Имајќи ја стандардната форма $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, во која левата страна е вкупниот диференцијал на некоја функција $F \left( x,y\right)$ се нарекува вкупна диференцијална равенка.

Равенката во вкупните диференцијали секогаш може да се препише како $dF\left(x,y\right)=0$, каде што $F\left(x,y\right)$ е функција таква што $dF\left(x, y\десно)=P\лево(x,y\десно)\cdot dx+Q\left(x,y\десно)\cdot dy$.

Ајде да ги интегрираме двете страни на равенката $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интегралот на нултата десна страна е еднаков на произволна константа $C$. Така, општото решение на оваа равенка во имплицитна форма е $F\left(x,y\right)=C$.

За да може дадена диференцијална равенка да биде равенка во вкупните диференцијали, потребно е и доволно условот $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ биди задоволен. Доколку наведениот услов е исполнет, тогаш постои функција $F\left(x,y\right)$, за која можеме да напишеме: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, од кои добиваме две релации : $\frac(\ делумно F)(\делумно x) =P\лево(x,y\десно)$ и $\frac(\делумно F)(\делумно y) =Q\лево(x,y\десно ) $.

Ја интегрираме првата релација $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ над $x$ и добиваме $F\left(x,y\right)=\int P\ лево(x,y\десно)\cdot dx +U\left(y\десно)$, каде што $U\left(y\десно)$ е произволна функција од $y$.

Дозволете ни да го избереме така што втората релација $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ е задоволена. За да го направите ова, ја разликуваме добиената релација за $F\left(x,y\right)$ во однос на $y$ и го изедначуваме резултатот со $Q\left(x,y\right)$. Добиваме: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\десно)=Q\лево (x,y\десно)$.

Понатамошното решение е:

  • од последната еднаквост наоѓаме $U"\left(y\right)$;
  • интегрирајте $U"\left(y\right)$ и најдете $U\left(y\десно)$;
  • заменете $U\left(y\десно)$ во еднаквоста $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\десно) $ и на крајот ја добиваме функцијата $F\left(x,y\right)$.
\

Ја наоѓаме разликата:

Ние интегрираме $U"\left(y\right)$ над $y$ и наоѓаме $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Најдете го резултатот: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Општото решение го пишуваме во форма $F\left(x,y\right)=C$, имено:

Најдете одредено решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, каде што $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Делумното решение има форма: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Дефиниција 8.4.Диференцијална равенка на формата

Каде
се нарекува вкупна диференцијална равенка.

Забележете дека левата страна на таквата равенка е вкупниот диференцијал на некоја функција
.

Генерално, равенката (8.4) може да се претстави како

Наместо равенката (8.5), можеме да ја разгледаме равенката

,

чие решение е генералниот интеграл на равенката (8.4). Така, за да се реши равенката (8.4) потребно е да се најде функцијата
. Во согласност со дефиницијата за равенката (8.4), имаме

(8.6)

Функција
ќе бараме функција која задоволува еден од овие услови (8.6):

Каде - произволна функција независна од .

Функција
се дефинира така што вториот услов на изразување (8.6) е исполнет

(8.7)

Од изразот (8.7) се одредува функцијата
. Заменувајќи го во изразот за
и да се добие општиот интеграл на првобитната равенка.

Задача 8.3.Интегрирајте ја равенката

Еве
.

Според тоа, оваа равенка спаѓа во типот на диференцијални равенки во вкупни диференцијали. Функција
ќе го бараме во формата

.

Од другата страна,

.

Во некои случаи состојбата
може да не се исполни.

Тогаш таквите равенки се сведуваат на видот што се разгледува со множење со таканаречениот фактор на интегрирање, кој, во општиот случај, е само функција. или .

Ако некоја равенка има интегрирачки фактор кој зависи само од , тогаш се одредува со формулата

каде е врската треба да биде само функција .

Слично на тоа, интегрирачкиот фактор зависи само од , се одредува со формулата

каде е врската
треба да биде само функција .

Отсуство во дадените релации, во првиот случај, на променливата , а во втората - променливата , се знак за постоење на интегриран фактор за дадена равенка.

Задача 8.4.Намалете ја оваа равенка на равенка во вкупни диференцијали.

.

Размислете за врската:

.

Тема 8.2. Линеарни диференцијални равенки

Дефиниција 8.5. Диференцијална равенка
се нарекува линеарен ако е линеарен во однос на саканата функција , неговиот дериват и не го содржи производот на саканата функција и нејзиниот извод.

Општата форма на линеарна диференцијална равенка е претставена со следнава релација:

(8.8)

Ако во односот (8.8) десната страна
, тогаш таквата равенка се нарекува линеарна хомогена. Во случај кога десната страна
, тогаш таквата равенка се нарекува линеарна нехомогена.

Да покажеме дека равенката (8.8) може да се интегрира во квадрати.

Во првата фаза, разгледуваме линеарна хомогена равенка.

Таквата равенка е равенка со раздвојливи променливи. Навистина,

;

/

Последната релација го одредува општото решение на линеарна хомогена равенка.

За да се најде општо решение за линеарна нехомогена равенка, се користи методот на менување на изводот на константата. Идејата на методот е дека општото решение на линеарна нехомогена равенка е во иста форма како решението на соодветната хомогена равенка, но произволна константа заменет со некоја функција
да се утврди. Значи имаме:

(8.9)

Заменувајќи ги во релација (8.8) изразите што одговараат
И
, добиваме

Заменувајќи го последниот израз во релација (8.9), го добиваме општиот интеграл на линеарната нехомогена равенка.

Така, општото решение на линеарна нехомогена равенка се определува со две квадрати: општо решение на линеарна хомогена равенка и одредено решение на линеарна нехомогена равенка.

Задача 8.5.Интегрирајте ја равенката

Така, оригиналната равенка припаѓа на типот на линеарни нехомогени диференцијални равенки.

Во првата фаза, ќе најдеме општо решение за линеарна хомогена равенка.

;

Во втората фаза, го одредуваме општото решение на линеарната нехомогена равенка, кое се наоѓа во форма

,

Каде
- функцијата да се одреди.

Значи, имаме:

Замена на односите за И во оригиналната линеарна нехомогена равенка добиваме:

;

;

.

Општото решение на линеарна нехомогена равенка ќе има форма:

.

Изјава на проблемот во дводимензионалниот случај

Реконструкција на функција од неколку променливи од нејзиниот вкупен диференцијал

9.1. Изјава на проблемот во дводимензионалниот случај. 72

9.2. Опис на решението. 72

Ова е една од апликациите на криволинеарен интеграл од вториот вид.

Даден е изразот за вкупниот диференцијал на функција од две променливи:

Најдете ја функцијата.

1. Бидејќи не секој израз на формата е целосен диференцијал на некоја функција У(x,y), тогаш потребно е да се провери точноста на исказот за проблемот, односно да се провери неопходен и доволен услов за вкупниот диференцијал, кој за функција од 2 променливи има форма . Овој услов произлегува од еквивалентноста на тврдењата (2) и (3) во теоремата од претходниот дел. Доколку посочениот услов е исполнет, тогаш проблемот има решение, односно функција У(x,y) може да се обнови; ако условот не е исполнет, тогаш проблемот нема решение, односно функцијата не може да се врати.

2. Можете да најдете функција од нејзиниот вкупен диференцијал, на пример, користејќи кривилинеарен интеграл од вториот вид, пресметувајќи ја од линијата што поврзува фиксна точка ( x 0 ,y 0) и променлива точка ( x; y) (Ориз. 18):

Така, се добива дека криволинискиот интеграл од вториот вид на вкупниот диференцијал dU(x,y) е еднаква на разликата помеѓу вредностите на функцијата У(x,y) на крајните и почетните точки на линијата за интеграција.

Знаејќи го овој резултат сега, треба да го замениме dUво криволинеарниот интегрален израз и пресметај го интегралот по скршената линија ( ACB), со оглед на нејзината независност од обликот на линијата за интеграција:

на ( А.Ц.): на ( НЕ) :

(1)

Така, добиена е формула со чија помош се враќа функција од 2 променливи од нејзиниот вкупен диференцијал.

3. Можно е да се врати функцијата од нејзиниот вкупен диференцијал само до константен член, бидејќи г(У+ const) = dU. Затоа, како резултат на решавање на проблемот, добиваме збир на функции кои се разликуваат една од друга со постојан член.

Примери (реконструирање на функција од две променливи од нејзиниот вкупен диференцијал)

1. Најдете У(x,y), Ако dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Го проверуваме условот за вкупниот диференцијал на функција од две променливи:

Задоволена е целосната диференцијална состојба, што значи функцијата У(x,y) може да се обнови.

Проверете: - точно.

Одговор: У(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + В.

2. Најдете функција таква што

Ги проверуваме потребните и доволните услови за целосен диференцијал на функција од три променливи: , , , ако е даден изразот.



Во проблемот што се решава

сите услови за целосен диференцијал се задоволени, затоа функцијата може да се врати (проблемот е правилно формулиран).

Ќе ја вратиме функцијата користејќи криволинеарен интеграл од вториот вид, пресметувајќи го по одредена линија што поврзува фиксна точка и променлива точка, бидејќи

(оваа еднаквост е изведена на ист начин како и во дводимензионалниот случај).

Од друга страна, криволинеарен интеграл од вториот вид од вкупниот диференцијал не зависи од обликот на линијата на интеграција, така што најлесно е да се пресмета по скршена линија која се состои од отсечки паралелни со координатните оски. Во овој случај, како фиксна точка, можете едноставно да земете точка со специфични нумерички координати, следејќи само дека во оваа точка и по целата линија на интеграција е исполнет условот за постоење на криволинеарен интеграл (т.е. функциите и се континуирани). Земајќи ја во предвид оваа забелешка, во овој проблем можеме да ја земеме на пример точката M 0 како фиксна точка. Потоа на секоја од врските на скршената линија ќе имаме

10.2. Пресметка на површински интеграл од прв вид. 79

10.3. Некои апликации на површинскиот интеграл од првиот вид. 81

Покажува како да препознае диференцијална равенка во вкупни диференцијали. Дадени се методи за негово решавање. Даден е пример за решавање на равенка во вкупни диференцијали на два начина.

Содржина

Вовед

Диференцијална равенка од прв ред во вкупните диференцијали е равенка од формата:
(1) ,
каде што левата страна на равенката е вкупниот диференцијал на некоја функција U (x, y)од променливите x, y:
.
Во исто време.

Ако се најде таква функција U (x, y), тогаш равенката ја добива формата:
dU (x, y) = 0.
Неговиот општ интеграл е:
У (x, y) = C,
каде што C е константа.

Ако диференцијалната равенка од прв ред е напишана во однос на нејзиниот извод:
,
тогаш лесно е да се доведе во форма (1) . За да го направите ова, помножете ја равенката со dx.
(1) .

Потоа. Како резултат на тоа, добиваме равенка изразена во однос на диференцијали:

Својство на диференцијална равенка во вкупни диференцијали (1) Со цел за равенката
(2) .

беше равенка во вкупни диференцијали, неопходно е и доволна релацијата да важи:

Доказ Понатаму претпоставуваме дека сите функции што се користат во доказот се дефинирани и имаат соодветни деривати во одреден опсег на вредности на променливите x и y.Точка x

0, y 0.
исто така припаѓа на оваа област. (1) Да ја докажеме неопходноста на условот (2) (x, y):
.
Нека левата страна на равенката
;
.
е диференцијал на некоја функција U
;
.
Потоа (2) Бидејќи вториот извод не зависи од редоследот на диференцијација, тогаш

Следи дека..
Неопходен услов (2) :
(2) .
докажано. (x, y)Дозволете ни да ја докажеме доволноста на условот (2)
.
Нека биде исполнет условот (x, y)Да покажеме дека е можно да се најде таква функција U
(3) ;
(4) .
дека неговиот диференцијал е: (3) Ова значи дека постои таква функција U 0 , што ги задоволува равенките:
;
;
(5) .
Диференцираме во однос на y, под претпоставка дека x е константа и се применува (2) :

.
Равенка (4) ќе се изврши ако
.
Интегрирајте над y од y 0 до y:
;
;
.
Замена во (5) :
(6) .
Значи, најдовме функција чиј диференцијал
.
Доста е докажана.

Во формулата (6) , У (x 0 , y 0)е константа - вредноста на функцијата U (x, y)во точката x Понатаму претпоставуваме дека сите функции што се користат во доказот се дефинирани и имаат соодветни деривати во одреден опсег на вредности на променливите x и y..

Може да му се додели која било вредност.

Како да препознаете диференцијална равенка во вкупни диференцијали
(1) .
Размислете за диференцијалната равенка: (2) :
(2) .
За да одредите дали оваа равенка е во вкупни диференцијали, треба да ја проверите состојбата

Ако важи, тогаш оваа равенка е во вкупни диференцијали. Ако не, тогаш ова не е целосна диференцијална равенка.

Пример
.

Проверете дали равенката е во вкупни диференцијали:
, .
Еве


.
Диференцираме во однос на y, земајќи го предвид x константа:


.
Да се ​​разграничиме
,
Бидејќи:

тогаш дадената равенка е во вкупни диференцијали.

Методи за решавање на диференцијални равенки во вкупни диференцијали

Метод на секвенцијално диференцијално извлекување
Наједноставниот метод за решавање на равенка во вкупни диференцијали е методот на секвенцијално изолирање на диференцијалот. За да го направите ова, ние користиме формули за диференцијација напишани во диференцијална форма: du ± dv = d;
(u ± v) v du + u dv = d;
;
.
(UV)

Во овие формули, u и v се произволни изрази составени од која било комбинација на променливи.

Пример 1
.

Реши ја равенката:
Претходно откривме дека оваа равенка е во вкупни диференцијали. Ајде да го трансформираме: .
(P1)
;
;
;
;

.
Замена во Претходно откривме дека оваа равенка е во вкупни диференцијали. Ајде да го трансформираме::
;
.

Равенката ја решаваме со секвенцијално изолирање на диференцијалот.

Метод на последователна интеграција (x, y)Во овој метод ја бараме функцијата U
(3) ;
(4) .

, задоволувајќи ги равенките: (3) Ајде да ја интегрираме равенката
.
во x, со оглед на y константа: Еве φ(y) (4) :
.
- произволна функција на y што треба да се одреди. Тоа е константа на интеграцијата. Заменете во равенката
.
Од тука: Еве φИнтегрирајќи, наоѓаме φ (x, y).

и, на тој начин, У

Пример 2
.

Решете ја равенката во вкупни диференцијали:
, .
Претходно откривме дека оваа равенка е во вкупни диференцијали. Да ја воведеме следната нотација: (x, y)Се бара функција U
.
, чиј диференцијал е левата страна на равенката:
(3) ;
(4) .
Потоа: (3) Ајде да ја интегрираме равенката
Ајде да ја интегрираме равенката
.
(P2)

.
Разликувајте во однос на y: (4) :
;
.
Ајде да замениме
.
Разликувајте во однос на y: Ајде да ја интегрираме равенката:

.
Ајде да се интегрираме:
У Општ интеграл на равенката:.
(x, y) = конст

Ние комбинираме две константи во една.

Начин на интеграција по крива
Функцијата U дефинирана со релацијата: dU = стр,
(x, y) dx + q(x, y) dy (x 0 , y 0)може да се најде со интегрирање на оваа равенка по кривата што ги поврзува точките (x, y):
(7) .
И
(8) ,
Бидејќи (x 0 , y 0)тогаш интегралот зависи само од координатите на почетната (x, y)и конечна (7) може да се најде со интегрирање на оваа равенка по кривата што ги поврзува точките (8) поени и не зависи од обликот на кривата. Од
(9) .
наоѓаме: 0 Еве x 0 - трајно. Затоа У (x 0 , y 0)- исто така константна.

Пример за таква дефиниција на U е добиен во доказот:
(6) .
Овде интеграцијата се изведува најпрво по отсечка паралелна на оската y од точката (x 0 , y 0 )до точка (x 0 , y). (x 0 , y)до точка (x, y) .

Потоа се врши интеграција по отсечка паралелна на оската x од точката (x 0 , y 0 )може да се најде со интегрирање на оваа равенка по кривата што ги поврзува точките (x, y)Поопшто, треба да ја претставите равенката на точките за поврзување на кривата
во параметарска форма: x 1 = s(t 1) ;;
во параметарска форма: y 1 = s(t 1) 1 = r(t 1);
0 = s(t 0) 0 = r(t 0) x = s 0 = r(t 0);
(т) 1 ; 0 y = r

и интегрираат над т (x 0 , y 0 )може да се најде со интегрирање на оваа равенка по кривата што ги поврзува точките (x, y)од т
во параметарска форма: до т. 1 = s(t 1) Најлесен начин да се изврши интеграција е преку точки што ги поврзува сегментите;
. 0 = 0 Во овој случај: 1 ;
1 = x 0 + (x - x 0) t 1 1 = y 0 + (y - y 0) t 1т ;.
t = 0 dx 1 .
1 = (x - x 0) dt 1

;
ди

1 = (y - y 0) dt 1

По замена, го добиваме интегралот над t од

да

Овој метод, сепак, води до прилично незгодни пресметки.

Користена литература:

В.В. Степанов, Курс на диференцијални равенки, „ЛКИ“, 2015 г.

Може да се случи левата страна на диференцијалната равенка

е вкупниот диференцијал на некоја функција:

и затоа, равенката (7) има форма .

Ако функцијата е решение на равенката (7), тогаш, и затоа,

каде е константа, и обратно, ако некоја функција ја претвора конечната равенка (8) во идентитет, тогаш, разликувајќи го добиениот идентитет, добиваме , и затоа, , каде што е произволна константа, е општиот интеграл на оригиналот равенка.

Ако се дадени почетните вредности, тогаш константата се одредува од (8) и

е посакуваниот парцијален интеграл. Ако во точката , тогаш равенката (9) е дефинирана како имплицитна функција на .

За левата страна на равенката (7) да биде целосен диференцијал на некоја функција, потребно е и доволно .

Левата страна на равенката е вкупниот диференцијал на некоја функција, бидејќи

Според тоа, општиот интеграл ја има формата

Може да се користи друг метод за дефинирање на функција:

Избираме, на пример, потеклото на координатите како почетна точка, а скршената линија како патека на интеграција. Потоа

а општиот интеграл ја има формата

Што се совпаѓа со претходниот резултат, што доведува до заеднички именител.

Во некои случаи, кога левата страна на равенката (7) не е целосен диференцијал, лесно е да се избере функција, по множење со која левата страна од равенката (7) се претвора во целосен диференцијал. Оваа функција се нарекува интегрирачки фактор. Забележете дека множењето со интегриран фактор може да доведе до појава на непотребни парцијални решенија кои го претвораат овој фактор на нула.

Пример. .

Очигледно, по множење со фактор, левата страна се претвора во вкупен диференцијал. Навистина, по множење со добиваме

или, интегрирајќи,. Множејќи се со 2 и потенцирајќи, имаме .


Се разбира, факторот за интегрирање не се избира секогаш така лесно. Во општ случај, за да се најде интегрирачкиот фактор, потребно е да се избере барем едно делумно решение на равенката во парцијални изводи или во проширена форма, што не е идентично нула.

кој по делењето и пренесувањето на некои поими на друг дел од еднаквоста се сведува на формата

Во општ случај, интегрирањето на оваа парцијална диференцијална равенка во никој случај не е поедноставна задача од интегрирањето на оригиналната равенка, но во некои случаи изборот на одредено решение за равенката (11) не е тешко.

Дополнително, имајќи предвид дека факторот за интегрирање е функција од само еден аргумент (на пример, тој е функција само или само , или функција на само , или само итн.), лесно може да се интегрира равенката (11) и укажуваат на условите под кои постои интегрирачки фактор од типот што се разгледува. Ова ги идентификува класите на равенки за кои може лесно да се најде интегрирачкиот фактор.

На пример, да ги најдеме условите под кои равенката има интегрирачки фактор кој зависи само од , т.е. . Во овој случај, равенката (11) е поедноставена и има форма , од која, сметајќи ја како континуирана функција од , добиваме

Ако е функција само од , тогаш интегриран фактор кој зависи само од , постои и е еднаков на (12), во спротивно интегрирачки фактор од формата не постои.

Условот за постоење на интегриран фактор во зависност само од е задоволен, на пример, за линеарна равенка или . Навистина, и затоа. На сосема сличен начин може да се најдат услови за постоење на интегрирачки фактори на формата и сл.

За левата страна на равенката (7) да биде целосен диференцијал на некоја функција, потребно е и доволноДали равенката има интегриран фактор на формата?

Да означиме. Равенката (11) во има форма , од каде или

За постоење на интегрирачки фактор од даден тип, потребно е и, под претпоставка за континуитет, доволно е тој да биде само функција. Во овој случај, значи, интегрирачкиот фактор постои и е еднаков на (13). Кога ќе добиеме. Помножувајќи ја оригиналната равенка со , ја намалуваме на формата

Интегрирајќи, добиваме , и по потенцирањето ќе имаме , или во поларни координати - фамилија на логаритамски спирали.

Пример. Најдете форма на огледало што ги рефлектира паралелно со дадена насока сите зраци што произлегуваат од дадена точка.

Да го поставиме потеклото на координатите во дадена точка и да ја насочиме оската на апсцисата паралелно со насоката наведена во проблемските услови. Оставете го зракот да падне на огледалото во точката. Да разгледаме дел од огледалото со рамнина што минува низ оската на апсцисата и точката. Дозволете ни да нацртаме тангента на делот од површината на огледалото што се разгледува во точката. Бидејќи аголот на инциденца на зракот е еднаков на аголот на рефлексија, триаголникот е рамнокрак. Оттука,

Добиената хомогена равенка лесно се интегрира со менување на променливите, но уште полесно е, ослободена од ирационалноста во именителот, да се преработи во форма. Оваа равенка има очигледен интегрирачки фактор , , , (семејство на параболи).

Овој проблем може да се реши уште поедноставно во координати и , каде што , а равенката за пресекот на потребните површини добива форма .

Можно е да се докаже постоењето на интегрирачки фактор, или, што е истото, постоење на ненула решение на парцијалната диференцијална равенка (11) во некој домен ако функциите и имаат континуирани изводи и барем еден од овие функциите не исчезнуваат. Затоа, методот на интегрирачки фактор може да се смета како општ метод за интегрирање на равенките на формата, меѓутоа, поради тешкотијата да се најде интегрирачкиот фактор, овој метод најчесто се користи во случаи кога факторот за интегрирање е очигледен.