Терминот „мултипликација“ се однесува на областа на математиката: од гледна точка на оваа наука, тоа значи колку пати одреден број е дел од друг број.
Концептот на мноштво
Поедноставувајќи го горенаведеното, можеме да кажеме дека мноштвото на еден број во однос на друг покажува колку пати првиот број е поголем од вториот. Така, фактот дека еден број е множител на друг всушност значи дека поголемиот може да се подели со помалиот без да се остави остаток. На пример, повеќекратно од 3 е 6.Ваквото разбирање на поимот „повеќекратност“ повлекува изведување на неколку важни последици. Првиот од нив е дека секој број може да има неограничен број множители од него. Ова се должи на фактот дека, всушност, за да се добие друг број кој е множител на одреден број, потребно е да се помножи првиот од нив со која било позитивна цел број вредност, од која, пак, има бесконечен број. На пример, множители на бројот 3 се броевите 6, 9, 12, 15 и други, добиени со множење на бројот 3 со кој било позитивен цел број.
Второто важно својство се однесува на определувањето на најмалиот цел број кој е множител на предметниот. Значи, најмалиот множител на кој било број е самиот број. Ова се должи на фактот дека најмалиот цел број резултат на делење на еден број со друг е еден, а поделбата на број сам по себе го дава овој резултат. Според тоа, бројот што е повеќекратен од оној што се разгледува не може да биде помал од самиот овој број. На пример, за бројот 3, најмалиот множител е 3. Сепак, практично е невозможно да се одреди најголемиот множител на предметниот број.
Броеви кои се множители на 10
Броевите кои се множители на 10 ги имаат сите својства наведени погоре, исто како и другите множители. Така, од наведените својства произлегува дека најмалиот број кој е множител на 10 е самиот број 10. Згора на тоа, бидејќи бројот 10 е двоцифрен, можеме да заклучиме дека само броевите што се состојат од најмалку две цифри. повеќекратно од 10.За да добиете други броеви кои се множители на 10, треба да го помножите бројот 10 со кој било позитивен цел број. Така, листата на броеви кои се множители на 10 ќе ги вклучува броевите 20, 30, 40, 50 итн. Имајте предвид дека сите добиени броеви мора да се делат со 10 без остаток.
Исто така, имајте предвид дека постои едноставен, практичен начин да се утврди дали одреден број за кој станува збор е множител на 10 со тоа што ќе откриете која е неговата последна цифра. Значи, ако е еднаков на 0, предметниот број ќе биде множител на 10, односно може да се подели со 10 без остаток, во спротивно бројот не е множител на 10.
За да се поедностави делењето на природните броеви, изведени се правила за делење на броевите од првата десетка и броевите 11, 25, кои се комбинираат во делот знаци на деливост на природните броеви. Подолу се дадени правилата според кои анализата на број без да се дели со друг природен број ќе одговори на прашањето дали природен број е повеќекратен од броевите 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и цифрената единица?
Природните броеви кои имаат цифри (кои завршуваат на) 2,4,6,8,0 во првата цифра се нарекуваат парни.
Тест за деливост за броеви со 2
Сите парни природни броеви се деливи со 2, на пример: 172, 94,67, 838, 1670.
Тест за деливост за броеви со 3
Сите природни броеви чиј збир на цифри е делив со 3 се деливи со 3. На пример:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Тест за деливост за броеви со 4
Сите природни броеви се деливи со 4, од кои последните две цифри се нули или множител на 4. На пример:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Тест за деливост за броеви со 5
Тест за деливост за броеви со 6
Оние природни броеви кои се деливи со 2 и 3 во исто време се деливи со 6 (сите парни броеви кои се деливи со 3). На пример: 126 (б - парен, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Тест за деливост за броеви со 9
Оние природни броеви чиј збир на цифри е множител на 9 се деливи со 9. На пример:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Тест за деливост за броеви со 10
Тест за деливост за броеви со 11
Само оние природни броеви се деливи со 11 за кои збирот на цифрите што зафаќаат парни места е еднаков на збирот на цифрите што зафаќаат непарни места или разликата помеѓу збирот на цифрите на непарните места и збирот на цифрите од парните местата е повеќекратно од 11. На пример:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9,163,627 (9 + 6 + b + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Тест за деливост за броеви со 25
Поделете со 25 се оние природни броеви чии последни две цифри се нули или се множител на 25. На пример:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Знак за деливост на броеви по цифрена единица
Оние природни броеви чиј број на нули е поголем или еднаков на бројот на нули од цифрената единица се делат на цифрена единица. На пример: 12.000 се дели со 10, 100 и 1000.
Во оваа статија ќе проучуваме знаци на деливост со 10, 100, 1.000и така натаму. Прво, ги даваме нивните формулации и даваме примери за примена на овие критериуми за деливост. По ова, ќе ги докажеме знаците за деливост со 10, 100, 1.000, ... Како заклучок, ќе разгледаме примери за доказ за деливост со 10, 100, 1.000 итн. користејќи ја Њутновата биномна формула и методот на математичка индукција.
Навигација на страница.
Знаци на деливост со 10, 100, 1.000 итн., примери
Ајде прво да формулираме тест за деливост со 10: ако последната цифра во цел број е 0, тогаш тој број се дели со 10; ако последната цифра во некој број е различна од 0, тогаш таков број не се дели со 10.
Формулирање на тестот за деливост со 100е како што следува: ако последните две цифри во ознаката на цел број се нули, тогаш таквиот број се дели со 100; ако барем една од последните две цифри на некој број е различна од 0, тогаш тој број се дели со 100.
Критериумите за деливост со 1.000, 10.000 и така натаму се формулирани на сличен начин тие се занимаваат само со последните три, четири и така натаму нули во означувањето на цел број.
Одделно, мора да се каже дека дадените знаци на деливост со 10, 100, 1.000 итн. не се однесуваат само на бројот нула. Знаеме дека нулата е делива со кој било цел број. Конкретно, нулата се дели со 10 и со 100 и со 1.000 итн.
Наведените знаци на деливост со 10, 100, 1.000, ... се многу лесни и удобни за примена во пракса за да го направите ова, треба да го испитате потребниот број на последни цифри во бројот; Ајде да размислиме примери за користење критериуми за деливост со 10, 100, 1.000, …
Пример.
Кои од цели броеви 500, −1010, −50012, 440.000, 300.000, 67.893 се деливи со 10? Кои од овие броеви се деливи со 10.000? Кои броеви не се деливи со 100?
Решение.
Тестот за деливост со 10 ни овозможува да констатираме дека броевите 500, −1.010, 440.000.300.000 се делат со 10, бидејќи во нивната нотација последната цифра е 0, а броевите −50.012 и 67.893 не се деливи со 10. завршуваат со броевите 2 и 3, соодветно.
Вклучено 10.000 се дели само со бројот 440.000 300.000, бидејќи само во неговата нотација има четири цифри 0 десно.
Врз основа на критериумот за деливост со 100, можеме да кажеме дека броевите −1010, −50012 и 67893 не се деливи со 100, бидејќи во нивните записи последните две цифри не се цифри 0.
Одговор:
500, −1.010, 440.000, 300.000 се делат со 10; 440.000 300.000 поделено со 10.000; 1010, −50012 и 67893 не се деливи со 100.
Доказ за знаци на деливост со 10, 100, 1.000 итн.
Дозволете ни да го покажеме доказот на тестот за деливост со 10. За погодност, го преформулираме овој критериум во форма на неопходен и доволен услов за деливост со 10.
Теорема.
За цел број да се дели со 10, потребно е и доволно последната цифра во неговата нотација да биде 0.
Доказ.
Прво ја докажуваме неопходноста. Целиот број a да биде делив со 10, да докажеме дека во овој случај последната цифра во ознаката на бројот a е 0.
Бидејќи a се дели со 10, тогаш со концептот на деливост постои цел број q таков што a=10·q. Од правилото за множење со 10 произлегува дека производот 10 q е еднаков на цел број, чиј запис се добива од внесувањето на бројот q ако надесно се додаде бројот 0. Така, последната цифра во запишувањето на бројот a=10·q е цифрата 0. Неопходноста е докажана.
Да продолжиме со доказот за доволност. Нека последната цифра од цел број a е 0, да докажеме дека бројот a во овој случај е делив со 10.
Ако во ознаката на цел број последната цифра е 0, тогаш таков број, врз основа на правилото за множење со 10, може да се претстави како a=a 1 10, каде што ознаката на бројот a 1 се добива од означување на бројот a, ако од него се отстрани последната цифра. Според концептот на деливост, од равенството a=a 1 10 произлегува дека бројот a е делив со 10. Доста е докажана.
По аналогија се докажуваат и знаците на деливост со 100, 1000 и така натаму.
Други случаи на деливост со 10, 100, 1000 итн.
Во овој параграф сакаме да покажеме кои други начини постојат за да се докаже деливоста со 10. На пример, ако е даден број како вредност за некоја променлива, тогаш често е невозможно да се применат критериумите за деливост со 10, 100, 1.000. Затоа, мораме да прибегнеме кон други методи за решение.
Понекогаш е можно да се покаже деливост. Ајде да погледнеме на пример.
Пример.
Дали е делив со 10 за кој било природен број n?
Решение.
Број 11 може да се претстави како збир 10+1, по што ја применуваме биномната формула на Њутн: 
Очигледно, добиениот производ е делив со 10, бидејќи содржи фактор 10, а вредноста на изразот во загради е природен број за кој било природен број n. Според тоа, тој е делив со 10 за кој било природен број n.
Одговор:
Да.
Друг начин да се докаже деливоста е. Ајде да ја разгледаме неговата примена користејќи пример.
Пример.
Докажете дека е делив со 10 за кој било природен број n.
Решение.
Да го користиме методот на математичка индукција.
Дефиниција 1. Природен број a се вели дека е делив со природен број b ако постои природен број c таков што важи еднаквоста
Инаку, велат дека бројот a не се дели со b.
Ако бројот a е поголем од бројот b и не е делив со бројот b, тогаш бројот a може да се подели со бројот b со остаток.
Дефиниција 2. Делење на број a со број b со остаток значи дека постојат природни броеви c и r такви што односите се задоволени
a = bc + r, r< b .
Бројот b се нарекува делител, бројот c е количник, а бројот r е остаток кога a се дели со b.
Уште еднаш нагласуваме дека остатокот r е секогаш помал од делителот b.
На пример, бројот 204 не споделувадо бројот 5, но, делењеброј 204 на 5 со остатокот, добиваме:
Така, количникот на делење е 40, а остатокот е 4.
Дефиниција 3. Броевите што се делат со 2 се нарекуваат парни, а броевите кои не се делат со 2 се нарекуваат непарни.
Знаци на деливост
Со цел брзо да се открие дали еден природен број е делив со друг, постојат знаци на деливост.
| Тест за деливост за | Формулација | Пример |
| 2 | Број: 0 , 2 , 4 , 6 , 8 | 1258 |
| 3 | Збир на цифриброеви мора да се дели со 3 | 745 , (7 + 4 + 5 = 15 ) |
| 4 | Број формиран од 4 | 7924 |
| 5 | Број мора да завршиброј 0 или 5 | 835 |
| 6 | Број мора да се споделина 2 и 3 | 234
, (2 + 3 + 4 = 9 ) |
| 7 | Во 7 мора да се споделидобиен број | 3626 , (362 - 12 = 350 ) |
| 8 | Број формиран од 8 | 63024 |
| 9 | Збирот на броевите мора да биде деливдо 9 | 2574 , (2 + 5 + 7 + 4 = 18 ) |
| 10 | Број мора да заврши 0 | 1690 |
| 11 | Збир на цифри, стоејќи на парни места, или еднаков на збирот на цифрите, стоејќи на чудни места X, или различниод неа со број делив со 11 | 1408 , (4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ; 12 - 1 = 11 ) |
| 13 | На 13 мора да се споделидобиен број | 299 , (29 + 36 = 65 ) |
| 25 | Број мора да завршиво 00, 25, 50 или 75 часот | 7975 |
| 50 | Број мора да завршидо 00 или 50 | 2957450 |
| 100 | Број мора да завршидо 00 | 102300 |
| 1000 | Број мора да завршидо 000 | 3217000 |
| Тест за деливост со 2 |
Карактеристична формулација: Број мора да заврши со парен број: 1258 |
| Тест за деливост со 3 |
Карактеристична формулација: Збир на цифриброеви мора да се дели со 3 745 , |
| Тест за деливост со 4 |
Карактеристична формулација: Бројот формиран последните две цифри мора да се поделатод 4 7924 |
| Тест за деливост со 5 |
Карактеристична формулација: Број мора да завршиброј 0 или 5 |
| Тест за деливост со 6 |
Карактеристична формулација: Број мора да се споделина 2 и 3 234
, |
| Тест за деливост со 7 |
Карактеристична формулација: Во 7 мора да се споделидобиен број одземање двапати на последната цифра од оригиналниот број со отфрлена последната цифра 3626 , |
| Тест за деливост со 8 |
Карактеристична формулација: Бројот формиран последните три цифри мора да се поделатдо 8 63024 |
| Тест за деливост со 9 |
Карактеристична формулација: Збирот на броевите мора да биде деливдо 9 2574 , |
| Тест за деливост со 10 |
Карактеристична формулација: Број мора да заврши 0 1690 |
| Тест за деливост со 11 |
Карактеристична формулација: Збир на цифри, стоејќи на парни места, или еднаков на збирот на цифрите, стоејќи на чудни места X, или различниод неа со број делив со 11 1408 , |
| Тест за деливост со 13 |
Карактеристична формулација: На 13 мора да се споделидобиен број додавајќи ја четирикратно последната цифра на оригиналниот број со отфрлена последната цифра 299 , |
| Тест за деливост со 25 |
Карактеристична формулација: Број мора да завршиво 00, 25, 50 или 75 часот 7975 |
| Тест за деливост со 50 |
Карактеристична формулација: Број мора да завршидо 00 или 50 2957450 |
| Тест за деливост со 100 |
Карактеристична формулација: Број мора да завршидо 00 102300 |
| Тест за деливост со 1000 |
Карактеристична формулација: Број мора да завршидо 000 3217000 |
На нашата веб-страница можете да се запознаете и со едукативни материјали развиени од наставниците на центарот за обука Резолвента за подготовка за обединет државен испит и обединет државен испит по математика.
За ученици кои сакаат добро да се подготват и да го положат Единствениот државен испит или OGE по математика или руски јазикза висока оценка, Центарот за обука Резолвента спроведува
Организираме и за ученици
