Позиција материјална точкаво вселената во овој моментвремето се определува во однос на некое друго тело, кое се нарекува референтно тело.
Контактирајте со него референтна рамка- збир на координатни системи и часовници поврзани со тело во однос на кое се проучува движењето на некои други материјални точки. Изборот на референтен систем зависи од целите на студијата. Во кинематичките студии, сите референтни системи се еднакви (декартови, поларни). Во проблемите со динамиката, доминантна улога игра инерцијални системиодбројување, во однос на кој диференцијалните равенки на движење имаат поедноставен облик.
Во Декартовиот координатен систем, позицијата на точка Аво даден временски момент во однос на овој систем се одредува со три координати X, наИ z, или вектор на радиус (сл. 1.1). Кога материјалната точка се движи, нејзините координати се менуваат со текот на времето. Во принцип, неговото движење се одредува со равенките
или векторска равенка
=(т). (1.2)
Овие равенки се нарекуваат кинематички равенки на движењематеријална точка.
Со исклучок на времето тво системот на равенки (1.1), ја добиваме равенката траектории на движењематеријална точка. На пример, ако кинематичките равенки на движење на точка се дадени во форма:
потоа, со исклучок т, добиваме:
тие. точка се движи во рамнина z= 0 по елипсовидна патека со еднакви полуоски аИ б.
Траекторија на движењена материјална точка е линијата опишана со оваа точка во просторот. Во зависност од обликот на траекторијата, движењето може да биде директнаИ криволиниски.
Да го разгледаме движењето на материјална точка по произволна траекторија АБ(сл. 1.2). Ќе почнеме да го броиме времето од моментот кога точката беше на позиција А (т= 0). Должина на делот за траекторија АБпоминат од материјалната точка од моментот т= 0, повикан должина на патекатаи е скаларна функција на времето. Се вика векторот извлечен од почетната позиција на подвижна точка до нејзината позиција во дадено време вектор на поместување. За време на праволиниското движење, векторот на поместување се совпаѓа со соодветниот дел од траекторијата и неговиот модул е еднаков на поминатото растојание.
Брзина- ова е вектор физичката количина, воведена за да се одреди брзината на движење и нејзиниот правец во дадено време.
Нека материјалната точка се движи по крива патека и во моментот на времето тодговара на векторот на радиусот. (сл. 1.3). За време на мал временски интервал, точката ќе помине низ патека и ќе добие бесконечно мало поместување. Постојат просечни и моментални брзини.
Вектор на просечна брзинасе нарекува сооднос на зголемувањето на векторот на радиусот на точка до одреден временски период:
Векторот е насочен на ист начин како . Со неограничено намалување, просечната брзина се стреми кон ограничувачка вредност, која се нарекува моментална брзинаили едноставно брзина:
Така, брзината е векторска количина еднаква на првиот извод на векторот на радиусот на подвижна точка во однос на времето. Бидејќи секантата во границата се совпаѓа со тангентата, векторот на брзината е насочен тангента на траекторијата во насока на движење.
Како што се намалува должината на лакот, тој сè повеќе се приближува до должината на акордот што го собира, т.е. нумеричката вредност на брзината на материјалната точка е еднаква на првиот извод на должината на нејзиниот пат во однос на времето:
Така,
Од изразот (1.5) добиваме Интегрирање со текот на времето од до , ја наоѓаме должината на патеката помината од материјалната точка во времето:
Ако насоката на векторот на моменталната брзина не се менува за време на движење на материјална точка, тоа значи дека точката се движи по траекторија, тангентите на кои во сите точки имаат иста насока. Ова својство го имаат само правите траектории. Тоа значи дека движењето за кое станува збор ќе биде директна.
Ако насоката на векторот на брзината на материјалната точка се менува со текот на времето, точката ќе опише криволинискитраекторија.
Ако нумеричката вредност на моменталната брзина на точката останува константна за време на движењето, тогаш таквото движење се нарекува униформа. Во овој случај
Ова значи дека во произволни еднакви временски периоди, материјалната точка патува по патеки со еднаква должина.
Ако во произволни еднакви временски интервали точка минува низ патишта со различни должини, тогаш нумеричката вредност на нејзината брзина се менува со текот на времето. Ова движење се нарекува нерамна. Во овој случај, користете скаларна количина наречена просечна брзина на нерамномерно движењена овој дел од траекторијата. Тоа е еднакво на нумеричката вредност на брзината на едно такво еднообразно движење, во кое се троши исто време на патување по патеката како за дадено нерамномерно движење:
Ако материјална точка истовремено учествува во неколку движења, тогаш закон за независност на движењатанеговото добиено поместување е еднакво на векторскиот збир на поместувањата што ги прави во исто време во секое од движењата посебно. Затоа, брзината на добиеното движење се наоѓа како векторска сумабрзини на сите оние движења во кои учествува материјалната точка.
Во природата најчесто се забележуваат движења во кои брзината се менува и по големина (модул) и во насока, т.е. мора да се справи со нерамномерни движења. За да се карактеризира промената на брзината на ваквите движења, се воведува концептот забрзување.
Оставете ја подвижната точка да се помести од позицијата Ада се позиционира ВО(сл. 1.4). Векторот ја поставува брзината на точката на позицијата А. Бремена ВОточката доби брзина различна од големината и насоката и стана еднаква на . Да го преместиме векторот во точка Аи ќе го најдеме.
Средно забрзувањенерамномерното движење во временскиот интервал од до се нарекува векторска количина, еднаков на односотпромени во брзината во временски интервал:
Очигледно, векторот се совпаѓа во насока со векторот на промена на брзината.
Инстант забрзувањеили забрзувањематеријална точка во моментот на време ќе има граница на просечно забрзување:
Така, забрзувањето е векторска големина еднаква на првиот извод на брзината во однос на времето.
Ајде да го разложиме векторот на две компоненти. За да го направите ова од точка Аво насока на брзината зацртуваме вектор еднаков по големина на . Тогаш векторот еднаков на ја одредува промената на брзината модуло(вредност) за времето, т.е. . Втората компонента на векторот ја карактеризира промената на брзината со текот на времето кон - .
Компонентата за забрзување која ја одредува промената на брзината во големина се нарекува тангенцијална компонента. Нумерички, тоа е еднакво на првиот патен дериват на модулот за брзина:
Да ја најдеме втората компонента на забрзувањето, наречена нормална компонента. Да претпоставиме дека поентата ВОдоволно блиску до поентата А, затоа патеката може да се смета за лак од круг со одреден радиус р, не се разликува многу од акордот АБ. Од сличноста на триаголниците AOBИ EADследи тоа
од каде во границата при затоа втората компонента на забрзувањето е еднаква на:
Тој е во правец и е насочен кон центарот на искривување на траекторијата долж нормалата. Таа е исто така наречена центрипетално забрзување.
Целосно забрзувањена телото е геометрискиот збир на тангенцијалните и нормалните компоненти:
Од Сл. 1.5 следува дека вкупниот модул за забрзување е еднаков на:
Насоката на вкупното забрзување се определува со аголот помеѓу векторите и . Очигледно е дека
Во зависност од вредностите на тангенцијалните и нормалните компоненти на забрзувањето, движењето на телото различно се класифицира. Ако (големината на брзината не се менува во големината), движењето е униформа. Ако > 0, движењето се нарекува забрзано, Ако< 0 - бавно. Ако = const0, тогаш движењето се нарекува подеднакво променлива. Конечно, при секое праволиниско движење (нема промена во насоката на брзината).
Така, движењето на материјалната точка може да биде од следниве видови:
1) - праволиниско еднообразно движење ();
2) - праволиниско еднообразно движење. Со овој тип на движење
Ако почетниот момент на времето е , а почетната брзина е , тогаш, означувајќи и , добиваме:
каде . (1.16)
Со интегрирање на овој израз во опсегот од нула до произволна временска точка, добиваме формула за наоѓање на должината на патеката помината од точка за време на еднообразно движење:
3) - линеарно движење со променливо забрзување;
4) - апсолутната брзина не се менува, што покажува дека радиусот на искривување мора да биде константен. Затоа, ова кружно движење е униформно;
5) - еднообразно кривилинеарно движење;
6) - криволиниско еднообразно движење;
7) - криволинеарно движење со променливо забрзување.
Кинематика на ротационо движење на круто тело
Како што веќе беше забележано, ротационото движење на апсолутно круто тело околу фиксна оска е такво движење во кое сите точки на телото се движат во рамнини нормални на фиксна права линија, наречена оска на ротација, и опишуваат кругови чии центри лежат на оваа оска.
Ајде да размислиме солидна, кој ротира околу фиксна оска (сл. 1.6). Потоа поединечни точки на ова тело ќе опишуваат кругови со различни радиуси, чии центри лежат на оската на ротација. Нека точка А се движи по круг со радиус Р. Неговата позиција по одреден временски период ќе биде поставена со агол.
Аголна брзинаротација е вектор кој е нумерички еднаков на првиот дериват на аголот на ротација на телото во однос на времето и насочен по оската на ротација според правилото за десната завртка:
Единицата за аголна брзина е радијани во секунда (rad/s).
Така, векторот ја одредува насоката и брзината на ротација. Ако , тогаш ротацијата се нарекува униформа.
Аголната брзина може да се поврзе со линеарната брзина на произволна точка А. Нека точката патува по должина на патека по лак од круг во времето. Тогаш линеарната брзина на точката ќе биде еднаква на:
Со униформа ротација, може да се карактеризира период на ротација Т- времето во кое точка од телото прави една целосна револуција, т.е. ротира низ агол од 2π:
Се нарекува бројот на целосни вртежи што ги прави телото за време на еднообразно движење во круг по единица време брзина на ротација:
За да се карактеризира нерамномерната ротација на телото, воведен е концептот аголно забрзување. Аголното забрзување е векторска големина еднаква на првиот извод на аголната брзина во однос на времето:
Кога телото ротира околу фиксна оска, векторот на аголното забрзување е насочен по оската на ротација кон векторот на аголната брзина (сл. 1.7); со забрзано движење векторот е насочен во иста насока како и , а во спротивна насока со бавна ротација.
Да ги изразиме тангенцијалните и нормалните компоненти на забрзувањето на точката Ана ротирачко тело преку аголна брзина и аголно забрзување:
Во случај на еднообразно движење на точка долж круг ():
каде е почетната аголна брзина.
Преводните и ротационите движења на круто тело се само наједноставните типови на неговото движење. Во принцип, движењето на круто тело може да биде многу сложено. Меѓутоа, во теоретската механика е докажано дека секое сложено движење на круто тело може да се претстави како комбинација на транслаторни и ротациони движења.
Кинематичките равенки на транслаторните и ротационите движења се сумирани во табела. 1.1.
Табела 1.1
| Прогресивна | Ротациона |
| Униформа | |
| Подеднакво променлива | |
| Нерамномерно | |
Кратки заклучоци:
Делот од физиката што ги проучува обрасците механичко движењеа причините кои го предизвикуваат или менуваат ова движење се нарекуваат механика. Класичната механика (Њутн-Галилео механика) ги проучува законите на движење на макроскопските тела чии брзини се мали во споредба со брзината на светлината во вакуум.
- Кинематичен- гранка на механиката, чиј предмет на проучување е движењето на телата без да се земат предвид причините поради кои е предизвикано ова движење.
Во механиката, за да се опише движењето на телата, во зависност од условите на конкретни проблеми, различни физички модели: материјална точка, апсолутно цврсто тело, апсолутно еластично тело, апсолутно нееластично тело.
Движењето на телата се случува во просторот и времето. Затоа, за да се опише движењето на материјалната точка, неопходно е да се знае на кои места во просторот се наоѓала оваа точка и во кои моменти во времето поминала оваа или онаа позиција. Комбинацијата на референтно тело, координатен систем поврзан со него и часовници синхронизирани еден со друг се нарекува референтен систем.
Се нарекува векторот извлечен од почетната позиција на подвижната точка до неговата позиција во дадено време вектор на поместување. Линијата опишана со подвижна материјална точка (тело) во однос на избраниот референтен систем се нарекува траекторија на движење. Во зависност од обликот на траекторијата, постојат праволинискиИ криволинискидвижење. Се нарекува должината на делот на траекторијата што ја минува материјална точка во даден временски период должина на патеката.
- Брзинае векторска физичка величина која ја карактеризира брзината на движење и нејзиниот правец во даден момент во времето. Моментална брзинасе одредува со првиот извод на векторот на радиусот на подвижна точка во однос на времето:
Векторот на моменталната брзина е насочен тангенцијално на траекторијата во насока на движење. Апсолутната вредност на моменталната брзина на материјалната точка е еднаква на првиот извод на должината на нејзината патека во однос на времето:
- Забрзување- векторска физичка големина за карактеристиката нерамнадвижења. Ја одредува стапката на промена на брзината во големината и насоката. Инстант забрзување- векторска количина еднаква на првиот извод на брзината во однос на времето:
Тангенцијална компонента на забрзувањетоја карактеризира стапката на промена на брзината во големина(насочено тангенцијално на траекторијата на движење):
Нормална компонента на забрзувањетоја карактеризира стапката на промена на брзината кон(насочено кон центарот на искривување на траекторијата):
Целосно забрзувањеза криволиниско движење - геометрискиот збир на тангенцијалните и нормалните компоненти:
3. Што е референтна рамка? Што е вектор на поместување?
4. Кое движење се нарекува транслаторно? Ротациона?
5. Што се карактеризираат брзината и забрзувањето? Дефинирајте просечна брзина и просечно забрзување, моментална брзина и моментално забрзување.
6. Напиши равенка за траекторијата на тело фрлено хоризонтално со брзина v 0 од одредена висина. Игнорирајте го отпорот на воздухот.
7. Што карактеризираат тангенцијалните и нормалните компоненти на забрзувањето? Кои се нивните модули?
8. Како може да се класифицира движењето во зависност од тангенцијалните и нормалните компоненти на забрзувањето?
9. Како се нарекуваат аголна брзина и аголно забрзување? Како се одредуваат нивните насоки?
10. Кои формули ги поврзуваат линеарните и аголните карактеристики на движењето?
Примери за решавање проблеми
Проблем 1. Занемарувајќи го отпорот на воздухот, определете го аголот под кој телото е фрлено кон хоризонтот ако максималната висина на издигнувањето на телото е еднаква на 1/4 од опсегот на неговиот лет (сл. 1.8).
Брзината е векторска величина што ја карактеризира не само брзината на движење на честичката долж траекторијата, туку и насоката во која се движи честичката во секој момент од времето.
Просечна брзина со текот на времето од т 1 пред т 2е еднаков на односот на движењето во ова време со временскиот период во кој се случило ова движење:
Ќе го забележиме фактот дека ова е просечна брзина со ставање на просечната вредност во аголни загради:<...>, како што е направено погоре.
Горенаведената формула за векторот на просечната брзина е директна последица на општото математичка дефиницијасредна вредност<f(x)> произволна функција f(x)на интервалот [ а, б]:
Навистина
Просечната брзина може да биде премногу груба мерка за движење. На пример, просечната брзина во период на осцилација е секогаш нула, без оглед на природата на овие осцилации, од едноставна причина што во текот на еден период - по дефиниција на период - осцилирачкото тело ќе се врати на својата почетна точка и, според тоа, , поместувањето во периодот е секогаш нула. Поради оваа и низа други причини, се воведува моментална брзина - брзина во даден момент во времето. Во иднина, што значи моментална брзина, ќе пишуваме едноставно: „брзина“, испуштајќи ги зборовите „момент“ или „во даден момент во времето“ секогаш кога тоа не може да доведе до недоразбирања. За да се добие брзина во одреден момент во времето тмора да се направи очигледна работа: пресметајте ја границата на соодносот како временски интервал t 2 – t 1на нула. Ајде да направиме некои редизајнирање: t 1 = tИ t 2 = t +и препишете ја горната релација како:
Брзина на време теднаква на границата на односот на движење со текот на времето до временскиот период во кој се случило ова движење, бидејќи второто има тенденција на нула
Ориз. 2.5. Кон дефиницијата за моментална брзина.
Во моментов не го разгледуваме прашањето за постоењето на оваа граница, под претпоставка дека постои. Забележете дека ако има конечно поместување и конечен временски период, тогаш и - нивно гранични вредности: бесконечно мало поместување и бесконечно мал временски период. Значи десната страна на дефиницијата за брзина
не е ништо повеќе од дропка - количник на делење со, затоа последната релација може да се препише и многу често се користи во форма
Од страна на геометриска смисладериват, векторот на брзина во секоја точка од траекторијата е насочен тангента на траекторијата во оваа точка во нејзината насока на движење.
Видео 2.1. Векторот на брзината е насочен тангенцијално на траекторијата. Експериментирајте со острилка.
Секој вектор може да се прошири во основа (за единечни вектори на основата, со други зборови, единечни вектори кои ги дефинираат позитивните насоки на оските Вол,OY,ОЗја користиме ознаката , , или , соодветно). Коефициентите на ова проширување се проекциите на векторот на соодветните оски. Важно е следново: во векторската алгебра е докажано дека проширувањето во однос на основата е единствено. Дозволете ни да го прошириме векторот на радиусот на некоја подвижна материјална точка во основа
Земајќи ја предвид константноста на Декартови единечни вектори , , , овој израз го разликуваме во однос на времето
Од друга страна, проширувањето во однос на векторската основа на брзината ја има формата
сопоставувајќи ги последните два израза, земајќи ја предвид единственоста на проширувањето на кој било вектор во однос на основата, го дава следниот резултат: проекциите на векторот на брзина на Декартовските оски се еднакви на временските деривати на соодветните координати, е
Големината на векторот на брзината е еднаква на
Дозволете ни да добиеме друг, важен, израз за големината на векторот на брзината.
Веќе е забележано дека кога вредноста || се помалку се разликува од соодветната патека (види Сл. 2). Затоа
и во граница (>0)
Со други зборови, модулот за брзина е дериват на поминатото растојание во однос на времето.
Конечно имаме:
Просечна големина на векторот на брзина, се дефинира на следниов начин:
Просечната вредност на векторскиот модул на брзината е еднаква на односот на поминатото растојание до времето во кое оваа патека е помината:
Еве s(t 1 , t 2)- патека во време од т 1пред т 2и соодветно, s(t 0 , t 2)- патека во време од t 0пред т 2И s(t 0 , t 2)- патека во време од t 0пред т 1.
Векторот на просечната брзина или едноставно просечната брзина како што е наведено погоре е
Забележете дека, пред сè, ова е вектор, неговиот модул - модулот на векторот на просечната брзина не треба да се меша со просечната вредност на модулот за вектор на брзина. Во општ случај, тие не се еднакви: модулот на просечниот вектор воопшто не е еднаков на просечниот модул на овој вектор. Две операции: пресметување на модулот и пресметување на просекот, во општ случај, не можат да се заменат.
Ајде да погледнеме на пример. Нека точката се движи во една насока. На сл. 2.6. покажува график на патеката што ја поминала сво од времето (во текот на времето од 0 пред т). Користејќи го физичкото значење на брзината, користете го овој график за да го пронајдете моментот во кој моменталната брзина е еднаква на просечната брзина на земјата за првите секунди од движењето на точката.
Ориз. 2.6. Одредување на моментална и просечна брзина на телото
Модул за брзина во дадено време
како дериват на патеката во однос на времето, тој е еднаков на аголниот коефициент на замавнување до графикот на зависноста на точката што одговара на временскиот момент t*. Просечен модул на брзина во одреден временски период од 0 пред t*е аголниот коефициент на секантата што минува низ точките на истиот график што одговара на почетокот t = 0и крајот t = t*временски интервал. Треба да најдеме таков момент во времето t*, кога двете косини се совпаѓаат. За да го направите ова, повлечете права линија низ потеклото, тангентна на траекторијата. Како што може да се види од сликата, точката на тангенција на овој правилен график е s(t)и дава t*. Во нашиот пример излегува
Пет минути:Законот за движење на точката е даден со равенките
x=2m/s*t; y=2m/s*t-1m/s 2 *t 2
Најдете ги координатите на точката за времињата 0, 0,5s, 1s, 1,5s, 2s. Означете ја позицијата на точка во системот X-Y координати, нацртајте траекторија, определи ја брзината на точката (|v|) во функција на времето.
Од формулата (1.3) следува дека брзината на секое движење може да се претстави како резултат на собирање на брзини од три праволиниски движењадолж координатата оски X,Yи З, т.е. секое сложено движење може да се претстави како збир на линеарни движења (принципот на суперпозиција на движењата). Користејќи го овој принцип, ја одредуваме, на пример, вредноста на првата брзина на бегство, т.е. таква брзина паралелна со површината на земјата која телото мора да ја има за никогаш да не падне на земјата. Проблемот може да се реши на следниов начин. Движењето на телото по површината на земјата може да се претстави како збир од две движења: униформа хоризонтално движењесо брзина на фрлање v и слободен падтело до површината на Земјата со забрзување g (гравитациско забрзување).
За краток временски период Dt, телото ќе помине, движејќи се нормално на радиусот на земјата, од точката А до точката Б (види Сл. 1.9). Во овој случај, неговиот вектор на радиус ќе ротира низ одреден мал агол β. Во исто време, брзината на телото ќе се зголеми ∆v=g∆tпо земјиниот радиус, т.е. и векторот на брзина ќе ротира низ одреден агол. За да може телото да продолжи да се движи по површината на земјата, овој агол мора да се совпаѓа со аголот на ротација на векторот на радиусот на телото. Според тоа, аголот на ротација на векторот на брзината е и аголот β. Да ја изедначиме тангентата β пронајдена од триаголникот на поместување и триаголникот на брзината:
(1.7)
По ова, ја изразуваме големината на брзината:
Како што може да се види од изведувањето на изразот за првата космичка брзина, секое тело, кое се движи со оваа брзина околу Земјата, го менува правецот на брзината поради постојаното паѓање на земјата. и оваа промена води до фактот дека векторот на брзината е секогаш паралелен со површината на земјата.
Движењето со вектор на постојана брзина се нарекува еднообразно. Општо земено, брзината варира и во големина и во насока.
За да се карактеризира стапката на промена на брзината, воведен е концептот забрзување.Забрзувањето е односот на зголемувањето на брзината во текот на бесконечно мал временски интервал до овој интервал, т.е. дериват на брзината во однос на времето
Векторот на забрзување може да се прошири и по координатните оски:
Модулот на векторот за забрзување е еднаков на:
. (1.11)
Заменувајќи го во (1.9) изразот за брзина како дериват на векторот на радиусот на телото, го добиваме изразот за забрзување во форма на вториот дериват на векторот на радиусот во однос на времето:
Пример. Векторот на радиус на подвижна точка е даден со следниот израз:
Определете ја природата на движењето, брзината и забрзувањето.
За да ја одредиме природата на движењето, го пресметуваме векторскиот модул на радиус:
Така, кога точката се поместува |r|-const. Можеме да заклучиме дека ова е движење во круг со радиус R со центарот на почетокот.
Да ја пресметаме брзината на точката:
Модул за брзина:
Модулот на брзина, исто така, не се менува со текот на времето, затоа, ова е кружно движење со постојан модул на брзина.
Да го одредиме забрзувањето на точката:
Споредувајќи ги формулите за векторот на радиусот на точката и нејзиното забрзување, гледаме дека тие изразуваат спротивно насочени вектори. Ако векторот на радиусот е насочен од центарот на траекторијата до точка, тогаш векторот на забрзување е насочен од точката кон центарот на траекторијата. Во овој случај, модулот за забрзување не се менува со текот на времето и е еднаков на |a|=Rω 2. Да го пресметаме скаларниот производ на векторите на брзина и забрзување:
Затоа, во во овој примервекторите на брзина и забрзување се нормални еден на друг.
Општо земено, векторите на брзина и забрзување формираат некаков агол. Во овој случај, погодно е да се разложи векторот на забрзување на две компоненти. Еден од нив е паралелен (или антипаралелен) на векторот на брзина и се нарекува тангенцијалникомпонента за забрзување. Другиот е нормален на векторот на брзина, се нарекува нормалнокомпонента за забрзување. Тангенталната компонента на забрзувањето ја изразува промената на модулот на брзината, а нормалната компонента ја изразува промената во насоката на брзината. Во примерот дискутиран погоре, тангенталната компонента на забрзувањето е нула. Како резултат на тоа, брзината се менува само во насока, неговиот модул останува непроменет.
Во општиот случај, модулот за вкупно забрзување се одредува со Питагоровата теорема:
1.3. Кинематика на ротационо движење, вектор на аголна брзина, врска помеѓу линеарна и аголна брзина на точка, вектор на аголно забрзување.
Кружното движење е посебен, но многу вообичаен тип на движење. За него се воведени следните дополнителни кинематички карактеристики: аголна брзина - ωИ аголно забрзување - ε.
Големината на аголната брзина w се дефинира како однос на зголемувањето на аголот - dj, со кој векторот на радиусот на точката ќе ротира за време dt, до овој временски интервал, т.е.
Ова е сосема природна дефиниција. Меѓутоа, според (1.18), и аголот на ротација и аголната брзина беа дефинирани како векторски величини. Во иднина ќе видиме дека таквата дефиниција на аголни количини се покажува многу погодна и продуктивна. Насоката на векторот на аголот на ротација се одредува со правилото за десната завртка: ако десната завртка е свртена во насока на зголемување на позитивен агол, тогаш движењето на завртката напред ќе ја означи насоката на векторот за зголемување на аголот.
Слична дефиниција веќе се среќава и денес при дефинирањето векторски производ. Навистина, ако го изразиме зголемувањето на векторот на радиусот на точка што се движи во круг кога таа ротира низ агол ∆φ, ја добиваме следната формула
(1.19)
Векторот на линеарна брзина кога точка се движи во круг со аголна брзина ω ќе се определи врз основа на (1.19)
Траекторија на движење на материјална точка низ векторот на радиусот
Откако малку го заборавив овој дел од математиката, во моето сеќавање равенките на движење на материјалната точка отсекогаш биле претставени со користење на зависноста позната на сите нас y(x), и гледајќи го текстот на проблемот, малку се изненадив кога ги видов векторите. Се покажа дека постои приказ на траекторијата на материјална точка користејќи вектор на радиус— вектор кој ја одредува положбата на точка во просторот во однос на некоја претходно фиксирана точка, наречена потекло.
Формулата за траекторијата на материјална точка, покрај векторот на радиусот, е опишана на ист начин орти— единечни вектори јас, ј, кво нашиот случај, што се совпаѓа со оските на координатниот систем. И, конечно, разгледајте пример на равенката за траекторијата на материјална точка (во дводимензионален простор):
Што е интересно за овој пример? Траекторијата на точката е дадена со синуси и косинуси.Што мислите како ќе изгледа графикот во познатото претставување y(x)? „Веројатно нешто морничаво“, си помисливте, но сè не е толку комплицирано како што изгледа! Да се обидеме да ја конструираме траекторијата на материјалната точка y(x), ако таа се движи според законот претставен погоре:
Овде го забележав квадратот на косинус, ако го видите квадратот на синус или косинус во кој било пример, тоа значи дека треба да го примените основниот тригонометриски идентитет, што е она што го направив (втора формула) и ја трансформирав координатната формула y, така што наместо синус, заменете ја формулата за промена во неа x:
Како резултат на тоа, страшниот закон за движење на точката се покажа како обичен парабола, чии гранки се насочени надолу. Се надевам дека го разбирате приближниот алгоритам за конструирање на зависноста од y(x) од претставувањето на движењето низ векторот на радиусот. Сега да продолжиме на нашето главно прашање: како да се најде векторот на брзина и забрзување на материјална точка, како и нивните модули.
Вектор на брзина на материјална точка
Секој знае дека брзината на материјалната точка е количината на растојание поминато од точката по единица време, односно изводот на формулата за законот на движење. За да го пронајдете векторот на брзина, треба да го земете изводот во однос на времето. Ајде да погледнеме конкретен пример за наоѓање на векторот на брзина.
Пример за наоѓање на векторот на брзина
Имаме закон за движење на материјална точка:
Сега треба да го земете изводот на овој полином, ако сте заборавиле како да го направите ова, еве го. Како резултат на тоа, векторот на брзина ќе ја има следната форма:
Се покажа дека е поедноставно отколку што мислевте, сега ајде да го најдеме векторот на забрзување на материјалната точка користејќи го истиот закон претставен погоре.
Како да се најде векторот на забрзување на материјална точка
Вектор за точкачко забрзувањеова е векторска величина што ја карактеризира промената со текот на времето во големината и насоката на брзината на точката. За да го пронајдете векторот на забрзување на материјалната точка во нашиот пример, треба да го земете изводот, но од формулата за вектор за брзина претставена веднаш погоре:
Модул на векторот на точкаста брзина
Сега да ја најдеме големината на векторот на брзината на материјалната точка. Како што знаете од 9-то одделение, модулот на векторот е неговата должина, во правоаголни Декартови координати е еднаков на квадратен коренод збирот на квадратите на неговите координати. А каде можеме да ги добиеме неговите координати од векторот на брзина што го добивме погоре, прашуваш? Сè е многу едноставно:
Сега само треба да го замените времето наведено во проблемот и да добиете одредена нумеричка вредност.
Векторски модул за забрзување
Како што разбравте од напишаното погоре (и од 9-то одделение), наоѓањето на модулот на векторот за забрзување се случува на ист начин како и модулот на векторот на брзина: го земаме квадратниот корен од збирот на квадратите на векторските координати. , едноставно е! Па, еве еден пример за вас, се разбира:
Како што можете да видите, забрзувањето на материјална точка според законот даден погоре не зависи од времето и има постојана големина и насока.
Повеќе примери за решенија на проблемот со наоѓање на векторот на брзина и забрзување
И тука можете да најдете примери за решенија за други проблеми во физиката. А за оние кои не разбираат баш како да го најдат векторот на брзина и забрзување, еве уште неколку примери од мрежата без никакви непотребни објаснувања, се надевам дека ќе ви помогнат.
Ако имате какви било прашања, можете да ги прашате во коментарите.
Врз основа на дефиницијата за брзина, можеме да констатираме дека брзината е вектор. Тој директно се изразува преку вектор на поместување поврзан со одреден временски период и мора да ги има сите својства на векторот на поместување.
Насоката на векторот на брзина, како и насоката на физичкиот мало поместување на векторот, се одредува од цртежот на траекторијата. Ова може јасно да се види со едноставни примери.
Ако допрете ротирачки камен за острење со железна плоча, пилевината отстранета од неа ќе ја добие брзината на оние точки на каменот што плочата ги допрела, а потоа ќе одлета во насока на векторот на оваа брзина. Сите точки на каменот се движат во кругови. За време на експериментот, јасно е видливо дека честичките од жешката струготини што излегуваат одат тангента на овие кругови, што ги покажува насоките на векторите на брзината на поединечните точки на ротирачкиот мелење.
Обрнете внимание на тоа како се наоѓаат излезните цевки кај куќиштето на центрифугалната пумпа за вода или кај сепараторот за млеко. Во овие машини честичките од течноста се принудени да се движат во круг и потоа им се дава можност да излезат во отвор кој се наоѓа во насока на векторот на брзината што ја имаат во моментот на излегување. Насоката на векторот на брзина во овој момент се совпаѓа со насоката на тангентата на траекторијата на честичките на течноста. И излезната цевка е исто така насочена по оваа тангента.
На ист начин, тие обезбедуваат принос на честички во современите акцелератори на електрони и протони за време на нуклеарните истражувања.
Значи, ние сме убедени дека насоката на векторот на брзината се одредува според траекторијата на телото. Векторот на брзина е секогаш насочен по тангентата на траекторијата во точката низ која минува телото што се движи.
За да одредите во која насока долж тангентата е насочен векторот на брзината и која е неговата големина, треба да се свртите кон законот за движење. Да претпоставиме дека законот за движење е даден со графикот прикажан на сл. 1.54. Да го земеме зголемувањето на должината на патеката што одговара на малиот вектор со кој се одредува векторот на брзина. Да се потсетиме дека Знакот покажува
насоката на движење по должината на траекторијата, и затоа ја одредува ориентацијата на векторот на брзината долж тангентата. Очигледно, модулот на брзина ќе се определи преку модулот на овој прираст во должината на патеката.
Така, големината на векторот на брзина и ориентацијата на векторот на брзина долж тангентата на траекторијата може да се одредат од релацијата
Еве една алгебарска големина, чиј знак покажува во која насока е насочен векторот на брзината по тангента на траекторијата.
Значи, ние сме убедени дека големината на векторот на брзина може да се најде од графикот на законот за движење. Односот го одредува наклонот a на тангентата на овој график. Наклонот на тангентата на графикот на законот за движење ќе биде поголем, толку е поголем, т.е. поголема брзината на движење во избраниот момент.
Уште еднаш да привлечеме внимание на фактот дека за целосно одредување на брзината, потребно е истовремено познавање на траекторијата и законот на движење. Цртежот на траекторијата ви овозможува да ја одредите насоката на брзината, а графикот на законот за движење ви овозможува да ја одредите нејзината големина и знак.
Ако сега повторно се свртиме кон дефиницијата за механичко движење, ќе се увериме дека по воведувањето на концептот на брзина за целосен описсекое движење не е потребно ништо повеќе. Користејќи ги концептите на вектор на радиус, вектор на поместување, вектор на брзина, должина на патеката, траекторија и закон на движење, можете да добиете одговори на сите прашања поврзани со одредување на карактеристиките на кое било движење. Сите овие концепти се меѓусебно поврзани, а познавањето на траекторијата и законот на движење ви овозможува да најдете која било од овие величини.
