ајде да го провериме секој од броевите со замена:

проверете \(0\):	\(2\cdot0^(2)+15\cdot0+22=0\)
	\(0+0+22=0\)
	\(22=0\) - не се совпадна, што значи дека \(0\) не одговара

проверете \(1\):	\(2\cdot1^(2)+15\cdot1+22=0\)
	\(2+15+22=0\)
	\(39=0\) - повторно не се спои, односно \(1\) не е корен

проверете \(-1\):	\(2\cdot(-1)^(2)+15\cdot(-1)+22=0\)
	\(2-15+22=0\)
	\(9=0\) - повторно еднаквоста е лажна, \(-1\)исто така од страна на

проверете \(2\):	\(2\cdot2^(2)+15\cdot2+22=0\)
	\(2\cdot4+30+22=0\)
	\(60=0\) - и повторно не е исто, \(2\) исто така не е соодветно

проверете \(-2\):	\(2\cdot(-2)^(2)+15\cdot(-2)+22=0\)
	\(2\cdot4-30+22=0\)
	\(0=0\) - конвергирана, што значи дека \(-2\) е коренот на равенката

Очигледно, решавањето равенки со испробување на сите можни вредности е лудост, бидејќи има бескрајно многу броеви. Затоа, беа развиени специјални методи за наоѓање корени. Така, на пример, за доволно е само, За – веќе се користат формули итн. Секој тип на равенки има свој метод.

Одговори на најчесто поставуваните прашања

Прашање: Може ли коренот на равенката да биде нула?
Одговор: Да, сигурно. На пример, равенката \(3x=0\) има еден корен - нула. Можете да проверите со замена.

Прашање: Кога равенката нема корени?
Одговор: Равенката може да нема корени ако нема вредности за x што би ја направиле равенката вистинска еднаквост. Впечатлив пример овде би била равенката \(0\cdot x=5\). Оваа равенка нема корени, бидејќи вредноста на X не игра улога овде (поради множење со нула) - во секој случај, левата страна секогаш ќе биде еднаква на нула. И нула не е еднаква на пет. Ова значи дека нема корени.

Прашање: Како да се создаде равенка така што коренот на оваа равенка е еднаков на некој даден број (на пример, три)?
Одговор: ќе се појави подоцна.

Прашање: Што значи „најди го помалиот корен на равенката“?
Одговор: Тоа значи дека треба да ја решите равенката и да го наведете неговиот помал корен како одговор. На пример, равенката \(x^2-5x-6=0\) има два корени: \(x_1=-1\) и \(x_2=6\). Најмал корен: \(-1\). Ова е она што ќе треба да го запишете како одговор. Ако прашуваа за поголемиот корен, тогаш ќе требаше да напишат \(6\).

Што е точно не за некое значење на буквите вклучени во него, туку само за некои. Можеме да кажеме и дека равенката е равенка која содржи непознати броеви означени со букви.

На пример, еднаквоста 10 - x= 2 е равенка бидејќи важи само кога x= 8. Еднаквост x 2 = 49 е равенка која важи за две вредности x, имено, кога x= +7 и x= -7, бидејќи (+7) 2 = 49 и (-7) 2 = 49.

Ако наместо тоа xзаменете ја неговата вредност, тогаш равенката се претвора во идентитет. Променливи како x, кои само за одредени вредности ја претвораат равенката во идентитет, се нарекуваат непознатравенки Тие обично се означени со последните букви од латинската азбука x, yИ z.

Секоја равенка има лева и десна страна. Се повикува изразот лево од знакот = левата страна на равенката, а оној од десната страна е десната страна на равенката. Се повикуваат броевите и алгебарските изрази што ја сочинуваат равенката условите на равенката:

Корени на равенката

Корен на равенката- ова е бројот што, кога ќе се замени во равенката, произведува вистинска еднаквост. Равенката може да има само еден корен, може да има неколку корени или воопшто да нема корени.

На пример, коренот на равенката

10 - x = 2

е бројот 8, и равенката

x 2 = 49

два корени - +7 и -7.

Решавањето на равенката значи да се најдат сите нејзини корени или да се докаже дека тие не постојат.

Видови равенки

Освен нумеричкиПостојат и равенки слични на оние дадени погоре, каде што сите познати количини се означени со бројки азбученравенки во кои, покрај буквите што означуваат непознати, има и букви што означуваат познати (или наводно познати) величини.

x - а = б + в
3x+ c = 2 а + 5

Според бројот на непознати, равенките се делат на равенки со 1 непозната, со 2 непознати и со 3 или повеќе непознати.

7x + 2 = 35 - 2x- равенка со една непозната
3x + y = 8x - 2y- равенка со две непознати

Ова видео зборува за концептот на равенка и неговите корени. Прво, го разгледуваме проблемот со гуски. Во проблемот, стадо гуски и одговара на гуската дека да ги има онолку колку што ги има сега, па дури и толку, и половина и четвртина, па дури и тој, тогаш ќе ги има сто. гуски. Прашање: Колку гуски има во јатото?

Непознатиот број на гуски во јатото е означен со X.

Како резултат на тоа, добивме: X + X + 1/2X + 1/4X + 1 = 100.

Оваа еднаквост содржи непозната количина X, чија вредност ја бараме. Оваа вредност можеме да ја најдеме од равенката што ја составивме. Ваквите еднаквости се нарекуваат равенки со една променлива, или равенки со една непозната.

Непознатата количина што ја бараме обично се означува со буквата X, иако може да се означи со која било буква. За прв пат, старогрчкиот математичар Диофант означи непозната големина со буква и состави равенка во експлицитна форма со непознатото во своето дело „Аритметика“.

Во конструираната равенка потребно е да се најде таква вредност на променливата што ја претвора равенката во правилна нумеричка еднаквост. Оваа вредност на непознатото се нарекува корен на равенката.

Заклучуваме дека коренот на равенката е вредноста на променливата што ја претвора равенката во вистинска нумеричка еднаквост. Решавањето на равенката значи наоѓање на многу нејзини корени, чиј број може да варира. Може да има еден корен, може да има неколку од нив или може да нема ниту еден. На крајот на краиштата, за да решите равенка, треба да ги одредите сите нејзини корени или да бидете сигурни дека равенката нема корени.

Бројот на корените на равенката може да варира во зависност од видот на равенката. Во некои случаи, бројот може да биде бесконечен, или може да биде еднаков на нула. За да биде убедлив, авторот предлага да се разгледаат примери на равенки кои имаат различни количиникорени. Ова се равенките X + 1 = 6, (X - 1)(X - 5)(X - 8) = 0, X = X + 4, 3(X + 5) = 3X + 15. Во првиот случај, има еден корен, па штом во случајот кога X = 5, равенката станува вистинска бројна еднаквост 6 = 6. Втората равенка има три корени. Тоа се броевите 1, 5, 8. Тоа е со овие вредности променлива на изразувањеВо загради, тие ја земаат вредноста 0 за возврат Кога ќе се помножат со 0, целиот израз станува еднаков на 0. Добиваме еднаквост 0 = 0. Третата равенка нема корени, бидејќи за која било вредност на X, десната страна зема. на вредност поголема од левата. Четвртата равенка, пак, има бесконечен број корени поради употребата на асоцијативното својство на множење. По отворањето на заградите, и левата и десната страна на равенката имаат иста форма: 3X + 15 = 3X = 15.

Следно, авторот го воведува концептот на прифатливи вредности на непознатото. За да го направите ова, ги разгледуваме равенките 17 - 3X = 2X - 2 и (25 - X)/(X - 2) = X + 9. Ако во првиот случај непознатата X може да земе каква било вредност, тогаш во вториот случај со X = 2 добиваме делење со 0 Затоа, вредностите на променливата што може да се заменат во равенката во првиот случај се сите броеви, а во вториот - сите броеви освен 2.

Доменот на равенката е збир на променливи вредности за кои двете страни на равенката имаат смисла.

По ова се воведува концептот на еквивалентност на равенките. Се разгледуваат равенките X 2 = 36 и (X - 6) (X + 6) = 0 Овие равенки имаат исти корени; Ваквите равенки обично се нарекуваат еквивалентни.

При решавање на равенките тие се заменуваат еквивалентни равенки, но поедноставно во форма. Неопходно е да се запамети некои правила за замена на равенката со еквивалентна равенка. При пренесување на член преку знакот за еднакво, го менуваме знакот на членот во спротивен. Кога ќе ги помножите или поделите двете страни на равенката со ист број различен од 0, равенката останува еквивалентна. Може да се направи идентитетски трансформации, доколку не влијаат на доменот на дефинирање на равенката.

Тема на часот: „Равенката и нејзините корени“.

Класа 7

Наставник по математика: Кобиза Татјана Василиевна

Цели:

Образовни . Дајте им на учениците разбирање за равенката и нејзините корени; продлабочување на вештините за примена на својствата на решавање равенки.

Развојна. Продолжете со формирање на елементи на алгоритамска култура, развивајте логично размислување, меморија, формирајте компетентен математички говор, способност за анализа и самодоверба.

Образовни . Продолжете да развивате комуникациски вештини, толеранција и одговорност за вашите проценки.

Предвидени студентски цели: запомни решавање на равенки користејќи својства од 6 одделение; разберете ја врската помеѓу типот на наједноставната равенка и нејзиниот корен, научете да решавате еквивалентни равенки.

Технички помагала за обука : мултимедијален проектор, материјали.

Напредокот на лекцијата

Организација на почетокот на часот.

Поставување цел.

2. Математички диктат

Дополни ја реченицата: „Изразот 2x – 5 е...“ (буква/нумерички)

Нумерички израз е запис кој се состои од _________________________________________________________________

Алгебарски израз е запис кој се состои од ________________________________________________________________

Направете израз врз основа на условите на проблемот: „Молив чини x рубли, а тетратка чини 25 рубли. Колку чинат 3 моливи и 1 тетратка? (3x + 25 / x + +225)

Решете ја равенката

5x – 4 = 6

(x = 2)

Задачите дадени во квадратни загради се наменети за втората опција.

3. Пријавете ја темата на часот.

Која беше последната задача во диктатот? (Реши ја равенката).

Почнавте повторно да учите да решавате равенки основно училиште. Оваа тема ја сретнавме во 5 и 6 одделение, секој пат учевме нешто ново за равенките. Целта на нашата денешна лекција е да го генерализираме и систематизираме знаењето за равенките.

4. Проучување на нов материјал (со користење на компјутерска презентација).

– Отворете ги вашите тетратки и запишете ја темата на нашата лекција „Равенката и нејзините корени“. (Слајд 1)

– Ајде да се обидеме да ја дефинираме равенката. Што е ова? (Слајд 2)

Равенката која содржи променлива се нарекува равенка со една променлива или равенка со една непозната.

3) Запомнувајќи ја дефиницијата за равенка, одреди дали дадениот запис е равенка:

а) x + 2 = 1,3;

б) 3у – 4;

в) x = - 8,1;

г) 16 * 5 – 8 = 72;

д) 1,5 x + 2,8 = 5,8. (Слајд 3)

Децата ги објаснуваат своите одговори со истакнување дали записот е еднаквост или дали содржи променлива.

4) - Ве молиме запомнете што се нарекува корен на равенката.

Коренот на равенката е вредноста на променливата при која равенката станува вистинска еднаквост.

Ајде да ги провериме вашите одговори. (Слајд 4)

5) – Како да дознаете дали даден бројкоренот на равенката или не? (Треба да замените број во равенката наместо променлива, видете дали равенката се претвора во вистинска равенка или не.)

Откријте дали бројот 2 е коренот на равенката:

а) 4 + 3x = 10;

б) (x – 5) (x + 1) = 11;

в) 6(3x – 1) = 12x + 6. (Слајд 5)

Учениците го заменуваат бројот 2 во секоја равенка за да видат дали ја прави равенката вистинита. Извлечете го соодветниот заклучок.

6) – Следната задача ќе ја завршиме писмено.

Определи кои од броевите – 2, - 1, 0, 2, 3 се корен на равенката x2 + 3x = 10. (Слајд 6)

Задачата учениците ја пополнуваат во тетратка. Некои ученици наизменично прават соодветни белешки на таблата.

Примерок за задача:

Коренот на равенката x2 + 3x = 10 е бројот

а) -2 не е, бидејќи (-2)2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = - 2, и -2 10;

б) – 1 не е, бидејќи (- 1)2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, и – 2 10;

в) 0 не е, бидејќи 02 + 3 * 0 = 0, а 0 е 10;

г) 2 е, бидејќи 22 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10, и 10 = 10;

д) 3 не е, бидејќи 32 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18, а 18 е 10.

7) Физ. пауза.

Сега да се одмориме малку. Седнете удобно.

Нацртајте триаголник со очите.

Сега превртете го

Одозгора надолу.

И повторно со моите очи

Водите околу периметарот.

Нацртајте фигура осум вертикално.

Не ја врти главата

Само внимавајте со очите

Ги следите линиите на водата.

И ставете го на страна.

Сега гледајте хоризонтално

И застануваш во центарот.

Цврсто затворете ги очите, не бидете мрзливи.

Конечно ги отвораме очите

Полнењето заврши.

Браво!

Обидете се сами да креирате равенка, чиј корен би бил бројот 3. (Слајд 7)

Откако ќе ја завршат задачата самостојно, некои ученици ги читаат равенките што ги добиле, а часот одредува дали задачата е правилно завршена.

9) – Што мислите дека значи да се реши равенка?

Решавањето на равенката значи наоѓање на нејзините корени или докажување дека нема корени. (Слајд 8)

10) – Кои од овие равенки немаат корени:

а) 3x = 5x;

б) 4(x + 1) = 4x +7;

в) 3x + 12 = 3 (x + 4). (Слајд 9)

Децата даваат одговори, оправдувајќи ги.

11) – Што се нарекува модул на број?

Кој е модулот на позитивен број?

Модул нула? Негативен број?

Може ли модулот на еден број да биде еднаков на негативен број?

Дали мислите дека овие равенки имаат корени и, ако имаат, колку:

а) l x l = 7;

б) l x l = 0;

в) l x l = - 1;

г) l x l = 2,5. (Слајд 10)

12) - Денеска се запознаваме со нов концепт за вас - оваеквивалентна равенка . Обидете се да погодите кои равенки се нарекуваат еквивалентни.

Равенките кои имаат исти корени се нарекуваат еквивалентни равенки. (Слајд 11)

13) – Која равенка е еквивалентна на равенката 3x – 10 = 50? (Слајд 12)

Учениците создаваат равенки еквивалентни на оваа, ги запишуваат во тетратка, а некои од равенките што ги создаваат се читаат и дискутираат од одделението.

14) – При решавање равенки ги користиме својствата што ги учевме во 6 одделение. Да се потсетиме на нив. (Слајд 13)

1) Ако поместите член во равенката од еден дел во друг, менувајќи го неговиот знак во спротивен, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената.

2) Ако двете страни на равенката се помножат или поделат со ист број што не е нула, се добива равенка еквивалентна на дадената.

15) – Заменете ги равенките со еквивалентни равенки со целобројни коефициенти:

а) 0,1x = - 5;

б) – 0,19 y = 3;

в) - 0,7x = - 4,9. (Слајд 14)

Заменете ги равенките со еквивалентни равенки од формата ax = b:

а) 8x + 15 = 39;

б) 16 – 2x = 10. (Слајд 15)

5. Сумирање на лекцијата. (Слајд 16)

Дефинирајте равенка со една променлива.

Кој е коренот на равенката?

Дали сите равенки имаат корени?

Што значи да се реши равенка?

Кои равенки се нарекуваат еквивалентни?

Наведете ги својствата што се користат при решавање равенки.

Домашна задача.

Назад Напред

Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

Цели:

генерализира и систематизира знаење на тема „Равенки“;
промовираат развој логично размислувањеи ученичкиот говор.

Технички помагала за обука:мултимедијален проектор.

Напредокот на лекцијата

1. Домашна задача:став 6, бр. 113, 117, 120.

2. Математички диктат(како карбонска копија).

Децата земаат диктати, разменуваат тетратки, си ја проверуваат работата. Одговорите се проектирани на табла.

3. Пријавете ја темата на часот.

Која беше последната задача во диктатот? (Реши ја равенката).

Почнавте да учите да решавате равенки во основно училиште. Оваа тема ја сретнавме во 5-то и 6-то одделение, секој пат учевме нешто ново за равенките. Целта на нашата денешна лекција е да го генерализираме и систематизираме знаењето за равенките.

4. Учење нов материјал(со користење на компјутерска презентација).

1) – Запишете ја темата на нашата лекција „Равенката и нејзините корени“. (Слајд 1)

2) - Ајде да се обидеме да ја дефинираме равенката. Што е ова? (Слајд 2)

Еднаквост што содржи променлива,се нарекува равенка со една променлива или равенка со една непозната.

3) Запомнувајќи ја дефиницијата за равенка, одреди дали дадениот запис е равенка:

а) x + 2 = 1,3;

г) 16 * 5 – 8 = 72;

д) 1,5 x + 2,8 = 5,8. (Слајд 3)

Децата ги објаснуваат своите одговори со истакнување дали записот е еднаквост или дали содржи променлива.

4) - Ве молиме запомнете што се нарекува корен на равенката.

Корен на равенкатае вредноста на променливата при која равенката станува вистинита.

Ајде да ги провериме вашите одговори. (Слајд 4)

5) – Како да откриеме дали даден број е корен на равенка или не? (Треба да замените број во равенката наместо променлива, видете дали ова ја претвора равенката во вистинска равенка или не.)

Откријте дали бројот 2 е коренот на равенката:

а) 4 + 3x = 10;

б) (x – 5) (x + 1) = 11;

в) 6(3x – 1) = 12x + 6. (Слајд 5)

6) – Следната задача ќе ја завршиме писмено.

Определи кои од броевите – 2, - 1, 0, 2, 3 се корен на равенката x 2 + 3x = 10. (Слајд 6)

Примерок за задача:

Коренот на равенката е x 2 + 3x = 10 број

а) -2 не е, бидејќи (-2) 2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = - 2, и -2 10;

б) – 1 не е, бидејќи (- 1) 2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, и – 2 10;

в) 0 не е, бидејќи 0 2 + 3 * 0 = 0, и 0 10;

г) 2 е, бидејќи 2 2 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10 и 10 = 10;

д) 3 не е, бидејќи 3 2 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18 и 18 10.

7) Физ. пауза.

Сега да се одмориме малку. Седнете удобно.

1. Правиме вертикални движења со очите горе-долу.

2. Хоризонтални движењаочи десно - лево.

3. „Ајде да нацртаме линија со нашите очи“ (постерот покажува неколку линии, децата „водат“ по нив со очите од точка до точка).

Следниве вежби ги изведуваме стоејќи.

4. – Прво подигнете го десното рамо нагоре, па левото, спуштете го прво десното рамо, па левото. Така продолжуваме еден по еден.

5. „Се откажуваме“.

6. „Истресете ја водата од рацете“.