Геометријата како посебен предмет започнува за учениците од VII одделение. До тоа време тие се допираат геометриски проблемиприлично лесна форма и во основа она што може да се види со визуелни примери: површина на просторија, парцела, должина и висина на ѕидовите во просториите, рамни предмети итн. На почетокот на проучувањето на самата геометрија, се појавуваат првите тешкотии, како што е, на пример, концептот на права линија, бидејќи не е можно да се допре оваа права линија со рацете. Што се однесува до триаголниците, ова е наједноставниот тип на многуаголник, кој содржи само три агли и три страни.

Во контакт со

Соучениците

Темата на триаголниците е една од главните важнои големи теми училишна наставна програмапо геометрија 7-9 одд. Откако добро го совладавте, можно е да се одлучи многу сложени задачи. Во овој случај, првично можете да размислите за сосема поинаква геометриска фигура, а потоа да ја поделите за погодност на соодветни триаголни делови.

Да се ​​работи на доказот за еднаквост ∆ ABCИ ∆A1B1C1Треба темелно да ги разберете знаците на еднаквост на фигурите и да можете да ги користите. Пред да ги проучувате знаците, треба да научите утврди еднаквостстрани и агли на наједноставните многуаголници.

За да се докаже дека аглите на триаголниците се еднакви, ќе ви помогнат следниве опции:

  1. ∠ α = ∠ β врз основа на конструкцијата на фигурите.
  2. Дадени во условите на задачата.
  3. Со две паралелни прави и присуство на секанта може да се формираат и внатрешни вкрстени и соодветни ∠ α = ∠ β.
  4. Додавање (одземање) на (од) ∠ α = ∠ β еднакви агли.
  5. Вертикалните ∠ α и ∠ β се секогаш слични
  6. Општо ∠ α, истовремено припаѓаат на ∆MNKИ ∆MNH .
  7. Симетралата го дели ∠ α на два еднакви дела.
  8. Во непосредна близина на ∠ 90°- агол еднаков на оригиналниот.
  9. Соседните еднакви агли се еднакви.
  10. Висината формира две соседни ∠ 90° .
  11. Во рамнокрак ∆MNKво основата ∠ α = ∠ β.
  12. Еднакви ∆MNKИ ∆SDHсоодветните ∠ α = ∠ β.
  13. Претходно докажана еднаквост ∆MNKИ ∆SDH .

Ова е интересно: Како да се најде периметарот на триаголник.

3 знаци дека триаголниците се еднакви

Доказ за еднаквост ∆ ABCИ ∆A1B1C1многу погодно за производство, врз основа на основните знациидентитетот на овие наједноставни многуаголници. Постојат три такви знаци. Тие се многу важни за решавање на многу геометриски проблеми. Секој од нив вреди да се разгледа.

Карактеристиките наведени погоре се теореми и се докажани со методот на наметнување на една фигура на друга, поврзувајќи темиња соодветните аглии почетокот на зраците. Доказите за еднаквоста на триаголниците во 7 одделение се опишани во многу пристапна форма, но учениците тешко ги учат во пракса, бидејќи содржат голем број наелементи означени со големи латински букви. Ова не им е сосема познато на многу студенти кога ќе почнат да го изучуваат предметот. Тинејџерите се збунуваат околу имињата на страните, зраците и аглите.

Малку подоцна се појавува уште еден важна тема„Сличност на триаголниците“. Самата дефиниција за „сличност“ во геометријата значи сличност на обликотсо различни големини. На пример, можете да земете два квадрати, првиот со страна од 4 cm, а вториот 10 cm. Овие типови на четириаголници ќе бидат слични и, во исто време, ќе имаат разлика, бидејќи вториот ќе биде поголем, со секоја страна се зголеми за ист број пати.

При разгледување на темата за сличност, дадени се и 3 знаци:

  • Првиот е за двата соодветно еднакви агли на двете триаголни фигури за кои станува збор.
  • Вториот е за аголот и страните што го формираат ∆MNK, кои се еднакви на соодветните елементи ∆SDH .
  • Третиот ја означува пропорционалноста на сите соодветни страни на двете посакувани фигури.

Како можеш да докажеш дека триаголниците се слични? Доволно е да се користи еден од горенаведените знаци и правилно да се опише целиот процес на докажување на задачата. Тема на сличност ∆MNKИ ∆SDHе полесно да се согледа од страна на учениците врз основа на фактот дека до моментот на изучување, учениците веќе слободно ги користат ознаките на елементите во геометриските конструкции, не се мешаат во огромен број имиња и знаат да читаат цртежи.

Завршувајќи го пасусот на опширната тема за триаголник геометриски форми, учениците веќе треба совршено да знаат како да докажат еднаквост ∆MNK = ∆SDHна две страни, поставете ги двата триаголници да бидат еднакви или не. Имајќи предвид дека многуаголникот со точно три агли е една од најважните геометриски фигури, треба сериозно да го сфатите материјалот, обрнувајќи посебно внимание дури и на најмалите факти од теоријата.

За два триаголници се вели дека се складни ако можат да се спојат со преклопување. Слика 1 покажува еднакви триаголници ABCи A 1 B 1 C 1 . Секој од овие триаголници може да биде надреден на другиот така што тие се целосно компатибилни, односно нивните темиња и страни се компатибилни во парови. Јасно е дека аглите на овие триаголници исто така ќе се совпаѓаат во парови.

Така, ако два триаголници се складни, тогаш елементите (т.е. страните и аглите) на еден триаголник се соодветно еднакви со елементите на другиот триаголник. Забележи го тоа во еднакви триаголници наспроти соодветно еднакви страни(т.е. се преклопуваат кога се надредени) лежат еднакви аглии назад: Еднакви страни лежат спроти, соодветно еднакви агли.

Така, на пример, во еднакви триаголници ABC и A 1 B 1 C 1, прикажани на слика 1, спроти еднакви страни AB и A 1 B 1, соодветно, лежат еднакви агли C и C 1. Еднаквоста на триаголниците ABC и A 1 B 1 C 1 ќе ја означиме на следниов начин: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Излегува дека еднаквоста на два триаголници може да се утврди со споредување на некои од нивните елементи.

Теорема 1. Првиот знак за еднаквост на триаголниците.Ако две страни и аголот меѓу нив на еден триаголник се соодветно еднакви на две страни и аголот меѓу нив на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни (сл. 2).

Доказ. Размислете за триаголниците ABC и A 1 B 1 C 1, во кои AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (види слика 2). Да докажеме дека Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Бидејќи ∠ A = ∠ A 1, тогаш триаголникот ABC може да биде надреден на триаголникот A 1 B 1 C 1 така што темето A е порамнето со темето A 1, а страните AB и AC се соодветно надредени на зраците A 1 B 1 и A 1 C 1 . Бидејќи AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, тогаш страната AB ќе се израмни со страната A 1 B 1 и страната AC ќе се израмни со страната A 1 C 1; особено, точките B и B 1, C и C 1 ќе се совпаѓаат. Следствено, страните BC и B 1 C 1 ќе се израмнат. Значи, триаголниците ABC и A 1 B 1 C 1 се целосно компатибилни, што значи дека се еднакви.

Теоремата 2 се докажува на сличен начин со помош на методот на суперпозиција.

Теорема 2. Вториот знак за еднаквост на триаголниците.Ако една страна и два соседни агли на еден триаголник се соодветно еднакви на страната и два соседни агли на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни (сл. 34).

Коментар. Врз основа на теорема 2, се воспоставува теорема 3.

Теорема 3. Збирот на кои било два внатрешни агли на триаголник е помал од 180°.

Теорема 4 следи од последната теорема.

Теорема 4. Надворешниот агол на триаголникот е поголем од кој било внатрешен агол што не е блиску до него.

Теорема 5. Третиот знак за еднаквост на триаголниците.Ако три страни на еден триаголник се соодветно еднакви на три страни на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни ().

Пример 1.Во триаголниците ABC и DEF (сл. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Споредете ги триаголниците ABC и DEF. Кој агол во триаголникот DEF е еднаков на аголот Б?

Решение. Овие триаголници се еднакви според првиот знак. Аголот F на триаголникот DEF е еднаков на аголот B на триаголникот ABC, бидејќи овие агли лежат спроти, соодветно еднаквите страни DE и AC.

Пример 2.Сегментите AB и CD (сл. 5) се сечат во точката O, која е средината на секој од нив. Колкава е должината на отсечката BD ако отсечката AC е 6 m?

Решение. Триаголниците AOC и BOD се еднакви (според првиот критериум): ∠ AOC = ∠ BOD (вертикално), AO = OB, CO = OD (по услов).
Од еднаквоста на овие триаголници произлегува дека нивните страни се еднакви, односно AC = BD. Но бидејќи според условот AC = 6 m, тогаш BD = 6 m.

Од античко време до денес, потрагата по знаци на еднаквост на фигурите се смета за основна задача, која е основа на основите на геометријата; стотици теореми се докажани со помош на тестови за еднаквост. Способноста да се докаже еднаквоста и сличноста на фигурите е важна задача во сите области на градежништвото.

Во контакт со

Спроведување на вештината во пракса

Да претпоставиме дека имаме фигура нацртана на парче хартија. Во исто време, имаме линијар и транспортер со кои можеме да ги измериме должините на отсечките и аглите меѓу нив. Како да префрлите фигура со иста големина на втор лист хартија или да ја удвоите нејзината скала.

Знаеме дека триаголникот е фигура составена од три отсечки наречени страни кои ги формираат аглите. Така, постојат шест параметри - три страни и три агли - кои ја дефинираат оваа бројка.

Сепак, со мерење на големината на сите три страни и агли, пренесувањето на оваа бројка на друга површина ќе биде тешка задача. Покрај тоа, има смисла да се постави прашањето: не би било доволно да се знаат параметрите на две страни и еден агол, или само три страни?

Откако ја измеривме должината на двете страни и меѓу нив, потоа ќе го ставиме овој агол на нов лист хартија, за да можеме целосно да го рекреираме триаголникот. Ајде да дознаеме како да го направиме тоа, да научиме како да ги докажеме знаците со кои тие можат да се сметаат за исти и да одлучиме кој минимален број параметри е доволен за да се знае за да бидеме сигурни дека триаголниците се исти.

Важно!Фигурите се нарекуваат идентични ако отсечките што ги формираат нивните страни и агли се еднакви една со друга. Слични фигури се оние чии страни и агли се пропорционални. Така, еднаквоста е сличност со коефициент на пропорционалност од 1.

Кои се знаците за еднаквост на триаголниците? Да ја дадеме нивната дефиниција:

  • првиот знак на еднаквост: два триаголници може да се сметаат за идентични ако две од нивните страни се еднакви, како и аголот меѓу нив.
  • вториот знак за еднаквост на триаголниците: два триаголници ќе бидат исти ако два агли се исти, како и соодветната страна меѓу нив.
  • трет знак за еднаквост на триаголниците : Триаголниците може да се сметаат за идентични кога сите нивни страни се со еднаква должина.

Како да се докаже дека триаголниците се складни. Да дадеме доказ за еднаквоста на триаголниците.

Доказ за 1 знак

Долго време, меѓу првите математичари, овој знак се сметаше за аксиома, но, како што се испостави, може да се докаже геометриски врз основа на повеќе основни аксиоми.

Размислете за два триаголници - KMN и K 1 M 1 N 1 . Страната KM има иста должина како K 1 M 1 и KN = K 1 N 1. А аголот MKN е еднаков на аглите KMN и M 1 K 1 N 1.

Ако ги сметаме KM и K 1 M 1, KN и K 1 N 1 како два зраци кои излегуваат од иста точка, тогаш можеме да кажеме дека аглите помеѓу овие парови зраци се исти (ова е одредено со условот на теоремата). Дозволете ни да извршиме паралелно пренесување на зраците K 1 M 1 и K 1 N 1 од точката K 1 до точката K. Како резултат на овој пренос, зраците K 1 M 1 и K 1 N 1 целосно ќе се совпаднат. Да нацртаме на зракот K 1 M 1 отсечка со должина KM, која потекнува од точката K. Бидејќи, по услов, добиената отсечка ќе биде еднаква на отсечката K 1 M 1, тогаш точките M и M 1 се совпаѓаат. Слично со отсечките KN и K 1 N 1. Така, со пренесување на K 1 M 1 N 1 така што точките K 1 и K се совпаѓаат, а двете страни се преклопуваат, добиваме целосно совпаѓање на самите фигури.

Важно!На интернет постојат докази за еднаквост на триаголници засновани на две страни и агол со помош на алгебарски и тригонометриски идентитетисо нумерички вредности на страни и агли. Сепак, историски и математички оваа теоремабил формулиран долго пред алгебрата и пред тригонометријата. За да се докаже оваа карактеристика на теоремата, не е точно да се користи нешто друго освен основните аксиоми.

Доказ 2 знаци

Да го докажеме вториот знак на еднаквост во два агли и страна, врз основа на првиот.

Доказ 2 знаци

Да ги разгледаме КМН и ПРС. K е еднакво на P, N е еднаква на S. Страната KN има иста должина како PS. Потребно е да се докаже дека КМН и ПРС се исти.

Да ја одразиме точката М во однос на зракот KN. Добиената точка да ја наречеме L. Во овој случај, должината на страната KM = KL. NKL е еднаков на PRS. KNL е еднаков на RSP.

Бидејќи збирот на аглите е еднаков на 180 степени, тогаш KLN е еднаков на PRS, што значи дека PRS и KLN се исти (слични) од двете страни и аголот, според првиот знак.

Но, бидејќи KNL е еднакво на KMN, тогаш KMN и PRS се две идентични бројки.

Доказ 3 знаци

Како да се утврди дека триаголниците се складни. Ова директно произлегува од доказот за втората карактеристика.

Должина KN = PS. Бидејќи K = P, N = S, KL=KM и KN = KS, MN=ML, тогаш:

Ова значи дека и двете фигури се слични една на друга. Но, бидејќи нивните страни се исти, тие се исто така еднакви.

Од знаците на еднаквост и сличност следат многу последици. Еден од нив е дека за да се утврди дали два триаголници се еднакви или не, потребно е да се знаат нивните својства, дали се исти:

  • сите три страни;
  • двете страни и аголот меѓу нив;
  • двата агли и страната меѓу нив.

Користење на тестот за еднаквост на триаголници за решавање проблеми

Последици од првиот знак

Во текот на докажувањето може да се дојде до голем број интересни и корисни последици.

  1. . Тоа што точката на пресек на дијагоналите на паралелограм ги дели на два идентични дела е последица на знаците на еднаквост и е сосема подложна на докажување Страните на дополнителниот триаголник (со огледална конструкција, како во доказите што ги изведовме) се страните на главната (страните на паралелограмот).
  2. Ако има два правоаголни триаголници кои имаат исти остри агли, тогаш тие се слични. Ако ногата на првата е еднаква на ногата на втората, тогаш тие се еднакви. Ова е прилично лесно да се разбере - сите правоаголни триаголници имаат прав агол. Затоа, знаците на еднаквост им се поедноставни.
  3. Два триаголници со прави агли, во кои две краци имаат иста должина, може да се сметаат за идентични. Ова се должи на фактот дека аголот помеѓу двете нозе е секогаш 90 степени. Според тоа, според првиот критериум (по две страни и аголот меѓу нив), сите триаголници со прави агли и идентични катети се еднакви.
  4. Ако има два правоаголни триаголници, а нивната една катета и хипотенузата се еднакви, тогаш триаголниците се исти.

Ајде да ја докажеме оваа едноставна теорема.

Има два правоаголни триаголници. Еден има страни a, b, c, каде што c е хипотенузата; а, б - нозе. Вториот има страни n, m, l, каде што l е хипотенуза; m, n - нозе.

Според Питагоровата теорема, една од краците е еднаква на:

;

.

Така, ако n = a, l = c (еднаквост на краци и хипотенуси), соодветно, вторите краци ќе бидат еднакви. Бројките, соодветно, ќе бидат еднакви според третата карактеристика (на три страни).

Да забележиме уште една важна последица. Ако има два еднакви триаголници, а тие се слични со коефициент на сличност k, односно парните односи на сите нивни страни се еднакви на k, тогаш односот на нивните плоштини е еднаков на k2.

Првиот знак за еднаквост на триаголниците. Видео лекција по геометрија VII одделение

Геометрија 7 Првиот знак за еднаквост на триаголниците

Заклучок

Темата што ја дискутиравме ќе му помогне на секој ученик подобро да ги разбере основните геометриски концептии да ги подобрите вашите вештини во најинтересниот светматематика.

Од училишен курсВо геометријата, добро е познат знакот дека триаголниците се еднакви по две страни и аголот меѓу нив, имено:

Ако две страни и аголот меѓу нив на еден триаголник се соодветно еднакви на две страни и аголот меѓу нив на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни (сл. 1).

Природно е да се постави прашањето дали триаголниците ќе бидат складни ако соодветните еднакви агли во триаголниците не се содржани меѓу еднакви страни. Дали е точно дека ако две страни и агол на еден триаголник се соодветно еднакви на две страни и агол на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни.

Излегува дека ова не е вистина. Да дадеме пример. Размислете за круг и неговиот акорд AB (сл. 2). Со центарот во точката А, цртаме уште една кружница што ја пресекува првата круг во некои точки C и C 1. Тогаш во триаголниците ABC и ABC 1 AB е заедничка страна, AC = AC 1,C =Од 1, сепак триаголниците ABC и ABC 1 не се складни.

Во формулацијата на знаци за еднаквост на триаголници, можете да вклучите не само страни и агли, туку и други елементи на триаголниците. Ајде да разгледаме неколку формулации на критериуми за еднаквост на триаголниците со три елементи, вклучувајќи страни, агли, височини, симетрали и средина на триаголниците. Дозволете ни да ја дознаеме валидноста на соодветните знаци.

Ако аголот, страната спроти овој агол и висината спуштена на другата страна на еден триаголник се соодветно еднакви на аголот, страната и висината на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни.

Оставете триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 СО = СО 1 , АБ = А 1 Б 1, висина А.Х.еднаква на висината А 1 Х 1 (сл. 3). Да ги докажеме тие триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви.

Правилни триаголници ABHИ А 1 Б 1 Х 1 се еднакви во ногата и хипотенузата. Средства, Б = Б 1 . Со оглед на тоа СО = СО 1, имаме еднаквост А = А 1 . Така, во триаголници ABCИ А 1 Б 1 C 1

АБ= А 1 Б 1 , А = А 1 , Б = Б 1 .

Според тоа, овие триаголници се еднакви по странични и два соседни агли.

Нека аголот, страната соседна на овој агол и висината спуштена на другата страна во непосредна близина на дадениот агол на еден триаголник се соодветно еднакви на аголот, страната и висината на другиот триаголник (сл. 4).

Да дадеме пример кој покажува дека еднаквоста на посочените елементи на триаголниците не е доволна за еднаквост на самите триаголници.

Ајде да размислиме правоаголни триаголници ABHИ А 1 Б 1 Х 1 (Х = Х 1 = 90 о), во која

АБ = А 1 Б 1 , Б = Б 1 , А.Х. = А 1 Х 1

(сл. 5). На продолженијата на страните Б.Х.И Б 1 Х 1 издвои нееднакви сегменти HCИ Х 1 В 1 . Потоа во триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1

АБ = А 1 Б 1 , Б = Б 1 ,

висини А.Х.И А 1 Х 1 се еднакви, но самите триаголници не се еднакви.

Ако две страни и средината заградена меѓу нив на еден триаголник се соодветно еднакви на две страни и средна на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни.

Оставете триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1

А.Ц.= А 1 В 1 , п.н.е. = Б 1 В 1 ,

медијана СМеднакво на медијаната C 1 М 1 (сл. 6). Да ги докажеме тие триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви.

Да ги продолжиме медијаните и да ги тргнеме настрана сегментите М.Д. = ЦМ.И М 1 Д 1 = В 1 М 1 (сл. 6).

Четириаголници ACBDИ А 1 СО 1 Б 1 Д 1 - паралелограми. Триаголници ACDИ А 1 В 1 Д

ACD = А 1 В 1 Д 1 .

Исто така, триаголници BCDИ Б 1 В 1 Д 1 се еднакви на три страни. Оттука,

BCD = Б 1 В 1 Д 1 .

Средства, СО = СО 1 и триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви на двете страни и аголот меѓу нив.


Нека аголот, страната близу до овој агол и средината нацртана на оваа страна на еден триаголник се соодветно еднакви на аголот, страната и средината на друг триаголник (сл. 7).


Размислете за круг со центар во точката М(Сл. 8). Ајде да нацртаме два дијаметри АБИ А 1 Б 1 . Преку точки А, А 1 , Мнацртајте друг круг и изберете точка на неа В, како што е прикажано на сликата. Во триаголници ABCИ А 1 Б 1 В

АБ = А 1 Б 1 , А = А 1 ,

медијана Ц М ABCИ А 1 Б 1 Вне еднакви.

Ако една страна и две средни страни нацртани на две други страни на еден триаголник се соодветно еднакви на страна и две средни на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни.

Оставете триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 АБ = А 1 Б 1, средна А.М.еднаква на медијаната А 1 М 1, средна Б.К.еднаква на медијаната Б 1 К 1 (сл. 9). Да ги докажеме тие триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви.

Поени ОИ О 1, пресеците на медијаните на овие триаголници ги делат медијаните во сооднос 2:1, сметајќи од темето. Значи триаголници АБОИ А 1 Б 1 О 1 се еднакви на три страни. Оттука,

БАО = Б 1 А 1 О 1 ,

тоа значи триаголници А.Б.М.И А 1 Б 1 М 1 се еднакви на двете страни и аголот меѓу нив. Затоа

ABC = А 1 Б 1 В 1 .

Слично, се докажува дека

BAC = Б 1 А 1 В 1 .

Значи триаголниците ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви по страничните и двата соседни агли.


Нека аголот и двете посредини нацртани на неговите страни на еден триаголник се соодветно еднакви на аголот и двете средни на друг триаголник (сл. 10).


Да дадеме пример кој покажува дека еднаквоста на посочените елементи не е доволна за еднаквост на самите триаголници.

За да го направите ова, разгледајте две еднакви круговисо центри на точки О 1 и О 2 се допираат во одредена точка М(сл. 11).

Ајде да нацртаме акорд во еден од нив АБи директно А.М., вкрстувајќи го вториот круг во одреден момент В. Ајде да нацртаме сегмент п.н.е.. Добиваме триаголник ABC. Ајде да нацртаме медијана во неа CKи означуваат Оточка што ја дели во сооднос 2:1, сметајќи од темето В. Ајде да нацртаме круг со центарот на точката О, радиус О.Ц., вкрстувајќи го вториот круг во точката В 1 . Ајде да направиме директен В 1 Ми означуваат А 1 нејзината точка на пресек со првиот круг. Да означиме К 1 пресечна точка на акорд А 1 Би директно В 1 О. Во триаголници ABCИ А 1 п.н.е. 1 А = А 1, средна CKИ В 1 К 1 еднаков, средна Б.М.- генерален. Сепак, триаголници ABCИ А 1 п.н.е. 1 не се еднакви.

Ако две страни и симетралата меѓу нив на еден триаголник се соодветно еднакви на две страни и симетрала на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни.

Оставете триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1

А.Ц.= А 1 В 1 , п.н.е. = Б 1 В 1 ,

симетрала ЦДеднаква на симетралата СО 1 Д 1 . Да ги докажеме тие триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви.

Да ги продолжиме страните А.Ц.И А 1 В 1 и исцртај ги отсечките на нивните продолжение C.E. = п.н.е.И В 1 Е 1 = Б 1 В 1 (сл. 12). Потоа

Триаголници п.н.е.И Б 1 В 1 Е 1 се еднакви на три страни. Средства, Е = Е 1 и БИДИ = Б 1 Е 1 . Триаголници АБЕИ А 1 Б 1 Е 1 се еднакви на двете страни и аголот меѓу нив. Средства, АБ = А 1 Б 1 . Значи триаголниците ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви на три страни.


Нека аголот, страната соседна на овој агол и симетралата нацртана на другата страна во непосредна близина на дадениот агол на еден триаголник се соодветно еднакви на аголот, страната и симетралата на друг триаголник (сл. 13).


Пример за триаголници ABCИ ABC 1, прикажан на слика 14, покажува дека еднаквоста на посочените елементи не е доволна за еднаквост на самите триаголници.

Навистина, во триаголници ABCИ ABC 1 Б- општо, АБ- заедничка страна, симетрали АДИ АД 1 се еднакви. Сепак, триаголници ABCИ ABC 1 не се еднакви.

Нека страната, средината и висината нацртани на другите две страни на еден триаголник се соодветно еднакви на страната, средната и висината на другиот триаголник (сл. 15).


Да дадеме пример кој покажува дека еднаквоста на посочените елементи не е доволна за еднаквост на самите триаголници.

За да го направите ова, разгледајте круг и агол со теме во центарот Аовој круг (сл. 16). Ајде да ставиме сегмент на негова страна АБ, поголем во дијаметар, а преку неговата средина Кнацртајте права линија паралелна на другата страна на аголот и ја пресекува кругот во некои точки МИ М 1 . Ајде да нацртаме прави линии Б.М., Б.М. 1 и точките на нивното вкрстување со страната на аголот соодветно ги означуваме ВИ В 1 . Потоа во триаголници ABCИ ABC 1 страна АБ- вкупно, висина Б.Х.- вкупно, средна А.М.И А.М. 1 се еднакви, но триаголниците ABCИ ABC 1 не се еднакви.

Два триаголници се складни ако страната, средната и надморската височина нацртани на другата страна на еден триаголник се соодветно еднакви на страната, средната и висината на другиот триаголник.

Оставете триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 А.Ц. = А 1 В 1, средна ЦМ.И В 1 М 1 еднаков, висини CHИ В 1 Х 1 се еднакви (сл. 17). Да ги докажеме тие триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви.

Навистина, правоаголни триаголници ACHИ А 1 В 1 Х 1 се еднакви во хипотенузата и ногата. Затоа Ф А=Ф А 1 и А.Х. = А 1 Х 1 . Правилни триаголници CMHИ В 1 М 1 Х 1 се еднакви во хипотенузата и ногата. Оттука, М.Х. = М 1 Х 1, од каде А.М. = А 1 М 1 значи АБ = А 1 Б 1 . Значи триаголниците ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви на двете страни и аголот меѓу нив.


Два триаголници се еднакви ако трите средни на еден триаголник се соодветно еднакви на трите средни на другиот триаголник.

Оставете триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 се соодветно еднакви на медијаната А.К.И А 1 К 1 , Б.Л.И Б 1 Л 1 , ЦМ.И В 1 М 1 (сл. 18). Да ги докажеме тие триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви.

Нека ОИ О 1 - пресечни точки на медијаните на овие триаголници. Забележете дека медијаните ОМИ О 1 М 1 триаголник АБОИ А 1 Б 1 О 1 се еднакви, бидејќи тие сочинуваат една третина од соодветните посредини на овие триаголници.

Според критериумот за еднаквост на триаголниците, кој го докажавме под број 3, триаголници АБОИ А 1 Б 1 О 1 се еднакви, што значи АБ = А 1 Б 1 .

Слично, се докажува дека п.н.е. = Б 1 В 1 и А.Ц. = А 1 В 1 . Значи триаголниците ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви на три страни.


Два триаголници се еднакви ако трите висини на еден триаголник се соодветно еднакви на трите висини на другиот триаголник.

Оставете триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 се соодветно еднакви на височините А.Х.И А 1 Х 1 , Б.Г.И Б 1 Г 1 , CFИ В 1 Ф 1 (сл. 19). Да ги докажеме тие триаголници ABCИ А 1 Б 1 В 1 се еднакви.

Дозволете ни да ги означиме страните на триаголниците соодветно а, б, вИ а 1 , б 1 , в 1, и соодветните висини ч а, б б, ч вИ ч 1а , ч 1б , ч 1в. Има еднаквости ах а = bh b = ch cИ а 1 ч 1а = б 1 ч 1б = в 1 ч 1в. Поделувајќи ги првите еднакви член по член на вториот, добиваме равенства од кои следуваат триаголниците ABCИ А 1 Б 1 В 1 се слични. Бидејќи соодветните висини на овие триаголници се еднакви, тие не само што се слични, туку и еднакви.