Равенка на права како локус на точки. Различни видови равенки на права линија. Проучување на општата равенка на правата. Конструирање права линија користејќи ја нејзината равенка. Равенка на права, видови равенки на права на рамнина Дефиниција на права на рамнина

Размислете за функцијата дадена со формулата (равенка)

Оваа функција, а со тоа и равенката (11), одговара на добро дефинирана линија на рамнината, која е графикот на оваа функција (види Сл. 20). Од дефиницијата на графикот на функцијата произлегува дека оваа права се состои од оние и само оние точки на рамнината чии координати ја задоволуваат равенката (11).

Нека сега

Правата, која е графикот на оваа функција, се состои од оние и само оние точки на рамнината чии координати ја задоволуваат равенката (12). Ова значи дека ако точката лежи на одредената права, тогаш нејзините координати ја задоволуваат равенката (12). Ако точката не лежи на оваа права, тогаш нејзините координати не ја задоволуваат равенката (12).

Равенката (12) е решена во однос на y. Размислете за равенка која содржи x и y и не е решена за y, како што е равенката

Да покажеме дека оваа равенка во рамнината одговара и на права, имено на круг со центар на почетокот и радиус еднаков на 2. Да ја преработиме равенката во форма

Неговата лева страна е квадратот на растојанието на точката од потеклото (види § 2, став 2, формула 3). Од еднаквоста (14) следува дека квадратот на ова растојание е еднаков на 4.

Ова значи дека секоја точка чии координати ја задоволуваат равенката (14), а со тоа и равенката (13), се наоѓа на растојание од 2 од почетокот.

Геометриската локација на таквите точки е круг со центар на почетокот и радиус 2. Оваа кружница ќе биде правата што одговара на равенката (13). Координатите на која било од неговите точки очигледно ја задоволуваат равенката (13). Ако точката не лежи на кругот што го најдовме, тогаш квадратот на неговото растојание од потеклото ќе биде или поголем или помал од 4, што значи дека координатите на таквата точка не ја задоволуваат равенката (13).

Сега, во општиот случај, да ни биде дадена равенката

од чија лева страна има израз кој содржи x и y.

Дефиниција. Правата дефинирана со равенката (15) е геометриски локус на точки во рамнината чии координати ја задоволуваат оваа равенка.

Ова значи дека ако правата L е одредена со равенка, тогаш координатите на која било точка L ја задоволуваат оваа равенка, но координатите на која било точка во рамнината што лежи надвор од L не ја задоволуваат равенката (15).

Равенката (15) се нарекува линиска равенка

Коментар. Не треба да се мисли дека некоја равенка одредува која било линија. На пример, равенката не дефинира ниту една линија. Всушност, за сите реални вредности на и y, левата страна на оваа равенка е позитивна, а десната страна е еднаква на нула, и затоа оваа равенка не може да се задоволи со координатите на која било точка во рамнината

Правата може да се дефинира на рамнина не само со равенка која содржи Декартови координати, туку и со равенка во поларни координати. Права дефинирана со равенка во поларни координати е геометрискиот локус на точки во рамнината чии поларни координати ја задоволуваат оваа равенка.

Пример 1. Конструирај спирала на Архимед на .

Решение. Ајде да направиме табела за некои вредности на поларниот агол и соодветните вредности на поларниот радиус.

Конструираме точка во поларниот координатен систем, која очигледно се совпаѓа со полот; потоа, цртајќи ја оската под агол на поларната оска, конструираме точка со позитивна координата на оваа оска, по што на сличен начин конструираме точки со позитивни вредности на поларниот агол и поларниот радиус (оските за овие точки се не е наведено на Сл. 30).

Со поврзување на точките, добиваме една гранка на кривата, наведена на сл. 30 со задебелена линија. Кога се менува од 0 на оваа гранка на кривата се состои од бесконечен број на врти.

Правата на рамнината ќе ја разгледаме како место на точките M(x, y) кои задоволуваат одреден услов.

Ако во Декартов координатен систем запишеме својство што го имаат сите точки на правата, поврзувајќи ги координатите и некои константи, можеме да добиеме равенка од формата: F(x, y) = 0 или .

Пример. Напишете ја равенката на кружница со центар во точката C(x 0 , y 0) и радиус R.

Кругот е геометриски локус на точки што се еднакво оддалечени од точката C. Да ја земеме точката М со тековните координати. Потоа |CM| = R или или .

Ако центарот на кругот е на почетокот, тогаш x 2 + y 2 = R 2 .

Не секоја равенка од формата F(x, y) = 0 дефинира права во наведената смисла: x 2 + y 2 = 0 е точка.

Директно во авион.

Линиите на дадена рамнина се посебен случај на линии во просторот. Според тоа, нивните равенки може да се добијат од соодветните равенки на правите во просторот.

Општа равенка на права линија на рамнина. Равенка на права линија со аголен коефициент.

Секоја права линија во XOY рамнината може да се дефинира како линија на пресек на рамнината Ax + By + Cz + D = 0 со XOY рамнината: z = 0.

- права линија во XOY рамнината: Ax + By + D = 0.

Добиената равенка се нарекува општа равенка на правата. Во иднина ќе го пишуваме во форма:

Ax + By + C = 0 (1)

1) Нека , тогаш или y = kx + b (2) – равенка на права линија со аголен коефициент. Ајде да го дознаеме геометриското значење на k и b.

Да ставиме x = 0. Тогаш y = b е почетната ордината на правата.

Да ставиме y = 0. Тогаш ; - коефициент на наклон на права линија.

Посебни случаи: а) b = 0, y=kx – правата минува низ потеклото; б) k = 0, y = b – права линија паралелна на оската OX; б) ако B = 0, тогаш Ax + C = 0, ,

Ова е локус на точки со константни апсциси еднакви на a, т.е. правата линија е нормална на оската OX.

Равенка на права линија во отсечки.

Нека е дадена општата равенка на правата: Ax + By + C = 0, и . Ајде да ги поделиме двете страни со –C:

или (3),

Каде; . Ова е равенка на права во отсечки. Броевите a и b се вредностите на отсечените отсечки на координатните оски.

Равенка на права што минува низ дадена точка со даден наклон.

Нека е дадена точка M 0 (x 0 , y 0) која лежи на права линија L и аголен коефициент k. Ајде да ја напишеме равенката:

Овде b е непознат. Да го најдеме, имајќи предвид дека M 0 L:

y 0 = kx 0 + b (**).

Одземете член по член од (1) (2):

y – y 0 = k(x – x 0) (4).

Равенката на права што минува низ дадена точка во дадена насока.

Равенка на права што минува низ две дадени точки.

Нека се дадени две точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) L Да ја напишеме равенката (4) во форма: y – y 1 = k(x – x 1). Бидејќи M 2 L, потоа y 2 – y 1 = k(x 2 – x 1). Ајде да го поделиме по поим:

(5),

Оваа равенка има смисла ако , . Ако x 1 = x 2, тогаш M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 1, y 2). Ако y 2 = y 1, тогаш M 1 (x 1, y 1); M 2 (x 2, y 1).

Така, ако еден од именителот во (5) стане нула, соодветниот броител мора да се постави еднаков на нула.

Пример. M 1 (3, 1) и M 2 (-1, 4). Напишете ја равенката на правата што минува низ овие точки. Најдете к.

Нека се дадени Декартов правоаголен координатен систем Oxy и некоја права L на рамнината .

Дефиниција. Равенка F(x;y)=0 (1)повикани равенка на праваЛ(во однос на даден координатен систем), ако оваа равенка е задоволена со x и y координатите на која било точка што лежи на правата L, а не со x и y координатите на која било точка што не лежи на правата L.

Тоа. линија во авионе локус на точки (M(x;y)) чии координати ја задоволуваат равенката (1).

Равенката (1) ја дефинира линијата L.

Пример. Равенка на круг.

Заокружете– множество точки на еднакво растојание од дадена точка M 0 (x 0,y 0).

Точка M 0 (x 0, y 0) - центар на кругот.

За која било точка M(x;y) што лежи на кругот, растојанието MM 0 =R (R=const)

ММ 0 ==Р

(x-x 0 ) 2 + (ооо 0 ) 2 =Р 2 –(2) – равенка на круг со радиус R со центар во точката M 0 (x 0,y 0).

Параметриска равенка на права.

Нека x и y координатите на точките на линијата L се изразат со помош на параметарот t:

(3) – параметарска равенка на правата во DSC

каде што функциите (t) и (t) се континуирани во однос на параметарот t (во одреден опсег на варијација на овој параметар).

Исклучувајќи го параметарот t од равенката (3), ја добиваме равенката (1).

Да ја сметаме правата L како патека што ја минува материјална точка која континуирано се движи според одреден закон. Нека променливата t претставува време избројано од некој почетен момент. Тогаш спецификацијата на законот за движење ја претставува спецификацијата на координатите x и y на подвижната точка како некои непрекинати функции x=(t) и y=(t) од времето t.

Пример. Да изведеме параметарска равенка за круг со радиус r>0 со центар на почетокот. Нека M(x,y) е произволна точка на оваа кружница, а t е аголот помеѓу векторот на радиусот и оската Ox, броен спротивно од стрелките на часовникот.

Тогаш x=r cos x y=r sin t. (4)

Равенките (4) се параметарски равенки на кругот што се разгледува. Параметарот t може да земе било која вредност, но за да може точката M(x,y) еднаш да го заобиколи кругот, опсегот на промената на параметарот е ограничен на полусегментот 0t2.

Со квадратирање и собирање на равенките (4), ја добиваме општата равенка на кругот (2).

2. Поларен координатен систем (psc).

Дозволете ни да ја избереме оската L ( поларна оска) и определи ја точката на оваа оска O ( столб). Секоја точка на рамнината е уникатно дефинирана со поларните координати ρ и φ, каде што

ρ – поларен радиус, еднакво на растојанието од точката M до полот O (ρ≥0);

φ – аголпомеѓу векторската насока ОМи L оска ( поларен агол). М(ρ ; φ )

Линиска равенка во UCSможе да се напише:

ρ=f(φ) (5) експлицитна равенка на правата во UCS

F=(ρ; φ) (6) имплицитна линиска равенка во UCS

Врска помеѓу Декартови и поларни координати на точка.

(x;y) (ρ ; φ ) Од триаголник ОМА:

tan φ=(обновување на аголотφ според познатотосе произведува тангентаземајќи предвид во кој квадрант точка М се наоѓа).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Пример . Најдете ги поларните координати на точките M(3;4) и P(1;-1).

За M:=5, φ=arctg (4/3). За P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Класификација на рамни линии.

Дефиниција 1.Линијата се нарекува алгебарски,ако во некој Декартов правоаголен координатен систем, ако е дефиниран со равенката F(x;y)=0 (1), во која функцијата F(x;y) е алгебарски полином.

Дефиниција 2.Се нарекува секоја неалгебарска линија трансцендентален.

Дефиниција 3. Алгебарската линија се нарекува линија на нарачкаn, ако во некој Декартов правоаголен координатен систем оваа права е одредена со равенката (1), во која функцијата F(x;y) е алгебарски полином од n-ти степен.

Така, права од n-ти ред е права дефинирана во некој Декартов правоаголен систем со алгебарска равенка од степен n со две непознати.

Следната теорема придонесува за утврдување на точноста на дефинициите 1,2,3.

Теорема(документ на стр. 107). Ако правата во некој Декартов правоаголен координатен систем е одредена со алгебарска равенка од степен n, тогаш оваа права во кој било друг декартов правоаголен координатен систем се определува со алгебарска равенка од ист степен n.

1. Равенка на права на рамнина

Како што знаете, секоја точка на рамнината се одредува со две координати во некој координатен систем. Координативните системи можат да бидат различни во зависност од изборот на основата и потеклото.

Дефиниција. Равенката на правата е односот y = f (x) помеѓу координатите на точките што ја сочинуваат оваа права.

Забележете дека равенката на правата може да се изрази параметарски, односно секоја координата на секоја точка се изразува преку некој независен параметар t. Типичен пример е траекторијата на подвижна точка. Во овој случај, улогата на параметарот ја игра времето.

2. Равенка на права линија на рамнина

Дефиниција. Секоја права линија на рамнината може да се определи со равенка од прв ред Ax + By + C = 0, а константите A, B не се еднакви на нула во исто време, т.е.

A 2 + B 2 ≠ 0. Оваа равенка од прв ред се нарекува општа равенка на правата.

ВО Во зависност од вредностите на константите A, B и C, можни се следните посебни случаи:

– права линија минува низ потеклото на координатите

C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0( By + C = 0) - права линија паралелна со оската Ox

B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0( Ax + C = 0) – права линија паралелна со оската Oy

B = C = 0, A ≠ 0 - правата линија се совпаѓа со оската Oy

A = C = 0, B ≠ 0 - правата линија се совпаѓа со оската Ox

Равенката на права линија може да се претстави во различни форми во зависност од дадените почетни услови.

3. Равенка на права линија од точка и нормален вектор

Дефиниција. Во Декартов правоаголен координатен систем, вектор со компоненти (A, B) е нормален на правата дадена со равенката

Ax + By + C = 0.

Пример. Најдете ја равенката на правата што минува низ точката A(1,2) нормална на векторот n (3, − 1).

Со A=3 и B=-1, да ја составиме равенката на права линија: 3x − y + C = 0. Да се најде коефициентот

Да ги замениме координатите на дадената точка А во добиениот израз.

Вкупно: потребната равенка: 3x − y − 1 = 0.

4. Равенка на права што минува низ две точки

Нека во просторот се дадени две точки M1 (x1, y1, z1) и M2 (x2, y2, z2), тогаш равенката на правата линија е

поминувајќи низ овие точки:	x−x1		y−y1		z − z1
		− x		− y		− z

Ако некој од именителот е нула, соодветниот броител треба да се постави еднаков на нула.

На рамнината, равенката на правата линија напишана погоре е поедноставена: y − y 1 = y 2 − y 1 (x − x 1 ) ако x 2 − x 1

x 1 ≠ x 2 и x = x 1 ако x 1 = x 2 .

Дропката y 2 − y 1 = k се нарекува наклон на правата. x 2 − x 1

5. Равенка на права линија со помош на точка и наклон

Ако општата равенка на правата линија Ax + By + C = 0 се сведе на формата:

се нарекува равенка на права линија со наклон k.

6. Равенка на права линија од точка и вектор на насока

По аналогија со точката земајќи ја предвид равенката на права линија низ нормален вектор, можете да внесете дефиниција за права линија низ точка и насочувачки вектор на права линија.

Дефиниција. Секој ненулти вектор a (α 1 , α 2 ) чии компоненти го задоволуваат условот A α 1 + B α 2 = 0 се нарекува насочувачки вектор на правата

Ax + By + C = 0 .

Пример. Најдете ја равенката на права линија со вектор на насока a (1,-1) и минува низ точката A(1,2).

Равенката на саканата линија ќе ја бараме во форма: Ax + By + C = 0. Во согласност со дефиницијата, коефициентите мора да ги задоволуваат условите: 1A + (− 1) B = 0, т.е. А = Б. Тогаш равенката на права линија има форма: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. за x=1, y=2 добиваме C/A=-3, т.е. потребна равенка: x + y − 3 = 0

7. Равенка на права во отсечки

Ако во општата равенка на правата линија Ax + By + C = 0, C ≠ 0, тогаш, делејќи се со –C,

добиваме: −

x−

y = 1 или

1, каде што a = −

b = −

Геометриското значење на коефициентите е дека коефициентот a е координата на точката на пресек на правата со оската Ox, а b е координата на точката на пресек на правата со оската Oy.

8. Нормална равенка на права

се нарекува нормализирачки фактор, тогаш добиваме x cosϕ + y sinϕ − p = 0 – нормалната равенка на правата.

Знакот ± на нормализирачкиот фактор мора да биде избран така што μ C< 0 .

p е должината на нормалната спуштена од почеток до права линија, а ϕ е аголот формиран од оваа нормална со позитивната насока на оската Ox

9. Агол помеѓу прави линии на рамнина

Дефиниција. Ако се дадени две прави y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогаш акутниот агол помеѓу

Две прави се паралелни ако k 1 = k 2. Две прави се нормални ако k 1 = − 1/ k 2 .

Равенка на права што минува низ дадена точка нормална на дадена права

Дефиниција. Права која минува низ точката M1 (x1,y1) и е нормална на правата y = kx + b е претставена со равенката:

y − y = −

(x − x)

10. Растојание од точка до права

Ако е дадена точка M(x0, y0), тогаш растојанието до правата линија Ax + By + C = 0

се дефинира како d =

Ax0 + By0 + C

Пример. Одреди го аголот помеѓу правите: y = − 3x + 7, y = 2x + 1.

k = − 3, k

2 тен ϕ =

2 − (− 3)

1; φ = π / 4.

1− (− 3)2

Пример. Прикажи,

дека правите 3 x − 5 y + 7 = 0 и 10 x + 6 y − 3 = 0

нормално.

Наоѓаме: k 1 = 3/ 5, k 2 = − 5 / 3, k 1 k 2 = − 1, според тоа, линиите се нормални.

Пример. Дадени се темињата на триаголникот A(0; 1), B (6; 5), C (1 2; - 1).

Најдете ја равенката на висината извлечена од темето В.
Најдете ја равенката на страната AB:	x − 0	y − 1	y − 1	; 4x = 6 y − 6
	6 − 0	5 − 1

2 x − 3 y + 3 = 0; y = 2 3 x + 1.

Потребната висинска равенка има форма: Ax + By + C = 0 или y = kx + bk = − 3 2 Потоа

y = − 3 2 x + b. Бидејќи висината минува низ точката C, тогаш нејзините координати ја задоволуваат оваа равенка: − 1 = − 3 2 12 + b, од која b=17. Вкупно: y = − 3 2 x + 17.

Одговор: 3x + 2 y − 34 = 0.

Равенка на права на рамнина.

Како што е познато, секоја точка на рамнината се одредува со две координати во некој координатен систем. Координативните системи можат да бидат различни во зависност од изборот на основата и потеклото.

Дефиниција.Линиска равенканаречен сооднос y = f(x ) помеѓу координатите на точките што ја сочинуваат оваа права.

Забележете дека равенката на правата може да се изрази параметарски, односно секоја координата на секоја точка се изразува преку некој независен параметарт.

Типичен пример е траекторијата на подвижна точка. Во овој случај, улогата на параметарот ја игра времето.

Равенка на права линија на рамнина.

Дефиниција. Секоја права линија на рамнината може да се определи со равенка од прв ред

Секира + Ву + С = 0,

Притоа, константите A и B не се еднакви на нула во исто време, т.е. A 2 + B 2¹ 0. Оваа равенка од прв ред се нарекува општа равенка на права линија.

Во зависност од вредностите на константите A, B и C, можни се следните посебни случаи:

C = 0, A10, B1 0 – права линија минува низ потеклото

A = 0, B ¹ 0, C 1 0 (од + C = 0) - права линија паралелна со оската Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( Ax + C = 0) – права линија паралелна со оската Oy

B = C = 0, A ¹ 0 - права линија се совпаѓа со оската Oy

A = C = 0, B1 0 - права линија се совпаѓа со оската Ox

Равенката на права линија може да се претстави во различни форми во зависност од дадените почетни услови.

Растојание од точка до права.

Теорема. Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогаш растојанието до правата Ax + Bу + C = 0 се одредува како

Доказ. Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на нормалната спуштена од точката M на дадена права линија. Тогаш растојанието помеѓу точките М и М 1:

(1)

Координати x 1 и y 1 може да се најде како решение за системот равенки: