UDC 517.17+517.51
ПЕРИОД НА Збирот на ДВЕ ПЕРИОДИЧНИ ФУНКЦИИ
A/O. Евнин
Делото целосно го решава прашањето каков може да биде главниот период на периодична функција, што е збир на две периодични функции со познати главни периоди. Се проучува и случајот на отсуство на главен период за периодичен збир на периодични функции.
Ги разгледуваме функциите со реална вредност на реална променлива. Во енциклопедиското издание, во написот „Периодични функции“, можете да прочитате: „Збирот на периодични функции со различни периоди е периодичен само ако нивните периоди се пропорционални“. Оваа изјава е точна за континуирани функции 1, но не се јавува во општиот случај. Контрапример на многу општа форма беше конструиран во. Во оваа статија дознаваме што може да биде главниот период на периодична функција, што е збир на две периодични функции со познати главни периоди.
Прелиминарни информации
Потсетиме дека функцијата / се вели дека е периодична ако за одреден број T F O за кој било x од доменот на дефиницијата D(f) броевите x + T и x - T припаѓаат на D(f) и равенствата f(x + Т) = f( x) =f(x ~ T). Во овој случај, бројот Г се нарекува период на функцијата.
Најмалиот позитивен период на функцијата (ако, се разбира, постои) ќе го наречеме главен период. Следниот факт е познат.
Теорема 1. Ако функцијата има главен период To, тогаш кој било период од функцијата има форма nTo, каде што n Ф 0 е цел број.
За броевите T\ и T2 се вели дека се споредливи ако има број T0 што се вклопува и во T\ и во T2 цел број пати: T\ = T2 = n2T0, n2e Z. Во спротивно, броевите T\ и T2 се наречен неспоредлив. Според тоа, споредливоста (неспоредливоста) на периодите значи дека нивниот однос е рационален (ирационален) број.
Од теорема 1 следува дека за функција која има фундаментален период, кои било два периода се пропорционални.
Класичен пример за функција која нема најмал период е функцијата Дирихле, која е еднаква на 1 во рационални точки и нула во ирационални точки. Било кој рационален број, различен од нула, е период на функцијата Дирихле, а секој ирационален број не е негов период. Како што гледаме, и овде секој два периода се споредливи.
Да дадеме пример за неконстантна периодична функција која има неспоредливи периоди.
Нека функцијата /(x) е еднаква на 1 во точките од формата /u + la/2, m, n e Z и еднаква на
нула. Меѓу периодите на оваа функција има 1 и l
Период на збир на функции со пропорционални периоди
Теорема 2. Нека fug се периодични функции со главни периоди mT0 и „Тоа, каде што типот
Меѓусебно прости броеви. Тогаш главниот период на нивниот збир (ако постои) е еднаков на -
каде k - природен број, коприм на бројот tn.
Доказ. Нека h = / + g. Очигледно, бројот mnT0 е период од h. Врз основа на
од теорема 1, главниот период h има форма каде k е некој природен број. Веројатно
Да претпоставиме дека k не е релативно прост со бројот m, односно k - dku m = dm\, каде што d> 1 е најмногу
1 Прекрасен доказ дека збирот на кој било конечен бројконтинуираните функции со парови неспоредливи периоди е непериодичен, содржан во статијата Видете исто така.
поголем заеднички делител на броевите m и k. Тогаш периодот на функцијата k е еднаков на
и функцијата f=h-g
има период mxnTo, што не е повеќекратно од неговиот главен период mTQ. Се добива противречност со теорема 1. Тоа значи дека k е копрост со m. Слично на тоа, броевите k и n се копрости. Така, A: е копрост со m. □
Теорема 3. Нека m, n и k се парни копрости броеви, а T0 позитивен број. Потоа, постојат периодични функции фуг такви што главните периоди f, g и (f + g) се
ние сме соодветно tT$, nTQ и -
Доказ. Доказот на теоремата ќе биде конструктивен: едноставно ќе изградиме соодветен пример. Прво да го формулираме следниов резултат. Изјава. Нека m се релативно прости броеви. Потоа функциите
fx - cos- + cos--- и f2= cos- m n m
кос- имаат фундаментален период од 2ktp. П
Доказ за изјавата. Очигледно, бројот 2ptn е период на двете функции. Можете лесно да проверите дали овој период е главен за функцијата.Да ги најдеме неговите максимални поени.
x = 2lM, te Z.
Имаме = n!. Од меѓусебната едноставност на типот произлегува дека 5 е множител на /r, т.е. i = јас e б. Ова значи дека /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2, а растојанието помеѓу соседните точки на максимумот на функцијата /\ е еднакво на 2ktp, а позитивниот период /1 не може да биде помал од бројот 2 spp .
За функцијата применуваме расудување од различен вид (што е исто така погодно за функцијата но
помалку елементарно). Како што покажува теоремата 1, главниот период Г од функцијата/2 има форма -,
каде што k е некој природен број со прост на типот. Бројот G ќе биде и период на функцијата
(2 ^ 2 xn g t /2 + /2 = - -1 кос
чии сите периоди имаат форма 2pp1. Значи,
2nnl, т.е. t = kl. Бидејќи t и k се меѓусебно
сти, следува дека k = 1.
Сега, за да ја докажеме теоремата 3, можеме да го конструираме бараниот пример. Пример. Нека m, n и k се парови релативно прости броеви и барем еден од броевите n или k е различен од 1. Тогаш pf k и врз основа на докажаната изјава на функцијата
/ (x) = cos--- + cos- t до
И g(x) = cos-cos - p до
имаат главни периоди од 2 ltk и 2 tk соодветно, и нивниот збир
k(x) = f(x) + = cos- + cos-
главниот период е 2 ttp.
Ако n = k = 1, тогаш пар функции ќе направат
f(x)-2 cos- + COS X и g(x) - COS X. m
Нивните главни периоди, како и периодот на функцијата k(x) - 2, се еднакви на 2lm, 2/gi 2тип, соодветно.
колку е лесно да се провери.
Математика
Да означиме T = 2lx. За произволни парни копромитирани броеви mn, n и k, функциите f и £ се означени така што главните периоди на функциите f, g и f + g се еднакви на mT, nT и
Условите на теоремата ги задоволуваат функциите / - n;
Период на збир на функции со неспоредливи периоди
Следната изјава е речиси очигледна.
Теорема 4. Нека fug се периодични функции со неспоредливи главни периоди T) и T2, а збирот на овие функции h = f + g е периодичен и има главен период T. Тогаш бројот T е неспоредлив ниту со T] ниту со T2.
Доказ. Од една страна, ако броевите TnT) се споредливи, тогаш функцијата g = h-f има период сразмерен со Г]. Од друга страна, врз основа на теорема 1, кој било период од функцијата g е множител на бројот T2. Добиваме контрадикција со неспоредливоста на броевите T\ и T2. Неспоредливоста на броевите Т и Т2 се докажува на сличен начин, г
Извонреден, па дури и донекаде изненадувачки, факт е дека обратното од теоремата 4 е исто така точно. Постои широко распространета заблуда дека збирот на две периодични функции со неспоредливи периоди не може да биде периодична функција. Всушност, тоа не е така. Покрај тоа, периодот на збирот може да биде кој било позитивен број што ја задоволува изјавата на теорема 4.
Теорема 5. Нека T\, T2 и T~ се пар неспоредливи позитивни броеви. Потоа, постојат периодични функции фуг такви што нивниот збир h =/+ g е периодичен, а главните периоди на функцијата f guh се еднакви на Th T2 и T, соодветно.
Доказ. Доказот повторно ќе биде конструктивен. Нашите конструкции значително ќе зависат од тоа дали бројот T е претставен или не во форма на рационална комбинација T = aT\ + pT2 (a и P се рационални броеви) на периодите T\ и T2.
I. T не е рационална комбинација на Tg и J2-
Нека A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) е множество од целобројни линеарни комбинации на броевите T1 T2 и T. Веднаш забележуваме дека ако некој број може да се претстави во форма mT\ + nT2 + kT, тогаш таквата репрезентација е единствена. Навистина, ако mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9 тогаш
(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - π)Тъ и за k\ * k2 добиваме дека T рационално се изразува преку T] и T2. Ова значи k\ = k2. Сега, од неспоредливоста на броевите T\ и T2, веднаш се добиваат равенствата m\ = m2 и u = n2.
Важен факт е дека множествата A и неговиот комплемент A се затворени со собирање на броеви од A: ако x e A и y e A, тогаш x + y e A; ако x e A и y e A, тогаш x + y e A.
Да претпоставиме дека во сите точки од множеството A функциите / и g се еднакви на нула, а во множеството A ги дефинираме овие функции на следниов начин:
f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.
Бидејќи, како што беше прикажано, од бројот x e A, коефициентите m, врвот на линеарната комбинација на периодите T1 T2 и T се уникатно обновени, означените доделувања на функциите / и g се точни.
Функцијата h =/ + g на множеството А е еднаква на нула, а во точките од множеството А е еднаква на
h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.
Со директна замена лесно е да се потврди дека бројот T\ е период на функцијата f, бројот T2 е период од g, а T~ е период од h. Да покажеме дека овие периоди се главните.
Прво, забележуваме дека кој било период од функцијата / припаѓа на множеството A. Навистина,
ако 0 fx во A,y e A, тогаш ox + y e A и f(x + y) = 0 *f(x). Ова значи дека y e A не е периодот на функцијата /
Сега нека x2 се нееднакви броеви и f(x 1) ~f(x2). Од дефиницијата на функцијата / оттука добиваме дека x\ - x2 = 1Т каде што I е некој ненулта цел број. Затоа, секој период од функцијата е множител на T\. Така, Tx е навистина главниот период/
Изјавите во врска со Т2 и Т се проверуваат на ист начин.
Коментар. Во книгата на стр. 172-173 е дадена уште една општа конструкција за случајот I.
II. Т е рационална комбинација на Т\ и Т2.
Да претставиме рационална комбинација на периоди T\ и T2 во форма Г = - (кхТх + к2Т2), каде што кх и
k2 ™ коприм цели броеви, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? и d се природни броеви. Да воведеме leZ>.
Рени комплет Б----
Да претпоставиме дека во сите точки од множеството B функциите f и g се еднакви на нула, а во множеството B ги дефинираме овие функции на следниов начин:
^ mT\ + nT2 L I
^ mTx + nT2 L
Овде, како и обично, [x] и (x) ги означуваат целите и дробните делови на броевите, соодветно. Функцијата k =/+ d на множеството B е еднаква на нула, а во точките од множеството B е еднаква на
fmTx + pT: l H
Со директна замена лесно е да се потврди дека бројот Tx е период на функцијата /, бројот T2 е период g, а T е период h. Да покажеме дека овие периоди се главните.
Било кој период од функцијата / припаѓа на множеството B. Навистина, ако 0 * x e B, y e B, тогаш f(x) Ф 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Оттука, y e B _ Не функционален период/
Значи, секој период од функцијата / има форма Тy =
Каде што 5i и 52 се цели броеви. Нека
x = -7] 4- -Г2, x e 5. Ако i = 0, тогаш f(i) е рационален број. Сега од рационалноста на бројот /(x + 7)) следи еднаквоста -I - I - 0. Тоа значи дека ја имаме еднаквоста 52 = Xp, каде што X е некој цел број
број. Релацијата /(x + 7)) = /(x) има форма
^P + I + I w +
Оваа еднаквост мора да важи за сите типови цели броеви. На t-n~ 0, десната страна на (1) е еднаква на
на нула. Бидејќи дробните делови се ненегативни, од ова добиваме дека -<0, а при
m = n = d - ] збирот на дробните делови од десната страна на еднаквоста (1) не е помал од збирот на дробните делови h-X
лево. Ова значи ->0. Така, X = 0 и 52 = 0. Според тоа, периодот на функцијата / има форма
и еднаквоста (1) станува
n\ | а 52 се цели броеви. Од односите
th (0) = 0 = ти (GA) =
откриваме дека броевите 51 и ^ мора да бидат множители на p, т.е. за некои цели броеви Ax и A2 имаме 51 = A\p, E2 = A2p. Тогаш релацијата (3) може да се препише како
Од еднаквоста A2kx = k2A\ и меѓусебната простаност на броевите k\ и k2, произлегува дека A2 е делив со k2. Од тука
за некој цел број t важат равенствата A2 = k2t и Ax ~ kxt, т.е. Th ~-(kxTx + k2T2).
Се покажува дека кој било период од функцијата h е повеќекратен од периодот T = - (k(Gx + k2T2)9 кој, на тој начин
зом, е главниот. □
Нема главен период
Теорема 6. Нека Tx и T2~ се произволни позитивни броеви. Потоа, постојат периодични функции фугирани така што нивните главни периоди се еднакви на T\ и T2, соодветно, а нивниот збир h=f+g е периодичен, но нема главен период.
Доказ. Да разгледаме два можни случаи.
I. Периодите Tx и T2 се неспоредливи.
Нека A = + nT2 +kT\ . Како и погоре, лесно е да се покаже дека ако бројот
може да се претстави во форма mTx + nT2 + kT, тогаш таквата претстава е единствена.
Да претпоставиме дека во сите точки од множеството A функциите / и g се еднакви на нула, а во множеството A ги дефинираме овие функции на следниов начин:
/од; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.
Лесно е да се потврди дека бројот Tx е главниот период на функцијата /, бројот T2 е главниот период g, а за секој рационален k, бројот kT е период на функцијата h - f + g, што, затоа, нема најмал период.
II. Периодите Tx и T2 се споредливи.
Нека Tx = mT0, T2 = nT0, каде што T0 > O, m и n се природни броеви. Да го воведеме во предвид множеството I = +.
Да претпоставиме дека во сите точки од множеството Б функциите fug се еднакви на нула, а во множеството Б ги дефинираме овие функции на следниов начин:
/((/ + ShT0) = Shch + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.
Функцијата h ~ / + g на множеството B е еднаква на нула, а во точките од множеството B е еднаква на
Лесно е да се провери дали бројот 7j = mTQ е главниот период на функцијата /, бројот T2 ~ nT0 е главниот период од g, додека меѓу периодите на функцијата h~ f + g ги има сите броеви на формирајте l/2kT0, каде што k е произволен рационален број. □
Конструкциите што ја докажуваат теоремата 6 се засноваат на неспоредливоста на периодите на функцијата h~ / + g со периодите на функциите / и g. Како заклучок, да дадеме пример за функции фуг такви што сите периоди на функциите /, g и / + g се пропорционални едни со други, но / и g имаат основни периоди, додека f + g немаат.
Нека m е некој фиксен природен број, M множеството од нередуцирани нецелобројни дропки чии броители се множители на m. Да ставиме
1 ако тој; 1
ако mZ;
EcnuxeZXmZ; 2
O во други случаи; 1 ако xeMU
~,ако е2 2
[О, инаку.
Лесно е да се види дека главните периоди на функциите fug се еднакви на m и 1, соодветно, додека збирот / + g има период од кој било број од формата m/n, каде што n е произволен природен број копрост на м.
Литература
1. Математички енциклопедиски речник/Гл. ед. Ју.В. Прохоров - М.: Сов. енциклопедија, 1988 година.
2. Микаелјан Л.В., Седракјан Н.М. За периодичноста на збирот на периодични функции//Математичко образование. - 2000. - бр.2(13). - стр 29-33.
3. Геренштајн А.Б., Евнин А.Ју. За збирот на периодични функции // Математика на училиште. -2002 година. - бр. 1. - стр. 68-72.
4. Ивлев Б.М. и други.Збирка задачи по алгебра и принципи на анализа за 9 и 10 одделение. - М.: Образование, 1978 година.
Цел: сумирање и систематизирање на знаењата на учениците на тема „Периодичност на функциите“; развиваат вештини за примена на својствата на периодична функција, наоѓање на најмал позитивен период на функција, конструирање графикони на периодични функции; промовираат интерес за изучување математика; негувајте набљудување и точност.
Опрема: компјутер, мултимедијален проектор, картички со задачи, слајдови, часовници, маси со украси, елементи од народни занаети
„Математиката е она што луѓето го користат за да ја контролираат природата и себеси“.
А.Н. Колмогоров
За време на часовите
I. Организациска фаза.
Проверка на подготвеноста на учениците за часот. Пријавете ја темата и целите на часот.
II. Проверка на домашната задача.
Ние ги проверуваме домашните задачи користејќи примероци, повеќето тешки моментиАјде да дискутираме.
III. Генерализација и систематизација на знаењето.
1. Усна фронтална работа.
Теорија прашања.
1) Формирајте дефиниција за периодот на функцијата
2) Именувај го најмалиот позитивен период од функциите y=sin(x), y=cos(x)
3). Кој е најмалиот позитивен период на функциите y=tg(x), y=ctg(x)
4) Користејќи круг, докажете ја исправноста на односите:
y=грев (x) = грев (x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Како да нацртате периодична функција?
Орални вежби.
1) Докажи ги следните односи
а) грев (740º) = грев (20º)
б) cos(54º) = cos(-1026º)
в) грев (-1000º) = грев (80º)
2. Докажете дека аголот од 540º е еден од периодите на функцијата y= cos(2x)
3. Докажете дека аголот од 360º е еден од периодите на функцијата y=tg(x)
4. Трансформирајте ги овие изрази така што аглите вклучени во нив не надминуваат 90º во апсолутна вредност.
а) tg375º
б) ctg530º
в) грев1268º
г) cos(-7363º)
5. Каде наидовте на зборовите ПЕРИОД, ПЕРИОДИЦИТЕТ?
Ученикот одговара: Период во музиката е структура во која се прикажува повеќе или помалку целосна музичка мисла. Геолошкиот период е дел од една ера и е поделен на епохи со период од 35 до 90 милиони години.
Полуживот на радиоактивна супстанција. Периодична дропка. Периодични изданија се печатени публикации кои се појавуваат во строго дефинирани рокови. Периодичен системМенделеев.
6. На сликите се прикажани делови од графиконите на периодични функции. Одреди го периодот на функцијата. Одреди го периодот на функцијата.
Одговори: Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.
7. Каде во животот сте сретнале конструкција на елементи што се повторуваат?
Одговор на ученикот: Елементи на орнаменти, народно творештво.
IV. Колективно решавање на проблеми.
(Решавање проблеми на слајдови.)
Да разгледаме еден од начините за проучување на функција за периодичност.
Овој метод ги избегнува тешкотиите поврзани со докажувањето дека одреден период е најмал, а исто така ја елиминира потребата да се допираат прашања за аритметички операции на периодични функции и периодичноста на сложената функција. Расудувањето се заснова само на дефиницијата на периодична функција и на следниот факт: ако T е период на функцијата, тогаш nT(n?0) е нејзиниот период.
Задача 1. Најдете го најмалиот позитивен период на функцијата f(x)=1+3(x+q>5)
Решение: Да претпоставиме дека Т-периодот на оваа функција. Тогаш f(x+T)=f(x) за сите x € D(f), т.е.
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
Да ставиме x=-0,25 добиваме
(Т)=0<=>T=n, n € Z
Добивме дека сите периоди на функцијата за која станува збор (ако постојат) се меѓу цели броеви. Ајде да го избереме најмалиот позитивен број меѓу овие броеви. Ова 1 . Ајде да провериме дали навистина ќе биде период 1 .
f(x+1) =3(x+1+0,25)+1
Бидејќи (T+1)=(T) за кое било Т, тогаш f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), т.е. 1 – период f. Бидејќи 1 е најмалиот од сите позитивни цели броеви, тогаш Т=1.
Задача 2. Покажете дека функцијата f(x)=cos 2 (x) е периодична и најдете ја нејзината главна точка.
Задача 3. Најдете го главниот период на функцијата
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Да го претпоставиме Т-периодот на функцијата, потоа за кој било Xсоодносот е валиден
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Ако x=0, тогаш
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Ако x=-T, тогаш
sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)
5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)
| sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 |
Ако го собереме, добиваме:
10cos(0,75T)=10
2π n, n € З
Да го избереме најмалиот позитивен број од сите „сомнителни“ броеви за периодот и да провериме дали е точка за f. Овој број
f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)
Тоа значи дека ова е главниот период на функцијата f.
Задача 4. Да провериме дали функцијата f(x)=sin(x) е периодична
Нека T е периодот на функцијата f. Потоа за кој било х
грев|x+Т|=грев|x|
Ако x=0, тогаш sin|Т|=грев0, грев|Т|=0 Т=π n, n € З.
Да претпоставиме. Дека за некои n бројот π n е точка
функцијата што се разгледува π n>0. Тогаш sin|π n+x|=грев|x|
Ова имплицира дека n мора да биде и парен и непарен број, но тоа е невозможно. Затоа, оваа функција не е периодична.
Задача 5. Проверете дали функцијата е периодична
f(x)= 
Нека T е период од f, тогаш
, оттука sinT=0, Т=π n, n € Z. Да претпоставиме дека за некои n бројот π n е навистина период на оваа функција. Тогаш бројот 2π n ќе биде точка
Затоа што броителите се еднакви, нивните именители се еднакви
Тоа значи дека функцијата f не е периодична.
Работа во групи.
Задачи за група 1.
Задачи за група 2.
Проверете дали функцијата f е периодична и пронајдете го нејзиниот основен период (ако постои).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Задачи за група 3.
На крајот од својата работа, групите ги презентираат своите решенија.
VI. Сумирајќи ја лекцијата.
Рефлексија.
Наставникот им дава на учениците картички со цртежи и бара од нив да обојат дел од првиот цртеж во согласност со степенот до кој мислат дека ги совладале методите на изучување на функција за периодичноста, а дел од вториот цртеж - во согласност со нивните придонес во работата на часот.
VII. Домашна работа
1). Проверете дали функцијата f е периодична и пронајдете го нејзиниот основен период (ако постои)
б). f(x)=x 2 -2x+4
в). f(x)=2tg(3x+5)
2). Функцијата y=f(x) има период T=2 и f(x)=x 2 +2x за x € [-2; 0]. Најдете ја вредноста на изразот -2f(-3)-4f(3.5)
Литература/
- Мордкович А.Г.Алгебра и почетоци на анализа со длабинско проучување.
- Математика. Подготовка за обединет државен испит. Ед. Лисенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ју.
- Шереметјева Т.Г. , Тарасова Е.А.Алгебра и почетна анализа за 10-11 одделение.
Во обичните училишни задачи докаже периодичностана една или друга функција обично не е тешко: така, за да се увериме дека функцијата $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ е периодична, доволно е едноставно да се забележи дека производот $T=4\times7\ пати 2\pi$ е неговиот период: ако го додадеме бројот T на x, тогаш овој производ ќе ги „изеде“ двата именители и под синусниот знак само целобројните множители на $2\pi$ ќе бидат излишни, што ќе биде „ изедени“ од самиот синус.
Но доказ за непериодичностана една или друга функција директно по дефиниција можеби не е воопшто едноставна. Така, за да се докаже непериодичноста на функцијата $y=\sin x^2$ разгледана погоре, може да се запише еднаквоста $sin(x+T)^2=\sin x^2$, но не се решава ова од навика тригонометриска равенка, и погодете да го замените x=0 во него, по што остатокот ќе функционира речиси автоматски: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, каде што k е некој цел број поголем од 0, т.е. $T=\sqrt (k\pi)$, и ако сега претпоставиме да го замениме $x=\sqrt (\pi)$ во него, излегува дека $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, од каде $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, а со тоа бројот p е коренот на равенката $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, т.е. е алгебарски, што не е точно: $\pi$ е, како што знаеме, трансцендентален, т.е. не е корен на ниту една алгебарска равенка со целобројни коефициенти. Сепак, во иднина ќе добиеме многу поедноставен доказ за оваа изјава - но со помош на математичка анализа.
При докажување на непериодичноста на функциите, често помага елементарен логички трик: ако сите периодични функции имаат одредено својство, но дадената функција го нема, тогаш тоа природно не е периодична. Така, периодична функција зема која било вредност бесконечно многу пати, и затоа, на пример, функцијата $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ не е периодична, бидејќи вредноста е 7 ја прифаќа само во две точки. Често, за да се докаже не-периодичноста, погодно е да се користат карактеристиките на неговите домен на дефиниција, а за да го пронајдете посакуваното својство на периодичните функции понекогаш треба да покажете малку имагинација.
Да забележиме и дека многу често на прашањето што е непериодична функција, се слуша одговор во стилот за кој зборувавме во врска со парни и непарни функции, е кога $f(x+T)\neq f(x)$, што, се разбира, е неприфатливо.
А точниот одговор зависи од специфичната дефиниција за периодична функција и, врз основа на дефиницијата дадена погоре, можеме, се разбира, да кажеме дека функцијата е непериодична ако нема единствен период, но тоа ќе биде „лоша“ дефиниција што не дава насока докази за непериодичноста. И ако го дешифрираме понатаму, опишувајќи што значи реченицата „функцијата f нема единечна точка“ или, што е исто, „нема број $T \neq 0$ е период на функцијата f“, тогаш добиваме дека функцијата f не е периодична ако и само ако за секој $T \neq 0$ има број $x\во D(f)$ така што барем еден од броевите $x+T$ и $ x-T$ не припаѓа на D(f), или $f(x+T)\neq f(x)$.
Можете да го кажете тоа на друг начин: „Постои број $x\in D(f)$ таков што еднаквоста $f(x+T) = f(x)$ не важи“ - оваа еднаквост може да не важи за двајца причини: или тоа нема смисла, т.е. еден од неговите делови е недефиниран, или - во спротивно, биди неточен. За интерес, додаваме дека тука се манифестира и јазичниот ефект за кој зборувавме погоре: бидејќи еднаквоста „да не е точно“ и „да се биде лажно“ не се иста работа - еднаквоста можеби сè уште нема значење.
Деталното разјаснување на причините и последиците од овој јазичен ефект е всушност предмет не на математиката, туку на теоријата на јазикот, лингвистиката или поточно нејзиниот посебен дел: семантика - наука за значењето, каде што, сепак, овие прашањата се многу сложени и немаат недвосмислено решение. А математиката, вклучително и училишната математика, е принудена да ги трпи овие тешкотии и да ги надмине јазичните „неволји“ - додека и затоа што користи, заедно со симболичниот, природен јазик.
Аргумент x, тогаш се нарекува периодичен ако има број T таков што за кој било x F(x + T) = F(x). Овој број Т се нарекува период на функцијата.
Може да има неколку периоди. На пример, функцијата F = const ја зема истата вредност за која било вредност на аргументот, и затоа секој број може да се смета за нејзин период.
Обично ве интересира најмалиот ненулти период на функцијата. За краткост, тоа едноставно се нарекува точка.
Класичен пример за периодични функции е тригонометриската: синус, косинус и тангента. Нивниот период е ист и еднаков на 2π, односно sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и така натаму. Сепак, се разбира тригонометриски функции- не се единствените периодични.
За едноставни, основни функции, единствениот начин да се утврди дали се периодични или непериодични е преку пресметка. Но за сложени функциивеќе има неколку едноставни правила.
Ако F(x) е со период T, и за него е дефиниран извод, тогаш овој извод f(x) = F'(x) е исто така периодична функција со период T. Впрочем, вредноста на изводот во точката x е еднаква на тангентата на аголот на тангентата на графикот на неговиот антидериват во оваа точка до оската x, и бидејќи антидериватот периодично се повторува, изводот исто така мора да се повторува. На пример, изводот на функцијата sin(x) е еднаков на cos(x), и тој е периодичен. Земајќи го дериватот на cos(x) ви дава –sin(x). Фреквенцијата останува непроменета.
Сепак, спротивното не е секогаш точно. Така, функцијата f(x) = const е периодична, но нејзиниот антидериват F(x) = const*x + C не е.
Ако F(x) е периодична функција со период T, тогаш G(x) = a*F(kx + b), каде што a, b и k се константи и k не е еднаква на нула - исто така е периодична функција , а неговиот период е T/k. На пример, sin(2x) е периодична функција, а нејзиниот период е π. Ова може визуелно да се претстави на следниов начин: со множење на x со некој број, се чини дека го компресирате графикот на функцијата хоризонтално точно толку пати
Ако F1(x) и F2(x) се периодични функции, а нивните периоди се еднакви на T1 и T2, соодветно, тогаш збирот на овие функции може да биде и периодичен. Сепак, неговиот период нема да биде едноставен збир на периоди Т1 и Т2. Ако резултатот од делењето T1/T2 е рационален број, тогаш збирот на функциите е периодичен, а неговиот период е еднаков на најмалиот заеднички множител (LCM) на периодите T1 и T2. На пример, ако периодот на првата функција е 12, а периодот на втората е 15, тогаш периодот на нивниот збир ќе биде еднаков на LCM (12, 15) = 60.
Ова може визуелно да се претстави на следниов начин: функциите доаѓаат со различни „широчини на чекори“, но ако односот на нивните ширини е рационален, тогаш порано или подоцна (или подобро, токму преку LCM на чекори), тие повторно ќе станат еднакви, и нивната сума ќе започне нов период.
Меѓутоа, ако односот на периодите е ирационален, тогаш вкупната функција воопшто нема да биде периодична. На пример, нека F1(x) = x mod 2 (остатокот кога x се дели со 2), и F2(x) = sin(x). Т1 овде ќе биде еднаков на 2, а Т2 ќе биде еднаков на 2π. Односот на периодите е еднаков на π - ирационален број. Затоа, функцијата sin(x) + x mod 2 не е периодична.
