Вовед
Релевантност на темата за истражување.Конусните делови веќе им биле познати на математичарите Античка Грција(на пример, Менехм, 4 век п.н.е.); Со помош на овие кривини беа решени некои градежни проблеми (удвојување на коцка и сл.), кои се покажаа како недостапни при користење на наједноставните алатки за цртање - компаси и линијари. Во првите студии што дојдоа до нас, грчките геометри добија конусни пресеци со цртање рамнина за сечење нормална на една од генератриките и, во зависност од аголот на отворање на врвот на конусот (т.е., најголемиот агол помеѓу генератриките од една празнина), линијата на пресекот се покажа како елипса, ако овој агол е остар, парабола ако е прав агол и хипербола ако е тап. Најкомплетната работа на овие кривини била Конусните пресеци од Аполониј од Перга (околу 200 г. п.н.е.). Понатамошниот напредок во теоријата на конусните пресеци е поврзан со создавањето во 17 век. нови геометриски методи: проективни (француски математичари J. Desargues, B. Pascal) и особено координатни (француски математичари R. Descartes, P. Fermat).
Интересот за конусните пресеци отсекогаш бил поддржан од фактот што овие криви често се среќаваат во различни природни феномени и во човечка активност. Во науката, конусните делови добија особено значење откако германскиот астроном И. Кеплер откри од набљудувањата, а англискиот научник И. сончев системдвижејќи се по конусни делови, во една од фокусите на кои се наоѓа Сонцето. Следниве примери се однесуваат на одредени типови на конусни пресеци: параболата се опишува со проектил или камен фрлен косо кон хоризонтот ( правилна формакривата е малку искривена од отпорот на воздухот); некои механизми користат елиптични запчаници („елипсовидни запчаници“); хиперболата служи како график на обратна пропорционалност, често забележан во природата (на пример, законот Бојл-Мариот).
Цел на работата:
Проучување на теоријата на конусни пресеци.
Тема на истражување:
Конусни делови.
Цел на студијата:
Теоретски проучувајте ги карактеристиките на конусните пресеци.
Предмет на проучување:
Конусни делови.
Предмет на проучување:
Историски развој на конусни пресеци.
1. Формирање на конусни пресеци и нивни типови
Конусните пресеци се линии кои се формираат во делот на десен кружен конус со различни рамнини.
Забележете дека конусна површина е површина формирана со движење на права линија која секогаш минува низ фиксна точка (темето на конусот) и постојано пресекува фиксна крива - водилка (во нашиот случај, круг).
Со класифицирање на овие линии според природата на локацијата на рамнините за сечење во однос на генерациите на конусот, се добиваат три типа на криви:
I. Криви настанати со сечење на конус со рамнини кои не се паралелни со ниту една од генератриките. Таквите кривини ќе бидат различни кругови и елипсови. Овие кривини се нарекуваат елиптични криви.
II. Криви формирани од пресек на конус со рамнини, од кои секоја е паралелна со една од генератриките на конусот (сл. 1 б). Само параболи ќе бидат такви кривини.
III. Криви формирани од пресек на конус со рамнини, од кои секоја е паралелна со некои две генератрики (сл. 1 в). таквите криви ќе бидат хиперболи.
Веќе не може да има IV тип на криви, бидејќи не може да има рамнина паралелна на три генератрики на конусот одеднаш, бидејќи ниту една три генератрика на самите конус повеќе не лежи во иста рамнина.
Забележете дека конусот може да се пресече со рамнини така што делот произведува две прави линии. За да го направите ова, рамнините за сечење мора да се извлечат низ темето на конусот.
2. Елипса
За проучување на својствата на конусните пресеци, важни се две теореми:
Теорема 1. Нека е даден правилен кружен конус, кој се расчленува со рамнините b 1, b 2, b 3, нормални на неговата оска. Тогаш сите сегменти на генераторите на конусот помеѓу кој било пар кругови (добиени во пресек со дадените рамнини) се еднакви еден на друг, т.е. A 1 B 1 = A 2 B 2 = итн. и B 1 C 1 = B 2 C 2 = итн. Теорема 2. Ако се дадени сферична површина и некоја точка S надвор од неа, тогаш тангентните отсечки повлечени од точката S до сферичната површина ќе бидат еднакви една со друга, т.е. SA 1 =SA 2 =SA 3, итн.
2.1 Основно својство на елипсата
Дозволете да сецираме праволиниски кружен конус со рамнина што ги пресекува сите негови составни делови.Во делот добиваме елипса. Дозволете ни да нацртаме рамнина нормална на рамнината низ оската на конусот.
Дозволете ни да впишеме две топки во конусот така што, лоцирани на спротивните страни на рамнината и се допираат конусна површина, секој од нив во одреден момент го допрел авионот.
Нека едното топче ја допира рамнината во точката F 1 и го допира конусот долж кругот C 1, а другото во точката F 2 и го допира конусот долж кругот C 2.
Да земеме произволна точка P на елипсата.
Ова значи дека сите заклучоци направени во врска со него ќе важат за која било точка на елипсата. Да нацртаме генератрица на ОП на конусот и да ги означиме точките R 1 и R 2 во кои тој ги допира конструираните топчиња.
Да ја поврземе точката P со точките F 1 и F 2. Тогаш РF 1 =РR 1 и РF 2 =РR 2, бидејќи РF 1, РR 1 се тангенти нацртани од точката P на едно топче, а РF 2, РR 2 се тангенти нацртани од точката P на друга топка (теорема 2 ). Додавајќи ги двете еднаквости термин по член, наоѓаме
РF 1 + РF 2 = РR 1 + РR 2 = R 1 R 2 (1)
Овој однос покажува дека збирот на растојанијата (РF 1 и РF 2) на произволна точка P на елипсата до две точки F 1 и F 2 е константна вредност за дадена елипса (т.е. не зависи од позиција на точката P на елипсата).
Точките F 1 и F 2 се нарекуваат фокуси на елипсата. Точките на кои правата линија F 1 F 2 ја пресекува елипсата се нарекуваат темиња на елипсата. Отсечката помеѓу темињата се нарекува главна оска на елипсата.
Должината на генератриксниот сегмент R 1 R 2 е еднаква на главната оска на елипсата. Тогаш главното својство на елипсата се формулира на следниов начин: збирот на растојанијата на произволна точка P на елипсата до нејзините фокуси F 1 и F 2 е константна вредност за дадена елипса, еднаква на должината на нејзината главна оска .
Забележете дека ако фокусите на елипсата се совпаѓаат, тогаш елипсата е круг, т.е. круг - посебен случајелипса.
2.2 Равенка на елипса
За да ја конструираме равенката на елипсата, мора да ја разгледаме елипсата како локус на точки кои имаат одредено својство што го карактеризира овој локус. Да го земеме главното својство на елипсата како нејзина дефиниција: Елипсата е локус на точки на рамнина за која збирот на растојанијата до две фиксни точки F 1 и F 2 од оваа рамнина, наречени фокуси, е константна вредност. еднаква на должината на неговата главна оска.
Нека должината на отсечката F 1 F 2 = 2c, а должината на главната оска е еднаква на 2а. За да ја изведеме канонската равенка на елипсата, го избираме потеклото O на Декартовиот координатен систем во средината на отсечката F 1 F 2 и ги насочуваме оските Ox и Oy како што е прикажано на Слика 5. (Ако фокусите се совпаѓаат, тогаш O се совпаѓа со F 1 и F 2, а надвор од Ox оската може да биде која било оска што минува низ O). Потоа во избраниот координатен систем точките F 1 (c, 0) и F 2 (-c, 0). Очигледно, 2a>2c, т.е. а> в. Нека M(x, y) е точка на рамнината што припаѓа на елипсата. Нека MF 1 =r 1, MF 2 =r 2. Според дефиницијата за елипса, еднаквоста
r 1 +r 2 =2a (2) е неопходен и доволен услов за локацијата на точката M (x, y) на дадена елипса. Користејќи ја формулата за растојание помеѓу две точки, добиваме
r 1 =, r 2 =. Да се вратиме на еднаквоста (2):
Ајде да поместиме еден корен на десната страна на еднаквоста и да го квадратиме:
Намалувајќи, добиваме:
Ви претставуваме слични, намалуваме за 4 и го отстрануваме радикалот:
Квадратирање
Отворете ги заградите и скратете ги на:
каде добиваме:
(a 2 -c 2) x 2 +a 2 y 2 =a 2 (a 2 -c 2). (3)
Забележете дека 2 -c 2 >0. Навистина, r 1 +r 2 е збир на две страни на триаголникот F 1 MF 2, а F 1 F 2 е неговата трета страна. Затоа, r 1 +r 2 > F 1 F 2, или 2a>2c, т.е. а> в. Да означиме 2 -c 2 =b 2. Равенката (3) ќе изгледа вака: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Дозволете ни да извршиме трансформација што ја доведува равенката на елипсата во канонската (буквално: земена како модел) форма, имено, ги делиме двете страни на равенката со a 2 b 2:
(4) - канонска равенка на елипса.
Бидејќи равенката (4) е алгебарска последица на равенката (2*), координатите x и y на која било точка M од елипсата исто така ќе ја задоволат равенката (4). Бидејќи за време на алгебарските трансформации поврзани со ослободување од радикали, може да се појават „дополнителни корени“, неопходно е да се осигураме дека секоја точка М, чии координати ја задоволуваат равенката (4), се наоѓа на оваа елипса. За да го направите ова, доволно е да се докаже дека вредностите на r 1 и r 2 за секоја точка ја задоволуваат релацијата (2). Значи, нека x и y координатите на точката M ја задоволуваат равенката (4). Заменувајќи ја вредноста на y 2 од (4) во изразот r 1, по едноставни трансформации наоѓаме дека r 1 =. Бидејќи, тогаш r 1 =. На ист начин наоѓаме дека r 2 =. Така, за разгледуваната точка M r 1 =, r 2 =, т.е. r 1 +r 2 =2a, па точката М се наоѓа на елипсата. Количините a и b се нарекуваат главни и помали полуоски на елипсата, соодветно.
2.3 Проучување на обликот на елипсата со помош на нејзината равенка
Ајде да ја поставиме формата на елипсата користејќи ја канонска равенка.
1. Равенката (4) ги содржи x и y само во парни сили, па ако точка (x, y) припаѓа на елипса, тогаш таа содржи и точки (x, - y), (-x, y), (- x, - y). Следи дека елипсата е симетрична во однос на оските Ox и Oy, како и во однос на точката O (0,0), која се нарекува центар на елипсата.
2. Најдете ги точките на пресек на елипсата со координатните оски. Поставувајќи y=0, наоѓаме две точки A 1 (a, 0) и A 2 (-a, 0), на кои оската Ox ја сече елипсата. Ставајќи x=0 во равенката (4), ги наоѓаме точките на пресек на елипсата со оската Oy: B 1 (0, b) и. B 2 (0, - b) Точките A 1, A 2, B 1, B 2 се нарекуваат темиња на елипсата.
3. Од равенката (4) произлегува дека секој член од левата страна не надминува еден, т.е. нееднаквостите и или и се одвиваат. Следствено, сите точки на елипсата лежат во правоаголникот формиран од прави линии.
4. Во равенката (4), збирот на ненегативни членови и е еднаков на еден. Следствено, како што се зголемува еден термин, така и другиот ќе се намалува, т.е. ако x се зголемува, тогаш y се намалува и обратно.
Од горенаведеното произлегува дека елипсата ја има формата прикажана на сл. 6 (овална затворена крива).
Забележете дека ако a = b, тогаш равенката (4) ќе има форма x 2 + y 2 = a 2 . Ова е равенка на круг. Елипса може да се добие од круг со радиус a ако е компресирана со фактор долж оската Oy. Со таква компресија, точката (x; y) ќе се пресели во точката (x; y 1), каде што. Заменувајќи ги круговите во равенката, ја добиваме равенката на елипсата: .
Да воведеме уште една количина што го карактеризира обликот на елипсата.
Ексцентричноста на елипсата е односот на фокусното растојание 2c до должината 2a на нејзината главна оска.
Ексцентричноста обично се означува e: e=Од в< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.
Од последната еднаквост лесно е да се добие геометриска интерпретација на ексцентричноста на елипсата. Кога се многу мали, броевите a и b се речиси еднакви, односно елипсата е блиску до круг. Ако е блиску до еден, тогаш бројот b е многу мал во споредба со бројот a и елипсата е силно издолжена по главната оска. Така, ексцентричноста на елипсата ја карактеризира мерката на издолжување на елипсата.
3. Хипербола
3.1 Главното својство на хиперболата
Со проучување на хиперболата користејќи конструкции слични на оние изведени за проучување на елипсата, ќе откриеме дека хиперболата има својства слични на оние на елипсата.
Дозволете ни да сецираме праволиниски кружен конус со рамнина b што ги пресекува двете негови рамнини, т.е. паралелно со неговите два генератори. Пресекот ќе резултира со хипербола. Да ја нацртаме рамнината ASB низ оската ST на конусот, нормална на рамнината b.
Дозволете ни да впишеме две топки во конусот - едната во едната празнина, другата во другата, така што секоја од нив ќе ја допре конусната површина и рамнината на секант. Нека првата топка ја допира рамнината b во точката F 1 и ја допира конусната површина долж кругот UґVґ. Нека втората топка ја допира рамнината b во точката F 2 и ја допира конусната површина долж кругот УВ.
Дозволете ни да избереме произволна точка M на хиперболата. Нацртајте генератрица на конусот MS низ неа и означете ги точките d и D во кои тој ги допира првото и второто топче. Да ја поврземе точката М со точките F 1, F 2, кои ќе ги наречеме фокуси на хиперболата. Тогаш MF 1 =Md, бидејќи и двете отсечки се тангентни на првата топка, извлечена од точката M. Слично, MF 2 =MD. Одземање на вториот член за еднаквост по член од првиот, наоѓаме
MF 1 -MF 2 =Md-MD=dD,
каде што dD е константна вредност (како генератор на конус со бази UґVґ и UV), независно од изборот на точката M на хиперболата. Да ги означиме со P и Q точките во кои правата линија F 1 F 2 ја сече хиперболата. Овие точки P и Q се нарекуваат темиња на хиперболата. Отсечката PQ се нарекува реална оска на хиперболата. Во текот на елементарната геометрија се докажува дека dD=PQ. Затоа MF 1 -MF 2 =PQ.
Ако точката М се наоѓа на гранката на хиперболата во близина на која се наоѓа фокусот F 1, тогаш MF 2 -MF 1 = PQ. Потоа конечно добиваме MF 1 -MF 2 =PQ.
Модулот на разликата помеѓу растојанијата на произволна точка M на хиперболата од нејзините фокуси F 1 и F 2 е константна вредност еднаква на должината на реалната оска на хиперболата.
3.2 Равенка на хипербола
Да го земеме главното својство на хиперболата како нејзина дефиниција: хиперболата е локус на точки на рамнина за која модулот на разликата во растојанија до две фиксни точки F 1 и F 2 на оваа рамнина, наречени фокуси, е константна вредност еднаква на должината на неговата реална оска.
Нека должината на отсечката F 1 F 2 = 2c, а должината на реалната оска е еднаква на 2а. За да ја изведеме канонската хипербола равенка, го избираме потеклото O на Декартовиот координатен систем во средината на отсечката F 1 F 2 и ги насочуваме оските Ox и Oy како што е прикажано на слика 5. Потоа во избраниот координатен систем точките F 1 (c, 0) и F2 (-s, 0). Очигледно 2а<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство
r 1 -r 2 =2a (5) е неопходен и доволен услов за локацијата на точката M (x, y) на дадена хипербола. Користејќи ја формулата за растојание помеѓу две точки, добиваме
r 1 =, r 2 =. Да се вратиме на еднаквоста (5):
Ајде да ги квадратиме двете страни на еднаквоста
(x+c) 2 +y 2 =4a 2 ±4a+(x-c) 2 +y 2
Намалувајќи, добиваме:
2 xc=4a 2 ±4a-2 xc
±4a=4a 2 -4 xc
a 2 x 2 -2a 2 xc+a 2 c 2 +a 2 y 2 =a 4 -2a 2 xc+x 2 c 2
x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 = a 2 (c 2 -a 2) (6)
Забележете дека со 2 -a 2 >0. Да означиме c 2 -a 2 =b 2 . Равенката (6) ќе изгледа вака: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2. Дозволете ни да извршиме трансформација што ја доведува равенката на хипербола во канонска форма, имено, ги делиме двете страни на равенката со a 2 b 2: (7) - канонската равенка на хиперболата, величините a и b се реалните и имагинарните полуоски на хиперболата, соодветно.
Мора да се погрижиме равенката (7), добиена со алгебарски трансформации на равенката (5*), да не добила нови корени. За да го направите ова, доволно е да се докаже дека за секоја точка M, координатите x и y ја задоволуваат равенката (7), вредностите r 1 и r 2 ја задоволуваат релацијата (5). Спроведувајќи аргументи слични на оние направени при изведување на формулата за елипса, ги наоѓаме следните изрази за r 1 и r 2:
Така, за точката М што се разгледува имаме r 1 -r 2 =2a, и затоа се наоѓа на хиперболата.
3.3 Проучување на равенката на хипербола
Сега да се обидеме, врз основа на разгледување на равенката (7), да добиеме идеја за локацијата на хиперболата.
1. Најпрво, равенката (7) покажува дека хиперболата е симетрична за двете оски. Ова се објаснува со фактот дека равенката на кривата вклучува само парни сили на координати. 2. Сега да ја означиме областа на рамнината каде што ќе лежи кривата. Равенката на хипербола, решена во однос на y, има форма:
Тоа покажува дека y постои секогаш кога x 2? а 2. Дали ова значи дека на x? a и за x? - a ординатата y ќе биде реална, а за - a Понатаму, како што x се зголемува (а a е поголема), ординатата y исто така ќе се зголемува цело време (особено, од тука е јасно дека кривата не може да биде брановидна, т.е., како што се зголемува апсцисата x, ординатата y или се зголемува или намалува). H. Центарот на хиперболата е точка во однос на која секоја точка од хиперболата има точка на неа која е симетрична за себе. Точката O(0,0), потеклото, како и за елипсата, е центарот на хиперболата дефинирана со канонската равенка. Ова значи дека секоја точка од хиперболата има симетрична точка на хиперболата во однос на точката O. Ова произлегува од симетријата на хиперболата во однос на оските Ox и Oy. Секој акорд на хиперболата што минува низ нејзиниот центар се нарекува дијаметар на хиперболата. 4. Точките на пресек на хиперболата со правата на која лежат нејзините фокуси се нарекуваат темиња на хиперболата, а отсечката меѓу нив се нарекува реална оска на хиперболата. Во овој случај, вистинската оска е оската Ox. Забележете дека вистинската оска на хиперболата често се нарекува и отсечка 2а и самата права линија (оската Ox) на која лежи. Да ги најдеме пресечните точки на хиперболата со оската Oy. Равенката за оската Oy е x=0. Заменувајќи го x = 0 во равенката (7), откриваме дека хиперболата нема пресечни точки со оската Oy. Ова е разбирливо, бидејќи во лента со ширина 2а, која ја покрива оската Oy, нема хиперболни точки. Правата која е нормална на вистинската оска на хиперболата и минува низ нејзиниот центар се нарекува замислена оска на хиперболата. Во овој случај, тоа се совпаѓа со оската Oy. Значи, именители на членовите со x 2 и y 2 во равенката за хипербола (7) ги содржат квадратите на реалните и имагинарните полуоски на хиперболата. 5. Хиперболата ја пресекува правата y = kx на k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет. Доказ За да ги одредите координатите на точките на пресек на хиперболата и правата y = kx, треба да го решите системот на равенки Елиминирајќи го y, добиваме или За b 2 -k 2 a 2 0 односно за k добиената равенка, а со тоа и системот, нема решенија. Прави со равенки y= и y= се нарекуваат асимптоти на хипербола. За b 2 -k 2 a 2 >0 односно за k< система имеет два решения: Следствено, секоја права линија што минува низ потеклото, со наклон k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы. 6. Оптичко својство на хиперболата: оптичките зраци кои произлегуваат од еден фокус на хиперболата, рефлектирани од него, се чини дека произлегуваат од вториот фокус. Ексцентричноста на хиперболата е односот на фокусната должина 2c до должината 2a на нејзината реална оска? = Бидејќи c > a, тогаш e > 1, што значи фокусите на хиперболата, како во случајот на елипса, се лоциран во внатрешноста на кривата, 3.4 Коњугирана хипербола Заедно со хиперболата (7), се разгледува таканаречениот конјугат на хипербола со неа. Конјугирана хипербола е дефинирана со канонската равенка. На сл. 10 ја прикажува хиперболата (7) и нејзината конјугирана хипербола. Конјугираната хипербола ги има истите асимптоти како дадената, но F 1 (0, c), 4. Парабола
4.1 Основно својство на параболата Да ги утврдиме основните својства на параболата. Дозволете ни да сецираме правилен кружен конус со теме S со рамнина паралелна на еден од неговите генератори. Во пресекот добиваме парабола. Дозволете ни да нацртаме рамнина ASB низ оската ST на конусот, нормална на рамнината (сл. 11). Generatrix SA што лежи во него ќе биде паралелна со авионот. Дозволете ни да впишеме сферична површина во конусот, тангента на конусот долж кругот UV и тангента на рамнината во точката F. Да повлечеме права линија низ точката F паралелна со генератриксот SA. Да ја означиме точката на нејзиното вкрстување со генератриксот SB со P. Точката F се нарекува фокус на параболата, точката P е нејзиното теме, а правата линија PF што минува низ темето и фокусот (и паралелно со генератриксот SA ) се нарекува оска на параболата. Параболата нема да има второ теме - точката на пресек на оската PF со генератрицата SA: оваа точка „оди до бесконечност“. Да ја наречеме дирекцијата (преведена како „водилка“) правата q 1 q 2 на пресекот на рамнината со рамнината во која лежи кругот UV. Земете произволна точка М на параболата и поврзете ја со темето на конусот S. Правата линија MS ја допира топката во точката D што лежи на кругот УВ. Да ја поврземе точката М со фокусот F и да ја спуштиме нормалната МК од точката М до дирекцијата. Тогаш излегува дека растојанијата на произволна точка М на параболата до фокусот (MF) и до дирекцијата (MK) се еднакви едни на други (главното својство на параболата), т.е. МФ=МК. Доказ: MF=MD (како тангенти на топка од една точка). Да го означиме аголот помеѓу која било од генератриките на конусот и оската ST како c. Да ги проектираме сегментите MD и MK на оската ST. Сегментот MD формира проекција на оската ST еднаква на MDcosc, бидејќи MD лежи на генератриксот на конусот; сегментот MK формира проекција на оската ST еднаква на MKsosc, бидејќи отсечката MK е паралелна со генератриксот SA. (Навистина, дирекцијата q 1 q 1 е нормална на рамнината ASB. Следствено, правата линија PF ја сече дирекцијата во точката L под прав агол. Но правите линии MK и PF лежат во иста рамнина, а MK е исто така нормално на дирекцијата). Проекциите на двата сегменти MK и MD на оската ST се еднакви една со друга, бидејќи еден од нивните краеви - точката M - е заеднички, а другите два D и K лежат во рамнина нормална на оската ST (сл.) . Потоа MDcosc = MKcosc или MD = MK. Затоа, МФ=МК. Имотот 1.(Фокално својство на парабола). Растојанието од која било точка на параболата до средината на главната акорд е еднакво на нејзиното растојание до дирекцијата. Доказ. Точката F е пресечната точка на права линија QR и главната акорд. Оваа точка лежи на оската на симетрија Oy. Навистина, триаголниците RNQ и ROF се еднакви, како правоаголните триаголници триаголници со ранети нозе (NQ=OF, OR=RN). Затоа, без разлика која точка N ќе ја земеме, правата линија QR конструирана од неа ќе ја пресече главната акорд во нејзината средина F. Сега е јасно дека триаголникот FMQ е рамнокрак. Навистина, сегментот MR е и средна и висина на овој триаголник. Следи дека MF=MQ. Имотот 2.(Оптичко својство на парабола). Секоја тангента на парабола прави еднакви агли со фокалниот радиус нацртан до точката на тангенција и зракот што минува од точката на тангенција и конасочен со оската (или, зраците што излегуваат од еден фокус, рефлектирани од параболата, ќе одат паралелно до оската). Доказ. За точка N што лежи на самата парабола, важи еднаквоста |FN|=|NH|, а за точка N" што лежи во внатрешниот регион на параболата, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём: |FM"|=|M"K"|>|M"K"|, односно точката М" лежи во надворешна областпараболи. Значи, целата права линија l, освен точката M, лежи во надворешниот регион, односно внатрешниот регион на параболата лежи на едната страна од l, што значи дека l е тангента на параболата. Ова дава доказ за оптичкото својство на параболата: агол 1 еднаков на аголот 2, бидејќи l е симетрала на аголот FMC. 4.2 Равенка на парабола Врз основа на главното својство на параболата, ја формулираме нејзината дефиниција: парабола е множество од сите точки на рамнината, од кои секоја е подеднакво оддалечена од дадена точка, наречена фокус, и дадена права линија, наречена дирекција. . Растојанието од фокусот F до дирекцијата се нарекува параметар на параболата и се означува со p (p> 0). За да ја изведеме равенката на параболата, го избираме координатниот систем Oxy така што оската Ox поминува низ фокусот F нормално на дирекцијата во правец од дирекцијата кон F, а потеклото на координатите O се наоѓа во средината помеѓу фокусот и дирекцијата (сл. 12). Во избраниот систем, фокусот е F(, 0), а директната равенка има форма x = - или x + = 0. Нека m (x, y) е произволна точка на параболата. Да ја поврземе точката M со F. Нацртајте ја отсечката MH нормална на дирекцијата. Според дефиницијата на параболата MF = MN. Користејќи ја формулата за растојание помеѓу две точки, наоѓаме: Затоа, со квадратура на двете страни на равенката, добиваме тие. (8) Равенката (8) се нарекува канонска равенка на парабола. 4.3 Проучување на формите на параболата со помош на нејзината равенка 1. Во равенката (8) променливата y се појавува во парен степен, што значи дека параболата е симетрична во однос на оската Ox; Оската Окс е оската на симетрија на параболата. 2. Бидејќи c > 0, од (8) следува дека x>0. Следствено, параболата се наоѓа десно од оската Oy. 3. Нека x = 0, а потоа y = 0. Според тоа, параболата минува низ потеклото. 4. Како што x се зголемува на неодредено време, модулот y исто така се зголемува на неодредено време. Параболата y 2 =2 px има форма (облик) прикажана на слика 13. Точката O (0; 0) се нарекува теме на параболата, отсечката FM = r се нарекува фокален радиус на точката M. Равенки y 2 = -2 px, x 2 = - 2 py, x 2 =2 py (p>0) исто така дефинираат параболи. 1.5. Режисерско својство на конусни пресеци .
Овде ќе докажеме дека секој некружен (недегенериран) конусен пресек може да се дефинира како збир на точки M така што односот на растојанието MF од фиксна точка F до растојанието MP од фиксна линија d што не поминува низ точката F е еднаква на константната вредност e: каде што F - фокусот на конусниот пресек, правата линија d е дирекцијата, а односот e е ексцентричност. (Ако точката F припаѓа на правата d, тогаш условот дефинира множество точки што е пар прави, т.е. дегенериран конусен пресек; за e = 1, овој пар прави се спојува во една права. За да го докажете, земете го предвид конус формиран со ротирачка линија l околу пресечката во точката O од права линија p правејќи агол b со l< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности). Дозволете ни да впишеме топка K во конусот, тангента на рамнината p во точката F и тангента на конусот долж кругот S. Правата на пресек на рамнината p со рамнината y на кружницата S ја означуваме со d. Сега поврзуваме произволна точка M што лежи на правата A на пресекот на рамнината p и конусот со темето O на конусот и со точката F и ја спуштаме нормалната MP од M на правата линија d; Со E да ја означиме и точката на пресек на генератриксот MO на конусот со кружницата S. Во овој случај, MF = ME, како отсечки од две тангенти на топката К извлечена од една точка М. Понатаму, отсечката ME формира константен агол b со оската p на конусот (односно, независно од изборот на точката M), а отсечката MP формира константен агол c; затоа, проекциите на овие два сегменти на оската p се соодветно еднакви на ME cos b и MP cos c. Но, овие проекции се совпаѓаат, бидејќи отсечките ME и MP имаат заедничко потекло M, а нивните краеви лежат во рамнината y нормална на оската p. Затоа, ME cos b = MP cos c, или, бидејќи ME = MF, MF cos b = MP cos c, од што следува дека Исто така, лесно е да се покаже дека ако точка М од рамнината p не припаѓа на конус, тогаш. Така, секој дел од десниот кружен конус може да се опише како збир на точки на рамнината за која. Од друга страна, со менување на вредностите на аглите b и c, на ексцентричноста можеме да и дадеме која било вредност e > 0; понатаму, од размислувањата за сличност не е тешко да се разбере дека растојанието FQ од фокусот до дирекцијата е директно пропорционално со радиусот r на топката K (или растојанието d на рамнината p од темето O на конус). Може да се покаже дека, на тој начин, со соодветно избирање на растојанието d, на растојанието FQ можеме да му дадеме каква било вредност. Според тоа, секое множество точки M за кое односот на растојанијата од M до фиксна точка F и до фиксна права линија d има константна вредност може да се опише како крива добиена во пресекот на десниот кружен конус со рамнина . Така, се докажува дека (недегенерираните) конусни пресеци, исто така, може да се дефинираат со својството дискутирано во овој став. Ова својство на конусните пресеци се нарекува нив директорски имот. Јасно е дека ако c > b, тогаш e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Од друга страна, лесно е да се види дека ако β > b, тогаш рамнината p го сече конусот по затворена ограничена линија; ако β = b, тогаш рамнината p го сече конусот по неограничена линија; ако во< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17). Конусен пресек за кој д< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 се нарекува хипербола. Елипсите, исто така, вклучуваат круг, кој не може да се определи со директорското својство; бидејќи за круг односот станува 0 (бидејќи во овој случај β = 90є), конвенционално се смета дека кругот е конусен пресек со ексцентричност од 0. 6. Елипса, хипербола и парабола како конусни пресеци хипербола на елипса на конусен пресек Стариот грчки математичар Менехмус, кој ги открил елипсата, хиперболата и параболата, ги дефинирал како делови од кружен конус со рамнина нормална на една од генератриците. Тој ги нарече добиените кривини делови од акутни, правоаголни и тапи конуси, во зависност од аксијалниот агол на конусот. Првата, како што ќе видиме подолу, е елипса, втората е парабола, третата е една гранка на хипербола. Имињата „елипса“, „хипербола“ и „парабола“ ги вовел Аполониј. Речиси целосно (7 од 8 книги) до нас стигна делото на Аполониј „За конусните пресеци“. Во ова дело, Аполониј ги разгледува двете половини на конусот и го пресекува конусот со рамнини кои не се нужно нормални на една од генератрите. Теорема.Со сечење на кој било прав кружен конус со рамнина (не минува низ неговото теме), се одредува крива, која може да биде само хипербола (сл. 4), парабола (сл. 5) или елипса (сл. 6). Освен тоа, ако рамнината пресекува само една рамнина на конусот и по затворена крива, тогаш оваа крива е елипса; ако рамнината пресекува само една рамнина по отворена крива, тогаш оваа крива е парабола; ако рамнината на сечењето ги пресекува двете рамнини на конусот, тогаш во пресекот се формира хипербола. Елегантен доказ за оваа теорема беше предложен во 1822 година од страна на Данделин, кој користел сфери кои сега обично се нарекуваат сфери на глуварче. Ајде да го разгледаме овој доказ. Дозволете ни да впишеме две сфери во конусот, тангентни на пресекот рамнина P со различни страни. Да ги означиме со F1 и F2 точките на допир на оваа рамнина со сферите. Да земеме произволна точка M на линијата на пресекот на конусот со рамнината P. На генератриксот на конусот што минува низ M ги означуваме точките P1 и P2 што лежат на круговите k1 и k2 по кои сферите го допираат конусот. Јасно е дека MF1=MP1 како отсечки од две тангенти на првата сфера што излегува од М; слично, MF2=MP2. Затоа, MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = Р1Р2. Должината на сегментот P1P2 е иста за сите точки M од нашиот дел: ова е генератрикс на скратен конус, ограничен со паралелни рамнини 1 и 11, во кои лежат круговите k1 и k2. Следствено, линијата на пресекот на конусот со рамнината P е елипса со фокуси F1 и F2. Валидноста на оваа теорема може да се утврди и врз основа на фактот општа позицијадека пресекот на површина од втор ред со рамнина е права од втор ред. Литература
1. Атанасјан Л.С., Базилев В.Т. Геометрија. Во 2 дела.Дел 1. Упатствоза студенти по физика и математика. пед. Во - другар-М.: Просветителство, 1986 година. 2. Базилев В.Т. и други.Геометрија. Тетратка прирачник за студенти по физика од 1 година. - подлога. фак-тов пед. во. - Другар-М.: Просветителство, 1974 година. 3. Погорелов А.В. Геометрија. Тетратка за 7-11 одделение. просечно училиште - 4-то издание - М.: Образование, 1993 година. 4. Историја на математиката од античко време до почетокот на XIXвекови. Јушкевич А.П. - М.: Наука, 1970 година. 5. Болтјански В.Г. Оптички својства на елипса, хипербола и парабола. // Квантна. - 1975. - бр.12. - Со. 19-23. 6. Ефремов Н.В. Краток курсаналитичка геометрија. - М: Наука, 6-то издание, 1967. - 267 стр. Концептот на конусни пресеци. Конусните делови се пресеци на рамнини и конуси. Видови конусни пресеци. Изградба на конусни пресеци. Конусен пресек е локус на точки што задоволуваат равенка од втор ред. апстракт, додаден 10/05/2008 „Кусни пресеци“ од Аполониј. Изведување на равенката на кривата за пресек на правоаголен конус на вртење. Изведување на равенката за парабола, за елипса и хипербола. Непроменливост на конусните пресеци. Понатамошен развој на теоријата на конусни пресеци во делата на Аполониј. апстракт, додаден на 04.02.2010 година Концепт и историска референцаза конусот, карактеристики на неговите елементи. Карактеристики на формирање на конус и видови на конусни пресеци. Конструкција на сферата на глуварче и нејзините параметри. Примена на својствата на конусните пресеци. Пресметки на површините на површината на конусот. презентација, додадена 04/08/2012 Математички концепт на крива. Општа равенка на кривата од втор ред. Равенки на круг, елипса, хипербола и парабола. Оски на симетрија на хипербола. Проучување на обликот на параболата. Криви од трет и четврти ред. Anesi навивам, Декартов лист. теза, додадена 14.10.2011 Преглед и карактеристики на различни методи за изградба на делови од полиедри, одредување на нивните силни и слаби страни. Методот на помошни пресеци како универзален метод за изградба на делови од полиедри. Примери за решавање проблеми на темата на истражување. презентација, додадена на 19.01.2014 година Општа равенка на кривата од втор ред. Изработка на равенки на елипса, круг, хипербола и парабола. Ексцентричност на хипербола. Фокус и насока на параболата. Конверзија општа равенкадо канонската форма. Зависност на типот на кривата од непроменливи. презентација, додадена на 10.11.2014 Елементи на геометријата на триаголникот: изогонална и изотомска конјугација, забележителни точки и линии. Конуси поврзани со триаголник: својства на конусни пресеци; конуси ограничени на триаголник и впишани во него; апликација за решавање проблеми. работа на курсот, додадена 17.06.2012 година Елипса, хипербола, парабола како криви од втор ред што се користат во вишата математика. Концептот на крива од втор ред е линија на рамнина, која во некој Декартов координатен систем се одредува со равенката. Теорема на Паскампл и теорема на Брајаншон. апстракт, додаден на 26.01.2011 година За потеклото на проблемот со удвојување на коцката (еден од петте познати проблеми на антиката). Првиот познат обид за решавање на проблемот, решението на Архитас од Тарентум. Решавање на проблемот во Античка Грција по Архитас. Решенија со користење на конусни делови од Менехмус и Ератостен. апстракт, додаден на 13.04.2014 година Главни типови на конусни пресеци. Пресек формиран од рамнина што минува низ оската на конус (аксијален) и низ нејзиниот врв (триаголник). Формирање на пресек со рамнина паралелна (парабола), нормална (круг) и не нормална (елипса) на оска. V цилиндар = S главен. ∙h Пример 2.Даден е десен кружен конус ABC, рамностран, BO = 10. Најдете го волуменот на конусот. Решение Ајде да го најдеме радиусот на основата на конусот. C=60 0, B=30 0, Нека ОС = А, потоа BC = 2 А. Според Питагоровата теорема: Одговор: . Пример 3. Пресметајте ги волумените на фигурите формирани со ротирачки области ограничени со наведените линии. Граници на интеграција a = 0, b = 4. V= Задачи Опција 1 1. Аксијалниот пресек на цилиндерот е квадрат, чија дијагонала е 4 dm. Најдете го волуменот на цилиндерот. 2. Надворешниот дијаметар на шуплива топка е 18 cm, дебелината на ѕидовите е 3 cm. Најдете го волуменот на ѕидовите на топката. X
фигури, ограничен со линии y 2 =x, y=0, x=1, x=2. Опција 2 1. Радиусите на три топчиња се 6 cm, 8 cm, 10 cm Одреди го радиусот на топката чиј волумен е еднаков на збирот на волумените на овие топчиња. 2. Површината на основата на конусот е 9 cm 2, површина целосна површинанеговите 24 см 2. Најдете го волуменот на конусот. 3. Пресметај го волуменот на телото формирано со ротација околу оската O Xфигура ограничена со правите y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4. 1. Напиши ги својствата на волумените на телата. 2. Напишете формула за пресметување на волуменот на телото на вртење околу оската Oy. Дијагностичката работа се состои од два дела, вклучувајќи 19 задачи. Првиот дел содржи 8 задачи од основно ниво на тежина со краток одговор. Вториот дел содржи 4 задачи повисоко нивопотешкотии со краток одговор и 7 задачи на напредни и високи нивоатешкотии со детален одговор. ТЕКСТ ТРАНСКРИПТ НА ЧАСОТ: Продолжуваме да го проучуваме делот за стереометрија „Тела на ротација“. Телата на ротација вклучуваат: цилиндри, конуси, топки. Да се потсетиме на дефинициите. Висината е растојанието од врвот на фигурата или телото до основата на фигурата (телото). Инаку, сегмент што ги поврзува врвот и основата на фигурата и нормално на него. Запомнете, за да ја пронајдете плоштината на кругот, треба да го помножите пи со квадратот на радиусот. Областа на кругот е еднаква. Ајде да се потсетиме како да ја најдеме областа на кругот знаејќи го дијаметарот? Бидејќи Ајде да го ставиме во формулата: Конусот е исто така тело на револуција. Конус (поточно, кружен конус) е тело кое се состои од круг - основата на конусот, точка што не лежи во рамнината на овој круг - врвот на конусот и сите сегменти што го поврзуваат врвот на конус со основните точки. Ајде да се запознаеме со формулата за наоѓање волумен на конус. Теорема. Волуменот на конусот е еднаков на една третина од производот на површината на основата и висината. Ајде да ја докажеме оваа теорема. Дадени: конус, S - областа на неговата основа, h - висина на конусот Докажи: V= Доказ: Размислете за конус со волумен V, радиус на основата R, висина h и врв во точката O. Дозволете ни да ја воведеме оската Ox преку ОМ - оската на конусот. Произволен пресек на конус со рамнина нормална на оската Ox е круг со центар во точката М1 - точката на пресек на оваа рамнина со оската Ox. Да го означиме радиусот на оваа кружница со R1, а плоштината на пресекот со S(x), каде x е апсциса на точката M1. Од подобие правоаголни триаголнициОМ1А1 и ОМА (ے ОМ1A1 = ے ОМА се прави линии, ے MOA е заедничка, што значи дека триаголниците се слични под два агли) следува дека Сликата покажува дека OM1=x, OM=h или од каде, според својството на пропорција, наоѓаме R1 = . Бидејќи пресекот е круг, тогаш S(x)=πR12, заменете го претходниот израз наместо R1, плоштината на пресекот е еднаква на односот на производот на квадрат со квадратот x и квадратот на висина: Да ја примениме основната формула пресметувајќи ги волумените на телата, со a=0, b=h, добиваме израз (1) Бидејќи основата на конусот е круг, плоштината S на основата на конусот ќе биде еднаква на пи ер квадрат во формулата за пресметување на волуменот на телото, ја заменуваме вредноста на квадратот со плоштината на основата и откриваме дека волуменот на конусот е еднаков на една третина од производот од плоштината на основата и висината Теоремата е докажана. Последица на теоремата (формула за волумен на скратен конус) Волуменот V на скратен конус, чија висина е h, а плоштината на базите S и S1, се пресметува со формулата Ve е еднаква на една третина секира помножена со збирот на плоштините на основите и квадратниот корен од производот од плоштините на основата. Решавање на проблем Правоаголен триаголник со краци 3 cm и 4 cm се врти околу хипотенузата. Одреди го волуменот на добиеното тело. Кога ротираме триаголник околу хипотенузата, добиваме конус. Кога се решава овој проблем, важно е да се разбере дека се можни два случаи. Во секој од нив ја користиме формулата за да го најдеме волуменот на конусот: волуменот на конусот е еднаков на една третина од производот на основата и висината Во првиот случај, цртежот ќе изгледа вака: даден конус. Нека радиус r = 4, висина h = 3 Површината на основата е еднаква на π пати од квадратот на радиусот Тогаш волуменот на конусот е еднаков на една третина од производот на π по квадратот на радиусот и висината. Ајде да ја замениме вредноста во формулата, излегува дека волуменот на конусот е 16π. Во вториот случај, вака: даден конус. Нека радиус r = 3, висина h = 4 Волуменот на конусот е еднаков на една третина од производот на површината на основата и висината: Површината на основата е еднаква на π пати од квадратот на радиусот: Тогаш волуменот на конусот е еднаков на една третина од производот на π по квадратот на радиусот и висината: Заменувајќи ја вредноста во формулата, излегува дека волуменот на конусот е 12π. Одговор: Волуменот на конус V е 16 π или 12 π Задача 2. Даден е прав кружен конус со радиус од 6 cm, агол BCO = 45. Најдете го волуменот на конусот. Решение: За овој проблем е обезбеден готов цртеж. Ајде да ја запишеме формулата за наоѓање волумен на конус: Да го изразиме преку радиусот на основата R: Го наоѓаме h =BO по конструкција - правоаголна, бидејќи агол BOC = 90 (збир на аглите на триаголникот), аглите на основата се еднакви, што значи дека триаголникот ΔBOC е рамнокрак и BO = OC = 6 cm. Нека е даден десен кружен цилиндар, хоризонталната проекција рамнина е паралелна со нејзината основа. Кога цилиндерот е пресечен со рамнина во општа положба (претпоставуваме дека рамнината не ги пресекува основите на цилиндерот), линијата на пресек е елипса, самиот дел има форма на елипса, неговата хоризонтална проекција се совпаѓа со проекција на основата на цилиндерот, а и предната има форма на елипса. Но, ако секентната рамнина прави агол од 45° со оската на цилиндерот, тогаш делот, кој има облик на елипса, се проектира со круг на проекциската рамнина кон која делот е наклонет под истиот агол. Ако рамнината за сечење ја пресекува страничната површина на цилиндерот и една од неговите основи (сл. 8.6), тогаш линијата на пресекот има форма на нецелосна елипса (дел од елипса). Хоризонталната проекција на пресекот во овој случај е дел од круг (проекција на основата), а фронталната проекција е дел од елипса. Рамнината може да биде лоцирана нормално на која било проекциска рамнина, тогаш делот ќе биде проектиран на оваа проекција рамнина како права линија (дел од трагата на секантната рамнина). Ако цилиндерот е пресечен со рамнина паралелна на генератриксот, тогаш линиите на пресек со страничната површина се прави, а самиот пресек има форма на правоаголник ако цилиндерот е исправен, или паралелограм ако цилиндерот е наклонет. Како што е познато, и цилиндерот и конусот се формираат со владеени површини. Пресечната линија (линија на пресек) на владеена површина и рамнина во општ случај е одредена крива, која е изградена од точките на пресек на генератриките со рамнината на сечење. Нека се даде директно кружен конус.Кога е вкрстена со рамнина, линијата на пресек може да има облик на: триаголник, елипса, круг, парабола, хипербола (сл. 8.7) во зависност од локацијата на рамнината. Триаголник се добива кога рамнината за сечење, пресекувајќи конус, поминува низ неговото теме. Во овој случај, линиите на пресек со страничната површина се прави линии што се сечат на врвот на конусот, кои заедно со линијата на пресек на основата формираат триаголник проектиран на проекционите рамнини со изобличување. Ако рамнината ја пресекува оската на конусот, тогаш делот произведува триаголник чиј агол со темето што се совпаѓа со темето на конусот ќе биде максимален за триаголни пресеци на даден конус. Во овој случај, делот се проектира на хоризонталната проекција рамнина (тоа е паралелна со неговата основа) со праволиниски сегмент. Пресекот на рамнина и конус ќе биде елипса ако рамнината не е паралелна со некоја од генератриките на конусот. Ова е еквивалентно на фактот дека рамнината ги пресекува сите генератори (целата странична површина на конусот). Ако секентната рамнина е паралелна со основата на конусот, тогаш линијата на пресекот е круг, самиот пресек е проектиран на хоризонталната проекција рамнина без изобличување, а на фронталната рамнина како отсечка на права линија. Пресечната линија ќе биде парабола кога рамнината за сечење е паралелна само со една генерација на конусот. Ако рамнината на сечењето е паралелна со две генератори истовремено, тогаш линијата на пресек е хипербола. Скратен конус се добива ако прав кружен конус се пресекува со рамнина паралелна на основата и нормална на оската на конусот, а горниот дел се отфрли. Во случај кога хоризонталната рамнина на проекции е паралелна со основите на скратениот конус, овие основи се проектираат на хоризонталната рамнина на проекции без изобличување со концентрични кругови, а фронталната проекција е трапез. Кога скратениот конус е пресечен со рамнина, во зависност од нејзината локација, линијата за сечење може да има форма на трапез, елипса, круг, парабола, хипербола или дел од една од овие кривини, чии краеви се поврзани со права линија.
тие. од страната на неговата вдлабнатина.Слични документи
y 2 = 4x; y = 0; x = 4.
|
=32π
За извршување дијагностичка работапо математика се доделуваат 3 часа 55 минути (235 минути).
Одговорите на задачите 1-12 се пишуваат како цел или конечен број децимална. Запишете ги броевите во полињата за одговори во текстот на делото, а потоа префрлете ги во формуларот за одговор бр. 1. Кога ги завршувате задачите 13-19, треба да го запишете целосното решение и да одговорите во формуларот за одговор бр. 2.
Сите формулари мора да се пополнат со светло црно мастило. Можете да користите гел, капиларни или фонтански пенкала.
Кога ги завршувате задачите, можете да користите нацрт. Записите во нацртот не се земаат предвид при оценувањето на работата.
Поените што ги добивате за завршените задачи се сумирани.
Ви посакуваме успех!Проблемски услови
б) Најдете ги сите корени на оваа равенка кои припаѓаат на отсечката
а) Докажете дека добиениот триаголник во пресек е тап.
б) Најдете го растојанието од центарот ЗАосновата на конусот до рамнината на пресекот.
а) Докажете го тоа MN = AC.
б) Најдете ОС,ако страните на триаголникот ABCсе еднакви на 5, 5 и 8.
има уникатно решение
а) Дали играта може да трае точно три кривини?
б) Дали има два почетни броја такви што играта ќе трае најмалку 9 потези?
в) Ања го направи првиот потег во играта. Најдете го најголемиот можен однос на производот од двата добиени броја со производот
