Суштината на координатниот метод за решавање геометриски проблеми
Суштината на решавање на проблемите со помош на методот на координати е да се воведе координатен систем што ни е погоден во одреден случај и да ги преработиме сите податоци користејќи го. После тоа, сите непознати количини или докази се вршат со помош на овој систем. Разговаравме како да ги внесеме координатите на точките во кој било координатен систем во друга статија - нема да се задржиме на ова овде.
Да ги претставиме главните искази што се користат во методот на координати.
Изјава 1:Координатите на векторот ќе се определат со разликата помеѓу соодветните координати на крајот на овој вектор и неговиот почеток.
Изјава 2:Координатите на средината на отсечката ќе се определат како половина од збирот на соодветните координати на нејзините граници.
Изјава 3:Должината на кој било вектор $\overline(δ)$ со дадени координати $(δ_1,δ_2,δ_3)$ ќе се определи со формулата
$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$
Изјава 4:Растојанието помеѓу било кои две точки одредено со координатите $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$ ќе се определи со формулата
$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$
Шема за решавање на геометриски задачи со помош на методот на координати
За решавање на геометриски проблеми со помош на методот на координати, најдобро е да се користи оваа шема:
- Поставете го координатниот систем најсоодветен за задачата;
- Состојбата на задачата, прашањето за задачата се запишуваат математички и се конструира цртеж за оваа задача.
Запишете ги сите податоци за задачите во координатите на избраниот координатен систем.
- Направете ги потребните односи од условите на проблемот, а исто така поврзете ги овие односи со она што треба да се најде (докажано во проблемот).
- Преведете го добиениот резултат на јазикот на геометријата.
Анализирајте што е дадено во проблемот:
Примери на проблеми решени со координатен метод
Главните проблеми што водат до методот на координати може да се идентификуваат на следниов начин (нема да ги дадеме нивните решенија овде):
- Проблеми за пронаоѓање на координатите на вектор врз основа на неговиот крај и почеток.
- Проблеми поврзани со поделба на сегмент во кој било поглед.
- Доказ дека три точки лежат на иста права или дека четири точки лежат на иста рамнина.
- Проблеми за наоѓање на растојанието помеѓу две дадени точки.
- Проблеми за пронаоѓање на волумените и плоштините на геометриските фигури.
Резултатите од решавањето на првиот и четвртиот проблем се претставени од нас како главни искази погоре и доста често се користат за решавање на други проблеми со помош на методот на координати.
Примери на проблеми со користење на методот на координати
Пример 1
Најдете ја страничната страна на правилна пирамида чија висина е $3$ cm, ако страната на основата е $4$ cm.
Нека ни се даде редовна пирамида$ABCDS$, чија висина е $SO$. Да воведеме координатен систем како на слика 1.
Бидејќи точката $A$ е центар на координатниот систем што го конструиравме, тогаш
Бидејќи точките $B$ и $D$ припаѓаат на оските $Ox$ и $Oy$, соодветно, тогаш
$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$
Бидејќи точката $C$ припаѓа на рамнината $Oxy$, тогаш
Бидејќи пирамидата е правилна, $O$ е средната точка на сегментот $$. Според изјавата 2, добиваме:
$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$
Од висината на $SO$
Координатниот метод е многу ефикасен и универзален начин за наоѓање агли или растојанија помеѓу стереометриските објекти во вселената. Ако вашиот учител по математика е високо квалификуван, тогаш тој треба да го знае ова. Во спротивно, би советувал да го смените туторот за делот „Ц“. Мојата подготовка за обединет државен испит по математика C1-C6 обично вклучува анализа на основните алгоритми и формули опишани подолу.
Агол помеѓу правите a и b
Аголот помеѓу линиите во просторот е аголот помеѓу сите пресечни линии паралелни на нив. Овој агол еднаков на аголотпомеѓу векторите на насоката на овие прави линии (или го надополнува до 180 степени).
Кој алгоритам го користи учителот по математика за да го најде аголот?
1) Изберете кои било вектори 
и имајќи ги насоките на правите a и b (паралелни со нив).
2) Ги одредуваме координатите на векторите користејќи ги соодветните координати на нивните почетоци и краеви (координатите на почетокот мора да се одземат од координатите на крајот на векторот).
3) Заменете ги пронајдените координати во формулата:
. За да го пронајдете самиот агол, треба да го пронајдете лачниот косинус на резултатот.
Нормално за авион
Нормална на рамнина е секој вектор нормален на таа рамнина.
Како да се најде нормално?За да се најдат координатите на нормалата, доволно е да се знаат координатите на кои било три точки M, N и K кои лежат во дадена рамнина. Користејќи ги овие координати, ги наоѓаме координатите на векторите и бараме условите и да бидат исполнети. Со изедначување на скаларниот производ на вектори на нула, создаваме систем на равенки со три променливи, од кои можеме да ги најдеме координатите на нормалата.
Белешка од учител по математика : Воопшто не е потребно целосно да се реши системот, бидејќи доволно е да се избере барем еден нормален. За да го направите ова, можете да замените кој било број (на пример, еден) наместо некоја од неговите непознати координати и да го решите системот од две равенки со преостанатите две непознати. Ако нема решенија, тогаш тоа значи дека во семејството на нормални нема некој чија вредност е една во избраната променлива. Потоа заменете една со друга променлива (друга координата) и решете нов систем. Ако пропуштите повторно, тогаш вашата нормална ќе има една на последната координата, а самата ќе испадне дека е паралелна со некоја координатна рамнина (во овој случај лесно се наоѓа без систем).
Да претпоставиме дека ни е дадена права линија и рамнина со координати на векторот на насока и нормална
Аголот помеѓу права линија и рамнината се пресметува со следнава формула:
Нека и биди било кои две нормални на овие рамнини. 
Тогаш косинус на аголот помеѓу рамнините е еднаков на модулот на косинус на аголот помеѓу нормалните:
Равенка на рамнина во вселената
Точките кои ја задоволуваат еднаквоста формираат рамнина со нормала. Коефициентот е одговорен за количината на отстапување (паралелно поместување) помеѓу две рамнини со исто дадена нормална. За да ја напишете равенката на рамнината, прво мора да ја пронајдете нејзината нормала (како што е опишано погоре), а потоа да ги замените координатите на која било точка на рамнината заедно со координатите на пронајдената нормала во равенката и да го пронајдете коефициентот.
За да користите прегледи на презентации, креирајте сметка на Google и најавете се на неа: https://accounts.google.com
Наслов на слајд:
Правоаголен координатен систем во вселената. Векторски координати.
Правоаголен координатен систем
Ако низ точка во просторот се повлечат три парни нормални линии, на секоја од нив се избира насока и се избира мерна единица за отсечките, тогаш велат дека е наведен правоаголен координатен систем во просторот.
Правите линии со насоки избрани на нив се нарекуваат координатни оски, а нивните заедничка точка- потекло на координати. Обично се означува со буквата O. Координатните оски се означени на следниов начин: Ox, Oy, O z - и имаат имиња: оска на апсциса, оска на ординати, апликативна оска.
Целиот координатен систем е означен Oxy z. Рамнините што минуваат низ координатните оски Ox и Oy, Oy и O z, O z и Ox, соодветно, се нарекуваат координатни рамнинии се означени Oxy, Oy z, O z x.
Точката O ја дели секоја од координатните оски на два зраци. Зракот чија насока се совпаѓа со насоката на оската се нарекува позитивна полуоска, а другиот зрак негативна полуоска.
Во правоаголен координатен систем, секоја точка М во просторот е поврзана со тројка од броеви, кои се нарекуваат нејзини координати.
Сликата покажува шест точки A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F (0; 0; -3).
Векторски координати
Секој вектор може да се прошири во координатни вектори, односно да се претстави во форма каде што коефициентите на проширување x, y, z се одредуваат на единствен начин.
Коефициентите x, y и z при проширување на векторот во координатни вектори се нарекуваат координати на векторот во даден координатен систем.
Да ги разгледаме правилата што ни дозволуваат да ги користиме координатите на овие вектори за да ги најдеме координатите на нивниот збир и разлика, како и координатите на производот на даден вектор со даден број.
10 . Секоја координата од збирот на два или повеќе вектори е еднаква на збирот на соодветните координати на овие вектори. Со други зборови, ако a (x 1, y 1, z 1) и b (x 2, y 2, z 2) се дадени вектори, тогаш векторот a + b има координати (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2).
20 . Секоја координата на разликата од два вектори е еднаква на разликата на соодветните координати на овие вектори. Со други зборови, ако a (x 1, y 1, z 1) и b (x 2 y 2; z 2) се дадени вектори, тогаш векторот a - b има координати (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2).
триесет. Секоја координата на производот на вектор и број е еднаква на производот на соодветната координата на векторот и овој број. Со други зборови, ако a (x; y; x) е даден вектор, α е даден број, тогаш векторот α a има координати (αх; αу; α z).
На тема: методолошки случувања, презентации и белешки
Дидактички прирачник „Збирка белешки за ученици на тема „Метод на координати во простор“ за изведување настава во форма на предавања Геометрија оценки 10-11....
Цел на часот: Да се тестираат знаењата, вештините и способностите на учениците на тема „Користење на методот на координати во просторот за решавање на задачи од унифициран државен испит C2.“ Планирани образовни резултати: Учениците демонстрираат: ...
За да го користите методот на координати, треба добро да ги знаете формулите. Има три од нив:
На прв поглед изгледа заканувачки, но со само малку вежбање се ќе функционира одлично.
Задача. Најдете го косинусот на аголот помеѓу векторите a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).
Решение. Бидејќи ни се дадени координатите на векторите, ги заменуваме во првата формула:
Задача. Напишете равенка за рамнина што минува низ точките M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), ако се знае дека не поминува низ потеклото.
Решение. Општа равенкарамнина: Ax + By + Cz + D = 0, но бидејќи саканата рамнина не поминува низ потеклото на координатите - точката (0; 0; 0) - тогаш ставаме D = 1. Бидејќи оваа рамнина минува низ точките M, N и K, тогаш координатите на овие точки треба да ја претворат равенката во правилна нумеричка еднаквост.
Да ги замениме координатите на точката M = (2; 0; 1) наместо x, y и z. Ние имаме:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
Слично на тоа, за точките N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) ги добиваме следните равенки:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;
Значи имаме три равенки и три непознати. Ајде да создадеме и решиме систем од равенки:
Откривме дека равенката на рамнината има форма: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.
Задача. Рамнината е дадена со равенката 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Најдете ги координатите на векторот нормално на оваа рамнина.
Решение. Користејќи ја третата формула, добиваме n = (7; − 2; 4) - тоа е сè!
Пресметка на векторски координати
Но, што ако нема вектори во проблемот - има само точки што лежат на прави линии и треба да го пресметате аголот помеѓу овие прави линии? Едноставно е: знаејќи ги координатите на точките - почетокот и крајот на векторот - можете да ги пресметате координатите на самиот вектор.
За да ги пронајдете координатите на векторот, треба да ги одземете координатите на почетокот од координатите на неговиот крај.
Оваа теорема работи подеднакво добро и на рамнина и во вселената. Изразот „одземи координати“ значи дека x координатата на друга точка се одзема од x координатата на една точка, а потоа истото мора да се направи со координатите y и z. Еве неколку примери:
Задача. Во просторот има три точки, дефинирани со нивните координати: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Најдете ги координатите на векторите AB, AC и BC.
Размислете за векторот AB: неговиот почеток е во точката A, а неговиот крај е во точката B. Затоа, за да ги најдеме неговите координати, треба да ги одземеме координатите на точката A од координатите на точката B:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).
Слично на тоа, почетокот на векторот AC е истата точка А, но крајот е точката C. Затоа, имаме:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).
Конечно, за да ги пронајдете координатите на векторот BC, треба да ги одземете координатите на точката Б од координатите на точката C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).
Одговор: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); п.н.е. = (− 7; 4; − 9)
Обрнете внимание на пресметката на координатите на последниот вектор BC: многу луѓе прават грешки кога работат со негативни броеви. Ова се однесува на променливата y: точката B има координата y = − 1, а точката C има координата y = 3. Добиваме точно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, како што мислат многу луѓе. Не правете такви глупави грешки!
Пресметка на вектори на насока за прави линии
Ако внимателно го прочитате проблемот C2, ќе се изненадите кога ќе откриете дека таму нема вектори. Има само прави линии и рамнини.
Прво, да ги погледнеме правите линии. Сè е едноставно овде: на која било линија има најмалку две различни точки и, обратно, кои било две различни точки дефинираат единствена линија...
Дали некој разбра што е напишано во претходниот пасус? Јас самиот не го разбрав, па ќе го објаснам поедноставно: во проблемот C2, правите линии секогаш се дефинираат со пар точки. Ако воведеме координатен систем и земеме вектор со почеток и крај на овие точки, ќе го добиеме таканаречениот вектор на насока за правата:
Зошто е потребен овој вектор? Факт е дека аголот помеѓу две прави линии е аголот помеѓу векторите на нивната насока. Така, ние се движиме од неразбирливи прави линии до специфични вектори чии координати лесно се пресметуваат. Колку е лесно? Погледнете ги примерите:
Задача. Во коцката ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 се нацртани линиите AC и BD 1. Најдете ги координатите на векторите на насоката на овие прави.
Бидејќи должината на рабовите на коцката не е наведена во условот, поставуваме AB = 1. Воведуваме координатен систем со почеток во точката A и оските x, y, z насочени по правите линии AB, AD и AA 1, соодветно. Единечниот сегмент е еднаков на AB = 1.
Сега да ги најдеме координатите на векторот на насоката за права линија AC. Ни требаат две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Од тука ги добиваме координатите на векторот AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - ова е векторот на насоката.
Сега да ја погледнеме правата линија BD 1. Исто така, има две точки: B = (1; 0; 0) и D 1 = (0; 1; 1). Го добиваме векторот на насоката BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).
Одговор: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)
Задача. Во десната страна триаголна призма ABCA 1 B 1 C 1, чиишто рабови се еднакви на 1, се исцртуваат прави линии AB 1 и AC 1. Најдете ги координатите на векторите на насоката на овие прави.
Да воведеме координатен систем: потеклото е во точката A, оската x се совпаѓа со AB, оската z се совпаѓа со AA 1, оската y ја формира рамнината OXY со оската x, што се совпаѓа со рамнината ABC.
Прво, да ја погледнеме правата линија AB 1. Сè е едноставно овде: имаме точки A = (0; 0; 0) и B 1 = (1; 0; 1). Го добиваме векторот на насока AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).
Сега да го најдеме векторот на насоката за AC 1. Сè е исто - единствената разлика е во тоа што точката C 1 има ирационални координати. Значи A = (0; 0; 0), па имаме:
Одговор: AB 1 = (1; 0; 1);
Мала, но многу важна забелешка за последен пример. Ако почетокот на векторот се совпаѓа со потеклото на координатите, пресметките се значително поедноставени: координатите на векторот се едноставно еднакви на координатите на крајот. За жал, ова важи само за вектори. На пример, при работа со авиони, присуството на потеклото на координатите на нив само ги комплицира пресметките.
Пресметка на нормални вектори за рамнини
Нормалните вектори не се оние вектори кои се добри или се чувствуваат добро. По дефиниција, нормален вектор (нормален) на рамнина е вектор нормален на дадена рамнина.
Со други зборови, нормала е вектор нормален на кој било вектор во дадена рамнина. Веројатно сте наишле на оваа дефиниција - сепак, наместо вектори зборувавме за прави линии. Сепак, беше покажано веднаш погоре дека во проблемот C2 можете да работите со кој било удобен објект - било да е тоа права линија или вектор.
Да ве потсетам уште еднаш дека секоја рамнина е дефинирана во просторот со равенката Ax + By + Cz + D = 0, каде што A, B, C и D се некои коефициенти. Без да ја изгубиме општоста на решението, можеме да претпоставиме D = 1 ако рамнината не поминува низ потеклото, или D = 0 ако поминува. Во секој случај, координатите на нормалниот вектор на оваа рамнина се n = (A; B; C).
Значи, рамнината исто така може успешно да се замени со вектор - истата нормална. Секоја рамнина е дефинирана во просторот со три точки. Веќе разговаравме за тоа како да ја пронајдеме равенката на рамнината (а со тоа и нормалната) на самиот почеток на статијата. Сепак, овој процес предизвикува проблеми за многумина, па ќе дадам уште неколку примери:
Задача. Во коцката ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е нацртан дел A 1 BC 1. Најдете го нормалниот вектор за рамнината на овој дел ако потеклото на координатите е во точката A, а оските x, y и z се совпаѓаат со рабовите AB, AD и AA 1, соодветно.
Бидејќи рамнината не минува низ потеклото, нејзината равенка изгледа вака: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коефициент D = 1. Бидејќи оваа рамнина минува низ точките A 1, B и C 1, координатите на овие точки ја претвораат равенката на рамнината во правилна нумеричка еднаквост.
A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;
Слично на тоа, за точките B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) ги добиваме следните равенки:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;
Но, ние веќе ги знаеме коефициентите A = − 1 и C = − 1, па останува да го најдеме коефициентот Б:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.
Ја добиваме равенката на рамнината: − A + B − C + 1 = 0. Според тоа, координатите на нормалниот вектор се еднакви на n = (− 1; 1; − 1).
Задача. Во коцката ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 има пресек AA 1 C 1 C. Најдете го нормалниот вектор за рамнината на овој дел ако потеклото на координатите е во точката A и оските x, y и z се совпаѓаат со рабовите AB, AD и AA 1 соодветно.
Во овој случај, рамнината минува низ потеклото, па коефициентот D = 0, а равенката на рамнината изгледа вака: Ax + By + Cz = 0. Бидејќи рамнината минува низ точките A 1 и C, координатите на овие точки ја претвораат равенката на рамнината во правилна нумеричка еднаквост.
Да ги замениме координатите на точката A 1 = (0; 0; 1) наместо x, y и z. Ние имаме:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;
Слично на тоа, за точката C = (1; 1; 0) ја добиваме равенката:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;
Да поставиме B = 1. Тогаш A = − B = − 1, а равенката на целата рамнина има форма: − A + B = 0. Според тоа, координатите на нормалниот вектор се еднакви на n = (− 1 ; 1; 0).
Општо земено, во горенаведените проблеми треба да креирате систем на равенки и да го решите. Ќе добиете три равенки и три променливи, но во вториот случај едната од нив ќе биде бесплатна, т.е. земете произволни вредности. Затоа имаме право да поставиме B = 1 - без предрасуди за општоста на решението и точноста на одговорот.
Многу често во задачата В2 треба да работите со точки кои пресечат отсечка. Координатите на таквите точки лесно се пресметуваат ако се познати координатите на краевите на отсечката.
Значи, отсечката нека биде дефинирана со нејзините краеви - точки A = (x a; y a; z a) и B = (x b; y b; z b). Потоа, координатите на средината на сегментот - да ја означиме со точка H - може да се најдат со формулата:
Со други зборови, координатите на средината на сегментот се аритметичка средина на координатите на нејзините краеви.
Задача. Единечната коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е поставена во координатен систем така што оските x, y и z се насочени долж рабовите AB, AD и AA 1, соодветно, а потеклото се совпаѓа со точката A. Точката K е средината на работ A 1 B 1 . Најдете ги координатите на оваа точка.
Бидејќи точката K е средината на отсечката A 1 B 1, нејзините координати се еднакви на аритметичката средина на координатите на краевите. Да ги запишеме координатите на краевите: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Сега да ги најдеме координатите на точката К:
Задача. Единечната коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е поставена во координатен систем така што оските x, y и z се насочени по должината на рабовите AB, AD и AA 1, соодветно, а потеклото се совпаѓа со точката A. Најдете ја координати на точката L во која се сечат дијагонали на квадратот A 1 B 1 C 1 D 1 .
Од курсот за планиметрија знаеме дека точката на пресек на дијагоналите на квадрат е еднакво оддалечена од сите негови темиња. Особено, A 1 L = C 1 L, т.е. точката L е средината на отсечката A 1 C 1. Но, A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), така што имаме:
Одговор: L = (0,5; 0,5; 1)
Тест за час по геометрија во 11 одделение
Тема: "Метод на координати во вселената“.
Цел: Тестирајте ги теоретските знаења на учениците, нивните вештини и способности да го применат ова знаење во решавање на проблеми користејќи векторски и векторско-координатни методи.
Задачи:
1 .Создавање услови за контрола (самоконтрола, меѓусебна контрола) за стекнување знаења и вештини.
2. Развијте математичко размислување, говор, внимание.
3. Промовирајте активност, мобилност, комуникациски вештини и општата култура на учениците.
Форма на однесување: работа во групи.
Опрема и извори на информации: екран, мултимедијален проектор, табела со знаење, тест картички, тестови.
За време на часовите
1.Мобилизирачки момент.
Лекција за користење на ООП; студентите се распоредени во 3 динамични групи, во кои студенти со прифатливо, оптимално и напредно ниво. Секоја група избира координатор кој ја води работата на целата група.
2 . Самоопределување на учениците врз основа на исчекување.
Задача:поставување на цели според шемата: запомни-учи-биди способен.
Тест за влез - пополнете ги празнините (во отпечатоците)
Влезен тест
Пополнете ги празнините…
1.Три пара нормални прави се повлечени низ точка во просторот.
на секој од нив се избира насоката и единицата за мерење на сегментите,
тогаш велат дека е дадено …………. во вселената.
2. Правите линии со избрани насоки на нив се нарекуваат ………………..,
и нивната заедничка точка……………. .
3. Во правоаголен координатен систем, секоја точка M од просторот е поврзана со тројка од броеви кои ја нарекуваат …………………..
4. Координатите на точка во просторот се викаат …………………..
5. Вектор чија должина е еднаква на еден се вика …………..
6. Вектори јасyксе нарекуваат………….
7. Шансите xyzво распаѓање а= xјас + yј + zксе нарекуваат
……………вектори а .
8. Секоја координата од збирот на два или повеќе вектори е еднаква на ……………..
9. Секоја координата на разликата на два вектори е еднаква на ………………….
10. Секоја координата на производ на вектор и број е еднаква на…………………..
11. Секоја векторска координата е еднаква на…………….
12. Секоја координата на средината на отсечката е еднаква на……………….
13. Векторска должина а { xyz) се пресметува со формулата …………………………
14. Растојание помеѓу точките М 1(x 1 ; y 1; z 1) и М 2 (x 2; y 2 ; z2) пресметано со формулата ………………………
15. Скаларниот производ на два вектори се вика……………..
16. Скаларниот производ на ненулта вектори е еднаков на нула…………………..
17. Точка производ на векториа{ x 1; y 1; z 1} б { x 2 ; y 2 ; z 2) во изразено со формулата ………………………
Рецензија на влезниот тест. Одговори за тестирање задачи на екранот.
Критериум за оценување:
1-2 грешки - „5“
3-4 грешки - „4“
5-6 грешки - „3“
Во други случаи - „2“
3. Завршување на работата. (со карти).
Секоја картичка содржи две задачи: бр.1 - теоретски со доказ, бр.2 вклучува задачи.
Објаснете го нивото на сложеност на задачите вклучени во работата. Групата извршува една задача, но има 2 дела. Координаторот на групата раководи со работата на целата група. Дискутирањето за истите информации со неколку партнери ја зголемува одговорноста не само за сопствените успеси, туку и за резултатите од колективната работа, што позитивно влијае на микроклимата во тимот.
КАРТИЧКА бр. 1
1. Да се извлечат формули кои ги изразуваат координатите на средината на отсечката преку координатите на нејзините краеви.
2.Задача: 1) Дадени точки А (-3; 1; 2) и Б (1; -1; 2)
Најдете:
а) координати на средната точка на отсечката AB
б) координати и должина на векторот AB
2) Дадена е коцка ABCDA1 B1 C1 D1. Користејќи го методот на координати, пронајдете го аголот
помеѓу прави линии AB1 и A1 D.
КАРТИЧКА бр. 2
Изведете формула за пресметување на должината на векторот од неговите координати.
Задача: 1) Дадени поени М(-4; 7; 0),Н(0; -1; 2). Најдете го растојанието од потеклото до средината на отсечката МН.
→ → → → →
2) Дадени се вектори аИ б. Најдете б(а+б),Ако a (-2; 3; 6), b = 6i-8k
КАРТИЧКА бр. 3
Изведете формула за пресметување на растојанието помеѓу точките со дадени координати.
Задача: 1) Дадени точки A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4).
Докажете дека ∆ABC е рамнокрак и најдете ја должината средната линијатриаголник што ги поврзува средните точки на страните.
2) Пресметајте го аголот помеѓу правите AB и CD, ако A(1;1;0),
Б(3;-1;2), Д(0;1;0).
КАРТИЧКА број 4
Изведете формули за косинус на аголот помеѓу ненула вектори со дадени координати.
Задача: 1) Дадени се координатите на трите темиња на паралелограмот ABCD:
A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Најдете ги координатите на точката Д.
2) Најдете го аголот помеѓу правите AB и CD, ако A(1;1;2), B(0;1;1), C(2;-2;2), D(2;-3;1) .
КАРТИЧКА број 5
Кажете ни како да го пресметаме аголот помеѓу две прави во просторот користејќи ги векторите на насоката на овие линии. →→
Задача: 1) Најдете го скаларниот производ на векториаИ б, Ако:
→ → → ^ →
а) | а| =4; | б| =√3 (аб)=30◦
б) а {2 ;-3; 1}, б = 3 јас +2 к
2) Дадени се точките A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) и D(2;4;4). Докажете дека ABCD е ромб.
4. Проверка на работата на динамичните групи со користење на картички.
Ги слушаме настапите на претставниците на групата. Работата на групите ја оценува наставникот со учество на ученици.
5. Рефлексија. Тест оценки.
Завршен тест со повеќекратен избор (во отпечатоци).
1) Дадени се вектори а {2 ;-4 ;3} б(-3; ─ ; 1). Најдете ги координатите на векторот
→ 2
в = а+ б
а) (-5; 3 −; 4); б) (-1; -3,5;4) в) (5; -4 −; 2) г) (-1; 3,5; -4)
2) Дадени се вектори а(4; -3; 5) и б(-3; 1; 2). Најдете ги координатите на векторот
В=2 а – 3 б
а) (7;-2;3); б) (11; -7; 8); в) (17; -9; 4); г) (-1; -3; 4).
→ → → → → →
3) Пресметај го скаларниот производ на векторимИ n, Ако м = а + 2 б- в
→ → → → →^ → → → → →
n= 2 а - бако | а|=2 , | б |=3, (аб) = 60 °, в ┴ а , в ┴ б.
а) -1; б) -27; во 1; г) 35.
4) Векторска должина а { xyz) е еднакво на 5. Најдете ги координатите на векторот a ifx=2, z=-√5
а) 16; б) 4 или -4; во 9; г) 3 или -3.
5) Најдете ја плоштината ∆ABC ако A(1;-1;3); B(3;-1;1) и C(-1;1;-3).
а) 4√3; б) √3; в)2√3; г)√8.
Рецензија на тестот. Кодови за одговори за тест задачи на екранот: 1(б); 2 (в);
3 (а); 4 (б); 5 (в).
Критериум за оценување:
Сè е точно - „5“
1 грешка - „4“
2 грешки - „3“
Во други случаи - „2“
Табела за знаење на учениците
Работи на
картички
Конечно
тест
Оценување за тестот
Задачи
теорија
вежбање
1 група
2-ра група
3 група
Оценување на подготовката на учениците за тестот.
