Усно решение на квадратни равенки и теорема на Виета. Како да се решаваат равенки користејќи ја теоремата на Виета во математиката Формула за теорема на Виета за примери на квадратни равенки

Во осмо одделение учениците се запознаваат со квадратните равенки и како да ги решат. Во исто време, како што покажува искуството, повеќето студенти, кога решаваат целосни квадратни равенки, користат само еден метод - коренската формула квадратна равенка. За студентите кои имаат добри ментални аритметички вештини, овој метод е јасно ирационален. Учениците често мораат да решаваат квадратни равенки дури и во средно училиште, а таму едноставно е штета да се троши време за пресметување на дискриминаторот. Според мене при изучувањето на квадратните равенки треба да се посвети повеќе време и внимание на примената на теоремата на Виета (според програмата А.Г. Мордкович Алгебра-8 предвидени се само два часа за изучување на темата „Теорема на Виета. Разложување на квадрат трином во линеарни фактори“).

Во повеќето учебници за алгебра, оваа теорема е формулирана за намалената квадратна равенка и вели дека ако равенката има корени и тогаш равенките , , се задоволени за нив.Потоа се формулира изјава што е обратна на теоремата на Виета и се нудат голем број примери за вежбање на оваа тема.

Да земеме конкретни примери и да ја следиме логиката на решението користејќи ја теоремата на Виета.

Пример 1. Решете ја равенката.

Да речеме дека оваа равенка има корени, имено и . Тогаш, според теоремата на Виета, еднаквостите мора истовремено да важат:

Ве молиме имајте предвид дека производот на корените е позитивен број. Тоа значи дека корените на равенката се со ист знак. И бидејќи збирот на корените е исто така позитивен број, заклучуваме дека двата корени на равенката се позитивни. Да се ​​вратиме повторно на производот на корените. Да претпоставиме дека корените на равенката се позитивни цели броеви. Тогаш точното прво равенство може да се добие само на два начина (до редоследот на факторите): или . Дозволете ни да ја провериме за предложените парови на броеви изводливоста на втората изјава на теоремата на Виета: . Така, броевите 2 и 3 ги задоволуваат двете еднаквости, и затоа се корените на дадената равенка.

Одговор: 2; 3.

Да ги истакнеме главните фази на расудување при решавање на горната квадратна равенка користејќи ја теоремата на Виета:

запишете го исказот на теоремата на Виета

(*)

• определи ги знаците на корените на равенката (ако производот и збирот на корените се позитивни, тогаш двата корени се позитивни броеви. Ако производот на корените е позитивен број, а збирот на корените е негативен, тогаш двата корени се негативни броеви. Ако производот на корените е негативен број, тогаш корените имаат различни знаци. Освен тоа, ако збирот на корените е позитивен, тогаш поголемиот корен во модулот е позитивен број, а ако збирот од корените е помал од нула, тогаш поголемиот корен во модул е ​​негативен број);
• изберете парови цели броеви чиј производ ја дава точната прва еднаквост во ознаката (*);
• од пронајдените парови на броеви, изберете го парот што, кога ќе се замени во второто равенство во ознаката (*), ќе ја даде точната еднаквост;
• во вашиот одговор наведете ги пронајдените корени на равенката.

Да дадеме уште неколку примери.

Пример 2: Решете ја равенката .

Решение.

Нека и се корените на дадената равенка. Потоа, според теоремата на Виета, забележуваме дека производот е позитивен, а збирот е негативен број. Ова значи дека двата корени се негативни броеви. Избираме парови на фактори кои даваат производ од 10 (-1 и -10; -2 и -5). Вториот пар на броеви се собира до -7. Тоа значи дека броевите -2 и -5 се корените на оваа равенка.

Одговор: -2; -5.

Пример 3: Решете ја равенката .

Решение.

Нека и се корените на дадената равенка. Потоа, според теоремата на Виета, забележуваме дека производот е негативен. Тоа значи дека корените се со различни знаци. Збирот на корените е исто така негативен број. Тоа значи дека коренот со најголем модул е ​​негативен. Избираме парови на фактори кои го даваат производот -10 (1 и -10; 2 и -5). Вториот пар на броеви се собира до -3. Ова значи дека броевите 2 и -5 се корените на оваа равенка.

Одговор: 2; -5.

Забележете дека теоремата на Виета, во принцип, може да се формулира за целосна квадратна равенка: ако квадратна равенка има корени и , тогаш еднаквостите , , се задоволуваат за нив.Сепак, примената на оваа теорема е доста проблематична, бидејќи во целосна квадратна равенка барем еден од корените (ако ги има, се разбира) е дробен број. А работата со избирање дропки е долга и тешка. Но сепак има излез.

Размислете за целосната квадратна равенка . Помножете ги двете страни на равенката со првиот коефициент Аи запишете ја равенката во форма . Дозволете ни да воведеме нова променлива и да ја добиеме намалената квадратна равенка, чии корени и (ако е достапно) може да се најдат со помош на теоремата на Виета. Тогаш корените на првобитната равенка ќе бидат . Ве молиме имајте предвид дека е многу едноставно да се создаде помошната намалена равенка: вториот коефициент е зачуван, а третиот коефициент е еднаков на производот ак. Со одредена вештина, учениците веднаш создаваат помошна равенка, ги наоѓаат нејзините корени користејќи ја теоремата на Виета и ги посочуваат корените на дадената целосна равенка. Да дадеме примери.

Пример 4: Решете ја равенката .

Ајде да создадеме помошна равенка и користејќи ја теоремата на Виета ќе ги најдеме нејзините корени. Ова значи дека корените на оригиналната равенка .

Одговор: .

Пример 5: Решете ја равенката .

Помошната равенка има форма . Според теоремата на Виета, неговите корени се . Наоѓање на корените на првобитната равенка .

Одговор: .

И уште еден случај кога примената на теоремата на Виета ви овозможува вербално да ги пронајдете корените на целосна квадратна равенка. Не е тешко да се докаже тоа бројот 1 е коренот на равенката , ако и само ако. Вториот корен од равенката се наоѓа со теоремата на Виета и е еднаков на . Уште една изјава: така што бројот –1 е коренот на равенката неопходно и доволно за да. Тогаш вториот корен од равенката според теоремата на Виета е еднаков на. Слични изјави може да се формулираат и за намалената квадратна равенка.

Пример 6: Решете ја равенката.

Забележете дека збирот на коефициентите на равенката е нула. Значи, корените на равенката .

Одговор: .

Пример 7. Решете ја равенката.

Коефициентите на оваа равенка го задоволуваат својството (навистина, 1-(-999)+(-1000)=0). Значи, корените на равенката .

Одговор: ..

Примери за примена на теоремата на Виета

Задача 1. Решете ја дадената квадратна равенка користејќи ја теоремата на Виета.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Задача 2. Решете ја целосната квадратна равенка со преминување на помошната намалена квадратна равенка.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Задача 3. Решете квадратна равенка користејќи го својството.

Речиси секоја квадратна равенка \ може да се претвори во форма \ Сепак, ова е можно ако првично го поделите секој член со коефициент \пред \ Покрај тоа, можете да воведете нова нотација:

\[(\frac (b)(a))= p\] и \[(\frac (c)(a)) = q\]

Поради ова, ќе имаме равенка \ наречена во математиката намалена квадратна равенка. Корените на оваа равенка и коефициентите се меѓусебно поврзани, што е потврдено со теоремата на Виета.

Теорема на Виета: Збирот на корените на намалената квадратна равенка \ е еднаков на вториот коефициент \ земен со спротивен знак, а производот на корените е слободниот член \

За јасност, да ја решиме следнава равенка:

Ајде да ја решиме оваа квадратна равенка користејќи ги напишаните правила. Откако ги анализиравме првичните податоци, можеме да заклучиме дека равенката ќе има два различни корени, бидејќи:

Сега, од сите фактори на бројот 15 (1 и 15, 3 и 5), ги избираме оние чија разлика е еднаква на 2. Под овој услов спаѓаат броевите 3 и 5. Пред помалиот ставаме знак минус број. Така, ги добиваме корените на равенката \

Одговор: \[ x_1= -3 и x_2 = 5\]

Каде можам да решам равенка користејќи ја теоремата на Виета на интернет?

Равенката можете да ја решите на нашата веб-страница https://site. Бесплатниот онлајн решавач ќе ви овозможи да решавате онлајн равенки од секаква сложеност за неколку секунди. Сè што треба да направите е едноставно да ги внесете вашите податоци во решавачот. Можете исто така да гледате видео инструкции и да научите како да ја решите равенката на нашата веб-страница. И ако сè уште имате прашања, можете да ги поставите во нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Придружете се на нашата група, ние секогаш сме среќни да ви помогнеме.

Помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка, покрај коренските формули, постојат и други корисни врски кои се дадени Теорема на Виета. Во оваа статија ќе дадеме формулација и доказ за теоремата на Виета за квадратна равенка. Следно, ја разгледуваме теоремата обратна на теоремата на Виета. По ова, ќе ги анализираме решенијата на најтипичните примери. Конечно, ги запишуваме формулите Vieta кои ја дефинираат врската помеѓу вистинските корени алгебарска равенка степенот n и неговите коефициенти.

Навигација на страницата.

Теорема на Виета, формулација, доказ

Од формулите на корените на квадратната равенка a·x 2 +b·x+c=0 од формата, каде што D=b 2 −4·a·c следуваат следните односи: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Овие резултати се потврдени Теорема на Виета:

Теорема.

Ако x 1 и x 2 се корените на квадратната равенка a x 2 +b x+c=0, тогаш збирот на корените е еднаков на односот на коефициентите b и a, земени со спротивен знак, а производот од корените се еднакви на односот на коефициентите c и a, односно .

Доказ.

Доказот на теоремата на Виета ќе го спроведеме според следната шема: го составуваме збирот и производот на корените на квадратната равенка користејќи познати коренски формули, потоа ги трансформираме добиените изрази и се уверуваме дека тие се еднакви на −b/ a и c/a, соодветно.

Да почнеме со збирот на корените и да го составиме. Сега ги доведуваме дропките до заеднички именител, имаме . Во броителот на добиената дропка, по што:. Конечно, по 2, добиваме . Ова ја докажува првата релација на теоремата на Виета за збирот на корените на квадратна равенка. Да преминеме на второто.

Го составуваме производот од корените на квадратната равенка: . Според правилото за множење дропки, последно парчеможе да се напише како . Сега множиме заграда со заграда во броителот, но побрзо е да се склопи овој производ со формула за квадратна разлика, Значи. Потоа, сеќавајќи се, ја извршуваме следната транзиција. И бидејќи дискриминантата на квадратната равенка одговара на формулата D=b 2 −4·a·c, тогаш наместо D во последната дропка можеме да го замениме b 2 −4·a·c, добиваме. По отворањето на заградите и леењето слични терминидоаѓаме до дропката , а нејзиното намалување за 4·a дава . Ова ја докажува втората релација на теоремата на Виета за производот на корените.

Ако ги испуштиме објаснувањата, доказот на теоремата на Виета ќе има лаконска форма:
,
.

Останува само да се забележи дека ако дискриминаторот е еднаков на нула, квадратната равенка има еден корен. Меѓутоа, ако претпоставиме дека равенката во овој случај има два идентични корени, тогаш важат и еднаквостите од теоремата на Виета. Навистина, кога D=0 коренот на квадратната равенка е еднаков на , тогаш и , и бидејќи D=0, односно b 2 −4·a·c=0, од ​​каде b 2 =4·a·c, тогаш .

Во пракса, теоремата на Виета најчесто се користи во однос на намалената квадратна равенка (со водечки коефициент a еднаков на 1) од формата x 2 +p·x+q=0. Понекогаш се формулира за квадратни равенки токму од овој тип, што не ја ограничува општоста, бидејќи секоја квадратна равенка може да се замени со еквивалентна равенка со делење на двете страни со ненула број a. Да ја дадеме соодветната формулација на теоремата на Виета:

Теорема.

Збирот на корените на намалената квадратна равенка x 2 +p x+q=0 е еднаков на коефициентот x земен со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член, односно x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Теоремата е во спротивност со теоремата на Виета

Втората формулација на теоремата на Виета, дадена во претходниот пасус, покажува дека ако x 1 и x 2 се корените на намалената квадратна равенка x 2 +p x+q=0, тогаш односите x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Од друга страна, од напишаните релации x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q произлегува дека x 1 и x 2 се корените на квадратната равенка x 2 +p x+q=0. Со други зборови, обратната страна на теоремата на Виета е вистинита. Да го формулираме во форма на теорема и да го докажеме.

Теорема.

Ако броевите x 1 и x 2 се такви што x 1 +x 2 =−p и x 1 · x 2 =q, тогаш x 1 и x 2 се корените на намалената квадратна равенка x 2 +p · x+q =0.

Доказ.

Откако ќе се заменат коефициентите p и q во равенката x 2 +p x+q=0 со нивните изрази преку x 1 и x 2 , се трансформира во еквивалентна равенка.

Дозволете ни да го замениме бројот x 1 наместо x во добиената равенка, и ја имаме еднаквоста x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, што за било кој x 1 и x 2 претставува точна бројна еднаквост 0=0, бидејќи x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Според тоа, x 1 е коренот на равенката x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, што значи x 1 е коренот на еквивалентната равенка x 2 +p·x+q=0.

Ако во равенката x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0заменете го бројот x 2 наместо x, добиваме еднаквост x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Ова е вистинска еднаквост, бидејќи x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Според тоа, x 2 е исто така корен на равенката x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, а со тоа и равенките x 2 +p·x+q=0.

Ова го комплетира доказот на теоремата, обратна страна на теорематаВиета.

Примери за користење на теоремата на Виета

Време е да зборуваме за практичната примена на теоремата на Виета и нејзината обратна теорема. Во овој дел ќе ги анализираме решенијата на неколку од најтипичните примери.

Да почнеме со примена на теоремата конверзна на теоремата на Виета. Удобно е да се користи за да се провери дали дадените два броја се корени на дадена квадратна равенка. Во овој случај се пресметува нивниот збир и разлика, по што се проверува валидноста на односите. Ако и двете од овие релации се задоволени, тогаш врз основа на теоремата која е спротивна на теоремата на Виета, се заклучува дека овие бројки се корените на равенката. Ако барем една од односите не е задоволена, тогаш овие бројки не се корените на квадратната равенка. Овој пристап може да се користи при решавање на квадратни равенки за проверка на пронајдените корени.

Пример.

Кој од паровите броеви 1) x 1 =−5, x 2 =3, или 2) или 3) е пар корени на квадратната равенка 4 x 2 −16 x+9=0?

Решение.

Коефициентите на дадената квадратна равенка 4 x 2 −16 x+9=0 се a=4, b=−16, c=9. Според теоремата на Виета, збирот на корените на квадратната равенка треба да биде еднаков на −b/a, односно 16/4=4, а производот на корените треба да биде еднаков на c/a, односно 9. /4.

Сега да го пресметаме збирот и производот на броевите во секој од трите дадени парови и да ги споредиме со вредностите што штотуку ги добивме.

Во првиот случај имаме x 1 +x 2 =−5+3=−2. Добиената вредност е различна од 4, така што не може да се изврши дополнителна проверка, но користејќи ја теоремата обратна на теоремата на Виета, веднаш може да се заклучи дека првиот пар на броеви не е пар корени на дадената квадратна равенка.

Да преминеме на вториот случај. Овде, односно, првиот услов е исполнет. Го проверуваме вториот услов: добиената вредност е различна од 9/4. Следствено, вториот пар на броеви не е пар корени на квадратната равенка.

Остана уште еден последен случај. Еве и. И двата услови се исполнети, така што овие броеви x 1 и x 2 се корените на дадената квадратна равенка.

Одговор:

Конверзитетот на теоремата на Виета може да се користи во пракса за да се најдат корените на квадратната равенка. Вообичаено, се избираат целобројни корени на дадените квадратни равенки со целобројни коефициенти, бидејќи во други случаи тоа е доста тешко да се направи. Во овој случај, тие го користат фактот дека ако збирот на два броја е еднаков на вториот коефициент на квадратна равенка, земен со знакот минус, а производот од овие броеви е еднаков на слободниот член, тогаш овие броеви се корените на оваа квадратна равенка. Ајде да го разбереме ова со пример.

Да ја земеме квадратната равенка x 2 −5 x+6=0. За броевите x 1 и x 2 да бидат корени на оваа равенка, треба да се задоволат две равенства: x 1 + x 2 =5 и x 1 ·x 2 =6. Останува само да се изберат такви бројки. Во овој случај, ова е прилично едноставно да се направи: таквите броеви се 2 и 3, бидејќи 2+3=5 и 2·3=6. Така, 2 и 3 се корените на оваа квадратна равенка.

Теоремата инверзна на теоремата на Виета е особено погодна за користење за да се најде вториот корен на дадена квадратна равенка кога еден од корените е веќе познат или очигледен. Во овој случај, вториот корен може да се најде од која било од односите.

На пример, да ја земеме квадратната равенка 512 x 2 −509 x −3=0. Овде е лесно да се види дека единството е коренот на равенката, бидејќи збирот на коефициентите на оваа квадратна равенка е еднаков на нула. Значи x 1 = 1. Вториот корен x 2 може да се најде, на пример, од релацијата x 1 ·x 2 =c/a. Имаме 1 x 2 =−3/512, од кои x 2 =−3/512. Вака ги определивме двата корени на квадратната равенка: 1 и −3/512.

Јасно е дека изборот на корени е препорачлив само во наједноставните случаи. Во други случаи, за да најдете корени, можете да користите формули за корените на квадратната равенка преку дискриминатор.

Друга практична употребатеоремата, спротивно на теоремата на Виета, се состои во составување квадратни равенки според дадени корени x 1 и x 2 . За да го направите ова, доволно е да се пресмета збирот на корените, кој го дава коефициентот за x со спротивен знак од дадената квадратна равенка, и производот на корените, кој дава слободен член.

Пример.

Напишете квадратна равенка чии корени се −11 и 23.

Решение.

Да означиме x 1 =−11 и x 2 =23. Ги пресметуваме збирот и производот на овие броеви: x 1 +x 2 =12 и x 1 ·x 2 =−253. Според тоа, посочените броеви се корените на намалената квадратна равенка со втор коефициент −12 и слободен член −253. Односно, x 2 −12·x−253=0 е бараната равенка.

Одговор:

x 2 −12·x−253=0.

Теоремата на Виета многу често се користи при решавање на проблеми поврзани со знаците на корените на квадратните равенки. Како е поврзана теоремата на Виета со знаците на корените на намалената квадратна равенка x 2 +p·x+q=0? Еве две релевантни изјави:

• Ако пресекот q е позитивен број и ако квадратната равенка има реални корени, тогаш или двете се позитивни или и двете негативни.
• Ако слободниот член q е негативен број и ако квадратната равенка има реални корени, тогаш нивните знаци се различни, со други зборови, едниот корен е позитивен, а другиот негативен.

Овие искази произлегуваат од формулата x 1 · x 2 =q, како и од правилата за позитивно множење, негативни броевии броеви со различни знаци. Ајде да погледнеме примери за нивната примена.

Пример.

Р тоа е позитивно. Со помош на формулата за дискриминација наоѓаме D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, вредноста на изразот r 2 +8 е позитивен за кој било реален r, со што D>0 за кој било реален r. Следствено, оригиналната квадратна равенка има два корени за сите реални вредности на параметарот r.

Сега да дознаеме кога корените имаат различни знаци. Ако знаците на корените се различни, тогаш нивниот производ е негативен, а според теоремата на Виета, производот од корените на намалената квадратна равенка е еднаков на слободниот член. Затоа, ние сме заинтересирани за оние вредности на r за кои слободниот член r−1 е негативен. Така, за да ги најдеме вредностите на r што нè интересираат, ни треба одлучи линеарна нееднаквост r−1<0 , откуда находим r<1 .

Одговор:

на р<1 .

Формулите на Виета

Погоре зборувавме за теоремата на Виета за квадратна равенка и ги анализиравме односите што таа ги потврдува. Но, постојат формули кои ги поврзуваат вистинските корени и коефициенти на не само квадратни равенки, туку и кубни равенки, равенки од четврти степен и воопшто, алгебарски равенкистепен n. Тие се нарекуваат Формулите на Виета.

Да ја напишеме формулата Виета за алгебарска равенка со степен n на формата и ќе претпоставиме дека има n вистински корени x 1, x 2, ..., x n (меѓу нив може да има и коинцидираат):

Може да се добијат формули на Виета теорема за разложување на полином на линеарни фактори, како и дефинирање на еднакви полиноми преку еднаквост на сите нивни соодветни коефициенти. Значи полиномот и неговото проширување во линеарни фактори на формата се еднакви. Отворајќи ги заградите во последниот производ и изедначувајќи ги соодветните коефициенти, ги добиваме формулите на Виета.

Конкретно, за n=2 ги имаме веќе познатите Vieta формули за квадратна равенка.

За кубна равенка, формулите на Виета ја имаат формата

Останува само да се забележи дека на левата страна од формулите на Виета се наоѓаат т.н. симетрични полиноми.

Библиографија.

• Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. За 2 часа.Дел 1. Учебник за студенти на општообразовни институции / А.Г. Мордкович. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебраи почетокот на математичката анализа. 10-то одделение: учебник. за општо образование институции: основни и профил. нивоа / [Ју. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; Изменето од A. B. Жижченко. - 3-то издание. - М.: Образование, 2010.- 368 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Во математиката постојат посебни техники со кои многу квадратни равенки може да се решат многу брзо и без никакви дискриминатори. Покрај тоа, со соодветна обука, многумина почнуваат да ги решаваат квадратните равенки усно, буквално „на прв поглед“.

За жал, во современиот тек на училишната математика, таквите технологии речиси и не се изучуваат. Но, треба да знаете! И денес ќе разгледаме една од овие техники - теоремата на Виета. Прво, да воведеме нова дефиниција.

Квадратна равенка од формата x 2 + bx + c = 0 се нарекува намалена. Ве молиме имајте предвид дека коефициентот за x 2 е 1. Нема други ограничувања за коефициентите.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 е намалена квадратна равенка;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - исто така намалена;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - но тоа воопшто не е дадено, бидејќи коефициентот x 2 е еднаков на 2.

Се разбира, секоја квадратна равенка од формата ax 2 + bx + c = 0 може да се намали - само поделете ги сите коефициенти со бројот a. Секогаш можеме да го направиме ова, бидејќи дефиницијата за квадратна равенка имплицира дека ≠ 0.

Точно, овие трансформации нема секогаш да бидат корисни за наоѓање корени. Подолу ќе се погрижиме тоа да се направи само кога во крајната равенка дадена со квадратот сите коефициенти се цели броеви. Засега, да ги погледнеме наједноставните примери:

Задача. Претворете ја квадратната равенка во намалената равенка:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Да ја поделиме секоја равенка со коефициентот на променливата x 2. Добиваме:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - подели сè со 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - поделено со −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - поделено со 1,5, сите коефициенти станаа цели броеви;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - поделено со 2. Во овој случај се појавија фракциони коефициенти.

Како што можете да видите, горенаведените квадратни равенки може да имаат целобројни коефициенти дури и ако првобитната равенка содржела фракции.

Сега да ја формулираме главната теорема, за која, всушност, беше воведен концептот на намалена квадратна равенка:

Теорема на Виета. Размислете за намалената квадратна равенка од формата x 2 + bx + c = 0. Да претпоставиме дека оваа равенка има реални корени x 1 и x 2. Во овој случај, следните изјави се вистинити:

1. x 1 + x 2 = −b. Со други зборови, збирот на корените на дадената квадратна равенка е еднаков на коефициентот на променливата x, земен со спротивен знак;
2. x 1 x 2 = в. Производот на корените на квадратната равенка е еднаков на слободниот коефициент.

Примери. За едноставност, ќе ги разгледаме само горенаведените квадратни равенки кои не бараат дополнителни трансформации:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; корени: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; корени: x 1 = 3; x 2 = -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; корени: x 1 = −1; x 2 = −4.

Теоремата на Виета ни дава дополнителни информации за корените на квадратната равенка. На прв поглед, ова може да изгледа тешко, но дури и со минимална обука ќе научите да ги „гледате“ корените и буквално да ги погодувате за неколку секунди.

Задача. Решете ја квадратната равенка:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Ајде да се обидеме да ги напишеме коефициентите користејќи ја теоремата на Виета и да ги „погодиме“ корените:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 е намалена квадратна равенка.
   Со теоремата на Виета имаме: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Лесно е да се види дека корените се броевите 2 и 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - исто така намален.
   Со теорема на Виета: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Оттука корените: 3 и 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - оваа равенка не е намалена. Но, ова ќе го поправиме сега со делење на двете страни на равенката со коефициентот a = 3. Добиваме: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Решаваме користејќи ја теоремата на Виета: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ корени: −10 и −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - повторно коефициентот за x 2 не е еднаков на 1, т.е. равенката не е дадена. Сè делиме со бројот a = −7. Добиваме: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Со теоремата на Виета: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Од овие равенки лесно е да се погодат корените: 5 и 6.

Од горенаведеното расудување е јасно како теоремата на Виета го поедноставува решението на квадратните равенки. Без комплицирани пресметки, без аритметички корени и дропки. И не ни требаше ниту дискриминатор (види лекција „Решавање квадратни равенки“).

Се разбира, во сите наши размислувања извлековме од две важни претпоставки, кои, генерално кажано, не секогаш се исполнуваат во реалните проблеми:

1. Квадратната равенка е намалена, т.е. коефициентот за x 2 е 1;
2. Равенката има два различни корени. Од алгебарска гледна точка, во овој случај дискриминаторот е D > 0 - всушност, првично претпоставуваме дека оваа неравенка е вистинита.

Меѓутоа, во типични математички проблеми овие услови се исполнети. Ако пресметката резултира со „лоша“ квадратна равенка (коефициентот x 2 е различен од 1), ова може лесно да се коригира - погледнете ги примерите на самиот почеток на лекцијата. Генерално молчам за корените: каков проблем е ова што нема одговор? Секако дека ќе има корени.

Така, општата шема за решавање на квадратни равенки користејќи ја теоремата на Виета е следна:

1. Намали ја квадратната равенка на дадената, ако тоа веќе не е направено во изјавата за проблемот;
2. Ако коефициентите во горната квадратна равенка се фракционо, решаваме со помош на дискриминантата. Можете дури и да се вратите на првобитната равенка за да работите со повеќе „практични“ броеви;
3. Во случај на целобројни коефициенти, ја решаваме равенката користејќи ја теоремата на Виета;
4. Ако не можете да ги погодите корените во рок од неколку секунди, заборавете на теоремата на Виета и решете ја со помош на дискриминаторот.

Задача. Решете ја равенката: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Значи, пред нас имаме равенка која не е намалена, бидејќи коефициент a = 5. Поделете сè со 5, добиваме: x 2 − 7x + 10 = 0.

Сите коефициенти на квадратна равенка се цели броеви - ајде да се обидеме да го решиме користејќи ја теоремата на Виета. Имаме: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Во овој случај, корените лесно се погодуваат - тие се 2 и 5. Нема потреба да се брои со помош на дискриминаторот.

Задача. Решете ја равенката: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Да погледнеме: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - оваа равенка не е намалена, да ги поделиме двете страни со коефициентот a = −5. Добиваме: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - равенка со дробни коефициенти.

Подобро е да се вратиме на првобитната равенка и да броиме преку дискриминантата: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Задача. Решете ја равенката: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Прво, да поделиме сè со коефициентот a = 2. Ја добиваме равенката x 2 + 5x − 300 = 0.

Ова е намалената равенка, според теоремата на Виета имаме: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Тешко е да се погодат корените на квадратната равенка во овој случај - лично, сериозно бев заглавен кога го решавав овој проблем.

Ќе треба да барате корени преку дискриминаторот: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Ако не се сеќавате на коренот на дискриминаторот, само ќе забележам дека 1225: 25 = 49. Затоа, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Сега кога е познат коренот на дискриминаторот, решавањето на равенката не е тешко. Добиваме: x 1 = 15; x 2 = −20.

Постојат голем број на врски во квадратните равенки. Главните се односите помеѓу корените и коефициентите. Исто така, во квадратните равенки има голем број на врски кои се дадени со теоремата на Виета.

Во оваа тема ќе ја претставиме самата теорема на Виета и нејзиниот доказ за квадратна равенка, теоремата инверзна на теоремата на Виета и ќе анализираме голем број примери за решавање проблеми. Во материјалот посебно внимание ќе посветиме на разгледувањето на формулите на Виета, кои ја дефинираат врската помеѓу вистинските корени на алгебарската равенка на степен nи неговите коефициенти.

Формулација и доказ на теоремата на Виета

Формула за корените на квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0од формата x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, каде што D = b 2 − 4 a c, воспоставува односи x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Ова е потврдено со теоремата на Виета.

Теорема 1

Во квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0, Каде x 1И x 2– корени, збирот на корените ќе биде еднаков на односот на коефициентите бИ а, кој е земен со спротивен знак, а производот на корените ќе биде еднаков на односот на коефициентите вИ а, т.е. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Доказ 1

Ви ја нудиме следната шема за извршување на докажувањето: земете ја формулата на корените, составете го збирот и производот на корените на квадратната равенка и потоа трансформирајте ги добиените изрази за да бидете сигурни дека тие се еднакви - б аИ в асоодветно.

Да го направиме збирот на корените x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Да ги доведеме дропките до заеднички именител - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Да ги отвориме заградите во броителот на добиената дропка и да претставиме слични поими: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Да ја намалиме дропката за: 2 - b a = - b a.

Така ја докажавме првата релација на теоремата на Виета, која се однесува на збирот на корените на квадратна равенка.

Сега да преминеме на втората врска.

За да го направите ова, треба да го составиме производот од корените на квадратната равенка: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Да се ​​потсетиме на правилото за множење дропки и да го запишеме последниот производ на следниов начин: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Ајде да помножиме една заграда со заграда во броителот на дропката или да ја користиме формулата за разлика на квадрати за да го трансформираме овој производ побрзо: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Да ја искористиме дефиницијата за квадратен корен за да го направиме следниот премин: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 a cодговара на дискриминантата на квадратна равенка, затоа, во дропка наместо во Дможе да се замени b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Да ги отвориме заградите, да додадеме слични поими и да добиеме: 4 · a · c 4 · a 2 . Ако го скратиме на 4 а, тогаш она што останува е c a . Така ја докажавме втората релација на теоремата на Виета за производот на корените.

Доказот за теоремата на Виета може да се напише во многу лаконска форма ако ги испуштиме објаснувањата:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Кога дискриминантата на квадратна равенка е еднаква на нула, равенката ќе има само еден корен. За да можеме да ја примениме теоремата на Виета на таква равенка, можеме да претпоставиме дека равенката, со дискриминанта еднаква на нула, има два идентични корени. Навистина, кога D=0коренот на квадратната равенка е: - b 2 · a, потоа x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a и x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , и бидејќи D = 0, односно б 2 - 4 · a · c = 0, од ​​каде b 2 = 4 · a · c, потоа b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Најчесто во пракса, теоремата на Виета се применува на намалената квадратна равенка на формата x 2 + p x + q = 0, каде водечкиот коефициент a е еднаков на 1. Во овој поглед, теоремата на Виета е формулирана специјално за равенки од овој тип. Ова не ја ограничува општоста поради фактот што секоја квадратна равенка може да се замени со еквивалентна равенка. За да го направите ова, треба да ги поделите двата негови делови со број различен од нула.

Да дадеме уште една формулација на теоремата на Виета.

Теорема 2

Збир на корени во дадената квадратна равенка x 2 + p x + q = 0ќе биде еднаков на коефициентот x, кој се зема со спротивен знак, производот на корените ќе биде еднаков на слободниот член, т.е. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Теоремата е во спротивност со теоремата на Виета

Ако внимателно ја погледнете втората формулација на теоремата на Виета, можете да видите дека за корените x 1И x 2намалена квадратна равенка x 2 + p x + q = 0ќе важат следните релации: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Од овие релации x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q следува дека x 1И x 2се корените на квадратната равенка x 2 + p x + q = 0. Така, доаѓаме до изјава која е обратна од теоремата на Виета.

Сега предлагаме да ја формализираме оваа изјава како теорема и да го спроведеме неговото докажување.

Теорема 3

Доколку бројките x 1И x 2се такви што x 1 + x 2 = − стрИ x 1 x 2 = q, Тоа x 1И x 2се корените на намалената квадратна равенка x 2 + p x + q = 0.

Доказ 2

Замена на шансите стрИ qна нивното изразување преку x 1И x 2ви овозможува да ја трансформирате равенката x 2 + p x + q = 0во еквивалент .

Ако го замениме бројот во добиената равенка x 1наместо x, тогаш ја добиваме еднаквоста x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ова е еднаквост за секој x 1И x 2се претвора во вистинска нумеричка еднаквост 0 = 0 , бидејќи x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Тоа значи дека x 1- корен на равенката x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Па што x 1е и коренот на еквивалентната равенка x 2 + p x + q = 0.

Замена во равенка x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0броеви x 2наместо x ни овозможува да добиеме еднаквост x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Оваа еднаквост може да се смета за вистинита, бидејќи x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Излегува дека x 2е коренот на равенката x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, па оттука и равенките x 2 + p x + q = 0.

Спротивното на теоремата на Виета е докажано.

Примери за користење на теоремата на Виета

Ајде сега да започнеме да ги анализираме најтипичните примери на темата. Да почнеме со анализа на проблемите кои бараат примена на теоремата инверзна на теоремата на Виета. Може да се користи за проверка на броеви произведени со пресметки за да се види дали тие се корени на дадена квадратна равенка. За да го направите ова, треба да го пресметате нивниот збир и разлика, а потоа да ја проверите валидноста на односите x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.

Исполнувањето на двете релации укажува дека бројките добиени при пресметките се корени на равенката. Ако видиме дека барем еден од условите не е исполнет, тогаш овие бројки не можат да бидат корени на квадратната равенка дадена во исказот на проблемот.

Пример 1

Кој од паровите броеви 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, или 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, или 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 е пар корени на квадратна равенка 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Решение

Да ги најдеме коефициентите на квадратната равенка 4 x 2 − 16 x + 9 = 0.Ова е a = 4, b = − 16, c = 9. Според теоремата на Виета, збирот на корените на квадратната равенка мора да биде еднаков на - б а, тоа е, 16 4 = 4 , а производот на корените мора да биде еднаков в а, тоа е, 9 4 .

Да ги провериме добиените броеви со пресметување на збирот и производот на броевите од три дадени парови и споредувајќи ги со добиените вредности.

Во првиот случај x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Оваа вредност е различна од 4, затоа, проверката не треба да се продолжи. Според теоремата обратна на теоремата на Виета, веднаш можеме да заклучиме дека првиот пар на броеви не се корените на оваа квадратна равенка.

Во вториот случај, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Гледаме дека првиот услов е исполнет. Но, вториот услов не е: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Вредноста што ја добивме е различна од 9 4 . Ова значи дека вториот пар на броеви не се корените на квадратната равенка.

Ајде да продолжиме да го разгледуваме третиот пар. Тука x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 и x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. И двата услови се исполнети, што значи x 1И x 2се корени на дадена квадратна равенка.

Одговор: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2

Можеме да ја искористиме и обратната страна на теоремата на Виета за да ги најдеме корените на квадратната равенка. Наједноставниот начин е да се изберат целобројни корени од дадените квадратни равенки со целобројни коефициенти. Може да се разгледаат и други опции. Но, ова може значително да ги комплицира пресметките.

За да избереме корени, го користиме фактот дека ако збирот на два броја е еднаков на вториот коефициент на квадратната равенка, земен со знакот минус, а производот од овие броеви е еднаков на слободниот член, тогаш овие броеви се корените на оваа квадратна равенка.

Пример 2

Како пример, ја користиме квадратната равенка x 2 − 5 x + 6 = 0. Броеви x 1И x 2може да бидат корените на оваа равенка ако се задоволени две еднаквости x 1 + x 2 = 5И x 1 x 2 = 6. Ајде да ги избереме овие бројки. Ова се броевите 2 и 3, бидејќи 2 + 3 = 5 И 2 3 = 6. Излегува дека 2 и 3 се корените на оваа квадратна равенка.

Спротивното на теоремата на Виета може да се користи за да се најде вториот корен кога првиот е познат или очигледен. За да го направите ова, можеме да ги користиме односите x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Пример 3

Размислете за квадратната равенка 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Неопходно е да се најдат корените на оваа равенка.

Решение

Првиот корен на равенката е 1, бидејќи збирот на коефициентите на оваа квадратна равенка е нула. Излегува дека x 1 = 1.

Сега да го најдеме вториот корен. За ова можете да ја користите врската x 1 x 2 = c a. Излегува дека 1 x 2 = − 3.512, каде x 2 = - 3.512.

Одговор:корените на квадратната равенка наведени во изјавата за проблемот 1 И - 3 512 .

Можно е да се изберат корени користејќи ја теоремата инверзна на теоремата на Виета само во едноставни случаи. Во други случаи, подобро е да се пребарува користејќи ја формулата за корените на квадратната равенка преку дискриминатор.

Благодарение на обратната страна на теоремата на Виета, можеме да конструираме и квадратни равенки користејќи ги постоечките корени x 1И x 2. За да го направите ова, треба да го пресметаме збирот на корените, што го дава коефициентот за xсо спротивен знак од дадената квадратна равенка, и производ од корените, кој го дава слободниот член.

Пример 4

Напиши квадратна равенка чии корени се броеви − 11 И 23 .

Решение

Да претпоставиме дека x 1 = − 11И x 2 = 23. Збирот и производот на овие броеви ќе бидат еднакви: x 1 + x 2 = 12И x 1 x 2 = − 253. Ова значи дека вториот коефициент е 12, слободниот член − 253.

Ајде да направиме равенка: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Одговори: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Можеме да ја користиме теоремата на Виета за да ги решиме проблемите што ги вклучуваат знаците на корените на квадратните равенки. Врската помеѓу теоремата на Виета е поврзана со знаците на корените на намалената квадратна равенка x 2 + p x + q = 0на следниот начин:

• ако квадратната равенка има реални корени и ако членот за пресек qе позитивен број, тогаш овие корени ќе го имаат истиот знак „+“ или „-“;
• ако квадратната равенка има корени и ако членот за пресек qе негативен број, тогаш еден корен ќе биде „+“, а вториот „-“.

И двете од овие изјави се последица на формулата x 1 x 2 = qи правила за множење позитивни и негативни броеви, како и броеви со различни знаци.

Пример 5

Дали се корените на квадратна равенка x 2 − 64 x − 21 = 0позитивно?

Решение

Според теоремата на Виета, корените на оваа равенка не можат да бидат позитивни, бидејќи тие мора да ја задоволат еднаквоста x 1 x 2 = − 21. Ова е невозможно со позитивно x 1И x 2.

Одговор:бр

Пример 6

На кои параметри вредности рквадратна равенка x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0ќе има два вистински корени со различни знаци.

Решение

Да почнеме со наоѓање на чии вредности р, за што равенката ќе има два корени. Ајде да го најдеме дискриминаторот и да видиме што ртоа ќе потрае позитивни вредности. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Вредност на изразување r 2 + 8позитивно за секој вистински р, според тоа, дискриминаторот ќе биде поголем од нула за секој реален р. Ова значи дека оригиналната квадратна равенка ќе има два корени за сите реални вредности на параметарот р.

Сега да видиме кога корените имаат различни знаци. Ова е можно ако нивниот производ е негативен. Според теоремата на Виета, производот од корените на намалената квадратна равенка е еднаков на слободниот член. Тоа значи дека точното решение ќе бидат тие вредности р, за кој слободниот член r − 1 е негативен. Да ја решиме линеарната неравенка r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Одговор:на р< 1 .

Формулите на Виета

Постојат голем број на формули кои се применливи за извршување на операции со корените и коефициентите на не само квадратни, туку и кубни и други видови равенки. Тие се нарекуваат формули на Виета.

За алгебарска равенка на степен nод формата a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 се смета дека равенката има nвистински корени x 1 , x 2 , ... , x n, меѓу кои може да биде истото:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0, x 1 · x 2 + x 1 · x 3 +. . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0, x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 +. . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Дефиниција 1

Формулите на Виета ни помагаат да добиеме:

• теорема за разложување на полином на линеарни множители;
• определување на еднакви полиноми преку еднаквост на сите нивни соодветни коефициенти.

Така, полиномот a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n и негово проширување во линеарни фактори од формата a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) се еднакви.

Ако ги отвориме заградите во последниот производ и ги изедначиме соодветните коефициенти, ги добиваме формулите Vieta. Земајќи n = 2, можеме да ја добиеме формулата на Виета за квадратната равенка: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Дефиниција 2

Формулата на Виета за кубната равенка:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Левата страна на формулата Виета ги содржи таканаречените елементарни симетрични полиноми.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter