Научете ги процентите. Проучување на темата „Процент“ во современо училиште. Проценти по математика. Процентуални проблеми

Проценти по математика. Проблеми кои вклучуваат проценти.

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Проценти по математика.

Што се случи проценти по математика? Како да се одлучи проценти проблеми? Овие прашања се појавуваат, за жал, одеднаш... Кога матурант ја чита задачата за обединет државен испит. И го ставија во ќорсокак. Но залудно. Ова се многу едноставни концепти.

Единственото нешто што треба да го запомните е што е тоа еден процент . Овој концепт е главен клучза решавање на проблеми кои вклучуваат проценти и за работа со проценти воопшто.

Еден процент е стотинка од бројот . Тоа е се. Нема повеќе мудрост.

Разумно прашање - што е со стотиот дел? кој датум ? Но, бројот за кој се дискутира во задачата. Ако се зборува за цена, еден процент е стотинка од цената. Ако зборуваме за брзина, еден процент е една стотинка од брзината. И така натаму. Јасно е дека самата бројка за која станува збор е секогаш 100%. А ако нема самата бројка, тогаш процентите немаат никакво значење...

Друга работа е тоа што во сложени задачиО, самиот број ќе биде скриен толку многу што нема да го најдете. Но, сè уште не целиме кон комплицираното. Ајде да се справиме со проценти по математика.

Не за џабе нагласувам зборови еден процент, стотинка. Сеќавајќи се што е тоа еден процент, лесно можете да најдете два проценти, и триесет и четири, и седумнаесет и сто дваесет и шест! Ќе најдете колку што ви треба.

И ова, патем, е главната вештина за решавање на проблеми кои вклучуваат проценти.

Да се ​​обидеме?

Ајде да најдеме 3% од 400. Прво да најдеме еден процент. Ова ќе биде стотинка, т.е. 400/100 = 4. Еден процент е 4. Колку проценти ни треба? Три. Значи, множиме 4 со три. Добиваме 12. Тоа е тоа. Три проценти од 400 се 12.

5% од 20 е 20 поделено со 100 (стотинката е 1%) и се множи со пет (5%):

5% од 20 ќе биде 1. Тоа е тоа.

Не може да биде поедноставно. Ајде брзо да вежбаме пред да заборавиме!

Пронајдете колку ќе биде:
5% од 200 рубли.
8% од 350 километри.
120% од 10 литри.
15% од 60 степени.
4% одлични студенти од 25 студенти.
10% сиромашни студенти од 20 луѓе.

Одговори (во целосно растројство): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Овие бројки се бројот на рубли, дипломи, студенти итн. Не напишав колку од што, за да биде поинтересно да се одлучи...

Што ако треба да запишеме X%од некој број, на пример, од 50? Да, се е исто. Еден процент од 50 – колку? Така е, 50/100 = 0,5. И ние го имаме овој процент - X. Па, ајде да помножиме 0,5 со X! Го добиваме тоа X%од 50 ова е - 0,5x.

се надевам проценти по математикаго добивте. И лесно можете да најдете процент од кој било број. Едноставно е. Сега можете да се справите со приближно 60% од сите процентуални проблеми! Веќе повеќе од половина. Па, ајде да го завршиме остатокот? Добро, што и да кажете!

Кај проблемите кои вклучуваат проценти, често се случува спротивна ситуација. Ни даваат количини (било кој вид), но треба да најдеме интерес . Ајде да го совладаме овој едноставен процес.

3 луѓе од 120 – колку проценти? Незнам? Па, нека биде Xпроценти.

Ајде да пресметаме X%од 120 луѓе. Кај луѓето. Ова е она што можеме да го направиме. Поделете 120 со 100 (пресметете 1%) и множете се со X(пресметуваме X%). Добиваме 1.2 X.

Ајде да го разбереме резултатот.

X проценти од 120 луѓе, ова е 1,2 X Човечки . А ние имаме тројца такви луѓе. Останува да се изедначат:

Се сеќаваме дека за X го зедовме бројот на проценти. Ова значи дека 3 лица од 120 луѓе се 2,5%.

Тоа е се.

Тоа може да се направи поинаку. Можете да го направите тоа со едноставна генијалност, без никакви равенки. Ајде да размислиме , колку пати 3 луѓе помалку од 120? Поделете 120 со 3 и добијте 40. Тоа значи дека 3 е 40 пати помало од 120.

Потребниот број на луѓе во проценти ќе биде исто толку пати помалку од 100%. Впрочем, 120 луѓе се 100%. Поделете 100 со 40, 100/40 = 2,5

Тоа е се. Добивме 2,5%.

Постои и метод на пропорции, но ова е во суштина истото во скратена верзија. Сите овие методи се точни. Што и да ви е поудобно, познато и разбирливо - сметајте го на тој начин.

Повторно тренираме.

Пресметајте го процентот:
3 лица од 12.
10 рубли од 800.
4 учебници од 160 книги.
24 точни одговори на 32 прашања.
2 погодени одговори на 32 прашања.
9 удари од 10 удари.

Одговори (по редослед): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.

Во процесот на пресметки, може да наидете на фракции. Вклучувајќи ги и незгодните, како 1.333333... Кој ти кажа да користиш калкулатор? Самиот? Нема потреба. брои без калкулатор , како што е напишано во темата „Дропки“. Има секакви проценти...

Значи, го совладавме преминот од количини во проценти и назад. Можете да преземете задачи.

Проблеми кои вклучуваат проценти.

ВО Задачи за обединет државен испитна камата се многу популарни. Од наједноставните до најкомплексните. Во овој дел работиме со едноставни задачи. ВО едноставни задачи, како по правило, треба да се префрлите од проценти до количините што се дискутирани во проблемот. До рубли, килограми, секунди, метри итн. Или обратно. Ние веќе знаеме како да го направиме тоа. После ова, проблемот станува јасен и лесен за решавање. Не ми веруваш? Види и самиот.
Да имаме таков проблем.

„Возењето со автобус чини 14 рубли. Во денови училишни празнициВоведен е попуст од 25% за студентите. Колку чини патувањето со автобус за време на училишниот распуст?

Како да се одлучи? Ако дознаеме колку 25% во рубли– тогаш нема што да се одлучи. Ајде да го одземеме попустот од првобитната цена - и тоа е тоа!

Но, ние веќе знаеме како да го препознаеме ова! Колку ќе еден процент од 14 рубли? Стоти дел. Тоа е, 14/100 = 0,14 рубли. И имаме 25 такви проценти. Значи, да помножиме 0,14 рубли со 25. Добиваме 3,5 рубли. Тоа е се. Го утврдивме износот на попустот во рубли, останува само да ја дознаеме новата цена:

14 – 3,5 = 10,5.

Десет и пол рубли. Ова е одговорот.

Штом се префрливме од камата на рубли, сè стана едноставно и јасно. Ова е општ пристап за решавање на процентуални проблеми.

Јасно е дека не сите задачи се подеднакво елементарни. Има и покомплицирани. Размисли! Ќе ги решиме и сега. Тешкотијата е што е обратно. Ни се дадени некои количини, но треба да ги најдеме процентите. На пример, оваа задача:

„Претходно, Васија правилно реши два проблема од дваесет. Откако ја проучуваше темата на една корисна страница, Васија почна правилно да решава 16 од 20 проблеми. За колку проценти Васија стана помудра? Сметаме дека 20 решени проблеми се 100% паметни“.

Бидејќи прашањето е за проценти (а не за рубли, килограми, секунди итн.), тогаш преминуваме на проценти. Ајде да дознаеме колкав процент решил Васија пред разбирање, колкав процент после – и тоа е во торбата!

Ние сметаме. Два проблеми од 20 – колку проценти? 2 е 10 пати помало од 20, нели? Ова значи број на проблеми во процентиќе биде 10 пати помала од 100%. Тоа е, 100/10 = 10.

10%. Да, Васија реши малку... Нема што да се прави на обединет државен испит. Но, сега тој стана помудар и решава 16 проблеми од 20. Ајде да пресметаме колкав процент ќе биде тоа? Колку пати е 16 помало од 20? Не можеш да кажеш ненамерно... Ќе мора да го поделиш.

5/4 пати. Па, сега делиме 100 со 5/4:

Еве. 80% е веќе солидна. И што е најважно - небото е граница!

Но, ова сè уште не е одговорот! Повторно го прочитавме проблемот за да не погрешиме од ведро небо. Да, не прашуваат нас за колку време Дали Васија стана процент помудар? Па, едноставно е. 80% - 10% = 70%. За 70%.

70% е точниот одговор.

Како што можете да видите, во едноставни проблеми доволно е да се претворат дадените вредности во проценти, или дадените проценти во вредности, и сè станува појасно. Јасно е дека проблемот може да содржи дополнителни ѕвона и свирежи. Кои, често, немаат никаква врска со процентите. Овде, главната работа е внимателно да ја прочитате состојбата и, чекор по чекор, полека, да го расплетувате проблемот. За ова ќе зборуваме во следната тема.

Но, постои една сериозна заседа во проблемите со проценти! Многу луѓе паѓаат во неа, да... Оваа заседа изгледа прилично невино. На пример, тука е проблем.

„Убава тетратка чинеше 40 рубли во текот на летото. Пред почетокот учебната година, продавачот ја покачи цената за 25%. Сепак, тетратките почнаа да се продаваат толку слабо што тој ја намали цената за 10%. Сè уште не го земаат! Мораше да ја намали цената за уште 15%. Тука започна трговијата! Која беше конечната цена на тетратката?“

Па, како? Основно?

Ако брзо и радосно одговоривте „40 рубли!“, тогаш бевте во заседа ...

Финтата е што каматата секогаш се пресметува од нешто .

Значи сметаме. Колку долго рублидали продавачот ја надува цената? 25% од 40 рубли - тоа е 10 рубли. Односно, тетратката, која поскапе, сега чини 50 рубли. Ова е разбирливо, нели?

И сега треба да ја намалиме цената за 10% од 50 рубли. Од 50, не 40! 10% од 50 рубли е 5 рубли. Следствено, по првото намалување на цената, тетратката почна да чини 45 рубли.

Го разгледуваме второто намалување на цената. 15% од 45 рубли ( од 45, не 40 или 50! ) е 6,75 рубли. Затоа, крајната цена на тетратката е:

45 - 6,75 = 38,25 рубли.

Како што можете да видите, финтата е што каматата се пресметува секој пат од новата цена. Од последниот. Ова се случува скоро секогаш. Ако во проблемот на последователно зголемување-намалување на вредноста не е наведено во обичен текст, од што За да броите проценти, треба да ги броите од последната вредност. И тоа е вистина. Од каде знае продавачот колку пати оваа тетратка поскапела и паднала пред него и колку чинела на самиот почеток...

Патем, сега можеби размислувате, зошто е напишана последната фраза во проблемот за паметната Васија? Оваа: " Дали 20 решени проблеми ги сметаме за 100% паметни?Се чини дека се е јасно... Уф-ух... Како да се каже. Ако оваа фраза ја нема, Васија може да ги брои неговите првични успеси како 100%. Односно два решени проблеми. А 16 задачи се осум пати повеќе. Оние. 800%! Васија ќе може оправдано да зборува за сопствената мудрост дури 700%!

Можете исто така да преземете 16 задачи за 100%. И добијте нов одговор. Исто така точно...

Оттука и заклучокот: Најважното нешто во проблемите што вклучуваат проценти е јасно да се одреди од кој процент треба да се пресмета.

Патем, ова е неопходно и во животот. Каде што се користат проценти. Во продавници, банки, на секакви промоции. Во спротивно очекувате 70% попуст, но добивате 7%. И не попусти, туку поскапувања... И се е фер, погрешно се пресметав.

Па, ја добивте идејата за проценти во математиката. Да го забележиме најважното.

Практичен совет:

1. Во проблемите што вклучуваат проценти, се движиме од проценти во одредени количини. Или, доколку е потребно, од специфични вредности до проценти. Внимателно прочитајте ја задачата!

2. Учиме многу внимателно, од што мора да се пресмета каматата. Ако тоа не е директно наведено, тоа нужно се подразбира. При промена на вредност последователно, процентите се претпоставуваат од последната вредност. Внимателно прочитајте ја задачата!

3. Откако ќе завршите со решавање на проблемот, прочитајте го повторно. Сосема е можно да сте нашле среден одговор, а не конечен. Внимателно прочитајте ја задачата!

Решете неколку проблеми кои вклучуваат проценти. Да се ​​консолидираат, така да се каже. Во овие загатки се обидов да ги соберам сите главни тешкотии што ги чекаат решавачите. Оние гребло на кои најчесто се гази. Тука се:

1. Елементарна логика во анализата на едноставни проблеми.

2. Правилен изборизносот од кој мора да се пресметаат процентите. Колку луѓе се сопнаа на ова! Но, постои едно многу едноставно правило...

3. Камата на камата. Тоа е мала работа, но навистина е досадна...

4. И уште една вила. Врска помеѓу процентите и дропките и деловите. Преведувајќи ги еден во друг.

„На олимпијадата по математика учествуваа 50 луѓе. 68% од учениците решиле малку проблеми. 75% од останатите решиле умерени проблеми, а останатите решиле многу проблеми. Колку луѓе решиле многу проблеми?

Поим. Ако добиете фракционо студенти, ова е погрешно. Прочитај го внимателно проблемот, таму има еден важен збор... Друг проблем:

„Васија (да, истата!) навистина сака крофни со џем. Кои се печат во пекара на една станица од дома. Крофните чинат 15 рубли по парче. Имајќи на располагање 43 рубли, Васија отиде во пекарата со автобус за 13 рубли. И во пекарницата имаше промоција „Попуст на сè - 30%!!!“. Прашање: колку дополнителни крофни Васија не можеше да купи поради неговата мрзеливост (можеше да оди на прошетка, нели?)“

Кратки проблеми.

Колку проценти е 4 помалку од 5?

Колку процент е 5 поголем од 4?

Долга задача...

Коља доби едноставна работа која вклучува пресметување камата. За време на интервјуто, шефот со итра насмевка му понуди на Коља две опции за награда. Според првата опција, на Коља веднаш му беше доделена стапка од 15.000 рубли месечно. Според вториот Коља, ако се согласи, првите 2 месеци ќе исплаќа плата намалена за 50%. Некако како почетник. Но, тогаш ќе му ја зголемат намалената плата за цели 80%!

Коља посетил корисна страница на Интернет... Затоа, откако размислувал шест секунди, со блага насмевка ја избрал првата опција. Шефот се насмевна и му одреди на Коља постојана плата од 17.000 рубли.

Прашање: Колку пари годишно (во илјадници рубли) освои Коља на ова интервју? Во споредба со најлошата опција? И уште нешто: зошто цело време се смешкаа!?)

Уште еден краток проблем.

Најдете 20% од 50%.

И повторно долго.)

Брзиот воз бр.205 „Краснојарск – Анапа“ застана на станицата „Сизран-Город“. Василиј и Кирил отидоа во продавницата за да земат сладолед за Лена и хамбургер за себе. Кога купиле се што им било потребно, чистачката на продавницата рекол дека нивниот воз веќе тргнал... Василиј и Кирил брзо истрчале и успеале да скокнат во вагонот. Прашање: дали светскиот шампион тркач ќе има време да скокне во кочија под овие услови?
Веруваме дека во нормални услови светскиот шампион трча 30% побрзо од Василиј и Кирил. Меѓутоа, желбата да се стигне со кочијата (беше последната), да се почести Лена со сладолед и да се изеде хамбургер, им ја зголеми брзината за 20%. А сладолед со хамбургер во рацете на шампион и апостолки на нозете би му ја намалил брзината за 10%...

Но, тука е проблем без проценти... Се прашувам зошто е тука?)

Определи колку тежи 3/4 од јаболкото ако целото јаболко тежи 200 грама?

И последниот.

Во брзиот воз бр.205 „Краснојарск – Анапа“, сопатниците решавале крстозбор. Лена погоди 2/5 од сите зборови, а Василиј погоди една третина од преостанатите. Тогаш Кирил се вклучи и реши 30% од целата крстозборка! Серјожа ги погоди последните 5 зборови. Колку зборови имаше во скан зборот? Дали е вистина дека Лена погодила најмногу зборови?

Одговорите се во традиционалното нарушување и без имиња на единици. Каде се крофните, каде се студентите, каде се рубљите со камата - тоа си ти...

10; 50; Да; 4; 20; Не; 54; 2; 25; 150.

Па како е тоа? Ако сè се собере - честитки! Каматата не е ваш проблем. Можете безбедно да одите на работа во банка.)

Дали нешто не е во ред? Не работи? Не знаете како брзо да пресметате проценти од некој број? Не знаете многу едноставни и јасни правила? Од што да се пресмета каматата, на пример? Или, како да се претворат дропките во проценти?

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Парите станаа толку цврсто втемелени во нашите животи што сите ние, без разлика на возраста, полот и начинот на заработка, одвреме-навреме се наоѓаме во ситуации кога сме принудени да носиме одлуки кои бараат финансиски пресметки. И тогаш зависи од нашата способност да работиме со специфични финансиски категории колку ќе биде профитабилна опцијата што ќе ја избереме. Во оваа статија ќе ги разгледаме главните категории на финансиска математика и ќе покажеме како да ги искористиме за да донесеме правилни одлуки во широк спектар на ситуации.

Каматата. Сложена камата. Капитализација на каматата (спојување)

Каматата е приход добиен како исплата за позајмување пари во која било форма. Процентите може да се изразат во апсолутна или релативна форма. Апсолутната форма е одредена сума за одреден период. Релативна - во форма на каматна стапка врзана за одреден период (година, месец или ден). За да го пресметате акумулираниот износ (S), под кој го мислиме главниот износ плус акумулираната камата, треба да ја користите следнава формула:

(1) S = P * (1 + i * n),
каде што P е износот на кој се пресметува каматата, i е каматната стапка, N е бројот на пресметковни периоди.

Пример
На пријател му дадовте заем во износ од 10.000 долари за 3 месеци, под чии услови тој ветува дека ќе ви плаќа 2% месечно. Треба да го пресметате износот што ќе го добиете на крајот на рокот на заемот. Добиваме 10.000 * (1 + 2% * 3) = 10.600 долари.

Често може да наидете на ситуација каматата да не се плаќа, туку да се додаде на вложениот износ, а од новиот период пресметувањето се врши на износот земајќи ја предвид претходно додадената камата. Таквата камата се нарекува сложена камата, а процесот на пресметување на каматата на каматата се нарекува каматна капитализација. Во случај на сложена камата, пресметаниот износ се пресметува поинаку:

(2) S = P * (1 + i) ^ n,
каде што значењето на буквите е исто како во формулата погоре, а знакот „^“ значи степенување.

Која е разликата помеѓу сложената и едноставната камата? Ако простата камата расте линеарно (за ист износ секој период), тогаш сложената камата расте експоненцијално (секој следен период износот на каматата е поголем отколку во претходниот). Благодарение на овој ефект, износот ставен на сложена камата за долг период е многукратно поголем од растот на износот пласиран со проста камата. Подолу се прикажани резултатите од растот на депозитите (6% годишно) со проста и сложена камата. Ако на почетокот разликата остане мала, тогаш подоцна се достигнува критична вредност. Така, во 80 година, депозитот со едноставна камата ќе достигне 58.000 долари, додека депозитот со сложена камата ќе достигне 1.057.960 долари.

Во пракса, често постои практика во која периодот на пресметка на каматата се разликува од цел број. Во таква ситуација, формулата за пресметување на акумулираната сума со едноставна камата има форма:

(3) S = P * (1 + i * d / 365),
каде d е каматниот период изразен во денови.

Има и ситуации кога каматната стапка се изразува на годишно ниво, но каматата се пресметува месечно. Во такви случаи, формулата за пресметување на акумулираната сума (по правило, во овој случај се користи сложена камата) ќе изгледа вака:

(4) S = P * (1 + i/m) ^ (n*m),
каде што m е бројот на периоди за пресметување на каматата во периодот (обично 12 се користи според бројот на месеци во годината).

И, конечно, да забележиме дека, без оглед на видот на каматата, сите формули за пресметување на акумулираната сума може да се сведат на општа форма:

(5) S = P * k,
каде k е коефициентот на акумулација, кој се пресметува на различни начини во зависност од видот на користената камата. Овој заклучок во голема мера ќе го олесни нашето разбирање на последователните математички операции.

Попустот и неговата суштина

Концептот на камата што го дискутиравме погоре ја одразува временската вредност на парите. Со други зборови, поради фактот што парите што ги поседуваме денес можат да ни донесат приход утре како резултат на нивно вложување по одредена каматна стапка, идните готовински примени имаат пониска сегашна вредност. Овој принцип е основа на математичката операција наречена дисконтирање. Попустот значи доведување на идните плаќања до сегашната вредност и, во нејзино значење, е обратна операција на зголемување на каматата. Односно, дисконтирањето ги смета идните плаќања како акумулирана сума (S) и задачата на инвеститорот е да ја пресмета нивната тековна вредност (P) врз основа на каматната стапка што му е достапна (i). Во зависност од видот на каматата, формулата за попуст ќе биде следна: или

(6) P = S/(1+i*n)

(7) P = S/(1+i)^ n

Целта на попустот е да ни покаже колку вредат парите што ќе ги добиваме во иднина денес, за да не се преплаќаме за идните плаќања во однос на инвестициската алтернатива што ни е достапна. Ајде да погледнеме неколку вообичаени операции во кои се користи попуст.

Купување тек на идни плаќања (сметководствени трансакции)
За купување се нуди обврзница со номинална вредност од 1.000 долари со каматна стапка од 6% годишно, со плаќање камата квартално и откуп на крајот на годината. Задачата е да се пресмета моменталната вредност на обврската врз основа на есконтната стапка 15% на годишно ниво.

Решение
Да го пресметаме кварталниот приход од камати и да изградимево програма Excel табела за готовински текови. Ајде да ја најдеме моменталната вредност користејќи ја вградената формула NPV. Така, со дисконтна стапка од 15% годишно, моменталната вредност на оваа финансиска обврска е 916,22 американски долари

Забелешка

2) Во формулата NPV наместо каматна стапка го ставаме годишниот процент поделен со 12

Финансиска еквивалентност
Страните се договараат за условите за плаќање на деловен простор. Цената на просториите е 24.000 долари. Продавачот се согласува на плаќање на рати под следните услови: 8.000$ веднаш, остатокот во еднакви деловиво рок од 4 месеци. Сепак, тој е подготвен да размисли за подолг рок на рати доколку продавачот му понуди поголема сума за просториите што се продаваат.

Решение
Ајде да ги одразиме почетните услови на планот на рати во форма на табела во Excel. Во истата табела да моделираме понуда со зголемени месечни плаќања, како резултат на што цената на просториите ќе се зголеми на 24.400 долари. Ајде да ја пресметаме моменталната вредност на секоја опција за да ја споредиме нивната еквивалентност врз основа на каматна стапка од 10% годишно. Пресметката покажува дека втората опција, дури и со повисока куповна цена, е поисплатлива за купувачот од првата

Консолидација на плаќање
Консолидација на плаќањата е операција на комбинирање на неколку обврски за плаќање во едно плаќање (S0) во одреден временски период (T0). Особеноста на оваа операција е што сите плаќања што се очекува да бидат примени пред овој датум се пресметуваат со пресметковна пресметка, а оние што се очекуваат по него се пресметуваат со дисконтирање. Во зависност од видот на користениот процент, формулата за консолидација е како што следува:

(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (T0 - Tn))

(9) S = ∑ Pn* (1 + i) ^ (T0 - Ta))

Пример
Отворивте банкарски депозит од 10.000 УСД за 12 месеци со 10% годишно. Колку пари треба да депонирате на вашата сметка за 14-тиот месец за по 3 години да имате 15.000 долари на сметката?

Решение
Да го замислиме проблемот во форма на консолидација на плаќањата, каде постојниот придонес ќе биде изразен како позитивна бројка, а очекуваниот износ во иднина ќе биде изразен како негативен број. Имајќи предвид дека каматата се пресметува по сложена каматна стапка, ја добиваме следната пресметка: 10.000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-0) - 15.000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-36) = 11.232 - 12.496 = -1.264 $.

Одредување на внатрешна стапка на принос

Во бизнисот и инвестирањето, често има ситуации кога инвеститорот ги знае идните плаќања и износот на инвестициите и треба да ја пресмета стапката на раст со која износот на идните плаќања намален на сегашната вредност ќе биде нумерички еднаков на износот на инвестициите. . Фактор на зголемување за кој се изведува оваа состојба, се нарекува внатрешна стапка на поврат (IRR, на англиски - IRR, внатрешен поврат на принос). За да се пресмета внатрешната стапка на поврат, се користи вградената функција на програмата Excel - IRR.

Пример
Инвеститор размислува за предлог за инвестирање, што претставува учество во капитал во отворањето на пицерија (види овде). Знаеме: а) износот на бараната инвестиција; б) финансиски план (прогноза на готовински тек); в) шема за распределба на паричните текови. Резимето на предлогот за инвестирање (види табела) содржи 6 опции за профитабилност. Неопходно е да се утврди вкупната профитабилност на предлогот за инвестирање заспоредби со други инвестициски опции.

Решение
Ајде да изградиме табела во Excel за паричните текови што ќе ги добие инвеститорот според финансискиот план (види табела). Ајде да ја пресметаме внатрешната стапка на принос користејќи ја вградената формула IRR, каде што ги наведуваме сите вредности на плаќање, вклучително и почетната инвестиција, како опсег на вредности. Резултирачката внатрешна стапка на принос (IRR) = 38,47%. Така, вкупниот очекуван принос на инвестицискиот предлог што се разгледува е 38,47% на годишно ниво.

Забелешка
1) За време на периоди кога нема плаќања, поставете „0“.
2) За да ја добиете годишната стапка на VSD, помножете ја добиената вредност со 12.

Ануитет (финансиска кирија)
Протокот на плаќања, чии сите компоненти се позитивни и временските интервали помеѓу плаќањата се исти, се нарекува ануитет или финансиска рента. На пример, ануитет е редоследот на примање камата на обврзница, плаќања за потрошувачки кредит, редовни придонеси според акумулативни договори за осигурување и исплата на пензии. Ануитетите се карактеризираат со следните параметри: 1) износот на секоја поединечна исплата; 2) интервалот помеѓу плаќањата; 3) времетраење на плаќањата (има вечни ануитети); 4) каматна стапка. Поради сложеноста на формулата за пресметка, најдобро е да се користат вградените формули на Excel за да се пресметаат различните компоненти на ануитетот. Ајде да ги погледнеме главните.

При пресметување на заемот се користат следните формули: PLT (го пресметува износот на месечната исплата), OSPLT (го пресметува износот на отплата на главниот долг како дел од одредена месечна исплата), PRPLT (го пресметува износот на каматата како дел од одредена месечна исплата).

Пример
Неопходно е да се пресмета месечната исплата и да се изготви распоред за плаќање на заемот, износот е 10.000 $, каматната стапка е 20%, терминот е 20 месеци.

Решение
За да го пресметаме плаќањето, ја користиме формулата PMT. На местото на каматната стапка ја заменуваме месечната вредност (годишна вредност поделена со 12), како сегашна вредност го означуваме износот на заемот, идната вредност - укажуваме 0. Ги користиме истите вредности за формулите OSPLT и PRPLT , во која само на сериски бројпериод. Добиените вредности ги прикажуваме во форма на табела:

Истата формула PMT може да се користи за пресметување на месечните придонеси за акумулирање на износот даден моментвреме. За да го направите ова, го ставаме износот на авансот на местото на сегашната вредност, а потребниот износ на местото на идната вредност.

Пример
Имаш 25 години. Отворате штедна книшка за пензионирање со каматна стапка од 6% годишно и во неа депонирате 10.000 долари од вашите заштеди. Ајде да ја пресметаме месечната исплата што ќе треба да ја ставите на вашата сметка за да достигнете 100.000 долари до 45-тата година од животот.

Решение
Ја користиме функцијата PMT. Каматната стапка е 6% / 12, бројот на периоди е 20 * 12, сегашната вредност е 10.000 американски долари, идната вредност е 100.000 долари. Во овој случај, пополнетата формула ќе изгледа вака =PLT(6%/12;20*12;10000;100.000).Добиваме месечна исплата од 288 УСД.

Како што забележавте, во горните примери го пресметавме износот на месечната исплата, ни беа познати други параметри на ануитетот. Excel ни овозможува да пресметаме други параметри на ануитет - сегашна вредност, идна вредност, број на периодични плаќања. Ајде да погледнеме примери за тоа како функционираат овие формули.

Пример за пресметка на сегашната вредност
За 10-тиот роденден на вашиот син, вие одлучувате да отворите штедна книшка за тој да заштеди 10.000 долари на неговиот 18-ти роденден. Каков аванс треба да направите на оваа сметка ако планираните месечни придонеси се 50 УСД?

Решение
Ја користиме функцијата PS. Каматната стапка е 6% / 12, бројот на плаќања е 8 * 12, периодичното плаќање е 50 долари, идната вредност е минус 10.000 долари. Во овој случај, пополнетата формула ќе изгледа вака =PS(6%/12;8*12;50;-10000). Добиената вредност на аванс е 2390 УСД.

Забелешка
Негативната вредност во формулите PS и BS значи „Ќе добијам“, позитивна вредност значи „плаќам“.

Пример за пресметување на идната вредност и бројот на плаќања
Двајца пријатели решиле да си обезбедат дополнителна пензија. За да го направите ова, секој од нив отвори штедна книшка со принос од 6% годишно, еден даде првичен придонес за тоа во износ од 3.000 американски долари, а вториот - 5.000 долари. Првиот има 25 години, вториот има 30, двајцата сакаат да се пензионираат до 45 години. И двајцата се спремни да придонесуваат 50 долари месечно. Потребно е да се пресмета висината на нивните пензиски заштеди и бројот на месеци на пресметковна пензија од акумулираните средства, доколку се планираат исплата на пензија во износ од 150 долари.

Решение
Прво, да го пресметаме износот на пензиските заштеди. За да го направите ова, ја користиме формулата БС. Во првиот случај, бројот на плаќања ќе биде еднаков на 20 * 12, во вториот - 15 * 12, сегашната вредност во првиот случај е 3000 американски долари, во вториот - 5000 американски долари, каматната стапка во двата случаи ќе биде еднаква до 6% / 12, а периодичното плаќање ќе биде 50 долари. Собраната формула во првиот случај ќе изгледа како = BS(6%/12;20*12;50;3000), во вториот = BS(6%/12;15*12;50;5000). Во првиот случај, пензиските заштеди ќе бидат 33.032 долари, во вториот - 26.811 долари. Сега да го пресметаме периодот во кој акумулираниот износ може да ги обезбеди горенаведените исплати на пензија. За да го направите ова, ќе ја користиме функцијата NPER, каде што означуваме 6%/12 како каматна стапка, поставуваме 150 долари како износ на плаќање и ги заменуваме добиените вредности како сегашна вредност. Износот го добиваме во месеци - 149 за првиот и 128 за вториот.

Забелешка
Негативната вредност во формулата покажува дека примаме плаќања, во случај формулата да се примени за да се пресметаат плаќањата што треба да се платат, добиената вредност ќе биде позитивна.

Вечна ануитет (вечност) и моделот Гордон

Посебен случај на ануитет е редослед на плаќања, чие времетраење не е условно определено и затоа овој ануитет се смета за вечен. Пример за вечен ануитет би биле конзолите, вид на хартии од вредност (обврзници) на кои каматата се акумулира на неодредено време, но номиналната вредност не се враќа. Во пракса, таквите хартии од вредностсе доста ретки. Почест пример за вечен ануитет се долгорочните исплати на дивиденди што некои компании ги прават на нивните акционери. За да се пресмета цената на вечниот ануитет, се користи моделот Гордон:

(10) S = P * (1 + g) / (r - g) , каде што S е цената на ануитетот, P е тековната исплата, g е стапката на раст на тековното плаќање, r е стапката на принос.

Горенаведените формули се главната листа на алатки за пресметки од различни видови и ви овозможуваат да направите пресметки во однос на секоја ситуација. Во коментарите на оваа статија, можете да опишете ситуации кои бараат финансиски пресметки, а јас ќе се обидам да покажам како горенаведениот математички апарат ќе ви помогне во нивното решавање.

При подготовката на статијата материјали од наставно помагало„Финансиска математика“ Ширшова Е.В., Н.И. Петрика, Тутигина А.Г., Меншикова Т.В., Москва, ед. „Кнорус“, 2010 година

Ајде да погледнеме на пример:

Цената на фрижидерот во продавница се зголеми за. Која беше цената ако фрижидерот првично чинеше рубли?

Решение:

Прво, да одредиме колку рубли се променила цената на фрижидерот (во овој случај, зголемена).

Според условот - на.

Но, од што?

Се разбира, од самата почетна цена на фрижидерот - тријте.

Излегува дека треба да најдеме од рубли:

Сега знаеме дека цената се зголеми за рубли.

Сè што останува е, според правилото, да се додаде износот на промената на почетниот трошок:

Нова цена во рубли.

Друг пример(обидете се сами да одлучите):

Книгата „Математика за кукли“ чини рубли во продавницата. За време на промоцијата сите книги се продаваат со попуст

Колку ќе треба да платите за оваа книга сега?

Решение:

Што е попуст, дали веројатно знаете? Попуст значи дека цената на производот е намалена за

Колку се намали цената на книгата (во рубли)?

Треба да најдете од неговата почетна цена во рубли:

Цената е намалена, што значи дека треба да одземете од почетната цена колку е намалена:

Нова цена во рубли.

Нели е едноставно?

Но, постои начин да се донесе оваа одлука уште полесна и пократка!

Ајде да погледнеме на пример:

Зголемете го бројот за.

На што се еднакви од?

Како што дознавме претходно, тоа ќе биде.

Сега да го зголемиме самиот број x за оваа сума:

Излегува дека како резултат ја додадовме децималната нотација и помноживме со бројот.

Ајде да го сумираме ова правило:

Да речеме дека треба да го зголемиме бројот за.

од бројот - ова е.

Тогаш новиот број ќе биде еднаков на: .

На пример, да го зголемиме бројот за:

Сега пробајте сами:

1. Зголемете го бројот за
2. Зголемете го бројот за
3. За колку проценти бројот е поголем од бројот?

Решенија:

3) Нека потребната количина процентиеднакви.

Ова значи дека ако бројот се зголеми за, ќе биде:

Одговор на.

Ако бројот x треба да се намали за, сè е слично:

Значи, правилото:

Примери:

1) Намалете го бројот за.

2) Вклучено колкав процентдали бројот е помал од бројот?

3) Цената на производ со попуст е еднаква на стр. Која е цената без попуст?

Решенија:

2) Бројот е намален за x процентии доби:

Одговор на.

3) Цената без попуст нека биде еднаква. Излегува дека x се намали за и добивме:

Конечно, ајде да погледнеме друг тип на проблем што често предизвикува конфузија.

Решавање сложени проблеми кои вклучуваат проценти

Бројот е поголем од бројот за. На колкав процентдали бројот е помал од бројот?

Колку чудно прашање: се разбира дека не!

нели?

Но не.

Ако, на пример, масата на еден кабинет е 25 кг поголема масадруг, тогаш, без сомнение, масата на вториот кабинет е 25 кг помала од масата на првиот.

Носот процентиНема да функционира така!

Навистина, во првиот случај, кога велиме дека некој број е поголем од број, броиме од бројот; а во вториот случај, кога велиме дека некој број е помал од број, броиме од бројот. И бидејќи бројките се различни, тогаш и овие бројки ќе бидат различни!

За правилно да го решиме овој проблем, да го напишеме условот како равенка:

Бројот е поголем од бројот за. Ова значи дека ако бројот се зголеми за, го добиваме бројот:

Сега да го напишеме прашањето во иста форма: ако бројот a се намали за проценти, го добиваме бројот:

Да го изразиме бројот од еднаквост (1):

И замена во (2):

Го следи тоа:

Значи, добиваме дека бројот е помал од бројот!

Слични проблеми често се среќаваат на обединетиот државен испит.

На пример:

Во понеделникот акциите на компанијата поскапеа за одредена сума проценти, а во вторник поевтинија за исто толку проценти. Како резултат на тоа, тие станаа поевтини отколку кога тргувањето беше отворено во понеделникот. На колкав процентпоскапеа ли акциите на компанијата во понеделникот?

Решение:

Цената на акцијата во понеделник нека биде еднаква, а потребната количина проценти, напишана како децимална дропка (односно, веќе поделена со), е еднаква на.

Ајде да ја запишеме формулата за тоа која е вредноста на акцијата по зголемувањето на цената:

Познато е дека оваа крајна цена е помала од почетната цена. Односно, ако намалиме за, добиваме:

Да го замениме претходно изразеното:

Според Здрав разумСамо позитивно решение е погодно:

Сега да се потсетиме дека ова е сепак само децимална ознака на потребната количина проценти, односно оваа количина проценти, поделено со. За конвертирање во интерес, треба да се помножите со 100%:

Каде користиме проценти во животот?

Па, на пример, во банкарски производи: депозити, заеми, хипотеки итн.

Ако добро разбирате што е камата и знаете како да решавате равенки, тогаш лесно можете да ја пресметате, на пример, големината на месечната исплата на заемот.

Или колку ќе треба да преплатите со земање на хипотека. Таква задача има и на Единствениот државен испит под број 17.

Каматата. Накратко за главната работа

Еден процент од кој било број е стотинка од тој број.

1. Проценти и децимали

2. Променете го бројот за одреден процент

Да речеме дека треба да го зголемиме бројот за.

од бројот - ова е.

Тогаш, новиот број ќе биде еднаков на: .

За да зголемите број за, треба да го помножите со.

Ако бројот треба да се намали за, тогаш:

Да се ​​намали некој број за одредена сума значи да се одземе оваа вредност од него:

За да намалите број за, треба да го помножите со.

, серија на написи за лични финансии.

Денес ќе зборуваме за интерес.

Невозможно е да се инвестира без да се разбере што е камата и како се пресметува профитабилноста.

Како по правило, нема проблеми со едноставна камата; секој што некогаш чувал пари на депозит во банка разбира дека, на пример, каматната стапка е 10% годишно на депозит од 50.000 рубли. ќе дава 5000 приход годишно.

Потешко е да се разбере ефектот на сложената камата, но таа е многу важна при долгорочно инвестирање, т.е. кога се инвестираат со цел да се постигне финансиска слобода.

Во суштина, со сложената камата, приходите од камати се реинвестираат, со што се зголемува големината на депозитот. Еве еден пример, да речеме дека имате 100.000 рубли. а на нив добивате 10% од приходот т.е. 10.000 рубли. во годината.

Во првата година добивте 10.000 рубли. и вашиот придонес се зголеми за овие 10.000, во износ од 110.000 рубли.

Во втората година, вашиот приход веќе ќе биде 10% од 110.000 рубли, т.е. 11.000 рубли, кои исто така ги додавате на депозитот, кој станува 110.000 + 11.000 = 121.000 рубли.

Трета година: Вашите 121 илјади рубли повторно носат 10%, што е 12.100 рубли во рубли, а вашиот придонес на крајот на третата година ќе биде 121.000 + 12.100 = 133.100 рубли.

итн.

Во формализирана форма, сложената камата се пишува на следниов начин:

FV = PV (1 + r)^n

Каде Ф.В.– идна вредност на депозитот;PV– почетна цена на депозитот;р– стапка на принос (профитабилност);n– број на периоди.

Па, проверете ја формулата користејќи го нашиот пример FV = 10.000 (1 + 0.1)^3 = 133.100 рубли. Како што можете да видите, сè се собра :)

Кога инвестирате на долг рок, тогаш важноста на сложената камата значително се зголемува.

Замислете го овој пример: ако млекото поскапи за 10% годишно, колку ќе чини за 20 години? Ако денес млекото чини 30 рубли за литар, тогаш ако се дозволи цената на млекото да се зголеми за 10% годишно, за 20 години млекото ќе чини FV = 30 (1+0,1)^20 = 201 рубља 82 копејки!

Овој пример, инаку, многу добро ја покажува потребата да се инвестира и да се зачува сопствениот капитал, бидејќи тој исто така амортизира според формулата на сложената камата.

Оваа формула се нарекува и „Ротшилд формула“, „ѓаволска формула“, а на англиски и во финансиските кругови се нарекува „спојување“.

Сè на земјата се менува според формулата на сложена камата: инфлација, зголемена потрошувачка на нафта или пченица, населението на земјата се менува итн.

Кога ќе инвестирате процентот работи за вас, еве еден примерСпомнав претходно за пензиите:

Колку пари ќе може да заштеди просечниот Русин ако вложи 3.000 рубли? месечно за 30 години? Да претпоставиме дека растот на неговите инвестиции ќе биде 5% годишно, а повратот на инвестицијата ќе биде еднаков на 17% годишно.

По 30 години, ќе се акумулираат 32.022.812 рубли. Вака ви функционира сложената камата, делувајќи како лост што го зголемува вашиот придонес.

Но, тоа функционира и против тоа кога земате заеми, на пример.

Во принцип, постојат програми кои ви дозволуваат да пресметате сложена камата и формулите за ануитет поврзани со нив (ануитет се смета за серија на плаќања кои се исти (или се менуваат според шема) и се оддалечени една од друга за истото временски период;примерот со акумулација на 3.000 рубли во еден месец се смета и за ануитет.месец повисоки и еднакви месечни исплати на заемот со текот на времето).

Можете да го пробате сами, јас го користамкако оваа програма за iPad , бесплатен е, а имаат опции и за Андроид.

Сликата покажува пример за пресметување на износот на плаќањата на заемот со помош на оваа програма.

Таму можете да пробате и други финансиски пресметки, на пример, пресметување сложена камата и ануитети.

Пробајте го, главната работа е да го разберете самиот принцип.

Продолжуваме да ги проучуваме елементарните проблеми по математика. Оваа лекција е за процентуални проблеми. Ќе разгледаме неколку проблеми, а ќе ги допреме и оние точки кои претходно не ги спомнавме при проучувањето на процентите, имајќи предвид дека на почетокот создаваат потешкотии за учење.

Повеќето проблеми кои вклучуваат проценти се сведуваат на наоѓање процент од број, наоѓање број по процент, изразување на некој дел како процент или изразување како процент на врската помеѓу неколку предмети, броеви, количини.

Прелиминарни вештини Содржина на лекцијата

Методи за наоѓање процент

Процентот може да се најде на различни начини. Најпопуларниот начин е да се подели бројот со 100 и да се помножи резултатот со саканиот процент.

На пример, за да најдете 60% од 200 рубли, прво мора да ги поделите овие 200 рубли на сто еднакви делови:

200 рубли: 100 = 2 рубли.

Кога ќе поделиме број со 100, наоѓаме еден процент од тој број. Значи, делејќи 200 рубли на 100 делови, автоматски најдовме 1% од двесте рубли, односно дознавме колку рубли има по дел. Како што може да се види од примерот, еден дел (еден процент) изнесува 2 рубли.

1% од 200 рубли - 2 рубли

Знаејќи колку рубли има во еден дел (1%), можете да дознаете колку рубли има во два дела, три, четири, пет, итн. Тоа е, можете да најдете кој било број на проценти. За да го направите ова, само помножете ги овие 2 рубли со потребниот број делови (проценти). Ајде да најдеме шеесет парчиња (60%)

2 рубли × 60 = 120 рубли.

2 рубли × 5 = 10 рубли.

Ајде да најдеме 90%

2 рубли × 90 = 180 рубли.

ќе најдеме 100%

2 рубли × 100 = 200 рубли.

100% се сите сто делови и тие ги сочинуваат сите 200 рубли.

Вториот начин е да се претстави процентот како заедничка дропкаи најдете ја оваа дропка од бројот од кој сакате да го најдете процентот.

На пример, да ги најдеме истите 60% од 200 рубли. Прво, да претставиме 60% како дропка. 60% е шеесет делови од сто, односно шеесет стотинки:

Сега задачата може да се разбере како « најдете од 200рубли" . Ова е она што го проучувавме порано. Да ве потсетиме дека за да пронајдете дропка од број, треба да го поделите овој број со именителот на дропката и да го помножите добиениот резултат со броителот на дропката.

200: 100 = 2

2 × 60 = 120

Или помножете го бројот со дропка ():

Третиот начин е да се претстави процентот како децимален и бројот да се помножи со децимална.

На пример, да ги најдеме истите 60% од 200 рубли. За почеток, претставувајте 60% како дропка. 60% проценти се шеесет делови од сто

Да ја направиме поделбата во оваа дропка. Да ја поместиме децималната точка во бројот 60 две цифри налево:

Сега наоѓаме 0,60 од 200 рубли. За да ја пронајдете децималната дропка од некој број, треба да го помножите овој број со децималната дропка:

200 × 0,60 = 120 руб.

Горенаведениот метод за наоѓање процент е најзгодно, особено ако некое лице е навикнато да користи калкулатор. Овој метод ви овозможува да го пронајдете процентот во еден чекор.

Вообичаено, изразувањето процент како децимална дропка не е специјална работа. Доволно е да се додаде „нула цел број“ пред процентот ако процентот претставува двоцифрен број, или додадете „нула цел број“ и уште една нула ако процентот е едноцифрен број. Примери:

60% = 0,60 - додаде нула цели броеви пред бројот 60, бидејќи бројот 60 е двоцифрен

6% = 0,06 - додаде нула цели броеви и уште една нула пред бројот 6, бидејќи бројот 6 е ​​едноцифрен.

При делење со 100 го користевме методот на поместување на децималната точка две цифри налево. Во одговорот 0,60 е задржана нулата по бројот 6. Но, ако ја направите оваа поделба со агол, нулата исчезнува - го добивате одговорот 0,6

Мораме да запомниме дека децималните фракции 0,60 и 0,6 се еднакви на истата вредност:

0,60 = 0,6

Во истиот „агол“ можете да ја продолжите поделбата на неодредено време, секој пат кога ќе додадете нула на остатокот, но ова ќе биде бесмислено дејство:

Можете да ги изразите процентите како децимална дропка не само со делење со 100, туку и со множење. Самиот симбол на проценти (%) го заменува множителот 0,01. И ако се земе предвид дека бројот на проценти и знакот за проценти се напишани заедно, тогаш меѓу нив постои „невидлив“ знак за множење (×).

Значи, влезот од 45% всушност изгледа вака:

Заменете го знакот процент со фактор 0,01

Ова множење за 0,01 се врши со поместување на децималната точка две цифри налево:

Проблем 1. Семејниот буџет е 75 илјади рубли месечно. Од нив, 70% се пари заработени од тато. Колку заработила мама?

Решение

Вкупниот број е 100 проценти.Ако тато заработил 70% од парите, тогаш мама ги заработила останатите 30% од парите.

Проблем 2. Семејниот буџет е 75 илјади рубли месечно. Од нив, 70% се пари заработени од тато, а 30% се пари заработени од мама. Колку пари заработил секој човек?

Решение

Ќе најдеме 70 и 30 проценти од 75 илјади рубли. На овој начин ќе одредиме колку пари заработил секој човек. За погодност, пишуваме 70% и 30% како децимални фракции:

75 × 0,70 = 52,5 (илјада рубли заработи татко)

75 × 0,30 = 22,5 (илјада рубли заработени од мајка)

Испитување

52,5 + 22,5 = 75

75 = 75

Одговори: 52,5 илјади рубли. Тато заработи 22,5 рубли. Мама заработи пари.

Проблем 3. При ладење лебот губи до 4% од својата маса како резултат на испарување на водата. Колку килограми ќе испари кога ќе се изладат 12 тони леб?

Решение

Да ги претвориме 12 тони во килограми. Еден тон содржи илјада килограми, а 12 тони 12 пати повеќе:

1000 × 12 = 12.000 кг

Сега да најдеме 4% од 12000. Добиениот резултат ќе биде одговорот на проблемот:

12.000 × 0,04 = 480 кг

Одговори: Кога ќе се изладат 12 тони леб, ќе испари 480 килограми.

Проблем 4. Кога се сушат, јаболката губат 84% од својата маса. Колку сушени јаболка ќе добиете од 300 кг свежи?

Да најдеме 84% од 300 кг

300: 100 × 84 = 252 кг

300 кг свежи јаболка ќе изгубат 252 кг од нивната маса како резултат на сушење. За да одговорите на прашањето колку сушени јаболка ќе добиете, треба да одземете 252 од 300

300 − 252 = 48 кг

Одговори: од 300 кг свежи јаболка ќе добиете 48 кг суви.

Проблем 5. Семето од соја содржи 20% масло. Колку масло содржи 700 кг соја?

Решение

Ајде да најдеме 20% од 700 кг

700 × 0,20 = 140 кг

Одговори: 700 кг соја содржи 140 кг масло

Проблем 6. Леќата содржи 10% протеини, 2,5% масти и 60% јаглени хидрати. Колку од овие производи се содржани во 14,4 кг леќата?

Решение

Да ги претвориме 14,4 центи во килограми. Во еден центнер има 100 килограми, во 14,4 центи 14,4 пати повеќе

100 × 14,4 = 1440 кг

Да најдеме 10%, 2,5% и 60% од 1440 kg

1440 × 0,10 = 144 (кг протеини)

1440 × 0,025 = 36 (кг маснотии)

1440 × 0,60 = 864 (кг јаглени хидрати)

Одговори: 14,4 kg леќата содржи 144 kg протеини, 36 kg масти, 864 kg јаглени хидрати.

Проблем 7. Учениците собраа 60 килограми семки од даб, багрем, липа и јавор за расадникот. Желадите сочинувале 60%, семките од јавор 15%, семките од липа 20% од сите семиња, а остатокот биле семе од багрем. Колку килограми семки од багрем собрале ученици?

Решение

Да ги земеме семките од даб, багрем, липа и јавор како 100%. Да ги одземеме од овие 100% процентите што ги изразуваат семето на даб, липа и јавор. Вака дознаваме колкав процент има семки од багрем:

100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%

Сега наоѓаме семе од багрем:

60 × 0,05 = 3 кг

Одговори: Учениците собраа 3 кг семки од багрем.

Испитување:

60 × 0,60 = 36

60 × 0,15 = 9

60 × 0,20 = 12

60 × 0,05 = 3

36 + 9 + 12 + 3 = 60

60 = 60

Проблем 8. Еден човек купил намирници. Млекото чини 60 рубли, што е 48% од цената на сите набавки. Определете ја вкупната сума на пари потрошени на намирници.

Решение

Ова е задача да се најде број според неговиот процент, односно според неговиот познат дел. Овој проблем може да се реши на два начина. Првата е да се изрази познат број проценти како децимална дропка и да се најде непознатиот број од оваа дропка

Изразете 48% како децимален број

48% : 100 = 0,48

Знаејќи дека 0,48 е 60 рубли, можеме да го одредиме износот на сите набавки. За да го направите ова, треба да го пронајдете непознатиот број по децимална дропка:

60: 0,48 = 125 рубли

Тоа значи дека вкупниот износ на пари потрошени за намирници е 125 рубли.

Вториот начин е прво да откриете колку пари има по еден процент, а потоа да го помножите резултатот со 100

48% е 60 рубли. Ако поделиме 60 рубли со 48, ќе дознаеме колку рубли изнесуваат 1%

60: 48% = 1,25 рубли

1% изнесува 1,25 рубли. Вкупниот број е 100 проценти.Ако помножиме 1,25 рубли со 100, ја добиваме вкупната сума на пари потрошени на производи

1,25 × 100 = 125 рубли

Проблем 9. Свежите сливи даваат 35% суви сливи. Колку свежи сливи ви се потребни за да добиете 140 кг суви сливи? Колку суви сливи ќе добиете од 600 кг свежи?

Решение

Да изразиме 35% како децимална дропка и да го најдеме непознатиот број користејќи ја оваа дропка:

35% = 0,35

140: 0,35 = 400 кг

За да добиете 140 кг суви сливи, треба да земете 400 кг свежи.

Ајде да одговориме на второто прашање на проблемот - колку суви сливи ќе добиете од 600 кг свежи? Ако 35% од сувите сливи излегуваат од свежи сливи, тогаш доволно е да ги најдете овие 35% од 600 кг свежи сливи

600 × 0,35 = 210 кг

Одговори: за да добиете 140 кг суви сливи, треба да земете 400 кг свежи. Од 600 кг свежи сливи ќе добиете 210 кг суви.

Проблем 10. Апсорпцијата на мастите од човечкото тело е 95%. Во текот на еден месец, ученикот конзумирал 1,2 кг маснотии. Колку масти може да апсорбира неговото тело?

Решение

Претворете 1,2 кг во грамови

1,2 × 1000 = 1200 g

Ајде да најдеме 95% од 1200 гр

1200 × 0,95 = 1140 g

Одговори: 1140 g маснотии може да ги апсорбира телото на ученикот.

Изразување на бројки во проценти

Процентот, како што беше споменато претходно, може да се изрази како децимална дропка. За да го направите ова, само поделете го бројот на овие проценти со 100. На пример, замислете 12% како децимална дропка:

Коментар. Сега не го наоѓаме процентот на нешто, туку едноставно го пишуваме како децимална дропка.

Но, можен е и обратен процес. Децимална дропка може да се претстави како процент. За да го направите ова, треба да ја помножите оваа дропка со 100 и да ставите знак за процент (%)

Да ја претставиме децималната дропка 0,12 како процент

0,12 × 100 = 12%

Оваа акција се нарекува изразувајќи број во процентиили искажувајќи броеви во стотинки.

Множењето и делењето се инверзни операции. На пример, ако 2 × 5 = 10, тогаш 10: 5 = 2

На ист начин, поделбата може да се запише во обратен редослед. Ако 10: 5 = 2, тогаш 2 × 5 = 10:

Истото се случува кога искажуваме децимална во проценти. Значи, 12% беше изразено како децимална на следниов начин: 12: 100 = 0,12, но потоа истите 12% беа „вратени“ со множење, пишувајќи го изразот 0,12 × 100 = 12%.

Слично на тоа, можете да ги изразите сите други броеви, вклучително и цели броеви, како проценти. На пример, да го изразиме бројот 3 во проценти даден бројза 100 и додадете знак процент на резултатот:

3 × 100 = 300%

Големите проценти како 300% може да бидат збунувачки на почетокот бидејќи луѓето се навикнати да мислат на 100% како максимален процент. Од дополнителни информации за дропките, знаеме дека еден цел објект може да се означи со еден. На пример, ако има цела неисечена торта, тогаш може да се означи со 1

Истата торта може да се назначи како 100% торта. Во овој случај, и една и 100% ќе значат иста цела торта:

Да ја пресечеме тортата на половина. Во овој случај, еден ќе стане децимален број 0,5 (бидејќи е половина од единица), а 100% ќе стане 50% (бидејќи 50 е половина од сто)

Ќе ја вратиме целата торта, една единица и 100%

Ајде да прикажеме уште две такви колачи со исти ознаки:

Ако една торта е единица, тогаш три колачи се три единици. Секоја торта е 100% цела. Ако ги соберете овие триста ќе добиете 300%.

Затоа, кога ги претвораме цели броеви во проценти, ги множиме овие броеви со 100.

Проблем 2. Изрази го бројот 5 во проценти

5 × 100 = 500%

Проблем 3. Изрази го бројот 7 во проценти

7 × 100 = 700%

Проблем 4. Изрази го бројот 7,5 во проценти

7,5 × 100 = 750%

Проблем 5. Изрази го бројот 0,5 во проценти

0,5 × 100 = 50%

Проблем 6. Изрази го бројот 0,9 во проценти

0,9 × 100 = 90%

Пример 7. Изрази го бројот 1,5 во проценти

1,5 × 100 = 150%

Пример 8. Изразете го бројот 2,8 во проценти

2,8 × 100 = 280%

Проблем 9. Џорџ си оди дома од училиште. Во првите петнаесет минути пешачеше 0,75 од патот. Остатокот од времето ги пешачеше преостанатите 0,25 од патот. Изрази го процентот на растојанието што го поминал Џорџ.

Решение

0,75 × 100 = 75%

0,25 × 100 = 25%

Проблем 10. Џон беше почестен со половина јаболко. Изразете ја оваа половина во проценти.

Решение

Половина јаболко се пишува како дропка 0,5. За да ја изразите оваа дропка како процент, помножете ја со 100 и додадете знак процент на резултатот.

0,5 × 100 = 50%

Аналози во форма на фракции

Вредноста изразена во проценти има свој пандан во форма на обична дропка. Значи, аналогот за 50% е фракцијата. Педесет проценти може да се наречат и „половина“.

Еквивалентот за 25% е дропка. Дваесет и пет проценти може да се наречат и четвртина.

Еквивалентот за 20% е дропка. Дваесет проценти може да се наречат и како петти.

Аналогот за 40% е фракција.

Аналогот за 60% е фракција

Пример 1. Пет сантиметри се 50% од дециметар, или само половина. Во сите случаи зборуваме за иста вредност - пет сантиметри од десет

Пример 2. Два и пол сантиметри се 25% од дециметар или само четвртина

Пример 3. Два сантиметри се 20% од дециметар или

Пример 4. Четири сантиметри е 40% од дециметар или

Пример 5. Шест сантиметри е 60% од дециметар или

Намалување и зголемување на интересот

Кога се зголемува или намалува вредност изразена во проценти, се користи предлогот „до“.

Примери:

• Зголемувањето за 50% значи зголемување на вредноста за 1,5 пати;
• Зголемување за 100% значи зголемување на вредноста за 2 пати;
• Зголемувањето за 200% значи зголемување за 3 пати;
• Намалување за 50% значи намалување на вредноста за 2 пати;
• Намалување за 80% значи намалување за 5 пати.

Пример 1. Десет сантиметри се зголемија за 50%. Колку сантиметри добивте?

За да ги решите ваквите проблеми, треба да ја земете почетната вредност како 100%. Оригиналната вредност е 10 cm 50% од нив се 5 cm

Оригиналните 10 cm се зголемени за 50% (за 5 cm), што значи дека испаднале 10+5 cm, односно 15 cm

Еквивалент на зголемување на десет сантиметри за 50% е множител од 1,5. Ако помножите 10 см со тоа ќе добиете 15 см

10 × 1,5 = 15 см

Според тоа, изразите „зголеми за 50%“ и „зголеми за 1,5 пати“ значат исто.

Пример 2. Пет сантиметри се зголемија за 100%. Колку сантиметри добивте?

Да ги земеме оригиналните пет сантиметри како 100%. Сто проценти од овие пет сантиметри ќе бидат самите 5 сантиметри.Ако зголемите 5 сантиметри за истите 5 сантиметри, ќе добиете 10 сантиметри

Аналогот на зголемување од пет сантиметри за 100% е фактор 2. Ако помножите 5 cm со него, ќе добиете 10 cm

5 × 2 = 10 см

Затоа, изразите „зголеми за 100%“ и „зголеми за 2 пати“ значат исто.

Пример 3. Пет сантиметри се зголемија за 200%. Колку сантиметри добивте?

Да ги земеме оригиналните пет сантиметри како 100%. Двесте проценти се два пати сто проценти. Тоа е, 200% од 5 cm ќе биде 10 cm (5 cm на секои 100%). Ако зголемите 5 cm за овие 10 cm, добивате 15 cm

Еквивалент на зголемување на пет сантиметри за 200% е фактор 3. Ако помножите 5 cm со него, ќе добиете 15 cm

5 × 3 = 15 см

Според тоа, изразите „зголеми за 200%“ и „зголеми за 3 пати“ значат истото.

Пример 4. Десет сантиметри намалени за 50%. Колку сантиметри останаа?

Да ги земеме оригиналните 10 cm како 100%. Педесет проценти од 10 cm се 5 cm. Ако намалите 10 cm за овие 5 cm, ќе ви останат 5 cm

Аналог на намалување на десет сантиметри за 50% е делител 2. Ако поделите 10 cm со него, ќе добиете 5 cm

10: 2 = 5 см

Според тоа, изразите „намали за 50%“ и „намали за 2 пати“ го означуваат истото.

Пример 5. Десет сантиметри се намалени за 80%. Колку сантиметри останаа?

Да ги земеме оригиналните 10 cm како 100%. Осумдесет проценти од 10 cm се 8 cm. Ако намалите 10 cm за овие 8 cm, ќе ви останат 2 cm

Аналог на намалување на десет сантиметри за 80% е делител 5. Ако поделите 10 cm со него, ќе добиете 2 cm

10:5 = 2 см

Според тоа, изразите „намали за 80%“ и „намали за 5 пати“ го означуваат истото.

Кога решавате проблеми кои вклучуваат намалување и зголемување на процентите, можете да ја помножите/поделите вредноста со факторот наведен во проблемот.

Проблем 1. За колку проценти се променила вредноста ако се зголемила за 1,5 пати?

Вредноста наведена во проблемот може да се означи како 100%. Следно, помножете го ова 100% со фактор 1,5

100% × 1,5 = 150%

Сега од добиените 150% го одземаме оригиналниот 100% и го добиваме одговорот на проблемот:

150% − 100% = 50%

Проблем 2. За колку проценти се променила вредноста ако се намалила за 4 пати?

Овој пат вредноста ќе се намали, па ќе извршиме делење. Дозволете ни да ја означиме вредноста спомената во проблемот како 100%. Следно, поделете го ова 100% со делител од 4

Од првичните 100%, одземете ги добиените 25% и добијте одговор на проблемот:

100% − 25% = 75%

Тоа значи дека кога вредноста се намалува за 4 пати, се намалува за 75%.

Проблем 3. За колку проценти се променила вредноста ако се намалила за 5 пати?

Дозволете ни да ја означиме вредноста спомената во проблемот како 100%. Следно, поделете го ова 100% со делител од 5

Од првичните 100%, одземете ги добиените 20% и добијте одговор на проблемот:

100% − 20% = 80%

Тоа значи дека кога вредноста се намалува за 5 пати, се намалува за 80%.

Проблем 4. За колку проценти се променила вредноста ако се намалила за 10 пати?

Дозволете ни да ја означиме вредноста спомената во проблемот како 100%. Следно, поделете го ова 100% со делител од 10

Од првичните 100%, одземете ги добиените 10% и добијте одговор на проблемот:

100% − 10% = 90%

Тоа значи дека кога вредноста се намалува за 10 пати, се намалува за 90%.

Проблем со наоѓање процент

За да изразите нешто како процент, прво треба да запишете дропка која покажува кој дел е првиот број од вториот, потоа поделете ја во оваа дропка и добиениот резултат изразете го како процент.

На пример, нека има пет јаболка. Во овој случај, две јаболка се црвени, три се зелени. Да ги изразиме црвените и зелените јаболка како процент.

Прво треба да откриете кој дел се црвените јаболка. Има вкупно пет јаболка, а две црвени. Ова значи дека две од пет или две петтини се црвени јаболка:

Има три зелени јаболка. Ова значи дека три од пет или три петтини се зелени јаболка:

Имаме две дропки и . Да ја направиме поделбата во овие дропки

Добивме децимални дропки 0,4 и 0,6. Сега да ги изразиме овие децимални дропки како процент:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Тоа значи дека 40% се црвени јаболка, 60% се зелени.

И сите пет јаболка сочинуваат 40%+60%, односно 100%

Проблем 2. Мајка ми им даде на моите два сина 200 рубли. Мајка ми му даде на мојот помал брат 80 рубли, а на мојот постар брат 120 рубли. Изразете ги во проценти парите дадени на секој брат.

Решение

Помладиот брат доби 80 рубли од 200 рубли. Дропката осумдесет и две стотинки ја пишуваме:

Постариот брат доби 120 рубли од 200 рубли. Дропката сто и дваесет и две стотинки ја пишуваме:

Имаме дропки и . Да ја направиме поделбата во овие дропки

Дозволете ни да ги изразиме добиените резултати во проценти:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Тоа значи дека помалиот брат добил 40 отсто од парите, а постариот 60 отсто.

Некои дропки кои покажуваат кој дел е првиот број од вториот може да се намалат.

Така може да се намалат дропките. Ова не би го променило одговорот на проблемот:

Проблем 3. Семејниот буџет е 75 илјади рубли месечно. Од нив, 52,5 илјади рубли. - пари заработени од тато. 22,5 илјади рубли. - пари заработени од мама. Изразете ги во проценти парите што ги заработиле мама и тато.

Решение

Оваа задача, како и претходната, е задача да се најде процент.

Да ги искажеме парите што ги заработил таткото како процент. Заработил 52,5 илјади рубли од 75 илјади рубли

Да ја направиме поделбата во оваа дропка:

0,7 × 100 = 70%

Тоа значи дека тато заработил 70% од парите. Понатаму, не е тешко да се погоди дека преостанатите 30% од парите ги заработила мајка ми. На крајот на краиштата, 75 илјади рубли се 100% пари. Ајде да провериме за да бидеме сигурни. Мама заработи 22,5 илјади рубли. од 75 илјади рубли. Ја запишуваме дропот, ја вршиме делбата и резултатот го изразуваме во проценти:

Проблем 4. Ученик тренира да прави влечење на шипка. Минатиот месец можеше да направи 8 влечења по сет. Овој месец може да направи 10 влечења по сет. За колку проценти го зголеми бројот на повлекувања?

Решение

Ајде да дознаеме колку повеќе повлекувања прави еден ученик во тековниот месец отколку во минатото

Ајде да дознаеме кој дел го сочинуваат два повлекувања од осум повлекувања. За да го направите ова, пронајдете го соодносот 2 до 8

Да ја направиме поделбата во оваа дропка

Да го изразиме резултатот во проценти:

0,25 × 100 = 25%

Тоа значи дека ученикот го зголемил бројот на повлекувања за 25%.

Овој проблем може да се реши за секунда, повеќе брз метод— дознајте колку пати 10 повлекувања се поголеми од 8 повлекувања и искажете го резултатот во проценти.

За да дознаете колку пати десет повлекувања се поголеми од осум повлекувања, треба да го најдете односот од 10 до 8

Ајде да ја поделиме добиената дропка

Да го изразиме резултатот во проценти:

1,25 × 100 = 125%

Стапката на повлекување за тековниот месец е 125%. Оваа изјава мора да се разбере токму така "е 125%", не како „Индикаторот се зголеми за 125%“. Ова се две различни изјави кои изразуваат различни количини.

Изјавата „е 125%“ треба да се разбере како „осум повлекувања што сочинуваат 100% плус две повлекувања што сочинуваат 25% од осумте повлекувања“. Графички изгледа вака:

И изјавата „зголемена за 125%“ треба да се сфати како „на сегашните осум повлекувања, кои беа 100%, додадени се уште 100% (уште 8 повлекувања) плус уште 25% (2 повлекувања). ” Тоа се вкупно 18 повлекувања.

100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 повлекувања

Графички оваа изјава изгледа вака:

Вкупно излегува дека е 225%. Ако најдеме 225% од осум повлекувања, добиваме 18 повлекувања

8 × 2,25 = 18

Проблем 5. Минатиот месец платата беше 19,2 илјади рубли. Овој месец изнесуваше 20,16 илјади рубли. За колку проценти се зголемила платата?

Овој проблем, како и претходниот, може да се реши на два начина. Првиот е прво да дознаете колку рубли се зголемила платата. Следно, дознајте кој дел од ова зголемување е од минатомесечната плата

Ајде да дознаеме колку рубли се зголемила платата:

20,16 - 19,2 = 0,96 илјади рубли.

Ајде да дознаеме кој дел од 0,96 илјади рубли. се движи од 19,2. За да го направите ова, го наоѓаме односот 0,96 до 19,2

Да ја направиме поделбата во добиената дропка. На патот, да се потсетиме:

Да го изразиме резултатот во проценти:

0,05 × 100 = 5%

Тоа значи дека платата е зголемена за 5%.

Ајде да го решиме проблемот на вториот начин. Ајде да дознаеме колку пати 20,16 илјади рубли. повеќе од 19,2 илјади рубли. За да го направите ова, го наоѓаме односот 20,16 до 19,2

Ајде да ја поделиме добиената дропка:

Да го изразиме резултатот во проценти:

1,05 × 100 = 105%

Платата е 105%. Односно, ова вклучува 100%, што изнесуваше 19,2 илјади рубли, плус 5%, што изнесуваше 0,96 илјади рубли.

100% + 5% = 19,2 + 0,96

Проблем 6. Цената на лаптопот е зголемена за 5% овој месец. Која е неговата цена ако минатиот месец чинеше 18,3 илјади рубли?

Решение

Ајде да најдеме 5% од 18,3:

18,3 × 0,05 = 0,915

Да го додадеме овој 5% на 18,3:

18,3 + 0,915 = 19,215 илјади рубли.

Одговори: цената на лаптопот е 19.215 илјади рубли.

Проблем 7. Цената на лаптопот овој месец е намалена за 10%. Која е неговата цена ако минатиот месец чинеше 16,3 илјади рубли?

Решение

Ајде да најдеме 10% од 16,3:

16,3 × 0,10 = 1,63

Одземете го овој 10% од 16,3:

16,3 - 1,63 = 14,67 (илјада рубли)

Таквите задачи може да се напишат накратко:

16,3 - (16,3 × 0,10) = 14,67 (илјада рубли)

Одговори: Цената на лаптопот е 14,67 илјади рубли.

Проблем 8. Минатиот месец цената на лаптопот беше 21 илјади рубли. Овој месец цената се зголеми на 22,05 илјади рубли. За колку проценти се зголеми цената?

Решение

Ајде да одредиме колку рубли се зголеми цената

22,05 - 21 = 1,05 (илјада рубли)

Ајде да дознаеме кој дел од 1,05 илјади рубли. е од 21 илјади рубли.

Да го изразиме резултатот во проценти

0,05 × 100 = 5%

Одговори: цената на лаптопот се зголеми за 5%

Проблем 8. Работникот според планот требало да произведе 600 делови, но 900 делови. Колку проценти го исполнил планот?

Решение

Ајде да откриеме колку пати повеќе се 900 делови од 600 делови. За да го направите ова, пронајдете го соодносот 900 до 600

Вредноста на оваа дропка е 1,5. Да ја изразиме оваа вредност како процент:

1,5 × 100 = 150%

Тоа значи дека работникот го исполнил планот за 150%. Односно, тој го заврши 100%, произведувајќи 600 делови. Потоа направи уште 300 делови, што е 50% од првичниот план.

Одговори: работникот го завршил планот за 150%.

Споредба на процентуални вредности

Веќе многу пати ги споредувавме количините на различни начини. Нашата прва алатка беше разликата. Така, на пример, за да споредиме 5 рубли и 3 рубли, ја запишавме разликата 5−3. Откако го добивме одговорот 2, може да се каже дека „пет рубли се два рубли повеќе од три рубли“.

Одговорот добиен како резултат на одземање е Секојдневниот животсе нарекува не „разлика“, туку „разлика“.

Значи, разликата помеѓу пет и три рубли е две рубли.

Следната алатка што ја користевме за споредување на вредностите беше соодносот. Соодносот ни овозможи да откриеме колку пати е првиот број повеќе од вториот(или колку пати првиот број го содржи вториот).

Така, на пример, десет јаболка се пет пати повеќе од две јаболка. Или кажано поинаку, десет јаболка содржат две јаболка пет пати. Оваа споредба може да се напише со помош на релацијата

Но, вредностите може да се споредат и како проценти. На пример, споредете ја цената на две стоки не во рубли, туку проценете колку цената на еден производ е повеќе или помала од цената на другиот како процент.

За да се споредат процентуалните вредности, едната од нив мора да биде означена како 100%, а втората врз основа на условите на проблемот.

На пример, ајде да откриеме колкав процент се десет јаболка повеќе од осум јаболка.

100% е вредноста со која споредуваме нешто. Споредуваме 10 јаболка со 8 јаболка. Значи, за 100% означуваме 8 јаболка:

Сега наша задача е да споредиме колкав процент се 10 јаболка поголеми од овие 8 јаболка. 10 јаболка е 8+2 јаболка. Тоа значи дека со додавање на уште две јаболка на осум јаболка, ќе се зголеми 100% за уште еден број на проценти. За да дознаеме кое, ајде да одредиме колкав процент од осум јаболка се две јаболка

Додавањето на овие 25% на осум јаболка ни дава 10 јаболка. И 10 јаболка се 8+2, односно 100% и уште 25%. Вкупно добиваме 125%

Тоа значи дека десет јаболка се за 25% поголеми од осум јаболка.

Сега да го решиме инверзниот проблем. Ајде да откриеме колку проценти осум јаболка се помалку од десет јаболка. Одговорот веднаш се сугерира: осум јаболка се 25% помали. Сепак, тоа не е.

Споредуваме осум јаболка со десет јаболка. Се договоривме дека ќе го земеме за 100% она со кое споредуваме. Затоа, овој пат земаме 10 јаболка за 100%:

Осум јаболка се 10−2, односно со намалување на 10 јаболка за 2 јаболка ќе ги намалиме за одреден процент. За да дознаеме кое, ајде да одредиме колкав процент од десет јаболка се две јаболка

Ако ги одземеме овие 20% од десет јаболка, добиваме 8 јаболка. А 8 јаболка се 10−2, односно 100% и минус 20%. Вкупно добиваме 80%

Тоа значи дека осум јаболка се 20% помалку од десет јаболка.

Проблем 2. За колку проценти 5.000 рубли се повеќе од 4.000 рубли?

Решение

Да земеме 4000 рубли за 100%. 5 илјади е повеќе од 4 илјади на 1 илјада. Тоа значи дека со зголемување на четири илјади за илјада ќе зголемиме четири илјади за одреден процент. Ајде да дознаеме кој. За да го направите ова, одредуваме кој дел илјада е од четири илјади:

Да го изразиме резултатот во проценти:

0,25 × 100 = 25%

1000 рубли од 4000 рубли е 25%. Ако ги додадете овие 25% на 4000, добивате 5000 рубли. Ова значи дека 5.000 рубли е 25% повеќе од 4.000 рубли

Проблем 3. Колкав процент е 4000 рубли помалку од 5000 рубли?

Овој пат споредуваме 4000 со 5000. Да земеме 5000 како 100%. Пет илјади е повеќе од четири илјади на илјада рубли. Откријте кој дел е илјада од пет илјади

Илјада од пет илјади е 20%. Ако ги одземеме овие 20% од 5.000 рубли, добиваме 4.000 рубли.

Ова значи дека 4000 рубли е помалку од 5000 рубли за 20%

Проблеми со концентрација, легури и мешавини

Да речеме дека сакате да направите малку сок. Имаме на располагање сируп од вода и малина.

Истурете 200 ml вода во чаша:

Додадете 50 ml сируп од малини и измешајте ја добиената течност. Како резултат на тоа, ќе добиеме 250 ml сок од малина (200 ml вода + 50 ml сируп = 250 ml сок)

Кој дел од добиениот сок е сируп од малини?

Сирупот од малина го сочинува сокот. Да го пресметаме овој сооднос и да го добиеме бројот 0,20. Оваа бројка ја покажува количината на растворен сируп во добиениот сок. Ајде да се јавиме на овој број концентрација на сируп.

Концентрацијата на растворената супстанца е односот на количината на растворената супстанција или нејзината маса до волуменот на растворот.

Концентрацијата обично се изразува како процент. Да ја изразиме концентрацијата на сирупот како процент:

0,20 × 100 = 20%

Така, концентрацијата на сирупот во сокот од малина е 20%.

Супстанциите во растворот може да бидат хетерогени. На пример, измешајте 3 литри вода и 200 гр сол.

Масата на 1 литар вода е 1 кг. Тогаш масата од 3 литри вода ќе биде 3 кг. Да ги претвориме 3 кг во грамови, добиваме 3 кг = 3000 г.

Сега додадете 200 g сол на 3000 g вода и измешајте ја добиената течност. Резултатот ќе биде солен раствор, чија вкупна маса ќе биде 3000 + 200, односно 3200 g. Дозволете ни да ја најдеме концентрацијата на сол во добиениот раствор. За да го направите ова, пронајдете го односот на масата на растворената сол до масата на растворот

Тоа значи дека при мешање на 3 литри вода и 200 гр сол, ќе се добие 6,25% раствор на сол.

Слично на тоа, може да се одреди количината на супстанција во легура или смеса. На пример, легура содржи калај со тежина од 210 g и сребро со тежина од 90 g. Тогаш масата на легурата ќе биде 210 + 90, односно 300 g. Легурата ќе содржи калај и сребро. Процентот на калај ќе биде 70% и сребро 30%

Кога се мешаат два раствора, се добива нов раствор кој се состои од првиот и вториот раствор. Новото решение може да има различна концентрација на супстанцијата. Корисна вештина е способноста да се решаваат проблеми кои вклучуваат концентрација, легури и мешавини. Генерално, поентата на таквите задачи е да се следат промените што се случуваат кога се мешаат раствори со различни концентрации.

Измешајте два сока од малини. Првиот сок од 250 ml содржи 12,8% сируп од малина. А вториот сок, 300 ml, содржи 15% сируп од малина. Овие два сока истурете ги во голема чаша и измешајте. Како резултат на тоа, добиваме нов сок со волумен од 550 ml.

Сега да ја одредиме концентрацијата на сирупот во добиениот сок. Првите 250 ml исцеден сок содржеа 12,8% сируп. И 12,8% од 250 ml е 32 ml. Тоа значи дека првиот сок содржел 32 мл сируп.

Вториот исцеден сок од 300 ml содржеше 15% сируп. И 15% од 300 ml е 45 ml. Тоа значи дека вториот сок содржел 45 мл сируп.

Да ги собереме количините на сирупите:

32 ml + 45 ml = 77 ml

Овие 77 ml сируп се содржани во новиот сок, кој има волумен од 550 ml. Ајде да ја одредиме концентрацијата на сирупот во овој сок. За да го направите ова, пронајдете го соодносот од 77 ml растворен сируп до волуменот на сок од 550 ml:

Тоа значи дека при мешање на сок од 12,8% малина со волумен од 250 ml и 15% сок од малина со волумен од 300 ml, резултатот е 14% сок од малина со волумен од 550 ml.

Проблем 1. Во вода има 3 раствори на морска сол: првиот раствор содржи 10% сол, вториот содржи 15% сол и третиот содржи 20% сол. Измешајте 130 ml од првиот раствор, 200 ml од вториот раствор и 170 ml од третиот раствор. Определете колкав процент на морска сол има во добиениот раствор.

Решение

Ајде да го одредиме волуменот на добиениот раствор:

130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml

Бидејќи првиот раствор содржел 130 × 0,10 = 13 ml морска сол, вториот раствор содржел 200 × 0,15 = 30 ml морска сол, а третиот содржел 170 × 0,20 = 34 ml морска сол, тогаш добиениот раствор ќе содржи 13 + 30 + 34 = 77 ml морска сол.

Дозволете ни да ја одредиме концентрацијата на морската сол во добиениот раствор. За да го направите ова, пронајдете го соодносот од 77 ml морска сол со волумен на раствор од 500 ml

Тоа значи дека добиениот раствор содржи 15,4% морска сол.

Проблем 2. Колку грама вода треба да се додадат на 50 g раствор кој содржи 8% сол за да се добие 5% раствор?

Решение

Забележете дека ако се додаде вода во постоечкиот раствор, количината на сол во него нема да се промени. Само неговиот процент ќе се промени, бидејќи додавањето вода во растворот ќе доведе до промена на неговата маса.

Треба да додадеме толкаво количество вода што осум проценти сол стануваат пет проценти.

Ајде да одредиме колку грама сол се содржани во 50 g раствор. За да го направите ова, најдете 8% од 50

50 g × 0,08 = 4 g

8% од 50 грама се 4 грама.Со други зборови, осум делови од сто се еднакви на 4 грама сол. Да се ​​погрижиме овие 4 грама да не доаѓаат од осум, туку од пет дела, односно 5%

4 грама - 5%

Сега знаејќи дека има 4 грама на 5% раствор, можеме да ја најдеме масата на целиот раствор. За да го направите ова ви треба:

4 g: 5 = 0,8 g
0,8 g × 100 = 80 g

80 грама раствор е масата во која ќе има 4 грама сол на 5% раствор. А за да ги добиете овие 80 грама, треба да додадете 30 грама вода на оригиналните 50 грама.

Тоа значи дека за да се добие 5% раствор на сол, треба да додадете 30 g вода во постоечкиот раствор.

Проблем 2. Грозјето содржи 91% влага, а сувото грозје - 7%. Колку килограми грозје се потребни за да се добијат 21 килограм суво грозје?

Решение

Грозјето се состои од влага и чиста материја. Ако свежото грозје содржи 91% влага, тогаш преостанатите 9% ќе бидат чистата супстанција на ова грозје:

Сувото грозје содржи 93% чиста супстанција и 7% влага:

Забележете дека во процесот на претворање на грозјето во суво грозје, исчезнува само влагата од ова грозје. Чистата супстанција останува непроменета. Откако грозјето ќе се претвори во суво грозје, добиеното суво грозје ќе има 7% влага и 93% чиста материја.

Ајде да одредиме колку чиста супстанција содржи 21 кг суво грозје. За да го направите ова, ќе најдеме 93% од 21 кг

21 kg × 0,93 = 19,53 kg

Сега да се вратиме на првиот цртеж. Наша задача беше да утврдиме колку грозје е потребно за да се добијат 21 кг суво грозје. Чиста супстанција со тежина од 19,53 кг ќе учествува со 9% од грозјето:

Сега знаејќи дека 9% чиста супстанција е 19,53 кг, можеме да одредиме колку грозје е потребно за да се добијат 21 кг суво грозје. За да го направите ова, треба да го пронајдете бројот според неговиот процент:

19,53 кг: 9 = 2,17 кг
2,17 kg × 100 = 217 kg

Тоа значи дека за да добиете 21 кг суво грозје треба да земете 217 кг грозје.

Проблем 3. Во легура на калај и бакар, бакарот сочинува 85%. Колку легура треба да се земе за да содржи 4,5 кг калај?

Решение

Ако бакарот сочинува 85% од легурата, тогаш останатите 15% ќе бидат калај:

Прашањето е колку легура треба да се земе за да содржи 4,5 калај. Бидејќи легурата содржи 15% калај, 4,5 кг калај ќе одговараат на овие 15%.

А знаејќи дека 4,5 kg легура сочинува 15%, можеме да ја одредиме масата на целата легура. За да го направите ова, треба да го пронајдете бројот според неговиот процент:

4,5 кг: 15 = 0,3 кг
0,3 kg × 100 = 30 kg

Тоа значи дека треба да земете 30 кг легура за да содржи 4,5 кг калај.

Проблем 4. Измешана количина од 12% раствор на хлороводородна киселинасо иста количина од 20% раствор од истата киселина. Најдете ја концентрацијата на добиената хлороводородна киселина.

Решение

Ајде да го прикажеме првото решение на сликата како права линија и да истакнеме 12% на него.

Бидејќи бројот на раствори е ист, истата слика може да се нацрта еден до друг, илустрирајќи го вториот раствор со содржина на хлороводородна киселина од 20%

Имаме двесте делови од растворот (100% + 100%), од кои триесет и два дела се хлороводородна киселина (12% + 20%)

Ајде да одредиме кој дел 32 го сочинуваат 200 делови

Ова значи дека при мешање на 12% раствор на хлороводородна киселина со иста количина на 20% раствор од истата киселина, резултатот е 16% раствор на хлороводородна киселина.

За да проверите, замислете дека масата на првиот раствор е 2 кг. Масата на вториот раствор исто така ќе биде 2 кг. Потоа, при мешање на овие раствори, ќе добиете 4 кг раствор. Во првиот раствор на хлороводородна киселина имаше 2 × 0,12 = 0,24 kg, а во вториот - 2 × 0,20 = 0,40 kg. Тогаш во новиот раствор на хлороводородна киселина ќе има 0,24 + 0,40 = 0,64 kg. Концентрацијата на хлороводородна киселина ќе биде 16%

Проблеми кои треба да се решаваат самостојно

на , ќе најдеме 60% од бројот

Сега да го зголемиме бројот за пронајдените 60%, т.е. по број

Одговор:новата вредност е

Задача 12. Одговорете на следниве прашања:

1) Потроши 80% од сумата. Колку проценти од оваа сума останува?
2) Мажите сочинуваат 75% од сите работници во фабриките. Колкав процент од вработените во фабриката се жени?
3) Девојките сочинуваат 40% од класот. Колкав процент од класот се момчиња?

А Решение

Ајде да користиме променлива. Нека Пова е оригиналниот број наведен во проблемот. Да го земеме овој првичен број Пза 100%

Ајде да го намалиме овој оригинален број Пза 50%

Сега новиот број е 50% од оригиналниот број. Откријте колку пати е оригиналниот број Пповеќе од новиот број. За да го направите ова, пронајдете го соодносот од 100% до 50%

Оригиналниот број е двојно поголем од новиот. Тоа може да се види дури и од цртежот. И за да се направи новиот број еднаков на оригиналниот, треба да се удвои. А удвојување на број значи зголемување за 100%.

Тоа значи дека новиот број, кој е половина од првичниот број, треба да се зголеми за 100%.

При разгледување на новиот број, тој исто така се зема како 100%. Значи, на горната слика, новиот број е половина од оригиналниот број и е означен како 50%. Во однос на оригиналниот број, новиот број е половина. Но, ако го земеме одделно од оригиналниот, мора да се земе како 100%.

Затоа, на сликата, новиот број, кој е претставен со линија, прво беше означен како 50%. Но, тогаш оваа бројка ја назначивме како 100%.

Одговор:За да се добие оригиналниот број, новиот број мора да се зголеми за 100%.

Задача 16. Минатиот месец во градот се случиле 15 сообраќајки.
Овој месец оваа бројка падна на 6. За колку проценти е намален бројот на сообраќајни несреќи?

Решение

Минатиот месец се случиле 15 сообраќајки. Овој месец има 6. Тоа значи дека бројот на сообраќајни незгоди е намален за 9.
Да земеме 15 несреќи како 100%. Со намалување на 15 сообраќајни несреќи за 9 ќе ги намалиме за одреден процент. За да дознаеме која, ќе дознаеме кој дел од 9 сообраќајки е од 15 сообраќајки

Одговор:концентрацијата на добиениот раствор е 12%.

Задача 18. Измешавме одредена количина од 11% раствор на одредена супстанција со иста количина од 19% раствор од иста супстанција. Најдете ја концентрацијата на добиениот раствор.

Решение

Масата на двата раствора е иста. Секое решение може да се земе како 100%. По додавањето на растворите се добива 200% раствор. Првиот раствор содржел 11% од супстанцијата, а вториот раствор содржел 19% од супстанцијата. Тогаш добиениот 200% раствор ќе содржи 11% + 19% = 30% од супстанцијата.

Дозволете ни да ја одредиме концентрацијата на добиениот раствор. За да го направите ова, дознаваме кој дел од триесет делови од супстанцијата го сочинуваат двесте делови од супстанцијата:

1,10. Тоа значи дека цената за првиот месец ќе биде 1,10.

Во вториот месец цената исто така се зголеми за 10%. Додадете десет проценти од оваа цена на сегашната цена од 1,10, добиваме 1,10 + 0,10 × 1,10. Оваа сума е еднаква на изразот 1.21 . Тоа значи дека цената за вториот месец ќе стане 1,21.

И во третиот месец цената се зголеми за 10%. Додадете десет проценти од оваа цена на сегашната цена од 1,21, добиваме 1,21 + 0,10 × 1,21. Оваа сума е еднаква на изразот 1.331 . Тогаш цената за третиот месец ќе стане 1.331.

Да ја пресметаме разликата помеѓу новите и старите цени. Ако почетната цена беше еднаква на 1, тогаш таа се зголеми за 1,331 − 1 = 0,331. Да го изразиме овој резултат како процент, добиваме 0,331 × 100 = 33,1%

Одговор:за 3 месеци цените на храната се зголемија за 33,1%.

Дали ви се допадна лекцијата?
Придружете се на нашата нова група VKontakte и започнете да добивате известувања за нови лекции