Агол е фигура која се состои од точка - темето на аголот и две различни полуправи што произлегуваат од оваа точка - страните на аголот (сл. 14). Ако страните на аголот се комплементарни полуправи, тогаш аголот се нарекува развиен агол.

Аголот се означува или со означување на неговото теме, или со означување на неговите страни или со означување на три точки: темето и две точки на страните на аголот. Зборот „агол“ понекогаш се заменува

Симболот Агол на Слика 14 може да се означи на три начини:

За зрак c се вели дека поминува помеѓу страните на аголот ако доаѓа од неговото теме и пресекува некоја отсечка со краевите на страните на аголот.

На слика 15, зракот c поминува помеѓу страните на аголот додека го пресекува сегментот

Во случај на прав агол, секој зрак што произлегува од неговото теме и се разликува од неговите страни поминува помеѓу страните на аголот.

Аглите се мерат во степени. Ако земете правилен агол и го поделите со 180 еднакви аглитогаш степенот мерка на секој од овие агли се нарекува степен.

Основните својства на мерењето на аголот се изразени во следната аксиома:

Секој агол има одредена мерка поголема од нула. Ротираниот агол е 180°. Мерка за степенаголот е еднаков на збирот на мерките на степенот на аглите на кои е поделен со кој било зрак што минува меѓу неговите страни.

Ова значи дека ако зрак c помине помеѓу страните на аголот, тогаш аголот е еднаков на збирот на аглите

Мерката на степенот на аголот се наоѓа со помош на транспортер.

Аголот еднаков на 90° се нарекува прав агол. Се нарекува агол помал од 90° остар агол. Аголот поголем од 90° и помал од 180° се нарекува тап.

Дозволете ни да го формулираме главното својство на одвојување на аглите.

Од која било полуправа, во дадена полурамнина, можете да ставите агол со дадена степен мерка помала од 180°, а само еден.

Размислете за полуправата a. Да ја прошириме подалеку од почетната точка А. Добиената права линија ја дели рамнината на две полурамнини. Слика 16 покажува како, со помош на транспортер, да се нацрта агол со дадена мерка од степен од 60° од полуправа до горната полурамнина.

Т. 1. 2. Ако два агли од дадена полуправа се стават во една полурамнина, тогаш страната на помалиот агол, различна од дадената полуправа, поминува меѓу страните на поголемиот агол.

Нека аглите се отфрлени од дадена полуправа a во една полурамнина, а аголот нека биде помал од аголот . Теорема 1. 2 вели дека зракот минува помеѓу страните на аголот (сл. 17).

Симетралата на аголот е зракот што излегува од неговото теме, поминува меѓу страните и го дели аголот на половина. На слика 18, зракот е симетрала на аголот

Во геометријата постои концепт на рамен агол. Рамнински агол е дел од рамнина ограничена со два различни зраци кои излегуваат од една точка. Овие зраци се нарекуваат страни на аголот. Постојат два рамни агли со дадени страни. Тие се нарекуваат дополнителни. На слика 19, еден од рамните агли со страни a и е засенчен.

Степен мерка на агол. Радијанска мерка на агол. Конвертирање степени во радијани и обратно.

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Во претходната лекција научивме како да мериме агли на тригонометриски круг. Научи како да брои позитивни и негативни агли. Научивме како да нацртаме агол поголем од 360 степени. Време е да дознаете како да ги измерите аглите. Особено со бројот „Пи“, кој се стреми да не збуни во незгодните задачи, да...

Стандардните проблеми во тригонометријата со бројот „Пи“ се добро решени. Визуелната меморија помага. Но, секое отстапување од шаблонот е катастрофа! За да избегнете паѓање - разберенеопходно. Што е она што ќе го направиме сега со успех. Мислам, сè ќе разбереме!

Значи, што дали аглите се бројат? ВО училишен курстригонометријата користи две мерки: степен мерка на аголИ мерка на радијански агол. Ајде да ги погледнеме овие мерки. Без ова, нема никаде во тригонометријата.

Степен мерка на агол.

Некако се навикнавме на степени. Во најмала рака ја поминавме геометријата... И во животот често се среќаваме со фразата „свртена 180 степени“, на пример. Накратко, диплома е едноставна работа...

Да? Одговори ми тогаш што е диплома? Што, не успева веднаш? Тоа е тоа...

Степените биле измислени во антички Вавилон. Беше многу одамна... пред 40 века... И дојдоа до едноставна идеја. Го зедовме и го поделивме кругот на 360 еднакви делови. 1 степен е 1/360 од кругот. Тоа е се. Можеле да го скршат на 100 парчиња. Или 1000. Ама го поделија на 360. Патем, зошто точно 360? Како е 360 подобро од 100? Се чини дека 100 е некако помазна... Обидете се да одговорите на ова прашање. Или слаб против антички Вавилон?

Некаде во исто време, во Антички Египетги мачеше друго прашање. Колку пати должината на кругот е поголема од должината на неговиот дијаметар? И го измерија вака, и онака... Се испадна нешто повеќе од три. Ама некако испадна бушава, нерамна... Ама тие, Египќаните, не се виновни. По нив тие страдаа уште 35 века. Се додека конечно не докажаа дека колку и да ситно исечете круг на еднакви парчиња, од такви парчиња можете да направите мазнадолжината на дијаметарот е невозможна... Во принцип, тоа е невозможно. Па, колку пати обемот е поголем од дијаметарот беше утврден, се разбира. Приближно. 3,1415926... пати.

Ова е бројот „Пи“. Толку бушава, толку бушава. По децималната точка има бесконечен број на броеви без никаков ред... Таквите броеви се нарекуваат ирационални. Ова, патем, значи дека од еднакви парчиња круг дијаметарот мазнане превиткувајте. Никогаш.

За практична применаВообичаено е да се запамети само две цифри по децималната точка. Запомнете:

Бидејќи разбираме дека обемот на кругот е поголем од неговиот дијаметар за „Пи“ пати, има смисла да се запамети формулата за обемот на кругот:

Каде Л- обем и г- неговиот дијаметар.

Корисно во геометријата.

За општо образованиеЌе додадам дека бројот „Пи“ не се наоѓа само во геометријата... Во различни гранки на математиката, а особено во теоријата на веројатност, овој број постојано се појавува! Од самиот себе. Надвор од нашите желби. Како ова.

Но, да се вратиме на степените. Дали сте сфатиле зошто во антички Вавилон кругот бил поделен на 360 еднакви делови? А не по 100 на пример? Не? ДОБРО. Ќе ти дадам верзија. Не можете да ги прашате древните Вавилонци... За изградба, или, да речеме, астрономија, погодно е да се подели кругот на еднакви делови. Сега дознајте со кои броеви се дели целосно 100, а кои - 360? И во која верзија на овие делители целосно- повеќе? Оваа поделба е многу погодна за луѓето. Но...

Како што се испостави многу подоцна од Антички Вавилон, не сите сакаат дипломи. Вишата математика не ги сака... Вишата математика е сериозна дама, организирана според законите на природата. И оваа госпоѓа изјавува: „Денес го скршивте кругот на 360 дела, утре ќе го скршите на 100, задутре на 245... И што да правам? Не, навистина...“ Морав да слушам. Не можете да ја измамите природата...

Моравме да воведеме мерка за агол што не зависи од човечките пронајдоци. Запознајте - радијан!

Радијанска мерка на агол.

Што е радијан? Дефиницијата за радијан сè уште се заснова на круг. Агол од 1 радијан е агол што пресекува лак од круг чија должина е ( Л) е еднаква на должината на радиусот ( Р). Ајде да ги погледнеме сликите.

Толку мал агол, речиси и да го нема... Го движиме курсорот над сликата (или ја допираме сликата на таблетот) и гледаме околу еден радијан. L = R

Дали ја чувствувате разликата?

Еден радијан е многу повеќе од еден степен. Колку пати?

Ајде да ја погледнеме следната слика. На кој нацртав полукруг. Расклопениот агол е, природно, 180°.

Сега ќе го пресечам овој полукруг на радијани! Го движиме курсорот над сликата и гледаме дека 180° одговара на 3 и пол радијани.

Кој може да погоди на што е еднаква оваа опашка!?

Да! Оваа опашка е 0,1415926.... Здраво, број „Пи“, уште не те заборавивме!

Навистина, 180° степени содржи 3,1415926... радијани. Како што и самите разбирате, постојано пишување 3.1415926... е незгодно. Затоа, наместо овој бесконечен број, тие секогаш пишуваат едноставно:

Но, на интернет бројот

Незгодно е да се пишува... Затоа го пишувам неговото име во текстот - „Пи“. Не се збуни, добро?...

Сега можеме да запишеме приближна еднаквост на сосема смислен начин:

Или точна еднаквост:

Ајде да одредиме колку степени има во еден радијан. Како? Лесно! Ако има 180 степени во 3,14 радијани, тогаш има 3,14 пати помалку во 1 радијан! Тоа е, ние ја делиме првата равенка (формулата е исто така равенка!) со 3,14:

Овој сооднос е корисен да се запомни.Еден радијан е приближно 60°. Во тригонометријата, честопати треба да ја процените и процените ситуацијата. Ова е местото каде што ова знаење многу помага.

Но, главната вештина на оваа тема е претворање на степени во радијани и обратно.

Ако аголот е даден во радијани со бројот „Пи“, сè е многу едноставно. Знаеме дека радијаните „Пи“ = 180°. Значи, ги заменуваме радијаните за „Пи“ - 180°. Го добиваме аголот во степени. Го намалуваме она што е намалено, а одговорот е готов. На пример, треба да откриеме колку степениво агол „Пи“/2 радијан? Така пишуваме:

Или, поегзотичен израз:

Лесно, нели?

Обратниот превод е малку покомплициран. Но, не многу. Ако аголот е даден во степени, мора да откриеме на кој степен е еднаков во радијани и да го помножиме тој број со бројот на степени. Што е еднакво на 1° во радијани?

Ја гледаме формулата и сфаќаме дека ако 180° = „Пи“ радијани, тогаш 1° е 180 пати помала. Или, со други зборови, ја делиме равенката (формулата е исто така равенка!) со 180. Нема потреба да се претставува „Пи“ како 3,14, и онака секогаш се пишува со буква. Откривме дека еден степен е еднаков на:

Тоа е се. Го множиме бројот на степени со оваа вредност и го добиваме аголот во радијани. На пример:

Или, слично:

Како што можете да видите, во лежерен разговор со лирски дигресии, се покажа дека радијаните се многу едноставни. И преводот не е проблем... А „Пи“ е сосема толерантна работа... Па од каде е забуната!?

Ќе ја откријам тајната. Факт е дека во тригонометриските функции се запишува симболот степени. Секогаш. На пример, sin35°. Ова е синус 35 степени . И иконата на радијан ( мило) - не е напишано! Се подразбира. Или математичарите ги обземала мрзеливост, или нешто друго... Но решиле да не пишуваат. Ако нема симболи внатре во синус-котангенсот, тогаш аголот е во радијани ! На пример, cos3 е косинус од три радијани .

Ова води до конфузија... Човек го гледа „Пи“ и верува дека е 180°. Во секое време и каде било. Патем, ова функционира. Примерите засега се стандардни. Но, „Пи“ е бројка! Бројката е 3,14, но не и степени! Ова е радијани „Пи“ = 180°!

Уште еднаш: „Пи“ е бројка! 3.14. Ирационално, но бројка. Исто како 5 или 8. Можете, на пример, да направите за чекорите „Пи“. Три чекори и уште малку. Или купете „Пи“ килограми бонбони. Ако образован продавач наиде на ...

„Пи“ е бројка! Што, дали те изнервирав со оваа фраза? Дали веќе одамна разбравте сè? ДОБРО. Ајде да провериме. Кажи ми кој број е поголем?

Или што е помалку?

Ова е едно од низата малку нестандардни прашања кои можат да ве доведат во ступор...

Ако и вие сте паднале во ступор, запомнете ја магијата: „Пи“ е број! 3.14. Во самиот прв синус јасно е наведено дека аголот е во степени! Затоа, невозможно е да се замени „Пи“ за 180 °! Степените „Пи“ се приближно 3,14°. Затоа, можеме да напишеме:

Во вториот синус нема ознаки. Значи, таму - радијани! Ова е местото каде што заменувањето на „Pi“ за 180° ќе функционира добро. Претворајќи ги радијаните во степени, како што е напишано погоре, добиваме:

Останува да се споредат овие два синуса. Што. заборави како? Користејќи тригонометриски круг, се разбира! Нацртајте круг, нацртајте приближни агли од 60° и 1,05°. Ајде да видиме какви синуси имаат овие агли. Накратко, сè е опишано како на крајот од темата за тригонометрискиот круг. На круг (дури и на кривиот!) тоа ќе биде јасно видливо грев60°значително повеќе од грев1,05°.

Точно истото ќе го направиме и со косинусите. На кругот нацртајте агли од приближно 4 степении 4 радијан(Дали сте заборавиле на што е приближно еднаков 1 радијан?). Кругот ќе каже се! Се разбира, cos4 е помал од cos4°.

Ајде да вежбаме да користиме мерки за агол.

Претворете ги овие агли од степени во радијани:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Треба да ги добиете овие вредности во радијани (по различен редослед!)

0

Патем, јас конкретно ги истакнав одговорите во два реда. Па, ајде да откриеме кои се аглите во првата линија? Барем во степени, барем во радијани?

Да! Ова се оските на координатниот систем! Ако го погледнете тригонометрискиот круг, тогаш подвижната страна на аголот со овие вредности се вклопува точно на оските. Овие вредности треба да се знаат. И го забележав аголот од 0 степени (0 радијани) со добра причина. И тогаш некои луѓе едноставно не можат да го најдат овој агол на круг... И, соодветно, се збунуваат во тригонометриските функции на нула... Друга работа е што положбата на подвижната страна на нула степени се совпаѓа со положбата на 360°, така што секогаш има совпаѓања на кругот во близина.

Во втората линија има и посебни агли... Тоа се 30°, 45° и 60°. И што е толку посебно за нив? Ништо посебно. Единствената разлика помеѓу овие агли и сите други е тоа што треба да знаете за овие агли Сите. И каде се наоѓаат, и кои се овие агли? тригонометриски функции. Да ја кажеме вредноста грев100°не мора да знаеш. А грев45°- те молам биди толку љубезен! Ова е задолжително знаење, без кое нема што да се прави во тригонометријата... Но повеќе за ова во следната лекција.

Во меѓувреме, да продолжиме со тренинзите. Претворете ги овие агли од радијан во степен:

Треба да добиете резултати како ова (во неред):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Се случи? Тогаш можеме да претпоставиме дека претворање на степени во радијани и назад- повеќе не е ваш проблем.) Но, преведувањето на аглите е првиот чекор за разбирање на тригонометријата. Таму исто така треба да работите со синуси и косинуси. И со тангенти и котангенти исто така...

Вториот моќен чекор е способност за одредување на положбата на кој било агол на тригонометриски круг. И во степени и во радијани. Ќе ви дадам досадни совети за оваа вештина низ тригонометријата, да...) Ако знаете сè (или мислите дека знаете сè) за тригонометрискиот круг и мерењето на аглите на тригонометрискиот круг, можете да го проверите. Решете ги овие едноставни задачи:

1. Во која четвртина спаѓаат аглите:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Лесно? Да продолжиме:

2. Во која четвртина спаѓаат аглите:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Нема проблем исто така? Па, погледнете...)

3. Аглите можете да ги поставите во четвртини:

Би можел? Па, ти даваш..)

4. На кои оски ќе падне аголот:

и агол:

Дали е и лесно? Хм...)

5. Во која четвртина спаѓаат аглите:

И успеа!? Па, тогаш навистина не знам...)

6. Определи во која четвртина спаѓаат аглите:

1, 2, 3 и 20 радијани.

Ќе дадам одговор само на последното прашање (малку е незгодно) од последната задача. Во првата четвртина ќе падне агол од 20 радијани.

Останатите одговори нема да ги дадам, не од алчност.) Едноставно, ако вие не одлучиленешто се сомневашкако резултат, или потрошени на задача бр. 4 повеќе од 10 секунди,слабо сте ориентирани во круг. Ова ќе биде вашиот проблем во целата тригонометрија. Подобро е веднаш да се ослободите од него (проблемот, а не тригонометријата!). Тоа може да се направи во темата: Практична работа со тригонометрискиот круг во делот 555.

Ви кажува како да ги решавате таквите задачи едноставно и правилно. Па, овие задачи се решени, се разбира. И четвртата задача беше решена за 10 секунди. Да, одлучено е дека секој може да го направи тоа!

Ако сте апсолутно сигурни во вашите одговори и не сте заинтересирани за едноставни и непроблематични начини на работа со радијани, не мора да ја посетите 555. Не инсистирам.)

Доброто разбирање е доволно добра причина да продолжите понатаму!)

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Како да се најде степенот мерка на агол?


За многу луѓе на училиште, геометријата е вистински тест. Една од основните геометриски форми е аголот. Овој концепт значи два зраци кои потекнуваат од иста точка. За мерење на вредноста (големината) на аголот, се користат степени или радијани. Ќе научите како да ја пронајдете мерката за степен на агол во нашата статија.

Видови агли

Да речеме дека имаме агол. Ако го прошириме во права линија, тогаш неговата вредност ќе биде еднаква на 180 степени. Таквиот агол се нарекува свртен агол, а 1/180 од неговиот дел се смета за еден степен.

Покрај правиот агол, постојат и акутни (помалку од 90 степени), тапи (повеќе од 90 степени) и прави агли (еднакви на 90 степени). Овие термини се користат за карактеризирање на степенот мерка на агол.

Мерење на агол

Аголот се мери со помош на транспортер. Ова е специјален уред на кој полукругот е веќе поделен на 180 делови. Ставете го транспортерот на аголот така што една од страните на аголот се совпаѓа со дното на транспортерот. Вториот зрак мора да го пресече лакот на транспортерот. Ако тоа не се случи, отстранете го транспортерот и користете линијар за да го издолжите зракот. Ако аголот се „отвори“ десно од темето, неговата вредност се чита на горната скала, ако налево - на долната.

Во системот SI, вообичаено е да се мери големината на аголот во радијани, наместо во степени. Само 3,14 радијани се вклопуваат во расклопениот агол, така што оваа вредност е незгодна и речиси никогаш не се користи во пракса. Ова е причината зошто треба да знаете како да ги конвертирате радијаните во степени. Постои формула за ова:

  • Степени = радијани/π x 180

На пример, аголот е 1,6 радијани. Претворете во степени: 1,6/3,14 * 180 = 92

Својства на аглите

Сега знаете како да ги измерите и пресметувате степените на аглите. Но, за да ги решите проблемите, треба да ги знаете и својствата на аглите. До денес, формулирани се следните аксиоми:

  • Секој агол може да се изрази во степени поголеми од нула. Големината на ротираниот агол е 360.
  • Ако аголот се состои од неколку агли, тогаш неговата степенска мерка е еднаква на збирот на сите агли.
  • Во дадена полурамнина, од кој било зрак е можно да се конструира агол со дадена вредност, помал од 180 степени и само еден.
  • Вредностите на еднаквите агли се исти.
  • За да додадете два агли, треба да ги додадете нивните вредности.

Разбирањето на овие правила и знаењето како да се измерат аглите е клучот за успешно учење на геометријата.

Математика, геометрија - овие науки, како и повеќето други точни науки, се исклучително тешки за многумина. На луѓето им е тешко да ги разберат формулите и чудната терминологија. Што се крие под овој чуден концепт?

Дефиниција

За почеток, треба едноставно да ја земете предвид мерката на аголот. Сликата на зрак и права линија ќе помогне во ова. Прво треба да нацртате, на пример, хоризонтална права линија. Потоа зрак се црта од неговата прва точка, не паралелна со правата линија. Така, помеѓу правата линија и зракот се појавува одредено растојание, мал агол. Мерката на аголот е големината на оваа ротација на зракот.

Овој концепт означува одредена дигитална вредност која ќе биде поголема од нула. Тоа се изразува во степени, а исто така и негово компоненти, односно минути и секунди. Бројот на степени што се вклопува во аголот помеѓу зракот и правата линија ќе биде степенот мерка.

Својства на аглите

  • Апсолутно секој агол ќе има одредена степенска мерка.
  • Ако е целосно распореден, бројот ќе биде 180 степени.
  • За да се најде мерката на степенот, се зема предвид збирот на сите агли скршени од зракот.
  • Користејќи кој било зрак, можете да создадете полурамнина во која всушност можете да направите агол. Ќе има степенска мерка, чија вредност ќе биде помала од 180, а може да има само еден таков агол.

Како да ја дознаете мерката на аголот?

Како по правило, минималната мерка за степен е 1 степен, што е 1/180 од ротираниот агол. Сепак, понекогаш не можете да добиете толку јасна бројка. Во овие случаи се користат секунди и минути.

Откако ќе се најде, вредноста може да се конвертира во степени, со што се добива дел од степен. Понекогаш се користи дробни броеви, како 80,7 степени.

Исто така е важно да се запамети клучните количини. Правиот агол секогаш ќе биде 90 степени. Ако мерката е поголема, тогаш ќе се смета за тапа, а ако е помала, тогаш остра.

Степен мерка на аголе позитивен број кој покажува колку пати степенот и неговите делови се вклопуваат во аголот.

Зборот „агол“ има различни толкувања. Во геометријата, аголот е дел од рамнината ограничена со два зраци кои излегуваат од една точка, таканареченото теме. Кога се разгледуваат правилни, остри и прави агли, се мисли на геометриските агли.

Како и сите геометриски форми, аглите може да се споредат. Во областа на геометријата, денес не е тешко да се опише дека еден агол е поголем или помал во споредба со друг.

Мерната единица за агли е степен - 1/180 од ротираниот агол.

Секој агол има степен мерка поголема од нула. Прав агол одговара на 180 степени. Степенот на аголот е еднаков на збирот на сите степени мерки на аглите на кои првобитниот агол може да се подели со зраци.

Од било кој зрак до даден авионМожете да одвоите агол со степен мерка не повеќе од 180 степени. Мерката на рамнински агол, која е дел од полурамнина, е степенска мерка на агол што има слични страни. Мерката на рамнината на аголот што ја содржи полурамнината се означува со бројот 360 - ?, каде? е степенска мерка на комплементарен рамнински агол.

Правиот агол е секогаш еднаков на 90 степени, тапиот агол е помал од 180 степени, но повеќе од 90, а акутниот агол не надминува 90 степени.

Во прилог на степенот мерка на агол, постои радијанска мерка. Во планиметријата, должината на кружниот лак се означува како L, радиусот како r, а соодветниот централен аголја доби ознаката - ?.. Врската помеѓу овие параметри изгледа вака: ? = L/r.