Питагоровата теорема вели:
Во правоаголен триаголник, збирот на квадратите на катетите е еднаков на квадратот на хипотенузата:
a 2 + b 2 = c 2,
- аИ б– нозете формираат прав агол.
- Со– хипотенуза на триаголникот.
Формули на Питагоровата теорема
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
Доказ за Питагоровата теорема
Плоштад правоаголен триаголникпресметано со формулата:
S = \frac(1)(2)ab
За да се пресмета плоштината на произволен триаголник, формулата за плоштина е:
- стр– полупериметар. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
- р– радиус на впишаниот круг. За правоаголник r=\frac(1)(2)(a+b-c).
Потоа ги изедначуваме десните страни на двете формули за плоштината на триаголникот:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \лево((a+b)^(2) -c^(2) \десно)
2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
Конверзирајте ја Питагоровата теорема:
Ако квадратот на едната страна на триаголникот е еднаков на збирот на квадратите на другите две страни, тогаш триаголникот е правоаголен. Тоа е, за која било тројка позитивни броеви а, бИ в, така што
a 2 + b 2 = c 2,
има правоаголен триаголник со краци аИ би хипотенуза в.
Питагорова теорема- една од основните теореми на Евклидовата геометрија, воспоставувајќи ја врската помеѓу страните на правоаголен триаголник. Тоа го докажа учениот математичар и филозоф Питагора.
Значењето на теорематаПоентата е дека може да се користи за докажување на други теореми и решавање на проблеми.
Дополнителен материјал:
Според Ван дер Ваерден, многу е веројатно дека соодносот е општ погледбил познат во Вавилон веќе околу 18 век п.н.е. д.
Околу 400 п.н.е. п.н.е., според Проклус, Платон дал метод за пронаоѓање на питагорови тројки, комбинирајќи алгебра и геометрија. Околу 300 п.н.е. д. Најстариот аксиоматски доказ за Питагоровата теорема се појави во Евклидовите елементи.
Формулации
Основната формулација содржи алгебарски операции - во правоаголен триаголник, чии должини се еднакви a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b), а должината на хипотенузата е c (\displaystyle c), следнава релација е задоволена:
.Можна е и еквивалентна геометриска формулација, прибегнувајќи кон концептот на плоштина на фигура: во правоаголен триаголник, површината на квадратот изграден на хипотенузата е еднаква на збирот на површините на квадратите изградени на нозете. Теоремата е формулирана во оваа форма во Евклидовите елементи.
Конверзирајте ја Питагоровата теорема- изјава за правоаголноста на кој било триаголник, чии должини на страните се поврзани со релацијата a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Како последица на тоа, за секоја тројка позитивни броеви a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c), така што a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), има правоаголен триаголник со краци a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c).
Доказ
ВО научна литератураЗабележани се најмалку 400 докази за Питагоровата теорема, што се објаснува и со неговото фундаментално значење за геометријата и со елементарната природа на резултатот. Главните насоки на докажувањата се: алгебарска употреба на односите помеѓу елементите на триаголникот (на пример, популарниот метод на сличност), методот на области, има и разни егзотични докази (на пример, со користење на диференцијални равенки).
Преку слични триаголници
Класичниот доказ на Евклид има за цел да ја утврди еднаквоста на плоштините помеѓу правоаголниците формирани со расчленување квадрат над хипотенузата со висина од прав аголсо квадрати над нозете.
Конструкцијата што се користи за докажувањето е следна: за правоаголен триаголник со прав агол C (\displaystyle C), квадрати над краците и и квадрати над хипотенузата A B I K (\displaystyle ABIK)се гради висина CHи зракот што го продолжува s (\displaystyle s), делејќи го квадратот над хипотенузата на два правоаголници и . Доказот има за цел да ја утврди еднаквоста на плоштините на правоаголникот A H J K (\displaystyle AHJK)со квадрат над ногата A C (\displaystyle AC); еднаквоста на плоштините на вториот правоаголник, кој го сочинува квадратот над хипотенузата и правоаголникот над другата катета, се утврдува на сличен начин.
Еднаквост на плоштините на правоаголникот A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)се утврдува преку конгруенција на триаголници △ A C K (\displaystyle \триаголник ACK)И △ A B D (\displaystyle \триаголник ABD), плоштината на секоја од нив е еднаква на половина од површината на квадратите A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)соодветно, во врска со следново својство: плоштината на триаголникот е еднаква на половина од плоштината на правоаголникот ако фигурите имаат заедничка страна, а висината на триаголникот до заедничката страна е другата страна на правоаголникот. Конгруентноста на триаголниците произлегува од еднаквоста на двете страни (страните на квадратите) и аголот меѓу нив (составен од прав агол и агол на A (\displaystyle A).
Така, доказот утврдува дека плоштината на квадрат над хипотенузата, составена од правоаголници A H J K (\displaystyle AHJK)И B H J I (\displaystyle BHJI), е еднаков на збирот на плоштините на квадратите над катетите.
Доказ за Леонардо да Винчи
Површинскиот метод вклучува и доказ пронајден од Леонардо да Винчи. Нека е даден правоаголен триаголник △ A B C (\displaystyle \триаголник ABC)со прав агол C (\displaystyle C)и квадрати A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)И A B H J (\displaystyle ABHJ)(види слика). Во овој доказ на страна HJ (\displaystyle HJ)од второто, на надворешната страна е конструиран триаголник, складен △ A B C (\displaystyle \триаголник ABC), згора на тоа, се рефлектира и во однос на хипотенузата и во однос на висината кон неа (т.е. J I = B C (\displaystyle JI=BC)И H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Директно C I (\displaystyle CI)го дели квадратот изграден на хипотенузата на два еднакви дела, од триаголници △ A B C (\displaystyle \триаголник ABC)И △ J H I (\дисплеј стил \триаголник JHI)еднакви во градбата. Доказот ја утврдува складноста на четириаголниците C A J I (\displaystyle CAJI)И D A B G (\displaystyle DABG), плоштината на секоја од нив излегува дека е, од една страна, еднаква на збирот на половина од површините на квадратите на краците и површината на оригиналниот триаголник, од друга страна, половина од областа на квадратот на хипотенузата плус плоштината на оригиналниот триаголник. Севкупно, половина од збирот на површините на квадратите над краците е еднаква на половина од површината на квадратот над хипотенузата, што е еквивалентно на геометриската формулација на Питагоровата теорема.
Доказ со бесконечно мал метод
Постојат неколку докази со помош на техниката на диференцијални равенки. Особено, на Харди му се припишува доказ со помош на бесконечно мали зголемувања на нозете a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c), и зачувување на сличноста со оригиналниот правоаголник, односно обезбедување на исполнување на следните диференцијални односи:
d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).Користејќи го методот на одвојување на променливите, може да се изведе од нив диференцијална равенка c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), чија интеграција ја дава релацијата c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Примена на почетни услови a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)ја дефинира константата како 0, што резултира во изјавата на теоремата.
Квадратната зависност во конечната формула се појавува поради линеарната пропорционалност помеѓу страните на триаголникот и зголемувањата, додека збирот е поврзан со независни придонеси од зголемувањето на различни кати.
Варијации и генерализации
Слични геометриски форми на три страни
Важна геометриска генерализација на Питагоровата теорема беше дадена од Евклид во Елементите, движејќи се од областите на квадратите на страните до областите на произволни слични геометриски форми: збирот на површините на таквите фигури изградени на нозете ќе биде еднаков на плоштината на слична фигура изградена на хипотенузата.
Главната идеја на оваа генерализација е дека областа на таквата геометриска фигура е пропорционална на квадратот на која било од нејзините линеарни димензии и, особено, на квадратот на должината на која било страна. Затоа, за слични бројки со области A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)И C (\displaystyle C), изградена на нозе со должини a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c)Според тоа, важи следнава врска:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\десна стрелка \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).Бидејќи според Питагоровата теорема a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), потоа готово.
Дополнително, ако е можно да се докаже без да се повика на Питагоровата теорема дека плоштините на три слични геометриски фигури на страните на правоаголен триаголник ја задоволуваат релацијата A + B = C (\displaystyle A+B=C), потоа користејќи го обратниот доказ за генерализацијата на Евклид, може да се изведе доказ за Питагоровата теорема. На пример, ако на хипотенузата конструираме правоаголен триаголник складен со почетниот со плоштина C (\displaystyle C), а на страните - два слични правоаголни триаголници со области A (\displaystyle A)И B (\displaystyle B), тогаш излегува дека триаголниците на страните се формираат како резултат на делење на почетниот триаголник со неговата висина, односно збирот на двете помали области на триаголниците е еднаков на плоштината на третиот, со што A + B = C (\displaystyle A+B=C)и, со примена на релацијата за слични фигури, се изведува Питагоровата теорема.
Косинусна теорема
Питагоровата теорема е посебен случајпоопштата косинусова теорема, која ги поврзува должините на страните во произволен триаголник:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),каде е аголот помеѓу страните a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b). Ако аголот е 90°, тогаш cos θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), а формулата се поедноставува на вообичаената Питагорова теорема.
Слободен триаголник
Постои генерализација на Питагоровата теорема на произволен триаголник, кој работи исклучиво на односот на должините на страните, се верува дека првпат бил воспоставен од сабијанскиот астроном Табит ибн Кура. Во него, за произволен триаголник со страни, во него се вклопува рамнокрак триаголник со основа на страната c (\displaystyle c), темето се совпаѓа со темето на првобитниот триаголник, спроти страната c (\displaystyle c)и агли во основата, еднаков на аголот θ (\displaystyle \theta), спротивната страна c (\displaystyle c). Како резултат на тоа, се формираат два триаголници, слични на оригиналниот: првиот - со страни a (\displaystyle a), најоддалечената страна од неа од впишаната рамнокрак триаголник, И r (\displaystyle r)- странични делови c (\displaystyle c); вториот - симетрично кон него од страна b (\displaystyle b)со страната s (\displaystyle s)- соодветниот дел од страната c (\displaystyle c). Како резултат на тоа, следнава врска е задоволена:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),дегенерирајќи во Питагоровата теорема кај θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Врската е последица на сличноста на формираните триаголници:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (б))=(\frac (б)(и))\,\десна стрелка \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).Теорема на Папус за области
Неевклидова геометрија
Питагоровата теорема е изведена од аксиомите на Евклидовата геометрија и не е валидна за неевклидовата геометрија - исполнувањето на Питагоровата теорема е еквивалентно на постулатот на Евклидовиот паралелизам.
Во неевклидовата геометрија, односот помеѓу страните на правоаголен триаголник нужно ќе биде во форма различна од Питагоровата теорема. На пример, во сферичната геометрија, сите три страни на правоаголен триаголник, кои го врзуваат октантот на единицата сфера, имаат должина π / 2 (\displaystyle \pi /2), што е во спротивност со Питагоровата теорема.
Згора на тоа, Питагоровата теорема е валидна во хиперболична и елиптична геометрија ако условот триаголникот да е правоаголен се замени со условот збирот на два агли на триаголникот да биде еднаков на третиот.
Сферична геометрија
За секој правоаголен триаголник на сфера со радиус R (\displaystyle R)(на пример, ако аголот во триаголник е правилен) со страни a , b , c (\displaystyle a,b,c)односот меѓу страните е:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\десно)=\cos \left((\frac (а)(R))\десно)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\десно)).Оваа еднаквост може да се изведе како посебен случај на теоремата на сферичниот косинус, која важи за сите сферични триаголници:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( в)(R))\десно)=\cos \left((\frac (a)(R))\десно)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\десно)+\ sin \left((\frac (a)(R))\десно)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\десно)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ⋅ ch b (\displaystyle \име на оператор (ch) c=\име на оператор (ch) a\cdot \име на оператор (ch) b),Каде ch (\displaystyle \име на оператор (ch))- хиперболичен-косинус. Оваа формула е посебен случај на хиперболичната косинусова теорема, која важи за сите триаголници:
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ (\displaystyle \име на оператор (ch) c=\име на оператор (ch) a\cdot \име на оператор (ch) b-\име на оператор (sh) a\cdot \име на оператор (sh) b\cdot \cos \gamma ),Каде γ (\displaystyle \gamma)- агол чие теме е спротивно на страната c (\displaystyle c).
Користење на серијата Тејлор за хиперболичен косинус ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \име на оператор (ch) x\приближно 1+x^(2)/2)) може да се покаже дека ако хиперболичен триаголник се намали (т.е. кога a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c)имаат тенденција на нула), тогаш хиперболичните односи во правоаголен триаголник се приближуваат до односот на класичната Питагорова теорема.
Апликација
Растојание во дводимензионални правоаголни системи
Најважната примена на Питагоровата теорема е одредување на растојанието помеѓу две точки во правоаголен координатен систем: растојание s (\displaystyle s)помеѓу точките со координати (а , б) (\стил на приказ (а, б))И (в , г) (\стил на приказ (в, г))еднакво на:
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).За сложени броевиПитагоровата теорема дава природна формула за наоѓање на модулот на комплексен број - за z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)тоа е еднакво на должината
Впечатливо е што својството наведено во Питагоровата теорема е карактеристично својство на правоаголен триаголник. Ова произлегува од теоремата конверзна на Питагоровата теорема.
Теорема: Ако квадратот на едната страна на триаголникот е еднаков на збирот на квадратите на другите две страни, тогаш триаголникот е правоаголен.
Формулата на Херон
Дозволете ни да изведеме формула која ја изразува рамнината на триаголникот во однос на должините на неговите страни. Оваа формула е поврзана со името на Херон од Александрија - антички грчки математичар и механичар кој веројатно живеел во 1 век од нашата ера. Херон посвети многу внимание на практичната примена на геометријата.
Теорема. Плоштината S на триаголникот чии страни се еднакви на a, b, c се пресметува со формулата S=, каде што p е полупериметар на триаголникот.
Доказ.
Дадени се: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b Аглите A и B се остри. CH - висина.
Доказ:
Доказ:
Ајде да размислиме триаголник ABC, во која AB=c, BC=a, AC=b. Секој триаголник има најмалку два остри агли. Нека се А и Б остри агли триаголник ABC. Тогаш основата H на надморската височина CH на триаголникот лежи на страната AB. Да ја воведеме следната нотација: CH = h, AH=y, HB=x. според Питагоровата теорема a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, од каде
Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, или (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, и бидејќи y + x = c, тогаш y- x = (b2 - a2).
Додавајќи ги последните две еднаквости, добиваме:
2y = +c, од каде
y=, и затоа, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y) (b+y)=
Затоа, h = .
Тема: Теорема, обратна страна на теорематаПитагора.
Цели на лекцијата: 1) сметаат дека теоремата е обратна на Питагоровата теорема; неговата примена во процесот на решавање проблеми; консолидирање на Питагоровата теорема и подобрување на вештините за решавање проблеми за нејзина примена;
2) развиваат логично размислување, креативно пребарување, когнитивен интерес;
3) да се негува кај учениците одговорен однос кон учењето и култура на математички говор.
Тип на лекција. Лекција за учење на нови знаења.
За време на часовите
ІІ. Ажурирање знаење
Лекција за менебијас сакавзапочнете со четириаголник.
Да, патот на знаењето не е мазен
Но, ние знаеме училишни години,
Има повеќе мистерии отколку одговори,
И нема ограничување за пребарување!
Така, во последната лекција ја научивте Питагоровата теорема. Прашања:
За која бројка е точна Питагоровата теорема?
Кој триаголник се нарекува правоаголен триаголник?
Наведете ја Питагоровата теорема.
Како може да се напише Питагоровата теорема за секој триаголник?
Кои триаголници се нарекуваат еднакви?
Формулирајте ги критериумите за еднаквост на триаголниците?
Сега да направиме малку самостојна работа:
Решавање проблеми со помош на цртежи.
№1
(1 б.) Најдете: AB.
№2
(1 б.) Најдете: VS.
№3
( 2 б.)Најдете: AC
№4
(1 поен)Најдете: AC
№5 Дадено од: ABCДромб
(2 б.) AB = 13 cm
AC = 10 cm
Најдете воД
Самотест бр. 1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Учи нов материјал.
Старите Египќани изградиле прави агли на земјата на овој начин: тие го поделиле јажето на 12 јазли еднакви делови, му ги врза краевите, по што јажето беше развлечено на земја така што се формираше триаголник со страни од 3, 4 и 5 поделби. Аголот на триаголникот што лежеше спроти страната со 5 поделби беше правилен.
Можете ли да ја објасните исправноста на оваа пресуда?
Како резултат на барањето одговор на прашањето, учениците треба да разберат дека од математичка гледна точка се поставува прашањето: дали триаголникот ќе биде правоаголен?
Ние поставуваме проблем: како да се утврди, без да се прават мерења, дали триаголникот со дадени страни ќе биде правоаголен. Решавањето на овој проблем е целта на лекцијата.
Запишете ја темата на лекцијата.
Теорема. Ако збирот на квадратите на двете страни на триаголникот е еднаков на квадратот на третата страна, тогаш триаголникот е правоаголен.
Самостојно докажете ја теоремата (направете план за докажување користејќи го учебникот).
Од оваа теорема произлегува дека триаголникот со страни 3, 4, 5 е правоаголен (египетски).
Општо земено, бројките за кои важи еднаквоста , се нарекуваат питагорови тројки. А триаголниците чии должини на страните се изразени со питагорови тројки (6, 8, 10) се питагорови триаголници.
Консолидација.
Бидејќи , тогаш триаголникот со страни 12, 13, 5 не е правоаголен.
Бидејќи , тогаш триаголник со страни 1, 5, 6 е правоаголен.
№ 430 (а, б, в)
( - не е)
