Правилото на L'Hopital

Правилото на L'Hopitalе метод за пресметување на граници кои имаат несигурност на видот или . Нека ае некој конечен реален број или еднаков на бесконечност.

Правилото на L'Hopital може да се примени и за несигурности како што се . Првите две несигурности може да се сведат на тип или со алгебарски трансформации. И несигурностите се сведени на тип користејќи ја релацијата

Правилото на L'Hopital важи и за еднострани граници.

Пример 1

Пресметајте ја границата.

Решение.

Диференцирајќи ги броителот и именителот, ја наоѓаме вредноста на границата:

Пример 2

Пресметајте ја границата.

Решение.

Бидејќи директната замена води до несигурност на типот, го применуваме правилото на L'Hopital.

Пример 3

Пресметајте го лимитот .

Решение.

Овде имаме работа со типска несигурност. По едноставни трансформации, добиваме

Пример 4

Најдете ја границата.

Решение.

Користејќи го правилото на L'Hopital, можеме да пишуваме

Пример 5

Најдете ја границата.

Решение.

Овде наидуваме на типска несигурност. Да означиме. По логаритам добиваме

Соодветно,

Пример 6

15. Правилата на L'Hopital*

швајцарски математичар Јохан I Бернули(1667-1748) по успешното дипломирање на Универзитетот во Базел, патувајќи низ Европа, тој дошол во Париз во 1690 година. Во книжевниот салон на филозофот Николас Малебранш (1638-1715), Јохан го запознал францускиот математичар Маркиз Гијом Франсоа Антоан де Лопитал (1661-1704). За време на жив разговор, L'Hopital беше изненаден од тоа колку лесно, „како да игра“, младиот Бернули решаваше тешки проблеми во новата пресметка. Затоа, L'Hopital побара да му одржи неколку предавања. На L'Hopital му се допаднаа усните разговори и тој почна да добива писмени материјали за пристојна такса. Имајте на ум дека сега добро познатото „Л'Хопитал правило“ за откривање несигурности му го пренел и Јохан. Веќе во 1696 година се појави познатата расправа на L'Hopital „Вовед во анализата на бесконечно малите за разбирање на кривите линии“. Вториот дел од курсот, претставен од Јохан I Бернули, беше објавен дури во 1742 година и беше наречен „Математички предавања за методот на интеграли и други; напишано за познатиот Маркиз од болницата; години 1691-1692 година“. Во 1921 година, биле откриени рачно напишани копии од предавања со ракопис на Јохан I Бернули, чии оригинали биле пренесени во L'Hopital во 1691-1692 година. Од нив, научниците неочекувано открија дека Лоптал во својата „Анализа“ скоро и да не отстапува од предавањата на неговиот млад учител.

Теорема (Коши).Нека функциите и се континуирани на и диференцијабилни на и . Потоа:

Доказ.Размислете за функцијата

Дозволете ни да избереме така што сите услови од теоремата на Роле се задоволени, т.е. .

Според теоремата на Рол, постои:

Првото правило на L'Hopital

Дефиниција.Нека функциите , континуирано на , се диференцијабилни во , и нека . Нека . Тогаш велиме дека релацијата at претставува несигурност на формата .

Теорема.

Да ја примениме теоремата на Коши на отсечката каде што . Постои:

а со тоа и,

Ова значи дека .

Во случај кога е бесконечна, неравенката (1) се заменува со

во зависност од знакот. Остатокот од доказот останува непроменет.

Второто правило на L'Hopital

Дефиниција.Нека функциите се континуирани и диференцијабилни во , и . Нека . Тогаш велиме дека релацијата at претставува несигурност на формата .

Теорема.Доколку, под наведените услови, постои

Доказ.Нека биде секако. Со избирање: неравенството важи во интервалот

Да ја дефинираме функцијата од условот

во . Да ја примениме теоремата на Коши на сегментот. Добиваме дека постои:

За оние за кои

Бидејќи е произволно мал, тогаш

Во случај кога , неравенката (2) се заменува со

а неравенка (4) – до неравенство

што се одвива во , доволно блиску до a поради (3).

Случајот се третира слично.

Решение ограничувања на онлајн функции. Најдете ја ограничувачката вредност на функција или функционална низа во точка, пресметајте крајнавредноста на функцијата во бесконечност. одредување на конвергенција на серии на броеви и многу повеќе може да се направи благодарение на нашата онлајн услуга -. Ви овозможуваме брзо и прецизно да ги наоѓате границите на функциите на интернет. Сами го внесуваш функционална променливаи границата до која се стреми, нашиот сервис ги врши сите пресметки за вас, давајќи точен и едноставен одговор. И за наоѓање на границата на интернетможе да внесете и нумерички серии и аналитички функции кои содржат константи во буквален израз. Во овој случај, пронајдената граница на функцијата ќе ги содржи овие константи како постојани аргументи во изразот. Нашата услуга решава секакви сложени задачисо наоѓање ограничувања на интернет, доволно е да се наведе функцијата и точката во која е потребно да се пресмета гранична вредност на функцијата. Пресметување онлајн ограничувања, можете да користите различни методи и правила за нивно решавање, притоа проверувајќи го добиениот резултат со решавање на границите на интернетна www.site, што ќе доведе до успешно завршување на задачата - ќе ги избегнете сопствените грешки и службени грешки. Или можете целосно да ни верувате и да го искористите нашиот резултат во вашата работа, без да потрошите дополнителен труд и време за самостојно пресметување на границата на функцијата. Дозволуваме внесување на гранични вредности како што е бесконечноста. Мора да внесете заеднички термин броена низаИ www.сајтќе ја пресмета вредноста ограничување на интернетдо плус или минус бесконечност.

Еден од главните концепти математичка анализае ограничување на функцијатаИ ограничување на низатаво точка и во бесконечност, важно е да можеш правилно да решаваш граници. Со нашата услуга ова нема да биде тешко. Се донесува одлука ограничувања на интернетво рок од неколку секунди, одговорот е точен и целосен. Изучувањето на математичката анализа започнува со транзиција кон лимитот, границисе користат во скоро сите области на вишата математика, па затоа е корисно да имате при рака сервер онлајн решенија за ограничување, што е matematikam.ru.

Замислете јато врапчиња со испакнати очи. Не, ова не е гром, не е ураган, па дури ни мало момче со прашка во рацете. Едноставно, огромен, огромен топов лета во многу густи пилиња. Точно Правилата на L'Hopitalсе справи со границите во кои неизвесноста или .

Правилата на L'Hôpital се многу моќен метод кој ви овозможува брзо и ефикасно да ги елиминирате овие несигурности, не е случајно што во збирките на проблеми, на тестови, во тестовите често има постојан печат: „пресметај ја границата, без користење на правилото на L'Hopital" Барањето со задебелени букви може да се примени со чиста совест до кое било ограничување на часовите Граници. Примери на решенија, Прекрасни граници. Методи за решавање на лимити, Извонредни еквиваленции, каде што се јавува неизвесноста „нула до нула“ или „бесконечност до бесконечност“. Дури и ако задачата е формулирана накратко - „пресметајте ги границите“, премолчено се разбира дека ќе користите сè, но не и правилата на L'Hopital.

Вкупно има две правила, и тие се многу слични едни на други, и во суштина и во начинот на примена. Покрај директните примери на темата, ќе проучуваме и дополнителен материјал, што ќе биде корисно во понатамошното проучување на математичката анализа.

Веднаш ќе направам резервација дека правилата ќе бидат претставени во лаконска „практична“ форма, а ако треба да го полагате тестот за теорија, препорачувам да се свртите кон учебникот за поригорозни пресметки.

Првото правило на L'Hopital

Да ги разгледаме функциите што бесконечно малово одреден момент. Ако има граница на нивната врска, тогаш за да ја елиминираме неизвесноста можеме да преземеме два деривати- од броителот и од именителот. При што: , тоа е .

Забелешка : Лимитот исто така мора да постои, во спротивно правилото не важи.

Што следи од горенаведеното?

Прво, треба да бидете во можност да најдете деривати на функции, и колку подобро толку подобро =)

Второ, изводите се земаат ОДДЕЛНО од броителот и ОДДЕЛНО од именителот. Ве молиме не мешајте со правилото за диференцијација на количниците !!!

И трето, „Х“ може да се стреми секаде, вклучително и до бесконечност - се додека постои неизвесност.

Да се ​​вратиме на примерот 5 од првата статија за границите, што го даде следниот резултат:

За несигурност 0:0 го применуваме првото правило на L'Hôpital:

Како што можете да видите, диференцијацијата на броителот и именителот нè доведе до одговорот во половина кривина: најдовме два едноставни изводи, ги заменивме „двата“ во нив и се покажа дека неизвесноста исчезна без трага!

Не е невообичаено правилата на L'Hopital да се применуваат последователно два или повеќе пати (ова важи и за второто правило). Ајде да го извадиме за ретро вечер Лекција Пример 2 за прекрасните граници:

Два ѓеврек повторно се ладат на креветот на спрат. Ајде да го примениме правилото на L'Hopital:

Ве молиме имајте предвид дека во првиот чекор се зема именителот извод на сложена функција. По ова, извршуваме голем број меѓупоедноставувања, особено се ослободуваме од косинусот, што покажува дека има тенденција кон единство. Неизвесноста не е елиминирана, па повторно го применуваме правилото на L'Hopital (втор ред).

Намерно избрав не толку едноставен пример за да можете да направите малку само-тестирање. Ако не е сосема јасно како се пронајдени деривати, треба да ја зајакнете техниката на диференцијација, ако трикот со косинус не е јасен, ве молиме вратете се на забележителни граници. Не гледам многу поента во коментарите чекор-по-чекор, бидејќи веќе зборував за деривати и ограничувања во доволно детали. Новината на статијата лежи во самите правила и некои технички решенија.

Како што веќе беше забележано, во повеќето случаи правилата на L'Hopital не треба да се користат, но често се препорачува да се користат за груба проверка на решението. Често, но не секогаш. Така, на пример, само разгледаниот пример е многу попрофитабилен за проверка прекрасни еквиваленции.

Второто правило на L'Hopital

Брат-2 се бори со две заспани осмици. Исто така:

Ако постои ограничување на врската бескрајно големво функциската точка: , тогаш за да ја елиминираме неизвесноста можеме да земеме два деривати– ОДДЕЛНО од броителот и ОДДЕЛЕНО од именителот. При што: , тоа е при диференцирање на броителот и именителот, вредноста на границата не се менува.

Забелешка : мора да има граница

Повторно, во различни практични примери значењето може да биде различно, вклучувајќи бесконечна. Важно е да постои неизвесност.

Ајде да го провериме примерот бр. 3 од првата лекција: . Го користиме второто правило на L'Hopital:

Бидејќи зборуваме за гиганти, ајде да погледнеме во две канонски граници:

Пример 1

Пресметајте го лимитот

Не е лесно да се добие одговор користејќи „конвенционални“ методи, па за да ја откриеме неизвесноста „од бесконечност до бесконечност“ го користиме правилото на L'Hopital:

Така, линеарна функцијаповисок ред на раст од логаритам со основа поголема од една( итн.). Се разбира, „Х“ со повисоки сили ќе „повлече“ и такви логаритми. Навистина, функцијата расте доста бавно и нејзината распореде порамно во однос на истиот „Х“.

Пример 2

Пресметајте го лимитот

Уште една позната снимка. За да ја елиминираме неизвесноста, го користиме правилото на L'Hopital, згора на тоа, двапати по ред:

Експоненцијална функција, со основа поголема од една(итн.) повисок ред на раст од функција за напојувањесо позитивен степен.

Слични ограничувања се среќаваат за време на целосна студија за функција, имено, при наоѓање асимптоти на графикони. Забележливи се и во некои задачи теорија на веројатност. Ве советувам да ги земете предвид двата дискутирани примери; ова е еден од ретките случаи кога нема ништо подобро од разликување на броителот и именителот.

Понатаму во текстот нема да прави разлика помеѓу првото и второто правило на L'Hôpital; тоа е направено само заради структурирање на статијата. Генерално, од моја гледна точка, донекаде е штетно прекумерното нумерирање математички аксиоми, теореми, правила, својства, бидејќи фразите како „според заклучокот 3 од теорема 19...“ се информативни само во рамките на одреден учебник. . Во друг извор на информации истото ќе биде „Заклучок 2 и теорема 3“. Ваквите изјави се формални и погодни само за самите автори. Идеално, подобро е да се повикаме на суштината на математичкиот факт. Исклучок се историски утврдени термини, на пример, првата прекрасна границаили втора прекрасна граница.

Продолжуваме да развиваме тема што ни беше предложена од член на Париската академија на науките, Маркиз Гијом Франсоа де Лопитал. Статијата добива изразен практичен вкус и во прилично вообичаена задача се бара:

За да се загрееме, ајде да се справиме со неколку мали врапчиња:

Пример 3

Границата најпрво може да се поедностави со ослободување од косинус, но ајде да го почитуваме условот и веднаш да ги разликуваме броителот и именителот:

Нема ништо нестандардно во процесот на наоѓање деривати; на пример, именителот го користи вообичаеното правило за диференцијацијаработи .

Разгледаниот пример е решен преку прекрасни граници, сличен случај се дискутира на крајот од статијата Комплексни граници.

Пример 4

Пресметајте ја границата користејќи го правилото на L'Hopital

Ова е пример за независна одлука. Добра шега =)

Типична ситуација е кога, по диференцијацијата, се добиваат фракции со три или четири ката:

Пример 5

Пресметајте ја границата користејќи го правилото на L'Hopital

Моли да се користи извонредна еквивалентност, но патеката е строго предодредена од условот:

По диференцијацијата, силно препорачувам да се ослободите од повеќекатната фракција и да извршите максимални поедноставувања. Се разбира, поподготвените студенти може да прескокнат последен чекори веднаш запишете: , но и одличните ученици ќе се збунат во одредени граници.

Пример 6

Пресметајте ја границата користејќи го правилото на L'Hopital

Пример 7

Пресметајте ја границата користејќи го правилото на L'Hopital

Ова се примери за да одлучите сами. Во Пример 7, не треба ништо да поедноставувате; дропот добиен по диференцијацијата е премногу едноставен. Но, во Пример 8, по примената на правилото на L'Hopital, многу е пожелно да се ослободиме од трикатната структура, бидејќи пресметките нема да бидат најзгодни. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата. Ако имате какви било тешкотии - тригонометриска табелада помогне.

А, поедноставувањата се апсолутно неопходни кога, по диференцијацијата, постои неизвесност не се реши.

Пример 8

Пресметајте ја границата користејќи го правилото на L'Hopital

Оди:

Интересно е што првобитната неизвесност по првата диференцијација се претвори во неизвесност, а правилото на L'Hôpital мирно се применува понатаму. Забележете и како после секое „приближување“ се елиминира фракцијата од четири ката, а константите се поместуваат надвор од граничниот знак. Во поедноставните примери, попогодно е да не се вклучат константи, но кога границата е сложена, ние поедноставуваме сè, сè, сè. Подмолноста на решениот пример лежи и во тоа што кога , и, според тоа, при елиминација на синусите, не е чудно да се збуниме во знаците. Во претпоследната линија синусите не можеа да бидат убиени, но примерот е доста тежок, простлив.

Пред некој ден наидов на една интересна задача:

Пример 9

Да бидам искрен, малку се сомневав на што ќе биде еднаква оваа граница. Како што беше прикажано погоре, „x“ е повеќе висок редвисина од логаритамот, но дали ќе го „претежи“ логаритамот во коцки? Обидете се сами да дознаете кој ќе победи.

Да, правилата на L'Hopital не се само за гаѓање врапчиња со топ, туку и макотрпна работа...

Со цел да се применат правилата на L'Hopital за ѓеврек или уморни осмици, неизвесностите на формата се намалуваат.

Справувањето со несигурноста е детално дискутирано во Примерите бр. 9-13 од лекцијата. Методи за решавање на лимити. Ајде да земеме уште еден заради формалност:

Пример 10

Пресметајте ја границата на функцијата користејќи го правилото на L'Hopital

На првиот чекор, изразот го доведуваме до заеднички именител, а со тоа ја трансформираме неизвесноста во несигурност. И тогаш го наплатуваме правилото на L'Hopital:

Еве, патем, случајот кога допирањето на четирикатниот израз е бесмислено.

Неизвесноста, исто така, не се спротивставува на претворање во или:

Пример 11

Пресметајте ја границата на функцијата користејќи го правилото на L'Hopital

Ограничувањето овде е еднострано, а таквите ограничувања веќе се дискутирани во прирачникот Графикони и својства на функциите. Како што се сеќавате, графикот на „класичниот“ логаритам не постои лево од оската, така што можеме да пристапиме само на нула од десно.

Правилата на L'Hopital за еднострани ограничувања функционираат, но прво мора да се реши со неизвесноста. На првиот чекор, правиме трикатна дропка, добивајќи несигурност, а потоа решението следи шема на шаблон:

Откако ќе ги разликуваме броителот и именителот, се ослободуваме од дропка од четири ката за да извршиме поедноставувања. Како резултат на тоа, се појави неизвесност. Го повторуваме трикот: повторно ја правиме дропот трикатна и повторно го применуваме правилото на L'Hopital на добиената несигурност:

Подготвени.

Може да се обиде да ја намали оригиналната граница на две крофни:

Но, прво, дериватот во именителот е потежок, и второ, ништо добро нема да излезе од ова.

Така, Пред да решите слични примери, треба да анализирате(усно или на нацрт), КОЈА неизвесност е поповолна да се намали на - на „нула до нула“ или на „бесконечност до бесконечност“.

За возврат, на огнот му се придружуваат пријатели за пиење и поегзотични другари. Методот на трансформација е едноставен и стандарден.

  • Правилото на L'Hopital и откривањето на несигурностите
  • Откривање на неизвесности од типовите „нула поделена со нула“ и „бесконечност поделена со бесконечност“
  • Откривање несигурности на формата „нула пати бесконечност“
  • Откривање на несигурности од типовите „нула до моќ на нула“, „бесконечност до моќ на нула“ и „еден до моќ на бесконечност“
  • Откривање на несигурности од формата „бесконечност минус бесконечност“

Правилото на L'Hopital и откривањето на несигурностите

Откривањето на несигурностите од формата 0/0 или ∞/∞ и некои други несигурности е значително поедноставено со користење на правилото на L'Hopital.

Суштината Правилата на L'Hopital е дека во случај кога со пресметувањето на границата на односот на две функции се добиваат неизвесности од формата 0/0 или ∞/∞, границата на односот на две функции може да се замени со границата на односот на нивните изводи и, на тој начин да се добие одреден резултат.

Општо земено, правилата на L'Hopital значат неколку теореми кои можат да се изразат во следната единствена формулација.

Правилото на L'Hopital. Доколку функциите ѓ(x) И е(x) се диференцијабилни во одредено соседство на точката, со можен исклучок на самата точка, и во ова соседство

(1)

Со други зборови, за несигурности од формата 0/0 или ∞/∞, границата на односот на две функции е еднаква на границата на односот на нивните изводи, доколку постои второто (конечно или бесконечно).

Во еднаквоста (1), вредноста кон која тежи променливата може да биде или конечен број, или бесконечност, или минус бесконечност.

Несигурностите од други типови, исто така, може да се сведат на несигурности од типовите 0/0 и ∞/∞.

Откривање на неизвесности од типовите „нула поделена со нула“ и „бесконечност поделена со бесконечност“

Пример 1.Пресметај

x=2 доведува до неизвесност на формата 0/0. Затоа, го применуваме правилото на L'Hopital:

Пример 2.Пресметај

Решение. Замена во дадена функцијавредности x

Пример 3.Пресметај

Решение. Замена на вредност во дадена функција x=0 доведува до неизвесност на формата 0/0. Затоа, го применуваме правилото на L'Hopital:

Пример 4.Пресметај

Решение. Заменувањето на вредноста x еднаква на плус бесконечност во дадена функција доведува до несигурност на формата ∞/∞. Затоа, го применуваме правилото на L'Hopital:

Коментар. Ако границата на односот на изводот е несигурност од формата 0/0 или ∞/∞, тогаш правилото на L'Hopital може повторно да се примени, т.е. оди до границата на односот на вторите изводи итн.

Пример 5.Пресметај

Решение. Ние најдовме

Овде правилото на L'Hopital се применува двапати, бидејќи и границата на односот на функциите и границата на односот на изводите даваат несигурност на формата ∞/∞.

Пример 6.Пресметај

Веќе почнавме да ги разбираме границите и нивното решение. Ајде да продолжиме во жешка потера и да дознаеме како да ги решиме границите според правилото на L'Hopital. Ова едноставно правиломоже да ви помогне да излезете од подмолните и сложени замки што наставниците сакаат да ги користат во примери на тестови по виша математика и пресметка. Решението со користење на правилото на L'Hopital е едноставно и брзо. Главната работа е да може да се разликува.

Правило на L'Hopital: Историја и дефиниција

Всушност, ова не е точно правило на L'Hopital, туку правило Хопитал-Бернули. Го формулирал швајцарски математичар Јохан Бернули, и Французинот Гијом Л'Хопиталпрвпат објавен во неговиот учебник бесконечно мали во славното 1696 година. Можете ли да замислите како луѓето мораа да ги решат границите со откривање на несигурности пред да се случи ова? Ние не сме.

Пред да започнете да го анализирате правилото на L'Hopital, препорачуваме да ја прочитате воведната статија за и методите за нивно решавање. Често во задачите постои формулација: најдете ја границата без да го користите правилото на L'Hopital. Прочитајте за техниките што ќе ви помогнат со ова во нашата статија.

Ако имате работа со граници на дропка од две функции, бидете подготвени: наскоро ќе наидете на несигурност од формата 0/0 или бесконечност/бесконечност. Што значи тоа? Бројачот и именителот на изразот тежнеат кон нула или бесконечност. Што да се прави со таква граница, на прв поглед е сосема нејасно. Меѓутоа, ако го примените правилото на L'Hopital и малку размислите, се си доаѓа на свое место.

Но, да го формулираме правилото L'Hopital-Bernoulli. Да бидеме апсолутно прецизни, тоа се изразува со теорема. Правило на L'Hopital, дефиниција:

Ако две функции се диференцијабилни во соседство на точка x=a исчезнуваат во овој момент, и постои ограничување на односот на дериватите на овие функции, тогаш кога X стремејќи се кон А постои ограничување на односот на самите функции, еднакво на границата на односот на изводите.

Ајде да ја запишеме формулата, и сè веднаш ќе стане поедноставно. Правилото на L'Hopital, формула:

Бидејќи нè интересира практичната страна на прашањето, овде нема да дадеме доказ за оваа теорема. Или ќе мора да го земете нашиот збор за тоа, или да го најдете во кој било учебник за математичка анализа и да се уверите дека теоремата е вистинита.

Патем! За нашите читатели сега има попуст од 10%.

Обелоденување на несигурност користејќи го правилото на L'Hopital

Кои несигурности може да помогне во решавањето на правилото на L'Hopital? Претходно зборувавме главно за неизвесност 0/0 . Сепак, ова е далеку од единствената неизвесност што може да се сретне. Еве други видови на несигурности:

Да ги разгледаме трансформациите што може да се користат за да се доведат овие несигурности во формата 0/0 или бесконечност/бесконечност. По трансформацијата, можете да го примените правилото L'Hopital-Bernoulli и да кликнете на примери како ореви.

Несигурност на видовите бесконечност/бесконечност се сведува на несигурност на формата 0/0 едноставна трансформација:

Нека има производ од две функции, од кои едната се стреми кон нула, а втората - до бесконечност. Применуваме трансформација, а производот од нула и бесконечност се претвора во неизвесност 0/0 :

Да се ​​најдат граници со несигурности како бесконечност минус бесконечност ја користиме следната трансформација што води кон неизвесност 0/0 :

За да го користите правилото на L'Hopital, треба да бидете во можност да земате деривати. Подолу е дадена табела со деривати на елементарни функции, кои можете да ги користите при решавање на примери, како и правила за пресметување на деривати на сложени функции:

Сега да преминеме на примери.

Пример 1

Најдете ја границата користејќи го правилото на L'Hopital:

Пример 2

Пресметајте користејќи го правилото на L'Hopital:

Важна точка! Ако границата на втората и наредната изводна функција постои на X стремејќи се кон А , тогаш правилото на L'Hopital може да се примени неколку пати.

Ајде да ја најдеме границата ( n – природен број). За да го направите ова, го применуваме правилото на L'Hopital n еднаш:

Ви посакуваме многу среќа во совладувањето на математичката анализа. И ако треба да ја пронајдете границата користејќи го правилото на L'Hopital, напишете есеј користејќи го правилото на L'Hopital, пресметајте ги корените диференцијална равенкаили дури и пресметајте го тензорот на инерција на телото, контактирајте со нашите автори. Тие со задоволство ќе ви помогнат да ги разберете сложеноста на решението.