Определување на пресек на права и рамнина. Научна електронска библиотека. Посебни случаи на меѓусебна паралелизам и перпендикуларност на права и рамнина. посебни случаи на меѓусебна перпендикуларност на две рамнини

Линијата на пресек на две рамнини е права линија. Прво да го разгледаме специјалниот случај (сл. 3.9), кога една од пресечните рамнини е паралелна со хоризонталната рамнина на проекции (α π 1, f 0 α X). Во овој случај, линијата на пресек a, кои припаѓаат на авионотα, исто така ќе биде паралелна со рамнината π 1, (сл. 3.9. а), т.е. ќе се совпадне со хоризонталата на рамнините што се сечат (a ≡ h).

Ако една од рамнините е паралелна со фронталната рамнина на проекции (сл. 3.9. б), тогаш пресечната линија a што припаѓа на оваа рамнина ќе биде паралелна со рамнината π 2 и ќе се совпадне со фронталот на рамнините што се сечат (а ≡ ѓ).

.

.

Ориз. 3.9. Посебен случајпресек на рамнината на општа положба со рамнините: а - хоризонтално ниво; б - фронтално ниво

На сл. 3.10. За да го направите ова, права линија a е затворена во произволна рамнина β и се одредува пресечната линија на рамнините α и β.

Во разгледуваниот пример, правите AB и MN припаѓаат на иста рамнина β и се сечат во точката K, а бидејќи правата линија MN припаѓа на дадена рамнина α (DEF), точката K е исто така и точка на пресек на права а (AB) со рамнина α. (Сл. 3.11).

.

Ориз. 3.10. Конструирање на точка на пресек на права и рамнина

За да решите таков проблем во сложен цртеж, мора да можете да ја пронајдете точката на пресек на права линија во општа положба со рамнина во општа положба.

Да разгледаме пример за наоѓање на точката на пресек на права линија AB со рамнината на триаголникот DEF прикажана на сл. 3.11.

За да се најде пресечната точка преку фронталната проекција на права линија A 2 B 2, нацртана е фронтално испакната рамнина β која го пресекува триаголникот во точките M и N. На фронталната проекција рамнина (π 2), овие точки се претставени со проекции M 2, N 2. Од условот за припадност на права рамнина на хоризонталната рамнина на проекции (π 1), се среќаваат хоризонтални проекции на добиените точки M 1 N 1. На пресекот на хоризонталните проекции на линиите A 1 B 1 и M 1 N 1, се формира хоризонтална проекција на нивната пресечна точка (K 1). Според линијата на комуникација и условите на членство на фронталната рамнина на проекции, постои фронтална проекција на пресечната точка (К 2).

.

Ориз. 3.11. Пример за определување на пресечната точка на права и рамнина

Видливоста на сегментот AB во однос на триаголникот DEF се одредува со методот на конкурентна точка.

На рамнината π 2 се разгледуваат две точки NEF и 1AB. Од хоризонталните проекции на овие точки, може да се утврди дека точката N се наоѓа поблиску до набљудувачот (Y N >Y 1) од точката 1 (правецот на видната линија е паралелна со S). Следствено, правата линија AB, т.е. дел од правата линија AB (K 1) е покриена со рамнината DEF на рамнината π 2 (неговата проекција K 2 1 2 е прикажана со испрекината линија). Видливоста на рамнината π 1 е воспоставена слично.

Прашања за самоконтрола

1) Која е суштината на методот на натпреварувачки поени?

2) Кои својства на права линија ги знаете?

3) Кој е алгоритамот за одредување на пресечната точка на права и рамнина?

4) Кои задачи се нарекуваат позициони?

5) Формулирајте ги условите за припадност на права рамнина.

Ви ги пренесуваме списанијата што ги издава издавачката куќа „Академија за природни науки“

Познато е дека права линија пресекува рамнина ако таа не припаѓа на оваа рамнина и не е паралелна со неа. Следејќи го алгоритмот подолу, ја наоѓаме точката на пресек на правата асо генеричка рамнина α дефинирана со трагите h 0α , f 0α .

Алгоритам

1. Преку директно ацртаме помошна фронтално проектирана рамнина γ. На сликата се прикажани неговите траги h 0γ, f 0γ.
2. Конструираме проекции на права линија AB по која се сечат рамнините α и γ. Во овој проблем, точката B" = h 0α ∩ h 0γ, A"" = f 0α ∩ f 0γ. Точките А" и Б"" лежат на оската x, нивната позиција се одредува со линиите за комуникација.
3. Директно аи AB се сечат во саканата точка K. Неговата хоризонтална проекција K" = a" ∩ A"B". Фронталната проекција K"" лежи на права линија a"".

Алгоритмот за решение ќе остане ист ако pl. α ќе се даде со паралелни, вкрстени линии, пресек од фигура или други можни средства.

Видливост на права а во однос на рамнината α. Метод на натпреварувачки поени

1. Дозволете ни да ги означиме фронталните-конкурентни точки A и C на цртежот (сл. подолу). Ќе претпоставиме дека точката А припаѓа на областа. α, а C лежи на правата a. Фронталните проекции A"" и C"" се совпаѓаат, но во исто време точките A и C се отстранети од рамнината на проекции P 2 на различни растојанија.
2. Да ги најдеме хоризонталните проекции A" и C". Како што може да се види на сликата, точката C" е отстранета од рамнината P 2 на поголема оддалеченост од точката A", која припаѓа на квадратот. α. Следствено, ќе биде видлив дел од права линија а"", кој се наоѓа лево од точката К"". Делот а"" десно од К"" е невидлив. Го означуваме со испрекината линија.
3. Да ги означиме хоризонтално конкурентните точки D и E на цртежот. Ќе претпоставиме дека точката D припаѓа на квадратот. α, а E лежи на правата a. Хоризонталните проекции D" и E" се совпаѓаат, но во исто време точките D и E се отстранети од рамнината P 1 на различни растојанија.
4. Дозволете ни да ја одредиме положбата на фронталните проекции D"" и E"". Како што може да се види на сликата, точка D"", која се наоѓа на плоштадот. α, се отстранува од рамнината P 1 на поголемо растојание од точката E "", што припаѓа на права линија a. Следствено, делот а" лоциран десно од точката К" ќе биде невидлив. Го означуваме со испрекината линија. Делот а" лево од К" е видлив.

Дадена е права линија: (1) и рамнина: Ax + By + Cz + D = 0 (2).

Да ги најдеме координатите на точката на пресек на правата и рамнината. Ако правата линија (1) и рамнината (2) се сечат, тогаш координатите на пресечната точка ги задоволуваат равенките (1) и (2):

, .

Заменувајќи ја пронајдената вредност на t во (1), ги добиваме координатите на пресечната точка.

1) Ако Am + Bn + Cp = 0, и Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0, тогаш t не постои, т.е. права линија и рамнина немаат единствена заедничка точка. Тие се паралелни.

2) Am + Bn + Cp = 0 и Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. Во овој случај, t може да земе какви било вредности и, т.е. права линија е паралелна со рамнината и има заедничка точка, т.е. лежи во авион.

Пример 1. Најдете ја точката на пресек на права со рамнина 3x – 3y + 2z – 5 = 0.

3(2t – 1) – 3(4t + 3) + 2 3t – 5 = 0 => -17=0, што е невозможно за било кој t, т.е. права линија и рамнина не се сечат.

Пример 2. Најдете ја точката на пресек на права и рамнини: x + 2y – 4z + 1 = 0.

8t + 13 + 2(2t + 1) – 4(3t + 4) + 1 = 0, 0 + 0 = 0. Ова важи за која било вредност на t, т.е. правата линија лежи во рамнината.

Пример 3. Најдете ја точката на пресек на права и рамнина 3x – y + 2z – 5 = 0.

3(5t + 7) – t – 4 + 2(4t + 5) – 5 = 0, 22t + 22 = 0, t = -1, x = 5(-1) + 7 = 2, y = -1 + 4 = 3, z = 4(-1) + 5 = 1, M(2, 3, 1) – точката на пресек на правата и рамнината.

Аголот помеѓу права линија и рамнина. Услови за паралелизам и перпендикуларност на права и рамнина.

Аголот помеѓу права линија и рамнина се нарекува остар агол q помеѓу права линија и нејзината проекција на рамнина.

Нека се дадени права линија и рамнина:

И .

Нека правата ја пресекува рамнината и со неа формира агол μ (). Тогаш b = 90 0 – q или b = 90 0 + q е аголот помеѓу нормалниот вектор на рамнината и насочениот вектор на правата линија. Но . Средства

(3).

а) Ако L P, тогаш - услов за перпендикуларност на права линија и рамнина.

б) Ако L||P, тогаш е условот за паралелизам на правата и рамнината.

в) Ако правата е L||P и во исто време точката M0(x0, y0, z0) P, тогаш правата лежи во оваа рамнина. Аналитички:

- услови за припадност на права линија и рамнина.

Пример. Дадена права линија и точка M 0 (1, 0, -2). Низ точката M 0 нацртајте рамнина нормална на оваа права. Равенката на саканата рамнина ја бараме во форма: A(x – 1) + B(y – 0) + C(z + 2) = 0. Во овој случај , ,

5(x – 1) – 5y + 5(z + 2) = 0, - x – y + z + 3 = 0.

Еден куп авиони.

Зрак од рамнини е збир на сите рамнини што минуваат низ дадена права линија - оската на зракот.

За да дефинирате пакет рамнини, доволно е да ја наведете неговата оска. Нека равенката на оваа линија е дадена во општа форма:

.

Да се ​​состави равенка на зрак значи да се состави равенка од која може да се добие дополнителна состојбаравенка на која било рамнина на зракот, освен, b.m. еден. Ајде да ја помножиме равенката II со l и да ја додадеме во равенката I:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) или

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l – параметар – број кој може да земе реални вредности. За секоја избрана вредност на l, равенките (1) и (2) се линеарни, т.е. тоа се равенките на одредена рамнина.

1. Да покажеме дека оваа рамнина минува низ оската на зракот L. Земете произволна точка M 0 (x 0, y 0, z 0) L. Затоа, M 0 P 1 и M 0 P 2. Значи:

3x – y + 2z + 9 + 17x + 17z – 51 = 0; 20x – y + 19z – 42 = 0.

Пример 3 (Д). Напишете равенка за рамнина што минува низ права нормално на рамнината x – 2y + z + 5 = 0. ; 3x – 2y + z – 3 + l(x – 2z) = 0; (3 + l)x – 2y + (1 – 2 l)z – 3 = 0; ; ; l = 8; 11x – 2y – 15z – 3 = 0.

77*. Најдете ја точката на пресек на правата линија AB со рамнината дефинирана со триаголникот CDE (сл. 75, а).

Решение. Како што е познато, за да се најде точката на пресек на права линија со општа рамнина, треба да се нацрта помошна рамнина (R) низ права линија, да се изгради линија на пресек на оваа рамнина со дадена (1-2) и најдете

пресечната точка (К) на дадените и конструирани прави. Точката К е саканата точка на пресек на правата со рамнината (слика 75, б). Хоризонтална или фронтална проекција рамнина обично се користи како помошна рамнина.

На сл. 75, во c, фронтално проектираната рамнина R е повлечена низ права линија AB, нејзината трага R ϑ се совпаѓа со "c". хоризонтот. Трагата на авионот не е потребна во овој проблем и затоа не е прикажана.

Ја конструираме линијата на пресек на рамнината R и рамнината дефинирана со триаголникот CDE (за пример за таква конструкција, види задача 67). Имајќи ја конструирана линијата 1-2 (слика 75, в), ја наоѓаме точката на пресек на неа со права линија AB - точка K (k, k").

За да ги одредите пресеците од правата AB што ќе бидат покриени со триаголник, треба да користите анализа на положбата на точките на линиите што се вкрстуваат.

На пример, точките 1 и 3 се на линиите што се пресекуваат (соодветно) ED и AB. Фронталните проекции на овие точки се совпаѓаат, односно точките 1 и 3 се подеднакво оддалечени од квадратот. N. Но нивните растојанија од плоштадот. V се различни: точката 3 е подалеку од квадратот. V отколку точка 1. Според тоа, во однос на pl. V точка 3 ја покрива точката 1 (насоката на гледање е означена со стрелката S). Следствено, правата линија AB поминува пред триаголникот CDE до точката K. Почнувајќи од точката K налево, правата линија AB е покриена со триаголник, и затоа овој дел од правата линија е прикажан со испрекината линија.

Да се ​​идентификува невидлива област на хоризонтот. проекции на правата AB, разгледајте ги точките 4 и 5, кои лежат соодветно на линиите AB и CD.

Ако ги погледнеме овие точки во насока s 1, прво ја гледаме точката 5. Точката 4 е покриена со точката 5. Следствено, правата AB на ова место е покриена со триаголник CDE, а делот на неговата проекција од точката k до точката 4 треба да се прикаже со испрекината линија. Во овој случај, точката К беше внатре во контурата на триаголникот CDE.

Ако релативната положба на елементите што се вкрстуваат е различна, можно е точката K да биде надвор од триаголникот (сл. 75, г). Ова значи дека правата AB ја пресекува рамнината дефинирана со триаголникот CDE надвор од контурата на овој триаголник. AB станува невидлив зад точката К (лево).

78. Најдете ги точките на пресек на права линија AB со лицата на пирамидата (сл. 76). Лицата на пирамидата треба да се сметаат како рамнини дефинирани со триаголници.

79. Најдете ги точките на пресек на права AB со лицата на призмата (сл. 77). Лицата на призмата треба да се сметаат како рамнини дефинирани со паралелни прави линии.

80*. Најдете ги точките на пресек на права линија AB со рамнината P (сл. 78, а).

Решение. Ја цртаме фронтално проектираната рамнина R низ правата линија AB (слика 78, б) (нејзината трага R ϑ се совпаѓа со "b") и ја конструираме правата MN на пресекот на двете рамнини - дадена и повлечена низ AB (на конструкцијата е слична на онаа изведена во задачата 70). Потребната точка K(k, k") на пресекот на правата линија AB со рамнината P се наоѓа на точката на пресек на MN со AB.

Во овој проблем, видливоста на правиот дел од точката А до К е очигледна; сепак, повеќе тешки случаивидливиот пресек на правата линија треба да се определи врз основа на

анализа на положбата на точките. На пример, земајќи ја точката 1 (на линијата AB) и точката N (на трагата P ϑ). гледаме дека точката 1 се наоѓа понатаму во однос на квадратот. V отколку точка N. Затоа, правата линија AB до точката K е видлива. Надвор од точката К, правата линија е прикажана како испрекината линија и е невидлива. Слично се одредува и видливоста на хоризонтот. проекции.

81. Најдете ја точката на пресек на права AB со рамнината P (сл. 79).

82*. Најдете ја точката на пресек на права линија AB со рамнината P (Слика 80, а).

Решение. Преку права линија AB цртаме хоризонтално испакната рамнина R (трагата на R h се совпаѓа со ab) и ја конструираме линијата на пресек на рамнините P и R,

користејќи ги точките M и N на пресекот на нивните патеки со исто име (сл. 80, b и c). Посакуваната точка (k", k) се наоѓа на пресечната точка на MN со AB. На Сл. 80, d, точката K е конструирана со користење на графиконот W. Бидејќи парцелата P е проектирање на профилот (сл. 80, б).

тогаш профилната проекција k" лежи на точката на пресек на трагата P ω со a"b". Знаејќи го k", конструираме k" на a"b" и k на ab. Видливите пресеци на правата линија AB се определено на ист начин како и во задачите 77 и 80.

83. Најдете ја точката на пресек на права AB со рамнината P (сл. 81).

84*. Најдете ја точката на пресек на права линија AB со рамнината дефинирана со триаголникот CDE (сл. 82, а).

Решение. Преку права линија AB цртаме (слика 82, b и c) квадрат. R, паралелно со квадратот W. Таа преминува даден авионпо права линија MN (точките m", n", m и n лежат на пресекот на трагите R ϑ и R h со исти проекции на соодветните страни

триаголник CDE). Бидејќи правите AB и MN се профил, тогаш за да ја најдеме точката (K) на нивниот пресек конструираме проекции на профилот a"b" и m"n". Проекцијата k" се наоѓа на пресекот на a"b" и m"m". Со k" конструираме k" на a"b" и k на ab.

85. Најдете ја точката на пресек на права EF со рамнината дефинирана со четириаголникот ABCD (сл. 83).