Следи од неговата дефиниција. И така логаритамот на бројот ббазирано на Асе дефинира како експонент до кој мора да се подигне број аза да го добиете бројот б(логаритам постои само за позитивни броеви).
Од оваа формулација произлегува дека пресметката x=log a b, е еквивалентно на решавање на равенката a x =b.На пример, дневник 2 8 = 3бидејќи 8 = 2 3 . Формулирањето на логаритмот овозможува да се оправда дека ако b=a c, потоа логаритам на бројот ббазирано на аеднакви Со. Исто така, јасно е дека темата за логаритми е тесно поврзана со темата за силите на бројот.
Со логаритми, како и со сите броеви, можете да направите операции собирање, одземањеи да се трансформираат на секој можен начин. Но, поради фактот што логаритмите не се сосема обични броеви, овде важат нивните посебни правила, кои се нарекуваат главните својства.
Собирање и одземање логаритми.
Да земеме два логаритами со исти основи: log a xИ најавите y. Тогаш е можно да се извршат операции за собирање и одземање:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
дневник а(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.
Од Теорема за логаритамски количникМоже да се добие уште едно својство на логаритмот. Општо познато е дека дневникот а 1= 0, значи
дневник а 1 /б= дневник а 1 - дневник а б= -лог а б.
Ова значи дека постои еднаквост:
log a 1 / b = - log a b.
Логаритми од два реципрочни бројаод истата причина ќе се разликуваат едни од други исклучиво по знак. Значи:
Дневник 3 9= - дневник 3 1 / 9 ; дневник 5 1 / 125 = - дневник 5 125.
Продолжуваме да ги проучуваме логаритмите. Во оваа статија ќе зборуваме за пресметување на логаритми, овој процес се нарекува логаритам. Прво ќе го разбереме пресметувањето на логаритмите по дефиниција. Следно, ајде да погледнеме како се наоѓаат вредностите на логаритмите користејќи ги нивните својства. После ова, ќе се фокусираме на пресметување на логаритми преку првично наведените вредности на другите логаритми. Конечно, да научиме како да користиме логаритамски табели. Целата теорија е дадена со примери со детални решенија.
Навигација на страницата.
Пресметување на логаритми по дефиниција
Во наједноставните случаи можно е да се изврши доста брзо и лесно наоѓање на логаритам по дефиниција. Ајде внимателно да погледнеме како се случува овој процес.
Неговата суштина е да го претстави бројот b во форма a c, од кој, според дефиницијата за логаритам, бројот c е вредноста на логаритамот. Односно, по дефиниција, следниот синџир на еднаквости одговара на наоѓање на логаритамот: log a b=log a a c =c.
Значи, пресметувањето на логаритам по дефиниција се сведува на наоѓање број c таков што a c = b, а самиот број c е саканата вредност на логаритамот.
Земајќи ги предвид информациите од претходните параграфи, кога бројот под знакот на логаритам е даден со одредена моќност на логаритамската основа, можете веднаш да покажете на што е еднаков логаритамот - тој е еднаков на експонентот. Ајде да покажеме решенија за примери.
Пример.
Најдете го логот 2 2 −3, а исто така пресметајте го природниот логаритам на бројот e 5,3.
Решение.
Дефиницијата на логаритамот ни овозможува веднаш да кажеме дека log 2 2 −3 =−3. Навистина, бројот под знакот на логаритам е еднаков на основата 2 до моќноста -3.
Слично, го наоѓаме вториот логаритам: lne 5.3 =5.3.
Одговор:
log 2 2 −3 =−3 и lne 5,3 =5,3.
Ако бројот b под знакот логаритам не е наведен како моќност на основата на логаритамот, тогаш треба внимателно да погледнете дали е можно да се дојде до претстава за бројот b во форма a c. Често ова претставување е сосема очигледно, особено кога бројот под знакот на логаритам е еднаков на основата со моќност од 1, или 2, или 3, ...
Пример.
Пресметај ги логаритмите log 5 25 и .
Решение.
Лесно е да се види дека 25=5 2, ова ви овозможува да го пресметате првиот логаритам: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Ајде да продолжиме со пресметување на вториот логаритам. Бројот може да се претстави како моќност од 7: 
(погледнете ако е потребно). Оттука, 
.
Да го преработиме третиот логаритам во следната форма. Сега можете да го видите тоа 
, од што заклучуваме дека 
. Според тоа, по дефиниција за логаритам 
.
Накратко, решението би можело да се напише вака: .
Одговор:
дневник 5 25=2 , и .
Кога под знакот логаритам има доволно голем природен број, тогаш не би било повредено да се вклучат во основни фактори. Често помага да се претстави таков број како некоја моќност на основата на логаритмот, и затоа се пресметува овој логаритам по дефиниција.
Пример.
Најдете ја вредноста на логаритамот.
Решение.
Некои својства на логаритмите ви овозможуваат веднаш да ја одредите вредноста на логаритмите. Овие својства го вклучуваат својството на логаритамот на еден и својството на логаритамот на број еднаков на основата: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a 1 =1. Односно, кога под знакот на логаритмот има број 1 или број a еднаков на основата на логаритмот, тогаш во овие случаи логаритмите се еднакви на 0 и 1, соодветно.
Пример.
На што се еднакви логаритмите и log10?
Решение.
Бидејќи , тогаш од дефиницијата за логаритам следува 
.
Во вториот пример, бројот 10 под знакот логаритам се совпаѓа со неговата основа, така што декадниот логаритам од десет е еднаков на еден, односно lg10=lg10 1 =1.
Одговор:
И lg10=1.
Забележете дека пресметувањето на логаритмите по дефиниција (за кое разговаравме во претходниот пасус) подразбира употреба на логот за еднаквост a a p =p, што е едно од својствата на логаритмите.
Во пракса, кога број под знакот логаритам и основата на логаритамот лесно се претставени како моќност на одреден број, многу е погодно да се користи формулата 
, што одговара на едно од својствата на логаритмите. Ајде да погледнеме пример за наоѓање логаритам кој ја илустрира употребата на оваа формула.
Пример.
Пресметајте го логаритамот.
Решение.
Одговор:
.
Својствата на логаритмите кои не се споменати погоре се користат и во пресметките, но за ова ќе зборуваме во следните параграфи.
Наоѓање логаритми преку други познати логаритми
Информациите во овој став ја продолжуваат темата за користење на својствата на логаритмите при нивното пресметување. Но, тука главната разлика е во тоа што својствата на логаритмите се користат за изразување на оригиналниот логаритам во однос на друг логаритам, чија вредност е позната. Да дадеме пример за појаснување. Да речеме дека знаеме дека log 2 3≈1.584963, тогаш можеме да го најдеме, на пример, log 2 6 со правење мала трансформација користејќи ги својствата на логаритмот: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Во горниот пример, доволно ни беше да го искористиме својството на логаритам на производ. Меѓутоа, многу почесто е потребно да се користи поширок арсенал на својства на логаритмите за да се пресмета оригиналниот логаритам преку дадените.
Пример.
Пресметајте го логаритамот од 27 до основата 60 ако знаете дека log 60 2=a и log 60 5=b.
Решение.
Значи треба да го најдеме дневникот 60 27 . Лесно е да се види дека 27 = 3 3 , а оригиналниот логаритам, поради својството на логаритамот на моќноста, може да се препише како 3·log 60 3 .
Сега да видиме како да го изразиме логот 60 3 во однос на познатите логаритми. Својството на логаритам на број еднаков на основата ни овозможува да го напишеме логот за еднаквост 60 60=1. Од друга страна, log 60 60=log60(2 2 3 5)= лог 60 2 2 + дневник 60 3 + лог 60 5= 2·лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5 . Така, 2 лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5=1. Оттука, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Конечно, го пресметуваме оригиналниот логаритам: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Одговор:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Одделно, вреди да се спомене значењето на формулата за премин кон нова основа на логаритмот на формата. Ви овозможува да се движите од логаритми со која било основа до логаритми со одредена основа, чии вредности се познати или е можно да се најдат. Обично, од оригиналниот логаритам, користејќи ја формулата за транзиција, тие се префрлаат на логаритми во една од базите 2, e или 10, бидејќи за овие бази постојат табели на логаритми кои овозможуваат нивните вредности да се пресметаат со одреден степен на точност. Во следниот пасус ќе покажеме како се прави ова.
Логаритмски табели и нивна употреба
За приближна пресметка на логаритамските вредности може да се користат логаритамски табели. Најчесто користената логаритамска табела со основа 2 е табелата природни логаритмии табела со децимални логаритми. Кога работите во децимален броен систем, погодно е да се користи табела со логаритми заснована на основата десет. Со негова помош ќе научиме да ги наоѓаме вредностите на логаритмите.
Презентираната табела ви овозможува да ги пронајдете вредностите на децималните логаритми на броеви од 1.000 до 9.999 (со три децимални места) со точност од десет илјадити дел. Ќе го анализираме принципот на пронаоѓање на вредноста на логаритам користејќи табела со децимални логаритми користејќи конкретен пример - вака е појасно. Ајде да го најдеме log1.256.
Во левата колона од табелата со децимални логаритми ги наоѓаме првите две цифри од бројот 1,256, односно наоѓаме 1,2 (овој број е заокружен со сино за јасност). Третата цифра од бројот 1.256 (цифра 5) се наоѓа во првата или последната линија лево од двојната линија (овој број е заокружен со црвено). Четвртата цифра од оригиналниот број 1.256 (цифра 6) се наоѓа во првата или последната линија десно од двојната линија (овој број е заокружен со зелена линија). Сега ги наоѓаме броевите во ќелиите на табелата со логаритми на пресекот на означениот ред и означените колони (овие броеви се означени портокалова). Збирот на означените броеви ја дава посакуваната вредност децимален логаритамточно до четврто децимално место, т.е. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Дали е можно, користејќи ја горната табела, да се најдат вредностите на децималните логаритми на броеви кои имаат повеќе од три цифри по децималната точка, како и оние што го надминуваат опсегот од 1 до 9,999? Да ти можеш. Ајде да покажеме како се прави ова со пример.
Ајде да пресметаме lg102.76332. Прво треба да запишете број во стандардна форма: 102,76332=1,0276332·10 2. По ова, мантисата треба да се заокружи на третото децимално место, имаме 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, додека оригиналниот децимален логаритам е приближно еднаков на логаритамот на добиениот број, односно земаме log102.76332≈lg1.028·10 2. Сега ги применуваме својствата на логаритмот: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Конечно, ја наоѓаме вредноста на логаритмот lg1.028 од табелата со децимални логаритми lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Како резултат на тоа, целиот процес на пресметување на логаритам изгледа вака: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
Како заклучок, вреди да се напомене дека користејќи табела со децимални логаритми можете да ја пресметате приближната вредност на кој било логаритам. За да го направите ова, доволно е да ја користите формулата за транзиција за да отидете до децимални логаритми, да ги пронајдете нивните вредности во табелата и да ги извршите преостанатите пресметки.
На пример, да го пресметаме дневникот 2 3 . Според формулата за премин кон нова основа на логаритамот, имаме . Од табелата со децимални логаритми наоѓаме log3≈0.4771 и log2≈0.3010. Така, 
.
Библиографија.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други.Алгебра и почетоците на анализа: Учебник за 10 - 11 одделение на општообразовните установи.
- Гушев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).
Логаритам на бројот b (b > 0) до основата a (a > 0, a ≠ 1)– експонент на кој бројот a мора да се подигне за да се добие b.
Основниот 10 логаритам на b може да се запише како дневник (б), а логаритамот до основата e (природен логаритам) е ln(b).
Често се користи при решавање проблеми со логаритми:
Својства на логаритмите
Постојат четири главни својства на логаритми.
Нека a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.
Својство 1. Логаритам на производот
Логаритам на производотеднаков на збирот на логаритми:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Својство 2. Логаритам на количникот
Логаритам на количникотеднаква на разликата на логаритми:
log a (x / y) = log a x – log a y
Својство 3. Логаритам на моќност
Логаритам на степенеднаков на производот на моќноста и логаритамот:
Ако основата на логаритмот е во степен, тогаш се применува друга формула:
Својство 4. Логаритам на коренот
Ова својство може да се добие од својството на логаритмот на моќта, бидејќи n-тиот корен на моќта е еднаков на моќноста од 1/n:
Формула за претворање од логаритам во една база во логаритам во друга основа
Оваа формула често се користи и при решавање на различни задачи на логаритми:
Посебен случај:
Споредување на логаритми (неравенки)
Да имаме 2 функции f(x) и g(x) под логаритми со исти основи и меѓу нив има знак за неравенство:
За да ги споредите, прво треба да ја погледнете основата на логаритмите:
- Ако a > 0, тогаш f(x) > g(x) > 0
- Ако 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Како да се решаваат проблеми со логаритми: примери
Проблеми со логаритмивклучени во Единствениот државен испит по математика за одделение 11 во задача 5 и задача 7, можете да најдете задачи со решенија на нашата веб-страница во соодветните делови. Исто така, задачите со логаритми се наоѓаат во банката за задачи по математика. Можете да ги најдете сите примери со пребарување на страницата.
Што е логаритам
Логаритмите отсекогаш биле разгледувани сложена темаВ училишен курсматематика. Има многу различни дефинициилогаритам, но поради некоја причина повеќето учебници ги користат најсложените и најнеуспешните од нив.
Ќе го дефинираме логаритамот едноставно и јасно. За да го направите ова, ајде да создадеме табела:
Значи, имаме моќ од два.
Логаритми - својства, формули, како да се реши
Ако го земете бројот од крајната линија, лесно можете да ја пронајдете моќта на која ќе треба да подигнете два за да ја добиете оваа бројка. На пример, за да добиете 16, треба да подигнете два до четвртата сила. И за да добиете 64, треба да подигнете два на шестата сила. Ова може да се види од табелата.
И сега - всушност, дефиницијата за логаритам:
основата a на аргументот x е моќта до која бројот a мора да се подигне за да се добие бројот x.
Ознака: log a x = b, каде што a е основата, x е аргументот, b е она на што всушност е еднаков логаритамот.
На пример, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (основниот 2 логаритам од 8 е три бидејќи 2 3 = 8). Со истиот успех, лог 2 64 = 6, бидејќи 2 6 = 64.
Операцијата за наоѓање на логаритам на број на дадена основа се нарекува. Значи, да додадеме нова линија на нашата табела:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| дневник 2 2 = 1 | дневник 2 4 = 2 | дневник 2 8 = 3 | дневник 2 16 = 4 | дневник 2 32 = 5 | дневник 2 64 = 6 |
За жал, не сите логаритми се пресметуваат толку лесно. На пример, обидете се да го најдете дневникот 2 5. Бројот 5 го нема во табелата, но логиката налага дека логаритамот ќе лежи некаде на интервалот. Бидејќи 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Таквите броеви се нарекуваат ирационални: броевите по децималната точка можат да се напишат бесконечно и никогаш не се повторуваат. Ако се покаже дека логаритамот е ирационален, подобро е да се остави така: дневник 2 5, лог 3 8, лог 5 100.
Важно е да се разбере дека логаритам е израз со две променливи (основата и аргументот). На почетокот, многу луѓе збунуваат каде е основата и каде е аргументот. За да избегнете досадни недоразбирања, само погледнете ја сликата:
Пред нас не е ништо повеќе од дефиниција на логаритам. Запомнете: логаритам е моќ, во која мора да се вгради основата за да се добие аргумент. Тоа е основата што е подигната на јачина - таа е означена со црвено на сликата. Излегува дека основата е секогаш на дното! Им го кажувам ова прекрасно правило на моите ученици уште на првата лекција - и не се појавува забуна.
Како да се бројат логаритми
Ја сфативме дефиницијата - останува само да научиме како да броиме логаритми, т.е. ослободете се од знакот „дневник“. За почеток, забележуваме дека од дефиницијата произлегуваат два важни факти:
- Аргументот и основата секогаш мора да бидат поголеми од нула. Ова произлегува од дефиницијата за степенот рационален индикатор, на што се сведува дефиницијата за логаритам.
- Основата мора да биде различна од една, бидејќи една до кој било степен сè уште останува една. Поради ова, прашањето „до каква моќ треба да се подигне за да се добијат две“ е бесмислено. Таква диплома нема!
Таквите ограничувања се нарекуваат опсег на прифатливи вредности(ОДЗ). Излегува дека ODZ на логаритмот изгледа вака: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Забележете дека нема ограничувања за бројот b (вредноста на логаритамот). На пример, логаритамот може да биде негативен: log 2 0,5 = −1, бидејќи 0,5 = 2 −1.
Меѓутоа, сега ги разгледуваме само нумеричките изрази, каде што не е потребно да се знае VA на логаритмот. Сите ограничувања веќе се земени предвид од авторите на проблемите. Но, кога ќе влезат во игра логаритамските равенки и неравенки, барањата за DL ќе станат задолжителни. На крајот на краиштата, основата и аргументот може да содржат многу силни конструкции кои не мора да одговараат на горенаведените ограничувања.
Сега да размислиме општа шемапресметување на логаритми. Се состои од три чекори:
- Основата a и аргументот x изразете ги како моќност со минимална можна основа поголема од една. На патот, подобро е да се ослободите од децимали;
- Решете ја равенката за променливата b: x = a b ;
- Резултирачкиот број b ќе биде одговорот.
Тоа е се! Ако логаритмот се покаже дека е ирационален, тоа ќе биде видливо веќе во првиот чекор. Условот основата да биде поголема од една е многу важна: ова ја намалува веројатноста за грешка и во голема мера ги поедноставува пресметките. Исто со децимали: ако веднаш ги претворите во обични, ќе има многу помалку грешки.
Ајде да видиме како функционира оваа шема користејќи конкретни примери:
Задача. Пресметај го логаритамот: log 5 25
- Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
- Го добивме одговорот: 2.
Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Задача. Пресметајте го логаритамот:
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 4 64
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Го добивме одговорот: 3.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 16 1
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Го добивме одговорот: 0.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 7 14
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од седум: 7 = 7 1 ; 14 не може да се претстави како сила од седум, бидејќи 7 1< 14 < 7 2 ;
- Од претходниот став следува дека логаритмот не се брои;
- Одговорот е без промена: дневник 7 14.
Мала забелешка до последен пример. Како можеш да бидеш сигурен дека некој број не е точна моќност на друг број? Многу е едноставно - само вклучете го во основни фактори. Ако проширувањето има најмалку два различни фактори, бројот не е точна моќност.
Задача. Откријте дали бројките се точни сили: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точен степен, бидејќи има само еден множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна моќност, бидејќи има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точен степен;
35 = 7 · 5 - повторно не е точна моќност;
14 = 7 · 2 - повторно не е точен степен;
Забележете исто така дека самите прости броеви се секогаш точни моќи на самите себе.
Децимален логаритам
Некои логаритми се толку чести што имаат посебно име и симбол.
од аргументот x е логаритам на основата 10, т.е. Моќта до која треба да се подигне бројот 10 за да се добие бројот x. Ознака: lg x.
На пример, дневник 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - итн.
Отсега натаму, кога ќе се појави фраза како „Најди lg 0.01“ во учебник, знајте дека ова не е печатна грешка. Ова е децимален логаритам. Меѓутоа, ако не сте запознаени со оваа нотација, секогаш можете да ја преработите:
лог x = дневник 10 x
Сè што е точно за обичните логаритми важи и за децималните логаритми.
Природен логаритам
Постои уште еден логаритам кој има своја ознака. На некој начин, тоа е уште поважно од децималното. Зборуваме за природниот логаритам.
од аргументот x е логаритам за основата e, т.е. моќта до која мора да се подигне бројот e за да се добие бројот x. Ознака: ln x.
Многу луѓе ќе прашаат: кој е бројот e? Ова ирационален број, неговата точна вредност е невозможно да се најде и запише. Ќе ги дадам само првите бројки:
e = 2,718281828459…
Нема да навлегуваме во детали за тоа што е оваа бројка и зошто е потребна. Само запомнете дека e е основата на природниот логаритам:
ln x = log e x
Така ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - итн. Од друга страна, ln 2 е ирационален број. Во принцип, природниот логаритам на кој било рационален бројирационален. Освен, се разбира, за еден: ln 1 = 0.
За природните логаритми важат сите правила кои се точни за обичните логаритми.
Исто така види:
Логаритам. Својства на логаритмот (моќ на логаритам).
Како да се претстави број како логаритам?
Ја користиме дефиницијата за логаритам.
Логаритам е експонент на кој основата мора да се подигне за да се добие бројот под знакот логаритам.
Така, за да се претстави одреден број c како логаритам на основата a, треба да ставите моќ со иста основа како основата на логаритамот под знакот на логаритамот и да го напишете овој број c како експонент:
Апсолутно секој број може да се претстави како логаритам - позитивен, негативен, цел број, фракционо, рационално, ирационално:
За да не се мешаат a и c во стресни услови на тест или испит, можете да го користите следново правило за меморирање:
она што е долу оди надолу, она што е горе оди нагоре.
На пример, треба да го претставите бројот 2 како логаритам на основата 3.
Имаме два броја - 2 и 3. Овие броеви се основата и експонентот, кои ќе ги запишеме под знакот на логаритамот. Останува да се утврди кој од овие броеви треба да се запише, до основата на степенот, а кој - нагоре, до експонентот.
Основата 3 во ознаката на логаритам е на дното, што значи дека кога ќе претставиме два како логаритам на основата 3, ќе запишеме и 3 до основата.
2 е повисоко од три. И како означување на степенот два пишуваме над трите, односно како експонент:
Логаритми. Прво ниво.
Логаритми
Логаритампозитивен број ббазирано на а, Каде a > 0, a ≠ 1, се нарекува експонент на кој бројот мора да се подигне а, За да се добие б.
Дефиниција на логаритамможе накратко да се напише вака:
Оваа еднаквост важи за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Обично се нарекува логаритамски идентитет.
Дејството на наоѓање на логаритам на број се нарекува по логаритам.
Својства на логаритмите:
Логаритам на производот:
Логаритам на количникот:
Замена на логаритамската основа:
Логаритам на степен:
Логаритам на коренот:
Логаритам со база на моќност:
Децимални и природни логаритми.
Децимален логаритамброевите го повикуваат логаритамот на овој број на основата 10 и пишуваат lg б
Природен логаритамброевите се нарекуваат логаритам на тој број до основата д, Каде д- ирационален број приближно еднаков на 2,7. Во исто време тие пишуваат ln б.
Други белешки за алгебра и геометрија
Основни својства на логаритмите
Основни својства на логаритмите
Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.
Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.
Собирање и одземање логаритми
Размислете за два логаритма со исти основи: log a x и log a y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x − log a y = log a (x: y).
Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Ве молиме запомнете: клучната точка овде е идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!
Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:
Дневник 6 4 + дневник 6 9.
Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
дневник 6 4 + дневник 6 9 = дневник 6 (4 9) = дневник 6 36 = 2.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.
Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.
Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многумина се изградени на овој факт тест трудови. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на унифицираниот државен испит.
Извлекување на експонентот од логаритамот
Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:
Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.
Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритмот: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И уште една работа: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно , т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам.
Како да се решат логаритми
Ова е она што најчесто се бара.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .
Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12
Задача. Најдете го значењето на изразот:
Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:
Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.
Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log 2 7. Бидејќи log 2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.
Транзиција кон нова основа
Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?
На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:
Нека се даде логаритам дневниксекира. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:
Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:
Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.
Овие формули ретко се наоѓаат во конвенционалните нумерички изрази. Можно е да се оцени колку се погодни само со одлучување логаритамски равенкии нееднаквости.
Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.
Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: лог 5 16 = дневник 5 2 4 = 4лог 5 2; дневник 2 25 = дневник 2 5 2 = 2 дневник 2 5;
Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:
Бидејќи производот не се менува при преуредување фактори, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.
Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:
Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:
Основен логаритамски идентитет
Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа.
Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:
Во првиот случај, бројот n станува експонент во аргументот. Бројот n може да биде апсолутно се, бидејќи е само логаритамска вредност.
Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .
Всушност, што ќе се случи ако бројот b се подигне до таква моќ што бројот b на оваа моќност го дава бројот a? Така е: резултатот е ист број a. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.
Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.
Задача. Најдете го значењето на изразот:
Забележете дека log 25 64 = log 5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:
Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)
Логаритамска единица и логаритамска нула
Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.
- log a a = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a од самата основа е еднаков на еден.
- log a 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи 0 = 1 е директна последица на дефиницијата.
Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.
Како што знаете, кога се множат изразите со моќи, нивните експоненти секогаш се собираат (a b *a c = a b+c). Овој математички закон бил изведен од Архимед, а подоцна, во 8 век, математичарот Вирасен создал табела со цели броеви експоненти. Токму тие служеа за понатамошно откривање на логаритми. Примери за користење на оваа функција може да се најдат речиси насекаде каде што треба да го поедноставите незгодното множење со едноставно собирање. Ако потрошите 10 минути читајќи ја оваа статија, ќе ви објасниме што се логаритми и како да работите со нив. На едноставен и достапен јазик.
Дефиниција во математиката
Логаритам е израз на следнава форма: log a b=c, односно логаритам на кој било ненегативен број (т.е. кој било позитивен) „b“ до неговата основа „a“ се смета за моќност „c “ на која мора да се подигне основата „а“ за на крај да се добие вредноста „б“. Да го анализираме логаритамот користејќи примери, да речеме дека има израз log 2 8. Како да го најдеме одговорот? Многу е едноставно, треба да најдете моќност така што од 2 до потребната моќност ќе добиете 8. Откако ќе направите некои пресметки во вашата глава, го добиваме бројот 3! И тоа е точно, бидејќи 2 на сила од 3 го дава одговорот како 8.
Видови логаритми
За многу ученици и студенти, оваа тема изгледа комплицирана и неразбирлива, но всушност логаритмите не се толку страшни, главната работа е да се разбере нивното општо значење и да се запамети нивните својства и некои правила. Постојат три посебни типа на логаритамски изрази:
- Природен логаритам ln a, каде што основата е Ојлеровиот број (e = 2,7).
- Децимална а, каде што основата е 10.
- Логаритам на кој било број b до основа a>1.
Секој од нив е решен на стандарден начин, вклучувајќи поедноставување, намалување и последователно намалување на еден логаритам користејќи логаритамски теореми. За да ги добиете точните вредности на логаритмите, треба да ги запомните нивните својства и редоследот на дејства кога ги решавате.
Правила и некои ограничувања
Во математиката има неколку правила-ограничувања кои се прифаќаат како аксиома, односно не се предмет на дискусија и се вистина. На пример, невозможно е да се подели броеви со нула, а исто така е невозможно да се извлече парен корен од негативни броеви. Логаритмите исто така имаат свои правила, според кои можете лесно да научите да работите дури и со долги и обемни логаритамски изрази:
- Основата „а“ мора секогаш да биде поголема од нула, а не еднаква на 1, во спротивно изразот ќе го изгуби своето значење, бидејќи „1“ и „0“ во кој било степен се секогаш еднакви на нивните вредности;
- ако a > 0, тогаш a b >0, излегува дека „c“ исто така мора да биде поголемо од нула.
Како да се решат логаритми?
На пример, задачата е да се најде одговорот на равенката 10 x = 100. Ова е многу лесно, треба да изберете моќност со подигање на бројот десет до кој добиваме 100. Ова, се разбира, е 10 2 = 100.
Сега да го претставиме овој израз во логаритамска форма. Добиваме лог 10 100 = 2. При решавање на логаритми, сите дејства практично се спојуваат за да се најде моќта до која е потребно да се внесе основата на логаритмот за да се добие даден број.
За точно да ја одредите вредноста на непознат степен, треба да научите како да работите со табела со степени. Изгледа вака:
Како што можете да видите, некои експоненти може да се погодат интуитивно ако имате технички ум и познавање на табелата за множење. Сепак, за поголеми вредности ќе ви треба маса за напојување. Може да се користи дури и од оние кои воопшто не знаат ништо за сложени математички теми. Левата колона содржи броеви (основа а), горниот ред на броеви е вредноста на моќта c до која е подигнат бројот a. На пресекот, ќелиите ги содржат нумеричките вредности кои се одговорот (a c =b). Да ја земеме, на пример, првата ќелија со бројот 10 и да ја квадратиме, ја добиваме вредноста 100, што е означено на пресекот на нашите две ќелии. Сè е толку едноставно и лесно што дури и највистинскиот хуманист ќе разбере!
Равенки и неравенки
Излегува дека под одредени услови експонентот е логаритам. Затоа, секој математички нумерички израз може да се запише како логаритамска еднаквост. На пример, 3 4 = 81 може да се запише како основен 3 логаритам од 81 еднаков на четири (лог 3 81 = 4). За негативните сили правилата се исти: 2 -5 = 1/32 го пишуваме како логаритам, добиваме лог 2 (1/32) = -5. Еден од најфасцинантните делови од математиката е темата „логаритми“. Примери и решенија на равенки ќе ги разгледаме подолу, веднаш по проучувањето на нивните својства. Сега да погледнеме како изгледаат неравенките и како да ги разликуваме од равенките.
Даден е израз на следната форма: log 2 (x-1) > 3 - тоа е логаритамска нееднаквост, бидејќи непознатата вредност „x“ е под знакот на логаритамот. И, исто така, во изразот се споредуваат две величини: логаритамот на саканиот број до основата два е поголем од бројот три.
Најважната разлика помеѓу логаритамските равенки и неравенките е тоа што равенките со логаритми (на пример, логаритмот 2 x = √9) подразбираат една или повеќе специфични нумерички вредности во одговорот, додека при решавање на неравенки, и опсегот на прифатливи вредностите и точките се одредуваат кршејќи ја оваа функција. Како последица на тоа, одговорот не е едноставно збир на поединечни броеви, како во одговорот на равенката, туку континуирана серија или збир на броеви.
Основни теореми за логаритми
При решавање на примитивни задачи за пронаоѓање на вредностите на логаритамот, неговите својства можеби не се познати. Меѓутоа, кога станува збор за логаритамски равенки или неравенки, пред сè, потребно е јасно да се разберат и да се применат во пракса сите основни својства на логаритмите. Ќе разгледаме примери на равенки подоцна; ајде прво да го разгледаме секое својство подетално.
- Главниот идентитет изгледа вака: a logaB =B. Се применува само кога a е поголемо од 0, не е еднакво на еден, а B е поголемо од нула.
- Логаритмот на производот може да се претстави во следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Во овој случај, задолжителен услов е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказ за оваа логаритамска формула, со примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, потоа a f1 = s 1, a f2 = s 2. Добиваме дека s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (својства на степени ), а потоа по дефиниција: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, што требаше да се докаже.
- Логаритмот на количникот изгледа вака: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Теоремата во форма на формула го добива следниот облик: log a q b n = n/q log a b.
Оваа формула се нарекува „својство на степенот на логаритам“. Наликува на својствата на обичните степени и не е изненадувачки, бидејќи целата математика се заснова на природни постулати. Да го погледнеме доказот.
Нека log a b = t, излегува a t =b. Ако двата дела ги подигнеме до моќноста m: a tn = b n ;
но бидејќи a tn = (a q) nt/q = b n, затоа log a q b n = (n*t)/t, тогаш log a q b n = n/q log a b. Теоремата е докажана.
Примери на проблеми и нееднаквости
Најчестите типови на проблеми на логаритми се примери на равенки и неравенки. Ги има во речиси сите проблематични книги, а се задолжителен дел и од испитите по математика. За прием на универзитет или полагање приемни испитиво математиката треба да знаете како правилно да ги решавате ваквите проблеми.
За жал, не постои единствен план или шема за решавање и одредување на непознатата вредност на логаритамот, но одредени правила може да се применат за секоја математичка неравенка или логаритамска равенка. Пред сè, треба да откриете дали изразот може да се поедностави или сведе на општа форма. Поедноставете ги долгите логаритамски изразиможно ако правилно ги користите нивните својства. Ајде брзо да ги запознаеме.
Кога решаваме логаритамски равенки, мора да одредиме каков тип на логаритам имаме: примерен израз може да содржи природен логаритам или децимален.
Еве примери ln100, ln1026. Нивното решение се сведува на фактот дека тие треба да ја одредат моќноста на која основата 10 ќе биде еднаква на 100 и 1026, соодветно. За да ги решите природните логаритми, треба да примените логаритамски идентитети или нивните својства. Ајде да погледнеме примери за решавање на логаритамски проблеми од различни типови.
Како да користите логаритамски формули: со примери и решенија
Значи, ајде да погледнеме примери за користење на основните теореми за логаритми.
- Својството на логаритмот на производот може да се користи во задачи каде што е неопходно да се прошири големо значењеброевите b во поедноставни фактори. На пример, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Одговорот е 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - како што можете да видите, користејќи го четвртото својство на логаритамската моќ, успеавме да решиме навидум сложен и нерешлив израз. Треба само да ја факторингирате основата и потоа да ги извадите вредностите на експонентот од знакот на логаритамот.
Задачи од Единствениот државен испит
Логаритмите често се наоѓаат во приемните испити, особено многу логаритамски проблеми на обединетиот државен испит ( Државен испитза сите кои го напуштаат училиштето). Обично овие задачи се присутни не само во делот А (најлесниот тест делиспит), но и во делот В (најсложените и најобемните задачи). Испитот бара точно и совршено познавање на темата „Природни логаритми“.
Примери и решенија за проблемите се земени од официјални Опции за обединет државен испит. Ајде да видиме како се решаваат ваквите задачи.
Даден е лог 2 (2x-1) = 4. Решение:
ајде да го преработиме изразот, поедноставувајќи го малку log 2 (2x-1) = 2 2, со дефиниција на логаритамот добиваме дека 2x-1 = 2 4, значи 2x = 17; x = 8,5.
- Најдобро е да ги намалите сите логаритми на иста основа за решението да не биде гломазно и збунувачки.
- Сите изрази под знакот логаритам се означени како позитивни, затоа, кога експонентот на изразот што е под знакот логаритам и како негова основа се извади како множител, изразот што останува под логаритам мора да биде позитивен.
